Định lý. Hãy để chức năng x=φ(t) liên tục tại một điểm Một, và hàm y=f(x) liên tục tại một điểm b=φ(a). Khi đó hàm phức y=f[φ(t)]=F(t) liên tục tại một điểm Một.

Cho phép x=φ(t) Và y=f(x)- các hàm cơ bản đơn giản nhất, có nhiều giá trị (x) chức năng x=φ(t) là phạm vi của hàm y=f(x). Như chúng ta đã biết, các hàm cơ bản là liên tục tại mọi điểm của miền đã cho. Do đó, theo định lý trước, hàm phức y=f(φ(t)), nghĩa là sự chồng chất của hai hàm cơ bản là liên tục. Ví dụ: hàm số liên tục tại bất kỳ điểm nào x ≠ 0, là hàm phức của hai hàm cơ bản x=t -1 Và y=sin x. Ngoài ra chức năng y=ln sin x liên tục tại bất kỳ điểm nào trong các khoảng (2kπ,(2k+1)π), k ∈ Z (tội lỗi x>0).

Sự định nghĩa. Giả sử hàm y = f(x) được xác định tại điểm x0 và một số vùng lân cận của nó. Hàm y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0, Nếu như:

1. tồn tại
2. Giới hạn này bằng giá trị của hàm số tại điểm x0:

Khi xác định giới hạn, người ta nhấn mạnh rằng f(x) có thể không được xác định tại điểm x0, và nếu nó được xác định tại điểm này thì giá trị của f(x0) không tham gia vào việc xác định giới hạn dưới bất kỳ hình thức nào. Khi xác định tính liên tục, điều cơ bản là f(x0) phải tồn tại và giá trị này phải bằng lim f(x).

Sự định nghĩa. Giả sử hàm y = f(x) được xác định tại điểm x0 và một số vùng lân cận của nó. Hàm f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi ε>0 tồn tại một số dương δ sao cho với mọi x trong lân cận δ của điểm x0 (tức là |x-x0|
Ở đây xét đến giá trị của giới hạn phải bằng f(x0), do đó, so với định nghĩa của giới hạn, điều kiện xuyên thủng của lân cận δ 0 được loại bỏ
Chúng ta hãy đưa ra một định nghĩa nữa (tương đương với định nghĩa trước) về mặt gia số. Hãy biểu thị Δх = x - x0; chúng ta sẽ gọi giá trị này là gia số của đối số. Vì x->x0 nên Δx->0, tức là Δx - b.m. (vô cùng nhỏ) số lượng. Hãy ký hiệu Δу = f(x)-f(x0), chúng ta sẽ gọi giá trị này là gia số của hàm, vì |Δу| phải (nếu |Δх| đủ nhỏ) nhỏ hơn một số tùy ý ε>0 thì Δу- cũng là b.m. giá trị, do đó

Sự định nghĩa. Giả sử hàm y = f(x) được xác định tại điểm x0 và một số lân cận của nó. Hàm f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0, nếu mức tăng vô cùng nhỏ trong đối số tương ứng với mức tăng vô cùng nhỏ trong hàm.

Sự định nghĩa. Hàm f(x), không liên tục tại điểm x0, gọi là không liên tục tại thời điểm này.

Sự định nghĩa. Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên tập X nếu nó liên tục tại mọi điểm của tập hợp này.

Định lý về tính liên tục của tổng, tích, thương

Định lý về đường đi tới giới hạn dưới dấu của hàm số liên tục

Định lý về tính liên tục chồng chất của hàm số liên tục

Giả sử hàm f(x) được xác định trên một khoảng và đơn điệu trên khoảng này. Khi đó f(x) chỉ có thể có các điểm gián đoạn loại 1 trên đoạn này.

Định lý giá trị trung gian. Nếu hàm f(x) liên tục trên một đoạn và tại hai điểm a và b (a nhỏ hơn b) nhận các giá trị không bằng nhau ​​A = f(a) ≠ B = f(b), thì với mọi số C nằm giữa A và B, có một điểm c ∈ tại đó giá trị của hàm số bằng C: f(c) = C.

Định lý về giới hạn của hàm số liên tục trên một khoảng. Nếu hàm f(x) liên tục trên một khoảng thì nó bị chặn trên khoảng này.

Định lý về việc đạt được giá trị tối thiểu và tối đa. Nếu hàm f(x) liên tục trên một khoảng thì nó đạt tới giới hạn dưới và giới hạn trên của nó trong khoảng này.

Định lý về tính liên tục của hàm nghịch đảo. Cho hàm y=f(x) liên tục và tăng (giảm) nghiêm ngặt trên đoạn [a,b]. Khi đó trên đoạn thẳng tồn tại hàm nghịch đảo x = g(y), cũng tăng (giảm) đơn điệu trên và liên tục.

Tính liên tục của chức năng. Điểm đột phá.

Con bò bước đi, lắc lư, thở dài khi đi:
- Ôi, ván hết rồi, bây giờ tôi sắp ngã rồi!

Trong bài này chúng ta sẽ khảo sát khái niệm tính liên tục của hàm số, sự phân loại các điểm gián đoạn và một bài toán thực tế thường gặp Nghiên cứu tính liên tục của hàm. Ngay từ tên của chủ đề, nhiều người đã trực giác đoán được nội dung sẽ được thảo luận và cho rằng tài liệu này khá đơn giản. Điều này là đúng. Nhưng những nhiệm vụ đơn giản thường bị trừng phạt vì bỏ bê và cách tiếp cận hời hợt để giải quyết chúng. Vì vậy, tôi khuyên bạn nên nghiên cứu bài viết thật kỹ và nắm bắt tất cả những điều tinh tế và kỹ thuật.

