Định lý

Giả sử hàm số được xác định, đơn điệu và liên tục trên một khoảng nhất định và là tập hợp các giá trị của nó. Khi đó hàm nghịch đảo trên tập hợp rõ ràng, đơn điệu và liên tục.

Bằng chứng

Để xác định, hãy để hàm tăng thêm , tức là cho bất kỳ , thỏa mãn điều kiện , bất đẳng thức có giá trị:

(), ().

1. Hãy chứng minh tính duy nhất của hàm nghịch đảo.

Tính duy nhất của hàm nghịch đảo suy ra từ thực tế là do sự gia tăng của hàm bất đẳng thức có giá trị:

Tại ,

và do đó, với mọi người khớp với một giá trị duy nhất .

2. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng hàm nghịch đảo tăng thêm .

Thật vậy, nếu , sau đó (Và ), bởi vì nếu như vậy , sau đó từ tăng nó phải như vậy , điều này mâu thuẫn với giả định . Như vậy, tính đơn điệu chặt chẽ của hàm nghịch đảo đã cài đặt.

3. Và cuối cùng, chúng ta chứng minh rằng hàm nghịch đảo liên tục trên .

Bởi vì tăng đơn điệu trên tập hợp, sau đó nó bị chặn và nhận các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên tập hợp. Tập hợp là một khoảng có điểm cuối và , trong đó , .

Cho phép , . Đầu tiên chúng ta xét trường hợp khi . Trong trường hợp này, điểm rõ ràng là điểm bên trong của khoảng.

Hãy chọn một giá trị như vậy Và , và đặt Và . Sau đó, do tăng chúng tôi nhận được:

.

Hãy bắt đầu ngay bây giờ sao cho các bất đẳng thức sau được thỏa mãn:

Và .

Khi đó, nếu thỏa mãn bất đẳng thức

,

Cái đó ,

và do đó, do sự gia tăng chúng tôi có:

Xét thấy điều đó và

chúng tôi nhận được: miễn là
.

Vì vậy, người ta đã chứng minh rằng với bất kỳ giá trị đủ nhỏ tồn tại sao cho mọi thỏa mãn bất đẳng thức , bất đẳng thức đúng , tức là hàm nghịch đảo là liên tục tại điểm. Nhưng - điểm tùy ý của khoảng . Vậy hàm nghịch đảo liên tục trên .

Nếu như hoặc , thì bằng cách lập luận tương tự ta có thể chứng minh tính liên tục ở bên phải tại điểm và bên trái tại điểm . Vậy tính liên tục của hàm nghịch đảo không được chứng minh.

Trường hợp hàm giảm việc chứng minh định lý được thực hiện tương tự.

mô-đun

Chủ đề số 5

Tính liên tục của chính

Các hàm cơ bản. Tính liên tục đều của hàm trên một tập hợp

Bài giảng số 17

1. Tính liên tục của chức năng: ; ; ; ;
;
;
; ; ; .

2. Hàm số mũ trong tập hợp số hữu tỷ.

3. Hàm mũ trong tập số thực.

ﻫ Tính liên tục của các hàm cơ bản

1. Chứng minh rằng hàm ,

Bằng chứng

1) Chọn một điểm tùy ý R, bởi vì xác định trên R.

2) Về điểm này R Hãy xác định giới hạn và giá trị của hàm số tại điểm:

MỘT)
,

b) .

3) Vì vậy, , tức là chức năng liên tục tại bất kỳ điểm nào .

,

liên tục tại mọi điểm trên trục số.

5) Việc chứng minh được thực hiện trên cơ sở định nghĩa số 1 về tính liên tục của hàm số tại một điểm. Vân vân.

2. Chứng minh rằng hàm liên tục tại bất kỳ điểm nào trên trục số ngoại trừ số 0, tức là R\0.

Bằng chứng

R\0, vì hàm được xác định trên R\0 và xác định mức tăng của hàm trong đó:

.

3) Tính giới hạn

,

bởi vì . Vì vậy chức năng

4) Vì điểm được chọn tùy ý nên hàm liên tục tại bất kỳ điểm nào R\0. Vân vân.

3. Chứng minh rằng hàm liên tục tại một điểm bất kỳ trong tập số thực.

Bằng chứng

1) Miền định nghĩa của hàm số là tập hợp các số thực.

2) Chọn một điểm tùy ý R và xác định mức tăng của hàm trong đó:

3) Tính giới hạn
. Vì vậy chức năng liên tục tại bất kỳ điểm nào .

