Bài học: toàn bộ phương trình và nghiệm của nó. Toàn bộ phương trình và gốc của nó

Chủ đề bài học: “Toàn bộ phương trình và nghiệm của nó.”

Mục tiêu:

giáo dục:

xem xét cách giải toàn bộ phương trình bằng cách sử dụng hệ số hóa;

đang phát triển:

giáo dục:

Lớp học: 9

Sách giáo khoa:Đại số. lớp 9: sách giáo khoa cơ sở giáo dục/ [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov]; được chỉnh sửa bởi SA Telyakovsky.- tái bản lần thứ 16. – M.: Giáo dục, 2010

Thiết bị: máy tính có máy chiếu, thuyết trình “Phương trình toàn phần”

Tiến độ bài học:

Thời điểm tổ chức

Xem video “Mọi thứ đều nằm trong tay bạn”.

Có những lúc trong cuộc sống bạn bỏ cuộc và dường như chẳng có kết quả gì cả. Sau đó hãy nhớ câu nói của nhà hiền triết “Mọi thứ đều nằm trong tay bạn:” và hãy lấy những lời này làm phương châm cho bài học của chúng ta.

Công việc miệng.

2x + 6 =10, 14x = 7, x 2 – 16 = 0, x – 3 = 5 + 2x, x 2 = 0,

Thông điệp về chủ đề bài học, mục tiêu.

Hôm nay chúng ta sẽ làm quen với một loại phương trình mới - đây là toàn bộ phương trình. Hãy học cách giải quyết chúng.

Hãy ghi số vào vở, công việc tuyệt vời và chủ đề của bài học: “Toàn bộ phương trình, nghiệm của nó”.

2.Cập nhật kiến thức cơ bản.

Giải phương trình:

Đáp án: a)x = 0; b) x = 5/3; c) x = -, ; d) x = 1/6; - 1/6; e) không có rễ; e) x = 0; 5; - 5; g) 0; 1; -2; h)0; 1; - 1; i) 0,2; - 0,2; j) -3; 3.

3. Hình thành các khái niệm mới.

Trao đổi với học viên:

Phương trình là gì? (bình đẳng chứa một số chưa biết)

Những loại phương trình nào bạn biết? (tuyến tính, vuông)

3. Nó có thể có bao nhiêu rễ? phương trình tuyến tính?) (một, nhiều và không có gốc)

4. Một phương trình bậc hai có thể có bao nhiêu nghiệm?

Điều gì quyết định số lượng rễ? (từ phân biệt đối xử)

Trong trường hợp nào phương trình bậc hai có 2 nghiệm (D0)

Trong trường hợp nào phương trình bậc hai có 1 nghiệm? (D=0)

Trong trường hợp nào phương trình bậc hai không có nghiệm? (D0)

Toàn bộ phương trình là phương trình của vế trái và vế phải, là một biểu thức trọn vẹn. (đọc to).

Từ việc xem xét tuyến tính và phương trình bậc hai, ta thấy số nghiệm không lớn hơn bậc của nó.

Bạn có nghĩ có thể xác định được số nghiệm của nó mà không cần giải phương trình không? (có thể là câu trả lời của trẻ em)

Chúng ta hãy làm quen với quy tắc xác định mức độ của toàn bộ phương trình?

Nếu phương trình một biến được viết dưới dạng P(x)=0, trong đó P(x) là đa thức chế độ xem chuẩn thì bậc của đa thức này được gọi là bậc của phương trình. Bậc của một phương trình số nguyên tùy ý là bậc của một phương trình tương đương có dạng P(x) = 0, trong đó P(x) là đa thức có dạng chuẩn.

phương trìnhN Ối bằng cấp không còn nữaN rễ.

Toàn bộ phương trình có thể được giải bằng nhiều cách:

các cách giải toàn bộ phương trình

phân tích thành thừa số giới thiệu đồ họa mới

biến

(Viết sơ đồ vào vở)

Hôm nay chúng ta sẽ xem xét một trong số đó: phân tích nhân tử bằng ví dụ về phương trình sau: x 3 – 8x 2 – x +8 = 0. (giáo viên giải thích lên bảng, học sinh viết nghiệm của phương trình vào vở)

Tên của phương pháp nhân tử hóa có thể được sử dụng để bên trái Phân tích các phương trình? (phương pháp phân nhóm). Hãy phân tích vế trái của phương trình và để làm điều này, hãy nhóm các số hạng ở vế trái của phương trình.

Khi nào tích của các thừa số bằng 0? (khi có ít nhất một trong các số nhân bằng 0). Chúng ta hãy đánh đồng từng yếu tố của phương trình bằng 0.

Hãy giải các phương trình thu được

Chúng ta đã nhận được bao nhiêu rễ? (ghi vào vở)

x 2 (x – 8) – (x – 8) = 0

(x – 8) (x 2 – 1) = 0

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0

x 1 = 8, x 2 = 1, x 3 = - 1.

Đáp án: 8; 1; -1.

4. Hình thành các kỹ năng và khả năng. Phần thực tế.

làm bài theo SGK số 265 (viết vào vở)

Bậc của phương trình là bao nhiêu và mỗi phương trình có bao nhiêu nghiệm:

Đáp án: a) 5, b) 6, c) 5, d) 2, e) 1, f) 1

№ 266(a)(giải trên bảng có giải thích)

Giải phương trình:

5. Tóm tắt bài học:

Hợp nhất tài liệu lý thuyết:

Phương trình nào có một biến được gọi là số nguyên? Đưa ra một ví dụ.

Làm thế nào để tìm mức độ của toàn bộ phương trình? Một phương trình với một biến bậc một, bậc hai, bậc n có bao nhiêu nghiệm?

6. Phản ánh

Đánh giá công việc của bạn. Hãy giơ tay nào, ai...

1) hiểu chủ đề một cách hoàn hảo

2) hiểu rõ chủ đề

Tôi vẫn đang gặp khó khăn

7.bài tập về nhà:

khoản 12 (tr. 75-77 ví dụ 1) Số 267 (a, b).

“danh sách kiểm tra của sinh viên”

Danh sách kiểm tra của sinh viên

Các giai đoạn của công việc

Cấp

Tổng cộng

Đếm miệng

Giải phương trình

Giải phương trình bậc hai

Giải phương trình bậc ba

Danh sách kiểm tra của sinh viên

Lớp______ Họ Tên ___________________

Các giai đoạn của công việc

Cấp

Tổng cộng

Đếm miệng

Giải phương trình

Mức độ của phương trình quen thuộc là gì

Giải phương trình bậc hai

Giải phương trình bậc ba

Danh sách kiểm tra của sinh viên

Lớp______ Họ Tên ___________________

Các giai đoạn của công việc

Cấp

Tổng cộng

Đếm miệng

Giải phương trình

Mức độ của phương trình quen thuộc là gì

Giải phương trình bậc hai

Giải phương trình bậc ba

Xem nội dung tài liệu
"tài liệu"

1.Giải các phương trình:

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 –5 = 0 h) x 4 – x 2 = 0
d) x 2 = 1/36 i) x 2 –0,01 = 0,03
e) x 2 = – 25 j) 19 – c 2 = 10

3. Giải các phương trình:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. Giải các phương trình:

Tôi lựa chọn II lựa chọn III lựa chọn

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

"Bài kiểm tra"

Xin chào! Bây giờ bạn sẽ được cung cấp một bài kiểm tra toán gồm 4 câu hỏi. Bấm vào các nút trên màn hình dưới các câu hỏi mà theo bạn là có câu trả lời đúng. Nhấp vào nút "tiếp theo" để bắt đầu thử nghiệm. Tôi chúc bạn may mắn!

