Máy tính toán trực tuyến này sẽ giúp bạn giải một phương trình hoặc bất đẳng thức bằng mô đun. Chương trình dành cho giải phương trình và bất đẳng thức bằng môđun không chỉ đưa ra câu trả lời cho vấn đề mà còn dẫn đến giải pháp chi tiết với lời giải thích

, tức là hiển thị quá trình lấy kết quả. Chương trình này có thể hữu ích cho học sinh trung học trường trung học để chuẩn bị cho kiểm tra và các kỳ thi, khi kiểm tra kiến ​​thức trước Kỳ thi Thống nhất, để phụ huynh kiểm soát cách giải nhiều bài toán, đại số. Hoặc có thể việc thuê gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới là quá tốn kém? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành nó càng nhanh càng tốt?

bài tập về nhà trong toán học hay đại số? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với các giải pháp chi tiết. Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo và/hoặc đào tạo riêng cho mình.

em trai

hoặc chị em, trong khi trình độ học vấn trong lĩnh vực vấn đề đang được giải quyết ngày càng tăng.

hoặc abs(x) - mô-đun x

Nhập một phương trình hoặc bất đẳng thức với mô đun
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Giải một phương trình hoặc bất đẳng thức

Người ta phát hiện ra rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết vấn đề này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.

JavaScript bị vô hiệu hóa trong trình duyệt của bạn.
Để giải pháp xuất hiện, bạn cần bật JavaScript.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn. Bởi vì Có rất nhiều người sẵn sàng giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn đã được xếp hàng đợi.

Trong vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới. Vui lòng chờ giây...
Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, thì bạn có thể viết về điều này trong Biểu mẫu phản hồi. Đừng quên.

cho biết nhiệm vụ nào

bạn quyết định cái gì

nhập vào các trường

Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi: Một chút lý thuyết., dựa trên thực tế rằng \(|x-a| \) là khoảng cách trên trục số giữa các điểm x và a: \(|x-a| = \rho (x;\; a)\). Ví dụ, để giải phương trình \(|x-3|=2\) bạn cần tìm các điểm trên trục số cách điểm 3 một khoảng bằng 2. Có hai điểm như vậy: \(x_1=1 \) và \(x_2=5\) .

Giải bất đẳng thức \(|2x+7|

Nhưng cách chính để giải các phương trình và bất đẳng thức bằng các mô đun có liên quan đến cái gọi là “sự tiết lộ của mô đun theo định nghĩa”:
nếu \(a \geq 0 \), thì \(|a|=a \);
if \(a Theo quy luật, một phương trình (bất đẳng thức) có môđun được rút gọn thành một tập hợp các phương trình (bất đẳng thức) không chứa dấu mô đun.

Ngoại trừ định nghĩa trên, các phát biểu sau được sử dụng:
1) Nếu \(c > 0\), thì phương trình \(|f(x)|=c \) tương đương với tập phương trình: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Nếu \(c > 0 \), thì bất đẳng thức \(|f(x)| 3) Nếu \(c \geq 0 \), thì bất đẳng thức \(|f(x)| > c \) là tương đương với một tập hợp các bất đẳng thức : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Nếu cả hai vế của bất đẳng thức \(f(x) VÍ DỤ 1. Giải phương trình \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Nếu \(x-1 \geq 0\), thì \(|x-1| = x-1\) và vì phương trình đã cho có hình thức
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Nếu \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Vì vậy, phương trình đã cho cần được xem xét riêng biệt trong mỗi trường hợp trong hai trường hợp được chỉ định.
1) Đặt \(x-1 \geq 0 \), tức là \(x\geq 1\). Từ phương trình \(x^2 +2x -8 = 0\) chúng ta tìm thấy \(x_1=2, \; x_2=-4\).
Điều kiện \(x \geq 1 \) chỉ được thỏa mãn bởi giá trị \(x_1=2\).

2) Cho \(x-1 Trả lời: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

VÍ DỤ 2. Giải phương trình \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\). Cách đầu tiên
(mở rộng mô-đun theo định nghĩa).

