Giải các biểu thức và bất đẳng thức. Giải bất đẳng thức tuyến tính

So sánh giá trị và đại lượng khi giải vấn đề thực tếđã xảy ra từ xa xưa. Đồng thời, các từ như nhiều hơn và ít hơn, cao hơn và thấp hơn, nhẹ hơn và nặng hơn, êm hơn và to hơn, rẻ hơn và đắt hơn, v.v. xuất hiện, biểu thị kết quả so sánh các đại lượng đồng nhất.

Các khái niệm nhiều hơn và ít hơn nảy sinh liên quan đến việc đếm các đồ vật, đo lường và so sánh số lượng. Ví dụ, các nhà toán học Hy Lạp cổ đại biết rằng cạnh của bất kỳ tam giác nào cũng nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại và cạnh lớn hơn của tam giác nằm đối diện với góc lớn hơn. Archimedes, trong khi tính chu vi, đã xác định rằng chu vi của bất kỳ hình tròn nào đều bằng ba lần đường kính với phần dư nhỏ hơn một phần bảy đường kính nhưng lớn hơn mười bảy mươi lần đường kính.

Viết một cách tượng trưng mối quan hệ giữa các số và số lượng bằng cách sử dụng các dấu > và b. Bản ghi trong đó hai số được kết nối bằng một trong các dấu: > (lớn hơn), Bạn cũng gặp phải bất đẳng thức số trong lớp học cơ sở. Bạn biết rằng bất đẳng thức có thể đúng hoặc có thể sai. Ví dụ: \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) là một bất đẳng thức số đúng, 0,23 > 0,235 là một bất đẳng thức số không chính xác.

Các bất đẳng thức liên quan đến ẩn số có thể đúng với một số giá trị của ẩn số và sai đối với những giá trị khác. Ví dụ: bất đẳng thức 2x+1>5 đúng với x = 3, nhưng sai với x = -3. Đối với bất đẳng thức có một ẩn số, bạn có thể đặt nhiệm vụ: giải bất đẳng thức. Các bài toán giải bất phương trình trong thực tế được đặt ra và giải quyết không kém các bài toán giải phương trình. Ví dụ, nhiều vấn đề kinh tếđược giảm xuống việc nghiên cứu và giải các hệ bất đẳng thức tuyến tính. Trong nhiều ngành toán học, bất đẳng thức còn phổ biến hơn phương trình.

Một số bất bình đẳng đóng vai trò là sự bất bình đẳng duy nhất phụ trợ, cho phép bạn chứng minh hoặc bác bỏ sự tồn tại của một đối tượng nhất định, ví dụ như nghiệm của một phương trình.

Bất đẳng thức số

Bạn có thể so sánh các số nguyên không? số thập phân. Bạn có biết quy tắc so sánh không? phân số thông thường có cùng mẫu số nhưng khác tử số; có cùng tử số nhưng mẫu số khác nhau. Ở đây bạn sẽ học cách so sánh hai số bất kỳ bằng cách tìm dấu hiệu của sự khác biệt của chúng.

So sánh số được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Ví dụ, một nhà kinh tế so sánh các chỉ số theo kế hoạch với các chỉ số thực tế, một bác sĩ so sánh nhiệt độ của bệnh nhân với nhiệt độ bình thường, một người thợ quay so sánh kích thước của một bộ phận được gia công với tiêu chuẩn. Trong tất cả các trường hợp như vậy, một số con số được so sánh. Kết quả của việc so sánh các số là phát sinh các bất đẳng thức về số.

Sự định nghĩa. Số một số lượng nhiều hơn b, nếu sự khác biệt a-b tích cực. Số một số lượng ít hơn b, nếu chênh lệch a-b là âm.

Nếu a lớn hơn b thì viết: a > b; nếu a nhỏ hơn b thì viết: a Do đó, bất đẳng thức a > b có nghĩa là hiệu a - b là dương, tức là. a - b > 0. Bất đẳng thức a Với hai số a và b bất kỳ từ ba tiếp theo quan hệ a > b, a = b, a So sánh các số a và b tìm ra dấu nào >, = hoặc Định lý. Nếu a > b và b > c thì a > c.

Định lý. Nếu bạn cộng cùng một số vào cả hai vế của bất đẳng thức thì dấu của bất đẳng thức sẽ không thay đổi.
Kết quả. Bất kỳ số hạng nào cũng có thể được chuyển từ phần này sang phần khác của bất đẳng thức bằng cách thay đổi dấu của số hạng này thành phần ngược lại.

Định lý. Nếu nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng số dương thì dấu bất đẳng thức sẽ không thay đổi. Nếu nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng số âm thì dấu của bất đẳng thức sẽ đổi ngược lại.
Kết quả. Nếu chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số dương thì dấu của bất đẳng thức không đổi. Nếu chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm thì dấu của bất đẳng thức sẽ đổi ngược lại.

Bạn biết điều đó đẳng thức số Bạn có thể cộng và nhân số hạng theo số hạng. Tiếp theo, bạn sẽ học cách thực hiện các hành động tương tự với bất đẳng thức. Khả năng cộng và nhân các bất đẳng thức theo số hạng thường được sử dụng trong thực tế. Những hành động này giúp giải quyết vấn đề đánh giá và so sánh ý nghĩa của các biểu thức.

Khi quyết định nhiệm vụ khác nhau Thường thì bạn phải cộng hoặc nhân vế trái và vế phải của bất đẳng thức theo số hạng. Đồng thời, đôi khi người ta nói rằng sự bất bình đẳng cộng lại hoặc nhân lên. Ví dụ: nếu một khách du lịch đi bộ hơn 20 km vào ngày đầu tiên và hơn 25 km vào ngày thứ hai, thì chúng ta có thể nói rằng trong hai ngày anh ta đã đi bộ hơn 45 km. Tương tự, nếu chiều dài của hình chữ nhật nhỏ hơn 13 cm và chiều rộng nhỏ hơn 5 cm thì có thể nói diện tích của hình chữ nhật này nhỏ hơn 65 cm2.

