Tìm giá trị logarit bằng cơ số tùy ý. Logarit tự nhiên, hàm ln x

1.1. Xác định số mũ cho số mũ nguyên

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N lần

1.2. Không độ.

Theo định nghĩa, người ta thường chấp nhận rằng không độ mọi số đều bằng 1:

1.3. Mức độ tiêu cực.

X -N = 1/XN

1.4. Sức mạnh phân số, gốc.

X 1/N = N nghiệm của X.

Ví dụ: X 1/2 = √X.

1.5. Công thức cộng lũy thừa.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Công thức trừ lũy thừa.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Công thức nhân lũy thừa.

X N*M = (X N) M

1.8. Công thức nâng lũy thừa của một phân số.

(X/Y) N = XN /Y N

2. Số e.

Giá trị của số e bằng giới hạn sau:

E = lim(1+1/N), khi N → ∞.

Với độ chính xác 17 chữ số, số e là 2,71828182845904512.

3. Đẳng thức Euler.

Đẳng thức này kết nối năm số có vai trò đặc biệt trong toán học: 0, 1, e, pi, đơn vị ảo.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Hàm mũ exp(x)

exp(x) = e x

5. Đạo hàm của hàm số mũ

Hàm số mũ có tài sản đáng chú ý: Đạo hàm của một hàm số bằng chính hàm số mũ:

(exp(x))" = exp(x)

6. Lôgarit.

6.1. Định nghĩa hàm logarit

Nếu x = b y thì logarit là hàm số

Y = Log b(x).

Logarit cho biết một số phải tăng lũy thừa bao nhiêu - cơ số của logarit (b) để có được số đã cho(X). Hàm logarit được xác định cho X lớn hơn 0.

Ví dụ: Log 10 (100) = 2.

6.2. Logarit thập phân

Đây là logarit cơ số 10:

Y = Log 10 (x) .

Ký hiệu là Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Một ví dụ về việc sử dụng logarit thập phân là decibel.

6.3. decibel

Mục được đánh dấu trên một trang riêng Decibel

6.4. logarit nhị phân

Đây là logarit cơ số 2:

Y = Log 2 (x).

Ký hiệu là Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. logarit tự nhiên

Đây là logarit cơ số e:

Y = Log e(x) .

Ký hiệu là Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
logarit tự nhiên — hàm nghịch đảo theo cấp số nhân hàm exp(X).

6.6. Điểm đặc trưng

Lô-ga(1) = 0
Đăng nhập a (a) = 1

6.7. Công thức logarit tích

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Công thức tính logarit của thương

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Công thức logarit lũy thừa

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Công thức chuyển đổi sang logarit có cơ số khác

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Ví dụ:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Công thức hữu ích trong cuộc sống

Thường có vấn đề về chuyển đổi thể tích thành diện tích hoặc chiều dài và vấn đề nghịch đảo- Chuyển đổi diện tích sang thể tích. Ví dụ: các tấm ván được bán theo hình khối (mét khối) và chúng ta cần tính toán diện tích bức tường có thể được bao phủ bởi các tấm ván chứa trong đó. một khối lượng nhất định, xem cách tính bảng, hình lập phương có bao nhiêu bảng. Hoặc nếu biết kích thước của bức tường thì bạn cần tính số viên gạch, xem cách tính gạch.

Được phép sử dụng tài liệu trang web với điều kiện là có cài đặt liên kết hoạt động tới nguồn.

Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được cộng, trừ và biến đổi theo mọi cách. Nhưng vì logarit không chính xác số thường xuyên, có những quy tắc ở đây, được gọi là thuộc tính chính.

Bạn chắc chắn cần phải biết những quy tắc này - không có chúng thì không một vấn đề nghiêm trọng nào có thể được giải quyết. bài toán logarit. Ngoài ra, có rất ít trong số đó - bạn có thể học mọi thứ trong một ngày. Vì vậy, hãy bắt đầu.

Cộng và trừ logarit

Xét hai logarit có cùng cơ số: log Một x và đăng nhập Một y. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

nhật ký Một x+ nhật ký Một y= nhật ký Một (x · y);
nhật ký Một x− nhật ký Một y= nhật ký Một (x : y).

Vì vậy, tổng logarit bằng logarit của tích và hiệu bằng logarit của thương. Xin lưu ý: điểm mấu chốtĐây - căn cứ giống hệt nhau. Nếu các lý do khác nhau, các quy tắc này không có tác dụng!

Những công thức này sẽ giúp bạn tính toán biểu thức logarit ngay cả khi các phần riêng lẻ của nó không được tính (xem bài “Logarit là gì”). Hãy xem các ví dụ và thấy:

Nhật ký 6 4 + log 6 9.

Vì logarit có cùng cơ số nên chúng ta sử dụng công thức tính tổng:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 2 48 − log 2 3.

Các cơ sở giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức khác biệt:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 3 135 − log 3 5.

Một lần nữa các cơ sở đều giống nhau, vì vậy chúng ta có:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ logarit “xấu”, không được tính riêng. Nhưng sau khi biến đổi, chúng trở nên khá số bình thường. Nhiều người được xây dựng trên thực tế này kiểm tra. Điều khiển thì sao? biểu thức tương tựở mức độ nghiêm trọng nhất (đôi khi hầu như không có thay đổi) đều được đưa ra trong Kỳ thi Thống nhất.