Lý luận như trong ví dụ 1, chúng ta đi đến kết luận rằng phương trình đã cho cần được xem xét riêng nếu đáp ứng hai điều kiện: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) hoặc \(x^2-6x+7 1) Nếu \(x^2-6x+7 \geq 0 \), thì \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) và phương trình đã cho có dạng \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Đã quyết định điều này phương trình bậc hai
, chúng ta nhận được: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \). Hãy cùng tìm hiểu xem giá trị \(x_1=6\) có thỏa mãn điều kiện \(x^2-6x+7 \geq 0\) hay không. Để làm điều này, thay thế giá trị được chỉ định vào bất đẳng thức bậc hai
Hãy cùng tìm hiểu xem giá trị \(x_2=\frac(5)(3) \) có thỏa mãn điều kiện \(x^2-6x+7 \geq 0 \) hay không. Để làm điều này, thay thế giá trị được chỉ định vào bất đẳng thức bậc hai. Chúng ta nhận được: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), tức là. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) là một bất đẳng thức sai. Điều này có nghĩa là \(x_2=\frac(5)(3)\) không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

2) Nếu \(x^2-6x+7 Giá trị \(x_3=3\) thỏa mãn điều kiện \(x^2-6x+7 Giá trị \(x_4=\frac(4)(3) \) không thỏa mãn điều kiện \ (x^2-6x+7 Vì vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm: \(x=6, \; x=3 \).

Cách thứ hai. Nếu phương trình được cho \(|f(x)| = h(x) \), thì với \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Cả hai phương trình này đều được giải ở trên (sử dụng cách giải đầu tiên của phương trình đã cho), nghiệm của chúng như sau: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Điều kiện \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) từ những điều này bốn giá trị chỉ thỏa mãn hai: 6 và 3. Điều này có nghĩa là phương trình đã cho có hai nghiệm: \(x=6, \; x=3\).

Cách thứ ba(đồ họa).
1) Hãy xây dựng đồ thị của hàm \(y = |x^2-6x+7| \). Đầu tiên, hãy xây dựng một parabol \(y = x^2-6x+7\).
Chúng ta có \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Đồ thị của hàm số \(y = (x-3)^2-2\) có thể thu được từ đồ thị của hàm \(y = x^2\) bằng cách dịch chuyển nó 3 đơn vị tỷ lệ sang phải (dọc theo trục x) và giảm 2 đơn vị tỷ lệ (dọc theo trục y).
Đường thẳng x=3 chính là trục của parabol mà chúng ta đang quan tâm. Là điểm kiểm soát để vẽ đồ thị chính xác hơn, thuận tiện lấy điểm (3; -2) - đỉnh của parabol, điểm (0; 7) và điểm (6; 7) đối xứng với nó so với trục của parabol . Bây giờ, để xây dựng đồ thị của hàm \(y = |x^2-6x+7| \), bạn cần giữ nguyên những phần của parabol được dựng không nằm dưới trục x và phản chiếu phần đó của parabol nằm phía dưới trục x so với trục x. 2) Hãy xây dựng biểu đồ

hàm tuyến tính

\(y = \frac(5x-9)(3)\). Sẽ thuận tiện hơn khi lấy các điểm (0; –3) và (3; 2) làm điểm kiểm soát.. Điều quan trọng là điểm x = 1,8 giao điểm của đường thẳng với trục abscissa nằm ở bên phải điểm giao nhau bên trái của parabol với trục abscissa - đây là điểm \(x=3-\ sqrt(2) \) (vì \(3-\sqrt(2 ) 3) Xét theo hình vẽ, các đồ thị cắt nhau tại hai điểm - A(3; 2) và B(6; 7). Thay thế hoành độ của những điểm này điểm x = 3 và x = 6 vào phương trình đã cho, chúng tôi tin rằng trong cả hai trường hợp, đều thu được đẳng thức số chính xác. Điều này có nghĩa là giả thuyết của chúng tôi đã được xác nhận - phương trình có hai nghiệm: x = 3 và. x = 6. Đáp án: 3;đối với tất cả sự sang trọng của nó, nó không đáng tin cậy lắm. Trong ví dụ đang xem xét, nó chỉ hoạt động được vì nghiệm của phương trình là số nguyên.

VÍ DỤ 3. Giải phương trình \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

VÍ DỤ 2. Giải phương trình \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Biểu thức 2x–4 trở thành 0 tại điểm x = 2 và biểu thức x + 3 trở thành 0 tại điểm x = –3. Hai điểm này chia trục số thành ba đoạn: \(x

Hãy xem xét khoảng đầu tiên: \((-\infty; \; -3) \).
Nếu x Xét khoảng thứ hai: \([-3; \; 2) \).
Nếu \(-3 \leq x Xét khoảng thứ ba: \(

Khác sự thật quan trọng: mô đun không bao giờ âm. Bất kể số nào chúng ta lấy - dù là dương hay âm - mô đun của nó luôn luôn dương (hoặc, trong trường hợp cực đoan là bằng 0). Đây là lý do tại sao mô-đun thường được gọi giá trị tuyệt đối những con số.