Khi xem xét các ví dụ này, những điều sau đây đã được sử dụng: các định lý về phép cộng và nhân của bất đẳng thức:

Định lý. Khi cộng các bất đẳng thức cùng dấu, thu được bất đẳng thức cùng dấu: nếu a > b và c > d thì a + c > b + d.

Định lý. Khi nhân các bất đẳng thức cùng dấu, có vế trái và vế phải đều dương, thu được bất đẳng thức cùng dấu: nếu a > b, c > d và a, b, c, d là các số dương thì ac > bd.

Các bất đẳng thức có dấu > (lớn hơn) và 1/2, 3/4 b, c Cùng với các dấu của các bất đẳng thức chặt > và Tương tự, bất đẳng thức \(a \geq b \) có nghĩa là số a là lớn hơn hoặc bằng b, tức là .và không nhỏ hơn b.

Bất đẳng thức chứa dấu \(\geq \) hoặc dấu \(\leq \) được gọi là không nghiêm ngặt. Ví dụ: \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) không phải là những bất đẳng thức nghiêm ngặt.

Mọi tính chất của bất đẳng thức chặt chẽ cũng đúng cho bất đẳng thức không chặt chẽ. Hơn nữa, nếu đối với các bất đẳng thức nghiêm ngặt thì các dấu > được coi là ngược nhau và bạn biết rằng để giải chuỗi bài toán ứng dụng bạn phải tạo một mô hình toán học ở dạng phương trình hoặc hệ phương trình. Tiếp theo bạn sẽ tìm ra rằng mô hình toán họcĐể giải quyết nhiều vấn đề, có những bất đẳng thức với ẩn số. Chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm giải bất đẳng thức và chỉ ra cách kiểm tra xem số đã cho giải một bất đẳng thức cụ thể.

Bất đẳng thức về hình thức
\(ax > b, \quad ax trong đó a và b là số đã cho, và x chưa biết, được gọi là bất đẳng thức tuyến tính với một ẩn số.

Sự định nghĩa. Lời giải của bất đẳng thức với một ẩn số là giá trị của ẩn số mà tại đó bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức số thực sự. Giải bất đẳng thức có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nào cả.

Bạn đã giải các phương trình bằng cách rút gọn chúng thành các phương trình đơn giản nhất. Tương tự, khi giải các bất đẳng thức, người ta cố gắng quy chúng bằng cách sử dụng các tính chất về dạng bất đẳng thức đơn giản.

Giải bất đẳng thức bậc hai bằng một biến

Bất đẳng thức về hình thức
\(ax^2+bx+c >0 \) và \(ax^2+bx+c trong đó x là một biến, a, b và c là một số số và \(a \neq 0 \), được gọi bất đẳng thức bậc hai với một biến.

Giải pháp cho sự bất bình đẳng
\(ax^2+bx+c >0 \) hoặc \(ax^2+bx+c có thể được coi là tìm các khoảng trong đó hàm \(y= ax^2+bx+c \) nhận giá trị dương hoặc âm các giá trị Để làm được điều này, chỉ cần phân tích xem đồ thị của hàm \(y= ax^2+bx+c\) nằm ở vị trí nào là đủ mặt phẳng tọa độ: nơi các nhánh của parabol hướng - lên hoặc xuống, parabol có cắt trục x hay không và nếu có thì tại những điểm nào.

Thuật toán giải bất đẳng thức bậc hai một biến:
1) tìm người phân biệt tam thức bậc hai\(ax^2+bx+c\) và tìm hiểu xem tam thức có nghiệm hay không;
2) nếu tam thức có nghiệm, đánh dấu chúng trên trục x và thông qua các điểm đã đánh dấu vẽ một sơ đồ parabol, các nhánh của nó hướng lên trên đối với a > 0 hoặc hướng xuống dưới đối với a 0 hoặc ở dưới cùng đối với a 3) tìm các khoảng trên trục x mà các parabol điểm nằm phía trên trục x (nếu chúng giải được bất đẳng thức \(ax^2+bx+c >0\)) hoặc bên dưới trục x (nếu chúng giải được phương trình bất bình đẳng
\(ax^2+bx+c Giải bất đẳng thức bằng phương pháp khoảng

Hãy xem xét chức năng
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Miền của hàm này là tập hợp tất cả các số. Các số 0 của hàm là các số -2, 3, 5. Chúng chia miền định nghĩa của hàm thành các khoảng \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) và \( (5; +\infty)\)

Chúng ta hãy tìm hiểu những dấu hiệu của chức năng này trong mỗi khoảng được chỉ định.

Biểu thức (x + 2)(x - 3)(x - 5) là tích của ba thừa số. Dấu hiệu của từng yếu tố này trong các khoảng được xem xét được chỉ ra trong bảng:

Nói chung, hãy để hàm được đưa ra bởi công thức
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
trong đó x là biến và x 1, x 2, ..., x n là các số không bằng nhau. Các số x 1 , x 2 , ..., x n là các số 0 của hàm số. Trong mỗi khoảng mà miền định nghĩa được chia cho các số 0 của hàm, dấu của hàm được giữ nguyên và khi đi qua 0, dấu của hàm sẽ thay đổi.

Tính chất này được dùng để giải bất đẳng thức có dạng
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) trong đó x 1, x 2, ..., x n là các số không bằng nhau

Phương pháp được xem xét giải bất phương trình được gọi là phương pháp khoảng.

Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ về việc giải bất đẳng thức bằng phương pháp khoảng.

Giải bất đẳng thức:

\(x(0.5-x)(x+4) Rõ ràng, các số 0 của hàm f(x) = x(0.5-x)(x+4) là các điểm \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Chúng ta vẽ các số 0 của hàm trên trục số và tính dấu trên mỗi khoảng:

Chúng tôi chọn những khoảng mà tại đó hàm nhỏ hơn hoặc bằng 0 và viết ra câu trả lời.

