Website “Gia sư Toán chuyên nghiệp” tiếp tục chuỗi bài viết về phương pháp giảng dạy. Tôi xuất bản các mô tả về phương pháp làm việc của mình với những nội dung phức tạp và phức tạp nhất. chủ đề có vấn đề chương trình giảng dạy của trường. Vật liệu này sẽ hữu ích cho giáo viên và gia sư môn toán làm việc với học sinh lớp 8-11 chương trình thường xuyên, và theo chương trình lớp toán.
Gia sư toán không phải lúc nào cũng có thể giải thích được những nội dung được trình bày kém trong sách giáo khoa. Thật không may, những chủ đề như vậy ngày càng nhiều và các lỗi trình bày theo tác giả của sách hướng dẫn đang xảy ra hàng loạt. Điều này không chỉ áp dụng cho gia sư dạy toán mới bắt đầu và gia sư bán thời gian (gia sư là sinh viên và gia sư đại học) mà còn áp dụng cho những giáo viên có kinh nghiệm, gia sư chuyên nghiệp, gia sư có kinh nghiệm và trình độ chuyên môn. Tài năng của một người sửa độ nhám thành thạo sách giáo khoa trường học Không phải gia sư toán nào cũng có được điều này. Không phải ai cũng hiểu rằng những sửa chữa (hoặc bổ sung) này là cần thiết. Rất ít trẻ tham gia vào việc điều chỉnh tài liệu cho phù hợp với nhận thức định tính của trẻ. Thật không may, thời gian đã trôi qua khi các giáo viên toán cùng với các nhà phương pháp luận và tác giả của các ấn phẩm thảo luận hàng loạt từng chữ trong sách giáo khoa. Trước đây, trước khi phát hành sách giáo khoa vào trường học, các phân tích và nghiên cứu nghiêm túc về kết quả học tập đã được thực hiện. Đã đến lúc những người nghiệp dư cố gắng phổ cập sách giáo khoa, điều chỉnh chúng theo tiêu chuẩn của các lớp toán giỏi.
Cuộc chạy đua để tăng lượng thông tin chỉ dẫn đến giảm chất lượng tiếp thu thông tin và do đó làm giảm mức độ tiếp thu thông tin. kiến thức thực sự trong toán học. Nhưng không ai chú ý đến điều này. Và con cái chúng tôi, đã học lớp 8, buộc phải học những gì chúng tôi đã học ở viện: lý thuyết xác suất, giải phương trình độ cao và một cái gì đó khác. Việc điều chỉnh tài liệu trong sách để trẻ có thể nhận thức đầy đủ còn nhiều điều chưa mong muốn và gia sư toán buộc phải giải quyết vấn đề này bằng cách nào đó.
Hãy nói về phương pháp giảng dạy một chủ đề cụ thể như “chia đa thức cho đa thức cho một góc”, được biết đến nhiều hơn trong toán học người lớn với tên “Định lý Bezout và sơ đồ Horner”. Chỉ cách đây vài năm, câu hỏi này không quá cấp bách đối với một gia sư dạy toán vì nó không nằm trong nội dung chính của môn toán. chương trình giảng dạy ở trường. Giờ đây, các tác giả đáng kính của cuốn sách giáo khoa do Telyakovsky biên tập đã thực hiện những thay đổi đối với ấn bản mới nhất của cuốn sách giáo khoa hay nhất, theo ý kiến của tôi, và làm hỏng nó hoàn toàn, chỉ tạo thêm những lo lắng không cần thiết cho gia sư. Giáo viên của các trường và lớp không có tư cách toán học, tập trung vào những đổi mới của tác giả, bắt đầu đưa các đoạn văn bổ sung vào bài học của mình thường xuyên hơn, và những đứa trẻ tò mò khi nhìn vào những trang sách giáo khoa toán đẹp đẽ của mình, ngày càng đặt câu hỏi nhiều hơn. gia sư: “Việc chia một góc là gì? Chúng ta sẽ trải qua chuyện này phải không? Làm thế nào để chia sẻ một góc? Không thể trốn tránh những câu hỏi trực tiếp như vậy nữa. Gia sư sẽ phải nói với đứa trẻ điều gì đó.