1. Giải phương trình:

3x + 6 = 0

Chính xác

không có câu trả lời

Rễ

Chính xác

không có câu trả lời

Rễ

4. Giải phương trình: 0 x = - 4

Rễ

Nhiều

rễ

Xem nội dung trình bày
"1"

Giải phương trình:

CÔNG VIỆC BẰNG MIỆNG

Mục tiêu:

giáo dục:

khái quát hóa và đào sâu thông tin về các phương trình; giới thiệu khái niệm về toàn bộ phương trình và mức độ, nghiệm của nó; xem xét cách giải toàn bộ phương trình bằng cách sử dụng hệ số hóa.
khái quát hóa và đào sâu thông tin về các phương trình;
giới thiệu khái niệm về toàn bộ phương trình và mức độ, nghiệm của nó;
xem xét cách giải toàn bộ phương trình bằng cách sử dụng hệ số hóa.

đang phát triển:

phát triển quan điểm toán học và tổng quát, tư duy logic, khả năng phân tích, rút ra kết luận;
phát triển quan điểm toán học và tổng quát, tư duy logic, khả năng phân tích, rút ra kết luận;

giáo dục:

trau dồi tính độc lập, rõ ràng và chính xác trong hành động.
trau dồi tính độc lập, rõ ràng và chính xác trong hành động.

Thái độ tâm lý

Chúng tôi tiếp tục khái quát hóa và đào sâu thông tin về các phương trình;
làm quen với khái niệm của toàn bộ phương trình,

với khái niệm bậc của phương trình;

phát triển kỹ năng giải phương trình;
kiểm soát mức độ đồng hóa vật chất;
Trong lớp chúng ta có thể mắc lỗi, nghi ngờ và tham khảo ý kiến.
Mỗi học sinh đặt ra hướng dẫn riêng của mình.

Những phương trình nào được gọi là số nguyên?
Mức độ của một phương trình là gì?
Nó có bao nhiêu rễ? phương trình thứ nđộ?
Các phương pháp giải phương trình bậc một, bậc hai và bậc ba.

Kế hoạch bài học

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0 c) x 2 –5 = 0 h) x 4 – x 2 = 0 d) x 2 = 1/36 i) x 2 –0,01 = 0,03 bán tại 2 = – 25k) 19 – s 2 = 10

Giải các phương trình:

Ví dụ:

X²=x³-2(x-1)

phương trình

Nếu phương trình có một biến

viết như

P(x) = 0, trong đó P(x) là đa thức có dạng chuẩn,

thì bậc của đa thức này được gọi là

bậc của phương trình này

2x³+2x-1=0 (bậc 5)

14x²-3=0 (bậc 4)

Ví dụ:

Mức độ quen biết là bao nhiêu phương trình cho chúng ta?

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 – 5 = 0 giờ) x 4 – x 2 = 0
d) x 2 = 1/36 i) x 2 – 0,01 = 0,03
bán tại 2 = – 25k) 19 – s 2 = 10

Giải các phương trình:

2 ∙x + 5 =15
0∙x = 7

Phương trình bậc 1 có thể có bao nhiêu nghiệm?

Không nhiều hơn một!

0, D=-12, D x 1 =2, x 2 =3 không có nghiệm x=6. Một phương trình bậc I (bậc hai) có thể có bao nhiêu nghiệm? Không quá hai!" width="640"

Giải các phương trình:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0
D=1, D0, D=-12, D

x 1 =2, x 2 =3 không có nghiệm x=6.

Một phương trình bậc tôi có thể có bao nhiêu nghiệm? (quảng trường) ?

Không quá hai!

Giải các phương trình:

Tôi lựa chọn II lựa chọn III lựa chọn

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0x 3 -12x 2 +36x=0

x 3 =1 x(x 2 - 4)=0 x(x 2 -12x+36)=0

x=1 x=0, x=2, x= -2 x=0, x=6

1 rễ 3 rễ 2 rễ

Một phương trình bậc I có thể có bao nhiêu nghiệm?

Không quá ba!

Bạn nghĩ phương trình có thể có bao nhiêu nghiệm?

IV, V, VI, VII, N th độ?

Không quá bốn, năm, sáu, bảy căn!

Không còn nữa N rễ!

ax²+bx+c=0

phương trình bậc hai

ax + b = 0

phương trình tuyến tính

Không có rễ

Một gốc

Hãy mở rộng vế trái của phương trình

bằng số nhân:

x²(x-8)-(x-8)=0

Đáp án:=1, =-1.

Phương trình bậc ba có dạng: ax³+bx²+cx+d=0

Bằng cách nhân tố hóa

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)2=38

Hãy mở ngoặc và cho

điều khoản tương tự

16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0

Đáp án: x=-2

Phương châm của bài học của chúng tôi: “Tôi càng biết nhiều, tôi càng có thể làm được”.
Ai không nhận ra điều gì
Anh ấy không học gì cả.
Ai không học gì
Anh ấy luôn than vãn và buồn chán.
(nhà thơ R. Seph).

Chính tả toán học

1. Chèn những cái còn thiếu
từ và chỉ ra sự phù hợp
1. Nó được gọi là gì?
phương trình?
1. Tìm tất cả... hoặc
chứng minh rằng... không.
2. Nó được gọi là gì?
nghiệm của phương trình?
2. ……, chứa
biến.
3. Quyết định có ý nghĩa gì
phương trình?
3. ……., trong đó
phương trình bị đảo ngược
đến đúng số
sự bình đẳng.

Giải phương trình bằng miệng:

a) x2 = 0
b) 3x – 6 = 0
c) x2 – 9 = 0
d) x(x – 1)(x + 2) = 0
đ) x2 = – 25

Giải phương trình:

x⁴-6x²+5=0

Toàn bộ phương trình và gốc của nó

Mục tiêu bài học:

tóm tắt và đào sâu thông tin về
phương trình
Giới thiệu khái niệm tổng thể
phương trình
Giới thiệu khái niệm trình độ
phương trình
phát triển kỹ năng giải quyết
phương trình

phương trình

x
5
2
x 1 x 1
3
x
2
x 5
x3 1 x 2 1
3x2
4
2
(x 3 1) x 2 x 3 2(x 1)
x
2x1
x 12
trọn
phương trình
phân số
phương trình

Toàn bộ phương trình

Toàn bộ phương trình với một
biến là phương trình
phần bên trái và bên phải trong đó
toàn bộ biểu thức.

