Phương pháp trực tuyến về hệ số bất định với lời giải chi tiết. Phương pháp hệ số không chắc chắn

Phương pháp này có thể áp dụng để giảm thiểu các hàm đại số logic của số lượng biến bất kỳ.

Hãy xem xét trường hợp của ba biến. Hàm Boolean trong DNF có thể được biểu diễn dưới dạng tất cả các loại thuật ngữ liên hợp có thể được đưa vào DNF:

trong đó kО(0,1) là các hệ số. Phương pháp này bao gồm việc lựa chọn các hệ số sao cho DNF thu được là tối thiểu.

Nếu bây giờ chúng ta đặt tất cả các giá trị có thể có của các biến từ 000 đến 111, chúng ta sẽ có 2 n (2 3 = 8) phương trình để xác định các hệ số k:

Xem xét các tập hợp mà hàm nhận giá trị bằng 0, xác định các hệ số bằng 0 và gạch bỏ chúng khỏi các phương trình có vế phải chứa 1. Trong số các hệ số còn lại trong mỗi phương trình, một hệ số tương đương với một, hệ số này xác định sự kết hợp của cấp bậc thấp nhất. Các hệ số còn lại đều bằng 0. Vậy hệ số đơn vị k xác định dạng tối thiểu thích hợp.

Ví dụ. Giảm thiểu một chức năng nhất định

nếu biết các giá trị: ; ; ; ; ; ; ; .

Giải pháp.

Sau khi gạch bỏ các hệ số 0, chúng ta nhận được:

=1;

=1.

Ta hãy đánh đồng một hệ số tương ứng với sự kết hợp của hạng thấp nhất và biến bốn phương trình cuối thành 1, còn trong phương trình đầu tiên nên đánh đồng hệ số đó bằng 1. Các hệ số còn lại được đặt bằng 0.

Trả lời: loại hàm thu nhỏ.

Cần lưu ý rằng phương pháp hệ số không xác định có hiệu quả khi số lượng biến nhỏ và không vượt quá 5-6.

khối đa chiều

Chúng ta hãy xem xét biểu diễn đồ họa của một hàm dưới dạng khối lập phương nhiều chiều. Mỗi đỉnh N khối lập phương có thể được đặt tương ứng với thành phần của đơn vị.

Tập hợp con của các đỉnh được đánh dấu là ánh xạ lên N-khối chiều của hàm Boolean từ N các biến trong SDNF.

Để hiển thị chức năng từ N các biến được trình bày trong bất kỳ DNF nào thì cần phải thiết lập sự tương ứng giữa các điều kiện tối thiểu và các phần tử của nó. N-khối lập phương.

Một tiểu hạng cấp (n-1) có thể được coi là kết quả của việc dán hai tiểu hạng lại với nhau N-thứ hạng, tức là

TRÊN N-khối ba chiều, điều này tương ứng với việc thay thế hai đỉnh chỉ khác nhau về giá trị tọa độ x tôi, nối các đỉnh này với một cạnh (một cạnh được cho là bao phủ các đỉnh liên quan đến nó).

Vì vậy, các điều kiện nhỏ ( N Bậc -1) tương ứng với các cạnh của khối lập phương n chiều.

Tương tự, sự tương ứng của các điều kiện nhỏ ( N-2) khuôn mặt thứ tự N- khối lập phương có chiều, mỗi khối bao gồm bốn đỉnh (và bốn cạnh).

Yếu tố N-khối lập phương, đặc trưng bởi S phép đo được gọi là S-khối

Vậy các đỉnh là 0 khối, các cạnh là 1 khối, các mặt là 2 khối, v.v.

Tóm lại, chúng ta có thể nói rằng tiểu hạng ( n-S) xếp hạng trong DNF cho hàm N biến hiển thị S- mỗi khối một khối S-cube bao gồm tất cả các hình khối có kích thước thấp hơn chỉ được kết nối với các đỉnh của nó.

Ví dụ. Trong hình. đưa ra bản đồ

Ở đây các điều kiện tối thiểu và tương ứng với 1-khối ( S=3-2=1), và tiểu kỳ x 3 hiển thị thành 2 khối ( S=3-1=2).

Vì vậy, mọi DNF đều được ánh xạ tới N-khối lập phương có chiều tổng thể S-khối bao gồm tất cả các đỉnh tương ứng với các đơn vị cấu thành (khối 0).

Thành phần. Đối với các biến x 1,x 2,…x n sự biểu lộ được gọi là thành phần của đơn vị, và - thành phần của số 0 (có nghĩa là hoặc hoặc).

Thành phần của một (không) này chỉ biến thành một (không) với một tập hợp các giá trị biến tương ứng, điều này có được nếu tất cả các biến được lấy bằng một (không) và các phủ định của chúng bằng 0 (một).

Ví dụ: thành phần một tương ứng với tập hợp (1011) và thành phần 0 tương ứng với tập hợp (1011) và thành phần 0 - bộ (1001).

