41.1. Các sơ đồ áp dụng tích phân xác định
Cần tìm giá trị của một số đại lượng hình học hoặc vật lý A (diện tích hình, thể tích của vật thể, áp suất chất lỏng lên một tấm thẳng đứng, v.v.) liên quan đến một đoạn thay đổi của biến độc lập x. Giả sử rằng đại lượng A này là đại lượng cộng, nghĩa là khi phân chia đoạn [a; b] điểm có є (a; b) trên phần [a; s] và [s; b] giá trị của A tương ứng với toàn bộ đoạn [a; b], bằng tổng các giá trị của nó tương ứng với [a; s] và [s; b].
Để tìm giá trị A này, bạn có thể được hướng dẫn theo một trong hai sơ đồ: sơ đồ I (hoặc phương pháp tính tổng tích phân) và sơ đồ II (hoặc phương pháp vi phân).
Sơ đồ đầu tiên dựa trên định nghĩa của tích phân xác định.
1. Dùng các điểm x 0 = a, x 1 ,..., x n = b để chia đoạn [a;b] thành n phần. Theo đó, đại lượng A mà chúng ta quan tâm sẽ được chia thành n “các thuật ngữ cơ bản” ΔAi (i = 1,...,n): A = ΔA 1 +ΔA 2 +...+ ΔA n.
2. Trình bày mỗi “thuật ngữ cơ bản” dưới dạng tích của một số hàm (được xác định từ các điều kiện bài toán) được tính tại một điểm tùy ý của đoạn tương ứng theo độ dài của nó: ΔA i ≈ ƒ(c i)Δx i.
Khi tìm giá trị gần đúng của ΔA i, có thể cho phép một số đơn giản hóa: cung trong một diện tích nhỏ có thể được thay thế bằng dây co các đầu của nó lại; tốc độ thay đổi trên một khu vực nhỏ có thể được coi là không đổi, v.v.
Chúng ta thu được giá trị gần đúng của đại lượng A dưới dạng tổng nguyên:
3. Giá trị yêu cầu A bằng giới hạn của tổng tích phân, tức là.
“Phương pháp tính tổng” được chỉ định, như chúng ta thấy, dựa trên việc biểu diễn tích phân dưới dạng tổng của một số lượng lớn vô hạn các số hạng vô cùng nhỏ.
Sơ đồ I được sử dụng để làm rõ ý nghĩa hình học và vật lý của tích phân xác định.
Sơ đồ thứ hai là sơ đồ I được sửa đổi một chút và được gọi là “phương pháp vi phân” hoặc “phương pháp loại bỏ các bậc vô cùng nhỏ”:
1) trên đoạn [a;b] ta chọn một giá trị x tùy ý và xét đoạn biến [a; X]. Trên phân đoạn này, đại lượng A trở thành hàm của x: A = A(x), tức là chúng ta giả sử rằng một phần của đại lượng A mong muốn là hàm A(x) chưa biết, trong đó x є là một trong các tham số của số lượng A;
2) chúng ta tìm phần chính của phần tăng ΔA khi x thay đổi một lượng nhỏ Δx = dx, tức là chúng ta tìm vi phân dA của hàm A = A(x): dA = ƒ(x) dx, trong đó ƒ(x ), được xác định từ các điều kiện của bài toán, một hàm của biến x (ở đây cũng có thể đơn giản hóa khác nhau);
3) giả sử rằng dA ≈ ΔA cho Δx → 0, chúng ta tìm được giá trị mong muốn bằng cách lấy tích phân dA trong phạm vi từ a đến b:
41.2. Tính diện tích các hình phẳng
Tọa độ hình chữ nhật
Như đã được thiết lập (xem “ý nghĩa hình học của tích phân xác định”), diện tích của hình thang cong nằm “phía trên” trục x (ƒ(x) ≥ 0) bằng tích phân xác định tương ứng:
Công thức (41.1) thu được bằng cách áp dụng sơ đồ I - phương pháp tính tổng. Hãy chứng minh công thức (41.1) bằng sơ đồ II. Cho hình thang cong được giới hạn bởi các đường thẳng y = ƒ(x) ≥ 0, x = a, x = b, y = 0 (xem Hình 174).
Để tìm diện tích S của hình thang này, chúng ta thực hiện các thao tác sau:
1. Lấy x О [a; b] và chúng ta sẽ giả sử rằng S = S(x).
2. Giả sử đối số x tăng thêm Δx = dx (x + Δx є [a; b]). Hàm S = S(x) sẽ nhận được gia số ΔS, là diện tích của “hình thang cong cơ bản” (nó được đánh dấu trong hình).
Vi phân diện tích dS là phần chính của khoảng tăng ΔS tại Δx → 0, và hiển nhiên nó bằng diện tích hình chữ nhật có đáy dx và chiều cao y: dS = y dx.
3. Lấy tích phân đẳng thức thu được trong khoảng từ x = a đến x = b, ta được
Lưu ý rằng nếu một hình thang cong nằm “bên dưới” trục Ox (ƒ(x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле
Công thức (41.1) và (41.2) có thể kết hợp thành một:
Diện tích hình được giới hạn bởi các đường cong y = fι(x) và y = ƒг(x), các đường thẳng x = a và x = b (với điều kiện ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) (xem Hình 2). 175) , có thể được tìm thấy bằng công thức
Nếu một hình phẳng có hình dạng “phức tạp” (xem Hình 176) thì nên chia nó thành các phần bằng các đường thẳng song song với trục Oy để có thể áp dụng các công thức đã biết.
Nếu một hình thang cong bị giới hạn bởi các đường thẳng y = c và y = d, trục Oy và đường cong liên tục x = φ(y) ≥ 0 (xem Hình 177), thì diện tích của nó được tìm bằng công thức 
Và cuối cùng, nếu một hình thang cong bị giới hạn bởi một đường cong xác định theo tham số
đường thẳng x = aix = b và trục Ox thì diện tích của nó được tìm theo công thức
trong đó a và β được xác định từ các đẳng thức x(a) = a và x(β) = b.
