Bài học và trình bày về chủ đề: "Hệ bất đẳng thức. Ví dụ về cách giải"
Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn! Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.
Dụng cụ hỗ trợ giáo dục và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 9
Sách giáo khoa tương tác lớp 9 “Các quy tắc và bài tập hình học”
Sách giáo khoa điện tử “Hình học dễ hiểu” lớp 7-9
Hệ bất đẳng thức
Các bạn, các bạn đã nghiên cứu về bất đẳng thức tuyến tính và bậc hai cũng như học cách giải các bài toán về các chủ đề này. Bây giờ chúng ta chuyển sang một khái niệm mới trong toán học - hệ bất đẳng thức. Hệ bất đẳng thức cũng tương tự như hệ phương trình. Bạn có nhớ hệ phương trình không? Bạn đã học hệ phương trình ở lớp bảy, hãy cố gắng nhớ lại cách bạn giải chúng.Hãy để chúng tôi giới thiệu định nghĩa của một hệ thống bất đẳng thức.
Một số bất đẳng thức với một số biến x tạo thành một hệ bất đẳng thức nếu bạn cần tìm tất cả các giá trị của x mà mỗi bất đẳng thức tạo thành một giá trị đúng biểu thức số.
Bất kỳ giá trị nào của x mà mỗi bất đẳng thức có biểu thức số đúng đều là nghiệm của bất đẳng thức. Cũng có thể gọi là giải pháp riêng.
Giải pháp riêng là gì? Ví dụ: trong câu trả lời chúng ta nhận được biểu thức x>7. Khi đó x=8 hoặc x=123 hoặc bất kỳ số nào lớn hơn 7 là một nghiệm cụ thể và biểu thức x>7 là giải pháp chung. Giải pháp chung được hình thành bởi nhiều giải pháp riêng.
Chúng ta đã kết hợp hệ phương trình như thế nào? Đúng vậy, một dấu ngoặc nhọn, và họ làm tương tự với bất đẳng thức. Hãy xem một ví dụ về hệ bất đẳng thức: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Nếu hệ bất đẳng thức gồm biểu thức giống hệt nhau, ví dụ: $\begin(case)x+7>5\\x+7
Vậy, nó có nghĩa là gì: tìm ra giải pháp cho một hệ bất bình đẳng?
Nghiệm của bất đẳng thức là tập hợp nghiệm từng phần của bất đẳng thức thỏa mãn cả hai bất đẳng thức của hệ cùng một lúc.
Chúng ta viết dạng tổng quát của hệ bất đẳng thức là $\begin(case)f(x)>0\\g(x)>0\end(case)$
Chúng ta hãy ký hiệu $Х_1$ là nghiệm tổng quát của bất đẳng thức f(x)>0.
$X_2$ là nghiệm tổng quát của bất đẳng thức g(x)>0.
$X_1$ và $X_2$ là một tập hợp các giải pháp cụ thể.
Lời giải của hệ bất đẳng thức sẽ là các số thuộc cả $X_1$ và $X_2$.
Hãy nhớ các phép toán trên tập hợp. Làm cách nào để tìm các phần tử của một tập hợp thuộc cả hai tập hợp cùng một lúc? Đúng vậy, có một hoạt động giao lộ cho việc này. Vì vậy, nghiệm của bất đẳng thức của chúng ta sẽ là tập $A= X_1∩ X_2$.
Ví dụ về giải pháp cho hệ thống bất bình đẳng
Hãy xem xét các ví dụ về giải hệ bất phương trình.Giải hệ bất phương trình.
a) $\begin(case)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(case)2x-4≤6\\-x-4
Giải pháp.
a) Giải riêng từng bất phương trình.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Hãy đánh dấu các khoảng của chúng ta trên một đường tọa độ.
Giải pháp của hệ thống sẽ là đoạn giao nhau của các khoảng của chúng tôi. Bất đẳng thức nghiêm ngặt thì đoạn thẳng sẽ mở.