Vì SD(K)NF là một phần tách (kết hợp) của các thành phần của một (không), nên có thể lập luận rằng hàm Boolean mà nó đại diện f(x 1 , x 2 ,…,x n) chỉ chuyển thành một (không) đối với các tập hợp giá trị thay đổi x 1 , x 2 ,…,x n, tương ứng với các đồng phân này. Trên các bộ khác, hàm này chuyển thành 0 (một).

Phát biểu ngược lại cũng đúng, dựa trên cơ sở đó cách biểu diễn bất kỳ công thức nào dưới dạng công thức Hàm Boolean được chỉ định bởi bảng.

Để làm được điều này, cần viết các phân (liên) của các thành phần của một (không), tương ứng với các tập giá trị của các biến mà hàm lấy giá trị bằng một (không).

Ví dụ: một hàm được đưa ra bởi một bảng

tương ứng

Các biểu thức thu được có thể được chuyển đổi sang dạng khác dựa trên các thuộc tính của đại số logic.

Tuyên bố ngược lại cũng đúng: nếu một số bộ sưu tập S-cubes bao gồm tập hợp tất cả các đỉnh tương ứng với các giá trị đơn vị của hàm, sau đó phân cách tương ứng với các giá trị này S-cubes của miniterms là biểu thức của hàm này trong DNF.

Họ nói rằng một bộ sưu tập như vậy S-cubes (hoặc các thuật ngữ nhỏ tương ứng của chúng) tạo thành một lớp phủ của hàm. Mong muốn có một hình thức tối giản được hiểu một cách trực quan là việc tìm kiếm một lớp phủ như vậy, số lượng S-trong đó sẽ có ít hình khối hơn và kích thước của chúng S- hơn. Phạm vi bảo hiểm tương ứng với dạng tối thiểu được gọi là phạm vi bảo hiểm tối thiểu.

Ví dụ, đối với hàm Tại= lớp phủ phù hợp với một hình dạng không tối thiểu.

Xin chào tất cả các bạn thân mến!

Vâng, xin chúc mừng! Chúng ta đã đạt được nội dung chính một cách an toàn trong việc tích phân các phân số hữu tỷ - phương pháp hệ số bất định. Vĩ đại và hùng mạnh.) Sự uy nghiêm và quyền năng của Ngài là gì? Và nó nằm ở tính linh hoạt của nó. Nó có ý nghĩa để kiểm tra nó, phải không? Tôi cảnh báo bạn rằng sẽ có một số bài học về chủ đề này. Vì chủ đề rất dài và tài liệu cực kỳ quan trọng.)

Tôi sẽ nói ngay rằng trong bài học hôm nay (và cả những bài tiếp theo nữa), chúng ta sẽ không đề cập nhiều đến tích phân, nhưng... giải hệ phương trình tuyến tính! Vâng, vâng! Vì vậy, những ai gặp vấn đề với hệ thống, hãy lặp lại ma trận, định thức và phương pháp Cramer. Và đối với những đồng chí đang gặp khó khăn với ma trận, tệ nhất là tôi mong các bạn hãy làm mới trí nhớ của mình về ít nhất các phương pháp giải hệ “trường học” - phương pháp thay thế và phương pháp cộng/trừ theo từng số hạng.

Để bắt đầu làm quen, chúng ta hãy tua lại bộ phim một chút. Chúng ta hãy quay lại các bài học trước một cách ngắn gọn và phân tích tất cả các phân số mà chúng ta đã tích hợp trước đó. Trực tiếp, không có bất kỳ phương pháp hệ số không xác định nào! Đây rồi, những phân số này. Tôi sắp xếp chúng thành ba nhóm.

Nhóm 1

Trong mẫu số - hàm tuyến tính hoặc một mình hoặc ở một mức độ nào đó. Nói một cách dễ hiểu, mẫu số là sản phẩm giống hệt nhau dấu ngoặc đơn của biểu mẫu (Hà).

Ví dụ:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

Và vân vân. Nhân tiện, đừng để dấu ngoặc đơn làm bạn bối rối (4x+5) hoặc (2x+5) 3 với hệ số k bên trong. Về cốt lõi, đây vẫn là những dấu ngoặc đơn có dạng (Hà). Vì đây là điều tuyệt vời nhất k từ những dấu ngoặc như vậy bạn luôn có thể mang nó ra bên ngoài.

Như thế này:

Chỉ vậy thôi.) Và không quan trọng chính xác tử số là gì - chỉ cần dx hoặc một loại đa thức nào đó. Chúng tôi luôn mở rộng tử số theo lũy thừa của dấu ngoặc (x-a), biến phần lớn thành tổng của các phần nhỏ, đặt (nếu cần) dấu ngoặc đơn dưới vi phân và tích phân.

Nhóm 2

Những phân số này có điểm gì chung?

Và điểm chung là trong mọi mẫu số đều có tam thức bậc hairìu 2 + bx+ c. Nhưng không chỉ, cụ thể là trong một bản duy nhất. Và ở đây không quan trọng việc người phân biệt đối xử của anh ta là tích cực hay tiêu cực.