Làm sao? Có lẽ tôi đã không mô tả phương pháp làm việc với chủ đề này nếu nó được trình bày đúng trong sách giáo khoa. Mọi chuyện với chúng ta thế nào rồi? Sách giáo khoa cần được in và bán. Và để làm được điều này, chúng cần được cập nhật thường xuyên. Các giáo viên đại học có phàn nàn rằng trẻ em đến với họ với cái đầu trống rỗng, không có kiến thức và kỹ năng? Yêu cầu đối với kiến thức toán họcđang phát triển? Tuyệt vời! Hãy loại bỏ một số bài tập và thay vào đó chèn các chủ đề đã được nghiên cứu trong các chương trình khác. Tại sao sách giáo khoa của chúng ta tệ hơn? Hãy bật một số chương bổ sung. Học sinh không biết quy tắc chia góc? Đây là điều tương tự toán tiểu học. Đoạn này nên được đặt ở dạng tùy chọn, có tiêu đề “dành cho những ai muốn biết thêm”. Là gia sư chống lại nó? Tại sao chúng ta quan tâm đến gia sư nói chung? Các nhà phương pháp và giáo viên trường học cũng chống lại nó? Chúng tôi sẽ không làm phức tạp tài liệu và sẽ xem xét phần đơn giản nhất của nó.
Và đây là nơi nó bắt đầu. Sự đơn giản của chủ đề và chất lượng của việc tiếp thu nó trước hết nằm ở việc hiểu logic của nó chứ không phải ở việc thực hiện, theo hướng dẫn của tác giả sách giáo khoa, một tập hợp các thao tác nhất định không liên quan rõ ràng với nhau . Nếu không, sẽ có sương mù trong đầu học sinh. Nếu tính toán của tác giả dựa trên tương đối sinh viên mạnh mẽ(nhưng học chương trình thông thường) thì không nên trình bày chủ đề dưới dạng mệnh lệnh. Chúng ta thấy gì trong sách giáo khoa? Các con ơi, chúng ta phải chia theo quy tắc này. Lấy đa thức dưới góc. Như vậy đa thức ban đầu sẽ được phân tích thành nhân tử. Tuy nhiên, không rõ tại sao các số hạng dưới góc lại được chọn chính xác theo cách này, tại sao chúng phải được nhân với đa thức phía trên góc rồi trừ đi phần dư hiện tại. Và quan trọng nhất, không rõ tại sao các đơn thức đã chọn cuối cùng lại phải được thêm vào và tại sao các dấu ngoặc thu được sẽ là sự mở rộng của đa thức ban đầu. Bất kỳ nhà toán học có năng lực nào cũng sẽ đặt ký hiệu in đậm câu hỏi về lời giải thích trong sách giáo khoa.
Tôi thu hút sự chú ý của các gia sư và giáo viên toán về giải pháp của tôi cho vấn đề này, điều này thực tế làm cho mọi thứ được nêu trong sách giáo khoa trở nên rõ ràng đối với học sinh. Trên thực tế, chúng ta sẽ chứng minh định lý Bezout: nếu số a là nghiệm của một đa thức thì đa thức này có thể bị phân tách thành thừa số, một trong số đó là x-a, và thừa số thứ hai được lấy từ số ban đầu theo một trong ba cách: bằng cách cô lập một hệ số tuyến tính thông qua các phép biến đổi, bằng cách chia cho một góc hoặc bằng sơ đồ Horner. Với công thức này, gia sư dạy toán sẽ dễ dàng làm việc hơn.
Phương pháp giảng dạy là gì? Trước hết, đây là một trật tự rõ ràng trong trình tự giải thích và ví dụ trên cơ sở rút ra kết luận toán học. chủ đề này không có ngoại lệ. Việc gia sư toán giới thiệu cho trẻ định lý Bezout là rất quan trọng trước khi chia một góc. Điều này rất quan trọng! Cách tốt nhất để đạt được sự hiểu biết là ví dụ cụ thể. Hãy lấy một số đa thức với một căn đã chọn và chỉ ra kỹ thuật phân tích thành nhân tử bằng phương pháp quen thuộc với học sinh từ lớp 7 chuyển đổi danh tính. Với những lời giải thích, nhấn mạnh và lời khuyên đi kèm phù hợp từ gia sư toán, bạn hoàn toàn có thể truyền đạt tài liệu mà không cần bất kỳ phép tính toán học chung nào, hệ số và lũy thừa tùy ý.
Lời khuyên quan trọng dành cho gia sư toán- làm theo hướng dẫn từ đầu đến cuối và không thay đổi trình tự này.
