Khi nào cần đổi dấu trong bất đẳng thức. Bất đẳng thức tuyến tính

Bạn cần biết gì về biểu tượng bất đẳng thức? Bất đẳng thức với biểu tượng hơn (> ), hoặc ít hơn (< ) được gọi là nghiêm ngặt. Với các biểu tượng lớn hơn hoặc bằng (≥ ), nhỏ hơn hoặc bằng (≤ ) được gọi là không nghiêm ngặt. Biểu tượng không bằng (≠ ) khác biệt, nhưng bạn cũng phải giải các ví dụ bằng biểu tượng này mọi lúc. Và chúng ta sẽ quyết định.)

Bản thân biểu tượng không ảnh hưởng nhiều đến quá trình giải quyết. Nhưng ở phần cuối của quyết định, khi chọn đáp án cuối cùng, ý nghĩa của biểu tượng mới xuất hiện đầy đủ! Đây là những gì chúng ta sẽ thấy dưới đây trong các ví dụ. Có một số trò đùa ở đó ...

Bất bình đẳng, giống như bình đẳng, tồn tại trung thành và không chung thủy. Mọi thứ ở đây đều đơn giản, không có mánh khóe. Giả sử 5 > 2 là bất đẳng thức đúng. 5 < 2 - sai.

Sự chuẩn bị này có tác dụng đối với sự bất bình đẳng bất kỳ loại nào và đơn giản đến mức kinh dị.) Bạn chỉ cần thực hiện chính xác hai (chỉ hai!) hành động cơ bản. Những hành động này đều quen thuộc với mọi người. Nhưng, về bản chất, những sai lầm trong những hành động này là sai lầm chính trong việc giải quyết các bất đẳng thức, vâng... Vì vậy, những hành động này phải được lặp lại. Những hành động này được gọi như thế này:

Các phép biến đổi giống hệt nhau của bất đẳng thức.

Các phép biến đổi giống hệt nhau của các bất đẳng thức rất giống với các phép biến đổi giống hệt nhau của phương trình. Trên thực tế, đây là vấn đề chính. Sự khác biệt lướt qua đầu bạn và... bạn đây.) Vì vậy, tôi sẽ đặc biệt nêu bật những khác biệt này. Vì vậy, phép biến đổi giống hệt đầu tiên của bất đẳng thức:

1. Có thể cộng (trừ) cùng một số hoặc biểu thức cho cả hai vế của bất đẳng thức. Bất kì. Điều này sẽ không thay đổi dấu bất đẳng thức.

Trong thực tế, quy tắc này được sử dụng để chuyển các số hạng từ vế trái của bất đẳng thức sang phải (và ngược lại) với sự đổi dấu. Với sự thay đổi dấu của số hạng, không phải bất đẳng thức! Quy tắc một-một cũng giống như quy tắc cho phương trình. Nhưng các phép biến đổi giống hệt nhau sau đây trong các bất đẳng thức khác biệt đáng kể so với các phép biến đổi trong phương trình. Vì vậy, tôi đánh dấu chúng bằng màu đỏ:

2. Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể nhân (chia) cho cùng một sốtích cựccon số. Đối với bất kỳtích cực sẽ không thay đổi.

3. Cả hai vế của bất đẳng thức đều có thể nhân (chia) cho cùng một sốtiêu cực con số. Đối với bất kỳtiêu cựccon số. Dấu hiệu bất đẳng thức từ đâysẽ thay đổi ngược lại.

Bạn nhớ (tôi hy vọng...) rằng phương trình có thể được nhân/chia cho bất cứ thứ gì. Và đối với bất kỳ số nào và đối với biểu thức có chữ X. Giá như nó không bằng không. Điều này làm cho anh ta, phương trình, không nóng cũng không lạnh.) Nó không thay đổi. Nhưng bất đẳng thức nhạy cảm hơn với phép nhân/chia.

Một ví dụ rõ ràng cho một trí nhớ lâu dài. Hãy viết một bất đẳng thức không gây nghi ngờ:

5 > 2

Nhân cả hai vế với +3, chúng tôi nhận được:

15 > 6

Có phản đối gì không? Không có sự phản đối nào.) Và nếu chúng ta nhân cả hai vế của bất đẳng thức ban đầu với -3, chúng tôi nhận được:

15 > -6

Và đây hoàn toàn là một lời nói dối.) Một lời nói dối hoàn toàn! Lừa dối người dân! Nhưng ngay khi bạn thay đổi dấu bất đẳng thức sang dấu ngược lại, mọi thứ sẽ đâu vào đấy:

15 < -6

Tôi không chỉ chửi thề về sự dối trá và lừa dối.) "Quên thay đổi dấu bằng..."- Cái này trang chủ sai sót trong việc giải bất đẳng thức. Quy tắc tầm thường và đơn giản này đã làm tổn thương rất nhiều người! Mà họ đã quên...) Thế là tôi chửi thề. Có lẽ tôi sẽ nhớ...)

Những người đặc biệt chú ý sẽ nhận thấy rằng bất đẳng thức không thể nhân với biểu thức có X. Tôn trọng những người chú ý!) Tại sao không? Câu trả lời rất đơn giản. Chúng tôi không biết dấu hiệu của biểu thức này bằng chữ X. Nó có thể dương, âm... Vì vậy, chúng ta không biết nên đặt dấu bất đẳng thức nào sau phép nhân. Tôi có nên thay đổi nó hay không? Không rõ. Tất nhiên, hạn chế này (việc cấm nhân/chia bất đẳng thức cho một biểu thức có x) có thể bị phá vỡ. Nếu bạn thực sự cần nó. Nhưng đây là chủ đề cho các bài học khác.

Đó là tất cả các phép biến đổi giống hệt nhau của bất đẳng thức. Hãy để tôi nhắc bạn một lần nữa rằng họ làm việc cho bất kì sự bất bình đẳng Bây giờ bạn có thể chuyển sang các loại cụ thể.

Bất đẳng thức tuyến tính. Giải pháp, ví dụ.

Bất đẳng thức tuyến tính là bất đẳng thức trong đó x lũy thừa bậc một và không chia cho x. Kiểu:

x+3 > 5x-5

Những bất bình đẳng như vậy được giải quyết như thế nào? Chúng rất dễ giải quyết! Cụ thể: với sự trợ giúp của chúng tôi, chúng tôi đã giảm được bất đẳng thức tuyến tính khó hiểu nhất đi thẳng vào câu trả lời.Đó là giải pháp. Tôi sẽ nhấn mạnh những điểm chính của quyết định. Để tránh những sai lầm ngu ngốc.)

Hãy giải bất đẳng thức này:

x+3 > 5x-5

Chúng ta giải nó theo cách giống hệt như phương trình tuyến tính. Với sự khác biệt duy nhất:

Chúng tôi theo dõi cẩn thận dấu bất đẳng thức!

Bước đầu tiên là phổ biến nhất. Với X - ở bên trái, không có X - ở bên phải... Đây là phép biến đổi giống hệt đầu tiên, đơn giản và không gặp rắc rối.) Chỉ cần đừng quên thay đổi dấu của các số hạng được chuyển.

Dấu bất đẳng thức còn lại:

x-5x > -5-3

Dưới đây là những cái tương tự.

Dấu bất đẳng thức còn lại:

4x > -8

Vẫn còn phải áp dụng phép biến đổi giống hệt cuối cùng: chia cả hai vế cho -4.

Chia cho tiêu cực con số.

Dấu bất đẳng thức sẽ đổi ngược lại:

X < 2

Đây là câu trả lời.

Đây là cách giải quyết tất cả các bất đẳng thức tuyến tính.

Chú ý! Điểm 2 được vẽ màu trắng, tức là không sơn. Trống rỗng bên trong. Điều này có nghĩa là cô ấy không có trong câu trả lời! Tôi đã cố tình vẽ cô ấy thật khỏe mạnh. Một điểm như vậy (trống rỗng, không lành mạnh!)) trong toán học được gọi là điểm bị thủng.

Các số còn lại trên trục có thể được đánh dấu nhưng không cần thiết. Các số không liên quan không liên quan đến bất đẳng thức của chúng ta có thể gây nhầm lẫn, vâng... Bạn chỉ cần nhớ rằng các số tăng dần theo hướng mũi tên, tức là. số 3, 4, 5, v.v. là bên phải là hai số và các số là 1, 0, -1, v.v. - sang trái.

Bất bình đẳng x < 2 - nghiêm ngặt. X hoàn toàn nhỏ hơn hai. Nếu nghi ngờ, việc kiểm tra rất đơn giản. Chúng ta thay con số đáng ngờ vào bất đẳng thức và nghĩ: "Hai nhỏ hơn hai phải không? Tất nhiên là không!" Đúng vậy. Bất bình đẳng 2 < 2 không đúng. Hai câu trả lời là không tốt.

Một cái có ổn không? Chắc chắn. Ít hơn... Và số 0 là tốt, và -17, và 0,34... Vâng, tất cả các số nhỏ hơn hai đều tốt! Và thậm chí là 1.9999.... Ít nhất là một chút, nhưng ít hơn!

Vì vậy hãy đánh dấu tất cả những con số này trên trục số. Làm sao? Có những lựa chọn ở đây. Lựa chọn thứ nhất là tô bóng. Chúng ta di chuyển chuột qua hình (hoặc chạm vào hình trên máy tính bảng) và thấy rằng diện tích của tất cả các x thỏa mãn điều kiện x đều được tô bóng < 2 . Thế thôi.

Hãy xem xét tùy chọn thứ hai bằng ví dụ thứ hai:

X ≥ -0,5

Vẽ một trục và đánh dấu số -0,5. Như thế này:

Bạn có nhận thấy sự khác biệt không?) Vâng, vâng, thật khó để không nhận thấy... Dấu chấm này có màu đen! Sơn lại. Điều này có nghĩa là -0,5 được bao gồm trong câu trả lời. Nhân tiện, ở đây, việc xác minh có thể khiến ai đó nhầm lẫn. Hãy thay thế:

-0,5 ≥ -0,5

Làm sao vậy? -0,5 không lớn hơn -0,5! Và còn nhiều biểu tượng khác...

Không sao đâu. Trong bất đẳng thức yếu, mọi thứ phù hợp với biểu tượng đều phù hợp. VÀ bằng tốt, và hơn Tốt. Do đó, -0,5 được bao gồm trong phản hồi.

Vì vậy, chúng tôi đã đánh dấu -0,5 trên trục; vẫn đánh dấu tất cả các số lớn hơn -0,5. Lần này tôi đánh dấu vùng có giá trị x phù hợp cây cung(từ từ vòng cung), thay vì tô bóng. Chúng ta di con trỏ qua bản vẽ và nhìn thấy chiếc nơ này.

Không có sự khác biệt cụ thể giữa bóng và cánh tay. Hãy làm như lời thầy dạy. Nếu không có giáo viên, hãy vẽ vòm. Trong các nhiệm vụ phức tạp hơn, việc tạo bóng ít rõ ràng hơn. Bạn có thể bị nhầm lẫn.

Đây là cách vẽ các bất đẳng thức tuyến tính trên một trục. Chúng ta hãy chuyển sang tính năng tiếp theo của bất đẳng thức.

Viết câu trả lời cho bất đẳng thức.

Các phương trình đều tốt.) Chúng tôi tìm thấy x và viết ra đáp án, ví dụ: x=3. Có hai hình thức viết đáp án trong bất đẳng thức. Một là ở dạng bất đẳng thức cuối cùng. Tốt cho các trường hợp đơn giản. Ví dụ:

X< 2.

Đây là một câu trả lời hoàn chỉnh.

Đôi khi bạn cần viết ra điều tương tự, nhưng ở dạng khác, theo các khoảng số. Sau đó đoạn ghi âm bắt đầu trông rất khoa học):

x ∈ (-∞; 2)

Dưới biểu tượng ∈ từ đó bị ẩn "thuộc về"

Mục này có nội dung như thế này: x thuộc khoảng từ âm vô cực đến hai không bao gồm. Khá hợp lý. X có thể là số bất kỳ trong số tất cả các số có thể từ âm vô cực đến hai. Không thể có chữ X kép, đó là điều mà từ này cho chúng ta biết “không bao gồm”.

Và ở đâu trong câu trả lời có ghi rõ rằng "không bao gồm"? Thực tế này được ghi nhận trong câu trả lời tròn ngoặc ngay sau hai. Nếu cả hai được bao gồm, dấu ngoặc sẽ là quảng trường.Đây rồi:]. Ví dụ sau đây sử dụng dấu ngoặc đơn như vậy.

Hãy viết ra câu trả lời nhé :x ≥ -0,5 trong khoảng thời gian:

x ∈ [-0,5; +∞)

Đọc: x thuộc khoảng từ âm 0,5, bao gồm,đến cộng vô cùng.

Vô cực không bao giờ có thể được bật. Đó không phải là một con số, đó là một biểu tượng. Do đó, trong các ký hiệu như vậy, vô cực luôn đứng liền kề với dấu ngoặc đơn.

Hình thức ghi âm này thuận tiện cho những câu trả lời phức tạp bao gồm nhiều khoảng trắng. Nhưng - chỉ dành cho câu trả lời cuối cùng. Trong các kết quả trung gian, nơi mong đợi một giải pháp tiếp theo, tốt hơn nên sử dụng dạng thông thường, dưới dạng bất đẳng thức đơn giản. Chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề này trong các chủ đề liên quan.

Nhiệm vụ phổ biến với sự bất bình đẳng.

Bản thân các bất đẳng thức tuyến tính rất đơn giản. Vì vậy, nhiệm vụ thường trở nên khó khăn hơn. Vì vậy cần phải suy nghĩ. Điều này, nếu bạn không quen thì sẽ không dễ chịu lắm.) Nhưng nó rất hữu ích. Tôi sẽ đưa ra ví dụ về các nhiệm vụ như vậy. Không phải để bạn học chúng, nó không cần thiết. Và để không sợ hãi khi gặp những tấm gương như vậy. Chỉ cần suy nghĩ một chút - và điều đó thật đơn giản!)

1. Tìm hai nghiệm bất kỳ của bất đẳng thức 3x - 3< 0

Nếu không rõ phải làm gì, hãy nhớ quy tắc chính của toán học:

Nếu bạn không biết mình cần gì, hãy làm những gì bạn có thể!)

X < 1

Và cái gì? Không có gì đặc biệt. Họ đang hỏi chúng tôi điều gì? Chúng ta được yêu cầu tìm hai số cụ thể là nghiệm của bất đẳng thức. Những thứ kia. phù hợp với câu trả lời. Hai bất kì những con số. Trên thực tế, điều này thật khó hiểu.) Một vài số 0 và 0,5 là phù hợp. Một cặp -3 và -8. Có vô số cặp đôi này! Câu trả lời nào đúng?!

Tôi trả lời: tất cả mọi thứ! Bất kỳ cặp số nào, mỗi số đều nhỏ hơn một, sẽ là câu trả lời đúng. Viết cái nào bạn muốn. Hãy tiếp tục.

2. Giải bất phương trình:

4x - 3 ≠ 0

Nhiệm vụ ở dạng này rất hiếm. Tuy nhiên, dưới dạng các bất đẳng thức phụ, chẳng hạn như khi tìm ODZ hoặc khi tìm miền định nghĩa của một hàm, chúng luôn xảy ra. Bất đẳng thức tuyến tính như vậy có thể được giải như một phương trình tuyến tính thông thường. Chỉ ở mọi nơi ngoại trừ dấu "=" ( bằng) đặt một dấu hiệu " ≠ " (không bằng). Đây là cách bạn tiếp cận câu trả lời, với dấu bất đẳng thức:

X ≠ 0,75

Trong những ví dụ phức tạp hơn, tốt hơn là nên làm khác đi. Biến sự bất bình đẳng thành sự bình đẳng. Như thế này:

4x - 3 = 0

Hãy bình tĩnh giải quyết như đã dạy và nhận được câu trả lời:

x = 0,75

Điều quan trọng là, đến cuối cùng, khi viết ra câu trả lời cuối cùng, đừng quên rằng chúng ta đã tìm thấy x, kết quả là sự bình đẳng. Và chúng ta cần - sự bất bình đẳng. Vì vậy, chúng ta không thực sự cần chữ X này.) Và chúng ta cần viết nó ra bằng ký hiệu chính xác:

X ≠ 0,75

Cách tiếp cận này dẫn đến ít lỗi hơn. Những người giải phương trình một cách tự động. Và đối với những người không giải được phương trình, bất đẳng thức trên thực tế là vô ích...) Một ví dụ khác về một nhiệm vụ phổ biến:

3. Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất đẳng thức:

3(x - 1) < 5x + 9

Đầu tiên chúng ta chỉ cần giải bất đẳng thức. Chúng tôi mở dấu ngoặc, di chuyển chúng, mang những cái tương tự... Chúng tôi nhận được:

X > - 6

Mọi chuyện không diễn ra theo cách đó sao!? Bạn đã làm theo các dấu hiệu!? Và đằng sau dấu hiệu của các thành viên, và đằng sau dấu hiệu của sự bất bình đẳng...

Hãy suy nghĩ lại. Chúng ta cần tìm một con số cụ thể phù hợp với cả đáp án và điều kiện "số nguyên nhỏ nhất". Nếu bạn không nhận ra ngay lập tức, bạn có thể lấy bất kỳ số nào và tìm ra nó. Hai trên trừ sáu? Chắc chắn! Có số nào nhỏ hơn phù hợp không? Tất nhiên rồi. Ví dụ: số 0 lớn hơn -6. Và thậm chí ít hơn? Chúng ta cần điều nhỏ nhất có thể! Trừ ba thì nhiều hơn âm sáu! Bạn đã có thể nắm bắt được mô hình và ngừng việc lướt qua các con số một cách ngu ngốc rồi phải không?)

Hãy lấy một số gần hơn với -6. Ví dụ: -5. Câu trả lời đã được đáp ứng, -5 > - 6. Có thể tìm được số khác nhỏ hơn -5 nhưng lớn hơn -6 không? Ví dụ: bạn có thể -5,5... Dừng lại! Chúng tôi được bảo trọn giải pháp! Không lăn -5,5! Còn trừ sáu thì sao? Ờ-ờ! Bất đẳng thức rất chặt chẽ, âm 6 không bao giờ nhỏ hơn âm 6!

Vì vậy, câu trả lời đúng là -5.

Tôi hy vọng mọi thứ đều rõ ràng với việc lựa chọn giá trị từ giải pháp chung. Một ví dụ khác:

4. Giải bất đẳng thức:

7 < 3x+1 < 13

Ồ! Biểu thức này được gọi là bất bình đẳng gấp ba. Nói đúng ra, đây là dạng viết tắt của một hệ bất bình đẳng. Nhưng những bất đẳng thức ba chiều như vậy vẫn phải được giải trong một số nhiệm vụ... Nó có thể được giải mà không cần bất kỳ hệ thống nào. Theo các biến đổi giống hệt nhau.

Chúng ta cần đơn giản hóa, đưa bất đẳng thức này về X thuần túy. Nhưng... Cái gì nên chuyển đi đâu?! Đây là lúc cần nhớ rằng việc di chuyển sang trái và phải là dạng ngắn chuyển đổi danh tính đầu tiên.

Và hình thức đầy đủ có vẻ như thế này: Bất kỳ số hoặc biểu thức nào cũng có thể được cộng/trừ vào cả hai vế của phương trình (bất đẳng thức).

Có ba phần ở đây. Vì vậy chúng ta sẽ áp dụng các phép biến đổi giống hệt nhau cho cả ba phần!

Vì vậy, hãy loại bỏ phần ở giữa của bất đẳng thức. Hãy trừ một từ toàn bộ phần giữa. Để bất đẳng thức không thay đổi, ta trừ đi một phần từ hai phần còn lại. Như thế này:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Tốt hơn phải không?) Tất cả những gì còn lại là chia cả ba phần thành ba:

2 < X < 4

Thế thôi. Đây là câu trả lời. X có thể là số bất kỳ từ hai (không bao gồm) đến bốn (không bao gồm). Câu trả lời này cũng được viết theo từng khoảng; các mục như vậy sẽ ở dạng bất đẳng thức bậc hai. Ở đó chúng là thứ phổ biến nhất.

Cuối bài tôi sẽ nhắc lại điều quan trọng nhất. Thành công trong việc giải các bất đẳng thức tuyến tính phụ thuộc vào khả năng biến đổi và đơn giản hóa các phương trình tuyến tính. Nếu cùng một lúc tìm dấu bất đẳng thức, sẽ không có vấn đề gì đâu. Đó là điều tôi mong muốn cho bạn. Không có vấn đề gì.)

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Bất đẳng thức đóng một vai trò nổi bật trong toán học. Ở trường chúng tôi chủ yếu giải quyết bất đẳng thức số, với định nghĩa mà chúng ta sẽ bắt đầu bài viết này. Và sau đó chúng tôi sẽ liệt kê và biện minh tính chất của bất đẳng thức số, trên đó tất cả các nguyên tắc giải quyết bất đẳng thức đều dựa trên đó.

Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng nhiều tính chất của bất đẳng thức số là tương tự nhau. Do đó, chúng tôi sẽ trình bày tài liệu theo cùng một sơ đồ: chúng tôi xây dựng một tính chất, đưa ra các biện minh và ví dụ về nó, sau đó chúng tôi chuyển sang tính chất tiếp theo.

Điều hướng trang.

Bất đẳng thức số: định nghĩa, ví dụ

Khi giới thiệu khái niệm bất đẳng thức, chúng tôi nhận thấy rằng bất đẳng thức thường được định nghĩa theo cách chúng được viết. Vì vậy chúng ta gọi bất đẳng thức là biểu thức đại số có ý nghĩa chứa các dấu không bằng ≠, nhỏ hơn<, больше >, nhỏ hơn hoặc bằng ≤ hoặc lớn hơn hoặc bằng ≥. Dựa vào định nghĩa trên, thật thuận tiện để đưa ra định nghĩa về bất đẳng thức số:

Việc gặp bất đẳng thức số xảy ra trong các bài học toán ở lớp 1 ngay sau khi làm quen với các số tự nhiên đầu tiên từ 1 đến 9 và làm quen với phép so sánh. Đúng, ở đó chúng được gọi đơn giản là bất đẳng thức, bỏ qua định nghĩa về “số”. Để rõ ràng, sẽ không có hại gì nếu đưa ra một vài ví dụ về các bất đẳng thức số đơn giản nhất từ giai đoạn nghiên cứu đó của họ: 1<2 , 5+2>3 .

Và xa hơn nữa, từ các số tự nhiên, kiến thức còn mở rộng sang các loại số khác (số nguyên, số hữu tỉ, số thực), các quy tắc so sánh của chúng được nghiên cứu và điều này mở rộng đáng kể sự đa dạng của các loại bất đẳng thức số: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .

Tính chất của bất đẳng thức số

Trong thực tế, làm việc với bất đẳng thức cho phép một số tính chất của bất đẳng thức số. Chúng tuân theo khái niệm bất bình đẳng mà chúng tôi đã giới thiệu. Liên quan đến các con số, khái niệm này được đưa ra bởi mệnh đề sau, có thể coi là định nghĩa của các quan hệ “nhỏ hơn” và “lớn hơn” trên một tập hợp số (thường được gọi là định nghĩa hiệu của bất đẳng thức):

Sự định nghĩa.

con số a lớn hơn b khi và chỉ khi hiệu a−b là số dương;
số a nhỏ hơn số b khi và chỉ khi hiệu a−b là số âm;
số a bằng số b khi và chỉ khi hiệu a−b bằng 0.

Định nghĩa này có thể được làm lại thành định nghĩa của các quan hệ “nhỏ hơn hoặc bằng” và “lớn hơn hoặc bằng”. Đây là lời lẽ của anh ấy:

Sự định nghĩa.

con số a lớn hơn hoặc bằng b khi và chỉ khi a−b là số không âm;
a nhỏ hơn hoặc bằng b khi và chỉ khi a−b là số không dương.

Chúng ta sẽ sử dụng những định nghĩa này khi chứng minh các tính chất của bất đẳng thức số để xem xét chúng.

Thuộc tính cơ bản

Chúng ta bắt đầu xem xét với ba tính chất chính của bất đẳng thức. Tại sao chúng cơ bản? Bởi vì chúng phản ánh tính chất của các bất đẳng thức theo nghĩa tổng quát nhất chứ không chỉ liên quan đến các bất đẳng thức số.

Bất đẳng thức số viết bằng dấu< и >, đặc điểm:

Đối với các bất đẳng thức số được viết bằng dấu bất đẳng thức yếu ≤ và ≥, chúng có tính chất phản xạ (chứ không phải phản phản xạ), vì các bất đẳng thức aa bao gồm trường hợp đẳng thức a=a. Chúng cũng được đặc trưng bởi tính phản đối xứng và tính bắc cầu.

Vì vậy, các bất đẳng thức số viết bằng dấu ≤ và ≥ có các tính chất sau:

tính phản xạ a ≥a và a
phản đối xứng, nếu a≤b thì b ≥a, và nếu a ≥b thì b
độ bắc cầu, nếu ac thì a>c, và nếu a>b và b>c thì a>c.

Chứng minh của chúng rất giống với những chứng minh đã được đưa ra, vì vậy chúng ta sẽ không tập trung vào chúng mà chuyển sang các tính chất quan trọng khác của bất đẳng thức số.

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Chỉ thay đổi theo lũy thừa đầu tiên
\(3x^2-x+5>0\)				Có một biến ở lũy thừa thứ hai (bình phương), nhưng không có lũy thừa nào cao hơn (thứ ba, thứ tư, v.v.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)


\(2x+2-1<7+8x\)	Hãy di chuyển \(8x\) sang trái, \(2\) và \(-1\) sang phải, không quên thay đổi dấu
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	Hãy chia cả hai vế của bất đẳng thức cho \(-6\), không quên đổi từ “ít hơn” thành “nhiều hơn”
	Hãy đánh dấu một khoảng số trên trục. Bất bình đẳng nên chúng ta tự “rút” giá trị \(-1\) ra và không coi đó là đáp án
	Hãy viết câu trả lời dưới dạng một khoảng thời gian

Khi nào cần đổi dấu trong bất đẳng thức. Bất đẳng thức tuyến tính

Các phép biến đổi giống hệt nhau của bất đẳng thức.

Bất đẳng thức tuyến tính. Giải pháp, ví dụ.

Viết câu trả lời cho bất đẳng thức.

Nhiệm vụ phổ biến với sự bất bình đẳng.

Nếu bạn thích trang web này...

Bất đẳng thức số: định nghĩa, ví dụ

Tính chất của bất đẳng thức số

Thuộc tính cơ bản

Các tính chất quan trọng khác của bất đẳng thức số

Các quy tắc tương tự để giải bất đẳng thức.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Bảo vệ thông tin cá nhân

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Các loại bất đẳng thức:

Giải pháp cho sự bất bình đẳng là gì?

Dấu của bất đẳng thức thay đổi khi nào?

Khi nhân (hoặc chia) một bất đẳng thức với một số âm, nó sẽ bị đảo ngược (“nhiều hơn” với “nhỏ hơn”, “nhiều hơn hoặc bằng” với “nhỏ hơn hoặc bằng”, v.v.)

Bất bình đẳng và khuyết tật