Ngoài ra, nếu chúng ta kết hợp định nghĩa mô đun cho số dương và số âm, chúng ta thu được định nghĩa tổng thể về mô đun cho tất cả các số. Cụ thể: mô đun của một số bằng chính số đó nếu số đó dương (hoặc bằng 0) hoặc bằng số đối diện, nếu số đó âm. Bạn có thể viết điều này dưới dạng công thức:

Ngoài ra còn có một mô-đun số 0, nhưng nó luôn luôn bằng 0. Ngoài ra, không số ít, không có sự đối lập.

Vì vậy, nếu chúng ta xét hàm $y=\left| x \right|$ và thử vẽ biểu đồ của nó, bạn sẽ nhận được kết quả như thế này:

Đồ thị mô đun và ví dụ giải phương trình

Từ hình ảnh này có thể thấy ngay rằng $\left| -m \right|=\left| m \right|$, và đồ thị mô đun không bao giờ nằm ​​dưới trục x. Nhưng đó chưa phải là tất cả: đường màu đỏ đánh dấu đường thẳng $y=a$, mà đối với $a$ dương, cho chúng ta hai nghiệm cùng một lúc: $((x)_(1))$ và $((x) _(2)) $, nhưng chúng ta sẽ nói về điều đó sau :)

Ngoài việc thuần túy định nghĩa đại số, có hình học. Giả sử có hai điểm trên trục số: $((x)_(1))$ và $((x)_(2))$. Trong trường hợp này, biểu thức $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ chỉ đơn giản là khoảng cách giữa các điểm được chỉ định. Hoặc, nếu bạn thích, độ dài của đoạn nối các điểm này:

Mô đun là khoảng cách giữa các điểm trên trục số

Định nghĩa này cũng ngụ ý rằng mô đun luôn không âm. Nhưng đã đủ định nghĩa và lý thuyết - hãy chuyển sang các phương trình thực tế :)

Công thức cơ bản

Được rồi, chúng tôi đã sắp xếp định nghĩa. Nhưng điều đó không làm mọi việc dễ dàng hơn chút nào. Làm thế nào để giải các phương trình chứa mô-đun này?

Bình tĩnh, bình tĩnh thôi. Hãy bắt đầu với những điều đơn giản nhất. Hãy xem xét một cái gì đó như thế này:

\[\left| x\right|=3\]

Vậy mô đun của $x$ là 3. $x$ có thể bằng bao nhiêu? Chà, xét theo định nghĩa, chúng ta khá hài lòng với $x=3$. Thật sự:

\[\left| 3\phải|=3\]

Có những con số khác? Cap dường như đang ám chỉ rằng có. Ví dụ: $x=-3$ cũng là $\left| -3 \right|=3$, tức là sự bình đẳng cần thiết được thỏa mãn.

Vậy biết đâu nếu tìm kiếm và suy nghĩ, chúng ta sẽ tìm được nhiều con số hơn? Nhưng hãy phá vỡ nó: nhiều con số hơn KHÔNG. Phương trình $\left| x \right|=3$ chỉ có hai nghiệm: $x=3$ và $x=-3$.

Bây giờ hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút. Đặt hàm $f\left(x \right)$ dưới dấu mô đun thay vì biến $x$, và thay vì bộ ba ở bên phải, chúng ta đặt số tùy ý$a$. Chúng ta nhận được phương trình:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Vậy làm thế nào chúng ta có thể giải quyết điều này? Hãy để tôi nhắc bạn: $f\left(x \right)$ là một hàm tùy ý, $a$ là số bất kỳ. Những thứ kia. Bất cứ điều gì cả! Ví dụ:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Chúng ta hãy chú ý đến phương trình thứ hai. Bạn có thể nói ngay về anh ta: anh ta không có gốc rễ. Tại sao? Đúng vậy: bởi vì nó yêu cầu mô đun phải bằng số âm, điều này không bao giờ xảy ra, vì chúng ta đã biết rằng mô đun luôn là một số dương hoặc trong trường hợp cực đoan là bằng không.

Nhưng với phương trình đầu tiên, mọi thứ sẽ vui hơn. Có hai lựa chọn: hoặc có biểu thức dương dưới dấu mô đun, sau đó $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, hoặc biểu thức này vẫn âm, và sau đó $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Trong trường hợp đầu tiên, phương trình của chúng ta sẽ được viết lại như sau:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Và đột nhiên hóa ra biểu thức mô đun con $2x+1$ thực sự dương - nó bằng số 5. ​​Đó là chúng ta có thể giải phương trình này một cách an toàn - nghiệm thu được sẽ là một phần của câu trả lời:

Những người đặc biệt không tin tưởng có thể thử thay thế nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu và đảm bảo rằng môđun thực sự sẽ bằng số dương.