4) Vì điểm được chọn tùy ý nên hàm liên tục tại một điểm bất kỳ trong tập số thực .

5) Chứng minh được thực hiện trên cơ sở định nghĩa số 5 về tính liên tục của hàm số tại một điểm trong ngôn ngữ của số gia. Vân vân.

4. Chứng minh hàm số liên tục tại một điểm bất kỳ trong tập hợp R.

Bằng chứng

Chứng minh được rút ra từ định lý về tính liên tục của một tổng đại số, tích và thương của các hàm số liên tục và tính liên tục của một hàm số tại bất kỳ điểm nào trên trục số. Vân vân.

5. Chứng minh rằng hàm
liên tục tại bất kỳ điểm nào trong tập hợp số thực, ngoại trừ những điểm mà mẫu số của phân số biến mất.

Bằng chứng

Chứng minh được rút ra từ định lý về tính liên tục của tổng đại số, tích và thương của các hàm liên tục và tính liên tục của hàm số

Và .

Điều này có nghĩa là hàm đã cho liên tục tại bất kỳ điểm nào trong tập hợp R, ngoại trừ những điểm mà tại đó mẫu số bằng 0. Vân vân.

6. Chứng minh rằng hàm liên tục tại một điểm bất kỳ trên trục số.

Bằng chứng

1) Chúng ta sẽ tiến hành chứng minh trên cơ sở định nghĩa số 5 về tính liên tục của hàm số tại một điểm bằng ngôn ngữ của số gia.

2) Chức năng xác định tại một điểm bất kỳ trên trục số.

3) Chọn một điểm tùy ý R và xác định mức tăng của hàm tại thời điểm này:

4) Hãy tính giới hạn tăng của hàm:

Vì vậy chức năng liên tục tại một điểm tùy ý.

5) Vì điểm được chọn tùy ý nên hàm liên tục tại một điểm bất kỳ trên trục số. Vân vân.

7. Tính liên tục của hàm số được chứng minh tương tự tại bất kỳ điểm nào trên trục số. Hãy tự mình tiến hành chứng minh.

8. Từ tính liên tục của hàm Và Tại một điểm bất kỳ trên trục số, theo định lý về tính liên tục của thương của hàm số liên tục tại một điểm thì tính liên tục của hàm số tuân theo

MỘT) ; tại tất cả các điểm trên trục số, trừ điểm

, - bất kỳ số nguyên nào;

b) cũng như tính liên tục của hàm số Và tại tất cả các điểm ngoại trừ điểm , ở đâu có số nguyên bất kỳ.

9. Chứng minh rằng hàm liên tục trên trục số.

Bằng chứng

1) Về khoảng thời gian chức năng trông giống như , bởi vì . Và hàm số này liên tục tại mọi điểm trên trục số.

2) Về khoảng thời gian chức năng trông giống như , bởi vì . Và hàm số này liên tục là tích của hai hàm liên tục và .

3) Vẫn còn phải thiết lập tính liên tục của chức năng tại điểm .

4) Để làm điều này, chúng ta tính giới hạn một phía tại điểm :

MỘT) ; b) .

5) Vì
Và , thì hàm liên tục tại một điểm . Và do đó, nó liên tục dọc theo toàn bộ trục số.

Phần kết luận:

1. Tất cả các hàm được xem xét đều liên tục trong miền tồn tại của chúng.

2. Dựa trên các định lý về tính liên tục của tổng, hiệu, tích và thương của các hàm liên tục, có thể lập luận rằng các hàm thu được bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép toán số học trên hàm liên tục cũng là các hàm liên tục trong miền tồn tại của chúng.

Hàm mũ trong số đa hữu tỷ

Định nghĩa 1. Đặt , thì với mọi số hữu tỉ giá trị sẽ được xác định. Điều này xác định chức năng. Hàm này được gọi là hàm mũ trên tập hợp số hữu tỉ.

Tính chất của hàm số mũ

Tôi... tức là , ở đâu , .1.Hãy . Khi đó:a) nếu , thì ;b) nếu , thì .2.a) ;b) ;c) .3. .4. .5. , với mọi số hữu tỉ: .

Tài liệu: Thuộc tính thứ 51. Nếu và , thì nhờ thuộc tính đầu tiên: .

2. Vì , a , thì .3. Dựa trên thuộc tính thứ hai: , và , do đó, .4. Bất đẳng thức cho được chứng minh tương tự.

II. Bổ đề 1. Giả sử . Khi đó tồn tại rằng với mọi số hữu tỉ thỏa mãn bất đẳng thức thì bất đẳng thức sau đúng: . Trợ giúp: tại .

