Định nghĩa và tính chất của số nguyên tố. Số tự nhiên nguyên tố

Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho chính nó và một.

Các số còn lại gọi là hợp số.

Số tự nhiên nguyên tố

Nhưng không phải tất cả số nguyên là những số nguyên tố.

Các số tự nhiên nguyên tố chỉ là những số chỉ chia hết cho chính nó và một.

Ví dụ về số nguyên tố:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

số nguyên tố

Suy ra chỉ có số tự nhiên là số nguyên tố.

Điều này có nghĩa là số nguyên tố nhất thiết phải là số tự nhiên.

Nhưng mọi số tự nhiên cũng là số nguyên.

Như vậy mọi số nguyên tố đều là số nguyên.

Ví dụ về số nguyên tố:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Số nguyên tố chẵn

Chỉ có một số nguyên tố chẵn - số hai.

Tất cả các số nguyên tố khác đều là số lẻ.

Tại sao số chẵn lớn hơn 2 không thể là số nguyên tố?

Nhưng vì bất kỳ số chẵn nào lớn hơn hai sẽ chia hết cho chính nó chứ không chia hết cho một và cho hai, tức là số đó sẽ luôn có ba ước, và có thể nhiều hơn.

Câu trả lời của Ilya đúng nhưng không chi tiết lắm. Nhân tiện, vào thế kỷ 18, số một vẫn được coi là số nguyên tố. Ví dụ, những nhà toán học vĩ đại như Euler và Goldbach. Goldbach là tác giả của một trong bảy vấn đề của thiên niên kỷ - giả thuyết Goldbach. Công thức ban đầu nêu rõ rằng bất kỳ số chẵn biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố. Hơn nữa, ban đầu 1 được coi là số nguyên tố và chúng ta thấy điều này: 2 = 1+1. Cái này ví dụ nhỏ nhất, thỏa mãn từ ngữ gốc giả thuyết. Sau đó nó đã được sửa chữa và từ ngữ trở thành cái nhìn hiện đại: “mọi số chẵn, bắt đầu bằng 4, đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố.”

Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa. Số nguyên tố là số tự nhiên p chỉ có 2 chữ số phân biệt ước số tự nhiên: chính p và 1. Hệ quả từ định nghĩa: số nguyên tố p chỉ có một ước nguyên tố - chính nó là p.

Bây giờ giả sử rằng 1 là số nguyên tố. Theo định nghĩa, một số nguyên tố chỉ có một ước số nguyên tố - chính nó. Khi đó, hóa ra bất kỳ số nguyên tố nào lớn hơn 1 đều chia hết cho một số nguyên tố khác với nó (cho 1). Nhưng hai số nguyên tố khác nhau không thể chia hết cho nhau vì nếu không thì chúng không đơn giản, nhưng hợp sô, và điều này mâu thuẫn với định nghĩa. Với cách tiếp cận này, hóa ra chỉ có 1 số nguyên tố - chính đơn vị đó. Nhưng điều này thật vô lý. Do đó, 1 không phải là số nguyên tố.

1, cũng như 0, tạo thành một lớp số khác - lớp các phần tử trung hòa đối với các phép toán n-ary trong một tập hợp con nào đó của trường đại số. Hơn nữa, đối với phép cộng, 1 còn là phần tử sinh của vành số nguyên.

Với sự xem xét này, không khó để phát hiện ra sự tương tự của các số nguyên tố trong các cấu trúc đại số khác. Giả sử chúng ta có một nhóm nhân được hình thành từ lũy thừa của 2, bắt đầu từ 1: 2, 4, 8, 16, ... v.v. 2 hoạt động như một yếu tố hình thành ở đây. Số nguyên tố trong nhóm này là số lớn hơn phần tử nhỏ nhất và chỉ chia hết cho chính nó và phần tử nhỏ nhất. Trong nhóm của chúng tôi chỉ có 4 người có đặc tính như vậy. Không còn số nguyên tố nào trong nhóm của chúng tôi.

Nếu 2 cũng là số nguyên tố trong nhóm của chúng ta, thì hãy xem đoạn đầu tiên - một lần nữa hóa ra chỉ có 2 là số nguyên tố.

Việc phân chia số tự nhiên thành số nguyên tố và hợp số được cho là do nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras thực hiện. Và nếu bạn theo Pythagoras thì tập hợp số tự nhiên có thể được chia thành ba lớp: (1) - tập hợp gồm một số - một; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – tập hợp các số nguyên tố; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – một tập hợp số.

Bộ thứ hai ẩn chứa nhiều bí ẩn khác nhau. Nhưng trước tiên, hãy tìm hiểu số nguyên tố là gì. Mở "Toán học từ điển bách khoa"(Yu. V. Prokhorov, nhà xuất bản " bách khoa toàn thư Liên Xô", 1988) và đọc:

“Số nguyên tố là số nguyên dương lớn hơn một, không có ước nào khác ngoài chính nó và một: 2,3,5,7,11,13,

Khái niệm số nguyên tố là nền tảng trong nghiên cứu tính chia hết của các số tự nhiên; cụ thể là định lý cơ bản của số học phát biểu rằng mọi số nguyên dương ngoại trừ 1 đều có thể được phân tách duy nhất thành tích của các số nguyên tố (thứ tự của các thừa số không được tính đến). Có vô số số nguyên tố (mệnh đề này, được gọi là định lý Euclid, đã được các nhà toán học Hy Lạp cổ đại biết đến; bằng chứng của nó có thể được tìm thấy trong cuốn 9 của cuốn Cơ sở của Euclid). P. Dirichlet (1837) đã chứng minh rằng trong cấp số cộng a + bx cho x = 1. ,2,c với các số nguyên tố a và b cũng chứa vô số số nguyên tố.

Để tìm số nguyên tố từ 1 đến x, người ta đã biết từ thế kỷ thứ 3. BC đ. Phương pháp sàng của Eratosthenes. Việc kiểm tra dãy (*) các số nguyên tố từ 1 đến x cho thấy rằng khi x tăng lên thì về trung bình nó trở nên hiếm hơn. Có những đoạn dài tùy ý của một dãy số tự nhiên, trong đó không có một số nguyên tố nào (Định lý 4). Đồng thời, có những số nguyên tố như vậy, hiệu của chúng bằng 2 (gọi là anh em sinh đôi). Người ta vẫn chưa biết (1987) liệu tập hợp các cặp song sinh như vậy là hữu hạn hay vô hạn. Bảng số nguyên tố trong 11 triệu số tự nhiên đầu tiên cho thấy sự hiện diện của các cặp song sinh rất lớn (ví dụ: 10,006,427 và 10,006,429).

Việc tìm ra sự phân bố của các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên là rất nhiệm vụ khó khăn Lý thuyết số. Nó được xây dựng dưới dạng nghiên cứu về hành vi tiệm cận của hàm biểu thị số lượng số nguyên tố không vượt quá số dương X. Từ định lý Euclid rõ ràng là khi nào. L. Euler giới thiệu hàm zeta vào năm 1737.