Trích xuất số mũ từ logarit

Bây giờ hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút. Điều gì sẽ xảy ra nếu cơ số hoặc đối số của logarit là lũy thừa? Khi đó số mũ của bậc này có thể được lấy ra khỏi dấu logarit theo các quy tắc sau:

Thật dễ dàng để nhận thấy rằng quy tắc cuối cùng theo sau hai cái đầu tiên. Nhưng dù sao thì tốt hơn hết bạn nên nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ làm giảm đáng kể số lượng phép tính.

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này đều có ý nghĩa nếu tuân thủ ODZ của logarit: Một > 0, Một ≠ 1, x> 0. Và một điều nữa: học cách áp dụng tất cả các công thức không chỉ từ trái sang phải mà còn ngược lại, tức là. Bạn có thể nhập các số trước dấu logarit vào chính logarit. Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 7 49 6 .

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số bằng công thức đầu tiên:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
[Chú thích cho hình ảnh]

Lưu ý rằng mẫu số chứa logarit, cơ số và đối số của nó là lũy thừa chính xác: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Chúng tôi có:

[Chú thích cho hình ảnh]

tôi nghĩ để ví dụ cuối cùng yêu cầu làm rõ. Logarit đã đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số. Chúng tôi đã trình bày cơ sở và lập luận của logarit đứng ở dạng lũy thừa và loại bỏ số mũ - chúng tôi nhận được phân số “ba tầng”.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phần chính. Tử số và mẫu số chứa cùng một số: log 2 7. Vì log 2 7 ≠ 0, chúng ta có thể rút gọn phân số - 2/4 sẽ vẫn ở mẫu số. Theo các quy tắc số học, bốn số có thể được chuyển sang tử số, đó là điều đã được thực hiện. Kết quả là câu trả lời: 2.

Chuyển sang nền tảng mới

Nói về các quy tắc cộng và trừ logarit, tôi đặc biệt nhấn mạnh rằng chúng chỉ hoạt động với cùng một cơ số. Nếu lý do khác nhau thì sao? Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng không phải là lũy thừa chính xác của cùng một số?

Các công thức để chuyển đổi sang một nền tảng mới sẽ được giải cứu. Chúng ta hãy phát biểu chúng dưới dạng một định lý:

Hãy để nó được trao nhật ký logarit Một x. Sau đó với bất kỳ số nào c như vậy c> 0 và c≠ 1, đẳng thức đúng:
[Chú thích cho hình ảnh]
Đặc biệt, nếu chúng ta đặt c = x, chúng tôi nhận được:
[Chú thích cho hình ảnh]

Từ công thức thứ hai, cơ số và đối số của logarit có thể được hoán đổi cho nhau, nhưng trong trường hợp này toàn bộ biểu thức bị "lật", tức là logarit xuất hiện ở mẫu số.

Những công thức này hiếm khi được tìm thấy trong các biểu thức số thông thường. Có thể đánh giá mức độ thuận tiện của chúng chỉ khi giải các phương trình logarit và bất đẳng thức.

Tuy nhiên, có những vấn đề không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển sang nền tảng mới. Chúng ta hãy xem xét một vài trong số này:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 5 16 log 2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả hai logarit đều chứa lũy thừa chính xác. Hãy lấy ra các chỉ tiêu: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Bây giờ hãy “đảo ngược” logarit thứ hai:

[Chú thích cho hình ảnh]

Vì tích không thay đổi khi sắp xếp lại các thừa số nên chúng ta bình tĩnh nhân 4 và 2 rồi xử lý logarit.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 9 100 lg 3.

Cơ số và đối số của logarit thứ nhất là lũy thừa chính xác. Hãy viết điều này ra và loại bỏ các chỉ số:

[Chú thích cho hình ảnh]

Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ logarit thập phân bằng cách chuyển sang cơ số mới:

[Chú thích cho hình ảnh]

Nhận dạng logarit cơ bản

Thông thường trong quá trình giải cần biểu diễn một số dưới dạng logarit của một cơ số cho trước. Trong trường hợp này, các công thức sau sẽ giúp chúng ta:

Trong trường hợp đầu tiên, số N trở thành một dấu hiệu cho thấy mức độ đứng trong lập luận. Con số N có thể hoàn toàn là bất cứ thứ gì, vì nó chỉ là giá trị logarit.

Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Đó là những gì nó được gọi là: cơ bản nhận dạng logarit.

Thực tế, điều gì sẽ xảy ra nếu số b nâng lên sức mạnh đến mức số lượng b với sức mạnh này sẽ cho số Một? Đúng vậy: bạn nhận được số tương tự Một. Hãy đọc kỹ đoạn này một lần nữa - nhiều người mắc kẹt ở đó.

Giống như các công thức chuyển sang cơ số mới, đẳng thức logarit cơ bản đôi khi là giải pháp khả thi duy nhất.