Vì vậy, giả sử rằng chúng ta có một đa thức. Nếu thay số 1 vào X thì giá trị của đa thức sẽ bằng 0. Do đó x=1 là nghiệm của nó. Chúng ta hãy thử phân tích thành hai số hạng sao cho một trong số đó là tích biểu thức tuyến tính và một số đơn thức, và đơn thức thứ hai sẽ có bậc một nhỏ hơn . Tức là hãy biểu diễn nó dưới dạng
Ta chọn đơn thức cho trường màu đỏ sao cho khi nhân với số hạng đứng đầu hoàn toàn trùng với số hạng đứng đầu của đa thức ban đầu. Nếu học sinh không phải là người yếu nhất thì học sinh đó sẽ hoàn toàn có khả năng nói với gia sư môn toán biểu thức cần thiết: . Cần yêu cầu gia sư ngay lập tức chèn nó vào trường màu đỏ và cho biết điều gì sẽ xảy ra khi chúng được mở. Tốt nhất là ký tên đa thức tạm thời ảo này dưới các mũi tên (dưới bức ảnh nhỏ), làm nổi bật nó bằng một số màu, chẳng hạn như màu xanh lam. Điều này sẽ giúp bạn chọn một thuật ngữ cho trường màu đỏ, được gọi là phần còn lại của vùng chọn. Tôi khuyên các gia sư nên chỉ ra ở đây rằng phần dư này có thể được tìm thấy bằng phép trừ. Thực hiện thao tác này ta được:
Gia sư toán nên thu hút sự chú ý của học sinh đến thực tế là bằng cách thay thế 1 vào đẳng thức này, chúng ta đảm bảo nhận được 0 ở vế trái của nó (vì 1 là nghiệm của đa thức ban đầu), và ở vế phải, hiển nhiên, chúng ta cũng sẽ loại bỏ thuật ngữ đầu tiên. Điều này có nghĩa là không cần bất kỳ sự xác minh nào, chúng ta có thể nói rằng một là gốc của “phần dư xanh”.
Chúng ta hãy xử lý nó theo cách tương tự như chúng ta đã làm với đa thức ban đầu, tách khỏi nó cùng một thừa số tuyến tính. Gia sư toán vẽ hai khung trước mặt học sinh và yêu cầu các em điền từ trái sang phải.
Học sinh chọn cho gia sư một đơn thức cho trường màu đỏ để khi nhân với số hạng cao nhất của biểu thức tuyến tính, nó sẽ cho số hạng cao nhất của đa thức mở rộng. Chúng tôi lắp nó vào khung, ngay lập tức mở khung và tô sáng biểu thức cần trừ khỏi biểu thức gấp bằng màu xanh lam. Thực hiện thao tác này ta được
Và cuối cùng, làm tương tự với phần còn lại cuối cùng
cuối cùng chúng ta sẽ có được nó
Bây giờ, hãy lấy biểu thức ra khỏi ngoặc và chúng ta sẽ thấy sự phân rã của đa thức ban đầu thành các thừa số, một trong số đó là “x trừ nghiệm đã chọn”.
Để học sinh không nghĩ rằng “phần dư xanh” cuối cùng vô tình bị phân rã thành thừa số bắt buộc, gia sư toán cần chỉ ra tài sản quan trọng trong số tất cả các số dư xanh - mỗi số dư đều có căn 1. Vì bậc của các số dư này giảm, nên dù mức độ nào của đa thức ban đầu được trao cho chúng ta, sớm hay muộn, chúng ta sẽ nhận được một “phần dư xanh” tuyến tính với căn 1, và do đó nó nhất thiết sẽ phân hủy thành sản phẩm một số số và biểu thức nào đó.
Sau này công việc chuẩn bị Sẽ không khó để gia sư toán giải thích cho học sinh điều gì xảy ra khi chia cho một góc. Đây là quy trình tương tự, chỉ ở dạng ngắn hơn và gọn hơn, không có dấu bằng và không viết lại các thuật ngữ được đánh dấu giống nhau. Đa thức mà từ đó hệ số tuyến tính được trích xuất được viết ở bên trái của góc, các đơn thức màu đỏ đã chọn được thu thập ở một góc (bây giờ đã rõ lý do tại sao chúng nên cộng lại), để thu được “đa thức màu xanh”, “màu đỏ ” những cái phải được nhân với x-1, sau đó trừ đi khỏi giá trị hiện được chọn, việc này được thực hiện như thế nào khi phép chia thông thường các số trong một cột (đây là sự tương tự với những gì đã được nghiên cứu trước đây). Các “dư lượng xanh” thu được sẽ được phân lập và lựa chọn mới các “đơn thức màu đỏ”. Và cứ như vậy cho đến khi bạn nhận được “cân bằng xanh” bằng 0. Điều quan trọng nhất là học sinh hiểu số phận xa hơn viết đa thức trên và dưới góc. Rõ ràng, đây là những dấu ngoặc có tích bằng đa thức ban đầu.