Những phân số như vậy luôn được tích phân theo một trong hai cách - bằng cách khai triển tử số thành lũy thừa của mẫu số hoặc bằng cách tách bình phương hoàn hảo trong mẫu số và sau đó thay thế biến. Tất cả phụ thuộc vào tích phân cụ thể.

Nhóm 3

Đây là những phân số tồi tệ nhất để tích hợp. Mẫu số chứa một tam thức bậc hai không thể phân tích được, và thậm chí đến mức N. Nhưng, một lần nữa, trong một bản duy nhất. Bởi vì, ngoài tam thức, mẫu số không có ước số nào khác. Các phân số như vậy đã được tích hợp trên . Trực tiếp hoặc giảm xuống sau khi cô lập bình phương hoàn hảo trong mẫu số và thay thế biến sau đó.

Tuy nhiên, thật không may, toàn bộ sự đa dạng phong phú của các phân số hữu tỷ không chỉ giới hạn ở ba nhóm được xem xét này.

Nhưng nếu mẫu số là khác biệt dấu ngoặc đơn? Ví dụ: một cái gì đó như:

(x-1)(x+1)(x+2)

Hoặc đồng thời một dấu ngoặc đơn (Hà) và một tam thức bậc hai, đại loại như (x-10)(x 2 -2x+17)? Và trong những trường hợp tương tự khác? Chính trong những trường hợp như vậy nó mới được giải cứu phương pháp hệ số bất định!

Tôi sẽ nói ngay: hiện tại chúng tôi sẽ chỉ làm việc với Chính xác trong phân số. Những người có mức tử số nhỏ hơn mức mẫu số. Cách xử lý phân số không chính xác được mô tả chi tiết trong Phân số. Cần phải chọn toàn bộ phần (đa thức). Bằng cách chia tử số cho mẫu số bằng một góc hoặc phân tích tử số - tùy ý bạn. Và thậm chí ví dụ được phân tích. Và bằng cách nào đó bạn sẽ tích phân đa thức. Không hề nhỏ chút nào.) Nhưng chúng ta cũng sẽ giải các ví dụ về phân số không đúng!

Và bây giờ chúng ta bắt đầu làm quen. Không giống như hầu hết các sách giáo khoa về toán cao cấp, chúng ta sẽ không bắt đầu làm quen với một lý thuyết khô khan và nặng nề về định lý cơ bản của đại số, định lý Bezout, về sự phân tích một phân số hữu tỉ thành tổng của phân số đơn giản nhất (sẽ nói thêm về các phân số này sau) và sự tẻ nhạt khác, nhưng chúng ta sẽ bắt đầu với một ví dụ đơn giản.

Ví dụ: chúng ta cần tìm tích phân không xác định sau:

Đầu tiên hãy nhìn vào tích phân. Mẫu số là tích của ba dấu ngoặc:

(x-1)(x+3)(x+5)

Và tất cả các dấu ngoặc khác biệt. Do đó, công nghệ cũ của chúng ta với việc mở rộng tử số thành lũy thừa của mẫu số lần này không còn hoạt động nữa: dấu ngoặc đơn nào cần được đánh dấu trong tử số? (x-1)? (x+3)? Nó không rõ ràng... Chọn một hình vuông hoàn chỉnh trong mẫu số cũng không phải là một ý tưởng hay: ở đó có một đa thức thứ bađộ (nếu bạn nhân tất cả các dấu ngoặc). Phải làm gì?

Khi nhìn vào phần của chúng ta, một ham muốn hoàn toàn tự nhiên nảy sinh... Không thể cưỡng lại được! Từ phần lớn của chúng tôi, mà khó chịu tích hợp, bằng cách nào đó tạo thành ba cái nhỏ. Ít nhất là như thế này:

Tại sao bạn nên tìm kiếm loài đặc biệt này? Và tất cả bởi vì ở dạng này, phân số ban đầu của chúng ta đã có thuận lợiđể hội nhập! Hãy tính mẫu số của từng phân số nhỏ và - chuyển tiếp.)

Thậm chí có thể có được sự phân hủy như vậy? Tin tốt! Định lý tương ứng trong toán học phát biểu – vâng, bạn có thể! Sự phân rã như vậy tồn tại và là duy nhất.

Nhưng có một vấn đề: các hệ số MỘT, TRONG Và VỚI Chúng tôi Tạm biệt chúng tôi không biết. Và bây giờ nhiệm vụ chính của chúng ta sẽ là xác định chúng. Tìm hiểu những chữ cái của chúng tôi bằng nhau MỘT, TRONG Và VỚI. Do đó tên - phương pháp không chắc chắn hệ số Hãy bắt đầu cuộc hành trình tuyệt vời của chúng tôi!