10. Bậc của phương trình

Nếu một phương trình với một
biến được viết là P(x)=0,
trong đó P(x) là đa thức chuẩn
dạng thì bậc của đa thức này
được gọi là bậc của phương trình, tức là
độ lớn nhất
đơn thức.
Ví dụ: x⁵-2x³+2x-1=05th
bằng cấp
thứ 4
x⁴-14x²-3=0
bằng cấp

11. Bậc của phương trình là gì?

5
a) 2x²-6x⁵+1=0
2
d) (x+8)(x-7)=0
6
b) x⁶-4x²-3=0
1 5
x 0
7
V)
5x(x2+4)=17
d)
x x
5
2 4
5
1
3
e) 5x-

12. Hãy lặp lại

phương trình tuyến tính
aх+b=0
aх2 + bx + c = 0
nhiều
rễ
không có rễ
một gốc
phương trình bậc hai
D=0
một gốc
D>0
hai gốc
D<0
không có rễ

13. Phương trình bậc một

14. Phương trình bậc ba

Giải phương trình
x3 8x 2 x 8 0
Giải pháp: mở rộng phía bên trái
phương trình nhân tử 2
x (x 8) (x 8) 0
(x 8)(x 2 1) 0
x 8 0
x2 1 0
x1 8, x2trả lời
1, x3 1

15. Giải phương trình:

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)2=38
Giải: Hãy mở ngoặc và cho
điều khoản tương tự
16x²-24x-2x+3-16x²+8x-1-38=0
-18x-36=0
KIỂM TRA CHÍNH MÌNH!
x+2=0
x=-2
Đáp án: x=-2

16. Giải phương trình hai phương trình:

X⁴ - 5 x² - 36 = 0
Hãy thay thế: x² = a, a ≥ 0
a² - 5a -36 =0
D=169
a1= -4 (không phù hợp vì a ≥0)
a2 = 9
X² = 9
x1 = 3 và x2 = -3
Đáp án: 3 và -3.

17. Giải phương trình:

x⁴-6x²+5=0
Đáp án: 1, -1, V5, - V5

18. Thiết lập sự tương ứng: Phương pháp phương trình.

văn bản mẫu
Cấp độ thứ hai
Cấp độ thứ ba
Cấp độ thứ tư
Cấp độ thứ năm

19. Kiểm tra

1) Xác định bậc của phương trình
(x 2 3) 5 x(x 1) 15
a) 2
b) 3
c) 1
2) Những số nào là gốc
x(x 1)(x 2) 0?
phương trình
a) -1
b) 0
c) 2
3) Giải phương trình 9 x 3 27 x 2 0
a) 0;-3
b) -3;0;3
c) 0;3

20.

1)
Phương trình nào được gọi là
toàn bộ và làm thế nào để phân biệt nó với
phân số?
2)
Mức độ của một phương trình là gì?
3)
Gốc của một phương trình là gì?
4)
5)
Nó có thể có bao nhiêu rễ?
phương trình bậc 1?
Nó có thể có bao nhiêu rễ?
phương trình bậc 2?

21. Bài tập về nhà:

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi: “Bao nhiêu
gốc có thể có toàn bộ phương trình với
một biến bậc 2, 3, 4, 3?

Hãy xem xét phương trình.
31x 3 – 10x = (x – 5) 2 + 6x 2
Cả bên trái và bên phải của phương trình đều là biểu thức số nguyên.
Hãy nhớ lại rằng các phương trình như vậy được gọi là phương trình toàn phần.
Hãy quay lại phương trình ban đầu của chúng ta và mở ngoặc bằng công thức hiệu bình phương.
Hãy chuyển tất cả các số hạng của phương trình sang vế trái và trình bày các số hạng tương tự.
Các biểu thức “trừ mười x” và “cộng mười x” triệt tiêu lẫn nhau.
Sau khi đưa các số hạng tương tự, chúng ta thu được một phương trình, ở phía bên trái có một đa thức có dạng chuẩn (nói chung chúng ta sẽ gọi nó là “Pe từ x”) và ở phía bên phải là số 0.
Để xác định bậc của toàn bộ phương trình, cần phải rút gọn nó về dạng pe từ x bằng 0, nghĩa là thành phương trình trong đó vế trái chứa đa thức dạng chuẩn và vế phải chứa 0.
Sau đó, cần xác định bậc của đa thức pe từ x. Đây sẽ là mức độ của phương trình.
Hãy xem một ví dụ. Hãy thử xác định mức độ của phương trình này.
Hãy mở ngoặc bằng công thức tính bình phương của tổng.
Tiếp theo, chúng ta chuyển tất cả các số hạng của phương trình sang vế trái và trình bày các số hạng tương tự.
Vì vậy, chúng ta đã thu được một phương trình, ở phía bên trái của nó là một đa thức có dạng chuẩn bậc hai, và ở phía bên phải là bằng 0. Điều này có nghĩa là mức độ của phương trình này là thứ hai.
Mức độ của phương trình xác định nó có bao nhiêu nghiệm.
Có thể chứng minh rằng phương trình bậc một có một nghiệm, phương trình bậc hai không quá hai nghiệm, phương trình bậc ba không quá ba nghiệm, v.v.
Bậc của một phương trình cũng cho chúng ta biết phương trình đó có thể được giải như thế nào.
Ví dụ, chúng ta rút gọn phương trình bậc một về dạng a x cộng bằng ce, trong đó a không bằng 0.
Chúng ta rút gọn phương trình bậc hai thành một phương trình tương đương, ở vế trái là tam thức bình phương, vế phải là số 0. Phương trình như vậy được giải bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc định lý Vieta.
Không có phương pháp chung nào để giải phương trình bậc cao hơn, nhưng có những phương pháp cơ bản mà chúng ta sẽ xem xét bằng các ví dụ.
Hãy giải phương trình lũy thừa ba x lũy thừa ba trừ tám x lũy thừa hai trừ x cộng tám bằng không.
Để giải phương trình này, chúng ta phân tích vế trái của nó bằng phương pháp nhóm và sử dụng công thức hiệu bình phương.
Tiếp theo, bạn cần nhớ rằng tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng 0. Dựa trên điều này, chúng ta kết luận rằng x trừ 8 bằng 0, hoặc x trừ 1 bằng 0, hoặc x cộng một bằng 0. Do đó, nghiệm của phương trình sẽ là các số trừ một, một và tám.
Đôi khi, để giải các phương trình có bậc lớn hơn hai, việc đưa vào một biến mới là điều thuận tiện.
Hãy xem một ví dụ tương tự.
Nếu chúng ta mở ngoặc, di chuyển tất cả các số hạng của phương trình sang bên trái, đưa các số hạng tương tự và trình bày phía bên trái của phương trình dưới dạng đa thức có dạng chuẩn, thì không có phương pháp nào mà chúng ta biết sẽ giúp ích được giải phương trình này. Trong trường hợp này, điều đáng chú ý là cả hai dấu ngoặc đều chứa cùng một biểu thức.
Chính biểu thức này mà chúng ta sẽ ký hiệu là biến mới igrik.
Khi đó phương trình của chúng ta sẽ được rút gọn thành phương trình với biến ig...
Tiếp theo, chúng ta chỉ cần mở dấu ngoặc và di chuyển tất cả các số hạng của phương trình sang vế trái.
Chúng ta hãy đưa các thuật ngữ tương tự và nhận được phương trình bậc hai đã quen thuộc với chúng ta.
Không khó để tìm ra gốc của phương trình này. Ván một bằng sáu, ván thứ hai bằng âm mười sáu.
Bây giờ chúng ta hãy quay lại phương trình ban đầu bằng cách thực hiện phép thế ngược lại.
Ban đầu, chúng tôi lấy biểu thức hai x bình trừ x làm trò chơi. Và vì chúng ta có hai giá trị cho biến y nên chúng ta nhận được hai phương trình. Trong mỗi phương trình, chúng ta chuyển tất cả các số hạng sang vế trái và giải hai phương trình bậc hai thu được. Căn nguyên của phương trình thứ nhất là các số trừ một điểm năm và hai, còn phương trình thứ hai không có nghiệm vì biệt thức của nó nhỏ hơn 0.
Vì vậy, nghiệm của phương trình bậc bốn này là các số trừ một điểm năm và hai.
Một vị trí đặc biệt trong việc phân loại toàn bộ phương trình có phương trình có dạng a x lũy thừa bậc bốn cộng với be x lũy thừa bậc hai cộng ce bằng 0. Các phương trình loại này được gọi là phương trình hai phương trình.
Những phương trình như vậy có thể được giải bằng cách thay đổi biến.
Hãy xem một ví dụ.
Trong phương trình này, hãy biểu thị x bình phương bằng igrik. Điều đáng chú ý là biến iGrik không thể nhận giá trị âm.
Chúng ta thu được một phương trình bậc hai có nghiệm là các số một hai mươi lăm và một.
Hãy thực hiện thay thế ngược lại.
Các nghiệm của phương trình thứ nhất là một phần năm và trừ một phần năm, còn nghiệm của phương trình thứ hai là một và trừ một.
Như vậy, chúng ta đã tìm được bốn nghiệm của phương trình hai phương trình ban đầu.