Giai đoạn tiếp theo trong công việc của một gia sư toán là xây dựng định lý Bezout. Trên thực tế, công thức của nó với cách tiếp cận này của giáo viên trở nên rõ ràng: nếu số a là nghiệm của một đa thức, thì nó có thể được phân tích thành thừa số, một trong số đó là , và số còn lại được lấy từ số ban đầu theo một trong ba cách :
- phân rã trực tiếp (tương tự như phương pháp nhóm)
- chia cho một góc (trong một cột)
- thông qua mạch Horner
Phải nói rằng không phải gia sư môn toán nào cũng cho học sinh xem sơ đồ góc và không phải tất cả giáo viên trường học(may mắn thay cho chính các gia sư) họ đi sâu vào chủ đề trong các bài học. Tuy nhiên, đối với học sinh lớp toán Tôi thấy không có lý do gì để dừng lại ở phép chia dài. Hơn nữa, thuận tiện nhất và nhanh Kỹ thuật phân rã dựa trên sơ đồ Horner. Để giải thích cho trẻ biết nó đến từ đâu, chỉ cần theo dõi, sử dụng ví dụ về chia cho một góc, sự xuất hiện của các hệ số cao hơn trong phần dư màu xanh lá cây là đủ. Rõ ràng là hệ số cao nhất của đa thức ban đầu được đưa vào hệ số của “đơn thức đỏ” đầu tiên, và xa hơn nữa là hệ số thứ hai của đa thức trên hiện tại. khấu trừ kết quả của việc nhân hệ số hiện tại của “đơn thức đỏ” với . Vì thế có thể thêm vào kết quả của phép nhân với . Sau khi tập trung sự chú ý của học sinh vào các chi tiết cụ thể của các hành động có hệ số, gia sư toán có thể chỉ ra cách các hành động này thường được thực hiện mà không cần ghi lại các biến. Để làm được điều này, thuận tiện là nhập nghiệm và hệ số của đa thức ban đầu theo thứ tự ưu tiên vào bảng sau:
Nếu thiếu bất kỳ bậc nào trong đa thức, hệ số 0 của nó sẽ bị buộc phải đưa vào bảng. Các hệ số của “đa thức đỏ” lần lượt được viết ở dòng cuối theo quy tắc “móc”: 
Căn số được nhân với hệ số màu đỏ cuối cùng, cộng với hệ số tiếp theo ở dòng trên cùng và kết quả được ghi xuống dòng dưới cùng. Trong cột cuối cùng, chúng tôi được đảm bảo nhận được hệ số cao nhất của “phần còn lại xanh” cuối cùng, tức là bằng 0. Sau khi quá trình hoàn tất, số kẹp giữa gốc phù hợp và phần còn lại bằng 0 hóa ra là hệ số của yếu tố thứ hai (phi tuyến).
Vì căn a cho một số 0 ở cuối dòng dưới cùng, nên có thể sử dụng sơ đồ Horner để kiểm tra các số cho tựa đề của nghiệm của một đa thức. Nếu một định lý đặc biệt về việc lựa chọn một gốc hợp lý. Tất cả các ứng cử viên cho danh hiệu này có được nhờ sự trợ giúp của nó chỉ được chèn lần lượt từ bên trái vào sơ đồ Horner. Ngay khi chúng ta nhận được số 0, số được kiểm tra sẽ là một số gốc, đồng thời chúng ta sẽ nhận được các hệ số phân tích nhân tử của đa thức ban đầu trên dòng của nó. Rất thuận tiện.
Tóm lại, tôi muốn lưu ý rằng để giới thiệu chính xác sơ đồ của Horner, cũng như củng cố chủ đề một cách thực tế, gia sư toán phải có đủ số giờ tùy ý sử dụng. Gia sư làm việc theo chế độ “mỗi tuần một lần” không nên tham gia vào việc chia góc. Trong Kỳ thi Thống nhất về Toán học của Tiểu bang và tại Học viện Toán học Tiểu bang, trong phần đầu tiên, bạn khó có thể gặp một phương trình bậc ba có thể giải được bằng những cách như vậy. Nếu một gia sư đang chuẩn bị cho một đứa trẻ tham gia kỳ thi toán tại Đại học Tổng hợp Moscow, việc học chủ đề này trở thành bắt buộc. Các giáo viên đại học, không giống như những người biên soạn Kỳ thi Thống nhất, thực sự muốn kiểm tra độ sâu kiến \u200b\u200bthức của thí sinh.
Kolpkov Alexander Nikolaevich, gia sư toán Moscow, Strogino
Trở lại Tiến lên
Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm công việc này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.