Bạn cần biết gì và có thể làm gì? Không nhiều lắm. Để học tốt bài học các em cần hiểu nó là gì giới hạn của hàm. Đối với những độc giả có trình độ chuẩn bị thấp chỉ cần hiểu bài là đủ Giới hạn chức năng. Ví dụ về giải pháp và nhìn vào ý nghĩa hình học của giới hạn trong sổ tay Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản. Bạn cũng nên làm quen với biến đổi hình học của đồ thị, vì thực tế trong hầu hết các trường hợp đều liên quan đến việc xây dựng một bản vẽ. Mọi người đều có triển vọng lạc quan, và ngay cả một ấm đun nước đầy cũng có thể tự mình đương đầu với nhiệm vụ trong một hoặc hai giờ tới!

Tính liên tục của chức năng. Điểm dừng và phân loại của chúng

Khái niệm về tính liên tục của chức năng

Hãy xét một hàm số liên tục trên toàn bộ trục số:

Hay nói một cách ngắn gọn hơn, hàm của chúng ta liên tục trên (tập hợp số thực).

Tiêu chí “philistine” về tính liên tục là gì? Rõ ràng, có thể vẽ đồ thị của hàm số liên tục mà không cần nhấc bút chì ra khỏi giấy.

Trong trường hợp này, cần phân biệt rõ ràng hai khái niệm đơn giản: miền của hàm Và tính liên tục của chức năng. Nói chung nó không giống nhau. Ví dụ:

Hàm này được xác định trên toàn bộ trục số, nghĩa là đối với mọi ngườiÝ nghĩa của “x” có ý nghĩa riêng của “y”. Đặc biệt, nếu , thì . Lưu ý rằng điểm còn lại có dấu chấm câu, vì theo định nghĩa của hàm, giá trị của đối số phải tương ứng với điều duy nhất giá trị hàm. Như vậy, lãnh địa chức năng của chúng tôi: .

Tuy nhiên chức năng này không hoạt động liên tục! Rõ ràng là vào thời điểm đó cô ấy đang đau khổ khoảng cách. Thuật ngữ này cũng khá dễ hiểu và trực quan; thực sự ở đây dù sao thì bút chì cũng sẽ phải được xé ra khỏi giấy. Một lát sau chúng ta sẽ xem xét việc phân loại các điểm dừng.

Tính liên tục của hàm số tại một điểm và trên một khoảng

Trong một bài toán cụ thể, chúng ta có thể nói về tính liên tục của hàm số tại một điểm, tính liên tục của hàm số trên một đoạn, nửa khoảng hoặc tính liên tục của hàm số trên một đoạn. Đó là, không có “sự liên tục đơn thuần”– chức năng có thể liên tục ở ĐÂU. Và “khối xây dựng” cơ bản của mọi thứ khác là tính liên tục của chức năng tại điểm .

Lý thuyết phân tích toán học đưa ra định nghĩa về tính liên tục của hàm số tại một điểm bằng cách sử dụng các vùng lân cận “delta” và “epsilon”, nhưng trong thực tế, có một định nghĩa khác được sử dụng mà chúng ta sẽ chú ý kỹ hơn.

Đầu tiên chúng ta hãy nhớ giới hạn một phía người đã bước vào cuộc sống của chúng tôi trong bài học đầu tiên về đồ thị hàm số. Hãy xem xét một tình huống hàng ngày:

Nếu chúng ta tiếp cận trục tới điểm bên trái(mũi tên đỏ), khi đó các giá trị tương ứng của các “trò chơi” sẽ đi dọc theo trục đến điểm (mũi tên đỏ thẫm). Về mặt toán học, thực tế này được cố định bằng cách sử dụng giới hạn bên trái:

Hãy chú ý đến mục nhập (đọc “x có xu hướng ka ở bên trái”). “Phụ gia” “trừ số 0” tượng trưng cho , về cơ bản điều này có nghĩa là chúng ta đang tiếp cận số từ phía bên trái.

Tương tự, nếu bạn tiếp cận điểm “ka” bên phải(mũi tên màu xanh lam), khi đó các “trò chơi” sẽ có cùng giá trị, nhưng dọc theo mũi tên màu xanh lá cây và giới hạn bên phải sẽ được định dạng như sau:

“Phụ gia” tượng trưng cho , và mục ghi: “x có xu hướng ka ở bên phải.”

Nếu giới hạn một phía là hữu hạn và bằng nhau(như trong trường hợp của chúng tôi): , thì chúng ta sẽ nói rằng có một giới hạn TỔNG QUÁT. Thật đơn giản, giới hạn chung là “thông thường” của chúng tôi giới hạn của hàm, bằng một số hữu hạn.

Lưu ý rằng nếu hàm không được xác định tại (thò ra chấm đen trên nhánh đồ thị) thì các phép tính trên vẫn hợp lệ. Như đã được lưu ý nhiều lần, đặc biệt trong bài viết về hàm số vô cùng nhỏ, biểu thức có nghĩa là "x" vô cùng gần gũi tiếp cận điểm, trong khi KHÔNG QUAN TRỌNG, cho dù bản thân hàm đó có được xác định tại một điểm nhất định hay không. Một ví dụ điển hình sẽ được tìm thấy trong đoạn tiếp theo, khi hàm được phân tích.

Sự định nghĩa: một hàm số liên tục tại một điểm nếu giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước bằng giá trị của hàm số tại điểm đó: .

