Trong khoảng thời gian nào thì hàm số tăng? Chức năng tăng giảm

Cực trị của hàm

Định nghĩa 2

Một điểm $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm $f(x)$ nếu có một lân cận của điểm này sao cho với mọi $x$ trong lân cận này thì bất đẳng thức $f(x)\le f(x_0) $ giữ.

Định nghĩa 3

Một điểm $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm $f(x)$ nếu có một lân cận của điểm này sao cho với mọi $x$ trong lân cận này thì bất đẳng thức $f(x)\ge f(x_0) $ giữ.

Khái niệm cực trị của hàm số có liên quan chặt chẽ với khái niệm điểm tới hạn của hàm số. Hãy để chúng tôi giới thiệu định nghĩa của nó.

Định nghĩa 4

$x_0$ được gọi là điểm tới hạn của hàm $f(x)$ nếu:

1) $x_0$ - điểm nội tại lĩnh vực định nghĩa;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ hoặc không tồn tại.

Đối với khái niệm cực trị, chúng ta có thể xây dựng các định lý về đủ và điều kiện cần thiết sự tồn tại của anh ấy.

Định lý 2

Điều kiện đủ để đạt cực trị

Giả sử điểm $x_0$ là tới hạn đối với hàm $y=f(x)$ và nằm trong khoảng $(a,b)$. Cho đạo hàm $f"(x)$ tồn tại trên mỗi khoảng $\left(a,x_0\right)\ và\ (x_0,b)$ và bảo toàn dấu hiệu vĩnh viễn. Sau đó:

1) Nếu trên khoảng $(a,x_0)$ đạo hàm là $f"\left(x\right)>0$, và trên khoảng $(x_0,b)$ đạo hàm là $f"\left( x\phải)

2) Nếu trên khoảng $(a,x_0)$ đạo hàm $f"\left(x\right)0$, thì điểm $x_0$ là điểm tối thiểu của hàm này.

3) Nếu cả hai trên khoảng $(a,x_0)$ và trên khoảng $(x_0,b)$ thì đạo hàm $f"\left(x\right) >0$ hoặc đạo hàm $f"\left(x \Phải)

Định lý này được minh họa trong Hình 1.

Hình 1. Điều kiện đủ để tồn tại cực trị

Ví dụ về các thái cực (Hình 2).

Hình 2. Ví dụ về điểm cực trị

Quy tắc nghiên cứu hàm cực trị

2) Tìm đạo hàm $f"(x)$;

7) Rút ra kết luận về sự xuất hiện cực đại và cực tiểu trên mỗi khoảng, sử dụng Định lý 2.

Chức năng tăng giảm

Đầu tiên chúng ta hãy giới thiệu các định nghĩa về hàm tăng và hàm giảm.

Định nghĩa 5

Hàm $y=f(x)$ được xác định trên khoảng $X$ được cho là tăng nếu với bất kỳ điểm nào $x_1,x_2\in X$ tại $x_1

Định nghĩa 6

Hàm $y=f(x)$ được xác định trên khoảng $X$ được cho là giảm nếu với bất kỳ điểm $x_1,x_2\in X$ nào cho $x_1f(x_2)$.

Nghiên cứu hàm tăng và giảm

Bạn có thể nghiên cứu các hàm tăng và giảm bằng cách sử dụng đạo hàm.

Để kiểm tra hàm số theo các khoảng tăng và giảm, bạn phải làm như sau:

1) Tìm miền định nghĩa của hàm $f(x)$;

2) Tìm đạo hàm $f"(x)$;

3) Tìm các điểm tại đó đẳng thức $f"\left(x\right)=0$;

4) Tìm các điểm tại đó $f"(x)$ không tồn tại;

5) Đánh dấu trên đường tọa độ tất cả các điểm tìm được và miền xác định của hàm số này;

6) Xác định dấu của đạo hàm $f"(x)$ trên mỗi khoảng kết quả;

7) Rút ra kết luận: trong các khoảng thời gian mà $f"\left(x\right)0$ thì hàm số tăng lên.