Ông cũng chứng minh rằng khi

Trong đó phép tính tổng được thực hiện trên tất cả các số tự nhiên và tích được lấy trên tất cả các số nguyên tố. Đồng nhất thức này và những khái quát hóa của nó đóng một vai trò cơ bản trong lý thuyết phân bố số nguyên tố. Dựa trên điều này, L. Euler đã chứng minh rằng chuỗi và tích của số nguyên tố p phân kỳ. Hơn nữa, L. Euler đã chứng minh rằng có “nhiều” số nguyên tố, bởi vì

Đồng thời, hầu hết tất cả các số tự nhiên đều là hợp số, vì tại.

và, đối với bất kỳ (tức là những gì phát triển như một hàm). Theo trình tự thời gian, kết quả quan trọng tiếp theo giúp cải tiến định lý Chebyshev là cái gọi là. định luật tiệm cận về phân bố các số nguyên tố (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), trong đó phát biểu rằng giới hạn của tỉ số bằng 1. Sau đó, những nỗ lực đáng kể của các nhà toán học đã được hướng tới để làm rõ tiệm cận luật phân bố số nguyên tố. Các câu hỏi về phân bố số nguyên tố được nghiên cứu và phương pháp cơ bản và các phương thức phân tích toán học».

Ở đây, việc chứng minh một số định lý được đưa ra trong bài viết là điều hợp lý.

Bổ đề 1. Nếu gcd(a, b)=1 thì tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn.

Bằng chứng. Cho a và b là các số nguyên tố cùng nhau. Xét tập J gồm tất cả các số tự nhiên z, biểu diễn dưới dạng và chọn trong đó số nhỏ nhất d.

Hãy chứng minh rằng a chia hết cho d. Chia a cho d có số dư: và đặt. Vì nó có hình thức nên

Chúng ta thấy rằng.

Vì chúng ta giả định rằng d là số nhỏ nhất trong J nên chúng ta gặp mâu thuẫn. Điều này có nghĩa là a chia hết cho d.

Chúng ta hãy chứng minh theo cách tương tự rằng b chia hết cho d. Vậy d=1. Bổ đề đã được chứng minh.

Định lý 1. Nếu hai số a và b nguyên tố cùng nhau và tích bx chia hết cho a thì x chia hết cho a.

Bằng chứng1. Ta phải chứng minh rằng ax chia hết cho b và gcd(a,b)=1 thì x chia hết cho b.

Theo Bổ đề 1 tồn tại x, y sao cho. Khi đó rõ ràng nó chia hết cho b.

Chứng minh 2. Xét tập J gồm mọi số tự nhiên z sao cho zc chia hết cho b. Gọi d là số nhỏ nhất trong J. Dễ dàng nhận thấy điều đó. Tương tự như chứng minh Bổ đề 1, chứng minh a chia hết cho d và b chia hết cho d

Bổ đề 2. Nếu các số q,p1,p2,pn là số nguyên tố và tích chia hết cho q thì một trong các số pi bằng q.

Bằng chứng. Trước hết, lưu ý rằng nếu số nguyên tố p chia hết cho q thì p=q. Điều này ngay sau phát biểu của bổ đề cho n=1. Với n=2, nó suy ra trực tiếp từ Định lý 1: nếu p1p2 chia hết cho số nguyên tố q và thì p2 chia hết cho q(i.e).

Ta sẽ chứng minh bổ đề cho n=3 như sau. Hãy chia p1 p2 p3 cho q. Nếu p3 = q thì mọi thứ đều được chứng minh. Nếu thì theo Định lý 1, p1 p2 chia hết cho q. Vì vậy, chúng ta rút gọn trường hợp n=3 thành trường hợp đã được xem xét n=2.

Theo cách tương tự, từ n=3 chúng ta có thể tiến tới n=4, rồi đến n=5, và nói chung, giả sử rằng mệnh đề n=k của bổ đề đã được chứng minh, chúng ta có thể dễ dàng chứng minh điều đó cho n=k+ 1. Điều này thuyết phục chúng ta rằng bổ đề đúng với mọi n.

Định lý cơ bản của số học. Mọi số tự nhiên đều có thể phân tích thành thừa số nguyên tố cách duy nhất.

Bằng chứng. Giả sử có hai phép phân tích số a thành thừa số nguyên tố:

Vì vế phải chia hết cho q1 nên bên tráiđẳng thức phải chia hết cho q1. Theo Bổ đề 2, một trong các số bằng q1. Chúng ta giảm cả hai vế của đẳng thức đi q1.

Hãy thực hiện lập luận tương tự cho q2, sau đó cho q3, cho qi. Cuối cùng, tất cả các yếu tố bên phải sẽ bị hủy bỏ và 1 sẽ vẫn còn. Đương nhiên, ở bên trái sẽ không còn gì ngoại trừ một. Từ đó chúng ta kết luận rằng hai khai triển này chỉ có thể khác nhau về thứ tự các thừa số. Định lý đã được chứng minh.

Định lý Euclid. Dãy số nguyên tố là vô hạn.

Bằng chứng. Giả sử dãy số nguyên tố là hữu hạn và chúng ta biểu thị số nguyên tố cuối cùng bằng chữ N. Chúng ta hãy soạn tích

Hãy thêm 1 vào nó. Chúng tôi nhận được:

Số này, là số nguyên, phải chứa ít nhất một thừa số nguyên tố, tức là nó phải chia hết cho ít nhất một số nguyên tố. Nhưng theo giả định, tất cả các số nguyên tố đều không vượt quá N, và số M+1 không chia hết mà không có số dư cho bất kỳ số nguyên tố nào nhỏ hơn hoặc bằng N - mỗi khi số dư là 1. Định lý đã được chứng minh.

Định lý 4. Các phần của hợp số giữa các số nguyên tố có thể có độ dài bất kỳ. Bây giờ ta chứng minh dãy gồm n hợp số liên tiếp.

Các số này nối tiếp nhau trong chuỗi tự nhiên, vì số tiếp theo nhiều hơn số trước 1 đơn vị. Vẫn còn phải chứng minh rằng tất cả chúng đều là hợp số.

Số đầu tiên

Số chẵn, vì cả hai số hạng của nó đều chứa thừa số 2. Và mọi số chẵn lớn hơn 2 đều là hợp số.

Số thứ hai bao gồm hai số hạng, mỗi số là bội số của 3. Điều này có nghĩa là số này là hợp số.

Theo cách tương tự, chúng tôi thiết lập rằng số tiếp theo bội số của 4, v.v. Nói cách khác, mỗi số trong chuỗi của chúng ta chứa một thừa số khác với đơn vị và chính nó; do đó nó là phức hợp. Định lý đã được chứng minh.

Sau khi nghiên cứu cách chứng minh các định lý, chúng ta tiếp tục xem xét bài viết. Văn bản của nó đề cập đến phương pháp sàng của Eratosthenes như một cách tìm số nguyên tố. Hãy đọc về phương pháp này từ cùng một từ điển:

“Sàng Eratosthenes là một phương pháp được phát triển bởi Eratosthenes cho phép bạn sàng lọc các số tổng hợp từ chuỗi tự nhiên. Bản chất của sàng Eratosthenes như sau. Đơn vị này bị gạch bỏ. Số hai là số nguyên tố. Tất cả các số tự nhiên chia hết cho 2 đều bị gạch bỏ. Số 3 – số đầu tiên không bị gạch chéo sẽ là số nguyên tố. Tiếp theo, tất cả các số tự nhiên chia hết cho 3 đều bị gạch bỏ. Số 5 - số không bị gạch chéo tiếp theo - sẽ là số nguyên tố. Tiếp tục các phép tính tương tự, bạn có thể tìm thấy một đoạn dài tùy ý của dãy số nguyên tố. Sàng Eratosthenes như phương pháp lý thuyết Nghiên cứu về lý thuyết số được phát triển bởi V. Brun (1919).