Chúng ta hãy làm quen với các phương trình hữu tỉ và phân số, đưa ra định nghĩa, đưa ra ví dụ và phân tích các loại bài toán phổ biến nhất.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Phương trình hữu tỉ: định nghĩa và ví dụ

Việc làm quen với các biểu thức hợp lý bắt đầu từ lớp 8 ở trường. Lúc này, trong các bài học đại số, học sinh ngày càng bắt đầu gặp những bài tập có phương trình chứa các biểu thức hữu tỉ trong ghi chú của mình. Hãy làm mới trí nhớ của chúng ta về nó là gì.

Định nghĩa 1

phương trình hữu tỉ là một phương trình trong đó cả hai vế đều chứa các biểu thức hữu tỉ.

Trong các hướng dẫn sử dụng khác nhau, bạn có thể tìm thấy một công thức khác.

Định nghĩa 2

phương trình hữu tỉ- đây là một phương trình, vế trái chứa biểu thức hữu tỉ và vế phải chứa số 0.

Các định nghĩa mà chúng tôi đưa ra cho các phương trình hữu tỉ là tương đương nhau, vì chúng nói về cùng một thứ. Tính đúng đắn của lời nói của chúng tôi được xác nhận bởi thực tế là đối với bất kỳ biểu thức hợp lý nào P Và Q phương trình P = Q Và P − Q = 0 sẽ là biểu thức tương đương.

Bây giờ chúng ta hãy xem các ví dụ.

Ví dụ 1

Phương trình hợp lý:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Phương trình hữu tỉ, giống như các loại phương trình khác, có thể chứa bất kỳ số lượng biến nào từ 1 đến vài. Để bắt đầu, chúng ta sẽ xem xét các ví dụ đơn giản trong đó các phương trình chỉ chứa một biến. Và sau đó chúng ta sẽ bắt đầu dần dần phức tạp hóa nhiệm vụ.

Các phương trình hữu tỉ được chia thành hai nhóm lớn: số nguyên và phân số. Hãy xem phương trình nào sẽ áp dụng cho mỗi nhóm.

Định nghĩa 3

Một phương trình hữu tỉ sẽ là số nguyên nếu vế trái và phải của nó chứa toàn bộ biểu thức hữu tỉ.

Định nghĩa 4

Một phương trình hữu tỉ sẽ có tính phân số nếu một hoặc cả hai phần của nó đều chứa một phân số.

Các phương trình hữu tỉ phân số nhất thiết phải có phép chia cho một biến hoặc biến có mặt ở mẫu số. Không có sự phân chia như vậy trong việc viết toàn bộ phương trình.

Ví dụ 2

3 x + 2 = 0 Và (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5- toàn bộ phương trình hợp lý. Ở đây cả hai vế của phương trình được biểu diễn bằng biểu thức số nguyên.

1 x - 1 = x 3 và x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 là các phương trình hữu tỉ phân số.

Toàn bộ phương trình hữu tỉ bao gồm phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai.

Giải toàn bộ phương trình

Việc giải các phương trình như vậy thường là chuyển đổi chúng thành các phương trình đại số tương đương. Điều này có thể đạt được bằng cách thực hiện các phép biến đổi tương đương của các phương trình theo thuật toán sau:

đầu tiên chúng ta nhận được số 0 ở vế phải của phương trình; để làm điều này, chúng ta cần di chuyển biểu thức ở vế phải của phương trình sang vế trái của nó và đổi dấu;
sau đó chúng ta biến đổi biểu thức ở vế trái của phương trình thành một đa thức có dạng chuẩn.

Chúng ta phải có được một phương trình đại số. Phương trình này sẽ tương đương với phương trình ban đầu. Các trường hợp dễ dàng cho phép chúng ta quy toàn bộ phương trình thành phương trình tuyến tính hoặc phương trình bậc hai để giải bài toán. Nói chung, chúng ta giải một phương trình đại số bậc N.

Ví dụ 3

Cần phải tìm nghiệm nguyên của toàn bộ phương trình 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Giải pháp

Chúng ta hãy biến đổi biểu thức ban đầu để thu được một phương trình đại số tương đương. Để làm điều này, chúng ta sẽ chuyển biểu thức ở vế phải của phương trình sang vế trái và thay dấu bằng dấu ngược lại. Kết quả là chúng tôi nhận được: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Bây giờ, hãy chuyển đổi biểu thức ở bên trái thành dạng đa thức chuẩn và thực hiện các hành động cần thiết với đa thức này:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Chúng tôi đã tìm cách chuyển nghiệm của phương trình ban đầu thành nghiệm của phương trình bậc hai có dạng x 2 − 5 x − 6 = 0. Phân biệt của phương trình này là dương: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .Điều này có nghĩa là sẽ có hai gốc thực sự. Chúng ta hãy tìm chúng bằng cách sử dụng công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 hoặc x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 hoặc x 2 = - 1

Hãy kiểm tra tính đúng đắn của các nghiệm của phương trình mà chúng ta tìm thấy trong quá trình giải. Để làm điều này, chúng tôi thay thế các số chúng tôi nhận được vào phương trình ban đầu: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Và 3 · (- 1 + 1) · (- 1 − 3) = (- 1) · (2 · (- 1) − 1) − 3. Trong trường hợp đầu tiên 63 = 63 , trong giây phút thứ hai 0 = 0 . Rễ x = 6 Và x = − 1 thực sự là nghiệm của phương trình đã cho trong điều kiện ví dụ.

Trả lời: 6 , − 1 .

Chúng ta hãy xem "mức độ của toàn bộ phương trình" nghĩa là gì. Chúng ta sẽ thường gặp thuật ngữ này trong trường hợp cần biểu diễn toàn bộ phương trình dưới dạng đại số. Hãy xác định khái niệm.

Định nghĩa 5

Bậc của toàn bộ phương trình là bậc của phương trình đại số tương đương với phương trình số nguyên ban đầu.

Nếu bạn nhìn vào các phương trình từ ví dụ trên, bạn có thể xác định: bậc của toàn bộ phương trình này là bậc hai.