Ví dụ về bài toán nghiên cứu hàm tăng, hàm giảm và sự có mặt của điểm cực trị

ví dụ 1

Kiểm tra hàm tăng và giảm cũng như sự hiện diện của các điểm tối đa và tối thiểu: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Vì 6 điểm đầu tiên giống nhau nên chúng ta hãy điểm qua chúng trước.

1) Phạm vi - mọi thứ số thực;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ tồn tại ở tất cả các điểm của miền định nghĩa;

5) Đường tọa độ:

Hình 3.

6) Xác định dấu của đạo hàm $f"(x)$ trên mỗi khoảng:

\ \; .

Hãy xác định dấu của các giá trị hàm ở cuối đoạn.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Vì hàm giảm trên đoạn và dấu của các giá trị hàm thay đổi nên có một số 0 của hàm trên đoạn này.

Trả lời: hàm số f(x) tăng theo các khoảng: (-∞; 0]; ;

trên khoảng hàm số có một hàm số 0.

2. Điểm cực trị của hàm số: điểm cực đại và điểm cực tiểu. Điều kiện cần và đủ để tồn tại cực trị của hàm số. Quy tắc nghiên cứu hàm cực trị .

Định nghĩa 1:Các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 được gọi là điểm tới hạn hoặc điểm dừng.

Định nghĩa 2. Một điểm được gọi là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm nếu giá trị của hàm tại điểm này nhỏ hơn (lớn hơn) các giá trị gần nhất của hàm.

Cần lưu ý rằng mức tối đa và tối thiểu trong trong trường hợp này là người địa phương.

Trong bộ lễ phục. 1. Cực đại và cực tiểu cục bộ được hiển thị.

Các hàm tối đa và tối thiểu được kết hợp tên gọi chung: cực trị của hàm số.

Định lý 1.(dấu hiệu cần thiết của sự tồn tại cực trị của hàm số). Nếu một hàm khả vi tại một điểm có cực đại hoặc cực tiểu tại điểm này thì đạo hàm của nó tại điểm đó triệt tiêu, .

Định lý 2.(dấu hiệu đủ cho sự tồn tại cực trị của hàm số). Nếu như hàm liên tục có đạo hàm tại tất cả các điểm của một khoảng nào đó chứa điểm tới hạn (có thể có ngoại lệ đối với chính điểm này) và nếu đạo hàm, khi đối số đi từ trái sang phải qua điểm tới hạn, đổi dấu từ cộng sang trừ, thì hàm số tại điểm này có giá trị cực đại và khi dấu thay đổi từ trừ sang cộng thì nó có giá trị tối thiểu.

"Chức năng tăng và giảm"

Mục tiêu bài học:

1. Học cách tìm ra những khoảng thời gian đơn điệu.

2. Phát triển khả năng tư duy đảm bảo phân tích tình huống và phát triển các phương pháp hành động phù hợp (phân tích, tổng hợp, so sánh).

3. Hình thành sự quan tâm đến chủ đề.

Trong các lớp học

Hôm nay chúng ta tiếp tục nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm và xem xét ứng dụng của nó vào việc nghiên cứu hàm số. Công việc phía trước

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra một số định nghĩa về các thuộc tính của hàm “Động não”.

1. Một chức năng được gọi là gì?

2. Tên của biến X là gì?

3. Tên của biến Y là gì?

4. Miền của một chức năng là gì?

5. Tập giá trị của hàm là gì?

6. Hàm nào được gọi là chẵn?

7. Hàm nào được gọi là lẻ?

8. Bạn có thể nói gì về đồ thị của hàm chẵn?

9. Bạn có thể nói gì về đồ thị của hàm số lẻ?

10. Chức năng nào được gọi là tăng?

11. Chức năng nào được gọi là giảm?

12. Hàm nào được gọi là tuần hoàn?

Toán học là nghiên cứu các mô hình toán học. Một trong những điều quan trọng nhất mô hình toán học là một chức năng. Hiện hữu những cách khác các mô tả chức năng. Cái nào là rõ ràng nhất?

- Đồ họa.

- Cách xây dựng biểu đồ?

- Từng điểm.