Loại bài học: Bài học nắm vững và củng cố kiến thức sơ cấp.
Mục tiêu của bài học:
- Giới thiệu cho học sinh khái niệm nghiệm của một đa thức và dạy các em cách tìm chúng.
- Nâng cao kỹ năng sử dụng sơ đồ Horner để khai triển đa thức theo lũy thừa và chia đa thức cho nhị thức.
- Học cách tìm nghiệm nguyên của một phương trình bằng sơ đồ Horner.
- Phát triển tư duy trừu tượng.
- Nuôi dưỡng một nền văn hóa máy tính.
Phát triển các kết nối liên ngành.
Tiến độ bài học
1. Thời điểm tổ chức.
Thông báo chủ đề bài học, xây dựng mục tiêu.
2. Kiểm tra bài tập về nhà.
3. Nghiên cứu tài liệu mới. = Đặt Fn(x) - a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 một đa thức cho x bậc n, trong đó a 0 , a 1 ,...,an n là các số đã cho và a 0 không bằng 0. Nếu đa thức F n (x) chia với số dư cho nhị thức x-a thì thương (thương không đầy đủ) là đa thức Q n-1(x) bậc n-1, phần dư R là một số và đẳng thức đúng F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.
Đa thức F n (x) chỉ chia hết cho nhị thức (x-a) trong trường hợp R=0.
Định lý Bezout: Phần dư R khi chia đa thức F n (x) cho nhị thức (x-a) bằng giá trị của đa thức F n (x) tại x=a, tức là. R=Pn(a). Một chút lịch sử. Định lý Bezout, mặc dù có vẻ đơn giản và hiển nhiên, nhưng là một trong những định lýđịnh lý cơ bản lý thuyết đa thức. Định lý này liên quan đến các tính chất đại số của đa thức (cho phép chúng ta làm việc với đa thức dưới dạng số nguyên) với tính chất chức năng
(cho phép coi đa thức là hàm). Một cách để giải các phương trình bậc cao hơn là phân tích đa thức ở vế trái của phương trình. Việc tính các hệ số của đa thức và phần dư được viết dưới dạng bảng gọi là sơ đồ Horner. Lược đồ Horner là một thuật toán chia đa thức, được viết cho trường hợp đặc biệt khi thương bằng nhị thức.
x–a Horner William George (1786 - 1837), nhà toán học người Anh. Nghiên cứu cơ bản liên quan đến lý thuyết phương trình đại số
. Phát triển một phương pháp giải gần đúng các phương trình ở bất kỳ mức độ nào. Năm 1819, ông đưa ra một phương pháp quan trọng trong đại số là chia đa thức cho nhị thức x - a (sơ đồ Horner). Phần kết luận công thức tổng quát
cho sơ đồ của Horner.
Chia một đa thức f(x) có số dư cho một nhị thức (x-c) có nghĩa là tìm một đa thức q(x) và một số r sao cho f(x)=(x-c)q(x)+r
Hãy để chúng tôi viết sự bình đẳng này một cách chi tiết:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Hãy đánh đồng các hệ số ở cùng mức độ: xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => qn = fn + c q n-1.
Trình diễn mạch Horner bằng một ví dụ.
Nhiệm vụ 1. Sử dụng sơ đồ Horner, chúng ta chia đa thức f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 với phần dư cho nhị thức x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, trong đó g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 dư.
Khai triển một đa thức theo lũy thừa của một nhị thức.
Sử dụng sơ đồ Horner, chúng ta khai triển đa thức f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 theo lũy thừa của nhị thức (x+2).
Kết quả là, chúng ta sẽ thu được khai triển f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Sơ đồ Horner thường được sử dụng khi giải các phương trình bậc ba, bậc bốn và bậc cao hơn, khi thuận tiện để mở rộng đa thức thành nhị thức x-a. Con số Một gọi điện nghiệm của đa thức F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, nếu tại x=a giá trị của đa thức F n (x) bằng 0: F n (a)=0, tức là. nếu đa thức chia hết cho nhị thức x-a.
Ví dụ, số 2 là nghiệm của đa thức F 3 (x)=3x 3 -2x-20, vì F 3 (2)=0. nó có nghĩa là Rằng hệ số của đa thức này chứa thừa số x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Mọi đa thức F n(x) bậc N 1 không thể có thêm N rễ thật.
Bất kì toàn bộ gốc phương trình có hệ số nguyên là ước số của số hạng tự do của nó.
Nếu hệ số cao nhất của một phương trình là 1 thì tất cả các nghiệm hữu tỉ của phương trình, nếu chúng tồn tại, đều là số nguyên.