Bây giờ hãy xem trường hợp biểu thức mô đun con âm:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Mũi tên phải 2x+1=-5\]

Ối! Một lần nữa, mọi thứ đều rõ ràng: chúng ta giả sử rằng $2x+1 \lt 0$, và kết quả là chúng ta nhận được $2x+1=-5$ - thực sự, biểu thức này nhỏ hơn 0. Chúng tôi giải phương trình kết quả, trong khi biết chắc chắn rằng gốc tìm được sẽ phù hợp với chúng tôi:

Tổng cộng, chúng tôi lại nhận được hai câu trả lời: $x=2$ và $x=3$. Đúng, số lượng phép tính hóa ra lớn hơn một chút so với phương trình rất đơn giản $\left| x \right|=3$, nhưng về cơ bản không có gì thay đổi. Vậy có lẽ có một loại thuật toán phổ quát nào đó?

Có, một thuật toán như vậy tồn tại. Và bây giờ chúng ta sẽ phân tích nó.

Loại bỏ dấu hiệu mô đun

Chúng ta hãy cho phương trình $\left| f\left(x \right) \right|=a$, và $a\ge 0$ (nếu không, như chúng ta đã biết, không có gốc). Sau đó, bạn có thể loại bỏ dấu hiệu mô đun bằng quy tắc sau:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Do đó, phương trình của chúng ta có mô đun chia thành hai, nhưng không có mô đun. Đó là tất cả công nghệ! Hãy thử giải một vài phương trình. Hãy bắt đầu với điều này

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Hãy xem xét riêng khi có điểm cộng mười ở bên phải và riêng khi có điểm trừ. Chúng tôi có:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(căn chỉnh)\]

Thế thôi! Chúng ta có hai nghiệm: $x=1.2$ và $x=-2.8$. Toàn bộ giải pháp thực sự có hai dòng.

Được rồi, không có câu hỏi nào, hãy xem xét điều gì đó nghiêm túc hơn một chút:

\[\left| 7-5x\phải|=13\]

Một lần nữa chúng ta mở mô-đun bằng dấu cộng và dấu trừ:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(căn chỉnh)\]

Một vài dòng nữa - và câu trả lời đã sẵn sàng! Như tôi đã nói, không có gì phức tạp về mô-đun. Bạn chỉ cần nhớ một vài quy tắc. Do đó, chúng tôi tiếp tục và bắt đầu với những nhiệm vụ thực sự phức tạp hơn.

Trường hợp biến vế phải

Bây giờ hãy xem xét phương trình này:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Phương trình này về cơ bản khác với tất cả các phương trình trước đó. Làm sao? Và thực tế là ở bên phải dấu bằng là biểu thức $2x$ - và chúng ta không thể biết trước nó là dương hay âm.

Phải làm gì trong trường hợp này? Đầu tiên, chúng ta phải hiểu một lần và mãi mãi rằng nếu vế phải của phương trình là âm thì phương trình sẽ không có nghiệm- chúng ta đã biết rằng mô-đun không thể bằng số âm.

Và thứ hai, nếu phần bên phải vẫn dương (hoặc bằng 0), thì bạn có thể thao tác theo cách tương tự như trước: chỉ cần mở mô-đun riêng bằng dấu cộng và riêng bằng dấu trừ.

Vì vậy, chúng ta xây dựng một quy tắc cho hàm tùy ý$f\left(x \right)$ và $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Liên quan đến phương trình của chúng tôi, chúng tôi nhận được:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Chà, bằng cách nào đó chúng ta sẽ đáp ứng được yêu cầu $2x\ge 0$. Cuối cùng, chúng ta có thể thay thế các nghiệm mà chúng ta nhận được từ phương trình đầu tiên một cách ngu ngốc và kiểm tra xem bất đẳng thức có đúng hay không.

Vì vậy, hãy tự giải phương trình:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(căn chỉnh)\]

Vậy, nghiệm nào trong hai nghiệm này thỏa mãn yêu cầu $2x\ge 0$? Vâng cả hai! Do đó, câu trả lời sẽ là hai số: $x=(4)/(3)\;$ và $x=0$. Đó là giải pháp.