Phương pháp này phù hợp nếu bạn biết trước biểu đồ trông như thế nào. Ví dụ, đồ thị là gì hàm bậc hai, hàm tuyến tính, tỷ lệ nghịch đảo, hàm số y = sinx? (Trình bày các công thức tương ứng, học sinh gọi tên các đường cong là đồ thị.)

Nhưng nếu bạn cần vẽ đồ thị của hàm số hoặc thậm chí đồ thị phức tạp hơn thì sao? Bạn có thể tìm thấy nhiều điểm, nhưng hàm số hoạt động như thế nào giữa các điểm này?

Đặt hai dấu chấm lên bảng và yêu cầu học sinh cho thấy biểu đồ “giữa chúng” trông như thế nào:

Đạo hàm của nó giúp bạn tìm ra cách hoạt động của một hàm.

Mở sổ ghi chép của bạn ra, viết số, làm tốt lắm.

Mục đích của bài học: tìm hiểu mối liên hệ giữa đồ thị của một hàm số với đồ thị đạo hàm của nó và học cách giải hai loại bài toán:

1. Sử dụng đồ thị đạo hàm, hãy tìm các khoảng tăng giảm của chính hàm số cũng như các điểm cực trị của hàm số;

2. Sử dụng sơ đồ dấu đạo hàm theo các khoảng, hãy tìm các khoảng tăng giảm của chính hàm số cũng như các điểm cực trị của hàm số.

Những bài tập tương tự không có trong sách giáo khoa của chúng ta nhưng được tìm thấy trong các bài kiểm tra tương tự. kỳ thi quốc(phần A và B).

Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ xem xét một phần nhỏ công việc của giai đoạn thứ hai nghiên cứu quá trình, nghiên cứu một trong những tính chất của hàm số - xác định khoảng đơn điệu

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần nhớ lại một số vấn đề đã thảo luận trước đó.

Vì vậy, các em hãy viết ra chủ đề bài học hôm nay: Dấu hiệu hàm số tăng, hàm giảm.

Dấu hiệu chức năng tăng giảm:

Nếu đạo hàm của một hàm đã cho dương với tất cả các giá trị của x trong khoảng (a; b), tức là f"(x) > 0, thì hàm tăng trong khoảng này.
Nếu đạo hàm của một hàm đã cho âm với tất cả các giá trị của x trong khoảng (a; b), tức là f"(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

Thứ tự tìm khoảng đơn điệu:

Tìm miền định nghĩa của hàm số.

1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số.

2. tự mình quyết định trên bảng

Tìm thấy điểm quan trọng, xét dấu của đạo hàm bậc nhất trong các khoảng mà các điểm tới hạn tìm được chia miền định nghĩa của hàm số. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số:

a) miền định nghĩa,

b) tìm đạo hàm bậc nhất:

c) tìm các điểm tới hạn: ; , Và

3. Chúng tôi kiểm tra dấu của đạo hàm trong các khoảng kết quả và trình bày lời giải dưới dạng bảng.

trỏ tới điểm cực trị

Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về nghiên cứu các hàm tăng và giảm.

Điều kiện đủ để tồn tại cực đại là đổi dấu đạo hàm khi đi qua điểm tới hạn từ “+” thành “-”, và đối với cực tiểu từ “-” thành “+”. Nếu khi đi qua điểm tới hạn mà dấu của đạo hàm không thay đổi thì tại điểm đó không có cực trị

1. Tìm D(f).

2. Tìm f"(x).

3. Tìm điểm cố định, I E. những điểm tại đó f"(x) = 0 hoặc f"(x) không tồn tại.
(Đạo hàm bằng 0 tại các số 0 của tử số, đạo hàm không tồn tại tại các số 0 của mẫu số)

4. Đặt D(f) và các điểm này trên đường tọa độ.

5. Xác định dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng

6. Áp dụng các dấu hiệu.

7. Viết ra câu trả lời.

Tổng hợp vật liệu mới.

Học sinh làm việc theo cặp và viết lời giải vào vở.

a) y = x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y = 3 x 2 - 5x + 4.