Ví dụ 41.1. Tìm diện tích hình giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = x 2 - 2x cho x є.
Lời giải: Hình có dạng như hình 178. Tìm diện tích S của nó:
Ví dụ 41.2. Tính diện tích hình giới hạn bởi hình elip x = a cos t, y = b sin t.
Lời giải: Trước tiên chúng ta hãy tìm 1/4 diện tích S. Ở đây x thay đổi từ 0 thành a, do đó, t thay đổi từ 0 (xem Hình 179). Chúng tôi tìm thấy:
Như vậy . Điều này có nghĩa là S = π аВ.
tọa độ cực
Chúng ta hãy tìm diện tích S của một hình cung cong, tức là một hình phẳng được giới hạn bởi một đường thẳng liên tục r=r(φ) và hai tia φ=a và φ=β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - phương pháp vi phân.
1. Chúng ta sẽ coi phần diện tích S mong muốn là hàm của góc φ, tức là S = S(φ), trong đó a ≤
φ ≤
β (nếu φ = a thì S(a) = 0, nếu φ=β thì S(β) = S).
2. Nếu góc cực hiện tại φ nhận được mức tăng Δφ = dφ, thì mức tăng trong vùng AS bằng diện tích của “khu vực đường cong cơ bản” OAB.
Vi phân dS thể hiện phần chính của gia số ΔS tại dφ →
0 và bằng diện tích hình tròn O AC (được tô màu trong hình) bán kính r với góc ở tâm dφ. Đó là lý do tại sao 
3. Tích phân đẳng thức thu được trong khoảng từ φ = a đến φ = β, ta thu được diện tích cần tìm
Ví dụ 41.3. Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi “bông hồng ba cánh” r=acos3φ (xem Hình 181).
Giải: Trước tiên chúng ta hãy tìm diện tích của nửa cánh hoa của “bông hồng”, tức là 1/6 tổng diện tích của hình:
tức là vì vậy,
Nếu một hình phẳng có hình dạng "phức tạp", thì các tia phát ra từ cực sẽ chia nó thành các đoạn cong, theo đó công thức thu được sẽ được áp dụng để tính diện tích. Vì vậy, đối với hình vẽ trên Hình 182, chúng ta có:
41.3. Tính độ dài cung của đường cong phẳng
Tọa độ hình chữ nhật
Cho đường cong phẳng AB có tọa độ hình chữ nhật, phương trình của nó là y=ƒ(x), trong đó a Độ dài của cung AB được hiểu là giới hạn mà độ dài của đoạn thẳng nội tiếp trong cung này có xu hướng khi số mắt xích của đoạn thẳng gãy tăng vô hạn và độ dài của mắt xích lớn nhất của nó có xu hướng bằng không. Hãy chứng minh rằng nếu hàm y=ƒ(x) và đạo hàm của nó y" = ƒ"(x) liên tục trên khoảng [a; b] thì đường cong AB có độ dài bằng Hãy áp dụng sơ đồ I (phương pháp tính tổng). 1. Điểm x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей
(см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 =
А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ.
Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n ,
длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,...,
ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ...
M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1
+ ΔL 2 +...+ ΔL n =
2. Độ dài của một dây cung (hoặc một đoạn của đoạn đứt đoạn) ΔL 1 có thể tìm được bằng cách sử dụng định lý Pythagore từ một tam giác có hai chân Δx i và Δу i: Theo định lý Lagrange về mức tăng hữu hạn của hàm Δу i =ƒ"(с i) Δх i, trong đó ci є (x i-1;x i). Do đó và chiều dài toàn đoạn đứt M 0 M 1 ... M n bằng 3. Chiều dài tôiđường cong AB, theo định nghĩa, bằng Lưu ý rằng với ∆L i →
0 cũng Δx i →
0 ∆Li = Chức năng Như vậy, Nếu phương trình của đường AB được cho dưới dạng tham số trong đó x(t) và y(t) là các hàm liên tục có đạo hàm liên tục và x(a) = a, x(β) = b, thì độ dài tôiĐường cong AB được tìm theo công thức Công thức (41.5) có thể thu được từ công thức (41.3) bằng cách thay x = x(t),dx = x"(t)dt, Ví dụ 41.4. Tìm chu vi của hình tròn có bán kính R. Lời giải: Hãy tìm 1/4 chiều dài của nó từ điểm (0;R) đến điểm (R;0) (xem Hình 184). Bởi vì Có nghĩa, tôi= 2π R. Nếu phương trình đường tròn viết dưới dạng tham số x = Rcost, y = Rsint (0 Việc tính toán độ dài cung có thể dựa trên việc áp dụng phương pháp vi phân. Chúng ta hãy chỉ ra cách có thể thu được công thức (41.3) bằng cách áp dụng sơ đồ II (phương pháp vi phân). 1. Lấy giá trị tùy ý x є [a; b] và xét đoạn biến [a;x]. Kích thước trên đó tôi trở thành một hàm của x, tức là tôi