Vì vậy, chúng ta có sự bình đẳng khiến chúng ta nhảy múa:

Chúng ta hãy đưa cả ba phân số ở bên phải về mẫu số chung và cộng:

Bây giờ chúng ta có thể loại bỏ các mẫu số một cách an toàn (vì chúng giống nhau) và chỉ cần đánh đồng các tử số. Mọi thứ vẫn như thường lệ

Bước tiếp theo mở tất cả các dấu ngoặc(hệ số MỘT, TRONG Và VỚI Tạm biệt tốt hơn nên để nó ở bên ngoài):

Và bây giờ (quan trọng!) chúng ta sắp xếp toàn bộ cấu trúc của mình ở bên phải theo thâm niên bằng cấp: đầu tiên chúng ta thu thập tất cả các số hạng có x 2 thành một chồng, sau đó chỉ với x và cuối cùng, chúng ta thu thập các số hạng tự do. Trên thực tế, chúng ta chỉ đơn giản trình bày những cái tương tự và nhóm các số hạng theo lũy thừa của x.

Như thế này:

Bây giờ chúng ta hãy hiểu kết quả. Bên trái là đa thức ban đầu của chúng tôi. Bằng cấp thứ hai. Tử số của tích phân của chúng tôi. Ở bên phải nữa một số đa thức bậc hai. Mũi các hệ số chưa biết.Đẳng thức này phải có giá trị khi tất cả các giá trị hợp lệ của x. Các phân số ở bên trái và bên phải đều giống nhau (theo điều kiện của chúng ta)! Điều này có nghĩa là họ tử số và (tức là các đa thức của chúng ta) cũng giống nhau. Vì vậy, các hệ số ở cùng lũy thừa của x các đa thức này phải có hãy bình đẳng!

Chúng tôi bắt đầu với mức độ cao nhất. Từ quảng trường. Hãy xem chúng ta có loại hệ số nào X 2 trái và phải. Ở bên phải chúng ta có tổng các hệ số A+B+C, và bên trái là một deuce. Đây là cách phương trình đầu tiên của chúng tôi được sinh ra.

Chúng tôi viết ra:

A+B+C = 2

Ăn. Phương trình đầu tiên đã sẵn sàng.)

Tiếp theo, chúng ta đi theo một quỹ đạo giảm dần - chúng ta xét các số hạng có X lũy thừa bậc nhất. Bên phải tại X ta có 8A+4B+2C. Khỏe. Và chúng ta có gì với chữ X ở bên trái? Hm... Ở bên trái không có thuật ngữ nào có chữ X cả! Chỉ có 2x 2 - 3. Phải làm sao? Rất đơn giản! Điều này có nghĩa là hệ số của x ở bên trái là bằng không! Chúng ta có thể viết vế trái như thế này:

Và cái gì? Chúng ta có mọi quyền.) Do đó phương trình thứ hai có dạng như sau:

8 MỘT+4 B+2 C = 0

Vâng, đó thực tế là tất cả. Vẫn còn để đánh đồng các điều khoản miễn phí:

15A-5B-3C = -3

Trong một từ, các hệ số bằng nhau của cùng lũy thừa của x xảy ra theo sơ đồ sau:

Cả ba đẳng thức của chúng ta phải được thỏa mãn đồng thời. Do đó, chúng tôi tập hợp một hệ thống từ các phương trình đã viết của chúng tôi:

Hệ thống này không phải là khó nhất đối với một học sinh siêng năng - ba phương trình và ba ẩn số. Quyết định như bạn muốn. Bạn có thể sử dụng phương pháp Cramer thông qua các ma trận có định thức, bạn có thể sử dụng phương pháp Gauss, thậm chí bạn có thể sử dụng phép thay thế trường học thông thường.

Để bắt đầu, tôi sẽ giải hệ này theo cách mà các sinh viên văn hóa thường giải những hệ như vậy. Cụ thể là phương pháp Cramer.

Chúng tôi bắt đầu giải pháp bằng cách vẽ một ma trận hệ thống. Hãy để tôi nhắc bạn rằng ma trận này chỉ là một cái đĩa được tạo thành từ các hệ số cho ẩn số.

Đây là:

Trước hết hãy tính toán định thức của ma trận hệ thống. Hay nói tóm lại, yếu tố quyết định hệ thống. Nó thường được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp ∆ (“delta”):

Tuyệt vời, định thức hệ thống không bằng 0 (-48≠0) . Từ lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính, thực tế này có nghĩa là hệ thống của chúng ta nhất quán và có một giải pháp độc đáo.

Bước tiếp theo là tính toán yếu tố quyết định của ẩn số ∆A, ∆B, ∆C. Hãy để tôi nhắc bạn rằng mỗi định thức trong số ba định thức này được lấy từ định thức chính của hệ thống bằng cách thay thế các cột bằng các hệ số cho các ẩn số tương ứng bằng một cột chứa các số hạng tự do.

