Phương trình bậc hai được học ở lớp 8 nên ở đây không có gì phức tạp. Khả năng giải quyết chúng là hoàn toàn cần thiết.

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0, trong đó các hệ số a, b và c lần lượt là số tùy ý, và a ≠ 0.

Trước khi học phương pháp cụ thể lời giải, lưu ý rằng tất cả các phương trình bậc hai có thể được chia thành ba loại:

1. Không có rễ;
2. Có chính xác một gốc;
3. Có hai rễ khác nhau.

Đây là sự khác biệt quan trọng giữa phương trình bậc hai và phương trình tuyến tính, trong đó nghiệm luôn tồn tại và là duy nhất. Làm thế nào để xác định một phương trình có bao nhiêu nghiệm? Có một điều tuyệt vời cho việc này - phân biệt đối xử.

phân biệt đối xử

Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 khi đó phân biệt đơn giản là số D = b 2 − 4ac.

Bạn cần phải thuộc lòng công thức này. Bây giờ nó đến từ đâu không còn quan trọng nữa. Một điều quan trọng nữa: bằng dấu của biệt thức, bạn có thể xác định một phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm. Cụ thể là:

1. Nếu D< 0, корней нет;
2. Nếu D = 0 thì có đúng một nghiệm;
3. Nếu D > 0 thì sẽ có hai nghiệm.

Xin lưu ý: ký hiệu phân biệt cho biết số lượng gốc chứ không phải dấu hiệu của chúng, vì lý do nào đó mà nhiều người tin tưởng. Hãy xem các ví dụ và bạn sẽ tự hiểu mọi thứ:

Nhiệm vụ. Phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Hãy viết các hệ số cho phương trình đầu tiên và tìm phân biệt:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Vì vậy, biệt thức là dương, nên phương trình có hai nghiệm khác nhau. Chúng tôi phân tích phương trình thứ hai theo cách tương tự:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Phân biệt đối xử là tiêu cực, không có gốc rễ. Phương trình cuối cùng còn lại là:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

phân biệt đối xử bằng 0- sẽ có một gốc.

Xin lưu ý rằng các hệ số đã được viết ra cho mỗi phương trình. Vâng, nó dài, vâng, nó tẻ nhạt, nhưng bạn sẽ không nhầm lẫn các tỷ lệ và mắc những sai lầm ngu ngốc. Hãy chọn cho mình: tốc độ hoặc chất lượng.

Nhân tiện, nếu bạn hiểu rõ thì sau một thời gian bạn sẽ không cần phải viết ra tất cả các hệ số. Bạn sẽ thực hiện các thao tác như vậy trong đầu. Hầu hết mọi người bắt đầu làm điều này ở đâu đó sau khi giải được 50-70 phương trình - nói chung là không nhiều.

Căn nguyên của một phương trình bậc hai

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải pháp. Nếu biệt thức D > 0, nghiệm có thể được tìm bằng công thức:

Công thức gốc cơ bản phương trình bậc hai

Khi D = 0, bạn có thể sử dụng bất kỳ công thức nào trong số này - bạn sẽ nhận được cùng một số, đó sẽ là câu trả lời. Cuối cùng, nếu D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Phương trình đầu tiên:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm. Hãy tìm chúng:

Phương trình thứ hai:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ phương trình lại có hai nghiệm. Hãy tìm chúng

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(căn chỉnh)\]

Cuối cùng, phương trình thứ ba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ phương trình có một nghiệm. Bất kỳ công thức có thể được sử dụng. Ví dụ: cái đầu tiên:

Như bạn có thể thấy từ các ví dụ, mọi thứ đều rất đơn giản. Nếu bạn biết công thức và có thể đếm thì sẽ không có vấn đề gì. Thông thường, lỗi xảy ra khi thay thế các hệ số âm vào công thức. Ở đây một lần nữa, kỹ thuật được mô tả ở trên sẽ hữu ích: nhìn vào công thức theo nghĩa đen, viết ra từng bước - và bạn sẽ sớm thoát khỏi những sai lầm.

Phương trình bậc hai không đầy đủ

Điều đó xảy ra là một phương trình bậc hai hơi khác so với những gì được đưa ra trong định nghĩa. Ví dụ:

1. x2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Dễ dàng nhận thấy rằng các phương trình này thiếu một trong các số hạng. Các phương trình bậc hai như vậy thậm chí còn dễ giải hơn các phương trình tiêu chuẩn: chúng thậm chí không yêu cầu tính phân biệt. Vì vậy, hãy giới thiệu một khái niệm mới:

Phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ nếu b = 0 hoặc c = 0, tức là. hệ số của biến x hoặc phần tử tự do bằng 0.

Tất nhiên, một trường hợp rất khó có thể xảy ra khi cả hai hệ số này đều bằng 0: b = c = 0. Trong trường hợp này, phương trình có dạng ax 2 = 0. Rõ ràng, phương trình như vậy có một nghiệm duy nhất: x = 0.