Hai người đang làm việc ở bảng.

a) y = 2 x³ – 3 x² – 36 x + 40

b) y = x4-2 x³

3. Tóm tắt bài học

Bài tập về nhà: kiểm tra (phân hóa)

Phát sinh. Nếu đạo hàm của một hàm dương tại một điểm bất kỳ trong khoảng thì hàm số đó sẽ tăng; nếu nó âm thì nó sẽ giảm.

Để tìm các khoảng tăng giảm của một hàm số, bạn cần tìm miền định nghĩa, đạo hàm của nó, giải các bất phương trình dạng F’(x) > 0 và F’(x)

Giải pháp.

3. Giải các bất đẳng thức y’ > 0 và y’ 0;
(4 - x)/x³

Giải pháp.
1. Hãy tìm miền định nghĩa của hàm số. Rõ ràng, biểu thức ở mẫu số phải luôn khác 0. Do đó, 0 bị loại khỏi miền định nghĩa: hàm được xác định cho x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Tính đạo hàm của hàm số:
y'(x) = ((3 x 2 + 2 x - 4)' x 2 – (3 x 2 + 2 x - 4) (x 2)')/x^4 = ((6 x + 2) x 2 – (3 x 2 + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.

3. Giải các bất đẳng thức y’ > 0 và y’ 0;
(4 - x)/x³

4. Bên trái bất đẳng thức có một số thực x = 4 và quay về tại x = 0. Do đó, giá trị x = 4 thuộc cả khoảng và khoảng giảm dần, không tính điểm 0.
Vì vậy, hàm cần tìm tăng trên khoảng x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. Vế trái của bất đẳng thức có một số thực x = 4 và quay về tại x = 0. Do đó, giá trị x = 4 vừa thuộc khoảng vừa thuộc khoảng giảm, không tính điểm 0.
Vì vậy, hàm cần tìm tăng trên khoảng x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Nguồn:

• cách tìm khoảng giảm dần trên một hàm

Hàm biểu thị sự phụ thuộc chặt chẽ của một số vào một số khác hoặc giá trị của hàm (y) vào một đối số (x). Mỗi quá trình (không chỉ trong toán học) có thể được mô tả bằng chức năng riêng của nó, sẽ có đặc trưng: khoảng giảm và tăng, điểm cực tiểu và cực đại, v.v.

Bạn sẽ cần

• - giấy;
• - cái bút.

Hướng dẫn

Ví dụ 2.
Tìm các khoảng giảm f(x)=sinx +x.
Đạo hàm của hàm số này sẽ bằng: f’(x)=cosx+1.
Giải bất đẳng thức cosx+1

Khoảng thời gian sự đơn điệu một hàm có thể được gọi là một khoảng trong đó hàm chỉ tăng hoặc chỉ giảm. Hàng ngang hành động nhất định sẽ giúp bạn tìm các phạm vi như vậy cho một hàm, thường được yêu cầu trong các bài toán đại số thuộc loại này.

Hướng dẫn

Bước đầu tiên để giải bài toán xác định các khoảng trong đó một hàm tăng hoặc giảm đơn điệu là tính hàm này. Để thực hiện việc này, hãy tìm hiểu tất cả các giá trị đối số (giá trị dọc theo trục x) mà bạn có thể tìm thấy giá trị của hàm. Đánh dấu các điểm quan sát thấy sự gián đoạn. Tìm đạo hàm của hàm số. Khi bạn đã xác định được biểu thức đại diện cho đạo hàm, hãy đặt nó bằng 0. Sau đó, bạn sẽ tìm thấy gốc của kết quả . Không phải về diện tích cho phép.

Các điểm mà tại đó hàm số hoặc đạo hàm của nó bằng 0 biểu thị ranh giới của các khoảng sự đơn điệu. Các phạm vi này cũng như các điểm phân cách chúng phải được nhập tuần tự vào bảng. Tìm dấu của đạo hàm của hàm số trong các khoảng thu được. Để làm điều này, hãy thay thế bất kỳ đối số nào từ khoảng vào biểu thức tương ứng với đạo hàm. Nếu kết quả là dương thì hàm số trong phạm vi này sẽ tăng; nếu không thì hàm số sẽ giảm. Kết quả được nhập vào bảng.

