Trước hết chúng ta cần hiểu khái niệm về vectơ. Giới thiệu định nghĩa vectơ hình học Chúng ta hãy nhớ phân khúc là gì. Hãy giới thiệu định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 1

Đoạn là một phần của đường có hai ranh giới dưới dạng điểm.

Một đoạn có thể có 2 hướng. Để biểu thị hướng, chúng ta sẽ gọi một trong các ranh giới của đoạn này là điểm bắt đầu và ranh giới còn lại là điểm cuối của nó. Hướng được chỉ định từ đầu đến cuối đoạn.

Định nghĩa 2

Chúng ta sẽ gọi một vectơ hoặc một đoạn có hướng là một đoạn mà ta biết ranh giới nào của đoạn đó được coi là điểm bắt đầu và đâu là điểm kết thúc của nó.

Ký hiệu: Bằng hai chữ cái: $\overline(AB)$ – (trong đó $A$ là phần đầu và $B$ là phần cuối).

Bằng một chữ cái nhỏ: $\overline(a)$ (Hình 1).

Bây giờ chúng ta hãy trực tiếp giới thiệu khái niệm độ dài vectơ.

Định nghĩa 3

Độ dài của vectơ $\overline(a)$ sẽ là độ dài của đoạn $a$.

Ký hiệu: $|\overline(a)|$

Ví dụ, khái niệm độ dài vectơ được liên kết với khái niệm như sự bằng nhau của hai vectơ.

Định nghĩa 4

Chúng ta sẽ gọi hai vectơ bằng nhau nếu chúng thỏa mãn hai điều kiện: 1. Chúng cùng hướng; 1. Chiều dài của chúng bằng nhau (Hình 2).

Để xác định vectơ, hãy nhập hệ tọa độ và xác định tọa độ cho vectơ trong hệ thống đã nhập. Như chúng ta biết, bất kỳ vectơ nào cũng có thể được phân tách dưới dạng $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, trong đó $m$ và $n$ là số thực và $\overline (i )$ và $\overline(j)$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên trục $Ox$ và $Oy$.

Định nghĩa 5

Chúng ta sẽ gọi các hệ số khai triển của vectơ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ là tọa độ của vectơ này trong hệ tọa độ đã giới thiệu. Về mặt toán học:

$\overline(c)=(m,n)$

Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?

Để suy ra công thức tính độ dài của một vectơ tùy ý cho trước tọa độ của nó, hãy xem xét bài toán sau:

Ví dụ 1

Cho trước: vectơ $\overline(α)$ có tọa độ $(x,y)$. Tìm: độ dài của vectơ này.

Hãy để chúng tôi giới thiệu hệ tọa độ Descartes $xOy$ trên mặt phẳng. Chúng ta hãy đặt $\overline(OA)=\overline(a)$ khỏi nguồn gốc của hệ tọa độ được giới thiệu. Chúng ta hãy xây dựng các hình chiếu $OA_1$ và $OA_2$ của vectơ được xây dựng trên trục $Ox$ và $Oy$ tương ứng (Hình 3).

Vectơ $\overline(OA)$ mà chúng ta đã xây dựng sẽ là vectơ bán kính cho điểm $A$, do đó, nó sẽ có tọa độ $(x,y)$, nghĩa là

$=x$, $[OA_2]=y$

Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tìm được độ dài cần thiết bằng định lý Pythagore, chúng ta có

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Trả lời: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Phần kết luận:Để tìm độ dài của một vectơ có tọa độ cho trước, cần phải tìm căn bậc hai của tổng các tọa độ này.

Nhiệm vụ mẫu

Ví dụ 2

Tìm khoảng cách giữa các điểm $X$ và $Y$, có tọa độ tương ứng như sau: $(-1.5)$ và $(7.3)$.

Bất kỳ hai điểm nào cũng có thể dễ dàng liên kết với khái niệm vectơ. Ví dụ, hãy xem xét vectơ $\overline(XY)$. Như chúng ta đã biết, tọa độ của một vectơ như vậy có thể được tìm thấy bằng cách trừ tọa độ tương ứng của điểm bắt đầu ($X$) khỏi tọa độ của điểm cuối ($Y$). Chúng tôi hiểu điều đó

Yandex.RTB R-A-339285-1

Độ dài của vectơ a → sẽ được ký hiệu là a → . Ký hiệu này tương tự như mô đun của một số nên độ dài của vectơ còn được gọi là mô đun của vectơ.

Để tìm độ dài của một vectơ trên mặt phẳng từ tọa độ của nó, cần xét hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật O x y. Cho một số vectơ a → có tọa độ a x trong đó; ừ. Chúng ta hãy giới thiệu một công thức tìm độ dài (mô đun) của vectơ a → thông qua tọa độ a x và a y.

Chúng ta hãy vẽ vectơ O A → = a → từ gốc tọa độ. Hãy xác định các hình chiếu tương ứng của điểm A lên các trục tọa độ là A x và A y. Bây giờ hãy xem xét một hình chữ nhật O A x A A y có đường chéo O A .

Từ định lý Pythagore suy ra đẳng thức O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , từ đó O A = O A x 2 + O A y 2 . Từ rồi định nghĩa đã biết tọa độ vector trong hình chữ nhật Hệ thống Descartes tọa độ, ta thu được O A x 2 = a x 2 và O A y 2 = a y 2 , và theo cách xây dựng, độ dài của O A bằng độ dài của vectơ O A → , nghĩa là O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Từ đó hóa ra là công thức tìm độ dài của vectơ a → = a x ; a y có dạng tương ứng: a → = a x 2 + a y 2 .

Nếu vectơ a → được cho dưới dạng khai triển trong vectơ tọa độ a → = a x i → + a y j →, thì độ dài của nó có thể được tính bằng cùng một công thức a → = a x 2 + a y 2, trong trường hợp này là các hệ số a x và a y là tọa độ của vectơ a → trong hệ thống nhất định tọa độ

Ví dụ 1

Tính độ dài của vectơ a → = 7 ; e, được xác định trong hệ tọa độ hình chữ nhật.

Giải pháp

Để tìm độ dài của vectơ, chúng ta sẽ sử dụng công thức tìm độ dài của vectơ từ tọa độ a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Trả lời: a → = 49 + e.

Công thức tìm độ dài của vectơ a → = a x ; ày; a z từ tọa độ của nó trong hệ tọa độ Descartes Oxyz trong không gian, được suy ra tương tự như công thức cho trường hợp trên mặt phẳng (xem hình bên dưới)

Trong trường hợp này, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (vì OA là đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật), do đó O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Từ định nghĩa tọa độ vectơ, chúng ta có thể viết các đẳng thức sau O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , và độ dài OA bằng độ dài của vectơ mà chúng ta đang tìm kiếm, do đó, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Suy ra độ dài của vectơ a → = a x ; ày; a z bằng a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Ví dụ 2

Tính độ dài của vectơ a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , trong đó i → , j → , k → là các vectơ đơn vị của hệ tọa độ chữ nhật.

Giải pháp

Phân rã vectơ a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → được cho, tọa độ của nó là a → = 4, - 3, 5. Sử dụng công thức trên ta có a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

Trả lời: a → = 5 2 .

Độ dài của vectơ thông qua tọa độ điểm đầu và điểm cuối của nó

Các công thức được rút ra ở trên cho phép bạn tìm độ dài của vectơ từ tọa độ của nó. Chúng tôi đã xem xét các trường hợp trên một mặt phẳng và trong không gian ba chiều. Hãy sử dụng chúng để tìm tọa độ của một vectơ từ tọa độ điểm đầu và điểm cuối của nó.

Vì vậy, các điểm có tọa độ A (a x ; a y) và B (b x ; b y) đã cho, do đó vectơ A B → có tọa độ (b x - a x ; b y - a y) nghĩa là độ dài của nó có thể được xác định bằng công thức: A B → = ( ​​b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

Và nếu các điểm có tọa độ cho trước A (a x ; a y ; a z) và B (b x ; b y ; b z) được cho trong không gian ba chiều, thì độ dài của vectơ A B → có thể được tính bằng công thức

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Ví dụ 3

Tìm độ dài của vectơ A B → nếu trong hệ tọa độ chữ nhật A 1, 3, B - 3, 1.

Giải pháp

Sử dụng công thức tìm độ dài của vectơ từ tọa độ điểm đầu và điểm cuối trên mặt phẳng, ta thu được A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Giải pháp thứ hai liên quan đến việc áp dụng lần lượt các công thức sau: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Trả lời: A B → = 20 - 2 3 .

Ví dụ 4

Xác định tại giá trị nào độ dài của vectơ A B → bằng 30 nếu A (0, 1, 2); B(5 , 2 , λ 2) .

Giải pháp

Đầu tiên, chúng ta viết độ dài của vectơ A B → sử dụng công thức: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Sau đó, chúng ta đánh đồng biểu thức kết quả với 30, từ đây chúng ta tìm thấy λ cần thiết:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 và λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Trả lời: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Tìm độ dài của vectơ bằng định lý cosine

Than ôi, trong các bài toán không phải lúc nào cũng biết tọa độ của vectơ, vì vậy chúng ta sẽ xem xét các cách khác để tìm độ dài của vectơ.

Cho độ dài của hai vectơ A B → , A C → và góc giữa chúng (hoặc cosin của góc), và bạn cần tìm độ dài của vectơ B C → hoặc C B → . Trong trường hợp này, bạn nên sử dụng định lý cosine trong tam giác △ A B C và tính độ dài cạnh B C, bằng độ dài mong muốn của vectơ.

Hãy xem xét trường hợp này bằng ví dụ sau.

Ví dụ 5

Độ dài của vectơ A B → và A C → lần lượt là 3 và 7 và góc giữa chúng là π 3. Tính độ dài của vectơ B C → .

Giải pháp

Độ dài của vectơ B C → trong trường hợp này bằng độ dài cạnh B C của tam giác △ A B C . Độ dài các cạnh A B và A C của tam giác đã biết từ điều kiện (chúng bằng độ dài các vectơ tương ứng), góc giữa chúng cũng đã biết nên ta có thể sử dụng định lý cosine: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Vậy B C → = 37 .

Trả lời: B C → = 37 .