Trả lời:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Bất bình đẳng là một biểu thức với, ≤, hoặc ≥. Ví dụ: 3x - 5 Giải bất đẳng thức có nghĩa là tìm tất cả các giá trị của các biến mà bất đẳng thức đó đúng. Mỗi số này là một nghiệm của bất đẳng thức và tập hợp tất cả các nghiệm đó chính là nhiều giải pháp. Các bất đẳng thức có cùng tập nghiệm được gọi là bất đẳng thức tương đương.

Bất đẳng thức tuyến tính

Nguyên tắc giải bất phương trình cũng tương tự như nguyên tắc giải phương trình.

Nguyên tắc giải bất đẳng thức
Với mọi số thực a, b, c:
Nguyên tắc cộng bất đẳng thức: Nếu một Nguyên tắc nhân cho bất đẳng thức: Nếu 0 đúng thì ac Nếu a bc cũng đúng.
Những phát biểu tương tự cũng áp dụng cho a ≤ b.

Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số âm thì dấu của bất đẳng thức phải đảo ngược.
Bất đẳng thức cấp một, như trong ví dụ 1 (dưới đây), được gọi là bất đẳng thức tuyến tính.

Ví dụ 1 Giải mỗi bất đẳng thức sau. Sau đó rút ra một tập hợp các giải pháp.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Giải pháp
Bất kỳ số nào nhỏ hơn 11/5 đều là một giải pháp.
Tập nghiệm là (x|x
Để kiểm tra, ta vẽ đồ thị y 1 = 3x - 5 và y 2 = 6 - 2x. Khi đó rõ ràng là với x
Tập nghiệm là (x|x ≤ 1) hoặc (-∞, 1). Đồ thị của tập nghiệm được hiển thị bên dưới.

Bất đẳng thức kép

Khi hai bất đẳng thức được kết nối bằng một từ Và, hoặc, sau đó nó được hình thành bất bình đẳng kép. Bất đẳng thức kép như
-3 Và 2x + 5 ≤ 7
gọi điện đã kết nối, bởi vì nó sử dụng Và. Mục -3 Bất đẳng thức kép có thể được giải bằng cách sử dụng nguyên tắc cộng và nhân của bất đẳng thức.

Ví dụ 2 Giải -3 Giải pháp chúng tôi có

Tập nghiệm (x|x ≤ -1 hoặc x > 3). Chúng ta cũng có thể viết nghiệm bằng ký hiệu khoảng và ký hiệu của hiệp hội hoặc bao gồm cả hai tập hợp: (-∞ -1] (3, ∞). Đồ thị của tập nghiệm được trình bày dưới đây.

Để kiểm tra, hãy vẽ đồ thị y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 và y 3 = 1. Lưu ý rằng với (x|x ≤ -1 hoặc x > 3), y 1 ≤ y 2 hoặc y 1 > y 3 .

Bất đẳng thức có giá trị tuyệt đối (mô đun)

Bất đẳng thức đôi khi chứa các mô đun. Các tính chất sau đây được sử dụng để giải quyết chúng.
Với a > 0 và biểu thức đại số x:
|x| |x| > a tương đương với x hoặc x > a.
Tuyên bố tương tự cho |x| ≤ a và |x| ≥ một.

Ví dụ,
|x| |y| ≥ 1 tương đương với y ≤ -1 hoặc y ≥ 1;
và |2x + 3| 4 4 tương đương với -4 2x + 3 4.

Ví dụ 4 Giải mỗi bất đẳng thức sau. Vẽ đồ thị tập hợp các giải pháp.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Giải pháp
a) |3x + 2|

Tập nghiệm là (x|-7/3

b) |5 - 2x| ≥ 1
Tập nghiệm là (x|x 2 hoặc x ≥ 3), hoặc (-∞, 2]. Ví dụ sau đây sử dụng dấu ngoặc như vậy.

Hãy viết ra câu trả lời nhé :x ≥ -0,5 trong khoảng thời gian:

x ∈ [-0,5; +∞)

Đọc: x thuộc khoảng từ âm 0,5, bao gồm,đến cộng vô cùng.

Vô cực không bao giờ có thể được bật. Đó không phải là một con số, đó là một biểu tượng. Do đó, trong các ký hiệu như vậy, vô cực luôn đứng liền kề với dấu ngoặc đơn.

Hình thức ghi âm này thuận tiện cho những câu trả lời phức tạp bao gồm nhiều khoảng trắng. Nhưng - chỉ dành cho câu trả lời cuối cùng. Trong các kết quả trung gian, khi cần có giải pháp tiếp theo, tốt hơn nên sử dụng dạng thông thường, dưới dạng bất đẳng thức đơn giản. Chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề này trong các chủ đề liên quan.

Nhiệm vụ phổ biến với sự bất bình đẳng.

Bản thân các bất đẳng thức tuyến tính rất đơn giản. Vì vậy, nhiệm vụ thường trở nên khó khăn hơn. Vì vậy cần phải suy nghĩ. Điều này, nếu bạn không quen thì sẽ không dễ chịu lắm.) Nhưng nó rất hữu ích. Tôi sẽ đưa ra ví dụ về các nhiệm vụ như vậy. Không phải để bạn học chúng, nó không cần thiết. Và để không sợ hãi khi gặp ví dụ tương tự. Chỉ cần suy nghĩ một chút - và điều đó thật đơn giản!)

1. Tìm hai nghiệm bất kỳ của bất đẳng thức 3x - 3< 0

Nếu không rõ phải làm gì, hãy nhớ quy tắc chính của toán học:

Nếu bạn không biết mình cần gì, hãy làm những gì bạn có thể!)