Hãy xem xét các trường hợp còn lại. Cho b = 0 thì ta được một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 + c = 0. Hãy biến đổi nó một chút:

Vì số học căn bậc hai chỉ tồn tại từ số không âm, đẳng thức cuối cùng chỉ có ý nghĩa khi (−c /a) ≥ 0. Kết luận:

1. Nếu trong phương trình bậc hai không đầy đủ dạng ax 2 + c = 0 mà bất đẳng thức (−c /a) ≥ 0 được thỏa mãn thì sẽ có hai nghiệm. Công thức được đưa ra ở trên;
2. Nếu (-c /a)< 0, корней нет.

Như bạn có thể thấy, phân biệt là không cần thiết - trong các phương trình bậc hai không đầy đủ không có tính toán phức tạp. Trên thực tế, thậm chí không cần thiết phải nhớ bất đẳng thức (−c /a) ≥ 0. Chỉ cần biểu thị giá trị x 2 và xem vế bên kia của dấu bằng là gì. Nếu có số dương- sẽ có hai gốc. Nếu nó âm thì sẽ không có rễ nào cả.

Bây giờ chúng ta hãy xem các phương trình có dạng ax 2 + bx = 0, trong đó phần tử tự do bằng 0. Mọi thứ ở đây đều đơn giản: sẽ luôn có hai gốc. Chỉ cần phân tích đa thức là đủ:

Loại bỏ số nhân chung ngoài khung

Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Đây là nơi mà rễ đến từ. Để kết luận, chúng ta hãy xem xét một vài phương trình sau:

Nhiệm vụ. Giải phương trình bậc hai:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Không có rễ vì một hình vuông không thể bằng một số âm.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Ví dụ: đối với tam thức \(3x^2+2x-7\), phân biệt sẽ bằng \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Và đối với tam thức \(x^2-5x+11\), nó sẽ bằng \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Phân biệt được ký hiệu là \(D\) và thường được sử dụng trong việc giải. Ngoài ra, bằng giá trị của phân biệt đối xử, bạn có thể hiểu biểu đồ trông như thế nào (xem bên dưới).

Phân biệt và nghiệm của phương trình

Giá trị phân biệt thể hiện số phương trình bậc hai:
- nếu \(D\) dương thì phương trình sẽ có hai nghiệm;
- nếu \(D\) bằng 0 – chỉ có một nghiệm;
- nếu \(D\) âm thì không có nghiệm.

Điều này không cần phải dạy, không khó để đi đến kết luận như vậy, chỉ cần biết rằng từ phân biệt (tức là \(\sqrt(D)\) được đưa vào công thức tính nghiệm của phương trình : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) và \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\) Hãy xem xét từng trường hợp chi tiết hơn .

Nếu sự phân biệt là tích cực

Trong trường hợp này, gốc của nó là một số dương, có nghĩa là \(x_(1)\) và \(x_(2)\) sẽ có ý nghĩa khác nhau, vì trong công thức đầu tiên \(\sqrt(D)\ ) được cộng vào và ở lần thứ hai nó bị trừ đi. Và chúng ta có hai nguồn gốc khác nhau.

Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình \(x^2+2x-3=0\)
Giải pháp :

Trả lời : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Nếu giá trị phân biệt bằng 0

Sẽ có bao nhiêu nghiệm nếu biệt thức bằng 0? Hãy lý luận.

Các công thức gốc trông như thế này: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) và \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Và nếu biệt thức bằng 0 thì nghiệm của nó cũng bằng 0. Sau đó hóa ra:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Nghĩa là, các giá trị nghiệm của phương trình sẽ giống nhau, vì việc cộng hoặc trừ số 0 không làm thay đổi gì cả.

Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình \(x^2-4x+4=0\)
Giải pháp :

\(x^2-4x+4=0\)		Chúng tôi viết ra các hệ số:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Chúng tôi tính toán phân biệt bằng công thức \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Tìm nghiệm nguyên của phương trình
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Có hai rễ giống nhau, vì vậy không có ý nghĩa gì khi viết chúng riêng biệt - chúng ta viết chúng thành một.

Trả lời : \(x=2\)

Phương trình bậc hai. Phân biệt đối xử. Giải pháp, ví dụ.

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Các loại phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là gì? Nó trông như thế nào? Trong thời hạn phương trình bậc hai từ khóa là "quảng trường".Điều này có nghĩa là trong phương trình nhất thiết phải có một x bình phương. Ngoài nó ra, phương trình có thể (hoặc có thể không!) chỉ chứa X ( lũy thừa bậc một) và chỉ một số (thành viên miễn phí). Và không nên có X nào cho lũy thừa lớn hơn hai.

Về mặt toán học, phương trình bậc hai là phương trình có dạng:

Đây a, b và c- một số con số b và c- hoàn toàn bất kỳ, nhưng MỘT– bất cứ điều gì khác hơn số không. Ví dụ:

Đây MỘT =1; b = 3; c = -4

Đây MỘT =2; b = -0,5; c = 2,2

Đây MỘT =-3; b = 6; c = -18

Vâng, bạn hiểu...