Vì vậy, để tìm độ dài của vectơ từ tọa độ, có công thức sau a → = a x 2 + a y 2 hoặc a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , theo tọa độ điểm đầu và điểm cuối của vectơ A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 hoặc A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, trong một số trường hợp nên sử dụng định lý cosine.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Cuối cùng, tôi đã có được chủ đề sâu rộng và được chờ đợi từ lâu này. hình học giải tích . Đầu tiên một chút về phần này toán cao hơn... Chắc hẳn bây giờ bạn còn nhớ một khóa học hình học ở trường với vô số định lý, cách chứng minh, hình vẽ, v.v. Che giấu điều gì, một chủ đề không được yêu thích và thường ít người biết đến đối với một bộ phận đáng kể học sinh. Kỳ lạ thay, hình học giải tích lại có vẻ thú vị và dễ tiếp cận hơn. Tính từ “phân tích” có nghĩa là gì? Hai cụm từ toán học sáo rỗng ngay lập tức xuất hiện trong đầu bạn: “phương pháp giải đồ họa” và “phương pháp giải phân tích”. Phương pháp đồ họa, tất nhiên, gắn liền với việc xây dựng đồ thị và hình vẽ. phân tích như nhau phương pháp liên quan đến việc giải quyết các vấn đề chủ yếu bởi vì phép toán đại số. Về vấn đề này, thuật toán giải hầu hết các bài toán của hình học giải tích rất đơn giản và minh bạch; thường chỉ cần áp dụng cẩn thận các công thức cần thiết là đủ - và câu trả lời đã sẵn sàng! Không, tất nhiên, chúng ta sẽ không thể làm được điều này nếu không có bản vẽ, và ngoài ra, để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi sẽ cố gắng trích dẫn chúng nếu không cần thiết.

Khóa học mới mở về hình học không có vẻ hoàn chỉnh về mặt lý thuyết; nó tập trung vào việc giải quyết các vấn đề thực tế. Theo quan điểm của tôi, tôi sẽ chỉ đưa vào bài giảng của mình những gì quan trọng về mặt thực tế. Nếu bạn cần trợ giúp đầy đủ hơn về bất kỳ tiểu mục nào, tôi khuyên bạn nên sử dụng tài liệu khá dễ tiếp cận sau:

1) Một điều mà không đùa được, nhiều thế hệ đã quen thuộc: Sách giáo khoa hình học phổ thông, tác giả – L.S. Atanasyan và Công ty. Chiếc móc treo phòng thay đồ của trường này đã trải qua 20 lần tái bản (!), Tất nhiên, đó không phải là giới hạn.

2) Hình học trong 2 tập. tác giả L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Đây là tài liệu dành cho cấp trung học, bạn sẽ cần tập đầu tiên. Những nhiệm vụ hiếm gặp có thể lọt khỏi tầm mắt của tôi và hướng dẫn đào tạo sẽ cung cấp sự trợ giúp vô giá.

Cả hai cuốn sách đều có thể được tải xuống miễn phí trực tuyến. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng kho lưu trữ của tôi với các giải pháp làm sẵn, có thể tìm thấy trên trang Tải các ví dụ về toán cao cấp.

Trong số các công cụ, tôi một lần nữa đề xuất sự phát triển của riêng mình - gói phần mềm trong hình học giải tích, điều này sẽ đơn giản hóa cuộc sống rất nhiều và tiết kiệm rất nhiều thời gian.

Giả định rằng người đọc đã quen thuộc với những kiến ​​thức cơ bản khái niệm hình học và các hình: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hình tam giác, hình bình hành, hình bình hành, hình lập phương, v.v. Nên nhớ một số định lý, ít nhất là định lý Pythagore, xin chào những người lặp lại)

Và bây giờ chúng ta sẽ xem xét tuần tự: khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ. Tôi khuyên bạn nên đọc thêm bài viết quan trọng nhất Tích vô hướng của vectơ, và cả Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. Sẽ không thừa vấn đề cục bộ- Chia một đoạn theo một tỉ số nhất định. Dựa vào những thông tin trên, bạn có thể nắm vững phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Với ví dụ đơn giản nhất về giải pháp, điều này sẽ cho phép học cách giải các bài toán hình học. Các bài viết sau đây cũng hữu ích: Phương trình mặt phẳng trong không gian, Phương trình đường thẳng trong không gian, Các bài toán cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, các phần khác của hình học giải tích. Đương nhiên, các nhiệm vụ tiêu chuẩn sẽ được xem xét trong quá trình thực hiện.

Khái niệm vectơ. Vectơ miễn phí

Đầu tiên, hãy lặp lại định nghĩa trường học của một vectơ. Vectơ gọi điện chỉ đạo một đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được chỉ định:

Trong trường hợp này, phần đầu của đoạn là điểm, phần cuối của đoạn là điểm. Bản thân vectơ được ký hiệu là . Phương hướng là điều cần thiết, nếu bạn di chuyển mũi tên đến đầu kia của đoạn thẳng, bạn sẽ nhận được một vectơ và đây là vectơ hoàn toàn khác. Khái niệm vectơ được xác định một cách thuận tiện với chuyển động cơ thể vật lý: Đồng ý, việc vào cửa viện hay ra khỏi cửa viện là chuyện hoàn toàn khác nhau.

Thật thuận tiện khi xem xét các điểm riêng lẻ của một mặt phẳng hoặc không gian như được gọi là vectơ không. Đối với một vectơ như vậy, điểm cuối và điểm đầu trùng nhau.

!!! Ghi chú: Ở đây và xa hơn nữa, bạn có thể giả sử rằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc bạn có thể giả định rằng chúng nằm trong không gian - bản chất của vật liệu được trình bày có giá trị cho cả mặt phẳng và không gian.

Chỉ định: Nhiều người ngay lập tức nhận thấy cây gậy không có mũi tên trên nhãn và nói rằng cũng có một mũi tên ở trên cùng! Đúng, bạn có thể viết nó bằng mũi tên: , nhưng cũng có thể mục mà tôi sẽ sử dụng trong tương lai. Tại sao? Rõ ràng, thói quen này phát triển vì những lý do thực tế; những tay súng của tôi ở trường học và đại học hóa ra có kích thước quá khác biệt và bờm xờm. TRONG văn học giáo dụcđôi khi họ không bận tâm đến việc viết chữ hình nêm mà đánh dấu các chữ cái in đậm: , qua đó ngụ ý rằng đây là một vectơ.

Đó là phong cách, và bây giờ là về cách viết vectơ:

1) Các vectơ có thể được viết bằng hai chữ cái Latinh in hoa:
và vân vân. Trong trường hợp này, chữ cái đầu tiên nhất thiết biểu thị điểm bắt đầu của vectơ và chữ cái thứ hai biểu thị điểm cuối của vectơ.

2) Các vectơ cũng được viết bằng chữ Latinh thường:
Đặc biệt, để cho ngắn gọn, vectơ của chúng ta có thể được thiết kế lại là nhỏ chữ cái Latinh.

Chiều dài hoặc mô-đun một vectơ khác 0 được gọi là độ dài của đoạn. Độ dài của vectơ 0 bằng 0. Hợp lý.

Độ dài của vectơ được biểu thị bằng dấu mô đun: ,

Chúng ta sẽ học cách tìm độ dài của vectơ (hoặc chúng ta sẽ lặp lại nó, tùy thuộc vào ai) sau đó một chút.

Họ đã thông tin cơ bản về vector, quen thuộc với tất cả học sinh. Trong hình học giải tích, cái gọi là vectơ miễn phí.

Nói một cách đơn giản - vectơ có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào:

Chúng ta quen gọi các vectơ như vậy bằng nhau (định nghĩa các vectơ bằng nhau sẽ được đưa ra dưới đây), nhưng theo quan điểm toán học thuần túy, chúng là CÙNG VECTOR hoặc vectơ miễn phí. Tại sao miễn phí? Bởi vì trong quá trình giải toán, bạn có thể “gắn” vectơ này hoặc vectơ kia vào BẤT KỲ điểm nào trên mặt phẳng hoặc không gian mà bạn cần. Đây là một tính năng rất thú vị! Hãy tưởng tượng một vectơ có độ dài và hướng tùy ý - nó có thể được “nhân bản” số vô hạn lần và tại bất kỳ thời điểm nào trong không gian, trên thực tế, nó tồn tại MỌI NƠI. Có một sinh viên nói rằng: Mọi giảng viên đều quan tâm đến vectơ. Rốt cuộc, nó không chỉ là một vần điệu dí dỏm, mọi thứ đều đúng về mặt toán học - vectơ cũng có thể được gắn vào đó. Nhưng đừng vội vui mừng, người khổ nhất chính là học sinh =))

Vì thế, vectơ miễn phí- Cái này nhiều các phân đoạn có hướng giống hệt nhau. Định nghĩa trường học vectơ được đưa ra ở đầu đoạn văn: “Một đoạn có hướng được gọi là vectơ…” ngụ ý cụ thể một đoạn có hướng được lấy từ một tập hợp nhất định, được gắn với một điểm cụ thể trong mặt phẳng hoặc không gian.

Cần lưu ý rằng theo quan điểm vật lý, khái niệm vectơ tự do trong trường hợp chung là không chính xác và điểm áp dụng của vectơ là quan trọng. Thật vậy, một cú đánh trực tiếp với cùng một lực vào mũi hoặc trán, đủ để phát triển ví dụ ngu ngốc của tôi, sẽ gây ra những hậu quả khác nhau. Tuy nhiên, không có tự do vectơ cũng được tìm thấy trong quá trình vyshmat (đừng đến đó :)).

Hành động với vectơ. Sự cộng tuyến của các vectơ

TRONG khóa học hình học, một số hành động và quy tắc với vectơ được xem xét: phép cộng theo quy tắc tam giác, phép cộng theo quy tắc hình bình hành, quy tắc sai phân vectơ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng của vectơ, v.v.Để bắt đầu, chúng ta hãy nhắc lại hai quy tắc đặc biệt phù hợp để giải các bài toán hình học giải tích.

Quy tắc cộng vectơ bằng quy tắc tam giác

Xét hai vectơ khác 0 tùy ý và:

Bạn cần tìm tổng của các vectơ này. Do thực tế là tất cả các vectơ đều được coi là tự do nên chúng ta loại vectơ khỏi kết thúc vectơ:

Tổng các vectơ là vectơ. Để hiểu rõ hơn về quy tắc, nên đưa vào ý nghĩa vật lý: cho một vật nào đó chuyển động dọc theo một vectơ, rồi dọc theo một vectơ. Khi đó tổng các vectơ là vectơ của đường đi kết quả có điểm đầu là điểm khởi hành và điểm cuối là điểm đến. Một quy tắc tương tự được xây dựng cho tổng của bất kỳ số lượng vectơ nào. Như người ta nói, cơ thể có thể di chuyển rất nghiêng theo đường ngoằn ngoèo, hoặc có thể ở chế độ lái tự động - dọc theo vectơ kết quả của tổng.

Nhân tiện, nếu vectơ bị trễ từ bắt đầu vector, sau đó chúng ta nhận được tương đương quy tắc hình bình hành phép cộng các vectơ.

Đầu tiên, về sự cộng tuyến của các vectơ. Hai vectơ đó được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song. Nói một cách đại khái, chúng ta đang nói về các vectơ song song. Nhưng liên quan đến họ, tính từ “cộng tuyến” luôn được sử dụng.

Cho hai vectơ thẳng hàng. Nếu các mũi tên của các vectơ này cùng hướng thì các vectơ đó được gọi là đồng đạo diễn. Nếu mũi tên hướng về phía các mặt khác nhau, thì các vectơ sẽ là hướng ngược nhau.