Trong dòng biểu thị đạo hàm của hàm f'(x), các giá trị tương ứng của các đối số được viết: “+” - nếu đạo hàm dương, “-” - âm hoặc “0” - bằng 0. Ở dòng tiếp theo, hãy lưu ý đến sự đơn điệu của chính biểu thức ban đầu. Mũi tên lên tương ứng với mức tăng và mũi tên xuống tương ứng với mức giảm. Kiểm tra các chức năng. Đây là những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0. Điểm cực trị có thể là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu. Nếu phần trước của hàm tăng và phần hiện tại giảm thì đây là điểm tối đa. Trong trường hợp hàm số đã giảm trước một điểm nhất định và bây giờ nó đang tăng thì đây là điểm tối thiểu. Nhập các giá trị của hàm tại các điểm cực trị vào bảng.

Nguồn:

• định nghĩa của sự đơn điệu là gì

Hành vi của một hàm có sự phụ thuộc phức tạp vào một đối số được nghiên cứu bằng cách sử dụng đạo hàm. Theo bản chất của sự thay đổi đạo hàm, bạn có thể tìm thấy các điểm quan trọng và các vùng tăng hoặc giảm của hàm số.

Để xác định bản chất của một hàm số và nói về hành vi của nó, cần phải tìm các khoảng tăng giảm. Quá trình này được gọi là nghiên cứu hàm số và vẽ đồ thị. Điểm cực trị được sử dụng khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm, vì tại chúng, hàm tăng hoặc giảm so với khoảng.

Bài viết trình bày các định nghĩa, xây dựng dấu hiệu tăng giảm đầy đủ trên khoảng và điều kiện tồn tại cực trị. Điều này áp dụng để giải quyết các ví dụ và vấn đề. Phần về hàm số vi phân nên được lặp lại vì lời giải sẽ cần sử dụng cách tìm đạo hàm.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Định nghĩa 1

Hàm y = f (x) sẽ tăng trên khoảng x khi, với mọi x 1 ∈ X và x 2 ∈ X, x 2 > x 1, bất đẳng thức f (x 2) > f (x 1) được thỏa mãn. Nói cách khác, Giá trị cao hơnđối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm.

Định nghĩa 2

Hàm số y = f (x) được coi là giảm trên khoảng x khi, với mọi x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, đẳng thức f (x 2) > f (x 1) được coi là đúng. Nói cách khác, giá trị hàm lớn hơn tương ứng với giá trị đối số nhỏ hơn. Hãy xem xét hình dưới đây.

Bình luận: Khi hàm số xác định và liên tục tại các điểm cuối của khoảng tăng và giảm, tức là (a; b), trong đó x = a, x = b, thì các điểm nằm trong khoảng tăng và giảm. Điều này không mâu thuẫn với định nghĩa; nó có nghĩa là nó diễn ra trên khoảng x.

Các tính chất cơ bản hàm cơ bản loại y = sin x – sự chắc chắn và liên tục tại giá trị thực tranh luận. Từ đây chúng ta nhận được rằng sin tăng trong khoảng - π 2; π 2 thì mức tăng trên đoạn có dạng - π 2; số 2.

Định nghĩa 3

Điểm x 0 được gọi là điểm tối đađối với hàm y = f(x), khi với mọi giá trị của x thì bất đẳng thức f(x 0) ≥ f(x) là đúng. Chức năng tối đa là giá trị của hàm số tại một điểm và được ký hiệu là y m a x .

Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm y = f(x), khi với mọi giá trị của x bất đẳng thức f(x 0) ≤ f(x) đều đúng. Hàm tối thiểu là giá trị của hàm tại một điểm và có ký hiệu dạng y m in .

Các lân cận của điểm x 0 được xem xét điểm cực trị, và giá trị của hàm tương ứng với các điểm cực trị. Hãy xem xét hình dưới đây.

Cực trị của hàm số lớn nhất và với giá trị thấp nhất chức năng. Hãy xem xét hình dưới đây.