Nếu khóa học của chúng tôi chỉ giới hạn ở việc giải các phương trình bậc hai, thì cuộc thảo luận về chủ đề này có thể kết thúc ở đó. Nhưng nó không đơn giản như vậy. Việc giải các phương trình bậc ba gặp rất nhiều khó khăn. Và đối với các phương trình trên bậc bốn thì không có công thức nghiệm tổng quát nào cả. Về vấn đề này, việc giải toàn bộ phương trình bậc ba, bậc bốn và các bậc khác đòi hỏi chúng ta phải sử dụng một số kỹ thuật và phương pháp khác.

Cách tiếp cận được sử dụng phổ biến nhất để giải toàn bộ phương trình hữu tỉ là dựa trên phương pháp phân tích nhân tử. Thuật toán hành động trong trường hợp này như sau:

chúng ta di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái sao cho số 0 vẫn ở bên phải của bản ghi;
Chúng ta biểu diễn biểu thức ở vế trái dưới dạng tích của các thừa số, sau đó chuyển sang một tập hợp các phương trình đơn giản hơn.

Ví dụ 4

Tìm nghiệm của phương trình (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Giải pháp

Chúng ta di chuyển biểu thức từ phía bên phải của bản ghi sang bên trái với dấu ngược lại: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Việc chuyển đổi vế trái sang đa thức ở dạng chuẩn là không phù hợp vì thực tế là điều này sẽ cho chúng ta một phương trình đại số bậc bốn: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Sự dễ dàng chuyển đổi không giải thích được tất cả những khó khăn trong việc giải phương trình như vậy.

Đi theo cách khác sẽ dễ dàng hơn nhiều: hãy lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc x 2 − 10 x + 13 . Vì vậy chúng ta đi đến một phương trình có dạng (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Bây giờ chúng ta thay thế phương trình kết quả bằng một tập hợp hai phương trình bậc hai x 2 − 10 x + 13 = 0 Và x 2 − 2 x − 1 = 0 và tìm ra nguồn gốc của chúng thông qua phân biệt: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Trả lời: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Theo cách tương tự, chúng ta có thể sử dụng phương pháp giới thiệu một biến mới. Phương pháp này cho phép chúng ta chuyển sang các phương trình tương đương có bậc thấp hơn bậc trong phương trình số nguyên ban đầu.

Ví dụ 5

Phương trình có gốc không? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Giải pháp

Nếu bây giờ chúng ta cố gắng rút gọn toàn bộ phương trình hữu tỉ thành một phương trình đại số, chúng ta sẽ thu được một phương trình bậc 4 không có nghiệm hữu tỉ. Do đó, sẽ dễ dàng hơn cho chúng ta khi đi theo hướng khác: đưa vào một biến y mới, biến này sẽ thay thế biểu thức trong phương trình x 2 + 3 x.

Bây giờ chúng ta sẽ làm việc với toàn bộ phương trình (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Hãy chuyển vế phải của phương trình sang trái với dấu ngược lại và thực hiện các phép biến đổi cần thiết. Chúng tôi nhận được: y 2 + 4 y + 3 = 0. Hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai: y = − 1 Và y = − 3.

Bây giờ hãy thực hiện thay thế ngược lại. Ta được hai phương trình x 2 + 3 x = − 1 Và x 2 + 3 · x = − 3 . Hãy viết lại chúng thành x 2 + 3 x + 1 = 0 và x 2 + 3 x + 3 = 0. Chúng ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình thứ nhất từ những giá trị thu được: - 3 ± 5 2. Phân biệt của phương trình thứ hai là âm. Điều này có nghĩa là phương trình thứ hai không có nghiệm thực.

Trả lời:- 3 ± 5 2

Toàn bộ phương trình bậc cao xuất hiện trong các bài toán khá thường xuyên. Không cần phải sợ họ. Bạn cần sẵn sàng sử dụng một phương pháp không chuẩn để giải chúng, bao gồm một số phép biến đổi nhân tạo.

Giải phương trình hữu tỉ phân số

Chúng ta sẽ bắt đầu xem xét chủ đề phụ này bằng một thuật toán giải các phương trình hữu tỉ phân số có dạng p (x) q (x) = 0, trong đó p(x) Và q(x)- toàn bộ các biểu thức hợp lý. Giải các phương trình hữu tỉ phân số khác luôn có thể được rút gọn thành giải các phương trình thuộc loại đã chỉ ra.

Phương pháp được sử dụng phổ biến nhất để giải các phương trình p (x) q (x) = 0 dựa trên phát biểu sau: phân số bạn v, Ở đâu v- đây là một số khác 0, chỉ bằng 0 trong những trường hợp tử số của phân số bằng 0. Theo logic của phát biểu trên, chúng ta có thể khẳng định rằng nghiệm của phương trình p (x) q (x) = 0 có thể rút gọn để thỏa mãn hai điều kiện: p(x)=0 Và q(x) ≠ 0. Đây là cơ sở để xây dựng thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số có dạng p(x)q(x) = 0:

tìm nghiệm của toàn bộ phương trình hữu tỉ p(x)=0;
chúng tôi kiểm tra xem điều kiện có được thỏa mãn đối với các nghiệm được tìm thấy trong quá trình giải pháp hay không q(x) ≠ 0.

Nếu điều kiện này được đáp ứng thì root đã tìm được. Nếu không, thì root đó không phải là giải pháp cho vấn đề.

Ví dụ 6

Hãy tìm nghiệm nguyên của phương trình 3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0.

Giải pháp

Chúng ta đang xét một phương trình hữu tỉ phân số có dạng p (x) q (x) = 0, trong đó p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Hãy bắt đầu giải phương trình tuyến tính 3 x − 2 = 0. Căn nguyên của phương trình này sẽ là x = 2 3.

Hãy kiểm tra gốc tìm được xem nó có thỏa mãn điều kiện không 5 x 2 − 2 ≠ 0. Để làm điều này, hãy thay thế một giá trị số vào biểu thức. Ta có: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Điều kiện được đáp ứng. Điều này có nghĩa là x = 2 3 là nghiệm của phương trình ban đầu.

Trả lời: 2 3 .

Có một cách khác để giải phương trình hữu tỉ phân số p (x) q (x) = 0. Hãy nhớ lại rằng phương trình này tương đương với toàn bộ phương trình p(x)=0 về khoảng giá trị cho phép của biến x của phương trình ban đầu. Điều này cho phép chúng ta sử dụng thuật toán sau để giải các phương trình p (x) q (x) = 0:

giải phương trình p(x)=0;
tìm khoảng giá trị cho phép của biến x;
chúng ta lấy các nghiệm nằm trong khoảng giá trị cho phép của biến x làm các nghiệm mong muốn của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu.

Ví dụ 7

Giải phương trình x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Giải pháp

Đầu tiên hãy giải phương trình bậc hai x 2 − 2 x − 11 = 0. Để tính căn của nó, chúng ta sử dụng công thức căn cho hệ số chẵn thứ hai. chúng tôi nhận được D 1 = (- 1) 2 − 1 · (- 11) = 12, và x = 1 ± 2 3 .

Bây giờ chúng ta có thể tìm ODZ của biến x cho phương trình ban đầu. Đây là tất cả những con số mà x 2 + 3 x ≠ 0. Nó giống như x (x + 3) ≠ 0, từ đó x ≠ 0, x ≠ − 3.

Bây giờ hãy kiểm tra xem các nghiệm x = 1 ± 2 3 thu được ở bước giải đầu tiên có nằm trong phạm vi giá trị cho phép của biến x hay không. Chúng tôi thấy họ đang đi vào. Điều này có nghĩa là phương trình hữu tỉ phân số ban đầu có hai nghiệm x = 1 ± 2 3.