X < 1

Và cái gì? Không có gì đặc biệt. Họ đang hỏi chúng tôi điều gì? Chúng ta được yêu cầu tìm hai số cụ thể là nghiệm của bất đẳng thức. Những thứ kia. phù hợp với câu trả lời. Hai bất kì những con số. Trên thực tế, điều này thật khó hiểu.) Một vài số 0 và 0,5 là phù hợp. Một cặp -3 và -8. Vâng, những cặp đôi này tập vô hạn! Câu trả lời nào đúng?!

Tôi trả lời: tất cả mọi thứ! Bất kỳ cặp số nào, mỗi số đều nhỏ hơn một, sẽ là câu trả lời đúng. Viết cái nào bạn muốn. Hãy tiếp tục.

2. Giải bất phương trình:

4x - 3 ≠ 0

Nhiệm vụ ở dạng này rất hiếm. Tuy nhiên, dưới dạng các bất đẳng thức phụ, chẳng hạn như khi tìm ODZ hoặc khi tìm miền định nghĩa của một hàm, chúng luôn xảy ra. Bất đẳng thức tuyến tính như vậy có thể được giải như một phương trình tuyến tính thông thường. Chỉ ở mọi nơi ngoại trừ dấu "=" ( bằng) đặt một dấu hiệu " ≠ " (không bằng). Đây là cách bạn tiếp cận câu trả lời, với dấu hiệu bất đẳng thức:

X ≠ 0,75

Trong hơn ví dụ phức tạp, tốt hơn là nên làm mọi việc khác đi. Biến sự bất bình đẳng thành sự bình đẳng. Như thế này:

4x - 3 = 0

Hãy bình tĩnh giải quyết như đã dạy và nhận được câu trả lời:

x = 0,75

Điều quan trọng là, đến cuối cùng, khi viết ra câu trả lời cuối cùng, đừng quên rằng chúng ta đã tìm thấy x, kết quả là sự bình đẳng. Và chúng ta cần - sự bất bình đẳng. Vì vậy, chúng ta không thực sự cần chữ X này.) Và chúng ta cần viết nó ra bằng ký hiệu chính xác:

X ≠ 0,75

Với cách tiếp cận này hóa ra ít lỗi hơn. Những người giải phương trình một cách tự động. Và đối với những người không giải được phương trình, bất đẳng thức trên thực tế là vô ích...) Một ví dụ khác về một nhiệm vụ phổ biến:

3. Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất đẳng thức:

3(x - 1) < 5x + 9

Đầu tiên chúng ta chỉ cần giải bất đẳng thức. Chúng tôi mở dấu ngoặc, di chuyển chúng, mang những cái tương tự... Chúng tôi nhận được:

X > - 6

Mọi chuyện không diễn ra theo cách đó sao!? Bạn đã làm theo các dấu hiệu!? Và đằng sau dấu hiệu của các thành viên, và đằng sau dấu hiệu của sự bất bình đẳng...

Hãy suy nghĩ lại. Chúng ta cần tìm con số cụ thể, phù hợp cho cả câu trả lời và điều kiện "số nguyên nhỏ nhất". Nếu bạn không nhận ra ngay lập tức, bạn có thể lấy bất kỳ số nào và tìm ra nó. Hai trên trừ sáu? Chắc chắn! Có số nào nhỏ hơn phù hợp không? Tất nhiên rồi. Ví dụ: số 0 lớn hơn -6. Và thậm chí ít hơn? Chúng ta cần điều nhỏ nhất có thể! Trừ ba thì nhiều hơn âm sáu! Bạn đã có thể nắm bắt được mô hình và ngừng việc lướt qua các con số một cách ngu ngốc rồi phải không?)

Hãy lấy một số gần hơn với -6. Ví dụ: -5. Câu trả lời đã được đáp ứng, -5 > - 6. Có thể tìm được số khác nhỏ hơn -5 nhưng lớn hơn -6 không? Ví dụ: bạn có thể -5,5... Dừng lại! Chúng tôi được bảo trọn giải pháp! Không lăn -5,5! Còn trừ sáu thì sao? Ờ-ờ! Bất đẳng thức rất chặt chẽ, âm 6 không bao giờ nhỏ hơn âm 6!

Vì vậy, câu trả lời đúng là -5.

Hy vọng với sự lựa chọn các giá trị từ giải pháp chung mọi thứ đều rõ ràng. Một ví dụ khác:

4. Giải bất đẳng thức:

7 < 3x+1 < 13

Ồ! Biểu thức này được gọi là bất bình đẳng gấp ba. Nói đúng ra, đây là dạng viết tắt của một hệ bất bình đẳng. Nhưng những bất đẳng thức ba chiều như vậy vẫn phải được giải trong một số nhiệm vụ... Nó có thể được giải mà không cần bất kỳ hệ thống nào. Theo các biến đổi giống hệt nhau.

Chúng ta cần đơn giản hóa, đưa bất đẳng thức này về X thuần túy. Nhưng... Cái gì nên chuyển đi đâu?! Đây là lúc cần nhớ rằng việc di chuyển sang trái và phải là dạng ngắn chuyển đổi danh tính đầu tiên.

MỘT hình thức đầy đủ nghe có vẻ như thế này: Bất kỳ số hoặc biểu thức nào cũng có thể được cộng/trừ vào cả hai vế của phương trình (bất đẳng thức).

Có ba phần ở đây. Đó là những gì chúng ta sẽ sử dụng chuyển đổi danh tính cả ba phần!

Vì vậy, hãy loại bỏ phần ở giữa của bất đẳng thức. Hãy trừ một từ toàn bộ phần giữa. Để bất đẳng thức không thay đổi, ta trừ đi một phần từ hai phần còn lại. Như thế này:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Tốt hơn phải không?) Tất cả những gì còn lại là chia cả ba phần thành ba:

2 < X < 4

Thế thôi. Đây là câu trả lời. X có thể là số bất kỳ từ hai (không bao gồm) đến bốn (không bao gồm). Câu trả lời này cũng được viết theo từng khoảng; các mục như vậy sẽ ở dạng bất đẳng thức bậc hai. Ở đó chúng là thứ phổ biến nhất.