Đây số lớn nhất, hiện được biết là đơn giản:

Con số này có khoảng bảy trăm chữ số thập phân. Các phép tính xác định rằng số này là số nguyên tố được thực hiện trên các máy tính hiện đại.

“Hàm Riemann zeta, -function, là hàm giải tích của một biến phức, với σ>1 được xác định tuyệt đối và thống nhất bởi chuỗi Dirichlet hội tụ:

Với σ>1, biểu diễn dưới dạng tích Euler là hợp lệ:

(2) trong đó p chạy qua tất cả các số nguyên tố.

Danh tính của chuỗi (1) và tích (2) là một trong những tính chất chính của hàm zeta. Nó cho phép bạn có được tỷ lệ khác nhau, kết nối hàm zeta với các hàm lý thuyết số quan trọng nhất. Do đó hàm zeta đóng vai trò vai trò lớn trong lý thuyết số.

Hàm zeta được giới thiệu là hàm của một biến thực bởi L. Euler (1737, publ. 1744), người đã chỉ ra vị trí của nó trong tích (2). Sau đó hàm zeta được P. Dirichlet xem xét và đặc biệt thành công bởi P. L. Chebyshev trong việc nghiên cứu định luật phân bố số nguyên tố. Tuy nhiên, những tính chất sâu sắc nhất của hàm zeta đã được phát hiện sau công trình của B. Riemann, người lần đầu tiên vào năm 1859 coi hàm zeta là hàm của một biến phức; ký hiệu “””.

Nhưng câu hỏi đặt ra: cái gì công dụng thực tế tồn tại cho tất cả công việc này về số nguyên tố? Thật vậy, chúng hầu như không được sử dụng, nhưng có một lĩnh vực mà số nguyên tố và các tính chất của chúng vẫn được sử dụng cho đến ngày nay. Đây là mật mã. Ở đây các số nguyên tố được sử dụng trong hệ thống mã hóa mà không cần chuyển khóa.

Thật không may, đây là tất cả những gì được biết về số nguyên tố. Vẫn còn nhiều điều bí ẩn còn sót lại. Ví dụ, người ta không biết liệu tập hợp các số nguyên tố có thể biểu diễn dưới dạng hai hình vuông có phải là vô hạn hay không.

"THỦ TƯỚNG KHÓ".

Tôi quyết định thực hiện một nghiên cứu nhỏ để tìm câu trả lời cho một số câu hỏi về số nguyên tố. Trước hết, tôi đã biên soạn một chương trình tạo ra tất cả các số nguyên tố liên tiếp nhỏ hơn 1.000.000.000. Ngoài ra, tôi đã biên soạn một chương trình xác định xem số đã nhập có phải là số nguyên tố hay không. Để nghiên cứu bài toán của số nguyên tố, tôi đã xây dựng đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của giá trị số nguyên tố vào số seri BẰNG kế hoạch tương laiĐể nghiên cứu, tôi quyết định sử dụng bài báo của I. S. Zeltser và B. A. Kordemsky “Những đàn số nguyên tố thú vị”. Các tác giả đã xác định các hướng nghiên cứu sau:

1. 168 chữ số trong một nghìn số tự nhiên đầu tiên là số nguyên tố. Trong số này, 16 số là đối xứng - mỗi số bằng nghịch đảo của nó: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Chỉ có 1061 số nguyên tố có bốn chữ số và không có số nào là số đối xứng.

Có rất nhiều số nguyên tố palindromic có năm chữ số. Họ bao gồm những người đẹp như vậy: 13331, 15551, 16661, 19991. Không còn nghi ngờ gì nữa, có những đàn thuộc loại này: ,. Nhưng có bao nhiêu mẫu vật trong mỗi đàn như vậy?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Có thể thấy tổng các chữ số của các số chia hết cho 3 nên bản thân các số này cũng chia hết cho 3.

Đối với các số có dạng, trong đó các số nguyên tố là 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. Trong một nghìn số đầu tiên có năm “bộ tứ” gồm các số nguyên tố liên tiếp nhau, các chữ số cuối cùng tạo thành dãy 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Có bao nhiêu bộ tứ như vậy trong số các số nguyên tố có n chữ số cho n>3?

Sử dụng chương trình tôi viết, tìm được một bộ tứ bị tác giả bỏ sót: (479, 467, 463, 461) và bộ tứ cho n = 4, 5, 6. Với n = 4 thì có 11 bộ tứ

3. Một dãy chín số nguyên tố: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 hấp dẫn không chỉ vì nó thể hiện một cấp số cộng có hiệu là 210, mà còn bởi vì nó có thể vừa với chín số tế bào vậy những gì được hình thành Hình vuông ma thuật với hằng số bằng hiệu của hai số nguyên tố: 3119 – 2:

Số hạng tiếp theo thứ mười của cấp số đang xét, 2089, cũng là một số nguyên tố. Nếu bạn loại bỏ số 199 khỏi đàn nhưng bao gồm 2089, thì ngay cả trong bố cục này, đàn cũng có thể tạo thành một hình vuông kỳ diệu - một chủ đề cần tìm kiếm.

Cần lưu ý rằng có những hình vuông ma thuật khác bao gồm các số nguyên tố:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Hình vuông được đề xuất rất thú vị vì

1. Đó là hình vuông ma thuật 7x7;

2. Nó chứa một hình vuông ma thuật 5x5;

3. Hình vuông ma thuật 5x5 chứa hình vuông ma thuật 3x3;

4. Tất cả các hình vuông này đều có một số chung ở giữa - 3407;

5. Tất cả 49 số nằm trong một hình vuông 7x7 có số 7;

6. Tất cả 49 số có trong hình vuông 7x7 đều là số nguyên tố;

7. Mỗi số trong số 49 số có trong hình vuông 7x7 có thể được biểu diễn dưới dạng 30n + 17.

Các chương trình được sử dụng được tôi viết bằng ngôn ngữ lập trình Dev-C++ và tôi cung cấp nội dung của chúng trong phần phụ lục (xem các tệp có phần mở rộng . srr). Ngoài tất cả những điều trên, tôi đã viết một chương trình phân tách các số tự nhiên liên tiếp thành thừa số nguyên tố (xem Ước số 1. срр) và một chương trình chỉ phân tách số đã nhập thành thừa số nguyên tố (xem Ước số 2. срр). Vì các chương trình này chiếm quá nhiều không gian ở dạng biên dịch nên chỉ có văn bản của chúng được cung cấp. Tuy nhiên, bất cứ ai cũng có thể biên dịch chúng nếu họ có một chương trình phù hợp.

TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC LIÊN QUAN VÀO VẤN ĐỀ SỐ NGƯỢC

EUCLIDES

(khoảng năm 330 trước Công nguyên – khoảng năm 272 trước Công nguyên)

Rất ít thông tin đáng tin cậy được lưu giữ về cuộc đời của nhà toán học nổi tiếng nhất thời Cổ đại. Người ta tin rằng ông đã học ở Athens, điều này giải thích cho khả năng thông thạo hình học xuất sắc của ông, được phát triển bởi trường phái Plato. Tuy nhiên, rõ ràng là ông không quen thuộc với các tác phẩm của Aristotle. Ông dạy học ở Alexandria, nơi ông kiếm được đánh giá cao của anh ấy hoạt động sư phạm dưới thời trị vì của Ptolemy I Soter. Có một truyền thuyết kể rằng vị vua này yêu cầu ông phải tìm ra cách để đạt được thành công nhanh chóng trong toán học, Euclid trả lời rằng không có con đường hoàng gia nào trong hình học (tuy nhiên, một câu chuyện tương tự cũng được kể về Menchem, người được cho là đã hỏi về tương tự của Alexander Đại đế). Truyền thống đã lưu giữ ký ức về Euclid là người nhân từ và người khiêm tốn. Euclid - tác giả của các chuyên luận về chủ đề đa dạng, nhưng tên của ông chủ yếu gắn liền với một trong những chuyên luận có tên “Các nguyên tắc”. Nó kể về một bộ sưu tập các tác phẩm của các nhà toán học làm việc trước ông (nổi tiếng nhất trong số đó là Hippocrates of Kos), kết quả mà ông đạt được sự hoàn hảo nhờ khả năng khái quát hóa và làm việc chăm chỉ.

EULER LEONARD

(Basel, Thụy Sĩ 1707 – St. Petersburg, 1783)

Nhà toán học, cơ khí và vật lý. Sinh ra trong gia đình của một mục sư nghèo, Paul Euler. Đầu tiên ông nhận được sự giáo dục từ cha mình và vào năm 1720–24 tại Đại học Basel, nơi ông tham dự các bài giảng về toán học của I. Bernoulli.

Cuối năm 1726, Euler được mời đến Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg và vào tháng 5 năm 1727 ông tới St. Petersburg. Trong học viện mới được tổ chức, Euler tìm thấy điều kiện thuận lợi Vì hoạt động khoa học, điều này cho phép anh bắt đầu nghiên cứu toán học và cơ học ngay lập tức. Trong 14 năm của thời kỳ St. Petersburg đầu tiên của cuộc đời mình, Euler đã chuẩn bị khoảng 80 tác phẩm để xuất bản và xuất bản hơn 50 tác phẩm. Tại St. Petersburg, ông học tiếng Nga.

Euler tham gia vào nhiều lĩnh vực hoạt động của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg. Ông giảng bài cho học sinh đại học hàn lâm, tham gia nhiều hoạt động khác nhau chuyên môn kỹ thuật, đã làm công việc biên soạn các bản đồ của Nga, đã viết cuốn “Sổ tay về số học” (1738–40) được công bố rộng rãi. Theo chỉ dẫn đặc biệt của Học viện, Euler đã chuẩn bị xuất bản cuốn “Khoa học biển” (1749) - công việc cơ bản về lý thuyết đóng tàu và điều hướng.

Năm 1741 Euler chấp nhận lời đề nghị vua Phổ Frederick II chuyển đến Berlin, nơi diễn ra việc tổ chức lại Viện Hàn lâm Khoa học. Tại Học viện Khoa học Berlin, Euler đảm nhận chức vụ trưởng lớp toán và là thành viên hội đồng quản trị, và sau cái chết của chủ tịch đầu tiên P. Maupertuis, trong vài năm (từ 1759), ông đã thực sự lãnh đạo học viện. Trong 25 năm sống ở Berlin, ông đã biên soạn khoảng 300 tác phẩm, trong đó có một số chuyên khảo lớn.

Khi sống ở Berlin, Euler đã không ngừng làm việc tích cực cho Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, duy trì danh hiệu thành viên danh dự. Ông đã tiến hành trao đổi thư từ rộng rãi về khoa học và tổ chức khoa học, đặc biệt là ông đã trao đổi thư từ với M. Lomonosov, người mà ông đánh giá cao. Euler biên tập khoa toán học của Viện hàn lâm Nga cơ quan khoa học, trong thời gian này, ông đã xuất bản nhiều bài báo gần như trong “Hồi ký” của Viện Hàn lâm Khoa học Berlin. Ông tích cực tham gia đào tạo các nhà toán học Nga; Các học giả tương lai S. Kotelnikov, S. Rumovsky và M. Sofronov đã được gửi đến Berlin để học dưới sự lãnh đạo của ông. Euler đã hỗ trợ rất nhiều cho Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, giúp Viện có được tài liệu khoa học và trang thiết bị, đàm phán với ứng viên cho các vị trí trong học viện, v.v.

Ngày 17 (28) tháng 7 năm 1766 Euler cùng gia đình trở về St. Petersburg. Bất chấp tuổi cao và tình trạng gần như mù lòa hoàn toàn, ông vẫn làm việc hiệu quả cho đến cuối đời. Trong 17 năm học trung học ở St. Petersburg, ông đã chuẩn bị khoảng 400 tác phẩm, trong đó có một số tác phẩm. những cuốn sách lớn. Euler tiếp tục tham gia vào công việc tổ chức của học viện. Năm 1776, ông là một trong những chuyên gia về dự án cầu một vòm bắc qua sông Neva do I. Kulibin đề xuất, và trong toàn bộ ủy ban, ông là người duy nhất ủng hộ rộng rãi cho dự án.

Công lao của Euler với tư cách là một nhà khoa học và nhà tổ chức lớn nghiên cứu khoa học nhận được nhiều lời khen ngợi trong suốt cuộc đời của mình. Ngoài các học viện St. Petersburg và Berlin, ông còn là thành viên của học viện lớn nhất cơ quan khoa học: Viện Hàn lâm Khoa học Paris, Luân Đôn Hiệp hội Hoàng gia và những người khác.

Một trong những khía cạnh đặc biệt trong công việc của Euler là năng suất vượt trội của ông. Chỉ trong cuộc đời của ông, khoảng 550 cuốn sách và bài báo của ông đã được xuất bản (danh sách các tác phẩm của Euler có khoảng 850 đầu sách). Năm 1909, Hiệp hội Khoa học Tự nhiên Thụy Sĩ bắt đầu xuất bản cuộc họp đầy đủ Tác phẩm của Euler được hoàn thành năm 1975; nó bao gồm 72 tập. Những thư từ khoa học khổng lồ của Euler (khoảng 3.000 lá thư) cũng rất được quan tâm; cho đến nay nó chỉ được xuất bản một phần.

Phạm vi hoạt động của Euler rộng một cách bất thường, bao gồm tất cả các lĩnh vực toán học và cơ học đương đại, lý thuyết đàn hồi, vật lý toán học, quang học, lý thuyết âm nhạc, lý thuyết máy, đạn đạo, khoa học biển, kinh doanh bảo hiểm, v.v. Khoảng 3/5 công trình của Euler liên quan đến toán học, 2/5 còn lại chủ yếu liên quan đến các ứng dụng của nó. Nhà khoa học đã hệ thống hóa các kết quả của mình và kết quả mà những người khác thu được trong một số chuyên khảo cổ điển, được viết với độ rõ ràng đáng kinh ngạc và cung cấp các ví dụ có giá trị. Ví dụ, đó là “Cơ học, hay Khoa học về chuyển động, được giải thích bằng phương pháp phân tích” (1736), “Giới thiệu về phân tích” (1748), “Phép tính vi phân” (1755), “Lý thuyết về chuyển động”. chất rắn"(1765), "Số học phổ quát" (1768–69), trải qua khoảng 30 lần xuất bản bằng 6 ngôn ngữ, "Phép tính tích phân" (1768–94), v.v. Vào thế kỷ 18. và một phần vào thế kỷ 19. “Những bức thư về các vấn đề vật lý và triết học khác nhau, được viết cho một số công chúa Đức. "(1768–74), trải qua hơn 40 lần xuất bản bằng 10 ngôn ngữ. Hầu hết nội dung các chuyên khảo của Euler sau đó được đưa vào các sách giáo khoa dành cho giáo dục đại học và một phần Trung học phổ thông. Không thể liệt kê hết các định lý, phương pháp và công thức Euler vẫn còn được sử dụng, trong đó chỉ có một số ít xuất hiện trong tài liệu mang tên ông [ví dụ, phương pháp đường đứt nét Euler, phép thế Euler, hằng số Euler, phương trình Euler, công thức Euler, Hàm Euler, số Euler, công thức Euler - Maclaurin, công thức Euler–Fourier, đặc tính Euler, tích phân Euler, góc Euler].