Vì vậy, chúng tôi tạo thành các yếu tố quyết định và tính toán:

Ở đây tôi sẽ không giải thích chi tiết kỹ thuật tính định thức bậc ba. Và đừng hỏi. Đây sẽ là một sự sai lệch hoàn toàn so với chủ đề.) Những người cùng chủ đề sẽ hiểu chúng ta đang nói về điều gì. Và có lẽ bạn đã đoán chính xác cách tôi tính ba yếu tố quyết định này.)

Thế là xong, mọi thứ đã sẵn sàng.)

Đây là cách sinh viên có văn hóa thường giải quyết các hệ thống. Nhưng... Không phải tất cả học sinh đều là bạn của những người vượt qua vòng loại. Không may thay. Đối với một số người, những khái niệm đơn giản về toán học cao cấp này vẫn tồn tại mãi mãi như khả năng đọc viết của người Trung Quốc và một con quái vật bí ẩn trong sương mù...

Chà, đặc biệt đối với những học sinh vô văn hóa như vậy, tôi đề xuất một giải pháp quen thuộc hơn - phương pháp loại bỏ tuần tự các ẩn số. Thực chất đây là phương pháp thay thế “trường phái” tiên tiến. Sẽ chỉ có nhiều bước hơn.) Nhưng bản chất là như nhau. Điều đầu tiên tôi sẽ làm là loại bỏ biến VỚI. Để làm điều này tôi sẽ bày tỏ VỚI từ phương trình đầu tiên và thay thế nó vào phương trình thứ hai và thứ ba:

Chúng tôi đơn giản hóa, mang đến những cái tương tự và có được một hệ thống mới, với hai chưa biết:

Bây giờ, trong hệ thống mới này, cũng có thể biểu diễn một trong các biến theo một biến khác. Nhưng những sinh viên chú ý nhất có thể sẽ nhận thấy rằng các hệ số đứng trước biến B – đối diện. Hai và trừ hai. Do đó, sẽ rất thuận tiện khi cộng cả hai phương trình lại với nhau để loại bỏ biến TRONG và chỉ để lại lá thư MỘT.

Chúng tôi thêm phần bên trái và bên phải, rút ngắn tinh thần 2B Và -2B và giải phương trình chỉ tương đối MỘT:

Ăn. Hệ số đầu tiên được tìm thấy: A = -1/24.

Xác định hệ số thứ hai TRONG. Ví dụ: từ phương trình trên:

Từ đây chúng tôi nhận được:

Tuyệt vời. Hệ số thứ hai cũng được tìm thấy: B = -15/8 . Vẫn còn một lá thư VỚI. Để xác định nó, chúng tôi sử dụng phương trình trên cùng, trong đó chúng tôi biểu thị nó thông qua MỘT Và TRONG:

Vì thế:

Vâng, đó là tất cả. Tỷ lệ cược không xác định được tìm thấy! Việc thông qua Cramer hay thông qua sự thay thế không thành vấn đề. Chủ yếu, Phải thành lập.)

Do đó, việc phân tích một phần lớn thành tổng nhỏ của chúng ta sẽ như sau:

Và đừng nhầm lẫn với các hệ số phân số thu được: trong quy trình này (phương pháp hệ số không xác định) đây là hiện tượng phổ biến nhất. :)

Bây giờ, chúng tôi khuyên bạn nên kiểm tra xem chúng tôi có tìm thấy các hệ số của mình một cách chính xác hay không MỘT, B Và VỚI. Vì vậy, bây giờ chúng ta lấy bản nháp và nhớ lại lớp tám - chúng ta cộng lại cả ba phân số nhỏ của mình.

Nếu chúng ta nhận được phần lớn ban đầu thì mọi thứ đều ổn. Không - điều đó có nghĩa là đánh tôi và tìm lỗi.

Mẫu số chung hiển nhiên sẽ là 24(x-1)(x+3)(x+5).

Đi thôi:

Đúng!!! Chúng tôi đã nhận được phần ban đầu. Đó là những gì cần phải được kiểm tra. Mọi thứ đang xôn xao. Vì vậy xin đừng đánh tôi.)

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại tích phân ban đầu của chúng ta. Đúng vậy, anh ấy đã không trở nên dễ dàng hơn chút nào trong thời gian này. Nhưng bây giờ phân số của chúng ta đã được phân tách thành tổng nhỏ, việc tích hợp nó đã trở thành một niềm vui thực sự!

Xem cho chính mình! Chúng ta chèn phần khai triển của chúng ta vào tích phân ban đầu.

Chúng tôi nhận được:

Chúng ta sử dụng các tính chất tuyến tính và chia tích phân lớn của chúng ta thành tổng của các tích phân nhỏ, đặt tất cả các hằng số bên ngoài dấu tích phân.

Chúng tôi nhận được:

Và ba tích phân nhỏ thu được đã dễ dàng được tính .

Chúng tôi tiếp tục tích hợp:

Chỉ vậy thôi.) Và trong bài học này, đừng hỏi tôi logarit trong đáp án đến từ đâu nhé! Ai còn nhớ thì biết và sẽ hiểu hết. Và đối với những người không nhớ, chúng tôi theo các liên kết. Tôi không chỉ đặt chúng ở đó.

