Hãy bắt đầu với hình vuông yêu thích của chúng tôi.
Ví dụ 9
Bình phương một số phức
Ở đây bạn có thể làm theo hai cách, cách thứ nhất là viết lại bậc dưới dạng tích của các thừa số và nhân các số theo quy tắc nhân đa thức.
Phương pháp thứ hai là sử dụng công thức phổ biến của trường cho phép nhân viết tắt:
Đối với số phức, bạn có thể dễ dàng rút ra công thức nhân viết tắt của riêng mình:
Một công thức tương tự có thể được rút ra cho bình phương của hiệu, cũng như cho lập phương của tổng và lập phương của hiệu. Nhưng những công thức này phù hợp hơn với các bài toán phân tích phức tạp. Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn cần nâng một số phức lên lũy thừa 5, 10 hoặc 100? Rõ ràng là gần như không thể thực hiện được một thủ thuật như vậy ở dạng đại số, hãy nghĩ xem bạn sẽ giải một ví dụ như thế nào?
Và ở đây dạng lượng giác của số phức được giải cứu và cái gọi là Công thức Moivre: Nếu số phức được biểu diễn dưới dạng lượng giác thì khi lũy thừa tự nhiên, công thức sau là đúng:
Nó chỉ là thái quá.
Ví dụ 10
Cho một số phức, hãy tìm.
Nên làm gì? Đầu tiên bạn cần biểu diễn số này dưới dạng lượng giác. Những độc giả chú ý sẽ nhận thấy rằng trong Ví dụ 8 chúng ta đã thực hiện điều này:
Khi đó, theo công thức Moivre:
Xin Chúa cấm, bạn không cần phải tính toán trên máy tính, nhưng trong hầu hết các trường hợp, góc phải được đơn giản hóa. Làm thế nào để đơn giản hóa? Nói một cách hình tượng, bạn cần loại bỏ những lối rẽ không cần thiết. Một vòng quay là radian hoặc 360 độ. Hãy cùng tìm hiểu xem chúng ta có bao nhiêu lượt tranh luận. Để thuận tiện, chúng tôi thực hiện đúng phân số:, sau đó có thể thấy rõ rằng bạn có thể giảm một vòng:. Tôi hy vọng mọi người hiểu rằng đây là một góc độ giống nhau.
Vì vậy, câu trả lời cuối cùng sẽ được viết như thế này:
Một biến thể riêng biệt của bài toán lũy thừa là lũy thừa của các số thuần ảo.
Ví dụ 12
Nâng số phức lên lũy thừa
Ở đây cũng vậy, mọi thứ đều đơn giản, điều chính yếu là phải nhớ sự bình đẳng nổi tiếng.
Nếu đơn vị ảo được nâng lên lũy thừa chẵn thì kỹ thuật giải như sau:
Nếu đơn vị tưởng tượng được nâng lên lũy thừa lẻ, thì chúng ta “chặn bớt” một “và”, thu được lũy thừa chẵn:
Nếu có điểm trừ (hoặc bất kỳ hệ số thực nào) thì trước tiên phải tách nó ra:
Trích xuất rễ từ số phức. Phương trình bậc hai có nghiệm phức
Hãy xem một ví dụ:
Không giải nén được root? Nếu chúng ta đang nói về những con số thực thì điều đó thực sự là không thể. Có thể trích xuất gốc của số phức! Chính xác hơn, hai nguồn gốc:
Các nghiệm được tìm thấy có thực sự là nghiệm của phương trình không? Hãy kiểm tra:
Đó là những gì cần phải được kiểm tra.
Một ký hiệu viết tắt thường được sử dụng; cả hai gốc đều được viết trên một dòng dưới “cùng một chiếc lược”: .
Những rễ này còn được gọi là rễ phức liên hợp.
Tôi nghĩ mọi người đều hiểu cách trích căn bậc hai từ các số âm: ,,,, v.v. Hóa ra trong mọi trường hợp hai rễ phức hợp liên hợp.
Hãy bắt đầu với hình vuông yêu thích của chúng tôi.
Ví dụ 9
Bình phương một số phức
Ở đây bạn có thể làm theo hai cách, cách thứ nhất là viết lại bậc dưới dạng tích của các thừa số và nhân các số theo quy tắc nhân đa thức.