Định nghĩa được trình bày chi tiết trong các thuật ngữ sau:

1) Hàm phải được xác định tại điểm, nghĩa là giá trị phải tồn tại.

2) Phải có giới hạn chung của hàm số. Như đã lưu ý ở trên, điều này ngụ ý sự tồn tại và bằng nhau của các giới hạn một phía: .

3) Giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước phải bằng giá trị của hàm số tại điểm đó: .

Nếu vi phạm ít nhất một trong ba điều kiện thì hàm số mất tính chất liên tục tại điểm .

Tính liên tục của hàm số trong khoảngđược phát biểu một cách khéo léo và rất đơn giản: một hàm số liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đã cho.

Đặc biệt, nhiều hàm số liên tục trên một khoảng vô hạn, tức là trên tập số thực. Đây là hàm tuyến tính, đa thức, hàm mũ, sin, cosin, v.v. Và nói chung, bất kỳ hàm nào hàm cơ bản liên tục trên nó miền định nghĩa, ví dụ: hàm logarit liên tục trên khoảng . Hy vọng đến bây giờ bạn đã có ý tưởng khá hay về đồ thị của các hàm cơ bản trông như thế nào. Thông tin chi tiết hơn về tính liên tục của họ có thể được lấy từ một người đàn ông tốt bụng tên là Fichtenholtz.

Với tính liên tục của một hàm số trên một đoạn và nửa quãng, mọi thứ cũng không khó, nhưng sẽ thích hợp hơn khi nói về vấn đề này trên lớp. về việc tìm giá trị tối thiểu và tối đa của hàm trên một đoạn, nhưng bây giờ chúng ta đừng lo lắng về điều đó.

Phân loại điểm dừng

Cuộc sống hấp dẫn của các chức năng rất phong phú với đủ loại điểm đặc biệt và điểm dừng chỉ là một trong những trang trong tiểu sử của họ.

Ghi chú : để đề phòng, tôi sẽ tập trung vào một điểm cơ bản: điểm đột phá luôn là điểm duy nhất– không có “một số điểm nghỉ liên tiếp”, nghĩa là không có cái gọi là “khoảng nghỉ”.

Những điểm này lần lượt được chia thành hai nhóm lớn: vỡ loại đầu tiên Và vỡ loại thứ hai. Mỗi loại khoảng trống đều có những đặc điểm riêng mà chúng ta sẽ xem xét ngay bây giờ:

Điểm gián đoạn loại một

Nếu điều kiện liên tục bị vi phạm tại một điểm và giới hạn một phía có hạn , thì nó được gọi là điểm gián đoạn loại một.

Hãy bắt đầu với trường hợp lạc quan nhất. Theo ý tưởng ban đầu của bài học, tôi muốn kể lý thuyết “một cách tổng quát”, nhưng để chứng minh tính thực tế của tài liệu, tôi quyết định lựa chọn phương án với các ký tự cụ thể.

Thật đáng buồn, giống như bức ảnh của một cặp vợ chồng mới cưới trên phông nền Ngọn lửa vĩnh cửu, nhưng bức ảnh sau đây thường được chấp nhận. Hãy vẽ đồ thị của hàm số trong hình vẽ:


Hàm này liên tục trên toàn bộ trục số, trừ điểm. Và trên thực tế, mẫu số không thể bằng 0. Tuy nhiên, theo ý nghĩa của giới hạn, chúng ta có thể vô cùng gần gũi tiếp cận “không” cả từ bên trái và từ bên phải, nghĩa là tồn tại các giới hạn một phía và rõ ràng là trùng khớp:
(Điều kiện số 2 về tính liên tục được thỏa mãn).

Nhưng hàm số không được xác định tại thời điểm đó, do đó, Điều kiện số 1 về tính liên tục bị vi phạm và hàm số bị gián đoạn tại thời điểm này.

Sự phá vỡ kiểu này (với hiện tại giới hạn chung) được gọi là khoảng cách có thể sửa chữa. Tại sao có thể tháo rời? Bởi vì chức năng có thể xác định lại tại điểm phá vỡ:

Trông nó có lạ không? Có lẽ. Nhưng ký hiệu hàm như vậy không mâu thuẫn với bất cứ điều gì! Bây giờ khoảng cách đã được thu hẹp và mọi người đều vui vẻ:


Hãy thực hiện kiểm tra chính thức:

2) – có giới hạn chung;
3)

Như vậy, cả ba điều kiện đều được thỏa mãn và hàm số liên tục tại một điểm theo định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm.

Tuy nhiên, những người ghét matan có thể định nghĩa hàm này theo cách xấu, chẳng hạn :


Điều thú vị là hai điều kiện liên tục đầu tiên được thỏa mãn ở đây:
1) – hàm được xác định tại một điểm cho trước;
2) - có giới hạn chung.

Nhưng ranh giới thứ ba vẫn chưa được vượt qua: , tức là giới hạn của hàm số tại điểm không công bằng giá trị của hàm số tại một điểm cho trước.

Vì vậy, tại một thời điểm hàm số bị gián đoạn.

Trường hợp thứ hai đáng buồn hơn được gọi là vỡ loại đầu tiên với một cú nhảy. Và nỗi buồn được gợi lên bởi những giới hạn một chiều hữu hạn và khác nhau. Một ví dụ được thể hiện trong hình vẽ thứ hai của bài học. Khoảng trống như vậy thường xảy ra khi các hàm được xác định từng phần, đã được đề cập trong bài viết về phép biến đổi đồ thị.