Tài liệu: I.1. Cho phép .

2. Vì , thì: và .3. Vì , thì dựa vào tính chất thứ nhất nên hai bất đẳng thức kép có thể được viết lại như sau:

4. Cho là một số hữu tỉ sao cho , tức là .5. Sau đó, dựa vào tính chất đầu tiên của hàm số mũ, chúng ta có thể viết: hoặc hoặc .II. Bổ đề là hiển nhiên III. Khi chứng minh bổ đề theo cách tương tự, chỉ theo bất đẳng thức của tính chất thứ nhất thì phải thay dấu bằng dấu ngược lại (trường hợp 1b).

2 Hàm mũ trong tập số thực

Định nghĩa 2. Cho a là một số thực tùy ý, nghĩa là . Cho là một dãy số hữu tỉ hội tụ về . Rõ ràng, trình tự như vậy luôn tồn tại. Khi đó , , luôn tồn tại và không phụ thuộc vào việc chọn dãy.

Trường hợp này không được quan tâm nghiên cứu vì .

Định lý 1. Hàm số mũ trong tập hợp số thực , , có các tính chất sau: 1) liên tục tại mọi điểm trên trục số; 2) liên tục cho số tăng và số giảm cho toàn bộ trục số 3), ; 4) , ; 5) a) tại ;b) tại ;6)a) tại ;b) tại .

Tài liệu: Thuộc tính thứ nhất1. Được biết: .2. Tuyên bố này cũng đúng với số thực.3. Cho là một số thực tùy ý, , và , , là hàm số mũ trong tập hợp số thực.4. Hãy tìm mức tăng của hàm tại thời điểm đối số thay đổi thành: .

5. Theo bổ đề cho hàm số mũ trong tập hợp số hữu tỷ: , thỏa mãn bất đẳng thức ) thì bất đẳng thức sau được thỏa mãn: , và với , .6. Hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức ở điểm 5 với một số dương: 0,7. Hãy so sánh độ tăng của hàm và bất đẳng thức cuối cùng, rõ ràng là for , tức là. , nghĩa là, dựa trên định nghĩa số 5 về tính liên tục của hàm số tại một điểm, hàm số này liên tục tại điểm .8. Vì điểm được chọn tùy ý nên hàm số liên tục tại bất kỳ điểm nào trên trục số.

Tài liệu: Thuộc tính thứ 21. Hãy để cho sự xác định và .2. Do mật độ các số hữu tỉ trong tập hợp số thực tồn tại các số hữu tỉ và sao cho

3. Chúng ta hãy chọn một số hai dãy số hữu tỉ và do đó và , và do đó cho .4. Khi, dựa vào tính chất đầu tiên của hàm số mũ trong tập hợp số hữu tỉ, chúng ta có thể viết:

5. Hãy chuyển sang giới hạn tại (theo số mũ) trong bất đẳng thức cuối cùng: ; ; ; , do đó, dựa vào định nghĩa hàm số mũ trong tập số thực: ; ; .6. Bất đẳng thức ở điểm 4 sẽ có dạng: hoặc tại .7. Và dựa trên định nghĩa của hàm tăng tại , do đó, tăng đúng tại .

Lưu ý 1. Vụ việc được xử lý tương tự.

Lưu ý 2. Đồ thị hàm số có dạng:

Tài liệu: Thuộc tính thứ 31. Cho tồn tại các dãy số hữu tỉ sao cho , và do đó dựa vào định lý về giới hạn tổng của hai dãy hội tụ.2. Khi đó, theo định nghĩa hàm số mũ trong tập số thực, .3. Theo tính chất thứ 2 của hàm số mũ trong tập hợp số hữu tỷ nên a>0.

Hệ quả 1. Đối với mọi số thực, đẳng thức sau có giá trị: , do đó, . 2. Vì vậy.

Tài liệu: tài sản thứ 4

I.1. Giả sử là một số nguyên dương, tức là .2. Chúng ta hãy áp dụng lại tính chất số 2 của hàm số mũ trong tập hợp số hữu tỷ: Do đó, .

II.1. Đặt , , ở đâu là số nguyên dương, 0,2. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng: , tức là đó là căn nguyên lũy thừa của số: .3. Dựa trên đẳng thức và theo định nghĩa của nghiệm: if , then . Hoặc . Kể từ đây, .