Tôi nghi ngờ rằng một số học sinh đã bắt đầu cảm thấy nhàm chán? Chà, hãy xem xét một phương trình thậm chí còn phức tạp hơn:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Mặc dù trông có vẻ xấu xa nhưng thực tế nó vẫn là phương trình có dạng “mô đun bằng hàm”:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Và nó được giải quyết theo cách tương tự:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(căn chỉnh) \right.\]

Chúng ta sẽ giải quyết vấn đề bất bình đẳng sau - nó có phần quá xấu xa (thực ra thì nó đơn giản nhưng chúng ta sẽ không giải quyết được). Hiện tại, tốt hơn hết là xử lý các phương trình thu được. Hãy xem xét trường hợp đầu tiên - đây là khi mô-đun được mở rộng bằng dấu cộng:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Chà, không cần phải đắn đo khi bạn cần thu thập mọi thứ từ bên trái, mang theo những thứ tương tự và xem điều gì sẽ xảy ra. Và đây là những gì xảy ra:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(căn chỉnh)\]

Chúng tôi lấy nó ra số nhân chung$((x)^(2))$ ngoài ngoặc và chúng ta nhận được một phương trình rất đơn giản:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(căn chỉnh) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Ở đây chúng tôi đã sử dụng tài sản quan trọng tích, vì lợi ích của nó mà chúng ta đã phân tích đa thức ban đầu: tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0.

Bây giờ, hãy xử lý phương trình thứ hai theo cách tương tự, phương trình này thu được bằng cách khai triển mô-đun bằng dấu trừ:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(căn chỉnh)\]

Một lần nữa điều tương tự: tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Chúng tôi có:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Vâng, chúng ta có ba nghiệm: $x=0$, $x=1.5$ và $x=(2)/(3)\;$. Chà, bộ nào sẽ đi vào câu trả lời cuối cùng? Để làm điều này, hãy nhớ rằng chúng ta có một ràng buộc bổ sung ở dạng bất đẳng thức:

Làm thế nào để tính đến yêu cầu này? Chúng ta hãy thay thế các nghiệm đã tìm được và kiểm tra xem liệu bất đẳng thức có đúng với $x$ này hay không. Chúng tôi có:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(căn chỉnh)\]

Vì vậy, gốc $x=1.5$ không phù hợp với chúng ta. Và để đáp lại sẽ chỉ có hai gốc:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Như bạn có thể thấy, ngay cả trong trường hợp này cũng không có gì phức tạp - các phương trình có mô-đun luôn được giải bằng thuật toán. Bạn chỉ cần hiểu rõ về đa thức và bất đẳng thức. Do đó, chúng tôi chuyển sang các nhiệm vụ phức tạp hơn - sẽ không có một mà là hai mô-đun.

Phương trình với hai mô-đun

Cho đến nay chúng ta chỉ nghiên cứu nhiều nhất phương trình đơn giản- có một mô-đun và một thứ khác. Chúng ta đã gửi “thứ khác” này đến một phần khác của bất đẳng thức, cách xa mô-đun, để cuối cùng mọi thứ sẽ được quy giản về một phương trình có dạng $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ hoặc thậm chí đơn giản hơn $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Nhưng mẫu giáođã kết thúc - đã đến lúc phải xem xét điều gì đó nghiêm trọng hơn. Hãy bắt đầu với các phương trình như thế này:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Đây là phương trình có dạng “mô đun bằng mô đun" Về cơ bản điểm quan trọng là sự vắng mặt của các điều khoản và yếu tố khác: chỉ có một mô-đun ở bên trái, thêm một mô-đun ở bên phải - và không có gì hơn thế.

Bây giờ có người sẽ nghĩ rằng những phương trình như vậy khó giải hơn những gì chúng ta đã nghiên cứu cho đến nay. Nhưng không: những phương trình này thậm chí còn dễ giải hơn. Đây là công thức:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Tất cả! Chúng ta chỉ cần đánh đồng các biểu thức mô đun con bằng cách đặt dấu cộng hoặc dấu trừ trước một trong các biểu thức đó. Và sau đó chúng ta giải hai phương trình thu được - và các nghiệm đã sẵn sàng! Không có hạn chế bổ sung, không có bất đẳng thức, v.v. Nó rất đơn giản.