Trả lời: x = 1 ± 2 3

Phương pháp giải thứ hai được mô tả đơn giản hơn phương pháp thứ nhất trong trường hợp dễ dàng tìm thấy phạm vi giá trị cho phép của biến x và nghiệm của phương trình p(x)=0 phi lý. Ví dụ: 7 ± 4 · 26 9. Các nghiệm có thể là số hữu tỷ, nhưng có tử số hoặc mẫu số lớn. Ví dụ, 127 1101 Và − 31 59 . Điều này giúp tiết kiệm thời gian kiểm tra tình trạng q(x) ≠ 0: Việc loại trừ những rễ không phù hợp theo ODZ sẽ dễ dàng hơn nhiều.

Trong trường hợp nghiệm của phương trình p(x)=0 là các số nguyên, sẽ thích hợp hơn khi sử dụng thuật toán đầu tiên được mô tả để giải phương trình dạng p (x) q (x) = 0. Tìm nghiệm của toàn bộ phương trình nhanh hơn p(x)=0, rồi kiểm tra xem điều kiện có thỏa mãn với chúng không q(x) ≠ 0, thay vì tìm ODZ, rồi giải phương trình p(x)=0 trên ODZ này. Điều này là do thực tế là trong những trường hợp như vậy, việc kiểm tra thường dễ dàng hơn là tìm DZ.

Ví dụ 8

Tìm nghiệm của phương trình (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Giải pháp

Hãy bắt đầu bằng cách nhìn vào toàn bộ phương trình (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 và tìm ra cội nguồn của nó. Để làm được điều này, chúng tôi áp dụng phương pháp giải phương trình thông qua nhân tử hóa. Hóa ra phương trình ban đầu tương đương với một bộ gồm bốn phương trình 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, trong đó có ba phương trình tuyến tính và một là bậc hai. Tìm nghiệm: từ phương trình đầu tiên x = 1 2, từ giây – x = 6, từ phần thứ ba – x = 7 , x = − 2 , từ phần thứ tư – x = − 1.

Hãy kiểm tra rễ thu được. Rất khó để chúng ta xác định ODZ trong trường hợp này, vì để làm được điều này, chúng ta sẽ phải giải một phương trình đại số bậc năm. Sẽ dễ dàng hơn để kiểm tra điều kiện theo đó mẫu số của phân số, nằm ở vế trái của phương trình, không được tiến tới 0.

Hãy lần lượt thay các nghiệm của biến x trong biểu thức x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 và tính giá trị của nó:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Việc xác minh được thực hiện cho phép chúng tôi thiết lập rằng nghiệm của phương trình hữu tỉ phân số ban đầu là 1 2, 6 và − 2 .

Trả lời: 1 2 , 6 , - 2

Ví dụ 9

Tìm nghiệm nguyên của phương trình hữu tỉ phân số 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Giải pháp

Hãy bắt đầu làm việc với phương trình (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Hãy tìm ra nguồn gốc của nó. Chúng ta dễ hình dung phương trình này như một tập hợp các phương trình bậc hai và tuyến tính 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Và x − 2 = 0.

Chúng ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm. Chúng ta thu được từ phương trình thứ nhất hai nghiệm x = 7 ± 69 10 và từ phương trình thứ hai x = 2.

Sẽ khá khó khăn cho chúng ta khi thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để kiểm tra điều kiện. Việc xác định ODZ của biến x sẽ dễ dàng hơn. Trong trường hợp này, ODZ của biến x là tất cả các số ngoại trừ những số thỏa mãn điều kiện x 2 + 5 x − 14 = 0. Ta có: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Bây giờ hãy kiểm tra xem các nghiệm mà chúng ta tìm thấy có thuộc phạm vi giá trị cho phép của biến x hay không.

Các nghiệm x = 7 ± 69 10 thuộc về, do đó, chúng là nghiệm của phương trình ban đầu, và x = 2- không thuộc về nên nó là gốc ngoại lai.

Trả lời: x = 7 ± 69 10 .

Chúng ta hãy xem xét riêng các trường hợp khi tử số của phương trình hữu tỉ phân số có dạng p (x) q (x) = 0 chứa một số. Trong những trường hợp như vậy, nếu tử số chứa một số khác 0 thì phương trình sẽ không có nghiệm. Nếu số này bằng 0 thì gốc của phương trình sẽ là bất kỳ số nào từ ODZ.

Ví dụ 10

Giải phương trình hữu tỉ phân số - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Giải pháp

Phương trình này sẽ không có nghiệm vì tử số của phân số ở vế trái của phương trình chứa một số khác 0. Điều này có nghĩa là không có giá trị nào của x thì giá trị của phân số cho trong câu lệnh bài toán sẽ bằng 0.

Trả lời: không có rễ.

Ví dụ 11

Giải phương trình 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Giải pháp

Vì tử số của phân số chứa số 0 nên nghiệm của phương trình sẽ là giá trị x bất kỳ tính từ ODZ của biến x.

Bây giờ hãy xác định ODZ. Nó sẽ bao gồm tất cả các giá trị của x mà x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Giải pháp cho phương trình x 4 + 5 x 3 = 0 là 0 Và − 5 , vì phương trình này tương đương với phương trình x 3 (x + 5) = 0, và điều này tương đương với sự kết hợp của hai phương trình x 3 = 0 và x + 5 = 0, nơi có thể nhìn thấy những rễ này. Chúng tôi đi đến kết luận rằng phạm vi giá trị chấp nhận được mong muốn là bất kỳ x nào ngoại trừ x = 0 Và x = − 5.

Hóa ra phương trình hữu tỉ phân số 0 x 4 + 5 x 3 = 0 có vô số nghiệm, là bất kỳ số nào khác 0 và - 5.

Trả lời: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Bây giờ chúng ta hãy nói về các phương trình hữu tỉ phân số có dạng tùy ý và phương pháp giải chúng. Chúng có thể được viết là r(x) = s(x), Ở đâu r(x) Và s(x)– biểu thức hữu tỷ và ít nhất một trong số chúng là phân số. Việc giải các phương trình như vậy rút gọn về việc giải các phương trình có dạng p (x) q (x) = 0.

Chúng ta đã biết rằng chúng ta có thể thu được một phương trình tương đương bằng cách chuyển một biểu thức từ vế phải của phương trình sang trái với dấu ngược lại. Điều này có nghĩa là phương trình r(x) = s(x) tương đương với phương trình r(x) − s(x) = 0. Chúng ta cũng đã thảo luận về cách chuyển một biểu thức hữu tỉ thành một phân số hữu tỉ. Nhờ đó, chúng ta có thể dễ dàng biến đổi phương trình r(x) − s(x) = 0 thành một phân số hữu tỷ giống hệt nhau có dạng p (x) q (x) .

Vì vậy chúng ta chuyển từ phương trình hữu tỉ phân số ban đầu r(x) = s(x)đến một phương trình có dạng p (x) q (x) = 0, mà chúng ta đã học cách giải.

Cần lưu ý rằng khi thực hiện chuyển đổi từ r(x) − s(x) = 0đến p(x)q(x) = 0 và sau đó đến p(x)=0 chúng ta có thể không tính đến việc mở rộng phạm vi giá trị cho phép của biến x.