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:
[Chú thích cho hình ảnh]

Lưu ý rằng log 25 64 = log 5 8 - chúng ta chỉ đơn giản lấy bình phương từ cơ số và đối số của logarit. Xét quy tắc nhân lũy thừa với cơ sở giống nhau, chúng tôi nhận được:

[Chú thích cho hình ảnh]

Nếu ai chưa biết thì đây là một nhiệm vụ có thật trong Kỳ thi Thống nhất :)

Đơn vị logarit và logarit số 0

Để kết luận, tôi sẽ đưa ra hai danh tính khó có thể được gọi là thuộc tính - đúng hơn, chúng là hệ quả của định nghĩa logarit. Họ liên tục xuất hiện trong các vấn đề và đáng ngạc nhiên là họ còn tạo ra vấn đề ngay cả đối với những học sinh “nâng cao”.

nhật ký Một Một= 1 là đơn vị logarit. Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit theo cơ số bất kỳ Một từ chính cơ sở này bằng một.
nhật ký Một 1 = 0 là logarit bằng 0. Căn cứ Một có thể là bất cứ thứ gì, nhưng nếu đối số chứa một - logarit bằng 0! Bởi vì Một 0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Đó là tất cả tài sản. Hãy chắc chắn thực hành áp dụng chúng vào thực tế! Tải cheat sheet ở đầu bài, in ra và giải các bài toán.

Logarit của số b (b > 0) cơ số a (a > 0, a ≠ 1)– số mũ mà số a phải được nâng lên để có được b.

Logarit cơ số 10 của b có thể được viết là nhật ký (b), và logarit cơ số e (logarit tự nhiên) là ln(b).

Thường được sử dụng khi giải các bài toán bằng logarit:

Tính chất của logarit

Có bốn chính tính chất của logarit.

Cho a > 0, a ≠ 1, x > 0 và y > 0.

Tính chất 1. Logarit của tích

Logarit của sản phẩm bằng tổng logarit:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Tính chất 2. Logarit của thương

Logarit của thương bằng hiệu của logarit:

log a (x/y) = log a x – log a y

Tính chất 3. Logarit lũy thừa

Logarit của bậc tương đương với sản phẩm lũy thừa trên logarit:

Nếu cơ số của logarit tính bằng độ thì áp dụng công thức khác:

Tính chất 4. Logarit của nghiệm

Tính chất này có thể thu được từ tính chất logarit của một lũy thừa, vì căn bậc n bằng sức mạnh 1/n:

Công thức đổi logarit cơ số này sang logarit cơ số khác

Công thức này cũng thường được sử dụng khi giải các bài toán khác nhau về logarit:

Trường hợp đặc biệt:

So sánh logarit (bất đẳng thức)

Cho 2 hàm số f(x) và g(x) theo logarit cùng cơ số và giữa chúng có dấu bất đẳng thức:

Để so sánh chúng, trước tiên bạn cần nhìn vào cơ số của logarit a:

Nếu a > 0 thì f(x) > g(x) > 0
Nếu 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Cách giải bài toán bằng logarit: ví dụ

Các vấn đề với logarit Nằm trong Kỳ thi thống nhất môn toán lớp 11 nhiệm vụ 5 và nhiệm vụ 7, các bạn có thể tìm các bài tập có đáp án trên trang web của chúng tôi ở các phần thích hợp. Ngoài ra, các nhiệm vụ có logarit cũng được tìm thấy trong ngân hàng nhiệm vụ toán học. Bạn có thể tìm thấy tất cả các ví dụ bằng cách tìm kiếm trên trang web.

logarit là gì

Logarit luôn được xem xét chủ đề phức tạp V. khóa học toán học. Có rất nhiều định nghĩa khác nhau logarit, nhưng vì lý do nào đó mà hầu hết sách giáo khoa đều sử dụng logarit phức tạp nhất và không thành công.

Chúng ta sẽ định nghĩa logarit một cách đơn giản và rõ ràng. Để làm điều này, hãy tạo một bảng:

Vì vậy, chúng ta có sức mạnh của hai.

Logarit - tính chất, công thức, cách giải

Nếu bạn lấy số từ dòng dưới cùng, bạn có thể dễ dàng tìm ra lũy thừa mà bạn sẽ phải nâng hai để có được con số này. Ví dụ, để có được 16, bạn cần nâng hai lên lũy thừa bốn. Và để có được 64, bạn cần nâng hai lên lũy thừa sáu. Điều này có thể được nhìn thấy từ bảng.

Và bây giờ - thực ra, định nghĩa của logarit:

cơ số a của đối số x là lũy thừa mà số a phải được nâng lên để thu được số x.

Ký hiệu: log a x = b, trong đó a là cơ số, x là đối số, b là giá trị thực của logarit.

Ví dụ: 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (logarit cơ số 2 của 8 là 3 vì 2 3 = 8). Với thành công tương tự, log 2 64 = 6, vì 2 6 = 64.

Phép toán tìm logarit của một số với một cơ số cho trước được gọi là. Vì vậy, hãy thêm một dòng mới vào bảng của chúng tôi:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Thật không may, không phải tất cả logarit đều được tính dễ dàng như vậy. Ví dụ, hãy thử tìm log 2 5. Số 5 không có trong bảng, nhưng logic cho thấy logarit sẽ nằm ở đâu đó trên khoảng. Bởi vì 2 2< 5 < 2 3 , а чем nhiều bằng cấp hơn hai, số càng lớn.