Chỉ định: tính cộng tuyến của các vectơ được viết bằng ký hiệu song song thông thường: , trong khi có thể chi tiết hóa: (các vectơ có hướng ngược nhau) hoặc (các vectơ có hướng ngược nhau).

công việc một vectơ khác 0 của một số là một vectơ có độ dài bằng , và các vectơ cùng hướng và hướng ngược nhau tại .

Quy tắc nhân vectơ với một số sẽ dễ hiểu hơn với sự trợ giúp của hình ảnh:

Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn:

1) Hướng. Nếu số nhân âm thì vectơ thay đổi hướng ngược lại.

2) Chiều dài. Nếu số nhân nằm trong hoặc , thì độ dài của vectơ giảm. Vậy độ dài của vectơ bằng một nửa độ dài của vectơ. Nếu số nhân modulo nhiều hơn một, thì độ dài vectơ tăng lênđôi khi.

3) Xin lưu ý rằng mọi vectơ đều thẳng hàng, trong khi một vectơ được biểu diễn thông qua một vectơ khác, ví dụ: . Điều ngược lại cũng đúng: nếu một vectơ có thể được biểu diễn thông qua một vectơ khác thì các vectơ đó nhất thiết phải thẳng hàng. Như vậy: nếu chúng ta nhân một vectơ với một số, chúng ta sẽ thẳng hàng(so với bản gốc) vectơ.

4) Các vectơ cùng hướng. Các vectơ và cũng được đồng đạo diễn. Bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ nhất đều có hướng ngược chiều với bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ hai.

Những vectơ nào bằng nhau?

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng chiều dài . Lưu ý rằng tính đồng hướng hàm ý tính cộng tuyến của các vectơ. Định nghĩa sẽ không chính xác (dư thừa) nếu chúng ta nói: “Hai vectơ bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, cùng hướng và có cùng độ dài”.

Từ quan điểm của khái niệm vectơ tự do, vectơ bằng nhau– đây là cùng một vectơ đã được thảo luận ở đoạn trước.

Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian

Điểm đầu tiên là xét các vectơ trên mặt phẳng. Chúng ta hãy mô tả một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes và vẽ nó từ gốc tọa độ đơn vectơ và:

Vectơ và trực giao. Trực giao = Vuông góc. Tôi khuyên bạn nên làm quen dần với các thuật ngữ: thay vì song song và vuông góc, chúng ta sử dụng các từ tương ứng sự cộng tác Và tính trực giao.

Chỉ định: Tính trực giao của vectơ được viết bằng ký hiệu vuông góc thông thường, ví dụ: .

Các vectơ đang xét được gọi là vectơ tọa độ hoặc orts. Các vectơ này hình thành cơ sở trên một chiếc máy bay. Tôi nghĩ cơ sở là gì thì rõ ràng bằng trực giác đối với nhiều người, hơn thế nữa. thông tin chi tiết có thể tìm thấy trong bài viết Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ Nói một cách đơn giản, cơ sở và nguồn gốc của tọa độ xác định toàn bộ hệ thống - đây là một loại nền tảng tạo nên đời sống hình học đầy đủ và phong phú.

Đôi khi cơ sở được xây dựng được gọi là trực giao cơ sở của mặt phẳng: “ortho” - vì các vectơ tọa độ là trực giao nên tính từ “chuẩn hóa” có nghĩa là đơn vị, tức là độ dài của các vectơ cơ sở bằng một.

Chỉ định: cơ sở thường được viết trong ngoặc đơn, trong đó theo trình tự chặt chẽ các vectơ cơ sở được liệt kê, ví dụ: . Các vectơ tọa độ nó bị cấm sắp xếp lại.

Bất kì véc tơ máy bay cách duy nhấtđược thể hiện như:
, Ở đâu - con sốđược gọi là tọa độ vector V. trên cơ sở này. Và bản thân sự biểu hiện gọi điện phân rã véc tơtheo cơ sở .

Bữa tối được phục vụ:

Hãy bắt đầu với chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái: . Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng khi phân tách một vectơ thành một cơ sở, những vectơ vừa thảo luận sẽ được sử dụng:
1) quy tắc nhân vectơ với một số: và ;
2) phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác: .

Bây giờ hãy tưởng tượng vectơ từ bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng. Rõ ràng là sự suy tàn của anh ta sẽ “theo anh ta không ngừng nghỉ”. Đây rồi, sự tự do của vectơ - vectơ “mang theo mọi thứ bên mình”. Tất nhiên, tính chất này đúng với mọi vectơ. Thật buồn cười là bản thân các vectơ cơ sở (miễn phí) không nhất thiết phải được vẽ từ gốc; một vectơ có thể được vẽ, chẳng hạn như ở dưới cùng bên trái và vectơ kia ở trên cùng bên phải, và sẽ không có gì thay đổi! Đúng, bạn không cần phải làm điều này, vì giáo viên cũng sẽ thể hiện sự độc đáo và ghi điểm “tín dụng” cho bạn ở một nơi không ngờ tới.

Các vectơ minh họa chính xác quy tắc nhân một vectơ với một số, vectơ cùng hướng với vectơ cơ sở, vectơ có hướng ngược với vectơ cơ sở. Đối với các vectơ này, một trong các tọa độ bằng 0, bạn có thể viết nó một cách tỉ mỉ như thế này:


Và nhân tiện, các vectơ cơ sở giống như thế này: (trên thực tế, chúng được thể hiện thông qua chính chúng).

Và cuối cùng: , . Nhân tiện, phép trừ vectơ là gì và tại sao tôi không nói về quy tắc trừ? Ở đâu đó trong đại số tuyến tính, Tôi không nhớ ở đâu, tôi lưu ý rằng phép trừ là trường hợp đặc biệt phép cộng. Do đó, việc khai triển các vectơ “de” và “e” có thể dễ dàng viết dưới dạng tổng: , . Sắp xếp lại các số hạng và xem trong hình vẽ cách cộng các vectơ cũ theo quy tắc tam giác hoạt động tốt như thế nào trong những tình huống này.

Việc phân hủy được coi là của biểu mẫu đôi khi được gọi là phân rã vector trong hệ thống ort(tức là trong một hệ vectơ đơn vị). Nhưng đây không phải là cách duy nhất để viết vectơ; tùy chọn sau đây là phổ biến:

Hoặc với dấu bằng:

Bản thân các vectơ cơ sở được viết như sau: và

Nghĩa là tọa độ của vectơ được biểu thị trong ngoặc đơn. TRONG vấn đề thực tế Tất cả ba tùy chọn ghi đều được sử dụng.

Tôi phân vân không biết có nên nói không, nhưng tôi vẫn nói: tọa độ vector không thể được sắp xếp lại. Nghiêm túc ở vị trí đầu tiên chúng ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị, đúng ở vị trí thứ hai chúng ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị. Thật vậy, và là hai vectơ khác nhau.

Chúng tôi đã tìm ra tọa độ trên máy bay. Bây giờ chúng ta hãy xem các vectơ trong không gian ba chiều, hầu hết mọi thứ ở đây đều giống nhau! Nó sẽ chỉ thêm một tọa độ nữa. Thật khó để tạo các bản vẽ ba chiều, vì vậy tôi sẽ giới hạn ở một vectơ, để đơn giản, tôi sẽ tách khỏi gốc:

Bất kì vectơ không gian ba chiều Có thể cách duy nhất khai triển trên cơ sở trực chuẩn:
, tọa độ của vectơ (số) trong cơ sở này ở đâu.

Ví dụ từ hình ảnh: . Hãy xem các quy tắc vectơ hoạt động như thế nào ở đây. Đầu tiên, nhân vectơ với số: (mũi tên đỏ), (mũi tên xanh) và (mũi tên quả mâm xôi). Thứ hai, đây là ví dụ về việc cộng một số vectơ, trong trường hợp này là ba vectơ: . Vectơ tổng bắt đầu tại điểm bắt đầu khởi hành (điểm bắt đầu của vectơ) và kết thúc ở điểm đến cuối cùng (điểm cuối của vectơ).

Tất cả các vectơ của không gian ba chiều, một cách tự nhiên, cũng tự do; hãy cố gắng gạt vectơ đó ra khỏi bất kỳ điểm nào khác trong đầu, và bạn sẽ hiểu rằng sự phân rã của nó “sẽ vẫn ở lại với nó”.

Tương tự như trường hợp phẳng, ngoài chức năng viết các phiên bản có dấu ngoặc được sử dụng rộng rãi: .

Nếu một (hoặc hai) vectơ tọa độ bị thiếu trong khai triển thì các số 0 sẽ được đặt vào vị trí của chúng. Ví dụ:
vectơ (một cách tỉ mỉ ) – hãy viết ;
vectơ (một cách tỉ mỉ ) – hãy viết ;
vectơ (một cách tỉ mỉ ) – hãy viết .

Các vectơ cơ sở được viết như sau:

Đó có lẽ là mức tối thiểu kiến thức lý thuyết, cần thiết để giải các bài toán hình học giải tích. Có thể có rất nhiều thuật ngữ và định nghĩa nên tôi khuyên các ấm trà nên đọc lại và hiểu kỹ lại những thông tin này. Và nó sẽ hữu ích cho bất kỳ độc giả nào tham khảo bài học cơ bản Vì hấp thụ tốt hơn vật liệu. Tính cộng tuyến, tính trực giao, cơ sở trực giao, phân rã vectơ - những khái niệm này và các khái niệm khác sẽ thường được sử dụng trong tương lai. Tôi muốn lưu ý rằng tài liệu của trang web không đủ để vượt qua bài kiểm tra lý thuyết hoặc hội thảo về hình học, vì tôi mã hóa cẩn thận tất cả các định lý (và không có bằng chứng) - gây bất lợi cho phong cách khoa học trình bày mà còn là một điểm cộng cho sự hiểu biết của bạn về chủ đề này. Để nhận được thông tin lý thuyết chi tiết, xin vui lòng cúi chào Giáo sư Atanasyan.

Và chúng ta chuyển sang phần thực hành:

Những bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích.
Hành động với vectơ trong tọa độ

Rất nên học cách giải quyết các nhiệm vụ sẽ được coi là hoàn toàn tự động và các công thức ghi nhớ, không nhớ cụ thể thì họ sẽ nhớ mình =)) Điều này rất quan trọng, vì nói một cách đơn giản nhất ví dụ cơ bản các bài toán hình học giải tích khác đều có cơ sở, và sẽ thật đáng tiếc nếu dành thêm thời gian để ăn thịt những con tốt. Không cần phải cài cúc trên cùng của áo sơ mi; nhiều thứ đã quen thuộc với bạn từ thời đi học.

Việc trình bày tài liệu sẽ tuân theo một tiến trình song song - cả về mặt phẳng và không gian. Vì lý do mà tất cả các công thức... bạn sẽ tự mình nhìn thấy.