Trong Cơ học, Euler lần đầu tiên phác thảo động lực học của một điểm bằng phân tích toán học: phong trào tự do các điểm chịu ảnh hưởng của các lực khác nhau cả trong tánh không và trong môi trường có lực cản; chuyển động của một điểm dọc theo một đường hoặc bề mặt nhất định; chuyển động dưới tác dụng của các lực trung tâm. Năm 1744, ông lần đầu tiên xây dựng chính xác nguyên lý cơ học tác dụng tối thiểu và cho thấy những ứng dụng đầu tiên của nó. Trong Lý thuyết chuyển động của vật rắn, Euler đã phát triển động học và động lực học của vật rắn và đưa ra các phương trình cho chuyển động quay của nó quanh một điểm cố định, đặt nền tảng cho lý thuyết về con quay hồi chuyển. Trong lý thuyết về con tàu, Euler đã có những đóng góp có giá trị cho lý thuyết về sự ổn định. Những khám phá của Euler về cơ học thiên thể (ví dụ, trong lý thuyết về chuyển động của Mặt trăng), cơ học sự liên tục(các phương trình chuyển động cơ bản chất lỏng lý tưởngở dạng Euler và trong cái gọi là. Các biến Lagrange, dao động khí trong đường ống, v.v.). Trong quang học, Euler đã đưa ra (1747) công thức cho thấu kính hai mặt lồi và đề xuất phương pháp tính chiết suất của môi trường. Euler tuân thủ lý thuyết sóng Sveta. Anh ấy tin rằng màu sắc khác nhau trao đổi thư tín độ dài khác nhau sóng ánh sáng. Euler đề xuất các phương pháp loại bỏ quang sai màu của thấu kính và đưa ra phương pháp tính toán các thành phần quang học của kính hiển vi. Euler đã dành một loạt công trình phong phú, bắt đầu từ năm 1748, để vật lý toán học: các vấn đề về dao động của dây, tấm, màng, v.v. Tất cả những nghiên cứu này đã kích thích sự phát triển của lý thuyết phương trình vi phân, phương pháp phân tích gần đúng, thông số kỹ thuật. hàm số, hình học vi phân, v.v. Nhiều khám phá toán họcÝ tưởng của Euler được chứa đựng chính xác trong những tác phẩm này.

Công việc chính của Euler với tư cách là một nhà toán học là phát triển phương pháp phân tích toán học. Ông đã đặt nền móng cho một số ngành toán học vốn chỉ ở dạng thô sơ hoặc hoàn toàn không có trong phép tính vi phân của I. Newton, G. Leibniz và anh em nhà Bernoulli. Vì vậy, Euler là người đầu tiên giới thiệu các hàm của một đối số phức và nghiên cứu các tính chất của các hàm cơ bản cơ bản của một biến phức (hàm số mũ, hàm logarit và hàm lượng giác); đặc biệt, ông đã đưa ra các công thức kết nối hàm lượng giác với sự biểu tình. Công trình của Euler theo hướng này đã đặt nền móng cho lý thuyết về hàm số phức.

Euler là người sáng tạo ra phép tính biến phân, được trình bày trong tác phẩm “Phương pháp tìm các đường cong có tính chất cực đại hoặc cực tiểu. "(1744). Phương pháp mà Euler sử dụng vào năm 1744 Điều kiện cần thiết Cực trị của hàm số - phương trình Euler, là nguyên mẫu của các phương pháp tính trực tiếp phép tính biến phân của thế kỷ 20. Euler đã tạo ra cách kỷ luật độc lập lý thuyết về phương trình vi phân thường và đặt nền móng cho lý thuyết về phương trình vi phân từng phần. Tại đây, ông đã có rất nhiều khám phá: phương pháp cổ điển để giải Các phương trình tuyến tính Với hệ số không đổi, phương pháp biến đổi các hằng số tùy ý, làm rõ các tính chất cơ bản của phương trình Riccati, tích phân phương trình tuyến tính với các hệ số biến đổi sử dụng chuỗi vô hạn, tiêu chí giải pháp đặc biệt, lý thuyết về hệ số tích phân, các phương pháp gần đúng khác nhau và một số kỹ thuật để giải phương trình vi phân từng phần. Euler đã thu thập một phần đáng kể những kết quả này trong cuốn “Phép tính tích phân” của mình.

Euler cũng làm phong phú thêm sự khác biệt và Tích phân tích V. theo nghĩa hẹp từ (ví dụ: học thuyết về sự biến đổi, định lý về hàm số đồng nhất, khái niệm tích phân kép và tính nhiều tích phân đặc biệt). TRONG " phép tính vi phân"Euler bày tỏ và ủng hộ bằng các ví dụ niềm tin của ông vào tính khả thi của việc sử dụng chuỗi phân kỳ và đề xuất các phương pháp tính tổng tổng quát của các chuỗi, dự đoán các ý tưởng của lý thuyết chặt chẽ hiện đại về chuỗi phân kỳ, được tạo ra trên bước sang thế kỷ 19 và thế kỷ 20 Ngoài ra, Euler còn thu được nhiều kết quả cụ thể về lý thuyết chuỗi. Ông đã phát hiện ra cái gọi là. công thức tính tổng Euler–Maclaurin, đề xuất phép biến đổi chuỗi mang tên ông, xác định tổng của một số lượng lớn các chuỗi và đưa những chuỗi mới vào toán học các loại quan trọng hàng (ví dụ: chuỗi lượng giác). Điều này cũng bao gồm nghiên cứu của Euler về lý thuyết phân số liên tục và các quá trình vô hạn khác.

Euler là người sáng lập lý thuyết Chức năng đặc biệt. Ông là người đầu tiên coi sin và cos là các hàm chứ không phải là các đoạn trong một đường tròn. Ông đã thu được hầu hết các khai triển cổ điển của các hàm cơ bản thành chuỗi và tích vô hạn. Tác phẩm của ông đã tạo ra lý thuyết về hàm γ. Ông nghiên cứu các tính chất của tích phân elip, hàm hyperbol và hàm trụ, hàm ζ, một số hàm θ, logarit tích phân và các lớp quan trọng của đa thức đặc biệt.