Rất có thể phương trình ban đầu r(x) = s(x) và phương trình p(x)=0 do sự biến đổi, chúng sẽ không còn tương đương. Khi đó giải phương trình p(x)=0 có thể cho chúng ta những gốc rễ xa lạ r(x) = s(x). Về vấn đề này, trong mỗi trường hợp cần phải tiến hành xác minh bằng bất kỳ phương pháp nào được mô tả ở trên.

Để giúp các bạn nghiên cứu chủ đề dễ dàng hơn, chúng tôi đã tổng hợp tất cả thông tin thành một thuật toán giải phương trình hữu tỉ phân số có dạng r(x) = s(x):

chúng ta chuyển biểu thức từ vế phải sang dấu ngược lại và lấy số 0 ở bên phải;
biến đổi biểu thức ban đầu thành phân số hữu tỷ p (x) q (x), thực hiện tuần tự các phép toán với phân số và đa thức;
giải phương trình p(x)=0;
chúng tôi xác định các nghiệm không liên quan bằng cách kiểm tra xem chúng có thuộc ODZ hoặc bằng cách thay thế vào phương trình ban đầu.

Nhìn trực quan, chuỗi hành động sẽ trông như thế này:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → loại bỏ Rễ BÊN NGOÀI

Ví dụ 12

Giải phương trình hữu tỉ phân số x x + 1 = 1 x + 1 .

Giải pháp

Hãy chuyển sang phương trình x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Hãy biến đổi biểu thức hữu tỉ phân số ở vế trái của phương trình thành dạng p (x) q (x) .

Để làm điều này, chúng ta sẽ phải quy đổi các phân số hữu tỷ về mẫu số chung và đơn giản hóa biểu thức:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Để tìm nghiệm của phương trình - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, chúng ta cần giải phương trình − 2 x − 1 = 0. Chúng tôi nhận được một gốc x = - 1 2.

Tất cả những gì chúng ta phải làm là kiểm tra bằng bất kỳ phương pháp nào. Chúng ta hãy nhìn vào cả hai.

Hãy thay thế giá trị kết quả vào phương trình ban đầu. Chúng ta nhận được - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Chúng ta đã đạt đến đẳng thức số chính xác − 1 = − 1 . Điều này có nghĩa là x = − 1 2 là nghiệm của phương trình ban đầu.

Bây giờ hãy kiểm tra qua ODZ. Hãy xác định khoảng giá trị cho phép của biến x. Đây sẽ là toàn bộ tập hợp số, ngoại trừ − 1 và 0 (tại x = − 1 và x = 0, mẫu số của các phân số biến mất). Gốc chúng tôi thu được x = − 1 2 thuộc về ODZ. Điều này có nghĩa là nó là nghiệm của phương trình ban đầu.

Trả lời: − 1 2 .

Ví dụ 13

Tìm nghiệm của phương trình x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Giải pháp

Chúng ta đang giải quyết một phương trình hữu tỉ phân số. Vì vậy, chúng tôi sẽ hành động theo thuật toán.

Hãy di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái với dấu ngược lại: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Hãy thực hiện các phép biến đổi cần thiết: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Chúng ta đi đến phương trình x = 0. Căn nguyên của phương trình này bằng không.

Hãy kiểm tra xem gốc này có ngoại lai với phương trình ban đầu hay không. Thay giá trị vào phương trình ban đầu: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Như bạn có thể thấy, phương trình kết quả không có ý nghĩa gì. Điều này có nghĩa là 0 là một nghiệm ngoại lai và phương trình hữu tỉ phân số ban đầu không có nghiệm.

Trả lời: không có rễ.

Nếu chúng tôi chưa đưa các phép biến đổi tương đương khác vào thuật toán, điều này không có nghĩa là chúng không thể được sử dụng. Thuật toán này có tính phổ biến nhưng được thiết kế để trợ giúp chứ không phải để giới hạn.

Ví dụ 14

Giải phương trình 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Giải pháp

Cách dễ nhất là giải phương trình hữu tỉ phân số đã cho theo thuật toán. Nhưng có một cách khác. Hãy xem xét nó.

Trừ 7 từ vế phải và vế trái, ta được: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức ở mẫu số ở vế trái phải bằng nghịch đảo của số ở vế phải, tức là 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Trừ 3 từ cả hai vế: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Bằng cách tương tự, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, từ đó 1 5 - x 2 = 1 3, rồi 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Chúng ta hãy tiến hành kiểm tra để xác định xem các nghiệm tìm được có phải là nghiệm của phương trình ban đầu hay không.

Trả lời: x = ± 2

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Trường học: Phân hiệu của Trường Trung học Cơ sở Giáo dục Thành phố. Svyatoslavka trong làng. Vozdvizhenka

Môn: toán học.

Chương trình giảng dạy – 5 giờ mỗi tuần (trong đó 3 giờ đại số, 2 giờ hình học)

Chủ đề: Toàn bộ phương trình và nghiệm của nó. Giải toàn bộ phương trình.

Loại bài học: nâng cao kỹ năng và khả năng.

Mục tiêu bài học:

mang tính mô phạm : hệ thống hóa, khái quát hóa, mở rộng, đào sâu kiến thức giải các phương trình có một biến trên bậc hai của học sinh; chuẩn bị cho học sinh vận dụng kiến thức vào các tình huống không chuẩn cho Kỳ thi Thống nhất.

đang phát triển : phát triển nhân cách học sinh thông qua hoạt động sáng tạo độc lập, phát huy tính chủ động của học sinh; cung cấp một môi trường động lực ổn định, hứng thú với chủ đề đang nghiên cứu; phát triển khả năng khái quát hóa, lựa chọn đúng phương pháp giải phương trình;

giáo dục: phát triển hứng thú học toán, chuẩn bị cho học sinh vận dụng kiến thức vào các tình huống không chuẩn mực; trau dồi ý chí và sự kiên trì để đạt được kết quả cuối cùng

Các bước học	Thời gian	Hình thức	Hoạt động của giáo viên	Hoạt động sinh viên	Ghi chú
1.1.Tổ chức. Chốc lát (*Phần giới thiệu và động viên, nhằm nâng cao hoạt động của học sinh)*		(Phụ lục 1)	Định nghĩa sự sẵn sàng của sinh viên. Tập trung sự chú ý của học sinh. Trích dẫn khẩu hiệu bài học và đề từ cho bài học.	Nghe, trả lời câu hỏi, rút ra kết luận,
1.2. Kiểm tra bài tập về nhà Cập nhật kiến thức tham khảo		Khảo sát miệng (Phụ lục 2-4)	Điều phối hoạt động của sinh viên	Đưa ra định nghĩa của phương trình, nghiệm của phương trình, khái niệm giải phương trình Họ giải các phương trình bằng miệng và tách toàn bộ phương trình ra khỏi chúng.	hình thành năng lực nhận thức
1.3. Thiết lập mục tiêu và động lực		quy hoạch	Tạo động lực cho sinh viên Truyền đạt mục tiêu bài học	Đặt tên và ghi lại chủ đề bài học, tự đặt ra mục tiêu bài học cho mình.	hình thành năng lực giao tiếp
2.1. Hệ thống hóa kiến thức. *Bàn thắng* : dạy viết văn ngắn hợp lý, rèn luyện khả năng rút ra kết luận, khái quát		(Phụ lục 5)	Đưa ra ví dụ về toàn bộ phương trình thuộc nhiều loại khác nhau.	Họ lắng nghe, trả lời các câu hỏi, rút ra kết luận và giải thích cách giải toàn bộ phương trình. Biên soạn và viết phần tóm tắt hỗ trợ cho bài học vào vở.	hình thành năng lực nhận thức, giao tiếp và xã hội
2.2. phút giáo dục thể chất		Bình luận	Bình luận về Bộ bài tập mắt	Học sinh lặp lại bài tập.
2.3. Hợp nhất. Giải toàn bộ phương trình Mục tiêu: dạy vận hành kiến thức, phát triển sự linh hoạt trong vận dụng kiến thức		Hoạt động thực tế (Phụ lục 6)	Tổ chức và kiểm soát các hoạt động của học sinh. Chỉ ra các giải pháp khác nhau	Họ giải toàn bộ phương trình vào vở, đưa đáp án lên bảng và kiểm tra. Rút ra kết luận	Hợp nhất hình thành thông tin và nhận thức năng lực
3.1. Tóm tắt bài học		Sự phản xạ (Phụ lục 7)	Gây hứng thú cho học sinh tóm tắt bài học Cho điểm.	Tóm tắt tài liệu đã học. Họ rút ra một kết luận. Viết bài tập về nhà. Đánh giá công việc của họ	Hoàn thành phương trình