Làm thế nào để tìm một vectơ từ hai điểm?

Nếu cho trước hai điểm của mặt phẳng thì vectơ có tọa độ như sau:

Nếu cho trước hai điểm trong không gian thì vectơ có tọa độ như sau:

Đó là, từ tọa độ điểm cuối của vectơ bạn cần trừ tọa độ tương ứng phần đầu của vectơ.

Bài tập:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Công thức ở cuối bài học.

Ví dụ 1

Cho hai điểm của mặt phẳng và . Tìm tọa độ vectơ

Giải pháp: theo công thức thích hợp:

Ngoài ra, mục sau có thể được sử dụng:

Thẩm mỹ sẽ quyết định điều này:

Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của bản ghi âm.

Trả lời:

Theo điều kiện thì không nhất thiết phải xây dựng một bản vẽ (điển hình cho các bài toán hình học giải tích), nhưng để làm rõ một số điểm cho người giả, tôi sẽ không lười biếng:

Bạn chắc chắn cần phải hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:

tọa độ điểm– đây là các tọa độ thông thường trong hệ tọa độ hình chữ nhật. Đặt điểm vào mặt phẳng tọa độ Tôi nghĩ mọi người đều có thể làm được từ lớp 5 đến lớp 6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên mặt phẳng và chúng không thể di chuyển đi bất cứ đâu.

Tọa độ của vectơ– đây là sự khai triển của nó theo cơ sở, trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào đều miễn phí, vì vậy nếu cần, chúng ta có thể dễ dàng di chuyển nó ra khỏi một số điểm khác trong mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ, bạn không cần phải xây dựng trục hoặc hệ tọa độ hình chữ nhật, bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này là cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng.

Các bản ghi tọa độ điểm và tọa độ của vectơ có vẻ giống nhau: và ý nghĩa tọa độ tuyệt đối khác biệt, và bạn nên nhận thức rõ về sự khác biệt này. Tất nhiên, sự khác biệt này cũng áp dụng cho không gian.

Thưa quý vị, hãy lấp đầy bàn tay của chúng tôi:

Ví dụ 2

a) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
b) Điểm được cho Và . Tìm vectơ và .
c) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
d) Điểm được cho. Tìm vectơ .

Có lẽ thế là đủ. Đây là những ví dụ cho quyết định độc lập, hãy cố gắng đừng bỏ bê chúng, nó sẽ được đền đáp ;-). Không cần phải vẽ bản vẽ. Lời giải và đáp án cuối bài.

Điều quan trọng khi giải các bài toán hình học giải tích là gì?Điều quan trọng là phải CỰC KỲ CẨN THẬN để tránh mắc phải sai lầm bậc thầy “hai cộng hai bằng 0”. Có sai sót ở đâu thì xin lỗi ngay nhé =))

Làm thế nào để tìm độ dài của một đoạn?

Độ dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu mô đun.

Nếu cho hai điểm của mặt phẳng và , thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Nếu có hai điểm trong không gian và cho trước thì độ dài của đoạn đó có thể được tính bằng công thức

Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu đổi chỗ tọa độ tương ứng: và , nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn

Ví dụ 3

Giải pháp: theo công thức thích hợp:

Trả lời:

Để rõ ràng, tôi sẽ vẽ

Phân đoạn – đây không phải là một vectơ và tất nhiên là bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu. Ngoài ra nếu vẽ theo tỷ lệ: 1 đơn vị. = 1 cm (hai ô vở), thì có thể kiểm tra câu trả lời thu được bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn.

Đúng, giải pháp rất ngắn gọn, nhưng có một số điểm quan trọng hơn mà tôi muốn làm rõ:

Đầu tiên, trong câu trả lời chúng ta đặt thứ nguyên: “đơn vị”. Điều kiện không cho biết đó là CÁI GÌ, milimét, centimét, mét hoặc kilômét. Do đó, một giải pháp đúng về mặt toán học sẽ là công thức chung: “đơn vị” – viết tắt là “đơn vị”.

Thứ hai, hãy lặp lại tài liệu học tập, điều này không chỉ hữu ích cho vấn đề đang được xem xét:

Xin lưu ý quan trọng kỹ thuật kỹ thuật – loại bỏ số nhân từ dưới gốc. Kết quả của các phép tính, chúng ta có một kết quả và phong cách toán học tốt liên quan đến việc loại bỏ hệ số khỏi gốc (nếu có thể). Chi tiết hơn, quá trình này trông như thế này: . Tất nhiên, để lại câu trả lời như cũ không phải là một sai lầm - nhưng chắc chắn đó sẽ là một thiếu sót và là một lập luận nặng nề cho việc ngụy biện từ phía giáo viên.

Dưới đây là những trường hợp phổ biến khác:

Thường có đủ ở gốc số lượng lớn, Ví dụ . Phải làm gì trong những trường hợp như vậy? Sử dụng máy tính, chúng tôi kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 hay không: . Vâng, nó đã được chia hoàn toàn, do đó: . Hoặc có thể số đó lại có thể chia cho 4? . Như vậy: . Chữ số cuối cùng của số là số lẻ nên việc chia cho 4 lần thứ ba hiển nhiên sẽ không được. Hãy thử chia cho chín: . Kết quả là:
Sẵn sàng.

Phần kết luận: nếu dưới gốc, chúng ta nhận được một số không thể trích ra toàn bộ, thì chúng ta sẽ cố gắng loại bỏ hệ số từ dưới gốc - bằng máy tính, chúng ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, v.v.

Khi giải các bài toán khác nhau, gốc rễ thường gặp phải; hãy luôn cố gắng rút ra các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm kém và những vấn đề không đáng có khi hoàn thiện lời giải của mình dựa trên nhận xét của giáo viên.

Chúng ta cũng hãy lặp lại căn bậc hai và các lũy thừa khác:

Quy tắc cho các hành động có mức độ trong cái nhìn tổng quát có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa đại số ở trường, nhưng tôi nghĩ từ những ví dụ đã cho, mọi thứ hoặc gần như mọi thứ đều đã rõ ràng.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập với một phân đoạn trong không gian:

Ví dụ 4

Điểm và được đưa ra. Tìm độ dài của đoạn đó.

Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?

Nếu cho trước một vectơ phẳng thì độ dài của nó được tính theo công thức.

Nếu cho trước một vectơ không gian thì độ dài của nó được tính theo công thức .

oxy

VỀ MỘT viêm khớp.

, Ở đâu viêm khớp .

Như vậy, .

Hãy xem một ví dụ.

Ví dụ.

Giải pháp.

:

Trả lời:

oxyz trong không gian.

MỘT viêm khớp sẽ là một đường chéo.

Trong trường hợp này (vì viêm khớp viêm khớp .

Như vậy, chiều dài vectơ .

Ví dụ.

Tính chiều dài vectơ

Giải pháp.

, kể từ đây,

Trả lời:

Đường thẳng trên mặt phẳng

phương trình tổng quát

Ax + By + C ( > 0).

Vectơ = (A;B) là một vectơ chuẩn tắc.

Ở dạng vectơ: + C = 0, vectơ bán kính ở đâu điểm tùy ý trên một đường thẳng (Hình 4.11).

Các trường hợp đặc biệt:

1) Bởi + C = 0- Đường thẳng song song với trục Con bò đực;

2) Rìu + C = 0- Đường thẳng song song với trục Ôi;

3) Rìu + Bởi = 0- đường thẳng đi qua gốc tọa độ;

4) y = 0- trục Con bò đực;

5) x = 0- trục Ôi.

Phương trình của một đường trong đoạn

Ở đâu một, b- giá trị của các đoạn bị cắt bởi đường thẳng trên trục tọa độ.

phương trình bình thường trực tiếp(Hình 4.11)

đâu là góc tạo thành vuông góc với đường thẳng và trục Con bò đực; P- khoảng cách từ gốc đến đường thẳng.

Đưa phương trình tổng quát thẳng về dạng chuẩn:

Đây là hệ số chuẩn hóa của dòng; dấu hiệu đã được chọn dấu hiệu ngược lại C, nếu và tùy ý, nếu C=0.

Tìm độ dài của vectơ từ tọa độ.

Chúng ta sẽ biểu thị độ dài của vectơ bằng . Do ký hiệu này nên độ dài của vectơ thường được gọi là mô đun của vectơ.

Hãy bắt đầu bằng cách tìm độ dài của vectơ trên mặt phẳng bằng tọa độ.

Hãy giới thiệu hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trên mặt phẳng oxy. Hãy để một vectơ được chỉ định trong đó và có tọa độ. Chúng ta thu được một công thức cho phép chúng ta tìm độ dài của vectơ thông qua tọa độ và .

Chúng ta hãy bỏ qua gốc tọa độ (từ điểm VỀ) vectơ . Hãy biểu thị hình chiếu của điểm MỘT trên các trục tọa độ tương ứng và xem xét một hình chữ nhật có đường chéo viêm khớp.

Theo định lý Pythagore, đẳng thức là đúng , Ở đâu . Từ định nghĩa tọa độ vectơ trong hệ tọa độ chữ nhật, ta có thể phát biểu rằng và , và bằng cách xây dựng độ dài viêm khớp bằng độ dài của vectơ, do đó, .

Như vậy, công thức tìm độ dài của vectơ theo tọa độ của nó trên mặt phẳng có dạng .

Nếu vectơ được biểu diễn dưới dạng khai triển trong vectơ tọa độ , thì chiều dài của nó được tính bằng công thức tương tự , vì trong trường hợp này các hệ số và là tọa độ của vectơ trong một hệ tọa độ nhất định.

Hãy xem một ví dụ.

Ví dụ.

Tìm độ dài của vectơ đã cho trong hệ tọa độ Descartes.

Giải pháp.

Áp dụng ngay công thức tìm độ dài vectơ từ tọa độ :

Trả lời:

Bây giờ chúng ta có công thức tìm độ dài của vectơ theo tọa độ của nó trong hệ tọa độ chữ nhật oxyz trong không gian.

Chúng ta hãy vẽ vectơ từ gốc tọa độ và biểu thị hình chiếu của điểm MỘT trên các trục tọa độ là và . Sau đó chúng ta có thể xây dựng ở các bên và hình khối, trong đó viêm khớp sẽ là một đường chéo.

Trong trường hợp này (vì viêm khớp– đường chéo của hình chữ nhật song song), từ đó . Việc xác định tọa độ của một vectơ cho phép chúng ta viết các đẳng thức và độ dài viêm khớp bằng với độ dài vectơ mong muốn, do đó, .

Như vậy, chiều dài vectơ trong không gian bằng căn bậc hai của tổng bình phương tọa độ của nó, tức là được tìm thấy bởi công thức .

Ví dụ.

Tính chiều dài vectơ , ở đâu là các vectơ đơn vị của hệ tọa độ hình chữ nhật.