III.1. Hãy để , , ở đâu .2. Dựa trên những gì đã được chứng minh trước đó, chúng ta có thể viết: . Kể từ đây, .

IV. Vậy bây giờ nhé. Kể từ đây, .

V. Hiển nhiên rằng .Kết luận: Như vậy chứng minh được rằng , : .

VI.1. Hãy để .2. Xét một dãy số hữu tỉ tùy ý hội tụ về: .3. Khi đó, nhờ sự bình đẳng, điều sau đây sẽ xảy ra:

4. Vì , nên theo định nghĩa của hàm số mũ trong tập số thực, ta có thể viết: a) b) , vì .5. Hãy chuyển sang giới hạn trong đẳng thức của điểm 3 tại:

6. Theo đoạn 4, ta viết lại đẳng thức: , .

Tài liệu: Thuộc tính thứ 5I.1. Hãy chứng minh điều đó với .2. Hãy để .3. Khi đó , .4.Vì , thì (theo bất đẳng thức Bernoulli).5. Đối với , đó là 0,6. Do đó, nếu , a , thì tại , do đó, định nghĩa của hàm vô cùng lớn tại (giới hạn vô hạn của hàm tại vô cực) tương đương với .

II.1. Nếu , thì .2 được thỏa mãn. Kể từ đó, tức là. .3. Vì vậy .4. Do đó, nếu và , thì , đặc biệt trên cơ sở định lý biến nén.

Tài liệu: Thuộc tính thứ 61. Tại 0,2. Khi .việc chứng minh được thực hiện tương tự như việc chứng minh tài sản số 5.

mô-đun

Tính liên tục của hàm nghịch đảo

Định nghĩa 1. Cho phép f– sự tương ứng giữa các bộ X Và Y. Tập hợp tất cả các cặp (( y, x)| (x, y)Î f) được gọi là sự tương ứng nghịch đảo cho Tuân thủ f và được chỉ định f –1 .

Định nghĩa 2. Nếu trùng khớp f Và f–1 là hàm, sau đó là hàm f gọi điện có thể đảo ngược, MỘT f –1 –đảo ngược cho chức năng f .

Chức năng f Và f–1 nghịch đảo lẫn nhau, bởi vì ( f –1) –1 = f, và màn hình hiển thị

f: X Y là một-một.

Tính chất của các hàm nghịch đảo lẫn nhau:

1. D(f -1) = E(f), E(f -1) = D(f).

2. f –1 (f(x)) = x "xОD( f); f(f –1 (y)) = y "yÎ E(f).

3. Đồ thị hàm số f Và f–1 – đối xứng qua một đường thẳng y = x.

Ta chấp nhận định lý sau mà không cần chứng minh

Định lý 1. Nếu chức năng f là ánh xạ một-một của miền định nghĩa D(f) vào khoảng giá trị E(f), thì sự tương ứng nghịch đảo của nó f–1 – chức năng.

Định lý 2 ( về sự tồn tại và liên tục của hàm nghịch đảo). Giả sử hàm f tăng (giảm) nghiêm ngặt và liên tục trên miền định nghĩa D(f), là một khoảng. Khi đó sự tương ứng nghịch đảo f –1 là hàm tăng (giảm) và liên tục trong miền định nghĩa D(f –1 ) = E(f), cũng chính là khoảng.

Ghi chú, theo hệ quả tất yếu của định lý Bolzano-Cauchy II, phạm vi giá trị của hàm số liên tục trên một khoảng E(f) = D(f–1) – khoảng.

Bằng chứng Chúng tôi sẽ thực hiện điều này cho hàm tăng dần trong 3 giai đoạn.

Giai đoạn 1. Cho phép f- tăng dần, chúng ta hãy chứng minh rằng f –1 - chức năng, tức là chúng tôi sẽ cho mọi người thấy điều đó

yÎ D(f –1) = E(f) tương ứng với một giá trị XÎ E(f–1) = D( f).

Chúng ta hãy giả sử điều ngược lại, rằng đối với một số ồÎ E(f) tương ứng với hai x1, x2Î D(f) sao cho f(x 1) = ồ і f(x 2)= ồ, Nhưng x 1 ≠ x 2. Hãy để sự xác định x 1< x 2. Từ điều kiện hàm số tăng f nó theo sau đó f(x 1) < f(x 2)Û ồ< y o , nhưng điều này là không thể.