Trong các phương trình bậc hai ở bên trái này có bộ hoàn chỉnh các thành viên. X bình phương với hệ số MỘT, x lũy thừa bậc một với hệ số b Và thành viên miễn phí.

Những phương trình bậc hai như vậy được gọi là đầy.

Điều gì sẽ xảy ra nếu b= 0, chúng ta được gì? Chúng tôi có X sẽ bị mất về lũy thừa thứ nhất.Điều này xảy ra khi nhân với 0.) Ví dụ:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Vân vân. Và nếu cả hai hệ số b Và cđều bằng 0 thì thậm chí còn đơn giản hơn:

2x 2 = 0,

-0,3x2 =0

Những phương trình như vậy khi thiếu một cái gì đó được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ.Điều này khá logic.) Xin lưu ý rằng x bình phương có mặt trong tất cả các phương trình.

Nhân tiện, tại sao MỘT không thể bằng 0? Và thay vào đó bạn thay thế MỘT bằng không.) Bình phương X của chúng ta sẽ biến mất! Phương trình sẽ trở thành tuyến tính. Và giải pháp hoàn toàn khác...

Đó là tất cả các loại phương trình bậc hai chính. Đầy đủ và không đầy đủ.

Giải phương trình bậc hai.

Giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh.

Phương trình bậc hai rất dễ giải. Theo công thức và quy tắc rõ ràng, đơn giản. Ở giai đoạn đầu cần thiết phương trình đã cho dẫn đến chế độ xem chuẩn, tức là đến dạng:

Nếu phương trình đã được cung cấp cho bạn ở dạng này, thì bạn không cần phải thực hiện giai đoạn đầu tiên.) Điều chính là xác định chính xác tất cả các hệ số, MỘT, b Và c.

Công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai trông như sau:

Biểu thức dưới dấu gốc được gọi là phân biệt đối xử. Nhưng nhiều hơn về anh ấy dưới đây. Như bạn có thể thấy, để tìm X, chúng tôi sử dụng chỉ có a, b và c. Những thứ kia. các hệ số từ phương trình bậc hai. Chỉ cần cẩn thận thay thế các giá trị a, b và c Chúng tôi tính toán vào công thức này. Hãy thay thế với những dấu hiệu của riêng bạn! Ví dụ: trong phương trình:

MỘT =1; b = 3; c= -4. Ở đây chúng tôi viết nó ra:

Ví dụ gần như đã được giải quyết:

Đây là câu trả lời.

Nó rất đơn giản. Và bạn nghĩ rằng không thể phạm sai lầm? Vâng, vâng, làm thế nào...

Những lỗi phổ biến nhất là nhầm lẫn với các giá trị ký hiệu a, b và c. Hay đúng hơn, không phải với các dấu hiệu của họ (bị nhầm lẫn ở đâu?), mà bằng sự thay thế giá trị âm vào công thức tính căn. Điều hữu ích ở đây là bản ghi chi tiết công thức với con số cụ thể. Nếu có vấn đề về tính toán, làm điều đó!

Giả sử chúng ta cần giải ví dụ sau:

Đây Một = -6; b = -5; c = -1

Giả sử bạn biết rằng bạn hiếm khi nhận được câu trả lời ngay lần đầu tiên.

Đừng lười biếng. Sẽ mất khoảng 30 giây để viết thêm một dòng Và số lỗi. sẽ giảm mạnh. Vì vậy, chúng tôi viết chi tiết, với tất cả các dấu ngoặc và dấu hiệu:

Có vẻ như rất khó để viết ra một cách cẩn thận. Nhưng nó chỉ có vẻ như vậy. Hãy thử xem. Vâng, hoặc chọn. Cái nào tốt hơn, nhanh hay đúng?

Ngoài ra, tôi sẽ làm cho bạn hạnh phúc. Sau một thời gian, sẽ không cần thiết phải viết ra mọi thứ một cách cẩn thận như vậy nữa. Nó sẽ tự giải quyết được thôi. Đặc biệt nếu bạn sử dụng các kỹ thuật thực tế được mô tả dưới đây. Ví dụ xấu xa này với hàng loạt nhược điểm có thể được giải quyết một cách dễ dàng và không có sai sót!

Tuy nhiên, thông thường, các phương trình bậc hai trông hơi khác một chút. Ví dụ như thế này: Bạn có nhận ra nó không?) Có! Cái này.

phương trình bậc hai không đầy đủ

Giải phương trình bậc hai không đầy đủ. a, b và c.

Chúng cũng có thể được giải bằng công thức tổng quát. Bạn chỉ cần hiểu chính xác chúng bằng nhau ở đây là gì. Bạn đã tìm ra nó chưa? Trong ví dụ đầu tiên a = 1; b = -4; c MỘT ? Nó hoàn toàn không có ở đó! Vâng, đúng vậy. Trong toán học điều này có nghĩa là c = 0 ! Thế thôi. Thay thế số 0 vào công thức c, và chúng ta sẽ thành công. Tương tự với ví dụ thứ hai. Chỉ có chúng tôi không có số không ở đây Với b !