Giải pháp.

Chúng ta được phân tích vectơ thành các vectơ tọa độ có dạng , kể từ đây, . Sau đó, sử dụng công thức tìm độ dài của vectơ từ tọa độ, chúng ta có .

Cấp độ đầu vào

Tọa độ và vectơ. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ bắt đầu thảo luận về một “cây đũa thần” cho phép bạn biến nhiều bài toán hình học thành số học đơn giản. “Cây gậy” này có thể giúp cuộc sống của bạn dễ dàng hơn nhiều, đặc biệt là khi bạn cảm thấy không chắc chắn trong việc xây dựng các hình, mặt cắt không gian, v.v. Tất cả điều này đòi hỏi trí tưởng tượng và kỹ năng thực tế nhất định. Phương pháp mà chúng tôi sẽ bắt đầu xem xét ở đây sẽ cho phép bạn gần như hoàn toàn trừu tượng khỏi bất kỳ loại công trình hình học và lý luận. Phương pháp này được gọi là "phương pháp tọa độ". Trong bài này chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi sau:

1. Mặt phẳng tọa độ
2. Điểm và vectơ trên mặt phẳng
3. Xây dựng một vectơ từ hai điểm
4. Độ dài vectơ (khoảng cách giữa hai điểm)​
5. Tọa độ giữa của đoạn
6. Tích vô hướng của vectơ
7. Góc giữa hai vectơ

Tôi nghĩ bạn đã đoán được tại sao phương thức tọa độ lại được gọi như vậy rồi? Đúng vậy, nó có tên đó vì nó hoạt động không phải với các đối tượng hình học mà với đặc điểm số(tọa độ). Và bản thân phép biến đổi, cho phép chúng ta chuyển từ hình học sang đại số, bao gồm việc giới thiệu một hệ tọa độ. Nếu hình ban đầu phẳng thì tọa độ là hai chiều, còn nếu hình ban đầu là ba chiều thì tọa độ là ba chiều. Trong bài này chúng ta chỉ xét trường hợp hai chiều. Và mục tiêu chính của bài viết là hướng dẫn các bạn cách sử dụng một số kỹ thuật cơ bản phương pháp tọa độ (đôi khi chúng tỏ ra hữu ích khi giải các bài toán về phép đo mặt phẳng trong Phần B của Kỳ thi Thống nhất). Hai phần tiếp theo về chủ đề này được dành để thảo luận về các phương pháp giải bài toán C2 (bài toán lập thể).

Sẽ hợp lý ở đâu khi bắt đầu thảo luận về phương pháp tọa độ? Có lẽ là từ khái niệm hệ tọa độ. Hãy nhớ lại lần đầu tiên bạn gặp cô ấy. Đối với tôi, dường như ở lớp 7, khi bạn học về sự tồn tại hàm tuyến tính, Ví dụ. Hãy để tôi nhắc bạn rằng bạn đã xây dựng nó từng điểm một. Bạn có nhớ không? Bạn đã chọn số tùy ý, thay thế nó vào công thức và tính toán theo cách này. Ví dụ: nếu, thì, nếu, thì, v.v. Cuối cùng bạn đã nhận được gì? Và bạn đã nhận được điểm có tọa độ: và. Tiếp theo, bạn vẽ một “chữ thập” (hệ tọa độ), chọn thang đo trên đó (bạn sẽ có bao nhiêu ô dưới dạng một đoạn đơn vị) và đánh dấu các điểm bạn thu được trên đó, sau đó bạn nối chúng bằng một đường thẳng; đường thẳng là đồ thị của hàm số.

Ở đây có một số điểm cần được giải thích chi tiết hơn cho bạn:

1. Bạn chọn một đoạn duy nhất vì lý do thuận tiện, sao cho mọi thứ đều đẹp và gọn trong bản vẽ.

2. Chấp nhận trục đi từ trái sang phải, trục đi từ dưới lên trên

3. Chúng cắt nhau vuông góc và giao điểm của chúng được gọi là gốc tọa độ. Nó được chỉ định bởi một lá thư.

4. Khi viết tọa độ của một điểm, ví dụ, bên trái trong ngoặc đơn là tọa độ của điểm dọc theo trục và bên phải, dọc theo trục. Đặc biệt, nó đơn giản có nghĩa là tại thời điểm

5. Để xác định điểm bất kỳ trên trục tọa độ, bạn cần chỉ ra tọa độ của điểm đó (2 số)

6. Với mọi điểm nằm trên trục,

7. Với mọi điểm nằm trên trục,

8. Trục được gọi là trục x

9. Trục được gọi là trục y

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện bước tiếp theo: đánh dấu hai điểm. Hãy kết nối hai điểm này với một đoạn. Và chúng ta sẽ đặt mũi tên như thể chúng ta đang vẽ một đoạn từ điểm này sang điểm khác: nghĩa là chúng ta sẽ làm cho đoạn của mình được định hướng!

Bạn có nhớ một đoạn định hướng khác được gọi là gì không? Đúng vậy, nó được gọi là vector!

Vì vậy, nếu chúng ta kết nối dấu chấm với dấu chấm, và điểm đầu sẽ là điểm A, và điểm cuối sẽ là điểm B, thì chúng ta nhận được một vectơ. Bạn cũng đã làm công việc này vào năm lớp 8, nhớ không?

Hóa ra các vectơ, giống như các điểm, có thể được biểu thị bằng hai số: những số này được gọi là tọa độ vectơ. Câu hỏi: Theo bạn, chỉ cần biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối của một vectơ là đủ để tìm tọa độ của nó phải không? Hóa ra là có! Và việc này được thực hiện rất đơn giản:

Do đó, vì trong một vectơ, điểm là điểm đầu và điểm cuối là điểm cuối nên vectơ có tọa độ sau:

Ví dụ: nếu thì tọa độ của vectơ

Bây giờ hãy làm ngược lại, tìm tọa độ của vectơ. Chúng ta cần thay đổi điều gì cho điều này? Có, bạn cần hoán đổi phần đầu và phần cuối: bây giờ phần đầu của vectơ sẽ ở điểm và phần cuối sẽ ở điểm. Sau đó:

Hãy nhìn kỹ, sự khác biệt giữa vectơ và là gì? Sự khác biệt duy nhất của họ là các dấu hiệu trong tọa độ. Họ là những đối lập. Thực tế này thường được viết như thế này:

Đôi khi, nếu không nói rõ điểm nào là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối của vectơ thì vectơ được ký hiệu bằng nhiều hơn hai bằng chữ in hoa và một chữ thường, ví dụ: , v.v.

Bây giờ một chút luyện tập và tìm tọa độ của các vectơ sau:

Bài kiểm tra:

Bây giờ hãy giải một bài toán khó hơn một chút:

Một vectơ có điểm bắt đầu tại một điểm có co-or-di-na-you. Tìm các điểm abs-cis-su.

Tất cả đều khá tầm thường: Gọi là tọa độ của điểm. Sau đó

Tôi đã biên soạn hệ thống dựa trên định nghĩa tọa độ vectơ là gì. Khi đó điểm có tọa độ. Chúng tôi quan tâm đến abscissa. Sau đó

Trả lời:

Bạn có thể làm gì khác với vectơ? Vâng, hầu hết mọi thứ đều giống như với số thông thường(ngoại trừ việc bạn không thể chia, nhưng bạn có thể nhân theo hai cách, một trong số đó chúng ta sẽ thảo luận ở đây sau)

1. Các vectơ có thể được thêm vào nhau
2. Các vectơ có thể được trừ khỏi nhau
3. Các vectơ có thể được nhân (hoặc chia) với một số khác 0 tùy ý
4. Các vectơ có thể nhân với nhau

Tất cả các hoạt động này có một biểu diễn hình học rất rõ ràng. Ví dụ: quy tắc tam giác (hoặc hình bình hành) để cộng và trừ:

Một vectơ giãn ra, co lại hoặc đổi hướng khi nhân hoặc chia cho một số:

Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ quan tâm đến câu hỏi điều gì xảy ra với tọa độ.

1. Khi cộng (trừ) hai vectơ, ta cộng (trừ) từng phần tử tọa độ của chúng. Đó là:

2. Khi nhân (chia) một vectơ với một số, tất cả tọa độ của nó đều được nhân (chia) với số này:

Ví dụ:

· Tìm số lượng co-or-di-nat thế kỷ-to-ra.

Trước tiên chúng ta hãy tìm tọa độ của từng vectơ. Cả hai đều có cùng một nguồn gốc - điểm gốc. Kết thúc của họ là khác nhau. Sau đó, . Bây giờ hãy tính tọa độ của vectơ Khi đó tổng tọa độ của vectơ thu được bằng nhau.

Trả lời:

Bây giờ hãy tự mình giải quyết vấn đề sau:

· Tìm tổng tọa độ vectơ

Chúng tôi kiểm tra:

Bây giờ chúng ta xét bài toán sau: chúng ta có hai điểm trên mặt phẳng tọa độ. Làm thế nào để tìm thấy khoảng cách giữa chúng? Hãy để điểm đầu tiên, và điểm thứ hai. Hãy để chúng tôi biểu thị khoảng cách giữa chúng bằng. Chúng ta hãy thực hiện bản vẽ sau đây cho rõ ràng:

Tôi đã làm gì thế này? Đầu tiên, tôi nối các dấu chấm và vẽ một đường từ điểm đó, song song với trục, và từ điểm tôi vẽ một đường thẳng song song với trục. Chúng có giao nhau tại một điểm, tạo thành một hình đáng chú ý không? Có gì đặc biệt ở cô ấy? Vâng, bạn và tôi biết hầu hết mọi thứ về tam giác vuông. Vâng, chắc chắn là định lý Pythagore. Đoạn cần tìm là cạnh huyền của tam giác này và các đoạn là chân. Tọa độ của điểm là gì? Có, chúng rất dễ tìm thấy từ hình ảnh: Vì các đoạn thẳng song song với các trục và tương ứng, độ dài của chúng rất dễ tìm thấy: nếu chúng ta biểu thị độ dài của các đoạn tương ứng bằng, thì

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng định lý Pythagore. Chúng ta biết chiều dài của chân, chúng ta sẽ tìm thấy cạnh huyền:

Do đó, khoảng cách giữa hai điểm là gốc của tổng bình phương chênh lệch so với tọa độ. Hoặc - khoảng cách giữa hai điểm là độ dài của đoạn nối chúng.

Dễ dàng nhận thấy khoảng cách giữa các điểm không phụ thuộc vào hướng. Sau đó:

Hãy luyện tập một chút về cách tính khoảng cách giữa hai điểm:

Ví dụ: nếu thì khoảng cách giữa và bằng

Hoặc chúng ta đi cách khác: tìm tọa độ của vectơ

Và tìm độ dài của vectơ:

Như bạn có thể thấy, đó là điều tương tự!