Cuối bài tôi sẽ nhắc lại điều quan trọng nhất. Thành công trong việc giải các bất đẳng thức tuyến tính phụ thuộc vào khả năng biến đổi và đơn giản hóa các phương trình tuyến tính. Nếu cùng một lúc tìm dấu bất đẳng thức, sẽ không có vấn đề gì đâu. Đó là điều tôi mong muốn cho bạn. Không có vấn đề gì.)

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Bây giờ bạn có thể hiểu cách giải bất đẳng thức tuyến tính a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Cách chính để giải chúng là sử dụng các phép biến đổi tương đương cho phép đạt đến a≠0 đến bất đẳng thức cơ bản gõ x

, ≥), p - một số nhất định, là nghiệm mong muốn và với a=0 - đối với các bất đẳng thức số có dạng a

, ≥), từ đó rút ra kết luận về nghiệm của bất đẳng thức ban đầu. Chúng tôi sẽ phân tích nó đầu tiên.

Cũng không có hại gì khi xem xét việc giải các bất đẳng thức tuyến tính ở một biến từ các góc độ khác. Do đó, chúng tôi cũng sẽ chỉ ra cách giải bất đẳng thức tuyến tính bằng đồ thị và sử dụng phương pháp khoảng.

Sử dụng các phép biến đổi tương đương

Chúng ta cần giải bất đẳng thức tuyến tính a x+b<0 (≤, >, ≥). Hãy chỉ ra cách thực hiện điều này bằng cách sử dụng các phép biến đổi bất đẳng thức tương đương.

Các cách tiếp cận khác nhau tùy thuộc vào hệ số a của biến x bằng hay không bằng 0. Chúng ta hãy nhìn vào chúng từng cái một. Hơn nữa, khi xem xét, chúng tôi sẽ tuân theo sơ đồ ba điểm: đầu tiên chúng tôi sẽ đưa ra bản chất của quá trình, sau đó chúng tôi sẽ đưa ra thuật toán giải bất đẳng thức tuyến tính và cuối cùng, chúng tôi sẽ đưa ra giải pháp cho các ví dụ điển hình.

Hãy bắt đầu với thuật toán giải bất đẳng thức tuyến tính a x+b<0 (≤, >, ≥) với a≠0.

Đầu tiên chuyển số b sang vế phải của bất đẳng thức c dấu hiệu ngược lại. Điều này cho phép chúng ta chuyển đến bất đẳng thức tương đương a x<−b (≤, >, ≥).
Thứ hai, cả hai vế của bất đẳng thức thu được đều được chia cho một số khác 0 a. Hơn nữa, nếu a là số dương thì dấu bất đẳng thức được giữ nguyên, còn nếu a là số âm thì dấu bất đẳng thức bị đảo ngược. Kết quả là một bất đẳng thức cơ bản tương đương với bất đẳng thức tuyến tính ban đầu và đây là câu trả lời.

Vẫn còn phải hiểu ứng dụng của thuật toán đã công bố bằng cách sử dụng các ví dụ. Hãy xem xét cách nó có thể được sử dụng để giải các bất đẳng thức tuyến tính với a≠0.

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức 3·x+12<0.

Giải pháp.

Với một bất đẳng thức tuyến tính cho trước, chúng ta có a=3 và b=12. Rõ ràng, hệ số a của biến x khác 0. Hãy sử dụng thuật toán giải tương ứng được đưa ra ở trên.

Đầu tiên, ta chuyển số hạng 12 sang vế phải của bất đẳng thức, không quên đổi dấu, tức là −12 sẽ xuất hiện ở vế phải. Kết quả là chúng ta đi đến bất đẳng thức tương đương 3·x≤−12.

Và thứ hai, chúng ta chia cả hai vế của bất đẳng thức thu được cho 3, vì 3 là số dương nên chúng ta không đổi dấu của bất đẳng thức. Chúng ta có (3 x):3<(−12):3, tương đương với x<−4.

Bất đẳng thức cơ bản thu được x<−4 tương đương với bất đẳng thức tuyến tính ban đầu và là nghiệm mong muốn của nó.

Vì vậy, nghiệm của bất đẳng thức tuyến tính 3 x + 12≤0 là bất kỳ số thực nào nhỏ hơn hoặc bằng âm bốn. Câu trả lời cũng có thể được viết dưới dạng một khoảng số tương ứng với bất đẳng thức x≤−4, nghĩa là (−∞, −4] .

Có được kỹ năng làm việc với các bất đẳng thức tuyến tính, nghiệm của chúng có thể được viết ra một cách ngắn gọn mà không cần giải thích. Trong trường hợp này, trước tiên hãy viết ra bất đẳng thức tuyến tính ban đầu và bên dưới - các bất đẳng thức tương đương thu được ở mỗi bước giải:
3 x+12<0 ;
3 x<−12 ;
x<−4 .

Trả lời:

x≤−4 hoặc (−∞, −4] .

Ví dụ.

Liệt kê tất cả nghiệm của bất đẳng thức tuyến tính −2.7·z>0.

Giải pháp.

Ở đây hệ số a của biến z bằng −2,7. Và hệ số b không tồn tại ở dạng tường minh, tức là nó bằng 0. Do đó, không cần thực hiện bước đầu tiên của thuật toán giải bất đẳng thức tuyến tính với một biến, vì việc di chuyển số 0 từ trái sang phải sẽ không làm thay đổi dạng của bất đẳng thức ban đầu.

Vẫn còn phải chia cả hai vế của bất đẳng thức cho −2,7, không quên đổi dấu của bất đẳng thức thành dấu đối diện, vì −2,7 là một số âm. chúng tôi có (−2,7 z):(−2,7)<0:(−2,7) , và sau đó z<0 .

Và bây giờ ngắn gọn:
−2,7·z>0;
z<0 .