= tôi(X) ( tôi(a) = 0 và tôi(b) = tôi). Bình đẳng Vì y" x = -dy/dx nên Công thức cuối cùng là định lý Pythagore cho tam giác vô cùng nhỏ MST (xem Hình 186). tọa độ cực Giả sử đường cong AB được cho bởi phương trình tọa độ cực r = r(φ), a<φ<β. Giả sử rằng r(φ) và r"(φ) liên tục trên khoảng [a;β]. Nếu trong các đẳng thức x = rcosφ, y = rsinφ nối tọa độ cực và tọa độ Descartes, góc φ được coi là tham số thì đường cong AB có thể được xác định bằng tham số Áp dụng công thức (41.5), ta thu được Giải: Cardioid r = a(1 + cosφ) có dạng như hình 187. Nó đối xứng qua trục cực. Hãy tìm một nửa chiều dài của cardioid: Do đó, 1/2l= 4a. Điều này có nghĩa là l= 8a. 41.4. Tính khối lượng cơ thể Tính thể tích của một vật từ diện tích đã biết của các mặt cắt song song 2. Tìm vi phân dV của hàm số v = v(x). Nó đại diện cho một “lớp cơ bản” của thân, được bao bọc giữa các mặt phẳng song song cắt trục Ox tại các điểm x và x+Δx, có thể được coi gần đúng như một hình trụ có đáy S(x) và chiều cao dx. Do đó, chênh lệch âm lượng dV = S(x) dx. 3. Tìm giá trị V mong muốn bằng cách lấy tích phân dA trong khoảng từ a đến B: Công thức kết quả được gọi là công thức tính thể tích của cơ thể theo diện tích các phần song song. Ví dụ 41.6. Tìm thể tích của hình elip Diện tích của hình elip này là Do đó, theo công thức (41.6), ta có Khối lượng của một cơ thể quay Cho một hình thang cong quay quanh trục Ox, được giới hạn bởi một đường thẳng y = ƒ(x) 0, một đoạn a ≤ x ≤ b và các đường thẳng x = a và x = b (xem Hình 190). Hình thu được từ phép quay được gọi là vật quay. Tiết diện vật này bằng mặt phẳng vuông góc với trục Ox, vẽ qua một điểm x tùy ý của trục Ox (x Î
[MỘT; b]), tồn tại một đường tròn có bán kính y= ƒ(x). π
Do đó S(x)= Áp dụng công thức (41.6) tính thể tích cơ thể dựa vào diện tích các phần song song, ta thu được Nếu một hình thang cong bị giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục x = φ(y) ≥ 0 và các đường thẳng x = 0, y = c,< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг
оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен Ví dụ 41.7. Tìm thể tích của vật thể tạo thành khi quay một hình được giới hạn bởi các đường quanh trục Oy (xem Hình 191). Giải: Áp dụng công thức (41.8) ta tìm được: 41,5. Tính diện tích bề mặt quay Giả sử đường cong AB là đồ thị của hàm y = ƒ(x) ≥ 0, trong đó x є [a;b], và hàm y = ƒ(x) và đạo hàm của nó y"=ƒ"(x) là liên tục trên phân khúc này. Hãy tìm diện tích S của bề mặt được tạo thành khi quay đường cong AB quanh trục Ox. 2. Hãy cho đối số x một mức tăng Δх = dx. Qua điểm x + dx є [a; b] Ta cũng vẽ mặt phẳng vuông góc với trục Ox. Hàm s=s(x) sẽ nhận được số gia tăng Az, được hiển thị trong hình dưới dạng “vành đai”. Chúng ta hãy tìm vi phân diện tích ds bằng cách thay hình được tạo giữa các phần bằng một hình nón cụt, ma trận sinh của nó bằng dl, và bán kính của các đáy bằng y và y + dy. Diện tích bề mặt bên của nó là ds= π
(y+y+ nhuộm) dl=2π
Tại dl
+ π
dydl. π
Tại dl Loại bỏ tích dydl dưới dạng vô cùng bé có bậc cao hơn ds, ta thu được ds=2 , hoặc, vì 3. Tích phân đẳng thức thu được trong khoảng từ x = a đến x = b, ta thu được Nếu đường cong AB được cho bởi các phương trình tham số x = x(t),y=y(t), t 1 ≤ t ≤ t 2 thì công thức (41.9) tính diện tích bề mặt quay có dạng Ví dụ 41.8. Tìm diện tích bề mặt của một quả bóng có bán kính R. Ví dụ 41.9. Cho một cycloid Tìm diện tích bề mặt được hình thành bằng cách xoay nó quanh trục Ox. Lời giải: Khi một nửa cung cycloid quay quanh trục Ox thì diện tích bề mặt quay bằng 41,6. Ứng dụng cơ học của tích phân xác định Lực thay đổi< b), находится по формуле (см. п. 36). Cho điểm vật chất M di chuyển dọc theo trục Ox dưới tác dụng của một lực thay đổi F = F(x), hướng song song với trục này. Công do một lực thực hiện khi di chuyển điểm M từ vị trí x = a đến vị trí x = b (a Ví dụ 41.10 Phải thực hiện bao nhiêu công để kéo dãn lò xo thêm 0,05 m nếu một lực 100 N kéo lò xo ra 0,01 m? Giải: Theo định luật Hooke, lực đàn hồi làm căng lò xo tỉ lệ với độ giãn x này, tức là F = kx, trong đó k là hệ số tỉ lệ. Theo điều kiện của bài toán, một lực F = 100 N làm lò xo dãn một đoạn x = 0,01 m; do đó, 100 = k*0,01, do đó k = 10000; do đó, F = 10000x. Công cần thiết theo công thức (41.10) bằng Giải: Công cần thiết để nâng một vật có trọng lượng p lên độ cao h bằng pH. Nhưng các lớp chất lỏng khác nhau trong bể chứa có độ sâu khác nhau và độ cao dâng lên (đến mép bể chứa) của các lớp khác nhau cũng không giống nhau.< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H
(А(0)=0, А(Н)=А 0). 2. Chúng ta tìm phần chính của phần tăng ΔA khi x thay đổi một lượng Δx = dx, tức là chúng ta tìm vi phân dA của hàm A(x). Do độ nhỏ của dx, chúng tôi giả sử rằng lớp chất lỏng “cơ bản” nằm ở cùng độ sâu x (tính từ mép bể chứa) (xem Hình 193). Khi đó dA = dp*x, trong đó dp là trọng lượng của lớp này; nó bằng g *g dv, trong đó g là gia tốc trọng trường, g là mật độ của chất lỏng, dv là thể tích của lớp chất lỏng “cơ bản” (nó được đánh dấu trong hình), tức là dp = gg dv. Thể tích của lớp chất lỏng được chỉ định rõ ràng bằng π
R 2 dx, trong đó dx là chiều cao của hình trụ (lớp), π
R 2 là diện tích đáy của nó, tức là dv= π