Câu trả lời cuối cùng:

Đây là một bộ ba đẹp đẽ như vậy: ba logarit - một kẻ hèn nhát, một người dày dạn và một kẻ ngu ngốc. :) Và hãy thử đoán ngay câu trả lời khó như vậy nhé! Vâng, chỉ có phương pháp hệ số không xác định mới có ích.) Trên thực tế, chúng tôi đang xem xét vấn đề này vì mục đích này. Cái gì, như thế nào và ở đâu.

Là một bài tập rèn luyện, tôi khuyên bạn nên thực hành phương pháp và tích hợp phân số sau:

Hãy luyện tập, tìm tích phân, đừng thấy khó! Câu trả lời sẽ giống như thế này:

Phương pháp hệ số không xác định là một phương pháp mạnh mẽ. Nó tiết kiệm ngay cả trong tình huống vô vọng nhất, khi bạn vẫn chuyển đổi một phân số. Và ở đây một số độc giả chú ý và quan tâm có thể có một số câu hỏi:

- Phải làm gì nếu đa thức ở mẫu số không được phân tích thành nhân tử?

- Làm thế nào để tìm cách phân tích một phân số lớn thành tổng các phân số nhỏ? Dưới hình thức nào? Tại sao chính xác là cái này mà không phải cái kia?

- Khi khai triển mẫu số có nhiều thừa số thì phải làm sao? Hoặc dấu ngoặc có lũy thừa như (x-1) 2? Chúng ta nên tìm sự phân hủy ở dạng nào?

- Phải làm gì nếu ngoài dấu ngoặc đơn có dạng (x-a), mẫu số đồng thời chứa một tam thức bậc hai không phân giải được? Giả sử x 2 +4x+5? Chúng ta nên tìm sự phân hủy ở dạng nào?

Chà, đã đến lúc phải tìm hiểu kỹ xem chân mọc ra từ đâu. Trong các bài học tiếp theo.)

Phương pháp này có thể áp dụng để giảm thiểu các hàm đại số logic của số lượng biến bất kỳ.

trong đó kО(0,1) là các hệ số. Phương pháp này bao gồm việc lựa chọn các hệ số sao cho DNF thu được là tối thiểu.

Nếu bây giờ chúng ta đặt tất cả các giá trị có thể có của các biến từ 000 đến 111, chúng ta sẽ có 2 n (2 3 = 8) phương trình để xác định các hệ số k:

Ví dụ. Giảm thiểu một chức năng nhất định

nếu các giá trị được biết:
;
;
;
;
;
;
;
.

Giải pháp.

Sau khi gạch bỏ các hệ số 0, chúng ta nhận được:

=1;

=1.

Hãy đánh đồng hệ số với sự thống nhất , tương ứng với sự kết hợp của hạng thấp nhất và biến bốn phương trình cuối thành 1, và ở phương trình đầu tiên nên đánh đồng hệ số bằng 1 . Các hệ số còn lại được đặt bằng 0.

Trả lời: loại hàm thu nhỏ.

Cần lưu ý rằng phương pháp hệ số không xác định có hiệu quả khi số lượng biến nhỏ và không vượt quá 5-6.

khối đa chiều

Tập hợp con của các đỉnh được đánh dấu là ánh xạ lên N-khối chiều của hàm Boolean từ N các biến trong SDNF.

Cấp bậc tối thiểu (n-1)
có thể được coi là kết quả của việc dán hai tiểu kỳ N-thứ hạng, tức là

TRÊN N-khối ba chiều, điều này tương ứng với việc thay thế hai đỉnh chỉ khác nhau về giá trị tọa độ X Tôi, nối các đỉnh này với một cạnh (một cạnh được cho là bao phủ các đỉnh liên quan đến nó).

Vì vậy, các điều kiện nhỏ ( N Bậc -1) tương ứng với các cạnh của khối lập phương n chiều.

Tương tự, sự tương ứng của các điều kiện nhỏ ( N-2) khuôn mặt thứ tự N- khối lập phương có chiều, mỗi khối bao gồm bốn đỉnh (và bốn cạnh).

Yếu tố N-khối lập phương, đặc trưng bởi S phép đo được gọi là S-khối

Vậy các đỉnh là 0 khối, các cạnh là 1 khối, các mặt là 2 khối, v.v.

Tóm lại, chúng ta có thể nói rằng tiểu hạng ( n-S) xếp hạng trong DNF cho hàm N biến hiển thị S-khối, mỗi khối S-cube bao gồm tất cả các hình khối có kích thước thấp hơn chỉ được kết nối với các đỉnh của nó.

Ví dụ. Trong hình. đưa ra bản đồ

Dưới đây là các điều kiện nhỏ
Và
tương ứng với 1 khối ( S=3-2=1), và tiểu kỳ X 3 hiển thị thành 2 khối ( S=3-1=2).