Những số như vậy được gọi là số vô tỷ: các số sau dấu thập phân có thể được viết vô tận và chúng không bao giờ lặp lại. Nếu logarit là số vô tỉ thì tốt hơn nên để nguyên như vậy: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Điều quan trọng là phải hiểu rằng logarit là một biểu thức có hai biến (cơ số và đối số). Lúc đầu, nhiều người nhầm lẫn đâu là cơ sở và đâu là lý lẽ. Để tránh những hiểu lầm khó chịu, chỉ cần nhìn vào bức tranh:

Trước mắt chúng ta không gì khác hơn là định nghĩa về logarit. Nhớ: logarit là một lũy thừa, trong đó cơ sở phải được xây dựng để có được một đối số. Đó là phần đế được nâng lên lũy thừa - nó được đánh dấu màu đỏ trong hình. Hóa ra căn cứ luôn ở phía dưới! Tôi nói với học sinh của mình quy tắc tuyệt vời này ngay từ bài học đầu tiên - và không có sự nhầm lẫn nào xảy ra.

Cách đếm logarit

Chúng tôi đã tìm ra định nghĩa - tất cả những gì còn lại là học cách đếm logarit, tức là loại bỏ dấu hiệu "log". Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng có hai sự thật quan trọng rút ra từ định nghĩa:

Đối số và cơ số phải luôn lớn hơn 0. Điều này xuất phát từ định nghĩa về mức độ chỉ số hợp lý, theo đó định nghĩa của logarit được đưa ra.
Căn cứ phải khác với một, vì một ở mức độ nào đó vẫn là một. Bởi vì điều này, câu hỏi “một người phải tăng sức mạnh bao nhiêu để có được hai” là vô nghĩa. Không có mức độ như vậy!

Những hạn chế như vậy được gọi là vùng đất giá trị chấp nhận được (ODZ). Hóa ra ODZ của logarit trông như thế này: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Lưu ý rằng không có hạn chế nào đối với số b (giá trị của logarit). Ví dụ, logarit có thể âm: log 2 0,5 = −1, bởi vì 0,5 = 2 −1.

Tuy nhiên, bây giờ chúng tôi chỉ xem xét biểu thức số, trong đó không bắt buộc phải biết CVD của logarit. Tất cả các hạn chế đã được các tác giả của vấn đề tính đến. Nhưng khi họ đi phương trình logarit và bất bình đẳng, các yêu cầu của DHS sẽ trở thành bắt buộc. Rốt cuộc, cơ sở và lập luận có thể chứa đựng những cấu trúc rất chắc chắn không nhất thiết phải tương ứng với những hạn chế trên.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét sơ đồ chung tính logarit. Nó bao gồm ba bước:

Biểu thị cơ số a và đối số x dưới dạng lũy thừa với cơ số nhỏ nhất có thể lớn hơn một. Đồng thời, tốt hơn hết bạn nên loại bỏ số thập phân;
Giải phương trình biến b: x = a b ;
Kết quả số b sẽ là đáp án.

Thế thôi! Nếu logarit hóa ra là số vô tỷ, điều này sẽ hiển thị ở bước đầu tiên. Yêu cầu cơ sở phải nhiều hơn một, rất phù hợp: nó làm giảm khả năng xảy ra lỗi và đơn giản hóa đáng kể việc tính toán. Tương tự với số thập phân: nếu bạn chuyển ngay chúng sang dạng thông thường thì sẽ ít xảy ra lỗi hơn rất nhiều.

Hãy xem cách chương trình này hoạt động bằng các ví dụ cụ thể:

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 5 25

Hãy tưởng tượng cơ sở và lập luận là lũy thừa của năm: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Hãy tạo và giải phương trình:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Chúng tôi nhận được câu trả lời: 2.

Nhiệm vụ. Tính logarit:

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 4 64

Hãy tưởng tượng cơ sở và lập luận là lũy thừa của hai: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Hãy tạo và giải phương trình:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Chúng tôi nhận được câu trả lời: 3.

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 16 1

Hãy tưởng tượng cơ số và lập luận là lũy thừa của hai: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Hãy tạo và giải phương trình:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Chúng tôi nhận được câu trả lời: 0.

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 7 14

Hãy tưởng tượng cơ sở và lập luận là lũy thừa của bảy: 7 = 7 1 ; 14 không thể biểu diễn dưới dạng lũy thừa của bảy, vì 7 1< 14 < 7 2 ;
Từ đoạn trước theo đó logarit không được tính;
Câu trả lời là không thay đổi: log 7 14.

Một lưu ý nhỏ về ví dụ cuối cùng. Làm thế nào bạn có thể chắc chắn rằng một số không phải là lũy thừa chính xác của một số khác? Rất đơn giản - chỉ cần chia nó thành thừa số nguyên tố. Nếu khai triển có ít nhất hai thừa số khác nhau thì con số đó không phải là lũy thừa chính xác.

Nhiệm vụ. Tìm hiểu xem các số có phải là lũy thừa chính xác hay không: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - mức độ chính xác, bởi vì chỉ có một số nhân;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - không phải là lũy thừa chính xác, vì có hai thừa số: 3 và 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - mức độ chính xác;
35 = 7 · 5 - một lần nữa không phải là lũy thừa chính xác;
14 = 7 · 2 - một lần nữa không phải là một mức độ chính xác;

Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng bản thân chúng ta số nguyên tố luôn có độ chính xác của bản thân chúng.