Xét hàm từng phần và chúng ta sẽ hoàn thành bản vẽ của nó. Làm thế nào để xây dựng một biểu đồ? Rất đơn giản. Trên một nửa khoảng, chúng ta vẽ một đoạn parabol (màu xanh lá cây), trên một khoảng - một đoạn thẳng (màu đỏ) và trên một nửa khoảng - một đường thẳng (màu xanh).

Hơn nữa, do bất đẳng thức nên giá trị được xác định cho hàm bậc hai (chấm xanh), và do bất đẳng thức nên giá trị được xác định cho hàm tuyến tính (chấm xanh):

Trong trường hợp khó khăn nhất, bạn nên sử dụng cách xây dựng từng phần của biểu đồ (xem phần đầu tiên). bài giảng về đồ thị hàm số).

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến điểm này. Hãy kiểm tra tính liên tục của nó:

2) Hãy tính giới hạn một phía.

Ở bên trái chúng ta có đoạn đường màu đỏ nên giới hạn bên trái là:

Bên phải là đường thẳng màu xanh và giới hạn bên phải:

Kết quả là chúng tôi đã nhận được số hữu hạn, và họ không công bằng. Vì giới hạn một phía hữu hạn và khác nhau: , thì hàm của chúng ta chấp nhận sự gián đoạn của loại đầu tiên với một bước nhảy.

Điều hợp lý là không thể loại bỏ khoảng cách - chức năng thực sự không thể được xác định thêm và “gắn kết” với nhau, như trong ví dụ trước.

Điểm gián đoạn loại hai

Thông thường, tất cả các trường hợp vỡ khác đều được khéo léo xếp vào loại này. Tôi sẽ không liệt kê hết mọi thứ, vì trên thực tế, 99% vấn đề bạn sẽ gặp phải khoảng cách vô tận– khi thuận tay trái hoặc tay phải, và thường xuyên hơn, cả hai giới hạn đều là vô hạn.

Và tất nhiên, hình ảnh rõ ràng nhất là hyperbol ở điểm 0. Ở đây cả hai giới hạn một phía đều là vô hạn: , do đó, hàm số bị gián đoạn loại thứ hai tại điểm .

Tôi cố gắng lấp đầy các bài viết của mình với nội dung đa dạng nhất có thể, vì vậy hãy nhìn vào biểu đồ của một hàm chưa được nhìn thấy:

theo sơ đồ chuẩn:

1) Hàm không được xác định tại thời điểm này vì mẫu số tiến về 0.

Tất nhiên, chúng ta có thể kết luận ngay rằng hàm số bị gián đoạn tại điểm , nhưng sẽ tốt hơn nếu phân loại bản chất của sự gián đoạn, điều này thường được yêu cầu bởi điều kiện. Đối với điều này:

Hãy để tôi nhắc bạn rằng khi ghi âm chúng tôi muốn nói số âm vô hạn và dưới mục nhập - số dương vô hạn.

Giới hạn một phía là vô hạn, nghĩa là hàm số gián đoạn loại 2 tại điểm . Trục y là tiệm cận đứng cho biểu đồ.

Việc tồn tại cả hai giới hạn một phía không phải là hiếm, nhưng chỉ một trong số chúng là vô hạn, ví dụ:

Đây là đồ thị của hàm số.

Chúng tôi kiểm tra quan điểm về tính liên tục:

1) Chức năng không được xác định tại thời điểm này.

2) Hãy tính giới hạn một phía:

Chúng ta sẽ nói về phương pháp tính các giới hạn một phía như vậy trong hai ví dụ cuối của bài giảng, mặc dù nhiều độc giả đã xem và đoán được mọi thứ.

Giới hạn bên trái là hữu hạn và bằng 0 (chúng ta “không đi đến điểm đó”), nhưng giới hạn bên phải là vô hạn và nhánh màu cam của đồ thị tiến gần vô cùng đến điểm đó. tiệm cận đứng, được cho bởi phương trình (đường chấm màu đen).

Vì vậy chức năng bị ảnh hưởng gián đoạn loại thứ haiỞ điểm .

Đối với điểm gián đoạn loại 1, hàm số có thể được xác định tại chính điểm gián đoạn. Ví dụ: đối với hàm từng phần Vui lòng đặt một dấu chấm đậm màu đen ở gốc tọa độ. Bên phải là một nhánh của hyperbol và giới hạn bên phải là vô hạn. Tôi nghĩ hầu hết mọi người đều biết biểu đồ này trông như thế nào.

Điều mà mọi người đang mong chờ:

Làm thế nào để kiểm tra tính liên tục của hàm?

Việc nghiên cứu hàm liên tục tại một điểm được thực hiện theo sơ đồ thông thường đã được thiết lập, bao gồm việc kiểm tra ba điều kiện liên tục:

ví dụ 1

Khám phá chức năng

Giải pháp:

1) Điểm duy nhất trong phạm vi là nơi hàm không được xác định.

2) Hãy tính giới hạn một phía:

Giới hạn một phía là hữu hạn và bằng nhau.

Vì vậy, tại thời điểm hàm số bị gián đoạn có thể tháo rời được.

Đồ thị của hàm này trông như thế nào?

Tôi muốn đơn giản hóa , và có vẻ như thu được một parabol thông thường. NHƯNG hàm ban đầu không được xác định tại điểm, do đó cần có mệnh đề sau:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn.

Chức năng này có thể được xác định thêm theo cách tốt hoặc không tốt, nhưng tùy theo điều kiện mà điều này là không bắt buộc.

Bạn nói đây là một ví dụ xa vời? Không có gì. Điều này đã xảy ra hàng chục lần trong thực tế. Hầu như tất cả các nhiệm vụ của trang web đều đến từ các bài kiểm tra và công việc độc lập thực sự.