Tổng hợp tài liệu đã học.
Để củng cố kiến thức mới, mời học sinh điền các số trong sách giáo khoa 2.41 và 2.42 (tr. 65).
(2 học sinh giải trên bảng, các em còn lại quyết định, kiểm tra bài tập vào vở và đáp án trên bảng).
Tóm tắt.
Khi đã hiểu rõ cấu trúc và nguyên lý hoạt động của sơ đồ Horner, nó còn có thể được sử dụng trong các bài học tin học, khi xét bài toán chuyển số nguyên từ hệ thập phân sang hệ nhị phân và ngược lại. Cơ sở để chuyển từ hệ số này sang hệ số khác là định lý tổng quát sau
Định lý.Để chuyển đổi một số nguyên Ap từ P hệ thống số -ary sang hệ thống số cơ sở d cần thiết Ap chia tuần tự có số dư cho số d, được viết tương tự P-ary hệ thống cho đến khi thương số kết quả bằng 0. Phần dư của phép chia sẽ là d-chữ số Quảng cáo, bắt đầu từ hạng trẻ nhất đến hạng cao cấp nhất. Mọi hành động phải được thực hiện trong P-hệ số thứ tự. Đối với một người, quy tắc này chỉ thuận tiện khi P= 10, tức là khi dịch từ hệ thập phân. Còn đối với máy tính thì ngược lại, việc thực hiện các phép tính trong hệ nhị phân. Do đó, để chuyển đổi “2 thành 10”, phép chia tuần tự cho 10 trong hệ nhị phân được sử dụng và “10 thành 2” là phép cộng lũy thừa của 10. Để tối ưu hóa các phép tính của quy trình “10 trong 2”, máy tính sử dụng sơ đồ tính toán tiết kiệm của Horner.
Bài tập về nhà. Nó được đề xuất để hoàn thành hai nhiệm vụ.
thứ nhất. Sử dụng sơ đồ Horner, chia đa thức f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 cho nhị thức (x-3).
thứ 2. Tìm các nghiệm nguyên của đa thức f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (coi rằng bất kỳ nghiệm nguyên nào của một phương trình có hệ số nguyên đều là ước số của số hạng tự do của nó)
Văn học.
- Kurosh A.G. “Khóa học đại số cao hơn.”
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. và các bài khác. “Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học” lớp 10.
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Trang trình bày 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) - Nhà toán học người Anh. Sinh ra ở Bristol. Anh ấy học và làm việc ở đó, sau đó là ở các trường học ở Bath. Các công việc cơ bản về đại số. Năm 1819 đã xuất bản một phương pháp tính gần đúng các nghiệm thực của một đa thức, ngày nay được gọi là phương pháp Ruffini-Horner (phương pháp này đã được người Trung Quốc biết đến từ thế kỷ 13). Sơ đồ chia đa thức cho nhị thức x-a được đặt tên là. sau Horner.
Trang trình bày 4
SƠ ĐỒ HORNER
Phương pháp chia đa thức thứ n bậc trên nhị thức tuyến tính - a, dựa trên thực tế là các hệ số của thương không đầy đủ và phần dư có liên quan đến các hệ số của đa thức chia hết và với các công thức:
Trang trình bày 5
Các tính toán theo sơ đồ Horner được trình bày trong bảng:
Ví dụ 1. Chia Phần thương là x3-x2+3x - 13 và số dư là 42=f(-3).
Trang trình bày 6
Ưu điểm chính của phương pháp này là tính nhỏ gọn của việc ghi và khả năng phép chia nhanhđa thức thành nhị thức. Trên thực tế, sơ đồ của Horner là một dạng khác để ghi lại phương pháp nhóm, mặc dù, không giống như phương pháp sau, nó hoàn toàn không trực quan. Câu trả lời (nhân tố hóa) tự nó được lấy ở đây và chúng tôi không thấy quá trình lấy nó. Chúng tôi sẽ không tham gia vào việc chứng minh chặt chẽ sơ đồ của Horner mà chỉ trình bày cách thức hoạt động của nó.
Trang trình bày 7
Ví dụ 2.
Hãy chứng minh rằng đa thức P(x)=x4-6x3+7x-392 chia hết cho x-7 và tìm thương của phép chia. Giải pháp. Sử dụng sơ đồ Horner, chúng ta tìm được P(7): Từ đây chúng ta thu được P(7)=0, tức là. số dư khi chia đa thức cho x-7 bằng 0 và do đó, đa thức P(x) là bội số của (x-7). Hơn nữa, các số ở hàng thứ hai của bảng là hệ số của thương P(x) chia cho (x-7), do đó P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).