Nhưng các phương trình bậc hai không đầy đủ có thể được giải đơn giản hơn nhiều. Không có bất kỳ công thức nào. Hãy xem xét điều đầu tiên phương trình không đầy đủ. Bạn có thể làm gì ở phía bên trái? Bạn có thể bỏ X ra khỏi ngoặc! Hãy lấy nó ra.

Vậy còn điều này thì sao? Và thực tế là tích bằng 0 khi và chỉ khi bất kỳ thừa số nào bằng 0! Không tin tôi? Được rồi, sau đó nghĩ ra hai số khác 0 mà khi nhân với nhau sẽ bằng 0!
Không hoạt động? Thế thôi...
Vì vậy, chúng ta có thể tự tin viết: x 1 = 0, x 2 = 4.

Tất cả. Đây sẽ là gốc rễ của phương trình của chúng tôi. Cả hai đều phù hợp. Khi thay bất kỳ chúng nào vào phương trình ban đầu, chúng ta sẽ nhận được đẳng thức đúng 0 = 0. Như bạn có thể thấy, cách giải đơn giản hơn nhiều so với việc sử dụng công thức tổng quát. Nhân tiện, hãy để tôi lưu ý X nào sẽ là X đầu tiên và X nào sẽ là X thứ hai - hoàn toàn không quan tâm. Viết theo thứ tự thì thuận tiện x 1- cái gì nhỏ hơn và x 2- cái đó lớn hơn.

Phương trình thứ hai cũng có thể được giải một cách đơn giản. Di chuyển số 9 sang bên phải. Chúng tôi nhận được:

Tất cả những gì còn lại là trích xuất gốc từ 9, thế là xong. Nó sẽ bật ra:

Cũng có hai gốc . x 1 = -3, x 2 = 3.

Đây là cách giải tất cả các phương trình bậc hai không đầy đủ. Hoặc bằng cách đặt X ra khỏi ngoặc hoặc đơn giản là di chuyển số sang bên phải và sau đó trích xuất gốc.
Rất khó để nhầm lẫn các kỹ thuật này. Đơn giản vì trong trường hợp đầu tiên, bạn sẽ phải trích xuất gốc của X, điều này không thể hiểu được, còn trong trường hợp thứ hai thì không có gì để lấy ra khỏi ngoặc cả...

Phân biệt đối xử. Công thức phân biệt.

Lời kỳ diệu phân biệt đối xử ! Hiếm có học sinh trung học nào lại không nghe thấy từ này! Cụm từ “chúng tôi giải quyết bằng cách phân biệt đối xử” truyền cảm hứng cho sự tự tin và yên tâm. Bởi vì không cần phải mong chờ những thủ đoạn từ kẻ phân biệt đối xử! Nó rất đơn giản và không gặp rắc rối khi sử dụng.) Tôi nhắc bạn nhiều nhất công thức tổng quátđể giải quyết bất kì phương trình bậc hai:

Biểu thức dưới dấu gốc được gọi là phân biệt đối xử. Thông thường, yếu tố phân biệt được biểu thị bằng chữ cái D. Công thức phân biệt:

D = b 2 - 4ac

Và điều gì đáng chú ý ở biểu hiện này? Tại sao nó xứng đáng có một cái tên đặc biệt? Cái gì ý nghĩa của sự phân biệt đối xử? Rốt cuộc -b, hoặc 2a trong công thức này họ không gọi nó là gì cả... Chữ cái và chữ cái.

Đây là điều Khi giải phương trình bậc hai bằng công thức này, có thể chỉ có ba trường hợp.

1. Người phân biệt đối xử là tích cực.Điều này có nghĩa là gốc có thể được trích xuất từ ​​​​nó. Việc lấy gốc tốt hay kém lại là một câu hỏi khác. Điều quan trọng là những gì được trích xuất về nguyên tắc. Khi đó phương trình bậc hai của bạn có hai nghiệm. Hai giải pháp khác nhau.

2. Phân biệt đối xử bằng không. Sau đó, bạn sẽ có một giải pháp. Vì việc cộng hoặc trừ số 0 ở tử số không thay đổi gì cả. Nói đúng ra, đây không phải là một gốc, mà là hai giống hệt nhau. Nhưng, trong phiên bản đơn giản hóa, người ta thường nói về một giải pháp.

3. Người phân biệt đối xử là tiêu cực. Căn bậc hai của số âm không thể được lấy. Ồ, được rồi. Điều này có nghĩa là không có giải pháp.

Thành thật mà nói, khi giải pháp đơn giản phương trình bậc hai, khái niệm phân biệt không đặc biệt cần thiết. Chúng ta thay giá trị của các hệ số vào công thức và đếm. Mọi việc tự nó diễn ra ở đó, có hai gốc rễ, một và không có gốc rễ nào cả. Tuy nhiên, khi giải quyết thêm nhiệm vụ khó khăn, không có kiến ​​thức ý nghĩa và công thức của biệt thức không thể đi qua được. Đặc biệt là trong các phương trình có tham số. Những phương trình như vậy là nhào lộn trên không cho kỳ thi cấp bang và kỳ thi cấp bang thống nhất!)