Phương pháp thứ hai là sử dụng công thức phổ biến của trường cho phép nhân viết tắt:
Đối với số phức, bạn có thể dễ dàng rút ra công thức nhân viết tắt của riêng mình:
Một công thức tương tự có thể được rút ra cho bình phương của hiệu, cũng như cho lập phương của tổng và lập phương của hiệu. Nhưng những công thức này phù hợp hơn với các bài toán phân tích phức tạp. Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn cần nâng một số phức lên lũy thừa 5, 10 hoặc 100? Rõ ràng là gần như không thể thực hiện được một thủ thuật như vậy ở dạng đại số, hãy nghĩ xem bạn sẽ giải một ví dụ như thế nào?
Và ở đây dạng lượng giác của số phức được giải cứu và cái gọi là Công thức Moivre: Nếu số phức được biểu diễn dưới dạng lượng giác thì khi lũy thừa tự nhiên, công thức sau là đúng:
Nó chỉ là thái quá.
Ví dụ 10
Cho một số phức, hãy tìm.
Nên làm gì? Đầu tiên bạn cần biểu diễn số này dưới dạng lượng giác. Những độc giả chú ý sẽ nhận thấy rằng trong Ví dụ 8 chúng ta đã thực hiện điều này:
Khi đó, theo công thức Moivre:
Xin Chúa cấm, bạn không cần phải tính toán trên máy tính, nhưng trong hầu hết các trường hợp, góc phải được đơn giản hóa. Làm thế nào để đơn giản hóa? Nói một cách hình tượng, bạn cần loại bỏ những lối rẽ không cần thiết. Một vòng quay là radian hoặc 360 độ. Hãy cùng tìm hiểu xem chúng ta có bao nhiêu lượt tranh luận. Để thuận tiện, chúng tôi thực hiện đúng phân số:, sau đó có thể thấy rõ rằng bạn có thể giảm một vòng:. Tôi hy vọng mọi người hiểu rằng đây là một góc độ giống nhau.
Vì vậy, câu trả lời cuối cùng sẽ được viết như thế này:
Một biến thể riêng biệt của bài toán lũy thừa là lũy thừa của các số thuần ảo.
Ví dụ 12
Nâng số phức lên lũy thừa
Ở đây cũng vậy, mọi thứ đều đơn giản, điều chính yếu là phải nhớ sự bình đẳng nổi tiếng.
Nếu đơn vị ảo được nâng lên lũy thừa chẵn thì kỹ thuật giải như sau:
Nếu đơn vị tưởng tượng được nâng lên lũy thừa lẻ, thì chúng ta “chặn bớt” một “và”, thu được lũy thừa chẵn:
Nếu có điểm trừ (hoặc bất kỳ hệ số thực nào) thì trước tiên phải tách nó ra:
Trích xuất rễ từ số phức. Phương trình bậc hai có nghiệm phức
Hãy xem một ví dụ:
Không giải nén được root? Nếu chúng ta đang nói về những con số thực thì điều đó thực sự là không thể. Có thể trích xuất gốc của số phức! Chính xác hơn, hai nguồn gốc:
Các nghiệm được tìm thấy có thực sự là nghiệm của phương trình không? Hãy kiểm tra:
Đó là những gì cần phải được kiểm tra.
Một ký hiệu viết tắt thường được sử dụng; cả hai gốc đều được viết trên một dòng dưới “cùng một chiếc lược”: .
Những rễ này còn được gọi là rễ phức liên hợp.
Tôi nghĩ mọi người đều hiểu cách trích căn bậc hai từ các số âm: ,,,, v.v. Hóa ra trong mọi trường hợp hai rễ phức hợp liên hợp.
Ví dụ 13
Giải phương trình bậc hai
Hãy tính phân biệt:
Phân biệt số âm và phương trình không có nghiệm ở số thực. Nhưng gốc có thể được trích xuất bằng số phức!
Sử dụng các công thức phổ biến của trường học, chúng ta thu được hai nghiệm: – nghiệm phức liên hợp
Do đó, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp:,
Bây giờ bạn có thể giải bất kỳ phương trình bậc hai nào!
Và nói chung, bất kỳ phương trình nào có đa thức bậc “n” đều có nghiệm bằng nhau, một số trong đó có thể phức tạp.
Một ví dụ đơn giản để bạn tự giải quyết:
Ví dụ 14
Tìm nghiệm của phương trình và phân tích nhị thức bậc hai thành nhân tử.
Việc phân tích nhân tử một lần nữa được thực hiện theo công thức tiêu chuẩn của trường.