Hình ảnh đầu tiên cho thấy những gì bạn cần tìm giá trị cao nhất các hàm từ đoạn [a; b] . Nó được tìm thấy bằng cách sử dụng điểm tối đa và bằng gia trị lơn nhât và hình thứ hai giống tìm điểm cực đại tại x = b.

Điều kiện đủ để hàm số tăng và giảm

Để tìm cực đại và cực tiểu của hàm số, cần áp dụng dấu cực trị trong trường hợp hàm số thỏa mãn các điều kiện này. Dấu hiệu đầu tiên được coi là được sử dụng thường xuyên nhất.

Điều kiện đủ đầu tiên của cực trị

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f (x), khả vi trong lân cận ε của điểm x 0 và có tính liên tục tại điểm x 0 đã cho. Từ đây chúng ta có được điều đó

• khi f " (x) > 0 với x ∈ (x 0 - ε ; x 0) và f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• khi f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 với x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) thì x 0 là điểm cực tiểu.

Nói cách khác, chúng ta có được điều kiện để đặt dấu:

• khi hàm số liên tục tại điểm x 0 thì có đạo hàm thay đổi dấu, tức là từ + sang -, nghĩa là điểm đó gọi là điểm cực đại;
• khi hàm số liên tục tại điểm x 0 thì nó có đạo hàm thay đổi dấu từ - sang +, nghĩa là điểm đó gọi là điểm cực tiểu.

Để xác định chính xác điểm tối đa và tối thiểu của hàm, bạn phải tuân theo thuật toán tìm chúng:

• tìm miền định nghĩa;
• tìm đạo hàm của hàm số trên diện tích này;
• xác định các số 0 và các điểm mà hàm số không tồn tại;
• xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng;
• chọn các điểm mà hàm số đổi dấu.

Hãy xem xét thuật toán bằng cách giải một số ví dụ về tìm cực trị của hàm.

ví dụ 1

Tìm điểm tối đa và tối thiểu hàm đã cho y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Giải pháp

Miền định nghĩa của hàm này là tất cả các số thực ngoại trừ x = 2. Trước tiên, hãy tìm đạo hàm của hàm số và nhận được:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Từ đây ta thấy các số 0 của hàm số là x = - 1, x = 5, x = 2, tức là mỗi dấu ngoặc phải bằng 0. Hãy đánh dấu nó trên trục số và nhận được:

Bây giờ chúng ta xác định dấu của đạo hàm từ mỗi khoảng. Cần phải chọn một điểm có trong khoảng và thay thế nó vào biểu thức. Ví dụ: điểm x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Chúng tôi hiểu điều đó

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, nghĩa là khoảng - ∞ - 1 có đạo hàm dương. Tương tự, ta tìm được.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Vì khoảng thứ hai nhỏ hơn 0, điều đó có nghĩa là đạo hàm trên khoảng đó sẽ âm. Cái thứ ba có điểm trừ, cái thứ tư có điểm cộng. Để xác định tính liên tục, bạn cần chú ý đến dấu của đạo hàm; nếu nó thay đổi thì đây là điểm cực trị.

Ta thấy tại điểm x = - 1 hàm số sẽ liên tục, nghĩa là đạo hàm sẽ đổi dấu từ + sang -. Theo dấu thứ nhất, ta có x = - 1 là điểm cực đại, nghĩa là ta có

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Điểm x = 5 chứng tỏ hàm số liên tục và đạo hàm sẽ đổi dấu từ – sang +. Điều này có nghĩa là x = -1 là điểm tối thiểu và phép xác định của nó có dạng

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Hình ảnh đồ họa

Trả lời: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Điều đáng chú ý là việc sử dụng tiêu chí đủ thứ nhất cho cực trị không yêu cầu tính khả vi của hàm tại điểm x 0, điều này giúp đơn giản hóa việc tính toán.

Ví dụ 2

Tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Giải pháp.