(Phụ lục 1)

1.Thời điểm tổ chức- Xác định được mục tiêu, mục tiêu của bài học.

các bạn! Bạn sẽ có chứng chỉ cuối cùng về toán học dưới hình thức Kỳ thi cấp Bang và Kỳ thi Thống nhất cấp Bang. Để vượt qua thành công Kỳ thi cấp Bang và Kỳ thi Thống nhất, bạn không chỉ phải biết toán ở mức tối thiểu mà còn phải áp dụng kiến thức của mình vào các tình huống không chuẩn. Trong phần B và C của Kỳ thi Thống nhất, các phương trình bậc cao hơn thường được tìm thấy. Nhiệm vụ của chúng ta: hệ thống hóa và khái quát hóa, mở rộng và đào sâu kiến thức về giải toàn bộ phương trình có một biến trên bậc hai; chuẩn bị vận dụng kiến thức vào các tình huống không chuẩn cho kỳ thi cấp bang và kỳ thi thống nhất cấp bang.

Phương châmbài học của chúng ta: “Tôi càng biết nhiều, tôi càng có thể làm được nhiều hơn”.

đoạn văn:

Ai không nhận ra điều gì

Anh ấy không học gì cả.

Ai không học gì

Anh ấy luôn than vãn và buồn chán.

(nhà thơ R. Seph).

Phương trình là bài toán đơn giản và phổ biến nhất. Bạn đã tích lũy được một số kinh nghiệm trong việc giải các phương trình khác nhau và chúng ta cần sắp xếp kiến thức của mình theo thứ tự cũng như hiểu các kỹ thuật giải phương trình không chuẩn.

bạn bản thân các phương trình đang được quan tâm nghiên cứu. Các bản thảo sớm nhất chỉ ra rằng các kỹ thuật giải phương trình tuyến tính đã được biết đến ở Babylon cổ đại và Ai Cập cổ đại. Phương trình bậc hai có thể được giải cách đây khoảng 2000 năm trước Công nguyên. đ. Người Babylon.

Các kỹ thuật và phương pháp tiêu chuẩn để giải các phương trình đại số cơ bản là một phần không thể thiếu trong việc giải tất cả các loại phương trình.

Trong những trường hợp đơn giản nhất, việc giải phương trình với một ẩn số được chia thành hai bước: chuyển phương trình thành phương trình chuẩn và giải phương trình chuẩn. Không thể thuật toán hóa hoàn toàn quá trình giải phương trình, nhưng sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ các kỹ thuật phổ biến nhất chung cho tất cả các loại phương trình. Nhiều các phương trình khi sử dụng các kỹ thuật phi tiêu chuẩn được giải ngắn hơn và dễ dàng hơn nhiều.

Chúng tôi sẽ tập trung sự chú ý vào họ.

(Phụ lục 2)

Đang cập nhật kiến thức.

Đối với bài tập về nhà, bạn được giao nhiệm vụ nhắc lại chủ đề về phương trình và cách giải chúng.

Ø Phương trình được gọi là gì? ( Phương trình chứa một biến gọi là phương trình có một biến)

Ø Gốc của một phương trình là gì?(Giá trị của biến mà tại đó phương trình chuyển thành dạng số đúng

bình đẳng.)

Ø Việc giải một phương trình có ý nghĩa gì?(Tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nào.)

Tôi đề nghị bạn giải bằng miệng một số phương trình:

a) x2 = 0 e) x3 – 25x = 0

b) 3x – 6 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0

c) x2 – 9 = 0 h) x4 – x2 = 0

d) x2 = 1/36 i) x2 – 0,01 = 0,03

e) x2 = – 25 j) 19 – c2 = 10

Hãy cho tôi biết, điều gì hợp nhất các phương trình này?(biến đơn, toàn bộ phương trình, v.v.)

Ø Toàn bộ phương trình với một biến được gọi là gì? ( Các phương trình trong đó vế trái và vế phải là số nguyên

biểu thức

Ø Mức độ của toàn bộ phương trình được gọi là gì?(Bậc của phương trình tương đương có dạng P(x) = 0,Ở đâu P(x) –đa thức

loại tiêu chuẩn)

Ø Toàn bộ phương trình có thể có bao nhiêu nghiệm với một biến số 2, 3, 4, N bằng cấp(không quá 2, 3, 4, P)

Tôi có biết phương pháp giải toàn bộ phương trình không?

Tôi có biết cách áp dụng những phương pháp này không?

Tôi có thể tự mình giải phương trình được không?

Bạn có cảm thấy thoải mái trong giờ học không?

6. Trên “3” - bảng số 1 + phương trình 1 từ các bảng còn lại.

Trên “4” - bảng số 1 + 1 phương trình từ hai bảng bất kỳ

Trên “5” - Bảng số 1 + 1 phương trình từ mỗi phương trình còn lại

bàn

https://pandia.ru/text/80/110/images/image007_63.gif" width="594" Height="375 src=">

Tóm tắt:

Điền vào bảng tự đánh giá

Chấm điểm

Ở nhà: hoàn thành các phương trình chưa giải còn lại từ tất cả các bảng.

Bài học: toàn bộ phương trình và nghiệm của nó. Toàn bộ phương trình và gốc của nó

“danh sách kiểm tra của sinh viên”

Xem nội dung tài liệu "tài liệu"

"Bài kiểm tra"

Xem nội dung trình bày "1"

Chính tả toán học

Giải phương trình bằng miệng:

Giải phương trình:

Toàn bộ phương trình và gốc của nó

Mục tiêu bài học:

phương trình

Toàn bộ phương trình

10. Bậc của phương trình

11. Bậc của phương trình là gì?

12. Hãy lặp lại

13. Phương trình bậc một

14. Phương trình bậc ba

15. Giải phương trình:

16. Giải phương trình hai phương trình:

17. Giải phương trình:

18. Thiết lập sự tương ứng: Phương pháp phương trình.

19. Kiểm tra

20.

21. Bài tập về nhà:

Phương trình hữu tỉ: định nghĩa và ví dụ

Giải toàn bộ phương trình

Giải phương trình hữu tỉ phân số

Xem nội dung tài liệu
"tài liệu"

Xem nội dung trình bày
"1"