Theo P. Chebyshev, Euler đã đặt nền móng cho mọi nghiên cứu tạo nên phần chung Lý thuyết số. Như vậy, Euler đã chứng minh một số phát biểu của P. Fermat (ví dụ định lý nhỏ Fermat), phát triển nền tảng của lý thuyết thặng dư lũy thừa và lý thuyết dạng bậc hai, đã phát hiện (nhưng không chứng minh được) định luật tương hỗ bậc hai và nghiên cứu một số vấn đề trong giải tích Diophantine. Trong các công trình về chia số thành các số hạng và lý thuyết số nguyên tố, Euler là người đầu tiên sử dụng các phương pháp phân tích, từ đó trở thành người tạo ra lý thuyết phân tích số. Đặc biệt, ông đã giới thiệu hàm ζ và chứng minh cái gọi là. Đẳng thức Euler nối số nguyên tố với mọi số tự nhiên.

Euler cũng đạt được những thành tựu to lớn trong các lĩnh vực toán học khác. Về đại số, ông viết các công trình về giải phương trình căn thức bằng cấp cao hơn và về các phương trình có hai ẩn số, cũng như cái gọi là. Đẳng thức bốn bình phương của Euler. Euler đã đạt được tiến bộ đáng kể hình học giải tích, đặc biệt là học thuyết về bề mặt bậc hai. Trong hình học vi phân, ông đã nghiên cứu chi tiết các tính chất đường trắc địa, lần đầu tiên được sử dụng phương trình tự nhiênđường cong, và quan trọng nhất, đã đặt nền móng cho lý thuyết về bề mặt. Ông đưa ra khái niệm về các hướng chính tại một điểm trên một bề mặt, chứng minh tính trực giao của chúng, rút ​​ra công thức tính độ cong của bất kỳ phần pháp tuyến nào, bắt đầu nghiên cứu các bề mặt có thể phát triển được, v.v.; trong một tác phẩm được xuất bản sau khi ông mất (1862), ông đã dự đoán một phần nghiên cứu của K. Gauss về hình học bên trong của các bề mặt. Euler đã nghiên cứu và vấn đề riêng biệt cấu trúc liên kết và đã chứng minh, ví dụ, định lý quan trọngồ khối đa diện lồi. Nhà toán học Euler thường được mô tả là một “máy tính” xuất sắc. Quả thực, anh ấy đã bậc thầy vượt trội tính toán và biến đổi hình thức, trong tác phẩm của ông có nhiều công thức toán học và hệ thống ký hiệu nhận được một diện mạo hiện đại (ví dụ, ông sở hữu các ký hiệu cho e và π). Tuy nhiên, Euler cũng đưa một số ý tưởng sâu sắc vào khoa học, hiện nay đã được chứng minh chặt chẽ và được coi là một ví dụ về mức độ thâm nhập sâu vào chủ đề nghiên cứu.

Theo P. Laplace, Euler là thầy của các nhà toán học thế kỷ thứ hai một nửa thế kỷ XVIII V.

DIRIHLET PETER GUSTAV

(Düren, nay là Đức, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

Học tại Paris, được hỗ trợ quan hệ hữu nghị Với nhà toán học xuất sắc, đặc biệt là với Fourier. Khi nhận được Bằng khoa học là giáo sư tại các trường đại học Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) và Göttingen, nơi ông trở thành trưởng khoa toán học sau cái chết của nhà khoa học Carl Friedrich Gauss. Nhât của anh ây đóng góp nổi bật trong khoa học liên quan đến lý thuyết số, chủ yếu là nghiên cứu về chuỗi. Điều này cho phép ông phát triển lý thuyết về chuỗi do Fourier đề xuất. Tạo phiên bản riêng chứng minh định lý Fermat, sử dụng hàm giải tích để giải các bài toán số học và giới thiệu tiêu chí hội tụ cho chuỗi. Trong lĩnh vực phân tích toán học, ông đã cải thiện định nghĩa và khái niệm về hàm số, trong lĩnh vực cơ học lý thuyết tập trung vào nghiên cứu tính ổn định của hệ thống và khái niệm thế năng của Newton.

CHEBYSHEV PAFNUTY LVOVICH

Nhà toán học người Nga, người tạo ra St. Petersburg trường khoa học, Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg (1856). Các công trình của Chebyshev đã đặt nền móng cho sự phát triển của nhiều ngành toán học mới.

Nhiều công trình nhất của Chebyshev là trong lĩnh vực phân tích toán học. Đặc biệt, một luận án về quyền giảng dạy đã được đề tặng cho ông, trong đó Chebyshev đã nghiên cứu tính tích hợp của một số biểu thức vô lý trong các hàm đại số và logarit. Chebyshev cũng cống hiến một số công trình khác cho việc tích hợp các hàm đại số. Trong một trong số đó (1853), người ta đã thu được một định lý nổi tiếng về các điều kiện tích phân trong hàm cơ bản nhị thức vi phân. Hướng quan trọng nghiên cứu về phân tích toán học bao gồm các công trình của ông về việc xây dựng lý thuyết tổng quátđa thức trực giao. Lý do cho sự ra đời của nó là phép nội suy parabol bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất. Nghiên cứu của Chebyshev về bài toán mômen và công thức cầu phương cũng gần với những ý tưởng tương tự. Với mục đích giảm bớt tính toán, Chebyshev đề xuất (1873) xem xét các công thức cầu phương với tỷ lệ cược bằng nhau(tích hợp gần đúng). Nghiên cứu về công thức cầu phương và lý thuyết nội suy có liên quan chặt chẽ đến các nhiệm vụ được đặt ra cho Chebyshev trong khoa pháo binh của ủy ban khoa học quân sự.

Trong lý thuyết xác suất, Chebyshev được ghi nhận là người đã giới thiệu một cách có hệ thống biến ngẫu nhiên và việc tạo ra một kỹ thuật mới để chứng minh các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất - cái gọi là. phương pháp khoảnh khắc (1845, 1846, 1867, 1887). Họ đã chứng minh số lượng lớn luật pháp rất hình thức chung; Hơn nữa, chứng minh của ông gây ấn tượng ở tính đơn giản và cơ bản của nó. Nghiên cứu điều kiện hội tụ hàm phân bố của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập với luật thông thường Chebyshev đã không hoàn thành nó một cách đầy đủ. Tuy nhiên, nhờ bổ sung thêm một số phương pháp của Chebyshev, A. A. Markov đã làm được điều này. Không đưa ra kết luận chặt chẽ nào, Chebyshev cũng vạch ra khả năng làm sáng tỏ điều này. định lý giới hạn dưới dạng khai triển tiệm cận của hàm phân bố của tổng các số hạng độc lập theo lũy thừa n¾1/2, trong đó n là số số hạng. Công trình của Chebyshev về lý thuyết xác suất có giá trị giai đoạn quan trọng trong sự phát triển của nó; Ngoài ra, chúng còn là cơ sở để trường phái lý thuyết xác suất của Nga phát triển, ban đầu bao gồm các sinh viên trực tiếp của Chebyshev.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselenz, Lower Saxony, 1826 - Selaska, gần Intra, Ý 66)

Nhà toán học người Đức. Năm 1846, ông vào Đại học Göttingen: ông nghe các bài giảng của K. Gauss, nhiều ý tưởng trong số đó đã được ông phát triển sau này. Năm 1847–49 ông tham dự các bài giảng ở Đại học Berlin; năm 1849, ông trở lại Göttingen, nơi ông trở nên thân thiết với cộng tác viên của Gauss, nhà vật lý W. Weber, người đã khơi dậy trong ông mối quan tâm sâu sắc đến các câu hỏi về khoa học toán học.