Bây giờ hãy tự mình thực hành một chút:

Nhiệm vụ: tìm khoảng cách giữa các điểm được chỉ định:

Chúng tôi kiểm tra:

Dưới đây là một vài vấn đề nữa khi sử dụng cùng một công thức, mặc dù chúng nghe có vẻ hơi khác một chút:

1. Tìm bình phương chiều dài của mí mắt.

2. Tìm bình phương chiều dài mí mắt

Tôi nghĩ bạn đã giải quyết chúng mà không gặp khó khăn gì? Chúng tôi kiểm tra:

1. Và đây là để chú ý) Chúng ta đã tìm thấy tọa độ của các vectơ trước đó: . Khi đó vectơ có tọa độ. Bình phương chiều dài của nó sẽ bằng:

2. Tìm tọa độ của vectơ

Khi đó bình phương độ dài của nó là

Không có gì phức tạp phải không? Số học đơn giản, không có gì hơn.

Các vấn đề sau đây không thể được phân loại một cách rõ ràng; chúng thiên về sự uyên bác nói chung và khả năng vẽ những bức tranh đơn giản.

1. Tìm sin của góc từ vết cắt, nối điểm với trục hoành.

Và

Chúng ta sẽ tiếp tục như thế nào đây? Chúng ta cần tìm sin của góc giữa và trục. Chúng ta có thể tìm sin ở đâu? Đúng vậy, trong một tam giác vuông. Vậy chúng ta cần phải làm gì? Hãy xây dựng hình tam giác này!

Vì tọa độ của điểm là và nên đoạn thẳng bằng và đoạn thẳng. Chúng ta cần tìm sin của góc. Hãy để tôi nhắc bạn rằng sin là một tỷ lệ phía đối diệnđến cạnh huyền thì

Chúng ta còn lại gì để làm? Tìm cạnh huyền. Bạn có thể thực hiện việc này theo hai cách: sử dụng định lý Pythagore (đã biết hai chân!) hoặc sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm (trên thực tế, điều này tương tự như phương pháp đầu tiên!). Tôi sẽ đi theo cách thứ hai:

Trả lời:

Nhiệm vụ tiếp theo sẽ có vẻ dễ dàng hơn với bạn. Cô ấy đang ở tọa độ của điểm.

Nhiệm vụ 2. Từ điểm per-pen-di-ku-lyar được hạ xuống trục ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Hãy vẽ một bức tranh:

Đáy của đường vuông góc là điểm tại đó nó cắt trục x (trục), đối với tôi đây là một điểm. Hình vẽ cho thấy nó có tọa độ: . Chúng tôi quan tâm đến abscissa - nghĩa là thành phần “x”. Cô ấy bình đẳng.

Trả lời: .

Nhiệm vụ 3. Trong điều kiện của bài toán trước, hãy tìm tổng khoảng cách từ điểm đến các trục tọa độ.

Nhiệm vụ nói chung là cơ bản nếu bạn biết khoảng cách từ một điểm đến các trục là bao nhiêu. Bạn biết? Tôi hy vọng, nhưng tôi vẫn sẽ nhắc bạn:

Vì vậy, trong bản vẽ của tôi ở trên, tôi đã vẽ một đường vuông góc như vậy chưa? Nó nằm trên trục nào? Đến trục. Và chiều dài của nó là bao nhiêu? Cô ấy bình đẳng. Bây giờ hãy tự vẽ một đường vuông góc với trục và tìm độ dài của nó. Sẽ bình đẳng phải không? Khi đó tổng của chúng bằng nhau.

Trả lời: .

Nhiệm vụ 4. Trong điều kiện của bài 2, hãy tìm tọa độ của điểm điểm đối xứng so với trục abscissa.

Tôi nghĩ bằng trực giác, bạn có thể hiểu rõ đối xứng là gì? Nhiều đồ vật có nó: nhiều tòa nhà, cái bàn, máy bay, nhiều hình dạng hình học: quả bóng, hình trụ, hình vuông, hình thoi, v.v. Nói một cách đại khái, tính đối xứng có thể hiểu như sau: một hình gồm hai (hoặc nhiều) nửa giống hệt nhau. Sự đối xứng này được gọi là đối xứng trục. Vậy trục là gì? Nói một cách tương đối, đây chính xác là đường mà hình có thể được “cắt” thành hai nửa bằng nhau (trong bức tranh này, trục đối xứng là thẳng):

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại nhiệm vụ của chúng ta. Chúng ta biết rằng chúng ta đang tìm một điểm đối xứng qua trục. Khi đó trục này là trục đối xứng. Điều này có nghĩa là chúng ta cần đánh dấu một điểm sao cho trục cắt đoạn đó thành hai phần bằng nhau. Hãy cố gắng tự mình đánh dấu một điểm như vậy. Bây giờ so sánh với giải pháp của tôi:

Nó có diễn ra theo cách tương tự với bạn không? Khỏe! Chúng ta quan tâm đến tọa độ của điểm tìm thấy. Nó bằng nhau

Trả lời:

Bây giờ hãy cho tôi biết, sau khi suy nghĩ trong vài giây, hoành độ của một điểm đối xứng với điểm A so với trục hoành sẽ là bao nhiêu? Câu trả lời của bạn là gì? Câu trả lời đúng: .

Nói chung, quy tắc có thể được viết như thế này:

Một điểm đối xứng với một điểm so với trục hoành có tọa độ:

Một điểm đối xứng với một điểm so với trục hoành có tọa độ:

Chà, bây giờ nó hoàn toàn đáng sợ nhiệm vụ: tìm tọa độ của một điểm đối xứng với điểm đó so với gốc tọa độ. Trước tiên bạn hãy tự suy nghĩ và sau đó nhìn vào bức vẽ của tôi!

Trả lời:

Hiện nay bài toán hình bình hành:

Nhiệm vụ 5: Các điểm xuất hiện ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Tìm or-di-on-điểm đó.

Bạn có thể giải quyết vấn đề này bằng hai cách: logic và phương pháp tọa độ. Trước tiên, tôi sẽ sử dụng phương pháp tọa độ, sau đó tôi sẽ cho bạn biết cách giải theo cách khác.

Rõ ràng là trục hoành của điểm bằng nhau. (nằm trên đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến trục hoành). Chúng ta cần tìm tọa độ. Hãy lợi dụng thực tế là hình của chúng ta là hình bình hành, điều này có nghĩa là như vậy. Hãy tìm độ dài của đoạn bằng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:

Chúng ta hạ thấp đường vuông góc nối điểm với trục. Tôi sẽ biểu thị điểm giao nhau bằng một chữ cái.

Độ dài của đoạn bằng nhau. (hãy tự tìm ra vấn đề mà chúng ta đã thảo luận ở điểm này), sau đó chúng ta sẽ tìm độ dài của đoạn bằng định lý Pythagore:

Độ dài của một đoạn trùng khớp chính xác với tọa độ của nó.

Trả lời: .

Một giải pháp khác (tôi sẽ chỉ đưa ra một hình ảnh minh họa nó)

Tiến độ giải quyết:

1. Ứng xử

2. Tìm tọa độ điểm và độ dài

3. Chứng minh điều đó.

Một cái nữa vấn đề về độ dài đoạn:

Các điểm xuất hiện trên đỉnh của hình tam giác. Tìm độ dài đường trung tuyến của nó, song song.

Bạn có nhớ nó là gì không đường giữa hình tam giác? Sau đó, nhiệm vụ này là cơ bản đối với bạn. Nếu bạn không nhớ thì tôi nhắc bạn: đường trung bình của tam giác là đường nối các trung điểm các mặt đối diện. Nó song song với đáy và bằng một nửa đáy.

Cơ sở là một phân khúc. Chúng ta phải tìm độ dài của nó sớm hơn, nó bằng nhau. Khi đó chiều dài của đường giữa lớn bằng một nửa và bằng nhau.

Trả lời: .

Nhận xét: vấn đề này có thể được giải quyết theo cách khác mà chúng ta sẽ đề cập sau.

Trong lúc chờ đợi, đây là một số vấn đề dành cho bạn, hãy thực hành chúng, chúng rất đơn giản nhưng chúng giúp bạn sử dụng phương pháp tọa độ tốt hơn!

1. Điểm là đỉnh cao của tra-pe-tions. Tìm độ dài đường trung tuyến của nó.

2. Điểm và ngoại hình ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Tìm or-di-on-điểm đó.

3. Tìm độ dài từ vết cắt, nối điểm và

4. Tìm diện tích phía sau hình màu trên mặt phẳng tọa độ.

5. Một đường tròn có tâm na-cha-le ko-or-di-nat đi qua một điểm. Tìm cô ấy ra-di-us.

6. Tìm-di-te ra-di-us của hình tròn, mô tả-san-noy về góc vuông-no-ka, đỉnh của vật gì đó có co-hoặc -di-na-bạn thật là có trách nhiệm

Giải pháp:

1. Biết rằng đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy của nó. Cơ sở bằng nhau và cơ sở. Sau đó

Trả lời:

2. Cách dễ nhất để giải bài toán này là lưu ý rằng (quy tắc hình bình hành). Tính tọa độ vectơ không khó: . Khi thêm vectơ, tọa độ sẽ được thêm vào. Sau đó có tọa độ. Điểm cũng có các tọa độ này, vì gốc của vectơ là điểm có tọa độ. Chúng tôi quan tâm đến sắc lệnh. Cô ấy bình đẳng.

Trả lời:

3. Ta thực hiện ngay theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:

Trả lời:

4. Nhìn vào bức tranh và cho tôi biết phần tô bóng được “kẹp” vào giữa hai hình nào? Nó được kẹp giữa hai hình vuông. Khi đó diện tích của hình mong muốn bằng diện tích của hình vuông lớn trừ đi diện tích của hình nhỏ. Bên hình vuông nhỏ là đoạn nối các điểm và có độ dài là

Khi đó diện tích hình vuông nhỏ là

Ta làm tương tự với một hình vuông lớn: cạnh của nó là đoạn nối các điểm và có chiều dài là

Khi đó diện tích hình vuông lớn là

Chúng tôi tìm diện tích của hình mong muốn bằng công thức:

Trả lời:

5. Nếu một đường tròn có gốc là tâm và đi qua một điểm thì bán kính của nó sẽ bằng bằng chiều dài phân đoạn (hãy vẽ và bạn sẽ hiểu tại sao điều này lại hiển nhiên). Hãy tìm độ dài của đoạn này:

Trả lời:

6. Đã biết bán kính của hình tròn ngoại tiếp một hình chữ nhật bằng một nửa các đường chéo của nó. Hãy tìm chiều dài của một trong hai đường chéo bất kỳ (xét cho cùng, trong hình chữ nhật, chúng bằng nhau!)

Trả lời:

Chà, bạn đã đương đầu được với mọi thứ chưa? Không quá khó để tìm ra nó phải không? Chỉ có một quy tắc ở đây - có thể tạo một bức tranh trực quan và chỉ cần “đọc” tất cả dữ liệu từ nó.