R2dx. Vậy dp=gg π
R 2 dx và dA = gg π
R 2 dx*x. 3) Tích phân đẳng thức thu được trong khoảng từ x = 0 đến x = H, ta tìm được Con đường cơ thể đã đi qua Cho một chất điểm chuyển động thẳng đều với vận tốc thay đổi v=v(t). Hãy tìm quãng đường mà nó đi được trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2. Giải: Từ ý nghĩa vật lý của đạo hàm, người ta biết rằng khi một điểm chuyển động theo một hướng thì “tốc độ chuyển động thẳng bằng đạo hàm theo thời gian của đường đi”, tức là suy ra dS = v(t)dt. Tích phân đẳng thức thu được trong phạm vi từ t 1 đến t 2, chúng ta thu được Lưu ý rằng có thể thu được công thức tương tự bằng cách sử dụng sơ đồ I hoặc II để áp dụng tích phân xác định. Ví dụ 41.12. Tìm quãng đường vật đi được trong 4 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, nếu tốc độ của vật là v(t) = 10t + 2 (m/s). Giải: Nếu v(t)=10t+2 (m/s), thì quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động (t=0) đến hết giây thứ 4 bằng Áp suất chất lỏng lên tấm thẳng đứng Theo định luật Pascal, áp suất của chất lỏng tác dụng lên một tấm nằm ngang bằng trọng lượng của cột chất lỏng này, lấy tấm làm đáy và chiều cao của nó là độ sâu ngâm của nó tính từ bề mặt tự do của chất lỏng. , tức là P = g*g* S* h, trong đó g là gia tốc trọng trường, g là mật độ của chất lỏng, S là diện tích của tấm, h là độ sâu ngâm của nó. Sử dụng công thức này, không thể tìm áp suất chất lỏng trên một tấm nhúng thẳng đứng, vì các điểm khác nhau của nó nằm ở các độ sâu khác nhau. Cho một tấm nhúng thẳng đứng vào một chất lỏng, giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) và y 2 = ƒ 2 (x); 2. Hãy cho đối số x một mức tăng Δх = dx. Hàm p(x) sẽ nhận được mức tăng Δр (trong hình có một lớp dải có độ dày dx). Hãy tìm vi phân dp của hàm này. Do độ nhỏ của dx, chúng ta sẽ coi dải này là một hình chữ nhật, tất cả các điểm của nó đều có cùng độ sâu x, tức là tấm này nằm ngang. Khi đó theo định luật Pascal 3. Tích phân đẳng thức thu được trong khoảng từ x = a đến x = B, ta thu được Xác định lượng áp suất nước lên một hình bán nguyệt ngâm thẳng đứng trong chất lỏng nếu bán kính của nó là R và tâm O của nó nằm trên bề mặt tự do của nước (xem hình 195). Momen tĩnh S y của hệ này đối với trục được xác định tương tự Nếu các khối lượng được phân bố liên tục dọc theo một đường cong nào đó thì sẽ cần tích phân để biểu diễn mômen tĩnh. Giả sử y = ƒ(x) (a< x< b) là phương trình của đường cong vật liệu AB. Chúng ta sẽ coi nó đồng nhất với mật độ tuyến tính không đổi g (g = const). Chúng ta hãy coi phần dl này gần như là một điểm nằm ở khoảng cách y tính từ trục Ox. Khi đó vi phân của mô men tĩnh dS x (“mômen sơ cấp”) sẽ bằng g dly, tức là dS x = g dlу (xem Hình 196). Suy ra mômen tĩnh S x của đường AB so với trục Ox bằng Tương tự ta tìm S y: Các mô men tĩnh S x và S y của đường cong giúp dễ dàng xác định được vị trí trọng tâm (tâm khối) của nó. Từ định nghĩa của trọng tâm ta có các đẳng thức sau Từ đây Khi đó khối lượng của nó bằng g ydx. Trọng tâm C của hình chữ nhật nằm ở giao điểm các đường chéo của hình chữ nhật. Điểm C này nằm cách trục Ox 1/2*y và x cách trục Oy (xấp xỉ; chính xác hơn là ở khoảng cách x+ 1/2 ∆x). Khi đó đối với các mômen tĩnh cơ bản liên quan đến trục Ox và Oy thỏa mãn các quan hệ sau: Vậy trọng tâm có tọa độ 1. Diện tích hình phẳng. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi hàm không âm f(x), trục x và đường thẳng x = một, x = b, được định nghĩa là S = ∫ a b f x d x . Diện tích hình thang cong Diện tích hình giới hạn bởi hàm số f(x), cắt trục hoành, được xác định theo công thức S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x< 0
∫
x
i - 1
x
i
| f
x
|
d x
,
где x tôi– số 0 của hàm. Nói cách khác, để tính diện tích của hình này, bạn cần chia đoạn thẳng
hàm số không f(x) thành các bộ phận, tích hợp chức năng fđối với mỗi khoảng kết quả của dấu hằng số, hãy cộng riêng các tích phân trên các đoạn mà hàm số trên đó f lấy các dấu khác nhau và trừ số thứ hai cho số thứ nhất. 2. Diện tích của khu vực cong. Diện tích của một cung đường cong Xét đường cong ρ = ρ (φ)
trong hệ tọa độ cực, trong đó ρ (φ)
– liên tục và không âm trên [α; β]
chức năng. Hình giới hạn bởi một đường cong ρ (φ)
và tia φ = α
, φ = β
, được gọi là một khu vực đường cong. Diện tích của hình cung cong là S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ . 3. Khối lượng cơ quan cách mạng. Khối lượng của một cơ thể quay Cho vật được tạo thành bằng cách quay quanh trục OX của một hình thang cong giới hạn bởi một đường thẳng liên tục trên đoạn