Hãy thử giải quyết vấn đề này:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \phải|\]

Sơ cấp thôi, Watson! Mở rộng các module:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Chúng ta hãy xem xét từng trường hợp riêng biệt:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(căn chỉnh)\]

Phương trình đầu tiên không có gốc. Bởi vì khi nào $3=-7$? Tại giá trị nào của $x$? “$x$ là cái quái gì vậy? Bạn có bị ném đá không? Không có $x$ nào cả,” bạn nói. Và bạn sẽ đúng. Chúng ta đã thu được một đẳng thức không phụ thuộc vào biến $x$, đồng thời bản thân đẳng thức đó không đúng. Đó là lý do tại sao không có rễ :)

Với phương trình thứ hai, mọi thứ thú vị hơn một chút nhưng cũng rất, rất đơn giản:

Như bạn có thể thấy, mọi thứ đã được giải quyết theo đúng nghĩa đen trong một vài dòng - chúng tôi không mong đợi bất cứ điều gì khác từ một phương trình tuyến tính :)

Kết quả, đáp án cuối cùng là: $x=1$.

Vậy làm thế nào? Khó? Tất nhiên là không. Hãy thử cái gì khác:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Một lần nữa chúng ta có một phương trình có dạng $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Do đó, chúng tôi viết lại ngay lập tức, để lộ dấu mô đun:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Có lẽ lúc này sẽ có người hỏi: “Này, vớ vẩn gì vậy? Tại sao “cộng-trừ” xuất hiện ở biểu thức bên phải mà không xuất hiện ở bên trái?” Hãy bình tĩnh, tôi sẽ giải thích mọi chuyện ngay bây giờ. Thật vậy, theo cách tốt nhất thì chúng ta nên viết lại phương trình của mình như sau:

Sau đó, bạn cần mở dấu ngoặc, di chuyển tất cả các số hạng sang một bên của dấu bằng (vì rõ ràng phương trình sẽ là hình vuông trong cả hai trường hợp), sau đó tìm nghiệm. Nhưng bạn phải đồng ý: khi “cộng hoặc trừ” xuất hiện trước ba thuật ngữ (đặc biệt khi một trong các thuật ngữ này biểu thức bậc hai), điều này bằng cách nào đó có vẻ phức tạp hơn tình huống khi “cộng hoặc trừ” chỉ xuất hiện trước hai số hạng.

Nhưng không có gì ngăn cản chúng ta viết lại phương trình ban đầu như sau:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]

Chuyện gì đã xảy ra thế? Không có gì đặc biệt: họ chỉ hoán đổi bên trái và bên phải. Một điều nhỏ cuối cùng sẽ làm cho cuộc sống của chúng ta dễ dàng hơn một chút :)

Nói chung, chúng tôi giải phương trình này bằng cách xem xét các tùy chọn có điểm cộng và điểm trừ:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(căn chỉnh)\]

Phương trình đầu tiên có nghiệm $x=3$ và $x=1$. Thứ hai nói chung là một hình vuông chính xác:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Vì vậy, nó chỉ có một gốc: $x=1$. Nhưng chúng tôi đã có được gốc này sớm hơn. Như vậy, chỉ có hai con số sẽ đi vào câu trả lời cuối cùng:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Nhiệm vụ đã hoàn thành! Bạn có thể lấy một chiếc bánh từ kệ và ăn nó. Có 2 cái, của bạn là cái ở giữa :)

Lưu ý quan trọng. sẵn có rễ giống nhau Tại tùy chọn khác nhau việc mở rộng mô đun có nghĩa là các đa thức ban đầu được phân tích thành thừa số và trong số các thừa số này nhất thiết phải có một thừa số chung. Thật sự:

\[\begin(căn chỉnh)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(căn chỉnh)\]

Một trong các thuộc tính của mô-đun: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (tức là mô đun của sản phẩm tương đương với sản phẩm module), do đó phương trình ban đầu có thể được viết lại như sau:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Như bạn có thể thấy, chúng tôi thực sự có một yếu tố chung. Bây giờ, nếu bạn thu thập tất cả các mô-đun ở một bên, bạn có thể loại bỏ yếu tố này ra khỏi khung:

\[\begin(căn chỉnh)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(căn chỉnh)\]

Chà, bây giờ hãy nhớ rằng tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0:

\[\left[ \begin(căn chỉnh)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(căn chỉnh) \right.\]

Do đó, phương trình ban đầu với hai mô-đun đã được rút gọn thành hai phương trình đơn giản nhất mà chúng ta đã nói ở đầu bài học. Những phương trình như vậy có thể được giải theo đúng nghĩa đen trong một vài dòng :)

Nhận xét này có vẻ phức tạp một cách không cần thiết và không thể áp dụng được trong thực tế. Tuy nhiên, trên thực tế bạn có thể gặp nhiều hơn thế nhiệm vụ phức tạp, hơn những gì chúng ta đang phân tích ngày hôm nay. Trong đó, các module có thể được kết hợp với các đa thức, rễ số học, logarit, v.v. Và trong những tình huống như vậy, khả năng hạ thấp mức độ tổng thể của phương trình bằng cách lấy thứ gì đó ra khỏi ngoặc có thể rất, rất hữu ích :)

Bây giờ tôi muốn phân tích một phương trình khác, thoạt nhìn có vẻ điên rồ. Nhiều sinh viên gặp khó khăn với nó, ngay cả những người nghĩ rằng họ đã hiểu rõ về các học phần.