Hãy loại bỏ các mô-đun yêu thích của chúng tôi:

Ví dụ 2

Khám phá chức năng cho sự liên tục. Xác định bản chất của các điểm gián đoạn của hàm số, nếu chúng tồn tại. Thực hiện bản vẽ.

Giải pháp: Vì lý do nào đó, học sinh sợ và không thích các chức năng của một mô-đun, mặc dù chúng không có gì phức tạp. Chúng ta đã đề cập một chút về những điều như vậy trong bài học. Các phép biến đổi hình học của đồ thị. Vì mô-đun không âm nên nó được mở rộng như sau: , trong đó “alpha” là một biểu thức nào đó. Trong trường hợp này, hàm của chúng ta nên được viết từng phần:

Nhưng phân số của cả hai phần phải giảm đi . Việc cắt giảm, như trong ví dụ trước, sẽ không diễn ra mà không có hậu quả. Hàm ban đầu không được xác định tại điểm vì mẫu số tiến về 0. Do đó, hệ thống cần xác định thêm điều kiện và làm nghiêm ngặt bất đẳng thức thứ nhất:

Bây giờ về một kỹ thuật quyết định RẤT HỮU ÍCH: trước khi hoàn thiện nhiệm vụ trên bản nháp, nên vẽ một bản vẽ (bất kể điều kiện có yêu cầu hay không). Điều này trước hết sẽ giúp nhìn thấy ngay các điểm liên tục và các điểm gián đoạn, và thứ hai, nó sẽ bảo vệ bạn 100% khỏi sai sót khi tìm giới hạn một phía.

Hãy vẽ. Theo tính toán của chúng tôi, ở bên trái của điểm cần vẽ một đoạn parabol (màu xanh) và ở bên phải - một đoạn parabol (màu đỏ), trong khi hàm không được xác định tại điểm chính nó:

Nếu nghi ngờ, hãy lấy một vài giá trị x và cắm chúng vào hàm (hãy nhớ rằng mô-đun sẽ hủy dấu trừ có thể có) và kiểm tra biểu đồ.

Chúng ta hãy kiểm tra chức năng liên tục một cách phân tích:

1) Hàm số không được xác định tại điểm, vì vậy chúng ta có thể nói ngay rằng nó không liên tục tại điểm đó.

2) Hãy thiết lập bản chất của sự gián đoạn; để làm điều này, chúng ta tính giới hạn một phía:

Các giới hạn một phía là hữu hạn và khác nhau, có nghĩa là hàm số bị gián đoạn loại 1 với bước nhảy tại điểm . Một lần nữa lưu ý rằng khi tìm giới hạn, việc hàm tại điểm dừng có được xác định hay không không quan trọng.

Bây giờ tất cả những gì còn lại là chuyển bản vẽ từ bản nháp (nó được thực hiện như thể với sự trợ giúp của nghiên cứu ;-)) và hoàn thành nhiệm vụ:

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn loại một khi có một bước nhảy.

Đôi khi họ yêu cầu chỉ dẫn bổ sung về bước nhảy gián đoạn. Nó được tính toán đơn giản - từ giới hạn bên phải, bạn cần trừ giới hạn bên trái: , tức là tại điểm dừng, hàm của chúng ta đã nhảy xuống 2 đơn vị (như dấu trừ cho chúng ta biết).

Ví dụ 3

Khám phá chức năng cho sự liên tục. Xác định bản chất của các điểm gián đoạn của hàm số, nếu chúng tồn tại. Vẽ tranh.

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, có lời giải mẫu ở cuối bài.

Hãy chuyển sang phiên bản phổ biến và phổ biến nhất của nhiệm vụ, khi chức năng bao gồm ba phần:

Ví dụ 4

Kiểm tra tính liên tục của hàm số và vẽ đồ thị của hàm số .

Giải pháp: rõ ràng là cả ba phần của hàm số đều liên tục trên các khoảng tương ứng, do đó chỉ cần kiểm tra hai điểm “giao nhau” giữa các phần. Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một bản phác thảo; tôi đã nhận xét đầy đủ chi tiết về kỹ thuật xây dựng ở phần đầu của bài viết. Điều duy nhất là chúng ta cần theo dõi cẩn thận các điểm kỳ dị của mình: do bất đẳng thức nên giá trị thuộc về đường thẳng (chấm xanh), và do bất đẳng thức nên giá trị thuộc về parabol (chấm đỏ):


Về nguyên tắc thì mọi thứ đều rõ ràng =) Tất cả những gì còn lại là chính thức hóa quyết định. Đối với mỗi điểm trong số hai điểm “nối”, chúng tôi kiểm tra tiêu chuẩn 3 điều kiện liên tục:

TÔI) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1)

Các giới hạn một phía là hữu hạn và khác nhau, có nghĩa là hàm số bị gián đoạn loại 1 với bước nhảy tại điểm .

Chúng ta hãy tính bước nhảy gián đoạn là sự khác biệt giữa giới hạn bên phải và bên trái:
, tức là đồ thị bị giật lên một đơn vị.

II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) – hàm được xác định tại một điểm nhất định.

2) Tìm giới hạn một phía:

– giới hạn một phía là hữu hạn và bằng nhau, tức là có giới hạn tổng quát.

3) – giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.

Ở giai đoạn cuối, chúng tôi chuyển bản vẽ sang phiên bản cuối cùng, sau đó chúng tôi đặt hợp âm cuối cùng:

Trả lời: hàm số liên tục trên toàn bộ trục số, ngoại trừ điểm mà tại đó nó bị gián đoạn loại một khi có một bước nhảy.