Logarit thập phân

Một số logarit phổ biến đến mức chúng có tên và ký hiệu đặc biệt.

của đối số x là logarit cơ số 10, tức là Số mũ mà số 10 phải tăng lên để có được số x. Ký hiệu: lg x.

Ví dụ: log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - v.v.

Từ giờ trở đi, khi một cụm từ như “Tìm lg 0,01” xuất hiện trong sách giáo khoa, hãy biết rằng đây không phải là lỗi đánh máy. Cái này logarit thập phân. Tuy nhiên, nếu bạn không quen với ký hiệu này, bạn luôn có thể viết lại:
log x = log 10 x

Mọi điều đúng với logarit thông thường cũng đúng với logarit thập phân.

logarit tự nhiên

Có một logarit khác có ký hiệu riêng. Ở một khía cạnh nào đó, nó thậm chí còn quan trọng hơn cả số thập phân. Đó là về về logarit tự nhiên.

của đối số x là logarit cơ số e, tức là lũy thừa mà số e phải tăng lên để thu được số x. Ký hiệu: ln x.

Nhiều người sẽ hỏi: số e là gì? Cái này số vô tỉ, của anh ấy giá trị chính xác không thể tìm thấy và ghi lại. Tôi sẽ chỉ đưa ra những số liệu đầu tiên:
e = 2,718281828459…

Chúng tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết con số này là gì và tại sao nó lại cần thiết. Chỉ cần nhớ rằng e là cơ số của logarit tự nhiên:
ln x = log e x

Do đó ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - v.v. Mặt khác, ln 2 là số vô tỷ. Nói chung, logarit tự nhiên của bất kỳ số hữu tỉ phi lý. Tất nhiên, ngoại trừ một trường hợp: ln 1 = 0.

Đối với logarit tự nhiên, tất cả các quy tắc đúng với logarit thông thường đều hợp lệ.

Xem thêm:

Logarit. Tính chất của logarit (sức mạnh của logarit).

Làm thế nào để biểu diễn một số dưới dạng logarit?

Chúng tôi sử dụng định nghĩa logarit.

Logarit là số mũ mà cơ số phải được nâng lên để thu được số dưới dấu logarit.

Vì vậy, để biểu diễn một số c nhất định dưới dạng logarit cơ số a, bạn cần đặt lũy thừa có cùng cơ số với cơ số của logarit dưới dấu của logarit và viết số c này làm số mũ:

Tuyệt đối bất kỳ số nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng logarit - dương, âm, số nguyên, phân số, số hữu tỉ, số vô tỷ:

Để không nhầm lẫn giữa a và c trong điều kiện căng thẳng của bài kiểm tra hoặc kỳ thi, bạn có thể sử dụng quy tắc ghi nhớ sau:

cái ở dưới đi xuống, cái ở trên đi lên.

Ví dụ: bạn cần biểu diễn số 2 dưới dạng logarit cơ số 3.

Chúng ta có hai số - 2 và 3. Những số này là cơ số và số mũ, chúng ta sẽ viết dưới dấu logarit. Vẫn còn phải xác định số nào trong số này nên được viết ra theo cơ số lũy thừa và số nào lên theo số mũ.

Cơ số 3 trong ký hiệu logarit nằm ở dưới cùng, nghĩa là khi biểu diễn hai dưới dạng logarit cơ số 3 thì chúng ta cũng sẽ viết 3 xuống cơ số.

2 cao hơn ba. Và trong ký hiệu cho bậc hai, chúng ta viết phía trên bậc ba, nghĩa là dưới dạng số mũ:

Logarit. Cấp độ đầu vào.

Logarit

logarit số dương b dựa trên Một, Ở đâu a > 0, a ≠ 1, được gọi là số mũ mà số đó phải được nâng lên Mộtđể có được b.

Định nghĩa logarit có thể viết ngắn gọn như thế này:

đẳng thức này có giá trị đối với b > 0, a > 0, a ≠ 1. Nó thường được gọi nhận dạng logarit.
Hoạt động tìm logarit của một số được gọi là bằng logarit.

Tính chất của logarit:

Logarit của sản phẩm:

Logarit của thương số:

Thay thế logarit cơ số:

Logarit của bậc:

Logarit của nghiệm thức:

Logarit với cơ số lũy thừa:

Logarit thập phân và tự nhiên.

Logarit thập phân các số gọi logarit của số này đến cơ số 10 và viết lg b
logarit tự nhiên các số gọi là logarit cơ số của số đó e, Ở đâu e- một số vô tỷ xấp xỉ bằng 2,7. Đồng thời họ viết ln b.

Những ghi chú khác về đại số và hình học

Các tính chất cơ bản của logarit

Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được cộng, trừ và biến đổi theo mọi cách. Nhưng vì logarit không hẳn là số bình thường nên ở đây có những quy tắc được gọi là thuộc tính chính.

Bạn chắc chắn cần phải biết những quy tắc này - không một vấn đề logarit nghiêm trọng nào có thể giải được nếu không có chúng. Ngoài ra, có rất ít trong số đó - bạn có thể học mọi thứ trong một ngày. Vì vậy, hãy bắt đầu.