Giai đoạn 2.Hãy chứng minh rằng f –1 - tăng dần chức năng trong miền D(f –1) = E(f). Rất nhiều E(f) hãy lấy bất kỳ lúc 1 Và lúc 2 giờ như vậy lúc 1 < lúc 2 giờ và cho thấy điều đó f –1 (lúc 1)< f –1 (lúc 2 giờ).

Hãy giả sử điều ngược lại: f –1 (lúc 1) ³ f –1 (lúc 2). Do chức năng tăng f chúng tôi sẽ đánh dấu

f(f –1 (y 1)) ³ f(f –1 (lúc 2)) Þ y 1 ³ y 2, điều này mâu thuẫn với điều kiện lúc 1 < lúc 2 giờ. Điều này chứng tỏ sự gia tăng hàm f –1 .

Giai đoạn 3.Giả sử hàm f –1 liên tục trên E(f).

Chúng tôi đã chứng minh điều đó f–1 – tăng theo khoảng thời gian E(f) hàm, tập hợp các giá trị của nó E(f -1) = D(f) theo các điều kiện của định lý – một khoảng. Sau đó bởi T.2 §4 f–1 – bật chức năng liên tục E(f). ◄

Ví dụ 1. Tìm hàm nghịch đảo của hàm số f (X) = 2x - 4.

Giải pháp. Chức năng f (X) = 2x- 4 – liên tục và tăng dần D(f) = R. Theo T. 2 tồn tại hàm số nghịch đảo cũng liên tục và tăng dần E(f) = R. Hãy tìm công thức của hàm số f –1 (Tại), vì điều này chúng tôi bày tỏ X = Tại/2 + 2, hoặc

y = x/2 + 2 (X Và Tạiđổi chỗ).

Ví dụ 2. Tìm hàm nghịch đảo của một hàm

và xây dựng đồ thị của nó.

Giải pháp. D(f) = R – khoảng cách. Chúng ta hãy viết lại hàm (1) dưới dạng Þ Þ ồ ồ-e–y= 2xÞ ồ ồ - 1/ồ ồ= 2x Þ 2 năm nữa - 2xe y- 1 = 0 ½biểu thị ê y = t> 0½Þ

Định lý(về sự tồn tại và liên tục của hàm nghịch đảo). Giả sử hàm tăng (giảm) liên tục y=f(x) được xác định trên khoảng (a,b). Hãy biểu thị

Khi đó trên khoảng (A, B), một hàm nghịch đảo được xác định, hàm này tăng (giảm) trên khoảng này và liên tục tại mỗi điểm của khoảng này.

CÂU HỎI SỐ 22: Hàm khả vi. Tiêu chí khác biệt

Sự định nghĩa . Chức năng f,được xác định trong lân cận của một điểm x, gọi điện có thể phân biệt được tại thời điểm này, nếu công thức đúng

f (x đột quỵ+ ▲ x đột quỵ)- f (x nguyên tố)=S Ai▲ xi+Sài (▲ x đột quỵ)▲ xi (3)

Ở đâu tôi A là số và hàm ai (▲ x hành trình) thỏa mãn điều kiện

ai (▲ x hành trình)→ 0 (Tôi=1,2 ,…, N) tại ▲ x→0 . (4)

Định lý . Hãy để chức năng f có thể phân biệt được tại điểm x . Khi đó tại thời điểm này nó có đạo hàm riêng và các đẳng thức được thỏa mãn

(df(x prime))/ (dxi)= Ai(i=1,2,…,n).

Bằng chứng . Từ công thức (3) suy ra

(f (x1 ,...,xi-1 ,xi+▲ xi ,xi+1,...,xn)- f (x1 ,...,xi-1 ,xi ,xi+1 ,..., x n))/(▲Xi)= Ai+αi(▲Xi).

Vượt qua giới hạn tại ▲x tôi → 0, ta thu được đẳng thức (5).

Định lý (điều kiện đủ để tính khả vi của hàm số). Nếu chức năng f có đạo hàm riêng đối với tất cả các biến trong lân cận nào đó của điểm X đột quỵ , và tất cả các đạo hàm riêng này đều liên tục trong chính

điểm X đột quỵ , thì hàm đã chỉ định có khả vi tại thời điểm này.

Định lý ( tiêu chí tính khả vi của hàm số). Chức năng f(x), được xác định trong lân cận của điểm x, khả vi tại điểm này khi và chỉ nếu đạo hàm tồn tại f׳( x). Đồng thời F= f׳( x).