Trả lời: (1;3).
B) Chúng ta cũng sẽ giải từng bất đẳng thức riêng biệt.
$2x-4<6; 2x< 10; x 5$.
$-x-4 -5$. 
Giải pháp của hệ thống sẽ là đoạn giao nhau của các khoảng của chúng tôi. Bất đẳng thức thứ hai nghiêm ngặt thì đoạn thẳng sẽ mở ở bên trái.
Trả lời: (-5; 5].
Hãy tóm tắt những gì chúng ta đã học được.
Giả sử cần phải giải hệ bất phương trình: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Khi đó, khoảng ($x_1; x_2$) là nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất.
Khoảng ($y_1; y_2$) là nghiệm của bất đẳng thức thứ hai.
Lời giải của một hệ bất đẳng thức là giao của các nghiệm của từng bất đẳng thức. 
Hệ bất đẳng thức có thể bao gồm không chỉ các bất đẳng thức bậc nhất mà còn bất kỳ loại bất đẳng thức nào khác.
Các quy tắc quan trọng để giải hệ bất phương trình.
Nếu một trong các bất đẳng thức của hệ không có nghiệm thì toàn hệ cũng không có nghiệm.
Nếu một trong các bất đẳng thức được thỏa mãn với bất kỳ giá trị nào của biến thì nghiệm của hệ sẽ là nghiệm của bất đẳng thức kia.
Ví dụ.
Giải hệ bất phương trình:$\begin(case)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(case)$
Giải pháp.
Hãy giải từng bất đẳng thức riêng biệt.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.
Hãy giải bất đẳng thức thứ hai.
$x^2-8x+12<0$.
$(x-6)(x-2)<0$.
Giải pháp cho bất đẳng thức là khoảng. 
Hãy vẽ cả hai khoảng trên cùng một đường thẳng và tìm giao điểm. 
Giao điểm của các khoảng là đoạn (4; 6].
Trả lời: (4;6].
Giải hệ bất phương trình.
a) $\begin(case)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(case)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(case )$.
Giải pháp.
a) Bất đẳng thức thứ nhất có nghiệm x>1.
Hãy tìm phân biệt đối với bất đẳng thức thứ hai.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Chúng ta hãy nhớ quy tắc: khi một trong các bất đẳng thức không có nghiệm thì toàn bộ hệ cũng không có nghiệm.
Trả lời: Không có giải pháp nào cả.
B) Bất đẳng thức thứ nhất có nghiệm x>1.
Bất đẳng thức thứ hai lớn hơn 0 với mọi x. Khi đó nghiệm của hệ trùng với nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất.
Đáp án: x>1.
Các bài toán về hệ bất đẳng thức để giải độc lập
Giải hệ bất phương trình:a) $\begin(case)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(case)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(case)x^2-25 d) $\begin(case)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60 ≥0 \end(case)$
e) $\begin(case)x^2+36
Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân
Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.
Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.
Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.
Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:
- Khi bạn gửi yêu cầu trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn e-mail vân vân.
Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:
- Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
- Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
- Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ như kiểm toán, phân tích dữ liệu và nghiên cứu khác nhauđể cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
- Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.
Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba
Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.
Ngoại lệ:
- Trong trường hợp cần thiết, theo quy định của pháp luật, thủ tục xét xử, V sự thử nghiệm và/hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
- Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.
Bảo vệ thông tin cá nhân
Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.
Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty
Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.
Bất bình đẳng là một biểu thức với, ≤, hoặc ≥. Ví dụ: 3x - 5 Giải bất đẳng thức có nghĩa là tìm tất cả các giá trị của các biến mà bất đẳng thức đó đúng. Mỗi số trong số này là một nghiệm của bất đẳng thức và tập hợp tất cả các nghiệm như vậy là của nó nhiều giải pháp. Các bất đẳng thức có cùng tập nghiệm được gọi là bất đẳng thức tương đương.
Bất đẳng thức tuyến tính
Nguyên tắc giải bất phương trình cũng tương tự như nguyên tắc giải phương trình.Nguyên tắc giải bất đẳng thức
Với mọi số thực a, b, c:
Nguyên tắc cộng bất đẳng thức: Nếu một Nguyên tắc nhân cho bất đẳng thức: Nếu 0 đúng thì ac Nếu a bc cũng đúng.
Những phát biểu tương tự cũng áp dụng cho a ≤ b.
Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số âm, cần phải thay đổi hoàn toàn dấu của bất đẳng thức.
Bất đẳng thức cấp một, như trong ví dụ 1 (dưới đây), được gọi là bất đẳng thức tuyến tính.
Ví dụ 1 Giải mỗi bất đẳng thức sau. Sau đó rút ra tập hợp các giải pháp.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Giải pháp
Bất kỳ số nào nhỏ hơn 11/5 đều là một giải pháp.
Tập nghiệm là (x|x
Để kiểm tra, ta vẽ đồ thị y 1 = 3x - 5 và y 2 = 6 - 2x. Khi đó rõ ràng là với x 
Tập nghiệm là (x|x ≤ 1) hoặc (-∞, 1). Đồ thị của tập nghiệm được hiển thị bên dưới. 
Bất đẳng thức kép
Khi hai bất đẳng thức được kết nối bằng một từ Và, hoặc, sau đó nó được hình thành bất bình đẳng kép. Bất đẳng thức kép như
-3
Và 2x + 5 ≤ 7
gọi điện đã kết nối, bởi vì nó sử dụng Và. Mục -3 Bất đẳng thức kép có thể được giải bằng cách sử dụng nguyên tắc cộng và nhân của bất đẳng thức.
Ví dụ 2 Giải -3 Giải pháp Chúng tôi có
Tập nghiệm (x|x ≤ -1 hoặc x > 3). Chúng ta cũng có thể viết nghiệm bằng ký hiệu khoảng và ký hiệu của hiệp hội hoặc bao gồm cả hai tập hợp: (-∞ -1] (3, ∞). Đồ thị của tập nghiệm được trình bày dưới đây. 
Để kiểm tra, hãy vẽ đồ thị y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 và y 3 = 1. Lưu ý rằng với (x|x ≤ -1 hoặc x > 3), y 1 ≤ y 2 hoặc y 1 > y 3 . 
Bất đẳng thức có giá trị tuyệt đối (mô đun)
Bất đẳng thức đôi khi chứa các môđun. Các tính chất sau đây được sử dụng để giải quyết chúng.
Với a > 0 và biểu thức đại số x:
|x| |x| > a tương đương với x hoặc x > a.
Tuyên bố tương tự cho |x| ≤ a và |x| ≥ một.
Ví dụ,
|x| |y| ≥ 1 tương đương với y ≤ -1 hoặc y ≥ 1;
và |2x + 3| 4 4 tương đương với -4 2x + 3 4.
Ví dụ 4 Giải mỗi bất đẳng thức sau. Vẽ đồ thị tập hợp các giải pháp.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1
Giải pháp
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
Tập nghiệm là (x|x 2 hoặc x ≥ 3), hoặc (-∞, 2] .
Toàn bộ thuật toán được mô tả ở trên được viết như thế này:
3 x + 12 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .
Trả lời: x ≤ − 4 hoặc (− ∞ , − 4 ] .
Ví dụ 2
Chỉ ra tất cả các nghiệm có sẵn của bất đẳng thức − 2, 7 · z > 0.
Giải pháp
Từ điều kiện chúng ta thấy rằng hệ số a cho z bằng - 2,7 và b rõ ràng vắng mặt hoặc bằng 0. Bạn không thể sử dụng bước đầu tiên của thuật toán mà ngay lập tức chuyển sang bước thứ hai.
Chúng tôi chia cả hai vế của phương trình cho số - 2, 7. Vì số âm nên cần phải đảo dấu bất đẳng thức. Tức là, chúng ta thu được (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
Chúng ta sẽ viết toàn bộ thuật toán trong dạng ngắn:
− 2, 7 z > 0; z< 0 .
Trả lời: z< 0 или (− ∞ , 0) .
Ví dụ 3
Giải bất đẳng thức - 5 x - 15 22 ≤ 0.
Giải pháp
Theo điều kiện, ta thấy cần giải bất phương trình với hệ số a cho biến x bằng - 5, với hệ số b tương ứng với phân số - 15 22. Cần giải bất đẳng thức bằng thuật toán: chuyển - 15 22 sang phần khác với dấu hiệu ngược lại, chia cả hai vế cho - 5, đổi dấu bất đẳng thức:
5 x 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22
Trong lần chuyển đổi cuối cùng sang vế phải, quy tắc chia số được sử dụng với dấu hiệu khác nhau 15 22: - 5 = - 15 22: 5, sau đó thực hiện phép chia phân số chung với số tự nhiên - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .
Trả lời: x ≥ - 3 22 và [ - 3 22 + ∞) .
Xét trường hợp a = 0. biểu thức tuyến tính có dạng a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
Mọi thứ đều dựa trên việc xác định giải pháp cho sự bất bình đẳng. Với mọi giá trị của x ta nhận được bất đẳng thức số loại b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
Chúng ta sẽ xem xét mọi phán đoán dưới dạng thuật toán giải bất đẳng thức tuyến tính 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :
Định nghĩa 5
Bất đẳng thức số dạng b< 0 (≤ , >, ≥) là đúng thì bất đẳng thức ban đầu có nghiệm với bất kỳ giá trị nào và sai khi bất đẳng thức ban đầu không có nghiệm.
Ví dụ 4
Giải bất đẳng thức 0 x + 7 > 0.
Giải pháp
Bất đẳng thức tuyến tính 0 x + 7 > 0 này có thể nhận bất kỳ giá trị x nào. Khi đó ta thu được bất đẳng thức có dạng 7 > 0. Bất đẳng thức cuối cùng được coi là đúng, có nghĩa là bất kỳ số nào cũng có thể là nghiệm của nó.
Trả lời: khoảng (− ∞ , + ∞) .
Ví dụ 5
Tìm nghiệm của bất đẳng thức 0 x − 12, 7 ≥ 0.
Giải pháp
Khi thay biến x bằng một số bất kỳ, ta thu được bất đẳng thức có dạng − 12, 7 ≥ 0. Nó không đúng. Nghĩa là 0 x − 12, 7 ≥ 0 vô nghiệm.
Trả lời: không có giải pháp nào
Hãy xem xét việc giải các bất đẳng thức tuyến tính trong đó cả hai hệ số đều bằng 0.
Ví dụ 6
Xác định bất đẳng thức không giải được từ 0 x + 0 > 0 và 0 x + 0 ≥ 0.
Giải pháp
Khi thay số bất kỳ vào x, ta thu được hai bất đẳng thức có dạng 0 > 0 và 0 ≥ 0. Đầu tiên là không chính xác. Điều này có nghĩa là 0 x + 0 > 0 không có nghiệm nhưng 0 x + 0 ≥ 0 có số vô hạn giải pháp, nghĩa là, bất kỳ số nào.
Trả lời: bất đẳng thức 0 x + 0 > 0 không có nghiệm nhưng 0 x + 0 ≥ 0 có nghiệm.
Phương pháp này thảo luận ở khóa học toán học. Phương pháp khoảng có thể giải được nhiều loại bất đẳng thức cũng tuyến tính.
Phương pháp khoảng được sử dụng cho các bất đẳng thức tuyến tính khi giá trị của hệ số x không bằng 0. Nếu không, bạn sẽ phải tính toán bằng một phương pháp khác.
Định nghĩa 6
Phương pháp ngắt quãng là:
- giới thiệu hàm y = a · x + b ;
- tìm kiếm các số 0 để chia miền định nghĩa thành các khoảng;
- định nghĩa các dấu hiệu cho các khái niệm của họ trên các khoảng.
Hãy tập hợp một thuật toán giải phương trình tuyến tính a x + b< 0 (≤ , >, ≥) với a ≠ 0 bằng phương pháp khoảng:
- tìm các số 0 của hàm số y = a · x + b để giải phương trình dạng a · x + b = 0 . Nếu a ≠ 0 thì nghiệm sẽ là một nghiệm đơn, sẽ lấy ký hiệu x 0;
- dựng đường tọa độ với ảnh của một điểm có tọa độ x 0, với bất bình đẳng nghiêm ngặtđiểm được biểu thị bằng điểm thủng, hoặc nếu không nghiêm ngặt thì bằng điểm sơn;
- xác định dấu của hàm y = a · x + b trên các khoảng; để làm được điều này cần tìm các giá trị của hàm tại các điểm trên khoảng;
- giải bất đẳng thức có dấu > hoặc ≥ trên đường tọa độ, thêm bóng trên khoảng dương,< или ≤ над отрицательным промежутком.
Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về giải bất đẳng thức tuyến tính bằng phương pháp khoảng.
Ví dụ 6
Giải bất đẳng thức − 3 x + 12 > 0.
Giải pháp
Theo thuật toán, trước tiên bạn cần tìm nghiệm của phương trình − 3 x + 12 = 0. Chúng ta nhận được − 3 · x = − 12 , x = 4 . Cần phải vẽ một đường tọa độ nơi chúng ta đánh dấu điểm 4. Nó sẽ bị thủng vì sự bất bình đẳng là nghiêm ngặt. Hãy xem xét bản vẽ dưới đây.
Nó là cần thiết để xác định các dấu hiệu trong khoảng thời gian. Để xác định nó trên khoảng (- ∞, 4), cần tính hàm y = − 3 x + 12 tại x = 3. Từ đây ta có − 3 3 + 12 = 3 > 0. Dấu hiệu trên khoảng là dương.
Ta xác định dấu từ khoảng (4, + ∞), sau đó thay giá trị x = 5. Ta có − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
Chúng ta giải bất đẳng thức bằng dấu > và việc tô bóng được thực hiện trong khoảng dương. Hãy xem xét bản vẽ dưới đây.
Từ hình vẽ, rõ ràng nghiệm mong muốn có dạng (- ∞ , 4) hoặc x< 4 .
Trả lời: (- ∞ , 4) hoặc x< 4 .
Để hiểu cách mô tả bằng đồ họa, cần xem xét 4 bất đẳng thức tuyến tính làm ví dụ: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 và 0, 5 x − 1 ≥ 0. Nghiệm của họ sẽ là các giá trị của x< 2 , x ≤ 2 , x >2 và x ≥ 2. Để làm điều này, hãy vẽ một biểu đồ hàm tuyến tính y = 0,5 x − 1 cho dưới đây.
Rõ ràng là
Định nghĩa 7
- giải bất đẳng thức 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- nghiệm 0, 5 x − 1 ≤ 0 được coi là khoảng trong đó hàm số y = 0, 5 x − 1 nhỏ hơn O x hoặc trùng khớp;
- nghiệm 0, 5 · x − 1 > 0 được coi là một khoảng, hàm số nằm trên O x;
- nghiệm 0, 5 · x − 1 ≥ 0 được coi là khoảng mà đồ thị trên O x hoặc trùng khớp.
Nghĩa giải pháp đồ họa bất đẳng thức là tìm các khoảng phải được biểu diễn trên đồ thị. TRONG trong trường hợp này chúng tôi hiểu điều đó bên trái có y = a · x + b, còn vế phải có y = 0 và trùng với O x.
Định nghĩa 8Đồ thị của hàm số y = a x + b được vẽ:
- khi giải bất đẳng thức a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- khi giải bất đẳng thức a · x + b 0, khoảng được xác định khi đồ thị nằm dưới trục O x hoặc trùng nhau;
- khi giải bất đẳng thức a · x + b > 0, khoảng được xác định tại vị trí đồ thị trên O x;
- Khi giải bất đẳng thức a · x + b ≥ 0, khoảng được xác định khi đồ thị nằm trên O x hoặc trùng khớp.
Ví dụ 7
Giải bất đẳng thức - 5 · x - 3 > 0 bằng đồ thị.
Giải pháp
Cần xây dựng đồ thị của hàm tuyến tính - 5 · x - 3 > 0. Đường này đang giảm dần vì hệ số của x âm. Để xác định tọa độ giao điểm của nó với O x - 5 · x - 3 > 0, ta thu được giá trị - 3 5. Hãy mô tả nó bằng đồ họa.
Giải bất đẳng thức bằng dấu > thì cần chú ý đến khoảng trên O x. Chúng ta hãy đánh dấu phần cần thiết của mặt phẳng bằng màu đỏ và lấy phần đó
Khoảng cách yêu cầu là phần O x màu đỏ. Thế là nó mở rồi chùm tia số- ∞ , - 3 5 sẽ là nghiệm của bất đẳng thức. Nếu theo điều kiện, chúng ta có bất đẳng thức không nghiêm ngặt, thì giá trị của điểm - 3 5 cũng sẽ là nghiệm của bất đẳng thức. Và nó sẽ trùng với O x.
Trả lời: - ∞ , - 3 5 hoặc x< - 3 5 .
Phương pháp đồ họa Giải pháp được sử dụng khi vế trái sẽ tương ứng với hàm y = 0 x + b, tức là y = b. Khi đó đường thẳng sẽ song song với O x hoặc trùng nhau tại b = 0. Những trường hợp này chứng tỏ rằng bất đẳng thức có thể không có nghiệm hoặc nghiệm có thể là số bất kỳ.
Ví dụ 8
Xác định từ các bất đẳng thức 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
Giải pháp
Biểu diễn của y = 0 x + 7 là y = 7 thì sẽ được mặt phẳng tọa độ có đường thẳng song song với O x và nằm phía trên O x. Vậy 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
Đồ thị của hàm số y = 0 x + 0 được coi là y = 0, tức là đường thẳng trùng với O x. Điều này có nghĩa là bất đẳng thức 0 x + 0 ≥ 0 có nhiều nghiệm.
Trả lời: Bất đẳng thức thứ hai có nghiệm với mọi giá trị x.
Bất bình đẳng giảm xuống tuyến tính
Giải pháp cho bất đẳng thức có thể được rút gọn thành giải pháp phương trình tuyến tính, được gọi là các bất đẳng thức rút gọn về tuyến tính.
Những bất đẳng thức này đã được xem xét trong quá trình học ở trường, vì chúng là một trường hợp đặc biệt để giải bất đẳng thức, dẫn tới việc mở ngoặc và đưa ra điều khoản tương tự. Ví dụ, xét 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.
Các bất đẳng thức nêu trên luôn được rút gọn về dạng phương trình tuyến tính. Sau đó các dấu ngoặc được mở ra và các thuật ngữ tương tự được đưa ra và chuyển từ các bộ phận khác nhau, đổi dấu ngược lại.
Khi rút gọn bất đẳng thức 5 − 2 x > 0 thành tuyến tính, chúng ta biểu diễn nó theo cách nó có dạng − 2 x + 5 > 0, và để rút gọn giây chúng ta thu được 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Cần mở ngoặc, đưa các thuật ngữ tương tự, chuyển tất cả các thuật ngữ sang bên trái và đưa các thuật ngữ tương tự. Nó trông như thế này:
7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0
Điều này dẫn đến giải pháp cho một bất đẳng thức tuyến tính.
Những bất đẳng thức này được coi là tuyến tính, vì chúng có cùng nguyên lý nghiệm, sau đó có thể quy chúng về các bất đẳng thức cơ bản.
Để giải quyết loại bất đẳng thức này, cần phải quy nó về dạng tuyến tính. Nó nên được thực hiện theo cách này:
Định nghĩa 9
- dấu ngoặc đơn mở;
- thu thập các biến ở bên trái và các số ở bên phải;
- đưa ra các điều khoản tương tự;
- chia cả hai vế cho hệ số x.
Ví dụ 9
Giải bất đẳng thức 5 · (x + 3) + x 6 · (x − 3) + 1.
Giải pháp
Mở ngoặc, ta thu được bất đẳng thức có dạng 5 x + 15 + x 6 x − 18 + 1. Sau khi rút gọn các số hạng tương tự, chúng ta có 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Sau khi di chuyển các số hạng từ trái sang phải, chúng ta thấy 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Do đó tồn tại bất đẳng thức có dạng 32 ≤ 0 thu được bằng cách tính 0 x + 32 ≤ 0. Có thể thấy rằng bất đẳng thức này sai, nghĩa là bất đẳng thức cho trước điều kiện không có nghiệm.
Trả lời: không có giải pháp
Điều đáng chú ý là có nhiều loại bất đẳng thức khác có thể quy về tuyến tính hoặc bất đẳng thức như đã trình bày ở trên. Ví dụ: 5 2 x − 1 ≥ 1 là phương trình hàm mũ, rút gọn về nghiệm tuyến tính 2 x − 1 ≥ 0 . Những trường hợp này sẽ được xét khi giải các bất đẳng thức loại này.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Không phải ai cũng biết cách giải các bất phương trình có cấu trúc và cách giải giống nhau đặc điểm nổi bật với các phương trình. Phương trình là một bài tập gồm hai phần, trong đó có dấu bằng và giữa các phần của bất đẳng thức có thể có dấu “nhiều hơn” hoặc “nhỏ hơn”. Vì vậy, trước khi tìm giải pháp cho một bất đẳng thức cụ thể, chúng ta phải hiểu rằng cần xem xét dấu của số (dương hoặc âm) nếu cần nhân cả hai vế với bất kỳ biểu thức nào. Thực tế tương tự cũng cần được tính đến nếu cần bình phương để giải bất đẳng thức, vì việc bình phương được thực hiện bằng phép nhân.
Cách giải hệ bất phương trình
Việc giải các hệ bất đẳng thức khó hơn nhiều so với các bất đẳng thức thông thường. Cách giải bất phương trình lớp 9 các bạn cùng xem nhé ví dụ cụ thể. Cần hiểu rằng trước khi giải các bất phương trình (hệ) bậc hai hoặc bất kỳ hệ bất phương trình nào khác, cần phải giải từng bất phương trình riêng biệt rồi so sánh chúng. Lời giải của hệ bất đẳng thức sẽ là câu trả lời tích cực hoặc tiêu cực (hệ có nghiệm hay không có nghiệm).
Nhiệm vụ là giải một tập bất đẳng thức:
Hãy giải từng bất phương trình riêng biệt
Chúng tôi xây dựng một trục số trên đó chúng tôi mô tả một tập hợp các giải pháp
Vì một tập hợp là một tập hợp của các tập nghiệm nên tập hợp này trên trục số phải được gạch dưới ít nhất một dòng.
Giải bất đẳng thức bằng mô đun
Ví dụ này sẽ chỉ ra cách giải bất đẳng thức bằng mô đun. Vậy ta có định nghĩa:
Ta cần giải bất đẳng thức:
Trước khi giải bất đẳng thức này cần loại bỏ mô đun (dấu)
Hãy để chúng tôi viết, dựa trên dữ liệu định nghĩa:
Bây giờ bạn cần giải quyết từng hệ thống một cách riêng biệt.
Hãy dựng một trục số trên đó chúng ta mô tả các tập nghiệm.
Kết quả là chúng tôi có một bộ sưu tập kết hợp nhiều giải pháp.
Giải bất đẳng thức bậc hai
Sử dụng trục số, chúng ta hãy xem một ví dụ về giải bất phương trình bậc hai. Ta có bất đẳng thức:
Chúng tôi biết rằng lịch trình tam thức bậc hai là một parabol. Chúng ta cũng biết rằng các nhánh của parabol hướng lên trên nếu a>0.
x 2 -3x-4< 0
Áp dụng định lý Vieta ta tìm nghiệm x 1 = - 1; x 2 = 4
Hãy vẽ một parabol, hay đúng hơn là một bản phác thảo của nó.
Do đó, chúng tôi phát hiện ra rằng các giá trị của tam thức bậc hai sẽ nhỏ hơn 0 trong khoảng từ – 1 đến 4.
Nhiều người thắc mắc khi giải bất phương trình kép như g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.
Trên thực tế, có một số phương pháp giải bất phương trình, vì vậy bạn có thể sử dụng bất đẳng thức phức tạp phương pháp đồ họa.
Giải bất đẳng thức phân số
Họ yêu cầu một cách tiếp cận cẩn thận hơn bất đẳng thức phân số. Điều này là do trong quá trình giải một số bất đẳng thức phân số, dấu có thể thay đổi. Trước khi giải bất phương trình phân số, bạn cần biết rằng phương pháp khoảng được sử dụng để giải chúng. Bất đẳng thức phân số phải được biểu diễn sao cho một cạnh của dấu trông giống như biểu thức hữu tỉ phân số, và thứ hai - “- 0”. Biến đổi bất đẳng thức theo cách này, chúng ta thu được kết quả f(x)/g(x) > (.
Giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng
Kỹ thuật ngắt quãng dựa trên phương pháp cảm ứng đầy đủ, tức là để tìm nghiệm của bất đẳng thức cần phải sắp xếp tất cả những lựa chọn khả thi. Cách giải này có thể không cần thiết đối với học sinh lớp 8 vì các em đã biết giải các bất phương trình lớp 8 là những bài tập đơn giản. Nhưng đối với các lớp lớn hơn, phương pháp này là không thể thiếu vì nó giúp giải các bất đẳng thức phân số. Việc giải bất đẳng thức bằng kỹ thuật này cũng dựa trên tính chất của hàm liên tục như bảo toàn dấu giữa các giá trị trong đó nó chuyển sang 0.
Hãy xây dựng đồ thị của đa thức. Cái này hàm liên tục, đạt giá trị 0 3 lần, nghĩa là f(x) sẽ bằng 0 tại các điểm x 1, x 2 và x 3, các nghiệm của đa thức. Trong khoảng thời gian giữa các điểm này, dấu của hàm số được giữ nguyên.
Vì để giải bất đẳng thức f(x)>0 cần dấu của hàm số nên chúng ta chuyển sang đường tọa độ, rời khỏi đồ thị.
f(x)>0 cho x(x 1 ; x 2) và cho x(x 3 ;)
f(x)x(- ; x 1) và tại x (x 2 ; x 3)
Đồ thị hiển thị rõ ràng nghiệm của các bất đẳng thức f(x)f(x)>0 (lời giải của bất đẳng thức thứ nhất có màu xanh lam và nghiệm của bất đẳng thức thứ hai có màu đỏ). Để xác định dấu của hàm số trên một khoảng, chỉ cần bạn biết dấu của hàm số tại một trong các điểm là đủ. Kỹ thuật này cho phép bạn giải nhanh chóng các bất đẳng thức trong đó vế trái được phân tích thành nhân tử, bởi vì trong những bất đẳng thức như vậy, khá dễ dàng tìm ra nghiệm.