Tuy nhiên, phương trình này thậm chí còn dễ giải hơn những gì chúng ta đã xem xét trước đó. Và nếu bạn hiểu tại sao, bạn sẽ có được một thủ thuật khác dành cho giải pháp nhanh chóng phương trình với các mô-đun.

Vậy phương trình là:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Không, đây không phải là lỗi đánh máy: đó là điểm cộng giữa các mô-đun. Và chúng ta cần tìm $x$ tổng của hai mô-đun bằng 0 :)

Vấn đề là gì vậy? Nhưng vấn đề là mỗi mô-đun là một số dương, hoặc trong trường hợp cực đoan là bằng 0. Điều gì xảy ra nếu bạn cộng hai số dương? Rõ ràng lại là một số dương:

\[\begin(căn chỉnh)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(căn chỉnh)\]

Dòng cuối cùng có thể cho bạn một ý tưởng: trường hợp duy nhất, khi tổng của các mô-đun bằng 0 - đây là nếu mỗi mô-đun bằng 0:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.

Và khi nào mô-đun bằng 0? Chỉ trong một trường hợp - khi biểu thức mô đun con bằng 0:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(căn chỉnh) \right.\]

Vì vậy, chúng ta có ba điểm tại đó mô-đun đầu tiên được đặt lại về 0: 0, 1 và −1; cũng như hai điểm mà mô-đun thứ hai được đặt lại về 0: −2 và 1. Tuy nhiên, chúng ta cần cả hai mô-đun được đặt lại về 0 cùng một lúc, vì vậy trong số các số tìm thấy, chúng ta cần chọn những số có trong cả hai bộ. Rõ ràng, chỉ có một số như vậy: $x=1$ - đây sẽ là câu trả lời cuối cùng.

Phương pháp phân cắt

Chà, chúng ta đã giải quyết được rất nhiều vấn đề và học được rất nhiều kỹ thuật. Bạn có nghĩ đó là tất cả? Nhưng không! Bây giờ chúng ta sẽ xem xét kỹ thuật cuối cùng - đồng thời là kỹ thuật quan trọng nhất. Chúng ta sẽ nói về việc chia phương trình bằng mô đun. Chúng ta thậm chí sẽ nói về điều gì? Chúng ta hãy quay lại một chút và xem xét một số phương trình đơn giản. Ví dụ thế này:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

Về nguyên tắc, chúng ta đã biết cách giải phương trình như vậy, vì nó là một cấu trúc tiêu chuẩn có dạng $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Nhưng chúng ta hãy thử nhìn phương trình này từ một góc độ hơi khác. Chính xác hơn, hãy xem xét biểu thức dưới dấu mô đun. Hãy để tôi nhắc bạn rằng mô đun của bất kỳ số nào có thể bằng chính số đó hoặc có thể ngược lại với số này:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Trên thực tế, sự mơ hồ này chính là toàn bộ vấn đề: vì số trong mô đun thay đổi (nó phụ thuộc vào biến), nên chúng ta không rõ nó là dương hay âm.

Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu ban đầu bạn yêu cầu con số này phải dương? Ví dụ: hãy yêu cầu $3x-5 \gt 0$ - trong trường hợp này, chúng tôi đảm bảo nhận được số dương dưới dấu mô đun và chúng tôi hoàn toàn có thể loại bỏ chính mô đun này:

Do đó, phương trình của chúng ta sẽ biến thành phương trình tuyến tính, có thể giải dễ dàng:

Đúng, tất cả những suy nghĩ này chỉ có ý nghĩa với điều kiện $3x-5 \gt 0$ - chính chúng tôi đã đưa ra yêu cầu này để tiết lộ mô-đun một cách rõ ràng. Do đó, hãy thay thế $x=\frac(5)(3)$ tìm thấy vào điều kiện này và kiểm tra:

Hóa ra là khi giá trị được chỉ định$x$ yêu cầu của chúng tôi không được đáp ứng, bởi vì biểu thức hóa ra bằng 0 và chúng ta cần nó phải lớn hơn 0. Buồn. :(