Trả lời:

z<0 или (−∞, 0) .

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức .

Giải pháp.

Chúng ta cần giải bất đẳng thức tuyến tính với hệ số a cho biến x bằng −5 và với hệ số b, tương ứng với phân số −15/22. Chúng ta tiến hành theo sơ đồ nổi tiếng: đầu tiên chúng ta chuyển −15/22 sang vế phải với dấu ngược lại, sau đó chúng ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho số âm −5, đồng thời đổi dấu của bất đẳng thức:

Quá trình chuyển đổi cuối cùng ở phía bên phải sử dụng , sau đó thực hiện .

Trả lời:

Bây giờ chúng ta chuyển sang trường hợp a=0. Nguyên lý giải bất đẳng thức tuyến tính a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Điều này dựa trên cái gì? Rất đơn giản: về việc xác định nghiệm của bất đẳng thức. Làm sao? Có, đây là cách thực hiện: bất kể giá trị của biến x là bao nhiêu, chúng ta thay thế vào bất đẳng thức tuyến tính ban đầu, chúng ta sẽ nhận được bất đẳng thức số có dạng b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Chúng ta hãy xây dựng các lập luận trên dưới dạng thuật toán giải bất đẳng thức tuyến tính 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

Xét bất đẳng thức số b<0 (≤, >, ≥) và

nếu nó đúng thì nghiệm của bất đẳng thức ban đầu là số bất kỳ;
nếu nó sai thì bất đẳng thức tuyến tính ban đầu không có nghiệm.

Bây giờ hãy hiểu điều này với các ví dụ.

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức 0·x+7>0.

Giải pháp.

Với bất kỳ giá trị nào của biến x, bất đẳng thức tuyến tính 0 x+7>0 sẽ chuyển thành bất đẳng thức số 7>0. Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên mọi số đều là nghiệm của bất đẳng thức ban đầu.

Trả lời:

nghiệm là số bất kỳ hoặc (−∞, +∞) .

Ví dụ.

Bất đẳng thức tuyến tính 0·x−12,7 ≥0 có nghiệm không?

Giải pháp.

Nếu chúng ta thay thế bất kỳ số nào thay cho biến x thì bất đẳng thức ban đầu chuyển thành bất đẳng thức số −12,7 ≥0, tức là sai. Điều này có nghĩa là không một số nào là nghiệm của bất đẳng thức tuyến tính 0·x−12,7 ≥0.

Trả lời:

không, nó không.

Để kết thúc phần này, chúng ta sẽ phân tích nghiệm của hai bất đẳng thức tuyến tính, cả hai hệ số của chúng đều bằng 0.

Ví dụ.

Bất phương trình tuyến tính nào 0·x+0>0 và 0·x+0 ≥0 không có nghiệm và bất phương trình nào có vô số nghiệm?

Giải pháp.

Nếu bạn thay thế bất kỳ số nào thay cho biến x, thì bất đẳng thức thứ nhất sẽ có dạng 0>0 và bất đẳng thức thứ hai – 0 ≥0. Cái đầu tiên trong số đó là sai, và cái thứ hai là đúng. Do đó, bất đẳng thức tuyến tính 0·x+0>0 không có nghiệm và bất đẳng thức 0·x+0 ≥0 có vô số nghiệm, tức là nghiệm của nó là số bất kỳ.

Trả lời:

bất đẳng thức 0 x+0>0 không có nghiệm và bất đẳng thức 0 x+0 ≥0 có vô số nghiệm.

Phương pháp ngắt quãng

Nhìn chung, phương pháp tính khoảng được nghiên cứu trong khóa học đại số ở trường muộn hơn chủ đề giải bất phương trình tuyến tính một biến. Nhưng phương pháp khoảng cho phép bạn giải nhiều loại bất đẳng thức, bao gồm cả bất đẳng thức tuyến tính. Vì vậy, chúng ta hãy tập trung vào nó.

Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng nên sử dụng phương pháp khoảng để giải các bất đẳng thức tuyến tính có hệ số khác 0 đối với biến x. Mặt khác, sẽ nhanh hơn và thuận tiện hơn khi rút ra kết luận về cách giải bất phương trình bằng phương pháp đã thảo luận ở cuối đoạn trước.

Phương pháp khoảng ngụ ý

giới thiệu một hàm tương ứng với vế trái của bất đẳng thức, trong trường hợp của chúng ta – hàm tuyến tính y=a x+b ,
tìm các số không của nó, chia miền định nghĩa thành các khoảng,
xác định các dấu có giá trị hàm trên các khoảng này, trên cơ sở đó đưa ra kết luận về nghiệm của bất đẳng thức tuyến tính.

Hãy cùng nhau sưu tầm những khoảnh khắc này vào thuật toán, trình bày cách giải bất đẳng thức tuyến tính a x+b<0 (≤, >, ≥) với a≠0 bằng phương pháp khoảng:

Các số 0 của hàm y=a·x+b được tìm thấy, trong đó a·x+b=0 được giải. Như đã biết, với a≠0 nó có một nghiệm duy nhất, mà chúng ta ký hiệu là x 0 .
Nó được xây dựng và một điểm có tọa độ x 0 được mô tả trên đó. Hơn nữa, nếu quyết định bất bình đẳng nghiêm ngặt(có dấu< или >), thì điểm này được đặt dấu chấm câu (có tâm trống) và nếu nó không nghiêm ngặt (có dấu ≤ hoặc ≥) thì đặt một điểm thông thường. Điểm này chia đường tọa độ thành hai khoảng (−∞, x 0) và (x 0, +∞).
Dấu của hàm số y=a·x+b trên các khoảng này được xác định. Để làm điều này, giá trị của hàm này được tính tại bất kỳ điểm nào trong khoảng (−∞, x 0) và dấu của giá trị này sẽ là dấu mong muốn trên khoảng (−∞, x 0). Tương tự, dấu trên khoảng (x 0 , +∞) trùng với dấu của giá trị của hàm y=a·x+b tại bất kỳ điểm nào trong khoảng này. Nhưng bạn có thể thực hiện mà không cần những phép tính này và rút ra kết luận về dấu dựa trên giá trị của hệ số a: nếu a>0, thì trên các khoảng (−∞, x 0) và (x 0, +∞) sẽ có dấu − và + tương ứng, và nếu a >0 thì + và −.
Nếu các bất đẳng thức có dấu > hoặc ≥ đang được giải thì một cửa sập có dấu cộng sẽ được đặt trên khoảng trống và nếu các bất đẳng thức có dấu đang được giải< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Hãy xem xét một ví dụ về giải bất đẳng thức tuyến tính bằng phương pháp khoảng.