Năm 1851, ông bảo vệ luận án tiến sĩ “Cơ sở của lý thuyết tổng quát về hàm một biến phức”. Từ năm 1854, tư nhân, từ năm 1857, giáo sư tại Đại học Göttingen.

Công trình của Riemann có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của toán học thứ 2 nửa thế kỷ 19 V. và trong thế kỷ 20. Trong luận án tiến sĩ của mình, Riemann đã đặt nền móng cho phương hướng hình học của lý thuyết chức năng phân tích; ông đã giới thiệu cái gọi là bề mặt Riemann, rất quan trọng trong việc nghiên cứu các hàm đa giá trị, đã phát triển lý thuyết về ánh xạ tuân thủ và liên quan đến vấn đề này, ông đã đưa ra những ý tưởng cơ bản về cấu trúc liên kết, nghiên cứu các điều kiện cho sự tồn tại của các hàm phân tích. bên trong miền nhiều loại khác nhau(còn gọi là nguyên lý Dirichlet), v.v. Các phương pháp do Riemann phát triển đã được sử dụng rộng rãi trong các công trình tiếp theo của ông về lý thuyết hàm đại số và tích phân, lý thuyết giải tích các phương trình vi phân (đặc biệt là các phương trình xác định hàm siêu hình học), trên lý thuyết số phân tích (ví dụ, Riemann đã chỉ ra mối liên hệ giữa sự phân bố của các số nguyên tố và tính chất của hàm ζ, đặc biệt với sự phân bố các số 0 của nó trong vùng phức - cái gọi là giả thuyết Riemann, tính hợp lệ của nó chưa được chứng minh), v.v.

Trong một số công trình, Riemann đã nghiên cứu khả năng phân tách các hàm thành chuỗi lượng giác và, liên quan đến điều này, đã xác định được sự cần thiết và đủ điều kiện tính tích phân theo nghĩa Riemannian, điều này rất quan trọng đối với lý thuyết về tập hợp và hàm của một biến thực. Riemann cũng đề xuất các phương pháp tích phân các phương trình vi phân từng phần (ví dụ, sử dụng cái gọi là bất biến Riemann và hàm Riemann).

Trong bài giảng nổi tiếng năm 1854 “Về các giả thuyết làm nền tảng cho hình học” (1867), Riemann đã đưa ra một ý tưởng tổng quát về không gian toán học (theo cách nói của ông là “đa tạp”), bao gồm không gian hàm và không gian tôpô. Ở đây ông xem xét hình học trong theo nghĩa rộng như học thuyết về đa tạp n chiều liên tục, tức là các tập hợp bất kỳ vật thể đồng nhất và khái quát hóa các kết quả của Gauss về hình học bên trong của bề mặt, đã cho khái niệm chung phần tử tuyến tính (vi phân khoảng cách giữa các điểm của đa tạp), từ đó xác định cái được gọi là không gian Finsler. Chi tiết hơn, Riemann đã xem xét cái gọi là không gian Riemannian, khái quát hóa các không gian của hình học elip Euclide, lobachevsky và Riemannian, đặc trưng bởi loại đặc biệt phần tử tuyến tính, và phát triển học thuyết về độ cong của chúng. Thảo luận về việc áp dụng các ý tưởng của mình vào không gian vật lý, Riemann đặt ra câu hỏi về “nguyên nhân của các tính chất số liệu” của nó, như thể đoán trước những gì đã được thực hiện trong lý thuyết tương đối rộng.

Những ý tưởng và phương pháp do Riemann đề xuất đã mở ra những con đường mới trong sự phát triển của toán học và tìm thấy ứng dụng trong cơ học và lý thuyết tương đối tổng quát. Nhà khoa học qua đời năm 1866 vì bệnh lao.

• Dịch

Tính chất của số nguyên tố lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà toán học Hy Lạp cổ đại. Các nhà toán học thuộc trường phái Pythagore (500 - 300 trước Công nguyên) chủ yếu quan tâm đến các tính chất thần bí và số học của số nguyên tố. Họ là những người đầu tiên đưa ra ý tưởng về những con số hoàn hảo và thân thiện.

Một số hoàn hảo có tổng các ước của nó bằng chính nó. Ví dụ: Các ước thực sự của số 6 là 1, 2 và 3. 1 + 2 + 3 = 6. Các ước số của số 28 là 1, 2, 4, 7 và 14. Hơn nữa, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Các số được gọi là thân thiện nếu tổng các ước số thực sự của một số bằng số khác và ngược lại - ví dụ: 220 và 284. Chúng ta có thể nói rằng một số hoàn hảo là thân thiện với chính nó.

Vào thời điểm cuốn Cơ sở của Euclid vào năm 300 trước Công nguyên. một số đã được chứng minh sự thật quan trọng về số nguyên tố. Trong Quyển IX của Cơ Bản, Euclid đã chứng minh rằng số nguyên tố số lượng vô hạn. Nhân tiện, đây là một trong những ví dụ đầu tiên về việc sử dụng chứng minh bằng phản chứng. Ông cũng chứng minh Định lý cơ bản của số học - mọi số nguyên có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tích của các số nguyên tố.

Ông cũng chỉ ra rằng nếu số 2n-1 là số nguyên tố thì số 2n-1 * (2n-1) sẽ hoàn hảo. Một nhà toán học khác, Euler, đã có thể chứng minh vào năm 1747 rằng thậm chí những con số hoàn hảo có thể được viết dưới dạng này. Cho đến ngày nay người ta vẫn chưa biết liệu số hoàn hảo lẻ có tồn tại hay không.

Vào năm 200 trước Công nguyên. Eratosthenes của Hy Lạp đã đưa ra một thuật toán để tìm các số nguyên tố được gọi là Sàng Eratosthenes.

Và sau đó có một bước đột phá lớn trong lịch sử nghiên cứu số nguyên tố gắn liền với thời Trung cổ.

Những khám phá sau đây đã được nhà toán học Fermat thực hiện vào đầu thế kỷ 17. Ông đã chứng minh phỏng đoán của Albert Girard rằng bất kỳ số nguyên tố nào có dạng 4n+1 đều có thể được viết duy nhất dưới dạng tổng của hai bình phương, đồng thời ông cũng đưa ra định lý rằng bất kỳ số nào cũng có thể được viết dưới dạng tổng của bốn bình phương.

Ông đã phát triển phương pháp mới phân tích nhân tử của các số lớn và chứng minh nó trên số 2027651281 = 44021 × 46061. Ông cũng chứng minh Định lý nhỏ Fermat: nếu p là số nguyên tố thì với mọi số nguyên a, a p = a modulo p sẽ đúng.

Tuyên bố này chứng minh một nửa những gì được gọi là " Giả thuyết Trung Quốc", và có niên đại cách đây 2000 năm: một số nguyên n là số nguyên tố khi và chỉ khi 2 n -2 chia hết cho n. Phần thứ hai của giả thuyết hóa ra là sai - ví dụ: 2.341 - 2 chia hết cho 341, mặc dù số 341 là hợp số: 341 = 31 × 11.

Định lý nhỏ của Fermat được dùng làm cơ sở cho nhiều kết quả khác trong lý thuyết số và các phương pháp kiểm tra xem các số có phải là số nguyên tố hay không - nhiều kết quả trong số đó vẫn được sử dụng cho đến ngày nay.