Bằng chứng . Để có một đạo hàm f׳( x). Hãy biểu thị

a(t) =(((f(t)-f(x)) /(t-x)) - f'(x)

f(t) =f (x)+ (t-x) f׳(x)+ (t-x)α (t),(α(t)→0). (2)

Bây giờ hãy để đẳng thức (1) được thỏa mãn. Sau đó

((f(t)-f(x)) /(t-x) = F+ α(t) ,limα(t) = 0.

Vì vậy, có một dẫn xuất f׳( x)= F.

CÂU HỎI SỐ 23: Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số.

Đạo hàm của tổng và hiệu

Cho các hàm f(x) và g(x) mà chúng ta đã biết đạo hàm của chúng. Ví dụ: bạn có thể lấy các hàm cơ bản được thảo luận ở trên. Sau đó, bạn có thể tìm đạo hàm của tổng và hiệu của các hàm này:

1. (f + g)' = f ' + g '

2. (f − g)’ = f ’ − g’

Vì vậy, đạo hàm của tổng (vi phân) của hai hàm số bằng tổng (vi phân) của các đạo hàm. Có thể có nhiều điều khoản hơn. Ví dụ: (f + g + h)' = f' + g' + h'.

Nói đúng ra, không có khái niệm “trừ” trong đại số. Có khái niệm “yếu tố tiêu cực”. Do đó, hiệu f - g có thể được viết lại thành tổng f + (−1) g, và khi đó chỉ còn lại một công thức - đạo hàm của tổng.

· Nhiệm vụ . Tìm đạo hàm của các hàm số: f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Giải pháp. Hàm f(x) là tổng của hai hàm cơ bản, do đó:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;

Chúng ta suy luận tương tự cho hàm g(x). Chỉ có ba số hạng (theo quan điểm của đại số):

g '(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)' = (x 4 + 2x 2 + (−3))' = (x 4)' + (2x 2)' + (−3)' = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).

Trả lời:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x 2 + 1).

Dẫn xuất của sản phẩm

Đạo hàm của một sản phẩm được tính bằng một công thức hoàn toàn khác. Cụ thể là:

(f g) ’ = f ’ g + f g ‘

Công thức rất đơn giản nhưng thường bị quên. Và không chỉ học sinh, mà cả học sinh. Kết quả là giải quyết vấn đề không chính xác.

· Nhiệm vụ . Tìm đạo hàm của hàm số: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x − 7) e x .

Giải pháp

Trả lời:
g ’(x) = x(x + 9) e x .

Xin lưu ý rằng ở bước cuối cùng đạo hàm được phân tích thành thừa số. Về mặt hình thức, điều này không cần phải được thực hiện, nhưng hầu hết các đạo hàm không được tính toán riêng mà để kiểm tra hàm. Điều này có nghĩa là đạo hàm tiếp theo sẽ bằng 0, dấu của nó sẽ được xác định, v.v. Đối với trường hợp như vậy, tốt hơn là nên phân tích biểu thức thành nhân tử.

Đạo hàm của thương số

Nếu có hai hàm f(x) và g(x) và g(x) ≠ 0 trên tập mà chúng ta quan tâm, chúng ta có thể định nghĩa một hàm mới h(x) = f(x)/g(x) . Đối với hàm như vậy, bạn cũng có thể tìm đạo hàm:

Không yếu đâu nhỉ? Điểm trừ đến từ đâu? Tại sao g2? Và như vậy! Đây là một trong những công thức phức tạp nhất - bạn không thể tìm ra nó nếu không có chai. Vì vậy, tốt hơn là nghiên cứu nó với các ví dụ cụ thể.

Nhiệm vụ. Tìm đạo hàm của các hàm số: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x − 7) e x .

Giải pháp. Hàm f(x) là tích của hai hàm cơ bản, nên mọi thứ đều đơn giản:

f '(x) = (x 3 cos x)' = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)' = 3x 2 cos x + x 3 (− sin x) = x 2 · (3cos x − x · tội lỗi x)

Hàm g(x) có thừa số thứ nhất phức tạp hơn một chút, nhưng điều này không làm thay đổi sơ đồ tổng quát. Rõ ràng, thừa số đầu tiên của hàm g(x) là một đa thức và đạo hàm của nó là đạo hàm của tổng. Chúng tôi có:

g '(x) = ((x 2 + 7x − 7) e x)' = (x 2 + 7x − 7)' e x + (x 2 + 7x − 7) (e x)' = (2x + 7 ) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) · e x .

Trả lời:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) e x