Vì thế, cách giải phương trình bậc hai thông qua sự phân biệt đối xử mà bạn đã nhớ. Hoặc bạn đã học, điều đó cũng không tệ.) Bạn biết cách xác định chính xác a, b và c. Bạn có biết làm thế nào không? chăm chú thay thế chúng vào công thức gốc và chăm chúđếm kết quả. Bạn có hiểu điều đó không? từ khóaĐây - chăm chú?

Bây giờ hãy lưu ý đến các kỹ thuật thực tế giúp giảm đáng kể số lỗi. Cũng là do thiếu chú ý... Mà sau này lại đau đớn và khó chịu...

Cuộc hẹn đầu tiên . Đừng lười biếng trước khi giải phương trình bậc hai và đưa nó về dạng chuẩn. Điều này có nghĩa là gì?
Giả sử rằng sau tất cả các phép biến đổi, bạn nhận được phương trình sau:

Đừng vội viết công thức gốc! Bạn gần như chắc chắn sẽ nhận được tỷ lệ cược lẫn lộn a, b và c. Xây dựng ví dụ một cách chính xác. Đầu tiên, X bình phương, sau đó không bình phương, sau đó là số hạng tự do. Như thế này:

Và một lần nữa, đừng vội vàng! Một dấu trừ đứng trước bình phương X có thể thực sự làm bạn khó chịu. Thật dễ dàng để quên... Hãy loại bỏ điểm trừ. Làm sao? Có, như đã dạy ở chủ đề trước! Chúng ta cần nhân toàn bộ phương trình với -1. Chúng tôi nhận được:

Nhưng bây giờ bạn có thể viết ra công thức nghiệm một cách an toàn, tính phân biệt và hoàn thành việc giải ví dụ. Quyết định cho chính mình.

Bây giờ bạn sẽ có gốc 2 và -1. Tiếp nhận thứ hai. Kiểm tra rễ! Theo định lý Vieta. Đừng sợ, tôi sẽ giải thích mọi chuyện! Kiểm tra cuối cùng phương trình. Những thứ kia. cái mà chúng ta đã sử dụng để viết ra công thức gốc. Nếu (như trong ví dụ này) hệ số một = 1 , việc kiểm tra rễ rất dễ dàng. Chỉ cần nhân chúng lên là đủ. Kết quả phải là thành viên miễn phí, tức là. trong trường hợp của chúng tôi -2. Xin lưu ý, không phải 2, mà là -2! Thành viên miễn phí với dấu hiệu của bạn

. Nếu nó không thành công, điều đó có nghĩa là họ đã làm hỏng việc ở đâu đó. Hãy tìm lỗi. b Nếu nó hoạt động, bạn cần thêm rễ. Kiểm tra cuối cùng và cuối cùng. Hệ số phải là đối diện thân thuộc. Trong trường hợp của chúng tôi -1+2 = +1. một hệ số b, đứng trước X, bằng -1. Vì vậy, mọi thứ đều chính xác!
Thật đáng tiếc là điều này chỉ đơn giản đối với các ví dụ trong đó x bình phương là thuần túy, có hệ số một = 1. Nhưng ít nhất hãy kiểm tra các phương trình như vậy! Tất cả ít lỗi hơn sẽ.

Lễ tân thứ ba . Nếu phương trình của bạn có tỷ lệ cược phân số, - loại bỏ phân số! Nhân phương trình với mẫu số chung, như đã trình bày trong bài “Cách giải phương trình? Phép biến đổi giống hệt nhau”. Khi làm việc với phân số, vì lý do nào đó, lỗi luôn xuất hiện...

Nhân tiện, tôi đã hứa sẽ đơn giản hóa ví dụ xấu xa bằng một loạt điểm trừ. Vui lòng! Anh ấy đây.

Để không bị nhầm lẫn bởi các điểm trừ, chúng ta nhân phương trình với -1. Chúng tôi nhận được:

Thế thôi! Giải quyết là một niềm vui!

Vì vậy, hãy tóm tắt chủ đề.

Lời khuyên thiết thực:

1. Trước khi giải, ta đưa phương trình bậc hai về dạng chuẩn và xây dựng nó Phải.

2. Nếu có hệ số âm phía trước bình phương X, chúng ta loại bỏ nó bằng cách nhân toàn bộ phương trình với -1.

3. Nếu các hệ số là phân số, chúng ta loại bỏ các phân số bằng cách nhân toàn bộ phương trình với hệ số tương ứng.

4. Nếu x bình phương là thuần thì hệ số của nó bằng một, nghiệm có thể được kiểm chứng dễ dàng bằng định lý Vieta. Làm đi!

Bây giờ chúng ta có thể quyết định.)

Giải phương trình:

8x2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Câu trả lời (hỗn loạn):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - bất kỳ số nào

x 1 = -3
x 2 = 3

không có giải pháp

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Mọi thứ có phù hợp không? Tuyệt vời! Phương trình bậc hai không phải là thứ của bạn đau đầu. Ba cái đầu tiên có tác dụng, nhưng cái còn lại thì không? Khi đó vấn đề không nằm ở phương trình bậc hai. Vấn đề nằm ở sự biến đổi giống hệt nhau của các phương trình. Hãy xem liên kết, nó hữu ích.

Không ổn lắm à? Hoặc nó không hoạt động chút nào? Sau đó Mục 555 sẽ giúp bạn. Tất cả những ví dụ này được chia nhỏ ở đó. Đã hiển thị chủ yếu những sai sót trong giải pháp. Tất nhiên, nó cũng nói về việc sử dụng chuyển đổi danh tính trong việc giải các phương trình khác nhau. Giúp ích rất nhiều!

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Tôi hy vọng sau khi nghiên cứu bài viết này, bạn sẽ học cách tìm nghiệm của một phương trình bậc hai hoàn chỉnh.

Bằng cách sử dụng phân biệt, chỉ các phương trình bậc hai đầy đủ mới được giải; để giải các phương trình bậc hai không đầy đủ, các phương pháp khác được sử dụng, bạn sẽ tìm thấy trong bài viết “Giải phương trình bậc hai không đầy đủ”.

Những phương trình bậc hai nào được gọi là hoàn chỉnh? Cái này phương trình dạng ax 2 + b x + c = 0, trong đó các hệ số a, b và c không bằng 0. Vì vậy, để giải một phương trình bậc hai hoàn chỉnh, chúng ta cần tính phân biệt D.

D = b 2 – 4ac.

Tùy thuộc vào giá trị của biệt thức, chúng ta sẽ viết ra câu trả lời.

Nếu người phân biệt đối xử số âm(D< 0),то корней нет.

Nếu biệt thức bằng 0 thì x = (-b)/2a. Khi biệt thức là số dương (D > 0),

thì x 1 = (-b - √D)/2a, và x 2 = (-b + √D)/2a.

Ví dụ. Giải phương trình x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Trả lời: 2.

Giải phương trình 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Trả lời: không có rễ.

Giải phương trình 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Trả lời: – 3,5; 1.

Vì vậy, hãy tưởng tượng giải phương trình bậc hai hoàn chỉnh bằng sơ đồ trong Hình 1.

Sử dụng các công thức này, bạn có thể giải bất kỳ phương trình bậc hai hoàn chỉnh nào. Bạn chỉ cần cẩn thận để phương trình được viết dưới dạng đa thức có dạng chuẩn

MỘT x 2 + bx + c, nếu không bạn có thể mắc sai lầm. Ví dụ, khi viết phương trình x + 3 + 2x 2 = 0, bạn có thể quyết định nhầm rằng

a = 1, b = 3 và c = 2. Khi đó

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 và khi đó phương trình có hai nghiệm. Và điều này không đúng. (Xem giải pháp cho ví dụ 2 ở trên).

Do đó, nếu phương trình không được viết dưới dạng đa thức dạng chuẩn thì trước tiên phương trình bậc hai hoàn chỉnh phải được viết dưới dạng đa thức dạng chuẩn (đơn thức có số mũ lớn nhất phải đứng trước, tức là MỘT x 2 , thì với ít hơn – bx và sau đó là thành viên miễn phí Với.

Khi giải phương trình bậc hai rút gọn và phương trình bậc hai có hệ số chẵn ở số hạng thứ hai, bạn có thể sử dụng các công thức khác. Hãy làm quen với các công thức này. Nếu trong một phương trình bậc hai hoàn chỉnh, số hạng thứ hai có hệ số chẵn (b = 2k), thì bạn có thể giải phương trình bằng cách sử dụng các công thức hiển thị trong sơ đồ ở Hình 2.

Một phương trình bậc hai hoàn chỉnh được gọi là rút gọn nếu hệ số tại x 2 bằng một và phương trình có dạng x 2 + px + q = 0. Phương trình như vậy có thể được đưa ra để giải hoặc có thể thu được bằng cách chia tất cả các hệ số của phương trình cho hệ số MỘT, đứng ở x 2 .

Hình 3 thể hiện sơ đồ giải bình phương rút gọn
phương trình. Hãy xem một ví dụ về việc áp dụng các công thức được thảo luận trong bài viết này.

Ví dụ. Giải phương trình

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Hãy giải phương trình này bằng cách sử dụng các công thức thể hiện trong sơ đồ ở Hình 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Đáp án: –1 – √3; –1 + √3

Bạn có thể nhận thấy rằng hệ số của x trong phương trình này số chẵn, tức là b = 6 hoặc b = 2k, từ đó k = 3. Sau đó, chúng ta thử giải phương trình bằng các công thức cho trong giản đồ hình D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Đáp án: –1 – √3; –1 + √3. Nhận thấy tất cả các hệ số trong phương trình bậc hai này đều chia hết cho 3 và thực hiện phép chia, ta được phương trình bậc hai rút gọn x 2 + 2x – 2 = 0 Giải phương trình này bằng cách sử dụng các công thức cho phương trình bậc hai rút gọn
phương trình hình 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Đáp án: –1 – √3; –1 + √3.

Như chúng ta thấy, khi giải phương trình này bằng công thức khác nhau chúng tôi đã nhận được câu trả lời tương tự. Do đó, khi đã nắm vững kỹ lưỡng các công thức hiển thị trong sơ đồ ở Hình 1, bạn sẽ luôn có thể giải được bất kỳ phương trình bậc hai hoàn chỉnh nào.

website, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết tới nguồn gốc.

Phương trình bậc hai thường xuất hiện khi giải nhiệm vụ khác nhau vật lý và toán học. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét cách giải các đẳng thức này một cách phổ quát"thông qua sự phân biệt đối xử". Ví dụ về việc sử dụng kiến ​​​​thức thu được cũng được đưa ra trong bài viết.

Chúng ta sẽ nói về những phương trình nào?

Hình dưới đây thể hiện một công thức trong đó x là một biến chưa biết và ký tự Latin a, b, c đại diện cho một số số đã biết.

Mỗi ký hiệu này được gọi là một hệ số. Như bạn có thể thấy, số "a" xuất hiện trước biến x bình phương. Cái này mức độ tối đa biểu thức đã cho nên nó được gọi là phương trình bậc hai. Tên khác của nó thường được sử dụng: phương trình bậc hai. Giá trị của chính nó là hệ số bình phương(đứng ở biến bình phương), b là hệ số tuyến tính(nó nằm cạnh biến lũy thừa bậc một), cuối cùng số c là số hạng tự do.

Lưu ý rằng dạng phương trình thể hiện trong hình trên là dạng cổ điển tổng quát biểu thức bậc hai. Ngoài ra, còn có các phương trình bậc hai khác trong đó hệ số b và c có thể bằng 0.

Khi nhiệm vụ được đặt ra để giải quyết đẳng thức đang được đề cập, điều này có nghĩa là cần phải tìm ra các giá trị như vậy của biến x để thỏa mãn nó. Điều đầu tiên bạn cần nhớ ở đây là điều tiếp theo: vì lũy thừa cực đại của X là 2 nên loại này biểu thức không thể có nhiều hơn 2 nghiệm. Điều này có nghĩa là nếu khi giải một phương trình tìm thấy 2 giá trị của x thỏa mãn nó thì bạn có thể chắc chắn rằng không có số thứ 3 thay thế cho x thì đẳng thức cũng đúng. Các nghiệm của một phương trình trong toán học được gọi là nghiệm của nó.

Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Việc giải các phương trình loại này đòi hỏi phải có kiến ​​thức về một số lý thuyết về chúng. TRONG khóa họcđại số xét 4 nhiều phương pháp khác nhau giải pháp. Hãy liệt kê chúng:

• sử dụng hệ số hóa;
• sử dụng công thức tính hình vuông hoàn hảo;
• bằng cách áp dụng đồ thị của hàm bậc hai tương ứng;
• sử dụng phương trình phân biệt.

Ưu điểm của phương pháp đầu tiên là tính đơn giản, tuy nhiên, nó không thể được sử dụng cho tất cả các phương trình. Phương pháp thứ hai là phổ biến, nhưng hơi cồng kềnh. Phương pháp thứ ba nổi bật bởi sự rõ ràng của nó, nhưng không phải lúc nào cũng thuận tiện và có thể áp dụng được. Và cuối cùng, sử dụng phương trình phân biệt là một cách phổ biến và khá đơn giản để tìm nghiệm của bất kỳ phương trình bậc hai nào. Vì vậy, trong bài viết này chúng tôi sẽ chỉ xem xét nó.

Công thức tìm nghiệm nguyên của phương trình

Hãy chuyển sang ngoại hình chung phương trình bậc hai. Hãy viết nó ra: a*x²+ b*x + c =0. Trước khi sử dụng phương pháp giải “thông qua phân biệt”, bạn phải luôn đưa đẳng thức về dạng viết. Nghĩa là, nó phải bao gồm ba số hạng (hoặc ít hơn nếu b hoặc c bằng 0).

Ví dụ: nếu có một biểu thức: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², thì trước tiên bạn nên di chuyển tất cả các số hạng của nó sang một vế của đẳng thức và thêm các số hạng chứa biến x vào quyền hạn như nhau.

TRONG trong trường hợp này thao tác này sẽ dẫn đến biểu thức sau: -6*x²-4*x+8=0, tương đương với phương trình 6*x²+4*x-8=0 (ở đây chúng ta nhân vế trái và vế phải của đẳng thức bằng -1).

Trong ví dụ trên, a = 6, b=4, c=-8. Lưu ý rằng tất cả các số hạng của đẳng thức đang xét luôn được tính tổng với nhau, vì vậy nếu dấu “-” xuất hiện, điều này có nghĩa là hệ số tương ứng là âm, giống như số c trong trường hợp này.