Fermat trao đổi thư từ rất nhiều với những người cùng thời với ông, đặc biệt là với một tu sĩ tên là Maren Mersenne. Trong một lá thư của mình, ông đã đưa ra giả thuyết rằng các số có dạng 2 n +1 sẽ luôn là số nguyên tố nếu n là lũy thừa của hai. Ông đã kiểm tra điều này với n = 1, 2, 4, 8 và 16, và tin chắc rằng trong trường hợp n không phải là lũy thừa của 2 thì số đó không nhất thiết phải là số nguyên tố. Những số này được gọi là số Fermat, và chỉ 100 năm sau Euler chứng tỏ rằng số tiếp theo, 2 32 + 1 = 4294967297, chia hết cho 641, và do đó không phải là số nguyên tố.

Các số có dạng 2 n - 1 cũng là chủ đề nghiên cứu, vì dễ dàng chứng minh rằng nếu n là hợp số thì bản thân số đó cũng là hợp số. Những con số này được gọi là số Mersenne vì ông đã nghiên cứu chúng rất kỹ lưỡng.

Nhưng không phải tất cả các số có dạng 2 n - 1, trong đó n là số nguyên tố, đều là số nguyên tố. Ví dụ: 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Điều này được phát hiện lần đầu tiên vào năm 1536.

Trong nhiều năm, những con số kiểu này đã cung cấp cho các nhà toán học những số nguyên tố lớn nhất được biết đến. M 19 đó đã được Cataldi chứng minh vào năm 1588, và trong 200 năm là số nguyên tố lớn nhất được biết đến, cho đến khi Euler chứng minh được rằng M 31 cũng là số nguyên tố. Kỷ lục này tồn tại thêm một trăm năm nữa, và sau đó Lucas chỉ ra rằng M 127 là số nguyên tố (và đây đã là một số có 39 chữ số), và sau đó nghiên cứu tiếp tục với sự ra đời của máy tính.

Năm 1952, tính nguyên tố của các số M 521, M 607, M 1279, M 2203 và M 2281 đã được chứng minh.

Đến năm 2005, 42 số nguyên tố Mersenne đã được tìm thấy. Số lớn nhất trong số đó, M 25964951, bao gồm 7816230 chữ số.

Công trình của Euler có tác động rất lớn đến lý thuyết số, trong đó có số nguyên tố. Ông đã mở rộng Định lý nhỏ Fermat và giới thiệu hàm φ. Phân tích số Fermat thứ 5 2 32 +1, tìm ra 60 cặp số thân thiện và xây dựng (nhưng không thể chứng minh) định luật nghịch đảo bậc hai.

Ông là người đầu tiên giới thiệu các phương pháp phân tích toán học và phát triển lý thuyết phân tích những con số. Ông đã chứng minh rằng không chỉ chuỗi điều hòa ∑ (1/n), mà còn cả chuỗi có dạng

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Kết quả thu được bằng tổng các nghịch đảo của các số nguyên tố cũng phân kỳ. Tổng của n số hạng chuỗi điều hòa tăng lên xấp xỉ log(n) và hàng thứ hai phân kỳ chậm hơn khi log[ log(n) ]. Điều này có nghĩa là, ví dụ, tổng nghịch đảo của tất cả các số nguyên tố được tìm thấy cho đến nay sẽ chỉ cho 4, mặc dù chuỗi vẫn phân kỳ.

Thoạt nhìn, có vẻ như các số nguyên tố được phân bố khá ngẫu nhiên giữa các số nguyên. Ví dụ: trong số 100 số ngay trước 10000000 có 9 số nguyên tố và trong số 100 số ngay sau giá trị này chỉ có 2. Nhưng trên các phân số lớn, các số nguyên tố được phân bố khá đồng đều. Legendre và Gauss giải quyết các vấn đề về phân phối của họ. Gauss từng nói với một người bạn rằng trong 15 phút rảnh rỗi ông luôn đếm số số nguyên tố trong 1000 số tiếp theo. Đến cuối đời, ông đã đếm được tất cả các số nguyên tố lên tới 3 triệu. Legendre và Gauss tính toán như nhau rằng với n lớn thì mật độ nguyên tố là 1/log(n). Legendre ước tính số lượng các số nguyên tố trong khoảng từ 1 đến n là

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Và Gauss giống như tích phân logarit

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Với khoảng tích phân từ 2 đến n.

Phát biểu về mật độ của các số nguyên tố 1/log(n) được gọi là Định lý phân phối nguyên tố. Họ đã cố gắng chứng minh điều đó trong suốt thế kỷ 19 và Chebyshev và Riemann đã đạt được tiến bộ. Họ kết nối nó với giả thuyết Riemann, một giả thuyết vẫn chưa được chứng minh về sự phân bố các số 0 của hàm Riemann zeta. Mật độ của các số nguyên tố đã được chứng minh đồng thời bởi Hadamard và Vallée-Poussin vào năm 1896.

Vẫn còn nhiều câu hỏi chưa được giải đáp trong lý thuyết số nguyên tố, một số câu hỏi đã tồn tại hàng trăm năm tuổi:

• Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi nói về vô số cặp số nguyên tố khác nhau 2
• Giả thuyết Goldbach: bất kỳ số chẵn nào, bắt đầu bằng 4, đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố
• Có vô số số nguyên tố có dạng n 2 + 1 không?
• Có phải luôn luôn tìm được số nguyên tố nằm giữa n 2 và (n + 1) 2 không? (việc luôn có số nguyên tố nằm giữa n và 2n đã được Chebyshev chứng minh)
• Số số nguyên tố Fermat có phải là vô hạn không? Có số nguyên tố Fermat nào sau 4 không?
• nó tồn tại cấp số cộng các số nguyên tố liên tiếp cho bất kỳ chiều dài nhất định? ví dụ: đối với độ dài 4: 251, 257, 263, 269. Độ dài tối đa được tìm thấy là 26.
• Có vô số bộ ba số nguyên tố liên tiếp trong một cấp số cộng không?
• n 2 - n + 41 là số nguyên tố khi 0 ≤ n ≤ 40. Có vô số số nguyên tố như vậy không? Câu hỏi tương tự cho công thức n 2 - 79 n + 1601. Những số này là số nguyên tố với 0 ≤ n ≤ 79.
• Có vô số số nguyên tố có dạng n# + 1 không? (n# là kết quả của phép nhân tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn n)
• Có vô số số nguyên tố có dạng n# -1 không?
• Có vô số số nguyên tố dạng n không? + 1?
• Có vô số số nguyên tố dạng n không? - 1?
• nếu p là số nguyên tố thì có phải 2 p -1 luôn không chứa các số nguyên tố trong số các thừa số của nó không?
• dãy Fibonacci có chứa vô số số nguyên tố không?

Các số nguyên tố sinh đôi lớn nhất là 2003663613 × 2 195000 ± 1. Chúng bao gồm 58711 chữ số và được phát hiện vào năm 2007.

Số nguyên tố giai thừa lớn nhất (thuộc loại n! ± 1) là 147855! - 1. Nó bao gồm 142891 chữ số và được tìm thấy vào năm 2002.

Số nguyên tố nguyên tố lớn nhất (một số có dạng n# ± 1) là 1098133# + 1.