Mạch Horner hoạt động như thế nào Các phương trình trong toán học cao hơn.

Nghiên cứu về một đối tượng như vậy phân tích toán học như một chức năng có tuyệt vời nghĩa và trong các lĩnh vực khoa học khác. Ví dụ, trong phân tích kinh tế hành vi luôn cần được đánh giá chức năng lợi nhuận, cụ thể là để xác định mức lớn nhất của nó nghĩa và phát triển chiến lược để đạt được nó.

Hướng dẫn

Việc nghiên cứu bất kỳ hành vi nào cũng phải luôn bắt đầu bằng việc tìm kiếm phạm vi định nghĩa. Thông thường theo điều kiện nhiệm vụ cụ thể cần xác định giá trị lớn nhất nghĩa chức năng trên toàn bộ khu vực này hoặc trên một khoảng cụ thể của nó với đường viền mở hoặc đóng.

Dựa vào , lớn nhất là nghĩa chức năng y(x0), trong đó với bất kỳ điểm nào trong miền định nghĩa, bất đẳng thức y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) đúng. Về mặt đồ họa, điểm này sẽ cao nhất nếu các giá trị đối số được đặt dọc theo trục hoành độ và chính hàm dọc theo trục tọa độ.

Để xác định lớn nhất nghĩa chức năng, hãy làm theo thuật toán ba bước. Xin lưu ý rằng bạn phải có khả năng làm việc với một phía và cũng như tính đạo hàm. Vì vậy, hãy cho một số hàm y(x) và bạn cần tìm giá trị lớn nhất của nó nghĩa trên một khoảng nhất định với các giá trị biên A và B.

Tìm hiểu xem khoảng này có nằm trong phạm vi định nghĩa không chức năng. Để làm điều này, bạn cần tìm nó bằng cách xem xét tất cả các hạn chế có thể có: sự hiện diện của một phân số trong biểu thức, căn bậc hai vân vân. Miền định nghĩa là tập hợp các giá trị đối số mà hàm có ý nghĩa. Xác định xem khoảng nhất định tập con của nó. Nếu có thì đi đến giai đoạn tiếp theo.

Tìm đạo hàm chức năng và giải phương trình thu được bằng cách cho đạo hàm bằng 0. Bằng cách này, bạn sẽ nhận được các giá trị của cái gọi là điểm dừng. Đánh giá xem ít nhất một trong số chúng có thuộc khoảng A, B hay không.

Ở giai đoạn thứ ba, hãy xem xét các điểm này và thay thế giá trị của chúng vào hàm. Tùy thuộc vào loại khoảng thời gian, hãy thực hiện các bước bổ sung sau. Nếu có một đoạn có dạng [A, B] thì các điểm biên được bao gồm trong khoảng; điều này được biểu thị bằng dấu ngoặc. Tính giá trị chức năng với x = A và x = B. Nếu khoảng mở (A, B), các giá trị biên bị thủng, tức là. không được bao gồm trong đó. Giải giới hạn một phía cho x→A và x→B. Một khoảng kết hợp có dạng [A, B) hoặc (A, B), một trong các ranh giới của nó, ranh giới còn lại không thuộc về nó. Tìm giới hạn một phía khi x tiến tới giá trị bị thủng và thay thế ranh giới kia vào. khoảng vô hạn hai phía (-∞, +∞) hoặc khoảng vô hạn một phía có dạng: , (-∞, B). Đối với các giới hạn thực A và B, hãy tiến hành theo các nguyên tắc đã được mô tả và đối với vô hạn, hãy tìm giới hạn tương ứng cho x→-∞ và x→+∞.

Nhiệm vụ ở giai đoạn này

Tuyên bố vấn đề 2:

Cho một hàm được xác định và liên tục trên một khoảng nhất định. Bạn cần tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm trên khoảng này.

Cơ sở lý thuyết.
Định lý (Định lý Weierstrass thứ hai):

Nếu một hàm được xác định và liên tục trong một khoảng đóng thì nó sẽ đạt giá trị cực đại và cực tiểu trong khoảng này.

Hàm có thể đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng cách điểm nội bộ khoảng cách hoặc tại ranh giới của nó. Hãy minh họa tất cả các tùy chọn có thể.

Giải thích:
1) Hàm số đạt giá trị lớn nhất ở biên trái của khoảng tại điểm , và giá trị nhỏ nhất của nó ở biên phải của khoảng tại điểm .
2) Hàm đạt giá trị lớn nhất tại điểm (đây là điểm cực đại) và giá trị nhỏ nhất của nó tại ranh giới bên phải của khoảng tại điểm.
3) Hàm đạt giá trị cực đại ở biên trái của khoảng tại điểm , và giá trị cực tiểu tại điểm (đây là điểm cực tiểu).
4) Hàm không đổi trên khoảng, tức là nó đạt giá trị tối thiểu và tối đa tại bất kỳ điểm nào trong khoảng và giá trị tối thiểu và tối đa bằng nhau.
5) Hàm đạt giá trị cực đại tại điểm và giá trị cực tiểu tại điểm (mặc dù thực tế là hàm có cả cực đại và cực tiểu trên khoảng này).
6) Hàm đạt giá trị lớn nhất tại một điểm (đây là điểm tối đa) và giá trị tối thiểu tại một điểm (đây là điểm tối thiểu).
Bình luận:

“Tối đa” và “giá trị tối đa” là những thứ khác nhau. Điều này xuất phát từ định nghĩa về mức tối đa và sự hiểu biết trực quan về cụm từ “giá trị tối đa”.

Thuật toán giải bài toán 2.



4) Chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) từ các giá trị thu được và viết ra câu trả lời.

Ví dụ 4:

Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên phân khúc.
Giải pháp:
1) Tìm đạo hàm của hàm số.

2) Tìm điểm cố định(và điểm nghi ngờ đối với điểm cực trị), giải phương trình . Hãy chú ý đến những điểm tại đó không có đạo hàm hữu hạn hai mặt.

3) Tính các giá trị của hàm số tại các điểm dừng và tại các biên của khoảng.

4) Chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) từ các giá trị thu được và viết ra câu trả lời.

Hàm trên đoạn này đạt giá trị lớn nhất tại điểm có tọa độ.

Hàm trên đoạn này đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm có tọa độ .

Bạn có thể xác minh tính đúng đắn của các phép tính bằng cách nhìn vào biểu đồ của hàm đang nghiên cứu.


Bình luận: Hàm đạt giá trị lớn nhất tại điểm tối đa và giá trị tối thiểu tại ranh giới của đoạn.

Một trường hợp đặc biệt.

Giả sử chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị tối thiểu một hàm nào đó trên một khoảng. Sau khi hoàn thành điểm đầu tiên của thuật toán, tức là. tính đạo hàm, chẳng hạn, rõ ràng là chỉ cần giá trị âm trên toàn bộ phân khúc được xem xét. Hãy nhớ rằng nếu đạo hàm âm thì hàm số giảm. Chúng tôi nhận thấy rằng hàm này giảm trên toàn bộ phân khúc. Tình huống này được thể hiện ở biểu đồ số 1 ở đầu bài viết.

Hàm giảm trên đoạn, tức là nó không có điểm cực trị. Từ hình ảnh, rõ ràng hàm sẽ lấy giá trị nhỏ nhất ở ranh giới bên phải của đoạn và giá trị cao nhất- ở bên trái. nếu đạo hàm trên đoạn này dương ở mọi nơi thì hàm số sẽ tăng. Giá trị nhỏ nhất nằm ở viền trái của đoạn, giá trị lớn nhất nằm ở viền bên phải.

Từ quan điểm thực tế, mối quan tâm lớn nhất là sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm. Điều này được kết nối với cái gì? Tối đa hóa lợi nhuận, giảm thiểu chi phí, xác định tải trọng tối ưu của thiết bị… Nói cách khác, trong nhiều lĩnh vực của đời sống chúng ta phải giải quyết bài toán tối ưu hóa một số thông số. Và đây là nhiệm vụ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm.

Cần lưu ý rằng các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm thường được tìm kiếm trên một khoảng X nhất định, đó là toàn bộ miền của hàm hoặc một phần của miền định nghĩa. Khoảng X có thể là một đoạn, một khoảng mở , một khoảng vô hạn.

Trong bài viết này chúng ta sẽ nói về việc tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất một cách rõ ràng hàm đã cho một biến y=f(x) .

Điều hướng trang.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm - định nghĩa, minh họa.

Chúng ta hãy xem xét ngắn gọn các định nghĩa chính.

Giá trị lớn nhất của hàm điều đó cho bất cứ ai sự bất bình đẳng là đúng.

Giá trị nhỏ nhất của hàm y=f(x) trên khoảng X được gọi là giá trị như vậy điều đó cho bất cứ ai sự bất bình đẳng là đúng.

Các định nghĩa này mang tính trực quan: giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) được chấp nhận trên khoảng được xem xét tại trục hoành.

Điểm cố định– đây là các giá trị của đối số tại đó đạo hàm của hàm trở thành 0.

Tại sao chúng ta cần điểm dừng khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý Fermat. Từ định lý này, suy ra rằng nếu một hàm khả vi có cực trị (cực tiểu cục bộ hoặc cực đại cục bộ) tại một điểm nào đó thì điểm này là dừng. Do đó, hàm số thường lấy giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trên khoảng X tại một trong các điểm dừng của khoảng này.

Ngoài ra, một hàm thường có thể lấy các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất của hàm này không tồn tại và bản thân hàm đó được xác định.

Hãy cùng trả lời ngay một trong những câu hỏi phổ biến nhất về chủ đề này: “Có phải lúc nào cũng có thể xác định được giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của một hàm” không? Không, không phải lúc nào cũng vậy. Đôi khi ranh giới của khoảng X trùng với ranh giới của miền định nghĩa của hàm hoặc khoảng X là vô hạn. Và một số hàm ở vô cùng và ở ranh giới của miền định nghĩa có thể nhận cả giá trị vô cùng lớn và vô cùng nhỏ. Trong những trường hợp này, không thể nói gì về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm.

Để rõ ràng, chúng tôi sẽ đưa ra một minh họa đồ họa. Nhìn vào những bức ảnh và rất nhiều điều sẽ trở nên rõ ràng hơn.

Trên phân khúc

Trong hình đầu tiên, hàm lấy giá trị lớn nhất (max y) và nhỏ nhất (min y) tại các điểm đứng yên nằm bên trong đoạn [-6;6].

Hãy xem xét trường hợp được mô tả trong hình thứ hai. Hãy thay đổi phân đoạn thành . Trong ví dụ này, giá trị nhỏ nhất của hàm đạt được tại một điểm đứng yên và giá trị lớn nhất tại điểm có trục hoành tương ứng với ranh giới bên phải của khoảng.

Trong Hình 3, các điểm biên của đoạn [-3;2] là hoành độ của các điểm tương ứng với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm.

Trên một khoảng thời gian mở

Trong hình thứ tư, hàm lấy giá trị lớn nhất (max y) và nhỏ nhất (min y) tại các điểm đứng yên nằm bên trong khoảng mở (-6;6) .

Trên khoảng , không thể rút ra kết luận nào về giá trị lớn nhất.

Ở vô cực

Trong ví dụ được trình bày ở hình thứ bảy, hàm lấy giá trị lớn nhất (max y) tại một điểm đứng yên với hoành độ x=1 và đạt được giá trị nhỏ nhất (min y) ở ranh giới bên phải của khoảng. Ở âm vô cực, các giá trị của hàm tiệm cận y=3.

Trong khoảng thời gian, hàm không đạt đến giá trị nhỏ nhất cũng như giá trị lớn nhất. Khi x=2 tiến dần từ bên phải, các giá trị của hàm có xu hướng âm vô cực (đường thẳng x=2 là tiệm cận đứng) và khi trục hoành có xu hướng cộng vô cùng, các giá trị của hàm tiệm cận y=3. Một minh họa đồ họa của ví dụ này được hiển thị trong Hình 8.

Thuật toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn.

Hãy để chúng tôi viết một thuật toán cho phép chúng tôi tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một đoạn.

1. Chúng tôi tìm thấy miền của hàm và kiểm tra xem nó có chứa toàn bộ phân khúc hay không.
2. Chúng tôi tìm thấy tất cả các điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất không tồn tại và được chứa trong đoạn (thông thường các điểm như vậy được tìm thấy trong các hàm có đối số dưới dấu mô đun và trong chức năng điện với số mũ hữu tỷ phân số). Nếu không có điểm nào như vậy thì chuyển sang điểm tiếp theo.
3. Chúng tôi xác định tất cả các điểm dừng nằm trong phân khúc. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng nó bằng 0, giải phương trình thu được và chọn các nghiệm thích hợp. Nếu không có điểm dừng hoặc không có điểm nào nằm trong đoạn thẳng thì chuyển sang điểm tiếp theo.
4. Chúng tôi tính toán các giá trị của hàm tại các điểm dừng đã chọn (nếu có), tại các điểm mà đạo hàm bậc nhất không tồn tại (nếu có), cũng như tại x=a và x=b.
5. Từ các giá trị thu được của hàm, chúng ta chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất - chúng sẽ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cần thiết của hàm.