Cộng và trừ logarit

Xét hai logarit có cùng cơ số: log a x và log a y. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Vì vậy, tổng logarit bằng logarit của tích và hiệu bằng logarit của thương. Xin lưu ý: điểm mấu chốt ở đây là căn cứ giống hệt nhau. Nếu các lý do khác nhau, các quy tắc này không có tác dụng!

Những công thức này sẽ giúp bạn tính biểu thức logarit ngay cả khi các phần riêng lẻ của nó không được xem xét (xem bài học “Logarit là gì”). Hãy xem các ví dụ và thấy:

Nhật ký 6 4 + log 6 9.

Vì logarit có cùng cơ số nên chúng ta sử dụng công thức tính tổng:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 2 48 − log 2 3.

Các cơ sở giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức khác biệt:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 3 135 − log 3 5.

Một lần nữa các cơ sở đều giống nhau, vì vậy chúng ta có:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ logarit “xấu”, không được tính riêng. Nhưng sau khi biến đổi, thu được những con số hoàn toàn bình thường. Nhiều bài kiểm tra dựa trên thực tế này. Có, các biểu thức giống như bài kiểm tra được đưa ra một cách nghiêm túc (đôi khi hầu như không có thay đổi) trong Kỳ thi Thống nhất Bang.

Trích xuất số mũ từ logarit

Dễ dàng thấy rằng quy tắc cuối cùng tuân theo hai quy tắc đầu tiên. Nhưng dù sao thì tốt hơn hết bạn nên nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ làm giảm đáng kể số lượng phép tính.

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này đều có ý nghĩa nếu tuân thủ ODZ của logarit: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Và một điều nữa: học cách áp dụng tất cả các công thức không chỉ từ trái sang phải mà còn ngược lại , tức là Bạn có thể nhập các số trước dấu logarit vào chính logarit.

Cách giải logarit

Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 7 49 6 .

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số bằng công thức đầu tiên:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Lưu ý rằng mẫu số chứa logarit, cơ số và đối số của nó là lũy thừa chính xác: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Chúng tôi có:

Tôi nghĩ ví dụ cuối cùng cần làm rõ một chút. Logarit đã đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số. Chúng tôi đã trình bày cơ sở và lập luận của logarit đứng ở dạng lũy thừa và loại bỏ số mũ - chúng tôi nhận được phân số “ba tầng”.

Chuyển sang nền tảng mới

Các công thức để chuyển đổi sang một nền tảng mới sẽ được giải cứu. Chúng ta hãy phát biểu chúng dưới dạng một định lý:

Cho logarit log a x. Khi đó với mọi số c sao cho c > 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

Cụ thể, nếu đặt c = x, chúng ta sẽ có:

Tuy nhiên, có những vấn đề không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển sang nền tảng mới. Chúng ta hãy xem xét một vài trong số này:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 5 16 log 2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả hai logarit đều chứa lũy thừa chính xác. Hãy lấy ra các chỉ tiêu: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Bây giờ hãy “đảo ngược” logarit thứ hai:

Vì tích không thay đổi khi sắp xếp lại các thừa số nên chúng ta bình tĩnh nhân 4 và 2 rồi xử lý logarit.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 9 100 lg 3.

Cơ số và đối số của logarit thứ nhất là lũy thừa chính xác. Hãy viết điều này ra và loại bỏ các chỉ số:

Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ logarit thập phân bằng cách chuyển sang cơ số mới:

Nhận dạng logarit cơ bản

Thông thường trong quá trình giải cần biểu diễn một số dưới dạng logarit của một cơ số cho trước.

Trong trường hợp này, các công thức sau sẽ giúp chúng ta:

Trong trường hợp đầu tiên, số n trở thành số mũ trong đối số. Số n có thể hoàn toàn là bất kỳ số nào vì nó chỉ là giá trị logarit.

Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Đó là những gì nó được gọi là: .

Trên thực tế, điều gì sẽ xảy ra nếu số b được nâng lên lũy thừa sao cho số b lũy thừa này bằng số a? Đúng vậy: kết quả là cùng số a. Hãy đọc kỹ đoạn này một lần nữa - nhiều người mắc kẹt ở đó.

Giống như các công thức chuyển sang cơ số mới, đẳng thức logarit cơ bản đôi khi là giải pháp khả thi duy nhất.

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Lưu ý rằng log 25 64 = log 5 8 - chúng ta chỉ đơn giản lấy bình phương từ cơ số và đối số của logarit. Áp dụng các quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số, ta có:

Nếu ai chưa biết thì đây là một nhiệm vụ có thật trong Kỳ thi Thống nhất :)

Đơn vị logarit và logarit số 0

log a a = 1 là. Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit của bất kỳ cơ số a nào của chính cơ số đó đều bằng một.
log a 1 = 0 là Cơ số a có thể là bất kỳ giá trị nào, nhưng nếu đối số chứa một thì logarit sẽ bằng 0! Bởi vì 0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Đó là tất cả tài sản. Hãy chắc chắn thực hành áp dụng chúng vào thực tế! Tải cheat sheet ở đầu bài, in ra và giải các bài toán.