Trang trình bày 8
Phân tích đa thức x3 – 5x2 – 2x + 16 thành nhân tử.
Đa thức này có hệ số nguyên. Nếu một số nguyên là nghiệm của đa thức này thì nó là ước số của 16. Do đó, nếu y đa thức đã cho có các nghiệm nguyên thì chỉ có thể là số ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Bằng cách xác minh trực tiếp, chúng ta tin rằng số 2 là nghiệm của đa thức này, nghĩa là x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), trong đó Q(x) là đa thức bậc hai
Trang trình bày 9
Các số kết quả 1, −3, −8 là các hệ số của đa thức, có được bằng cách chia đa thức ban đầu cho x – 2. Điều này có nghĩa là kết quả của phép chia là: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Bậc của đa thức khi chia luôn nhỏ hơn bậc của đa thức ban đầu 1. Vậy: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
Sơ đồ Horner - phương pháp chia đa thức
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
trên nhị thức $x-a$. Bạn sẽ phải làm việc với một bảng, hàng đầu tiên chứa các hệ số của một đa thức nhất định. Phần tử đầu tiên của dòng thứ hai sẽ là số $a$, được lấy từ nhị thức $x-a$:
Sau khi chia đa thức bậc n cho nhị thức $x-a$, chúng ta thu được một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc ban đầu một đơn vị, tức là. bằng $n-1$. Việc áp dụng trực tiếp sơ đồ Horner được thể hiện dễ dàng nhất bằng các ví dụ.
Ví dụ số 1
Chia $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x-1$ bằng cách sử dụng sơ đồ Horner.
Chúng ta hãy lập một bảng gồm hai dòng: ở dòng đầu tiên chúng ta viết các hệ số của đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$, sắp xếp theo thứ tự lũy thừa giảm dần của biến $x$. Lưu ý rằng đa thức này không chứa $x$ bậc một, tức là hệ số của $x$ lũy thừa bậc một là 0. Vì chúng ta đang chia cho $x-1$, nên chúng ta viết một số ở dòng thứ hai:
Hãy bắt đầu điền vào các ô trống ở dòng thứ hai. Trong ô thứ hai của dòng thứ hai, chúng ta viết số $5$, chỉ cần di chuyển nó từ ô tương ứng của dòng đầu tiên:
Hãy điền vào ô tiếp theo theo nguyên tắc này: $1\cdot 5+5=10$:
Hãy điền vào ô thứ tư của dòng thứ hai theo cách tương tự: $1\cdot 10+1=11$:
Đối với ô thứ năm, chúng ta nhận được: $1\cdot 11+0=11$:
Và cuối cùng, đối với ô cuối cùng, thứ sáu, chúng ta có: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Vấn đề đã được giải quyết, việc còn lại là viết ra câu trả lời:
Như bạn có thể thấy, các số nằm ở dòng thứ hai (từ 1 đến 0) là hệ số của đa thức thu được sau khi chia $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x-1$. Đương nhiên, vì bậc của đa thức ban đầu $5x^4+5x^3+x^2-11$ bằng 4 nên bậc của đa thức thu được $5x^3+10x^2+11x+11$ là một ít hơn, tức là . bằng ba. Số cuối cùng ở dòng thứ hai (không) có nghĩa là số dư khi chia đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x-1$. Trong trường hợp của chúng tôi, phần còn lại bằng 0, tức là các đa thức đều chia hết. Kết quả này cũng có thể được mô tả như sau: giá trị của đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$ cho $x=1$ bằng 0.
Kết luận cũng có thể được đưa ra dưới dạng này: vì giá trị của đa thức $5x^4+5x^3+x^2-11$ tại $x=1$ bằng 0, nên đơn vị là nghiệm của đa thức $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Ví dụ số 2
Chia đa thức $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ cho $x+3$ bằng cách sử dụng sơ đồ Horner.
Chúng ta hãy quy định ngay rằng biểu thức $x+3$ phải được biểu diễn dưới dạng $x-(-3)$. Kế hoạch của Horner sẽ liên quan đến chính xác $-3$. Vì bậc của đa thức ban đầu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ bằng 4, nên nhờ phép chia, chúng ta thu được đa thức bậc ba:
Kết quả có nghĩa là
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Trong trường hợp này, số dư khi chia $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ cho $x+3$ là $4$. Hoặc, điều tương tự là giá trị của đa thức $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ cho $x=-3$ bằng $4$. Nhân tiện, bạn có thể dễ dàng kiểm tra lại điều này bằng cách thay thế trực tiếp $x=-3$ vào đa thức đã cho:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Những thứ kia. Sơ đồ Horner có thể được sử dụng nếu cần tìm giá trị của đa thức tại đặt giá trị biến. Nếu mục tiêu của chúng ta là tìm tất cả các nghiệm của một đa thức, thì sơ đồ Horner có thể được áp dụng nhiều lần liên tiếp cho đến khi chúng ta sử dụng hết tất cả các nghiệm, như đã thảo luận trong ví dụ số 3.