Hãy phân tích thuật toán giải một ví dụ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một đoạn.

Ví dụ.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

• trên đoạn ;
• trên đoạn [-4;-1] .

Giải pháp.

Miền xác định của hàm là toàn bộ tập hợp số thực, ngoại trừ số 0, tức là . Cả hai phân đoạn đều nằm trong miền định nghĩa.

Tìm đạo hàm của hàm số đối với:

Rõ ràng đạo hàm của hàm số tồn tại ở mọi điểm của đoạn thẳng và [-4;-1].

Chúng tôi xác định điểm dừng từ phương trình. Căn thực duy nhất là x=2. Điểm đứng yên này rơi vào đoạn đầu tiên.

Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta tính các giá trị của hàm ở cuối đoạn và tại điểm dừng, nghĩa là với x=1, x=2 và x=4:

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm đạt được tại x=1, và giá trị nhỏ nhất – tại x=2.

Đối với trường hợp thứ hai, chúng tôi chỉ tính toán các giá trị hàm ở cuối đoạn [-4;-1] (vì nó không chứa một điểm dừng duy nhất):

Với dịch vụ này bạn có thể tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến f(x) với lời giải được định dạng trong Word. Do đó, nếu cho hàm f(x,y) thì cần tìm cực trị của hàm hai biến. Bạn cũng có thể tìm thấy khoảng thời gian của các hàm tăng và giảm.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

y =

trên đoạn [ ;]

Bao gồm lý thuyết

Quy tắc nhập hàm:

Điều kiện cần để đạt cực trị của hàm một biến

Phương trình f" 0 (x *) = 0 là điều kiện cần thiết cực trị của hàm một biến, tức là tại điểm x * đạo hàm bậc nhất của hàm số phải triệt tiêu. Nó xác định các điểm dừng x c mà tại đó hàm số không tăng hoặc giảm.

Điều kiện đủ để tìm cực trị của hàm số một biến

Cho f 0 (x) khả vi hai lần đối với x, thuộc bộ D. Nếu tại điểm x* thỏa mãn điều kiện:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Khi đó điểm x * là điểm cực tiểu cục bộ (toàn cục) của hàm.

Nếu tại điểm x* thỏa mãn điều kiện:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Khi đó điểm x * là mức tối đa cục bộ (toàn cầu).

Ví dụ số 1. Tìm số lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chức năng: trên phân khúc.
Giải pháp.

Điểm tới hạn là một x 1 = 2 (f’(x)=0). Điểm này thuộc về phân khúc. (Điểm x=0 không tới hạn vì 0∉).
Chúng tôi tính toán các giá trị của hàm ở cuối đoạn và tại điểm tới hạn.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Trả lời: f min = 5/2 tại x=2; f max =9 tại x=1

Ví dụ số 2. Sử dụng đạo hàm bậc cao hơn, tìm cực trị của hàm số y=x-2sin(x) .
Giải pháp.
Tìm đạo hàm của hàm số: y’=1-2cos(x) . Chúng tôi sẽ tìm thấy điểm quan trọng: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Ta tìm y’’=2sin(x), tính , tức là x= π / 3 +2πk, k∈Z là điểm cực tiểu của hàm số; , có nghĩa là x=- π / 3 +2πk, k∈Z là điểm cực đại của hàm số.

Ví dụ số 3. Khảo sát hàm cực trị trong vùng lân cận của điểm x=0.
Giải pháp. Ở đây cần tìm cực trị của hàm số. Nếu cực trị x=0 thì tìm ra loại của nó (tối thiểu hoặc tối đa). Nếu trong số các điểm tìm thấy không có x = 0 thì hãy tính giá trị của hàm f(x=0).
Cần lưu ý rằng khi đạo hàm ở mỗi vế của một điểm cho trước không đổi dấu thì các tình huống có thể xảy ra không hết ngay cả đối với các hàm khả vi: có thể xảy ra điều đó đối với một lân cận nhỏ tùy ý ở một phía của điểm x 0 hoặc ở cả hai bên dấu hiệu đạo hàm thay đổi. Ở những điểm này cần sử dụng các phương pháp khác để nghiên cứu hàm cực trị.