Ví dụ 5

Kiểm tra tính liên tục của hàm số và xây dựng đồ thị của nó .

Đây là ví dụ về cách giải độc lập, cách giải ngắn và mẫu gần đúng của bài toán ở cuối bài.

Bạn có thể có ấn tượng rằng tại một thời điểm hàm số phải liên tục và tại một thời điểm khác phải có sự gián đoạn. Trong thực tế, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ còn lại - sẽ có một số tính năng thú vị và quan trọng:

Ví dụ 6

Cho một hàm . Khảo sát hàm số liên tục tại các điểm. Xây dựng một biểu đồ.

Giải pháp: và một lần nữa thực hiện ngay bản vẽ trên bản nháp:

Điểm đặc biệt của đồ thị này là hàm từng phần được cho bởi phương trình của trục hoành. Ở đây, khu vực này được vẽ bằng màu xanh lá cây, nhưng trong sổ tay, nó thường được tô đậm bằng bút chì đơn giản. Và tất nhiên, đừng quên ram của chúng ta: giá trị thuộc về nhánh tiếp tuyến (chấm đỏ) và giá trị thuộc về đường thẳng.

Mọi thứ đều rõ ràng từ bản vẽ - hàm liên tục dọc theo toàn bộ dãy số, tất cả những gì còn lại là chính thức hóa giải pháp, được đưa đến tự động hóa hoàn toàn theo đúng nghĩa đen sau 3-4 ví dụ tương tự:

TÔI) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) – hàm được xác định tại một điểm nhất định.

2) Hãy tính giới hạn một phía:

, có nghĩa là có một giới hạn chung.

Để đề phòng, hãy để tôi nhắc bạn một sự thật tầm thường: giới hạn của một hằng số bằng chính hằng số đó. Trong trường hợp này, giới hạn của số 0 bằng chính số 0 (giới hạn thuận tay trái).

3) – giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.

Do đó, hàm số liên tục tại một điểm theo định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm.

II) Chúng tôi kiểm tra điểm cho tính liên tục

1) – hàm được xác định tại một điểm nhất định.

2) Tìm giới hạn một phía:

Và ở đây – giới hạn của một bằng chính đơn vị đó.

- có giới hạn chung.

3) – giới hạn của hàm số tại một điểm bằng giá trị của hàm số đó tại một điểm cho trước.

Do đó, hàm số liên tục tại một điểm theo định nghĩa tính liên tục của hàm số tại một điểm.

Như thường lệ, sau khi nghiên cứu, chúng tôi chuyển bản vẽ của mình sang phiên bản cuối cùng.

Trả lời: hàm số liên tục tại các điểm.

Xin lưu ý rằng trong điều kiện chúng tôi không được hỏi bất cứ điều gì về việc nghiên cứu toàn bộ hàm về tính liên tục và nó được coi là dạng toán học tốt để xây dựng chính xác và rõ ràng câu trả lời cho câu hỏi đặt ra. Nhân tiện, nếu điều kiện không yêu cầu bạn xây dựng biểu đồ thì bạn có quyền không xây dựng biểu đồ đó (mặc dù sau này giáo viên có thể buộc bạn làm điều này).

Một trò “vặn lưỡi” toán học nhỏ để bạn tự giải:

Ví dụ 7

Cho một hàm . Khảo sát hàm số liên tục tại các điểm. Phân loại điểm dừng, nếu có. Thực hiện bản vẽ.

Cố gắng “phát âm” chính xác tất cả các “từ” =) Và vẽ biểu đồ chính xác hơn, chính xác hơn, ở đâu cũng sẽ không thừa ;-)

Như bạn nhớ, tôi khuyên bạn nên hoàn thành ngay bản vẽ dưới dạng bản nháp, nhưng đôi khi bạn gặp phải những ví dụ mà bạn không thể hình dung ngay được biểu đồ trông như thế nào. Do đó, trong một số trường hợp, sẽ có lợi hơn nếu trước tiên tìm ra giới hạn một phía và chỉ sau đó, dựa trên nghiên cứu, mới mô tả các nhánh. Trong hai ví dụ cuối cùng, chúng ta cũng sẽ tìm hiểu kỹ thuật tính một số giới hạn một phía:

Ví dụ 8

Kiểm tra hàm số về tính liên tục và xây dựng sơ đồ của nó.

Giải pháp: những điểm xấu rất rõ ràng: (giảm mẫu số của số mũ về 0) và (giảm mẫu số của toàn bộ phân số về 0). Không rõ đồ thị của hàm này trông như thế nào, điều đó có nghĩa là tốt hơn hết bạn nên thực hiện một số nghiên cứu trước.

Sự định nghĩa
hàm f (x) gọi điện liên tục tại điểm x 0 lân cận của điểm này, và nếu giới hạn khi x tiến tới x 0 bằng giá trị hàm tại x 0 :
.

Sử dụng định nghĩa Cauchy và Heine về giới hạn của hàm số, chúng ta có thể đưa ra định nghĩa mở rộng về tính liên tục của hàm số tại một điểm .

Chúng ta có thể xây dựng khái niệm liên tục trong về mặt gia tăng. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một biến mới, được gọi là số gia của biến x tại điểm. Khi đó hàm số liên tục tại điểm nếu
.
Hãy giới thiệu một chức năng mới:
.
Họ gọi cô ấy tăng chức năngỞ điểm .
.

Khi đó hàm số liên tục tại điểm nếu
hàm f (x) gọi điện Định nghĩa tính liên tục bên phải (trái) 0 , nếu nó được xác định trên một số lân cận bên phải (bên trái) của điểm này và nếu bên phải (trái) giới hạn tại điểm x 0 bằng giá trị hàm tại x 0 :
.