Ví dụ số 3
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ bằng cách sử dụng sơ đồ Horner.
Các hệ số của đa thức đang xét là số nguyên và hệ số đứng trước bằng cấp cao biến (tức là trước $x^6$) bằng một. Trong trường hợp này, các nghiệm nguyên của đa thức phải được tìm trong số các ước số của số hạng tự do, tức là trong số các ước của số 45. Đối với một đa thức cho trước, các nghiệm đó có thể là các số $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ và $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Ví dụ: hãy kiểm tra số $1$:
Như bạn có thể thấy, giá trị của đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ với $x=1$ bằng $192$ (số cuối cùng ở dòng thứ hai), chứ không phải $0 $, do đó sự thống nhất không phải là nghiệm của đa thức này. Vì việc kiểm tra một cái không thành công, hãy kiểm tra giá trị $x=-1$. Bảng mới Vì mục đích này, chúng tôi sẽ không biên dịch mà sẽ tiếp tục sử dụng bảng. Số 1, thêm một dòng mới (thứ ba) vào đó. Dòng thứ hai, trong đó giá trị của $1$ đã được chọn, sẽ được đánh dấu màu đỏ và sẽ không được sử dụng trong các cuộc thảo luận tiếp theo.
Tất nhiên, bạn có thể chỉ cần viết lại bảng một lần nữa, nhưng việc điền nó theo cách thủ công sẽ mất rất nhiều thời gian. Hơn nữa, có thể có một số số mà việc xác minh sẽ không thành công và rất khó để viết bảng mới mỗi lần. Khi tính toán “trên giấy”, các đường màu đỏ có thể bị gạch bỏ một cách đơn giản.
Vì vậy, giá trị của đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ tại $x=-1$ bằng 0, tức là. số $-1$ là nghiệm của đa thức này. Sau khi chia đa thức $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ cho nhị thức $x-(-1)=x+1$ chúng ta thu được đa thức $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, các hệ số được lấy từ hàng thứ ba của bảng. Số 2 (xem ví dụ số 1). Kết quả tính toán cũng có thể được trình bày dưới dạng này:
\begin(phương trình)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(phương trình)
Hãy tiếp tục tìm kiếm các nghiệm nguyên. Bây giờ chúng ta cần tìm nghiệm của đa thức $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Một lần nữa, các nghiệm nguyên của đa thức này được tìm kiếm trong số các ước của số hạng tự do của nó, các số $45$. Hãy thử kiểm tra lại số $-1$. Chúng tôi sẽ không tạo bảng mới mà sẽ tiếp tục sử dụng bảng trước đó. Số 2, tức là Hãy thêm một dòng nữa vào nó:
Vì vậy, số $-1$ là nghiệm của đa thức $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Kết quả này có thể được viết như thế này:
\begin(phương trình)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(phương trình)
Xét đẳng thức (2), đẳng thức (1) có thể viết lại dưới dạng sau:
\begin(phương trình)\begin(căn chỉnh) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(căn chỉnh)\end(phương trình)
Bây giờ chúng ta cần tìm nghiệm của đa thức $x^4-22x^2+24x+45$ - một cách tự nhiên, trong số các ước của số hạng tự do của nó (các số $45$). Hãy kiểm tra lại số $-1$:
Số $-1$ là nghiệm của đa thức $x^4-22x^2+24x+45$. Kết quả này có thể được viết như thế này:
\begin(phương trình)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(equation)
Xét đẳng thức (4), ta viết lại đẳng thức (3) dưới dạng sau:
\begin(phương trình)\begin(căn chỉnh) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(căn chỉnh)\end(phương trình)
Bây giờ chúng ta đang tìm nghiệm của đa thức $x^3-x^2-21x+45$. Hãy kiểm tra lại số $-1$:
Việc kiểm tra kết thúc trong thất bại. Hãy đánh dấu dòng thứ sáu màu đỏ và thử kiểm tra một số khác, ví dụ: số $3$:
Phần còn lại bằng 0, do đó số $3$ là nghiệm của đa thức đang xét. Vì vậy $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Bây giờ đẳng thức (5) có thể được viết lại như sau.