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức −3·x+12>0.

Giải pháp.

Vì chúng tôi đang phân tích phương pháp khoảng nên chúng tôi sẽ sử dụng nó. Theo thuật toán, trước tiên chúng ta tìm nghiệm của phương trình −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Tiếp theo, chúng ta vẽ một đường tọa độ và đánh dấu một điểm trên đó bằng tọa độ 4, và chúng ta làm cho điểm này bị thủng vì chúng ta đang giải một bất đẳng thức nghiêm ngặt:

Bây giờ chúng tôi xác định các dấu hiệu trên các khoảng. Để xác định dấu trên khoảng (−∞, 4), bạn có thể tính giá trị của hàm y=−3·x+12, chẳng hạn tại x=3. Chúng ta có −3·3+12=3>0, nghĩa là có dấu + trên khoảng này. Để xác định dấu trên một khoảng khác (4, +∞), bạn có thể tính giá trị của hàm y=−3 x+12, chẳng hạn như tại điểm x=5. Ta có −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Vì chúng ta đang giải bất đẳng thức bằng dấu > nên chúng ta vẽ bóng lên khoảng trống bằng dấu +, hình vẽ có dạng

Dựa trên hình ảnh thu được, chúng ta kết luận rằng nghiệm mong muốn là (−∞, 4) hoặc theo ký hiệu khác x<4 .

Trả lời:

(−∞, 4) hoặc x<4 .

Về mặt đồ họa

Sẽ rất hữu ích nếu hiểu được cách giải thích hình học của việc giải các bất đẳng thức tuyến tính theo một biến. Để hiểu nó, hãy xem xét bốn bất đẳng thức tuyến tính có cùng vế trái: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 và 0,5 x−1 ≥0 , nghiệm của chúng là x<2 , x≤2 , x>2 và x ≥2, đồng thời vẽ đồ thị của hàm tuyến tính y=0,5 x−1.

Thật dễ dàng để nhận thấy rằng

nghiệm của bất đẳng thức 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
nghiệm của bất đẳng thức 0,5 x−1<0 biểu thị khoảng trong đó đồ thị của hàm y=0,5 x−1 nằm dưới trục Ox hoặc trùng với trục Ox (nói cách khác, không nằm trên trục abscissa),
tương tự, nghiệm của bất đẳng thức 0,5 x−1>0 là khoảng trong đó đồ thị của hàm số nằm trên trục Ox (phần này của đồ thị được hiển thị bằng màu đỏ),
và nghiệm của bất đẳng thức 0,5·x−1 ≥0 là khoảng mà đồ thị của hàm số cao hơn hoặc trùng với trục hoành.

Phương pháp đồ họa để giải bất đẳng thức, đặc biệt là tuyến tính, và ngụ ý tìm các khoảng trong đó đồ thị của hàm tương ứng với vế trái của bất đẳng thức nằm ở trên, dưới, không ở dưới hoặc không ở trên đồ thị của hàm tương ứng với vế phải của bất đẳng thức. Trong trường hợp bất đẳng thức tuyến tính của chúng ta, hàm tương ứng với vế trái là y=a·x+b, vế phải là y=0, trùng với trục Ox.

Với những thông tin đã cho, có thể dễ dàng hình thành thuật toán giải bất đẳng thức tuyến tính bằng đồ họa:

Một đồ thị của hàm y=a x+b được xây dựng (có thể có sơ đồ) và

khi giải bất đẳng thức a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
khi giải bất đẳng thức a x+b<0, xác định khoảng trong đó đồ thị nhỏ hơn hoặc trùng với trục Ox,
khi giải bất đẳng thức a x+b>0 xác định khoảng mà đồ thị nằm trên trục Ox,
khi giải bất đẳng thức a·x+b ≥0 xác định được khoảng mà đồ thị cao hơn hoặc trùng với trục Ox.

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức về mặt đồ họa.

Giải pháp.

Hãy vẽ đồ thị của hàm tuyến tính . Đây là một đường thẳng giảm dần vì hệ số của x âm. Chúng ta cũng cần tọa độ giao điểm của nó với trục x, nó là nghiệm của phương trình , bằng với . Đối với nhu cầu của mình, chúng tôi thậm chí không cần mô tả trục Oy. Vì vậy bản vẽ sơ đồ của chúng ta sẽ trông như thế này

Vì chúng ta đang giải bất đẳng thức bằng dấu >, nên chúng ta quan tâm đến khoảng mà đồ thị của hàm số nằm trên trục Ox. Để rõ ràng, hãy đánh dấu phần này của biểu đồ bằng màu đỏ và để dễ dàng xác định khoảng tương ứng với phần này, hãy đánh dấu màu đỏ phần của mặt phẳng tọa độ chứa phần đã chọn của biểu đồ, như trong hình dưới đây:

Khoảng trống mà chúng ta quan tâm là phần trục Ox được tô màu đỏ. Rõ ràng đây là chùm số mở . Đây là giải pháp chúng tôi đang tìm kiếm. Lưu ý rằng nếu chúng ta giải bất đẳng thức không phải bằng dấu > mà bằng dấu của bất đẳng thức không nghiêm ngặt ≥, thì chúng ta sẽ phải cộng vào đáp án, vì tại thời điểm này đồ thị của hàm số trùng với trục Ox .y=0 x+7, tương tự như y=7, xác định một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ, song song với trục Ox và nằm phía trên nó. Do đó, bất đẳng thức 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Và đồ thị của hàm số y=0·x+0 cũng giống như y=0, là một đường thẳng trùng với trục Ox. Do đó, nghiệm của bất đẳng thức 0·x+0 ≥0 là tập hợp tất cả các số thực.