Nhưng không sao đâu! Rốt cuộc, vẫn còn một lựa chọn khác $3x-5 \lt 0$. Hơn nữa: cũng có trường hợp $3x-5=0$ - điều này cũng cần được xem xét, nếu không lời giải sẽ không đầy đủ. Vì vậy, hãy xem xét trường hợp $3x-5 \lt 0$:

Rõ ràng, mô-đun sẽ mở ra bằng dấu trừ. Nhưng sau đó, một tình huống kỳ lạ nảy sinh: cả bên trái và bên phải trong phương trình ban đầu đều có cùng một biểu thức:

Tôi tự hỏi tại sao $x$ biểu thức $5-3x$ sẽ bằng biểu thức $5-3x$? Ngay cả Captain Obviousness cũng sẽ nghẹn ngào vì những phương trình như vậy, nhưng chúng ta biết: phương trình này là một đồng nhất thức, tức là. nó đúng với mọi giá trị của biến!

Điều này có nghĩa là bất kỳ $x$ nào cũng sẽ phù hợp với chúng ta. Tuy nhiên, chúng tôi có một hạn chế:

Nói cách khác, câu trả lời sẽ không phải là một con số mà là cả một khoảng:

Cuối cùng, còn một trường hợp nữa cần xem xét: $3x-5=0$. Mọi thứ ở đây đều đơn giản: theo mô đun sẽ bằng 0 và mô đun của 0 cũng bằng 0 (điều này diễn ra trực tiếp từ định nghĩa):

Nhưng sau đó phương trình ban đầu $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ sẽ được viết lại như sau:

Chúng ta đã có được nghiệm này ở trên khi xét trường hợp $3x-5 \gt 0$. Hơn nữa, nghiệm này là nghiệm của phương trình $3x-5=0$ - đây là hạn chế mà chính chúng tôi đã đưa ra để thiết lập lại mô-đun :)

Vì vậy, ngoài khoảng, chúng ta cũng sẽ hài lòng với số nằm ở cuối khoảng này:

Kết hợp các nghiệm trong phương trình modulo

Tổng số câu trả lời cuối cùng: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Không hiếm khi thấy những điều nhảm nhí như vậy trong câu trả lời cho một phương trình khá đơn giản (về cơ bản là tuyến tính) với mô đun , thật sao? Chà, hãy làm quen với nó: khó khăn của mô-đun là các câu trả lời trong các phương trình như vậy có thể hoàn toàn không thể đoán trước được.

Một điều khác quan trọng hơn nhiều: chúng ta vừa phân tích một thuật toán phổ quát để giải phương trình bằng mô đun! Và thuật toán này bao gồm các bước sau:

1. Đánh đồng từng mô đun trong phương trình bằng 0. Chúng tôi nhận được một số phương trình;
2. Giải tất cả các phương trình này và đánh dấu các nghiệm trên trục số. Kết quả là, đường thẳng sẽ được chia thành nhiều khoảng, tại mỗi khoảng đó tất cả các mô-đun được hiển thị duy nhất;
3. Giải phương trình ban đầu cho mỗi khoảng và kết hợp các câu trả lời của bạn.

Thế thôi! Chỉ còn một câu hỏi: phải làm gì với những rễ cây thu được ở bước 1? Giả sử chúng ta có hai nghiệm: $x=1$ và $x=5$. Họ sẽ chia trục số thành 3 phần:

Chia trục số thành các khoảng bằng điểm

Vậy các khoảng là gì? Rõ ràng là có ba trong số họ:

1. Cái ngoài cùng bên trái: $x \lt 1$ — bản thân đơn vị đó không được bao gồm trong khoảng;
2. Trung tâm: $1\le x \lt 5$ - ở đây một được bao gồm trong khoảng, nhưng năm không được bao gồm;
3. Ngoài cùng bên phải: $x\ge 5$ - năm chỉ được đưa vào đây!

Tôi nghĩ bạn đã hiểu mô hình. Mỗi khoảng bao gồm đầu bên trái và không bao gồm đầu bên phải.

Thoạt nhìn, một mục như vậy có vẻ bất tiện, phi logic và nói chung là một kiểu điên rồ nào đó. Nhưng tin tôi đi: sau một thời gian thực hành, bạn sẽ thấy rằng cách tiếp cận này là đáng tin cậy nhất và không cản trở việc mở các mô-đun một cách rõ ràng. Sử dụng sơ đồ như vậy tốt hơn là lúc nào cũng phải suy nghĩ: đưa đầu trái/phải cho khoảng thời gian hiện tại hoặc "ném" nó vào cái tiếp theo.