Sau khi xem xét điểm này, bây giờ chúng ta hãy chuyển sang chính công thức, công thức này giúp chúng ta có thể tìm ra nghiệm của phương trình bậc hai. Nó trông giống như cái được hiển thị trong bức ảnh dưới đây.

Như có thể thấy từ biểu thức này, nó cho phép bạn có được hai nghiệm (chú ý đến dấu “±”). Để làm được điều này, chỉ cần thay các hệ số b, c và a vào đó là đủ.

Khái niệm về sự phân biệt đối xử

TRONG đoạn trước một công thức đã được đưa ra cho phép bạn giải nhanh bất kỳ phương trình bậc hai nào. Trong đó, biểu thức căn thức được gọi là phân biệt, tức là D = b2-4*a*c.

Tại sao phần này của công thức lại được đánh dấu và thậm chí nó còn có tên riêng? Thực tế là phân biệt đối xử kết nối cả ba hệ số của phương trình thành một biểu thức duy nhất. Sự thật cuối cùng có nghĩa là nó mang đầy đủ thông tin về các gốc, có thể được thể hiện trong danh sách sau:

1. D>0: Phương trình có 2 nghiệm khác nhau, đều là số thực.
2. D=0: Phương trình chỉ có một nghiệm và là số thực.

Nhiệm vụ xác định phân biệt

Hãy đưa ra một ví dụ đơn giản về cách tìm một người phân biệt đối xử. Giả sử đẳng thức sau: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Đưa nó về dạng chuẩn, ta được: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, từ đó ta đi đến đẳng thức : -2*x² +2*x-11 = 0. Ở đây a=-2, b=2, c=-11.

Bây giờ bạn có thể sử dụng công thức trên để phân biệt: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Số kết quả là câu trả lời cho nhiệm vụ. Vì trong ví dụ phân biệt nhỏ hơn 0 nên chúng ta có thể nói rằng phương trình bậc hai này không có rễ thật. Giải pháp của nó sẽ chỉ là số loại phức tạp.

Một ví dụ về sự bất bình đẳng thông qua phân biệt đối xử

Hãy giải các bài toán hơi khác một chút: cho đẳng thức -3*x²-6*x+c = 0. Cần tìm các giá trị của c sao cho D>0.

Trong trường hợp này, chỉ có 2 trong 3 hệ số được biết nên không thể tính giá trị chính xác của biệt thức mà được biết là dương. Chúng ta sử dụng dữ kiện cuối cùng khi soạn bất đẳng thức: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Giải bất đẳng thức thu được sẽ có kết quả: c>-3.

Hãy kiểm tra số kết quả. Để làm điều này, chúng tôi tính D cho 2 trường hợp: c=-2 và c=-4. Số -2 thỏa mãn kết quả thu được (-2>-3), biệt thức tương ứng sẽ có giá trị: D = 12>0. Ngược lại, số -4 không thỏa mãn bất đẳng thức (-4. Như vậy, số c nào lớn hơn -3 sẽ thỏa mãn điều kiện.

Một ví dụ về giải phương trình

Chúng ta hãy trình bày một vấn đề không chỉ liên quan đến việc tìm ra biệt thức mà còn cả việc giải phương trình. Cần phải tìm nghiệm của đẳng thức -2*x²+7-9*x = 0.

Trong ví dụ này, phân biệt bằng giá trị sau: D = 81-4*(-2)*7= 137. Khi đó, nghiệm của phương trình được xác định như sau: x = (9±√137)/(- 4). Cái này giá trị chính xác các căn, nếu tính căn gần đúng thì ta được các số: x = -5,176 và x = 0,676.

bài toán hình học

Chúng tôi sẽ giải quyết một vấn đề không chỉ đòi hỏi khả năng tính toán phân biệt mà còn cả việc áp dụng các kỹ năng tư duy trừu tượng và kiến ​​thức về cách viết phương trình bậc hai.

Bob có một chiếc chăn bông cỡ 5 x 4 mét. Cậu bé muốn khâu nó xung quanh toàn bộ chu vi dải liên tục từ vải đẹp. Dải này sẽ dày bao nhiêu nếu biết Bob có 10 m2 vải.

Giả sử dải vải có độ dày x m thì diện tích vải dọc theo cạnh dài của chăn sẽ là (5+2*x)*x, và vì có 2 cạnh dài nên ta có: 2*x *(5+2*x). Về mặt ngắn, diện tích của tấm vải được may sẽ là 4*x, vì có 2 mặt này nên ta được giá trị 8*x. Lưu ý rằng 2*x đã được thêm vào cạnh dài vì chiều dài của chăn tăng theo con số đó. Tổng diện tích vải may vào chăn là 10 m2. Do đó, chúng ta thu được đẳng thức: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Trong ví dụ này, giá trị phân biệt bằng: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Căn nguyên của nó là 22. Sử dụng công thức, chúng ta tìm được các nghiệm cần thiết: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Rõ ràng trong hai nghiệm chỉ có số 0,5 là phù hợp với điều kiện của bài toán.

Như vậy, dải vải Bob may vào chăn của mình sẽ rộng 50 cm.