Trả lời:

bất đẳng thức thứ hai, nghiệm của nó là số thực bất kỳ.

Bất bình đẳng giảm xuống tuyến tính

Một số lượng lớn các bất đẳng thức có thể được thay thế bằng các bất đẳng thức tuyến tính tương đương bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương, nói cách khác là rút gọn thành bất đẳng thức tuyến tính. Những bất đẳng thức như vậy được gọi là bất đẳng thức giảm về tuyến tính.

Ở trường, gần như đồng thời với việc giải các bất đẳng thức tuyến tính, các bất đẳng thức đơn giản quy về tuyến tính cũng được xem xét. Đó là những trường hợp đặc biệt toàn bộ bất đẳng thức, cụ thể là ở phần bên trái và bên phải của chúng có toàn bộ biểu thức đại diện hoặc nhị thức tuyến tính, hoặc được chuyển đổi thành chúng bởi và . Để rõ ràng, chúng tôi đưa ra một số ví dụ về những bất đẳng thức như vậy: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Những bất đẳng thức có hình thức tương tự như những bất đẳng thức được chỉ ra ở trên luôn có thể được quy về dạng tuyến tính. Điều này có thể được thực hiện bằng cách mở dấu ngoặc đơn, đưa các số hạng tương tự, sắp xếp lại các số hạng và chuyển các số hạng từ vế này của bất đẳng thức sang vế khác có dấu ngược lại.

Ví dụ, để rút gọn bất đẳng thức 5−2 x>0 thành tuyến tính, chỉ cần sắp xếp lại các số hạng ở vế trái của nó là đủ, chúng ta có −2 x+5>0. Để giảm bất đẳng thức thứ hai 7·(x−1)+3≤4·x−2+x thành tuyến tính, bạn cần một chút thêm hành động: ở phía bên trái, chúng tôi mở ngoặc 7 x−7+3<4 x−2+x , sau đó chúng tôi đưa các số hạng tương tự vào cả hai phần 7 x−4<5 x−2 , sau đó chúng tôi chuyển các số hạng từ bên phải về bên trái 7·x−4−5·x+2<0 , cuối cùng, chúng tôi trình bày các số hạng tương tự ở vế trái 2·x−2<0 . Tương tự như vậy và bất đẳng thức thứ ba có thể được rút gọn thành bất đẳng thức tuyến tính.

Do thực tế là những bất đẳng thức như vậy luôn có thể quy về dạng tuyến tính nên một số tác giả thậm chí còn gọi chúng là tuyến tính. Nhưng chúng ta vẫn sẽ coi chúng có thể quy giản thành tuyến tính.

Bây giờ đã rõ tại sao những bất đẳng thức như vậy lại được xem xét cùng với những bất đẳng thức tuyến tính. Và nguyên tắc giải pháp của họ hoàn toàn giống nhau: bằng cách thực hiện các phép biến đổi tương đương, chúng có thể được quy giản thành các bất đẳng thức cơ bản biểu thị nghiệm mong muốn.

Để giải bất đẳng thức loại này, trước tiên bạn có thể quy nó thành bất đẳng thức tuyến tính, sau đó giải bất đẳng thức tuyến tính này. Nhưng sẽ hợp lý và thuận tiện hơn khi làm điều này:

sau khi mở ngoặc, thu thập tất cả các số hạng có biến ở bên trái của bất đẳng thức và tất cả các số ở bên phải,
sau đó đưa ra những điều khoản tương tự,
rồi chia cả hai vế của bất đẳng thức thu được cho hệ số của x (tất nhiên nếu nó khác 0). Điều này sẽ đưa ra câu trả lời.

Ví dụ.

Giải bất đẳng thức 5·(x+3)+x<6·(x−3)+1.

Giải pháp.

Đầu tiên, hãy mở ngoặc, kết quả là chúng ta thu được bất đẳng thức 5 x + 15 + x 6 x − 18 + 1 . Bây giờ hãy đưa ra các số hạng tương tự: 6 x+15≤6 x−17 . Tiếp theo, chúng tôi chuyển các điều khoản từ bên trái, chúng ta nhận được 6 x+15−6 x+17<0, và một lần nữa chúng ta đưa ra các số hạng tương tự (dẫn đến bất đẳng thức tuyến tính 0 x+32<0) và chúng ta có 32
. Vậy là chúng ta đã sai bất đẳng thức số, từ đó ta kết luận rằng bất đẳng thức ban đầu không có nghiệm.

Trả lời:

không có giải pháp.

Tóm lại, chúng ta lưu ý rằng có rất nhiều bất đẳng thức khác có thể quy về bất đẳng thức tuyến tính hoặc thành bất đẳng thức thuộc loại đã xét ở trên. Ví dụ, giải pháp bất đẳng thức hàm mũ 5 2 x−1 ≥1 rút gọn thành giải bất đẳng thức tuyến tính 2 x−1 ≥0 . Nhưng chúng ta sẽ nói về điều này khi phân tích nghiệm của các bất đẳng thức có dạng tương ứng.

Tài liệu tham khảo.

Đại số: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Đại số: Lớp 9: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2009. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A. G.Đại số. lớp 8. 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh cơ sở giáo dục/ A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 11, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A. G.Đại số. lớp 9. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Tái bản lần thứ 13, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A. G.Đại số và sự khởi đầu phân tích toán học. lớp 11. 2 giờ chiều Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông ( cấp độ hồ sơ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Tái bản lần 2, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01027-2.