Chúng tôi còn lại rất ít. Thực sự có hai điểm nữa mà tôi muốn thảo luận.

Hãy thử giải quyết vấn đề đơn giản này. Hãy để hai điểm và được đưa ra. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Giải pháp cho vấn đề này như sau: đặt điểm ở giữa mong muốn thì nó có tọa độ:

Đó là: tọa độ của phần giữa của đoạn = giá trị trung bình số học của tọa độ tương ứng của các đầu của đoạn.

Quy tắc này rất đơn giản và thường không gây khó khăn cho học sinh. Hãy xem nó có vấn đề gì và nó được sử dụng như thế nào:

1. Tìm-di-te hay-di-na-tu se-re-di-ny từ-cắt, nối-điểm và

2. Những điểm dường như đứng đầu thế giới. Find-di-te hay-di-na-tu điểm per-re-se-che-niya của dia-go-na-ley của mình.

3. Tìm-di-te abs-cis-su tâm của hình tròn, mô tả-san-noy về hình chữ nhật-no-ka, phần trên của cái gì đó có co-hoặc-di-na-bạn vậy-có trách nhiệm-nhưng.

Giải pháp:

1. Vấn đề đầu tiên đơn giản là một vấn đề kinh điển. Chúng tôi tiến hành ngay để xác định phần giữa của đoạn. Nó có tọa độ. Thứ tự là bằng nhau.

Trả lời:

2. Dễ dàng nhận thấy tứ giác này là hình bình hành (thậm chí là hình thoi!). Bạn có thể tự chứng minh điều này bằng cách tính độ dài các cạnh và so sánh chúng với nhau. Em biết gì về hình bình hành? Các đường chéo của nó được chia đôi bởi điểm giao nhau! Vâng! Vậy điểm giao nhau của các đường chéo là gì? Đây là điểm giữa của bất kỳ đường chéo nào! Tôi sẽ chọn, đặc biệt, đường chéo. Khi đó điểm có tọa độ. Tọa độ của điểm bằng.

Trả lời:

3. Tâm của hình tròn ngoại tiếp hình chữ nhật trùng với tâm nào? Nó trùng với điểm giao nhau của các đường chéo của nó. Bạn biết gì về các đường chéo của hình chữ nhật? Chúng bằng nhau và giao điểm chia chúng làm đôi. Nhiệm vụ đã được giảm xuống nhiệm vụ trước đó. Hãy lấy đường chéo làm ví dụ. Khi đó nếu là tâm của đường tròn ngoại tiếp thì là điểm giữa. Tôi đang tìm tọa độ: Trục hoành bằng nhau.

Trả lời:

Bây giờ các bạn tự luyện tập một chút nhé, mình sẽ chỉ đưa ra đáp án từng vấn đề để các bạn tự kiểm tra.

1. Tìm-di-te ra-di-us của hình tròn, miêu tả-san-noy về ba góc-no-ka, đỉnh của vật gì đó có co-or-di -on-you

2. Tìm-di-te hoặc-di-trên-tâm đó của đường tròn, miêu tả-san-noy về tam giác-no-ka, các đỉnh của tam giác đó có tọa độ

3. Đường tròn có tâm tại một điểm sao cho trùng với trục ab-ciss sẽ là đường tròn như thế nào?

4. Tìm-di-those hoặc-di-on-that điểm đặt lại trục và from-cut, connect-the-point và

Câu trả lời:

Mọi thứ có thành công không? Tôi thực sự hy vọng như vậy! Bây giờ - lần đẩy cuối cùng. Bây giờ hãy đặc biệt cẩn thận. Tài liệu mà tôi sẽ giải thích bây giờ không chỉ liên quan trực tiếp đến nhiệm vụ đơn giảnđến phương pháp tọa độ ở phần B, nhưng cũng được tìm thấy ở mọi nơi trong bài toán C2.

Lời hứa nào tôi chưa giữ? Hãy nhớ những phép toán nào trên vectơ mà tôi đã hứa sẽ giới thiệu và những phép toán nào cuối cùng tôi đã giới thiệu? Bạn có chắc là tôi không quên điều gì không? Quên! Tôi quên giải thích ý nghĩa của phép nhân vectơ.

Có hai cách để nhân một vectơ với một vectơ. Tùy thuộc vào phương pháp đã chọn, chúng ta sẽ nhận được các đối tượng có tính chất khác nhau:

Sản phẩm chéo được thực hiện khá khéo léo. Chúng ta sẽ thảo luận về cách thực hiện và lý do cần thiết trong bài viết tiếp theo. Và trong phần này chúng ta sẽ tập trung vào tích vô hướng.

Có hai cách cho phép chúng ta tính toán:

Đúng như bạn đoán, kết quả sẽ giống nhau! Vì vậy, trước tiên hãy xem xét phương pháp đầu tiên:

Chấm sản phẩm qua tọa độ

Tìm: - chỉ định được chấp nhận chung sản phẩm chấm

Công thức tính toán như sau:

Tức là tích vô hướng = tổng các tích của tọa độ vectơ!

Ví dụ:

Tìm-di-te

Giải pháp:

Hãy tìm tọa độ của từng vectơ:

Chúng tôi tính tích vô hướng bằng công thức:

Trả lời:

Hãy xem, hoàn toàn không có gì phức tạp!

Vâng, bây giờ hãy tự mình thử:

· Tìm một nghiệm vô hướng của nhiều thế kỷ và

Bạn đã quản lý được chưa? Có lẽ bạn nhận thấy một đánh bắt nhỏ? Hãy kiểm tra:

Tọa độ vector như trong nhiệm vụ cuối cùng! Trả lời: .

Ngoài tọa độ, còn có một cách khác để tính tích vô hướng, đó là thông qua độ dài của vectơ và cosin của góc giữa chúng:

Biểu thị góc giữa các vectơ và.

Nghĩa là, tích vô hướng bằng tích độ dài của các vectơ và cosin của góc giữa chúng.

Tại sao chúng ta cần công thức thứ hai này, nếu chúng ta có công thức thứ nhất, đơn giản hơn nhiều, ít nhất là không có cosin trong đó. Và nó cần thiết để từ công thức thứ nhất và thứ hai, bạn và tôi có thể suy ra cách tìm góc giữa các vectơ!

Hãy nhớ công thức tính độ dài của vectơ!

Sau đó, nếu tôi thay thế dữ liệu này vào công thức tích vô hướng, tôi nhận được:

Nhưng mặt khác:

Vậy bạn và tôi đã nhận được gì? Bây giờ chúng ta có một công thức cho phép chúng ta tính góc giữa hai vectơ! Đôi khi nó cũng được viết như thế này cho ngắn gọn:

Tức là thuật toán tính góc giữa các vectơ như sau:

1. Tính tích vô hướng thông qua tọa độ
2. Tìm độ dài của các vectơ và nhân chúng
3. Chia kết quả của điểm 1 cho kết quả của điểm 2

Hãy thực hành với các ví dụ:

1. Tìm góc giữa mí mắt và. Đưa ra câu trả lời bằng grad-du-sah.

2. Trong điều kiện của bài toán trước, hãy tìm cosin giữa các vectơ

Hãy làm điều này: Tôi sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề đầu tiên và cố gắng tự giải quyết vấn đề thứ hai! Đồng ý? Vậy thì hãy bắt đầu!

1. Những vectơ này là bạn cũ của chúng ta. Chúng tôi đã tính tích vô hướng của họ và nó bằng nhau. Tọa độ của chúng là: , . Sau đó, chúng tôi tìm thấy độ dài của chúng:

Sau đó, chúng ta tìm cosin giữa các vectơ:

Cosin của góc là gì? Đây là góc.

Trả lời:

Bây giờ hãy tự mình giải quyết vấn đề thứ hai rồi so sánh! Tôi sẽ chỉ đưa ra một giải pháp rất ngắn gọn:

2. có tọa độ, có tọa độ.

Gọi là góc giữa các vectơ và sau đó

Trả lời:

Cần lưu ý các bài toán trực tiếp trên vectơ và phương pháp tọa độ ở phần B giấy thi khá hiếm. Tuy nhiên, phần lớn các bài toán C2 có thể được giải dễ dàng bằng cách đưa ra hệ tọa độ. Vì vậy, bạn có thể coi bài viết này là nền tảng, trên cơ sở đó chúng ta sẽ tạo ra những công trình khá thông minh mà chúng ta sẽ cần để giải quyết các vấn đề phức tạp.

Tọa độ và Vectơ. MỨC TRUNG BÌNH

Tôi và bạn tiếp tục nghiên cứu phương pháp tọa độ. Trong phần trước, chúng tôi đã rút ra một số công thức quan trọng cho phép bạn:

1. Tìm tọa độ vectơ
2. Tìm độ dài của một vectơ (cách khác: khoảng cách giữa hai điểm)
3. Cộng và trừ các vectơ. Nhân chúng với một số thực
4. Tìm trung điểm của một đoạn
5. Tính tích số chấm của vectơ
6. Tìm góc giữa các vectơ

Tất nhiên, toàn bộ phương pháp tọa độ không phù hợp với 6 điểm này. Nó làm nền tảng cho một môn khoa học như hình học giải tích mà bạn sẽ làm quen ở trường đại học. Tôi chỉ muốn xây dựng một nền tảng cho phép bạn giải quyết vấn đề trong một trạng thái duy nhất. bài thi. Chúng ta đã giải quyết xong các nhiệm vụ của phần B. Bây giờ là lúc chuyển sang phần chất lượng cao cấp độ mới! Bài viết này sẽ tập trung vào một phương pháp giải các bài toán C2 trong đó chuyển sang phương pháp tọa độ là hợp lý. Tính hợp lý này được xác định bởi những gì cần tìm trong bài toán và những con số nào được đưa ra. Vì vậy, tôi sẽ sử dụng phương pháp tọa độ nếu câu hỏi là:

1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng
2. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
3. Tìm góc giữa hai đường thẳng
4. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
5. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
6. Tìm khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng
7. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng

Nếu hình trong bài toán là một vật quay (quả bóng, hình trụ, hình nón...)

Các số liệu phù hợp cho phương pháp tọa độ là:

1. Hình chữ nhật song song
2. Kim tự tháp (tam giác, tứ giác, lục giác)

Cũng theo kinh nghiệm của tôi việc sử dụng phương pháp tọa độ là không phù hợp:

1. Tìm diện tích mặt cắt ngang
2. Tính toán khối lượng cơ thể

Tuy nhiên, cần lưu ý ngay rằng ba tình huống “bất lợi” đối với phương pháp tọa độ là khá hiếm trong thực tế. Trong hầu hết các nhiệm vụ, nó có thể trở thành vị cứu tinh của bạn, đặc biệt nếu bạn không giỏi xây dựng ba chiều (đôi khi có thể khá phức tạp).