Vì vậy, chúng ta có sức mạnh của hai. Nếu bạn lấy số từ dòng dưới cùng, bạn có thể dễ dàng tìm ra lũy thừa mà bạn sẽ phải nâng hai để có được con số này. Ví dụ, để có được 16, bạn cần nâng hai lên lũy thừa bốn. Và để có được 64, bạn cần nâng hai lên lũy thừa sáu. Điều này có thể được nhìn thấy từ bảng.

Và bây giờ - thực ra, định nghĩa của logarit:

Cơ số logarit của x là lũy thừa mà a phải được nâng lên để có được x.

Ký hiệu: log a x = b, trong đó a là cơ số, x là đối số, b là giá trị thực của logarit.

Ví dụ: 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logarit cơ số 2 của 8 là 3 vì 2 3 = 8). Với cùng nhật ký thành công 2 64 = 6, vì 2 6 = 64.

Hoạt động tìm logarit của một số với một cơ số cho trước được gọi là logarit. Vì vậy, hãy thêm một dòng mới vào bảng của chúng tôi:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Thật không may, không phải tất cả logarit đều được tính dễ dàng như vậy. Ví dụ: thử tìm log 2 5 . Số 5 không có trong bảng, nhưng logic cho thấy logarit sẽ nằm ở đâu đó trên đoạn thẳng. Bởi vì 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Đối số và cơ số phải luôn lớn hơn 0. Điều này xuất phát từ định nghĩa về độ bằng số mũ hữu tỷ, theo đó định nghĩa của logarit được rút gọn.
Căn cứ phải khác với một, vì một ở mức độ nào đó vẫn là một. Bởi vì điều này, câu hỏi “một người phải tăng sức mạnh bao nhiêu để có được hai” là vô nghĩa. Không có mức độ như vậy!

Những hạn chế như vậy được gọi là khoảng giá trị chấp nhận được(ODZ). Hóa ra ODZ của logarit trông như thế này: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Lưu ý rằng không có hạn chế nào đối với số b (giá trị của logarit). Ví dụ, logarit có thể âm: log 2 0,5 = −1, bởi vì 0,5 = 2 −1.

Tuy nhiên, bây giờ chúng ta chỉ xem xét các biểu thức số, trong đó không cần thiết phải biết VA của logarit. Tất cả các hạn chế đã được các tác giả của vấn đề tính đến. Nhưng khi các phương trình logarit và bất đẳng thức bắt đầu, các yêu cầu của DL sẽ trở thành bắt buộc. Rốt cuộc, cơ sở và lập luận có thể chứa đựng những cấu trúc rất chắc chắn không nhất thiết phải tương ứng với những hạn chế trên.

Bây giờ chúng ta hãy xem sơ đồ chung để tính logarit. Nó bao gồm ba bước:

Biểu thị cơ số a và đối số x dưới dạng lũy thừa với cơ số nhỏ nhất có thể lớn hơn một. Đồng thời, tốt hơn hết bạn nên loại bỏ số thập phân;
Giải phương trình biến b: x = a b ;
Kết quả số b sẽ là đáp án.

Thế thôi! Nếu logarit hóa ra là số vô tỷ, điều này sẽ hiển thị ở bước đầu tiên. Yêu cầu cơ số lớn hơn một là rất quan trọng: điều này làm giảm khả năng sai sót và đơn giản hóa đáng kể việc tính toán. Với phân số thập phân cũng vậy: nếu bạn chuyển ngay chúng thành phân số thông thường thì sẽ ít mắc lỗi hơn.

Hãy xem cách chương trình này hoạt động bằng các ví dụ cụ thể:

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 5 25

Hãy tưởng tượng cơ sở và lập luận là lũy thừa của năm: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Hãy tạo và giải phương trình:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Chúng tôi nhận được câu trả lời: 2.

Nhiệm vụ. Tính logarit:

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 4 64

Hãy tưởng tượng cơ sở và lập luận là lũy thừa của hai: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Hãy tạo và giải phương trình:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Chúng tôi nhận được câu trả lời: 3.

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 16 1

Hãy tưởng tượng cơ số và lập luận là lũy thừa của hai: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Hãy tạo và giải phương trình:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Chúng tôi nhận được câu trả lời: 0.

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 7 14

Hãy tưởng tượng cơ sở và lập luận là lũy thừa của bảy: 7 = 7 1 ; 14 không thể biểu diễn dưới dạng lũy thừa của bảy, vì 7 1< 14 < 7 2 ;
Từ đoạn trước, logarit không được tính;
Câu trả lời là không thay đổi: log 7 14.

Một lưu ý nhỏ về ví dụ cuối cùng. Làm thế nào bạn có thể chắc chắn rằng một số không phải là lũy thừa chính xác của một số khác? Rất đơn giản - chỉ cần đưa nó vào thừa số nguyên tố. Nếu khai triển có ít nhất hai thừa số khác nhau thì con số đó không phải là lũy thừa chính xác.

Nhiệm vụ. Tìm hiểu xem các số có phải là lũy thừa chính xác hay không: 8; 48; 81; 35; 14.

Cũng lưu ý rằng bản thân các số nguyên tố luôn là lũy thừa chính xác của chính chúng.

Logarit thập phân

Một số logarit phổ biến đến mức chúng có tên và ký hiệu đặc biệt.

Logarit thập phân của x là logarit cơ số 10, tức là Số mũ mà số 10 phải tăng lên để có được số x. Ký hiệu: lg x.