Miền của hàm số là tất cả các số thực. Điều này có thể được viết dưới dạng hệ phương trình có dạng:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Khi đó bạn cần tìm đạo hàm:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Điểm x = 0 không có đạo hàm vì giá trị các giới hạn một phía khác nhau. Chúng tôi hiểu rằng:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Suy ra hàm số liên tục tại điểm x = 0, từ đó ta tính được

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Cần thực hiện các phép tính để tìm giá trị của đối số khi đạo hàm trở thành bằng 0:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Tất cả các điểm thu được phải được đánh dấu trên một đường thẳng để xác định dấu của từng khoảng. Vì vậy cần phải tính đạo hàm của điểm tùy ýở mỗi khoảng. Ví dụ: ta có thể lấy điểm có các giá trị x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Chúng tôi hiểu điều đó

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Hình ảnh trên đường thẳng trông giống như

Điều này có nghĩa là chúng ta đi đến kết luận rằng cần phải sử dụng dấu hiệu đầu tiên của một cực trị. Hãy tính toán và tìm ra rằng

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , thì từ đây điểm cực đại có các giá trị x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Hãy chuyển sang tính toán mức tối thiểu:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Hãy tính cực đại của hàm số. Chúng tôi hiểu điều đó

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Hình ảnh đồ họa

Trả lời:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Nếu cho hàm f " (x 0) = 0, thì nếu f "" (x 0) > 0, chúng ta thu được rằng x 0 là điểm tối thiểu nếu f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Ví dụ 3

Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số y = 8 x x + 1.

Giải pháp

Đầu tiên, chúng ta tìm miền định nghĩa. Chúng tôi hiểu điều đó

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Cần phải phân biệt hàm, sau đó chúng ta nhận được

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Tại x = 1, đạo hàm trở thành 0, có nghĩa là điểm có thể là một cực trị. Để làm rõ cần tìm đạo hàm bậc hai và tính giá trị tại x = 1. Chúng tôi nhận được:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Điều này có nghĩa là sử dụng điều kiện đủ 2 cho một cực trị, chúng ta thu được x = 1 là điểm cực đại. Ngược lại, mục nhập sẽ có dạng y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Hình ảnh đồ họa

Trả lời: y m a x = y (1) = 4 ..

Định nghĩa 5

Hàm y = f(x) có đạo hàm lên tới bậc n trong vùng lân cận ε điểm nhất định x 0 và đạo hàm lên tới n + bậc 1 tại điểm x 0 . Khi đó f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . =fn(x 0) = 0 .

Suy ra khi n là số chẵn thì x 0 được coi là điểm uốn, khi n là số lẻ thì x 0 là điểm cực trị và f(n + 1)(x 0) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu, f(n+1)(x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Ví dụ 4

Tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Giải pháp

Hàm ban đầu là hàm toàn phần hợp lý, có nghĩa là miền định nghĩa là tất cả các số thực. Cần phân biệt chức năng. Chúng tôi hiểu điều đó

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Đạo hàm này sẽ tiến tới 0 tại x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Nghĩa là, các điểm có thể là điểm cực trị. Cần phải áp dụng điều kiện đủ thứ ba cho cực trị. Việc tìm đạo hàm bậc hai cho phép bạn xác định chính xác sự hiện diện của cực đại và cực tiểu của hàm. Đạo hàm thứ hai được tính tại các điểm cực trị có thể có của nó. Chúng tôi hiểu điều đó

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Điều này có nghĩa là x 2 = 5 7 là điểm tối đa. Áp dụng tiêu chuẩn đủ thứ 3, ta thu được với n = 1 và f(n + 1) 5 7< 0 .

Cần xác định tính chất của các điểm x 1 = - 1, x 3 = 3. Để làm điều này, bạn cần tìm đạo hàm thứ ba và tính các giá trị tại các điểm này. Chúng tôi hiểu điều đó

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Điều này có nghĩa là x 1 = - 1 là điểm uốn của hàm số, vì với n = 2 và f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Cần phải khảo sát điểm x 3 = 3. Để làm điều này, chúng tôi tìm đạo hàm bậc 4 và thực hiện các phép tính tại thời điểm này:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Từ những gì đã quyết định ở trên, chúng ta kết luận rằng x 3 = 3 là điểm cực tiểu của hàm số.

Hình ảnh đồ họa

Trả lời: x 2 = 5 7 là điểm cực đại, x 3 = 3 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter