Phương pháp ngắt quãng là một thuật toán đặc biệt được thiết kế để giải quyết bất đẳng thức phức tạp có dạng f(x) > 0. Thuật toán gồm 5 bước:
- Giải phương trình f(x) = 0. Do đó, thay vì bất đẳng thức, chúng ta có một phương trình dễ giải hơn nhiều;
- Đánh dấu tất cả các nghiệm thu được trên đường tọa độ. Như vậy, đường thẳng sẽ bị chia thành nhiều đoạn;
- Tìm bội số của rễ. Nếu các gốc có bội số chẵn thì vẽ một vòng lặp phía trên gốc. (Một nghiệm được coi là bội số nếu có số chẵn nghiệm giống nhau)
- Tìm dấu (cộng hoặc trừ) của hàm f(x) ở khoảng ngoài cùng bên phải. Để làm điều này, chỉ cần thay thế vào f(x) bất kỳ số nào ở bên phải của tất cả các nghiệm được đánh dấu;
- Đánh dấu các dấu hiệu ở các khoảng còn lại, xen kẽ chúng.
Sau đó, tất cả những gì còn lại là viết ra những khoảng thời gian mà chúng ta quan tâm. Chúng được đánh dấu bằng dấu “+” nếu bất đẳng thức có dạng f(x) > 0 hoặc bằng dấu “-” nếu bất đẳng thức có dạng f(x)< 0.
Trong trường hợp các bất đẳng thức không chặt chẽ (≤ , ≥), cần đưa vào các khoảng các điểm là nghiệm của phương trình f(x) = 0;
Ví dụ 1:
Giải bất đẳng thức:
(x - 2)(x + 7)< 0
Chúng tôi làm việc bằng cách sử dụng phương pháp khoảng.
Bước 1: thay thế bất đẳng thức bằng một phương trình và giải nó:
(x - 2)(x + 7) = 0
Tích bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0:
x - 2 = 0 => x = 2
x + 7 = 0 => x = -7
Chúng tôi có hai gốc.
Bước 2: Chúng tôi đánh dấu các gốc này trên đường tọa độ. Chúng tôi có:
Bước 3: ta tìm dấu của hàm số ở khoảng ngoài cùng bên phải (ở bên phải điểm được đánh dấu x = 2). Để làm điều này, bạn cần lấy bất kỳ số nào số lượng nhiều hơn x = 2. Ví dụ: lấy x = 3 (nhưng không ai cấm lấy x = 4, x = 10 và thậm chí x = 10.000).
f(x) = (x - 2)(x + 7)
f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10
Chúng ta nhận được f(3) = 10 > 0 (10 là số dương), vì vậy chúng ta đặt dấu cộng vào khoảng ngoài cùng bên phải.
Bước 4: bạn cần lưu ý các dấu hiệu ở các khoảng còn lại. Chúng ta nhớ rằng khi đi qua từng gốc thì dấu phải thay đổi. Ví dụ, ở bên phải của căn x = 2 có một dấu cộng (chúng ta đã chắc chắn điều này ở bước trước), do đó phải có một dấu trừ ở bên trái. Dấu trừ này kéo dài đến toàn bộ khoảng (−7; 2), do đó có một dấu trừ ở bên phải của nghiệm x = −7. Do đó, ở bên trái của căn x = −7 có một dấu cộng. Nó vẫn còn để đánh dấu các dấu hiệu này trên trục tọa độ.
Trở lại bất đẳng thức ban đầu có dạng:
(x - 2)(x + 7)< 0
Vì vậy hàm số phải nhỏ hơn 0. Điều này có nghĩa là chúng ta quan tâm đến dấu trừ, dấu này chỉ xuất hiện trên một khoảng: (−7; 2). Đây sẽ là câu trả lời.
Ví dụ 2:
Giải bất đẳng thức:
(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0
Giải pháp:
Đầu tiên bạn cần tìm nghiệm nguyên của phương trình
(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0
Hãy thu gọn khung đầu tiên và nhận được:
(3x - 1) 2 (x - 2) = 0
x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0
Giải các phương trình này ta được:
Hãy vẽ các điểm trên trục số:
Bởi vì x 2 và x 3 là nhiều nghiệm thì sẽ có một điểm nằm trên đường thẳng và phía trên nó “ vòng lặp”.
Hãy lấy bất kỳ số nào nhỏ hơn điểm ngoài cùng bên trái và thay nó vào bất đẳng thức ban đầu. Hãy lấy số -1.
Đừng quên thêm nghiệm của phương trình (tìm thấy X), bởi vì sự bất bình đẳng của chúng tôi không nghiêm ngặt.
Trả lời:
()Bạn)