chức năng f(x). Thể tích của nó được biểu thị bằng công thức V = π ∫ a b f 2 x d x. Hãy để cơ thể được bao bọc giữa các mặt phẳng x = một Và x = b và diện tích phần của nó tính theo mặt phẳng đi qua điểm x, – liên tục trên đoạn
chức năng σ(x). Khi đó thể tích của nó bằng V = ∫ a b σ x d x . 4. Độ dài cung của đường cong. Cho đường cong r → t = x t , y t , z t khi đó độ dài của phần của nó được giới hạn bởi các giá trị. t = α Và t = βđược biểu thị bằng công thức S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt . 5. Diện tích bề mặt quay. Diện tích bề mặt quay Cho bề mặt được xác định bằng phép quay đối với trục OX của đồ thị hàm số y = f(x), a `x ` b, và hàm f có đạo hàm liên tục trên khoảng này. Khi đó diện tích bề mặt xoay được xác định theo công thức Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x . Bài giảng 21 Ứng dụng của tích phân xác định (2 giờ) Ứng dụng hình học MỘT) Diện tích của hình
Như đã lưu ý trong Bài giảng 19, về mặt số lượng bằng diện tích của một hình thang cong giới hạn bởi đường cong Tại = f(x), thẳng X = MỘT, X = b và đoạn [ Một, b] Trục OX. Hơn nữa, nếu f(x) £ 0 trên [ Một, b], thì tích phân phải được lấy bằng dấu trừ. Nếu trên một khoảng nhất định hàm Tại = f(x) đổi dấu, khi đó để tính diện tích hình nằm giữa đồ thị của hàm số này và trục OX, các bạn hãy chia đoạn thẳng đó thành các phần, trên mỗi phần đó hàm số giữ nguyên dấu và tìm diện tích từng phần của hình. Diện tích bắt buộc trong trường hợp này là tổng đại số của các tích phân trên các phân đoạn này và các tích phân tương ứng với các giá trị âm của hàm được lấy trong tổng này bằng dấu trừ. Nếu một hình được giới hạn bởi hai đường cong Tại = f 1 (x) Và Tại = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), khi đó, như trong Hình 9, diện tích của nó bằng hiệu diện tích của các hình thang cong MỘT Mặt trời b Và MỘT QUẢNG CÁO b, mỗi số đó bằng số với tích phân. Có nghĩa, Lưu ý rằng diện tích của hình trong Hình 10a được tìm bằng công thức tương tự: S = Chúng ta chỉ đang nói về các hình thang cong tiếp giáp với trục OX. Nhưng các công thức tương tự cũng có giá trị đối với các số liền kề với trục OU. Ví dụ: diện tích hình vẽ ở Hình 11 được tìm theo công thức Hãy để dòng y=f(x), bao quanh một hình thang cong, có thể được cho bởi các phương trình tham số, tО , và j(a)= MỘT, j(b) = b, tức là Tại= . Khi đó diện tích của hình thang cong này bằng b) Chiều dài cung đường cong
Cho đường cong Tại = f(x). Chúng ta hãy xem xét cung của đường cong này tương ứng với sự thay đổi X trên đoạn [ Một, b]. Hãy tìm độ dài của cung này. Để làm điều này, chúng ta chia cung AB thành N phần theo điểm A = M 0, M 1, M 2, ..., M N= B (Hình 14), tương ứng với các điểm X 1 , X 2 , ..., x n Î [ Một, b]. Hãy ký hiệu D tôi tôi thì độ dài cung tôi= . Nếu độ dài cung D tôi tôiđủ nhỏ thì có thể coi chúng xấp xỉ bằng độ dài các đoạn tương ứng nối các điểm M Tôi-1,M Tôi. Những điểm này có tọa độ M Tôi -1 (x tôi -1, f (x tôi-1)), M Tôi(x tôi, f(x tôi)). Khi đó độ dài các đoạn tương ứng bằng nhau Công thức Lagrange được sử dụng ở đây. Hãy đặt x tôi – x tôi-1 =D x tôi, chúng tôi nhận được Sau đó tôi = tôi = Như vậy độ dài cung của đường cong Tại = f(x), tương ứng với sự thay đổi X trên đoạn [ Một, b], tìm được theo công thức tôi = Nếu đường cong được chỉ định theo tham số, tО, tức là y(t) = f(x(t)), thì từ công thức (1) ta thu được: tôi= Điều này có nghĩa là nếu một đường cong được cho theo tham số thì độ dài cung của đường cong này tương ứng với sự thay đổi tО, được tìm thấy bởi công thức V) Khối lượng của một cơ quan cách mạng.
Tương tự, chúng ta có thể rút ra công thức tính thể tích của một vật bằng cách quay một hình thang cong quanh trục OU, bị giới hạn bởi đồ thị của hàm số X=j( Tại), thẳng y = c , y = d và đoạn [ c,d] trục của op-amp (Hình 15): Ứng dụng vật lý của tích phân xác định Trong Bài giảng 19 chúng ta đã chứng minh rằng theo quan điểm vật lý, tích phân bằng khối lượng của một thanh mỏng không đồng nhất và thẳng có chiều dài tôi= b – Một, với mật độ tuyến tính thay đổi r = f(x), f(x) ³ 0, trong đó X- khoảng cách từ đầu thanh đến đầu bên trái của thanh. Hãy xem xét các ứng dụng vật lý khác của tích phân xác định. Vấn đề 1.
Tìm công cần thiết để bơm dầu từ một thùng hình trụ thẳng đứng có chiều cao H và bán kính đáy R. Khối lượng riêng của dầu là r. Khi đó công để bơm ra lớp này bằng A tôi"P tôi x tôi, ở đâu P Tôi=rgV Tôi= rgpR 2 dx, R Tôi– trọng lượng, V Tôi- thể tích của lớp Sau đó A tôi» R tôi x tôi= rgpR 2 dx.x tôi, Ở đâu Vấn đề 2.
Tìm momen quán tính a) một hình trụ có thành mỏng rỗng so với trục đi qua trục đối xứng của nó; b) một hình trụ đặc đối với một trục đi qua trục đối xứng của nó; c) một thanh mỏng có chiều dài tôiđối với trục đi qua điểm giữa của nó; d) chiều dài thanh mỏng tôi so với trục đi qua đầu bên trái của nó. Giải pháp. Như đã biết, mômen quán tính của một điểm đối với trục bằng J=Ông 2 và hệ thống điểm. a) Hình trụ có thành mỏng, nghĩa là có thể bỏ qua độ dày của thành. Gọi bán kính đáy của hình trụ là R, chiều cao H và khối lượng riêng trên thành bằng r. Hãy chia hình trụ thành N các bộ phận và tìm nơi Tôi- mô men quán tính Tôi phần tử thứ của phân vùng. Nếu r là hằng số thì J= 2prR 3 N, và vì khối lượng của hình trụ bằng M = 2prRН nên J=MR 2. b) Nếu hình trụ là chất rắn (đầy) thì ta chia thành N vlo hình trụ mỏng nối với nhau. Nếu như N lớn, mỗi hình trụ này có thể được coi là có thành mỏng. Phân vùng này tương ứng với phân vùng của đoạn thành N phần có điểm R Tôi. Hãy tìm khối lượng Tôi xi lanh thành mỏng thứ: tôi= rV Tôi, Ở đâu V. Tôi= pR Tôi 2 H – pR Tôi - 1 2 H = pH(R Tôi 2 –R Tôi -1 2) = PH(R Tôi–R Tôi-1)(R Tôi+R Tôi -1). Do thành hình trụ mỏng nên chúng ta có thể giả sử R Tôi+R Tôi-1 » 2R Tôi và R Tôi–R Tôi-1 = DR Tôi, thì V Tôi» pH2R Tôi DR Tôi, Ở đâu tôi» rpН×2R Tôi DR Tôi, Rồi cuối cùng Ta mô hình thanh là một đoạn của trục OX, khi đó trục quay của thanh là trục OU. Hãy xem xét một đoạn cơ bản, khối lượng của nó, khoảng cách đến trục có thể được coi là gần bằng nhau tôi= x tôi. Khi đó mômen quán tính của phần này bằng , do đó mômen quán tính của toàn bộ thanh bằng Nhiệm vụ 3. Tìm lực ép của chất lỏng có mật độ r lên tam giác vuông có hai chân MỘT Và b, nhúng thẳng đứng vào chất lỏng sao cho chân MỘT nằm trên bề mặt chất lỏng. Hãy xây dựng một mô hình của vấn đề. Đặt đỉnh của góc vuông của tam giác ở gốc tọa độ, chân MỘT trùng với một đoạn của trục OU (trục OU xác định bề mặt chất lỏng), trục OX hướng xuống dưới, chân b trùng với một đoạn của trục này. Cạnh huyền của tam giác này có phương trình , hoặc . Được biết, nếu trên một vùng diện tích nằm ngang S, nhúng trong chất lỏng có khối lượng riêng r, bị ép bởi một cột chất lỏng có chiều cao h, thì lực ép bằng nhau (định luật Pascal). Hãy sử dụng luật này. Diện tích của hình thang cong được giới hạn phía trên bởi đồ thị của hàm số y=f(x), trái và phải - thẳng x=a Và x=b theo đó, từ bên dưới - trục Con bò đực, được tính theo công thức Diện tích của hình thang cong được giới hạn ở bên phải bởi đồ thị của hàm số x=φ(y), trên và dưới - thẳng y=d Và y=c theo đó, ở bên trái - trục Ôi: Diện tích của hình cong được giới hạn phía trên bởi đồ thị của hàm số y 2 =f 2 (x), bên dưới - đồ thị hàm số y 1 =f 1 (x), trái và phải - thẳng x=a Và x=b: Diện tích của hình cong được giới hạn bên trái và bên phải bởi đồ thị hàm số x 1 = φ 1 (y) Và x 2 = φ 2 (y), trên và dưới - thẳng y=d Và y=c tương ứng: Chúng ta hãy xem xét trường hợp khi đường giới hạn hình thang cong từ trên xuống được cho bởi các phương trình tham số x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Ở đâu α ∼ t ∈ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Những phương trình này xác định một số hàm y=f(x) trên đoạn [ một, b]. Diện tích hình thang cong được tính theo công thức Hãy chuyển sang một biến mới x = φ 1 (t), Sau đó dx = φ" 1 (t) dt, MỘT y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), do đó \begin(displaymath) Hãy xem xét một khu vực đường cong OAB, được giới hạn bởi đường thẳng cho bởi phương trình ρ=ρ(φ)
trong tọa độ cực, hai tia O.A. Và O.B., vì cái gì φ=α
, φ=β
. Chúng ta sẽ chia ngành thành các ngành cơ bản OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 = A, M n = B). Hãy ký hiệu bằng Δφk góc giữa các tia OM k-1 Và ôi, tạo thành các góc với trục cực φ k-1 Và φk tương ứng. Mỗi ngành cơ bản OM k-1 M k thay thế nó bằng một hình tròn có bán kính ρ k =ρ(φ" k), Ở đâu φ" k- giá trị góc φ
từ khoảng [ φ k-1 , φ k] và góc ở tâm Δφk. Diện tích của khu vực cuối cùng được thể hiện bằng công thức thể hiện diện tích của một khu vực “bậc thang” gần như thay thế một khu vực nhất định OAB. Khu vực ngành OABđược gọi là giới hạn diện tích của khu vực “bậc thang” tại n → ∞ Và λ=tối đa Δφ k → 0: Bởi vì Hãy trên đoạn [ một, b] một hàm khả vi được đưa ra y=f(x), đồ thị của nó là cung. Phân đoạn [ một,b] hãy chia nó thành N các bộ phận có dấu chấm x 1, x 2, …, xn-1. Những điểm này sẽ tương ứng với điểm M 1, M 2, …, Mn-1 cung, ta nối chúng bằng một đường đứt nét, gọi là đường gãy nội tiếp trong cung. Chu vi của đường đứt nét này sẽ được ký hiệu là s n, đó là Sự định nghĩa. Độ dài cung của một đường thẳng là giới hạn chu vi của đường đứt nét ghi trong đó khi số mắt xích M k-1 M k tăng vô hạn và độ dài của lớn nhất trong số chúng có xu hướng bằng không: trong đó λ là độ dài của liên kết lớn nhất. Chúng ta sẽ đếm độ dài của cung từ một điểm nào đó, ví dụ: MỘT. Hãy để tại điểm M(x,y) chiều dài cung là S, và tại điểm M"(x+Δ x,y+Δy) chiều dài cung là s+Δs, trong đó,i>Δs là độ dài của cung. Từ một hình tam giác MNM" tìm độ dài của dây: . Từ những cân nhắc hình học, suy ra rằng nghĩa là, một cung vô cùng nhỏ của một đường thẳng và hợp âm phụ thuộc nó là tương đương nhau. Chúng ta biến đổi công thức biểu thị độ dài của dây cung: Vượt qua giới hạn của đẳng thức này, ta thu được công thức đạo hàm của hàm số s=s(x): từ đó chúng tôi tìm thấy Công thức này thể hiện vi phân của một cung của đường cong phẳng và có một công thức đơn giản ý nghĩa hình học: biểu thị định lý Pythagore cho tam giác vô cùng nhỏ MTN (ds=MT, ). Vi phân cung của đường cong không gian được xác định theo công thức Xét cung của một đường không gian được xác định bởi các phương trình tham số Ở đâu α ∼ t ∈ β, φi(t) (tôi=1, 2, 3) - hàm khả vi của đối số t, Cái đó Tích phân đẳng thức này trong khoảng [ α, β
], ta được công thức tính độ dài cung tròn này Nếu đường thẳng nằm trong mặt phẳng oxy, Cái đó z=0 trước mặt mọi người t∈[α, β], Đó là lý do tại sao Trong trường hợp một đường thẳng được cho bởi phương trình y=f(x) (a Cho đường thẳng được cho bởi phương trình ρ=ρ(φ)
(α≤φ≤β
) trong tọa độ cực. Trong trường hợp này chúng ta có các phương trình tham số của đường thẳng x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, trong đó góc cực được lấy làm tham số φ
. Từ thì công thức biểu diễn độ dài cung của đường thẳng ρ=ρ(φ)
(α≤φ≤β
) trong tọa độ cực, có dạng Chúng ta hãy tìm thể tích của một vật thể nếu biết diện tích của bất kỳ mặt cắt ngang nào của vật thể này vuông góc với một hướng nhất định. Chúng ta hãy chia vật thể này thành các lớp cơ bản bằng các mặt phẳng vuông góc với trục Con bò đực và được xác định bởi phương trình x=const. Đối với bất kỳ cố định x∈ khu vực đã biết S=S(x) mặt cắt ngang của một cơ thể nhất định. Lớp cơ bản bị cắt bởi các mặt phẳng x=x k-1, x=x k
(k=1, …, n, x 0 = một, xn =b), thay thế nó bằng một hình trụ có chiều cao Δx k =x k -x k-1 và diện tích căn cứ S(ξk), ξ k ∈. Thể tích của hình trụ sơ cấp được chỉ định được biểu thị bằng công thức Δv k =E(ξ k)Δx k. Hãy tổng hợp tất cả các sản phẩm như vậy đó là tổng tích phân của một hàm đã cho S=S(x) trên đoạn [ một, b]. Nó biểu thị thể tích của một vật thể bậc bao gồm các hình trụ cơ bản và gần như thay thế vật thể này. Thể tích của một vật thể nhất định là giới hạn thể tích của vật thể bậc được chỉ định tại λ→0
, Ở đâu λ
- chiều dài lớn nhất của các đoạn cơ bản Δxk. Hãy ký hiệu bằng V. thể tích của một vật thể nhất định, thì theo định nghĩa Ở phía bên kia, Do đó, thể tích của vật thể trên các mặt cắt ngang nhất định được tính theo công thức Nếu một vật được hình thành bằng cách quay quanh một trục Con bò đực một hình thang cong được giới hạn ở đỉnh bởi một cung của một đường thẳng liên tục y=f(x), Ở đâu a Bình luận. Thể tích của một vật thu được khi quay một hình thang cong được giới hạn ở bên phải bởi đồ thị của hàm số x=φ(y) (c `x `d), quanh trục Ôi tính theo công thức Xét bề mặt thu được khi quay cung của đường thẳng y=f(x) (a Do đó, chênh lệch diện tích bề mặt được biểu thị bằng công thức Công thức này biểu thị diện tích bề mặt thu được khi quay cung của một đường thẳng y=f(x) (a Chủ đề 6.10. Ứng dụng hình học và vật lý của tích phân xác định 1. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y =f(x)(f(x)>0), các đường thẳng x = a, x = b và đoạn [a, b] của trục Ox, được tính bằng công thức 2. Diện tích hình giới hạn bởi các đường cong y = f(x) và y = g(x)(f(x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле 3. Nếu một đường cong được cho bởi các phương trình tham số x = x(t), y = y(t) thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong này và các đường thẳng x = a, x = b được tìm bởi công thức 4. Gọi S(x) là diện tích tiết diện của vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox thì thể tích phần vật thể nằm giữa các mặt phẳng x = a và x = b vuông góc với trục được tìm theo công thức 5. Cho một hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = f(x) và các đường thẳng y = 0, x = a và x = b quay quanh trục Ox thì thể tích vật quay được tính bằng công thức công thức 6. Cho một hình thang cong giới hạn bởi đường cong x = g (y) và các đường thẳng x = 0, y = c và y = d, quay quanh trục O y thì thể tích vật quay được tính theo công thức 7. Nếu đường cong mặt phẳng liên hệ với hệ tọa độ chữ nhật và cho bởi phương trình y = f(x) (hoặc x = F(y)) thì độ dài cung được xác định theo công thức
.
và do đó |Δx i |<ΔL i).
liên tục trên khoảng [a; b], vì, theo điều kiện, hàm ƒ"(x) là liên tục. Do đó, có giới hạn của tổng tích phân (41.4), khi max Δx i →
0
:
hoặc ở dạng viết tắt tôi =
Cái đó
2. Tìm vi phân dl chức năng tôi = tôi(x) khi x thay đổi một lượng nhỏ Δх = dx: dl = tôi"(x)dx. Hãy tìm tôi"(x), thay cung vô cùng nhỏ MN bằng dây cung Δ tôi, thu gọn cung này (xem Hình 185):
3. Lấy tích phân dl trong khoảng từ a đến b, ta được 
được gọi là công thức vi phân cung trong tọa độ chữ nhật.
Ví dụ 41.5. Tìm độ dài của cardioid r = = a(1 + cosφ).
1. Qua một điểm x є tùy ý, chúng ta vẽ mặt phẳng ∏ vuông góc với trục Ox (xem Hình 188). Chúng ta hãy biểu thị bằng S(x) diện tích mặt cắt ngang của cơ thể theo mặt phẳng này; S(x) được coi là đã biết và thay đổi liên tục khi x thay đổi. Gọi v(x) là thể tích của phần vật nằm bên trái mặt phẳng P. Giả sử rằng trên đoạn [a; x] giá trị v là hàm của x, tức là v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
Giải: Cắt hình elip có mặt phẳng song song với mặt phẳng Oyz và cách nó một khoảng x (-a ≤х< a), chúng ta thu được một hình elip (xem Hình 189):
y 2.
y = d (c
Hãy áp dụng sơ đồ II (phương pháp vi phân).
Ví dụ 41.11. Tìm công cần thiết để bơm chất lỏng qua mép một bình hình trụ thẳng đứng có chiều cao N m và bán kính đáy R m.
hệ tọa độ được chọn như hình 194. Để tìm áp suất chất lỏng P trên tấm này, chúng ta áp dụng sơ đồ II (phương pháp vi phân).
Ví dụ 41.13.
Đối với x є [a tùy ý; b] Trên đường cong AB có một điểm có tọa độ (x;y). Chúng ta hãy chọn một đoạn cơ bản có độ dài dl trên đường cong chứa điểm (x;y). Khi đó khối lượng của phần này bằng g dl.
Trọng tâm của một đường cong mặt phẳng vật liệu y = ƒ(x), x Î là một điểm trên mặt phẳng có tính chất sau: nếu toàn bộ khối lượng m của một đường cong nhất định tập trung tại điểm này thì mômen tĩnh của điểm này so với bất kỳ trục tọa độ nào sẽ bằng mômen tĩnh của toàn bộ đường cong y = ƒ (x) so với cùng một trục. Chúng ta ký hiệu C(x c;y c) trọng tâm của đường cong AB.
Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của hình phẳng 
Cho một hình phẳng vật chất (tấm), giới hạn bởi đường cong y = ƒ(x) 0 và các đường thẳng y = 0, x = a, x = b (xem Hình 198).
Về bài toán tìm thể tích của một vật từ diện tích mặt cắt ngang của nó 
Độ dài cung của đường cong mặt phẳng Đặc biệt, độ dài của đường cong mặt phẳng được xác định trên mặt phẳng tọa độ OXY phương trình y = f(x), a `x ` b, được biểu thị bằng công thức S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx .
(chứng minh điều đó!). Hãy suy nghĩ cách tính diện tích của hình vẽ trên Hình 10b?
.
, Ở đâu
.
, (1)
.
Hình 15
Xét một hình thang cong MỘT AB b, giới hạn bởi một đường Tại = f(x), thẳng X = MỘT, X = b và đoạn [ Một,b] Trục OX (Hình 15). Để hình thang này quay quanh trục OX, kết quả sẽ là một vật quay. Có thể chứng minh rằng thể tích của vật này sẽ bằng 
Giải pháp. Hãy xây dựng mô hình toán học của bài toán này. Cho trục OX đi dọc theo trục đối xứng của hình trụ có chiều cao H và bán kính R, gốc tọa độ ở tâm đáy trên của hình trụ (Hình 17). Hãy chia hình trụ thành N phần nằm ngang nhỏ. Thế thì ở đâu A tôi- công việc bơm Tôi lớp thứ. Sự phân chia hình trụ này tương ứng với việc phân chia đoạn thay đổi chiều cao lớp thành N các bộ phận. Hãy xem xét một trong những lớp này nằm ở khoảng cách x tôi từ bề mặt, chiều rộng D X(hoặc ngay lập tức dx). Việc bơm ra lớp này có thể coi là “nâng” lớp này lên độ cao x tôi.
,
, và do đó 
.
Hãy xem xét Tôi phần tử thứ của phân vùng (hình trụ vô hạn). Tất cả các điểm của nó đều cách trục một khoảng R tôi. Gọi khối lượng của hình trụ này tôi, Sau đó tôi= rV Tôi» rS bên= 2prR dx tôi, Ở đâu x tôiÔ. Sau đó Tôi» R 2 prR dx tôi, Ở đâu
.
c) Xét một thanh có chiều dài tôi, có mật độ khối lượng bằng r. Cho trục quay đi qua điểm giữa của nó.
. Xét rằng khối lượng của thanh bằng , thì
d) Bây giờ cho trục quay đi qua đầu bên trái của thanh, tức là. Mô hình của thanh là một đoạn của trục OX. Sau đó tương tự, tôi= x tôi, , Ở đâu 
, và kể từ , thì .
Giải pháp.
Diện tích trong tọa độ cực
.
, Cái đó
Chiều dài cung đường cong
Khối lượng cơ thể
Diện tích bề mặt quay