Ví dụ: log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - v.v.

Từ giờ trở đi, khi một cụm từ như “Tìm lg 0,01” xuất hiện trong sách giáo khoa, hãy biết rằng đây không phải là lỗi đánh máy. Đây là logarit thập phân. Tuy nhiên, nếu bạn không quen với ký hiệu này, bạn luôn có thể viết lại:
log x = log 10 x

Mọi điều đúng với logarit thông thường cũng đúng với logarit thập phân.

logarit tự nhiên

Có một logarit khác có ký hiệu riêng. Ở một khía cạnh nào đó, nó thậm chí còn quan trọng hơn cả số thập phân. Chúng ta đang nói về logarit tự nhiên.

Logarit tự nhiên của x là logarit cơ số e, tức là lũy thừa mà số e phải tăng lên để thu được số x. Ký hiệu: ln x .

Nhiều người sẽ hỏi: số e là gì? Đây là một số vô tỷ; giá trị chính xác của nó không thể được tìm thấy và viết ra. Tôi sẽ chỉ đưa ra những số liệu đầu tiên:
e = 2,718281828459...

Chúng tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết con số này là gì và tại sao nó lại cần thiết. Chỉ cần nhớ rằng e là cơ số của logarit tự nhiên:
ln x = log e x

Do đó ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - v.v. Mặt khác, ln 2 là số vô tỷ. Nói chung, logarit tự nhiên của bất kỳ số hữu tỉ nào cũng là số vô tỉ. Tất nhiên, ngoại trừ một trường hợp: ln 1 = 0.

Đối với logarit tự nhiên, tất cả các quy tắc đúng với logarit thông thường đều hợp lệ.

Logarit là gì?

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Logarit là gì? Làm thế nào để giải logarit? Những câu hỏi này làm nhiều sinh viên tốt nghiệp bối rối. Theo truyền thống, chủ đề logarit được coi là phức tạp, khó hiểu và đáng sợ. Đặc biệt là các phương trình có logarit.

Điều này hoàn toàn không đúng sự thật. Tuyệt đối! Không tin tôi? Khỏe. Bây giờ, chỉ trong 10 - 20 phút bạn:

1. Bạn sẽ hiểu logarit là gì.

2. Học giải cả lớp phương trình hàm mũ. Ngay cả khi bạn chưa nghe thấy gì về họ.

3. Học cách tính logarit đơn giản.

Hơn nữa, để làm được điều này, bạn chỉ cần biết bảng cửu chương và cách nâng một số lên lũy thừa...

Tôi cảm thấy như bạn đang nghi ngờ... Được rồi, hãy đánh dấu thời gian! Đi thôi!

Đầu tiên, hãy giải phương trình này trong đầu bạn:

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Tìm giá trị logarit bằng cơ số tùy ý. Logarit tự nhiên, hàm ln x

1.1. Xác định số mũ cho số mũ nguyên

1.2. Không độ.

1.3. Mức độ tiêu cực.

1.4. Sức mạnh phân số, gốc.

1.5. Công thức cộng lũy ​​thừa.

1.6.Công thức trừ lũy thừa.

1.7. Công thức nhân lũy thừa.

1.8. Công thức nâng lũy ​​thừa của một phân số.

2. Số e.

3. Đẳng thức Euler.

4. Hàm mũ exp(x)

5. Đạo hàm của hàm số mũ

6. Lôgarit.

6.1. Định nghĩa hàm logarit

6.2. Logarit thập phân

6.3. decibel

6.4. logarit nhị phân

6.5. logarit tự nhiên

6.6. Điểm đặc trưng

6.7. Công thức logarit tích

6.8. Công thức tính logarit của thương

6.9. Công thức logarit lũy thừa

6.10. Công thức chuyển đổi sang logarit có cơ số khác

Ví dụ:

7. Công thức hữu ích trong cuộc sống

Cộng và trừ logarit

Trích xuất số mũ từ logarit

Chuyển sang nền tảng mới

Nhận dạng logarit cơ bản

Đơn vị logarit và logarit số 0

Tính chất của logarit

Tính chất 1. Logarit của tích

Tính chất 2. Logarit của thương

Tính chất 3. Logarit lũy thừa

Tính chất 4. Logarit của nghiệm

Công thức đổi logarit cơ số này sang logarit cơ số khác

So sánh logarit (bất đẳng thức)

Cách giải bài toán bằng logarit: ví dụ

logarit là gì

Logarit - tính chất, công thức, cách giải

Cách đếm logarit

Logarit thập phân

logarit tự nhiên

Logarit. Tính chất của logarit (sức mạnh của logarit).

Logarit. Cấp độ đầu vào.

Logarit

Logarit thập phân và tự nhiên.

Các tính chất cơ bản của logarit

Các tính chất cơ bản của logarit

Cộng và trừ logarit

Trích xuất số mũ từ logarit

Cách giải logarit

Chuyển sang nền tảng mới

Nhận dạng logarit cơ bản

Đơn vị logarit và logarit số 0

Logarit thập phân

logarit tự nhiên

Logarit là gì?

Nếu bạn thích trang web này...

1.5. Công thức cộng lũy thừa.

1.8. Công thức nâng lũy thừa của một phân số.