Vì vậy, mọi DNF đều được ánh xạ tới N tổng số khối lập phương S-khối bao gồm tất cả các đỉnh tương ứng với các đơn vị cấu thành (khối 0).

Thành phần. Đối với các biến X 1 ,X 2 ,…X N sự biểu lộ
được gọi là thành phần của đơn vị, và
- thành phần của số 0 ( có nghĩa là hoặc , hoặc ).

Ví dụ: đơn vị cấu thành
tương ứng với tập hợp (1011) và thành phần bằng 0
- bộ (1001).

Vì SD(K)NF là một phần tách (kết hợp) của các thành phần của một (không), nên có thể lập luận rằng hàm Boolean mà nó đại diện f(x 1 , x 2 ,…, x N) chỉ chuyển thành một (không) đối với các tập hợp giá trị biến x 1 , x 2 ,…, x N, tương ứng với các đồng phân này. Trên các bộ khác, hàm này chuyển sang 0 (một).

Phát biểu ngược lại cũng đúng, dựa trên cơ sở đó cách biểu diễn bất kỳ công thức nào dưới dạng công thức Hàm Boolean được chỉ định bởi bảng.

Ví dụ: một hàm được đưa ra bởi một bảng

tương ứng

Các biểu thức thu được có thể được chuyển đổi sang dạng khác dựa trên các thuộc tính của đại số logic.

Ví dụ, đối với hàm Tại=
lớp phủ tương ứng với hình dạng không tối thiểu:

gạo a) Tại=,

một lớp phủ trên gạo b) Tại=
, gạo c) Tại=
tối thiểu.

Cơm. Phạm vi chức năng Tại=:

a) không tối thiểu; b), c) tối thiểu.

Hiển thị chức năng trên N-được đo lường rõ ràng và đơn giản bằng N3. Một khối lập phương bốn chiều có thể được mô tả như trong Hình., cho thấy hàm của bốn biến và độ bao phủ tối thiểu của nó tương ứng với biểu thức Tại=

Sử dụng phương pháp này khi N>4 đòi hỏi sự hình thành phức tạp đến mức nó mất đi mọi lợi thế.

Hàm hữu tỉ là một phân số có dạng, tử số và mẫu số của chúng là đa thức hoặc tích của đa thức.

Ví dụ 1. Bước 2.

Chúng tôi nhân các hệ số chưa xác định với các đa thức không nằm trong phân số riêng lẻ này mà nằm trong các phân số thu được khác:

Mở dấu ngoặc đơn và đánh đồng tử số của số nguyên ban đầu với biểu thức thu được:

Ở cả hai vế của đẳng thức, chúng ta tìm các số hạng có cùng lũy thừa của x và lập hệ phương trình từ chúng:

Chúng ta hủy bỏ tất cả x và nhận được hệ phương trình tương đương:

Do đó, khai triển cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản là:

Ví dụ 2. Bước 2.Ở bước 1, ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

Bây giờ chúng ta bắt đầu tìm kiếm các hệ số không chắc chắn. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng tử số của phân số ban đầu trong biểu thức hàm với tử số của biểu thức thu được sau khi quy tổng các phân số về mẫu số chung:

Bây giờ bạn cần tạo và giải một hệ phương trình. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng các hệ số của biến với bậc tương ứng trong tử số của biểu thức ban đầu của hàm và các hệ số tương tự trong biểu thức thu được ở bước trước:

Chúng tôi giải quyết hệ thống kết quả:

Vì vậy, từ đây

Ví dụ 3. Bước 2.Ở bước 1, ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

Chúng tôi bắt đầu tìm kiếm các hệ số không chắc chắn. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng tử số của phân số ban đầu trong biểu thức hàm với tử số của biểu thức thu được sau khi quy tổng các phân số về mẫu số chung:

Như trong các ví dụ trước, chúng ta soạn một hệ phương trình:

Chúng ta giảm x và thu được hệ phương trình tương đương:

Giải hệ ta thu được giá trị của các hệ số bất định như sau:

Chúng ta thu được phân tích cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

Ví dụ 4. Bước 2.Ở bước 1, ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

Chúng ta đã biết từ các ví dụ trước cách đánh đồng tử số của phân số ban đầu với biểu thức trong tử số thu được sau khi phân tích phân số thành tổng của các phân số đơn giản và đưa tổng này về mẫu số chung. Do đó, chỉ nhằm mục đích kiểm soát, chúng tôi trình bày hệ phương trình thu được:

Giải hệ ta thu được giá trị của các hệ số bất định như sau:

Chúng ta thu được phân tích cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

Ví dụ 5. Bước 2.Ở bước 1, ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

Chúng tôi độc lập giảm tổng này thành mẫu số chung, đánh đồng tử số của biểu thức này với tử số của phân số ban đầu. Kết quả sẽ là hệ phương trình sau:

Giải hệ ta thu được giá trị của các hệ số bất định như sau:

Chúng ta thu được phân tích cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

Ví dụ 6. Bước 2.Ở bước 1, ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

Chúng tôi thực hiện các hành động tương tự với số tiền này như trong các ví dụ trước. Kết quả sẽ là hệ phương trình sau:

Giải hệ ta thu được giá trị của các hệ số bất định như sau:

Chúng ta thu được phân tích cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

Ví dụ 7. Bước 2.Ở bước 1, ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

Sau một số hành động nhất định với số tiền thu được, sẽ thu được hệ phương trình sau:

Giải hệ ta thu được giá trị của các hệ số bất định như sau:

Chúng ta thu được phân tích cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

Ví dụ 8. Bước 2.Ở bước 1, ta thu được phân tích sau của phân số ban đầu thành tổng các phân số đơn giản có hệ số không xác định ở tử số:

Hãy thực hiện một số thay đổi đối với các hành động đã được chuyển sang chế độ tự động hóa để thu được hệ phương trình. Có một kỹ thuật nhân tạo mà trong một số trường hợp giúp tránh những tính toán không cần thiết. Đưa tổng các phân số về mẫu số chung, ta thu được và đánh đồng tử số của biểu thức này với tử số của phân số ban đầu, ta thu được.

Bình đẳng (I) là bản sắc. Chuyển nó về dạng số nguyên, chúng ta thu được đẳng thức của 2 đa thức. Nhưng sự bình đẳng như vậy luôn chỉ được thỏa mãn nếu các đa thức này bằng nhau từng số hạng.

Đánh đồng các hệ số của cùng lũy thừa của x ở vế trái và vế phải của đẳng thức, ta thu được hệ phương trình tuyến tính cho các hệ số chưa biết cần phải giải.

Vì khai triển (I) luôn tồn tại với bất kỳ phân số hữu tỷ thích hợp nào, nên hệ thu được luôn nhất quán.

Phương pháp tìm hệ số này gọi là phương pháp hệ số bất định (phương pháp so sánh các hệ số).

Chúng ta hãy đưa ra một ví dụ về việc phân tách hàm hữu tỷ thành các phân số cơ bản.

Ví dụ 6.6.27. Phân tích phân số thành các phân số cơ bản.

thay thế phương trình cuối cùng vào phương trình thứ hai

Như vậy,
.

x=2 ;

x=3 .

Nên; .

Phương pháp giá trị từng phần đòi hỏi ít lao động hơn và do đó đáng được quan tâm đặc biệt khi tích phân các phân số hữu tỉ.

Nếu nghiệm của mẫu số chỉ là số thực thì nên sử dụng phương pháp này để xác định các hệ số chưa biết.

Trong các trường hợp khác, cả hai phương pháp có thể được kết hợp để xác định các hệ số chưa biết.

Bình luận. Phương pháp giá trị từng phần cũng được sử dụng trong các trường hợp khác, nhưng ở đây danh tính phải được phân biệt.

Vì vậy, để tích phân các phân số hữu tỷ thích hợp, chỉ cần có khả năng:

1) tích hợp các phân số cơ bản;

2) phân tích các phân số hữu tỉ thành các phân số cơ bản.

3. Tích phân các phân số hữu tỉ

Sơ đồ tích phân các phân số hữu tỷ:

Để tích hợp các phân số hợp lý ;

Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức có hệ số thực, ba bước được thực hiện tuần tự.

Bước đầu tiên. Nếu phân số không đúng, tức là bậc của tử số P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số Q(x), hãy tách toàn bộ phần của phân số hữu tỷ bằng cách chia tử số cho mẫu số theo về quy tắc chia một đa thức cho một đa thức. Sau đó, phân số hữu tỉ có thể được viết dưới dạng tổng:

1) phần nguyên được chọn – đa thức M(x);

2) phần còn lại thích hợp :

Bước thứ hai.

Phần còn lại thích hợp phân hủy thành các phân số tiếp theo.

Để làm điều này, hãy tìm nghiệm của phương trình Q(x)=0 và phân tích mẫu số Q(x) thành thừa số bậc một và bậc hai với hệ số thực:

Trong việc khai triển mẫu số này, các thừa số bậc 1 tương ứng với các nghiệm thực và các thừa số bậc 2 tương ứng với các nghiệm liên hợp song song.

Hệ số cho bậc lớn hơn của x trong mẫu số Q(x) có thể được coi bằng 1, vì điều này luôn có thể đạt được bằng cách chia P(x) và Q(x) cho nó.

Sau đó, phần dư thích hợp được phân hủy thành các phân số đơn giản nhất (cơ bản).

Bước thứ ba. Tìm tích phân của phần nguyên đã chọn và tất cả các phân số cơ bản (sử dụng các phương pháp đã thảo luận ở trên), sau đó cộng chúng lại.

Ví dụ6.6.28.

Dưới dấu tích phân có một phân số hữu tỉ không đúng, vì bậc của tử số bằng bậc của mẫu số nên ta chọn phần nguyên.