Định lý về giới hạn của hàm số liên tục
Đặt hàm f (x) liên tục tại điểm x 0 . Khi đó có lân cận U (x0), trên đó chức năng bị hạn chế.

Định lý về bảo toàn dấu của hàm số liên tục
Cho hàm số liên tục tại điểm. Và để nó có giá trị dương (âm) tại thời điểm này:
.
Khi đó có một lân cận của điểm mà hàm số có giá trị dương (âm):
Tại .

Tính chất số học của hàm liên tục
Giả sử hàm số và liên tục tại điểm .
Khi đó hàm số và liên tục tại điểm .
Nếu , thì hàm số liên tục tại điểm .

Tính chất liên tục trái phải
Hàm số liên tục tại một điểm khi và chỉ khi nó liên tục ở bên phải và bên trái.

Chứng minh các tính chất được đưa ra ở trang “Tính chất của hàm số liên tục tại một điểm”.

Tính liên tục của hàm phức

Định lý liên tục cho hàm phức
Cho hàm số liên tục tại điểm. Và cho hàm số liên tục tại điểm.
Khi đó hàm phức liên tục tại điểm.

Giới hạn của hàm phức

Định lý về giới hạn hàm số liên tục của hàm số
Giả sử có giới hạn của hàm số tại , và nó bằng:
.
Đây là điểm t 0 có thể là hữu hạn hoặc vô cùng xa xôi: .
Và cho hàm số liên tục tại điểm.
Khi đó có giới hạn của hàm phức và nó bằng:
.

Định lý về giới hạn của hàm số phức
Đặt hàm có giới hạn và ánh xạ vùng lân cận bị thủng của một điểm lên vùng lân cận bị thủng của một điểm. Hãy để hàm được xác định trên vùng lân cận này và có giới hạn cho nó.
Đây là những điểm cuối cùng hoặc xa vô tận: . Các lân cận và giới hạn tương ứng của chúng có thể là hai phía hoặc một phía.
Khi đó có giới hạn của hàm phức và nó bằng:
.

Điểm dừng

Xác định điểm dừng
Hãy để hàm được xác định trên một số lân cận bị thủng của điểm. Điểm đó được gọi là điểm ngắt chức năng, nếu một trong hai điều kiện được đáp ứng:
1) không được xác định trong ;
2) được xác định tại , nhưng không phải tại điểm này.

Xác định điểm gián đoạn loại 1
Điểm đó được gọi là điểm gián đoạn loại một, nếu là điểm dừng và có giới hạn một phía hữu hạn ở bên trái và bên phải:
.

Định nghĩa của bước nhảy hàm
Chức năng nhảy Δ tại một điểm là sự khác biệt giữa các giới hạn bên phải và bên trái
.

Xác định điểm dừng
Điểm đó được gọi là điểm dừng có thể tháo rời, nếu có giới hạn
,
nhưng hàm số tại điểm không được xác định hoặc không bằng giá trị giới hạn: .

Như vậy, điểm gián đoạn bỏ được là điểm gián đoạn loại 1, tại đó bước nhảy của hàm số bằng 0.

Xác định điểm gián đoạn loại 2
Điểm đó được gọi là điểm gián đoạn loại thứ hai, nếu nó không phải là điểm gián đoạn loại 1. Nghĩa là, nếu không có ít nhất một giới hạn một phía, hoặc ít nhất một giới hạn một phía tại một điểm thì bằng vô cùng.

Tính chất của hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng
Một hàm số được gọi là liên tục trên khoảng (at) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng mở (at) và tại các điểm a và b tương ứng.

Định lý đầu tiên của Weierstrass về giới hạn của hàm số liên tục trên một khoảng
Nếu một hàm số liên tục trên một khoảng thì nó bị chặn trong khoảng này.

Xác định khả năng đạt được mức tối đa (tối thiểu)
Một hàm đạt cực đại (tối thiểu) trên tập hợp nếu có một đối số mà nó
cho tất cả .

Xác định khả năng tiếp cận của mặt trên (dưới)
Một hàm đạt đến giới hạn trên (dưới) của nó trên tập hợp nếu có một đối số mà nó
.

Định lý thứ hai của Weierstrass về cực đại và cực tiểu của hàm liên tục
Một hàm liên tục trên một đoạn đạt đến giới hạn trên và dưới của nó trên đoạn đó hoặc tương tự, đạt cực đại và cực tiểu trên đoạn đó.

Định lý giá trị trung gian Bolzano-Cauchy
Cho hàm số liên tục trên đoạn. Và cho C là một số tùy ý nằm giữa các giá trị của hàm ở hai đầu đoạn: và . Thế thì có một điểm mà
.

Hệ quả 1
Cho hàm số liên tục trên đoạn. Và cho các giá trị hàm ở cuối đoạn có dấu khác nhau: hoặc . Khi đó có một điểm mà tại đó giá trị của hàm bằng 0:
.

Hệ quả 2
Cho hàm số liên tục trên đoạn. Để nó đi . Sau đó, hàm sẽ lấy khoảng tất cả các giá trị từ và chỉ các giá trị này:
Tại .

Hàm nghịch đảo

Định nghĩa hàm nghịch đảo
Cho một hàm có miền xác định X và tập giá trị Y. Và để nó có tài sản:
cho tất cả .
Sau đó, đối với bất kỳ phần tử nào từ tập hợp Y, người ta chỉ có thể liên kết một phần tử của tập hợp X mà . Sự tương ứng này định nghĩa một hàm gọi là chức năng trái ngượcĐẾN . Hàm nghịch đảo được ký hiệu như sau:
.

Từ định nghĩa suy ra rằng
;
cho tất cả ;
cho tất cả .

Bổ đề về tính đơn điệu lẫn nhau của hàm trực tiếp và hàm nghịch đảo
Nếu một hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt thì có một hàm nghịch đảo cũng tăng (giảm).

Tính chất đối xứng của đồ thị hàm số trực tiếp và hàm nghịch đảo
Đồ thị của hàm số trực tiếp và hàm số nghịch đảo đối xứng qua đường thẳng.

Định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm số nghịch đảo trên một khoảng
Cho hàm số liên tục và tăng (giảm) nghiêm ngặt trên đoạn thẳng. Sau đó, hàm nghịch đảo được xác định và liên tục trên đoạn thẳng tăng (giảm).

Đối với hàm tăng dần. Để giảm - .

Định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm số nghịch đảo trên một khoảng
Cho hàm số liên tục và tăng (giảm) nghiêm ngặt trên một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn mở. Sau đó, hàm nghịch đảo được xác định và liên tục trong khoảng, tăng (giảm) nghiêm ngặt.

Đối với hàm tăng dần.
Để giảm: .

Theo cách tương tự, chúng ta có thể xây dựng định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm nghịch đảo trên một nửa khoảng.

Tính chất và tính liên tục của các hàm cơ bản

Các hàm cơ bản và nghịch đảo của chúng là liên tục trong miền định nghĩa của chúng. Dưới đây chúng tôi trình bày các công thức của các định lý tương ứng và cung cấp các liên kết đến chứng minh của chúng.

hàm số mũ

hàm số mũ f (x) = rìu, với cơ sở a > 0 là giới hạn của dãy
,
đâu là một chuỗi tùy ý các số hữu tỷ có xu hướng x:
.

Định lý. Tính chất của hàm số mũ
Hàm số mũ có các tính chất sau:
(P.0)được xác định, cho , cho tất cả ;
(Tr.1) cho một ≠ 1 có nhiều ý nghĩa;
(P.2) tăng mạnh tại , giảm mạnh tại , không đổi tại ;
(Tr.3) ;
(P.3*) ;
(Tr.4) ;
(Tr.5) ;
(Tr.6) ;
(Tr.7) ;
(Tr.8) liên tục cho tất cả;
(Tr.9) Tại ;
Tại .

logarit

Hàm logarit, hay logarit, y = ghi lại x, với cơ sở a là nghịch đảo của hàm số mũ cơ số a.

Định lý. Tính chất của logarit
Hàm logarit cơ số a, y = ghi lại x, có các tính chất sau:
(L.1)được xác định và liên tục, for và , cho các giá trị dương của đối số;
(L.2) có nhiều ý nghĩa;
(L.3) tăng dần theo , giảm dần theo ;
(L.4) Tại ;
Tại ;
(L.5) ;
(L.6) Tại ;
(L.7) Tại ;
(L.8) Tại ;
(L.9) Tại .

Hàm mũ và logarit tự nhiên

Trong các định nghĩa của hàm số mũ và logarit, một hằng số xuất hiện, được gọi là cơ số lũy thừa hoặc cơ số logarit. Trong phân tích toán học, trong phần lớn các trường hợp, các phép tính đơn giản hơn sẽ đạt được nếu số e được sử dụng làm cơ sở:
.
Hàm mũ với cơ số e được gọi là số mũ: , và logarit với cơ số e được gọi là logarit tự nhiên: .

Các tính chất của số mũ và logarit tự nhiên được trình bày trên trang
"Số mũ, e lũy thừa của x",
"Logarit tự nhiên, hàm ln x"

Chức năng nguồn

Hàm lũy thừa với số mũ p là hàm f (x) = xp, giá trị của nó tại điểm x bằng giá trị của hàm số mũ cơ số x tại điểm p.
Ngoài ra, f (0) = 0 p = 0 cho p > 0 .

Ở đây chúng ta sẽ xem xét các thuộc tính của hàm lũy thừa y = x p đối với các giá trị không âm của đối số. Đối với các số hữu tỷ, đối với m lẻ, hàm lũy thừa cũng được xác định cho x âm. Trong trường hợp này, các thuộc tính của nó có thể thu được bằng cách sử dụng số chẵn hoặc số lẻ.
Những trường hợp này được thảo luận chi tiết và minh họa trên trang “Hàm nguồn, các thuộc tính và đồ thị của nó”.

Định lý. Tính chất của hàm lũy thừa (x ≥ 0)
Hàm lũy thừa, y = x p, với số mũ p có các tính chất sau:
(C.1) xác định và liên tục trên tập hợp
Tại ,
Tại ".

Hàm lượng giác

Định lý về tính liên tục của hàm số lượng giác
Hàm lượng giác: sin ( tội lỗi x), cosin ( vì x), đường tiếp tuyến ( tg x) và cotang ( ctg x

Định lý về tính liên tục của hàm lượng giác nghịch đảo
Hàm lượng giác nghịch đảo: arcsine ( arcsin x), cung cosin ( arccos x), arctang ( arctan x) và arccotang ( arcctg x), liên tục trong miền định nghĩa của chúng.

Người giới thiệu:
O.I. Besov. Bài giảng về phân tích toán học. Phần 1. Mátxcơva, 2004.
L. D. Kudryavtsev. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 2003.
CM. Nikolsky. Giáo trình phân tích toán học. Tập 1. Mátxcơva, 1983.