Tất cả những số liệu tôi liệt kê ở trên là gì? Chúng không còn phẳng nữa, chẳng hạn như hình vuông, hình tam giác, hình tròn, mà rất đồ sộ! Theo đó, chúng ta cần xem xét không phải hệ tọa độ hai chiều mà là hệ tọa độ ba chiều. Việc xây dựng nó khá dễ dàng: ngoài trục hoành độ và trục tọa độ, chúng tôi sẽ giới thiệu một trục khác, trục ứng dụng. Hình vẽ sơ đồ cho thấy vị trí tương đối của chúng:

Tất cả chúng đều vuông góc với nhau và cắt nhau tại một điểm mà chúng ta gọi là gốc tọa độ. Như trước đây, chúng ta sẽ biểu thị trục hoành độ, trục tọa độ - , và trục ứng dụng được giới thiệu - .

Nếu trước đây mỗi điểm trên mặt phẳng được đặc trưng bởi hai số - hoành độ và tọa độ, thì mỗi điểm trong không gian đã được mô tả bằng ba số - hoành độ, tọa độ và ứng dụng. Ví dụ:

Theo đó, hoành độ của một điểm bằng nhau, tọa độ là , và ứng dụng là .

Đôi khi trục hoành của một điểm còn được gọi là hình chiếu của một điểm lên trục hoành, tọa độ - hình chiếu của một điểm lên trục tọa độ, và ứng dụng - hình chiếu của một điểm lên trục ứng dụng. Theo đó, nếu cho một điểm thì điểm có tọa độ:

gọi là hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng

gọi là hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: tất cả các công thức rút ra cho trường hợp hai chiều có hợp lệ trong không gian không? Câu trả lời là có, họ đều công bằng và có ngoại hình giống nhau. Đối với một chi tiết nhỏ. Tôi nghĩ bạn đã đoán được đó là cái nào rồi. Trong tất cả các công thức, chúng ta sẽ phải thêm một số hạng nữa chịu trách nhiệm về trục ứng dụng. Cụ thể là.

1. Nếu cho hai điểm: , thì:

• Tọa độ vectơ:
• Khoảng cách giữa hai điểm (hoặc độ dài vectơ)
• Trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ

2. Nếu cho trước hai vectơ: và, thì:

• Tích vô hướng của chúng bằng:
• Cosin của góc giữa các vectơ bằng:

Tuy nhiên, không gian không đơn giản như vậy. Như bạn hiểu, việc thêm một tọa độ nữa sẽ mang lại sự đa dạng đáng kể trong phạm vi của các nhân vật “sống” trong không gian này. Và để tường thuật thêm, tôi sẽ cần giới thiệu một số, nói một cách đại khái, “sự khái quát hóa” của đường thẳng. Sự “khái quát hóa” này sẽ là một mặt phẳng. Bạn biết gì về máy bay? Hãy thử trả lời câu hỏi máy bay là gì? Rất khó để nói. Tuy nhiên, tất cả chúng ta đều tưởng tượng bằng trực giác nó trông như thế nào:

Nói một cách đại khái, đây là một loại “tấm” vô tận mắc kẹt trong không gian. “Vô cực” nên hiểu là mặt phẳng trải dài về mọi hướng, tức là diện tích của nó bằng vô cùng. Tuy nhiên, lời giải thích “thực tế” này không đưa ra một chút ý tưởng nào về cấu trúc của mặt phẳng. Và chính cô ấy sẽ là người quan tâm đến chúng tôi.

Chúng ta hãy nhớ một trong những tiên đề cơ bản của hình học:

• trong hai nhiều điểm khác nhau trên mặt phẳng có một đường thẳng và chỉ có một:

Hoặc tương tự của nó trong không gian:

Tất nhiên, bạn nhớ cách rút ra phương trình của một đường thẳng từ hai điểm cho trước; không khó chút nào: nếu điểm đầu tiên có tọa độ: và điểm thứ hai thì phương trình của đường thẳng sẽ như sau:

Bạn đã học cái này vào năm lớp 7. Trong không gian, phương trình đường thẳng có dạng như sau: Cho hai điểm có tọa độ: , khi đó phương trình đường thẳng đi qua chúng có dạng:

Ví dụ: một đường đi qua các điểm:

Điều này nên được hiểu như thế nào? Điều này nên hiểu như sau: một điểm nằm trên đường thẳng nếu tọa độ của nó thỏa mãn hệ sau:

Chúng ta sẽ không quan tâm nhiều đến phương trình của đường thẳng, nhưng chúng ta cần chú ý đến khái niệm quan trọng vectơ chỉ đường thẳng. - bất kỳ vectơ nào khác 0 nằm trên một đường thẳng cho trước hoặc song song với nó.

Ví dụ: cả hai vectơ đều là vectơ chỉ phương của một đường thẳng. Giả sử một điểm nằm trên một đường thẳng và là vectơ chỉ phương của nó. Khi đó phương trình của đường thẳng có thể được viết dưới dạng sau:

Một lần nữa, tôi sẽ không quan tâm lắm đến phương trình của đường thẳng, nhưng tôi thực sự cần bạn nhớ vectơ chỉ phương là gì! Lại: đây là BẤT KỲ vectơ nào khác 0 nằm trên một đường thẳng hoặc song song với nó.

Rút phương trình mặt phẳng dựa trên ba điểm cho trước không còn quá tầm thường nữa và thông thường vấn đề này không được đề cập trong khóa học trường trung học. Nhưng vô ích! Kỹ thuật này rất quan trọng khi chúng ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán phức tạp. Tuy nhiên, tôi cho rằng bạn đang háo hức muốn học điều gì đó mới? Hơn nữa, bạn sẽ có thể gây ấn tượng với giáo viên của mình ở trường đại học khi biết cách sử dụng một kỹ thuật thường được học trong khóa học hình học giải tích. Vì vậy, hãy bắt đầu.

Phương trình của mặt phẳng không quá khác biệt so với phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng, cụ thể là nó có dạng:

một số con số (không phải tất cả bằng 0) và các biến, ví dụ: v.v. Như bạn có thể thấy, phương trình của mặt phẳng không khác lắm so với phương trình của đường thẳng (hàm tuyến tính). Tuy nhiên, hãy nhớ những gì bạn và tôi đã tranh luận? Chúng ta đã nói rằng nếu chúng ta có ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng thì phương trình của mặt phẳng có thể được xây dựng lại một cách duy nhất từ ​​chúng. Nhưng làm thế nào? Tôi sẽ cố gắng giải thích nó cho bạn.

Vì phương trình của mặt phẳng là:

Và các điểm đều thuộc mặt phẳng này thì khi thay tọa độ của từng điểm vào phương trình của mặt phẳng ta sẽ nhận được đẳng thức đúng:

Vì vậy cần phải giải ba phương trình ẩn số! Vấn đề nan giải! Tuy nhiên, bạn luôn có thể giả định rằng (để làm được điều này bạn cần chia cho). Như vậy, ta thu được ba phương trình với ba ẩn số:

Tuy nhiên, chúng ta sẽ không giải hệ thống như vậy mà sẽ viết ra biểu thức bí ẩn dẫn đến hệ thống đó:

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(mảng)) \right| = 0\]

Dừng lại! Đây là cái gì? Một số mô-đun rất bất thường! Tuy nhiên, đối tượng bạn nhìn thấy trước mặt không liên quan gì đến mô-đun. Đối tượng này được gọi là định thức bậc ba. Từ giờ trở đi, khi làm việc với phương pháp tọa độ trên mặt phẳng, bạn sẽ rất thường xuyên gặp phải những định thức tương tự. Yếu tố quyết định bậc ba là gì? Điều kỳ lạ là nó chỉ là một con số. Vẫn còn phải hiểu con số cụ thể nào chúng ta sẽ so sánh với định thức.

Trước tiên chúng ta hãy viết định thức bậc ba ở dạng tổng quát hơn:

Một số con số ở đâu. Hơn nữa, theo chỉ mục đầu tiên, chúng tôi muốn nói đến số hàng và theo chỉ mục, chúng tôi muốn nói đến số cột. Ví dụ: có nghĩa là số này nằm ở giao điểm của hàng thứ hai và cột thứ ba. Hãy mặc nó vào câu hỏi tiếp theo: Chúng ta sẽ tính toán định thức đó một cách chính xác như thế nào? Tức là chúng ta sẽ so sánh con số cụ thể nào với nó? Đối với định thức bậc ba, có một quy tắc tam giác heuristic (trực quan), nó trông như thế này:

1. Tích của các phần tử của đường chéo chính (từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải) tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ nhất “vuông góc” với đường chéo chính tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ hai “vuông góc” với đường chéo chính
2. Tích của các phần tử của đường chéo phụ (từ góc trên bên phải đến góc dưới bên trái) tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ nhất “vuông góc” với đường chéo phụ tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ hai “vuông góc” với đường chéo thứ cấp
3. Khi đó định thức bằng hiệu giữa các giá trị thu được ở bước và

Nếu chúng ta viết tất cả những điều này bằng số, chúng ta sẽ nhận được biểu thức sau:

Tuy nhiên, bạn không cần phải nhớ phương pháp tính toán ở dạng này; chỉ cần ghi nhớ các hình tam giác và ý tưởng về cái gì cộng với cái gì và cái gì sau đó trừ đi cái gì).

Hãy minh họa phương pháp tam giác bằng một ví dụ:

1. Tính định thức:

Hãy tìm hiểu những gì chúng ta thêm và những gì chúng ta trừ:

Các điều khoản đi kèm với điểm cộng:

Đây là đường chéo chính: tích của các phần tử bằng

Tam giác thứ nhất, “vuông góc với đường chéo chính: tích các phần tử bằng

Tam giác thứ hai “vuông góc với đường chéo chính: tích các phần tử bằng

Cộng ba số:

Các điều khoản đi kèm với dấu trừ

Đây là đường chéo cạnh: tích của các phần tử bằng

Tam giác đầu tiên “vuông góc với đường chéo phụ: tích các phần tử bằng

Tam giác thứ hai “vuông góc với đường chéo phụ: tích các phần tử bằng

Cộng ba số:

Tất cả những gì còn lại phải làm là trừ tổng các số hạng “cộng” khỏi tổng các số hạng “trừ”:

Như vậy,

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp hay siêu nhiên trong việc tính định thức bậc ba. Điều quan trọng là phải nhớ về hình tam giác và không mắc lỗi số học. Bây giờ hãy thử tự tính toán:

Chúng tôi kiểm tra:

1. Tam giác thứ nhất vuông góc với đường chéo chính:
2. Tam giác thứ hai vuông góc với đường chéo chính:
3. Tổng các số hạng có dấu cộng:
4. Tam giác thứ nhất vuông góc với đường chéo phụ:
5. Tam giác thứ hai vuông góc với đường chéo cạnh:
6. Tổng các số hạng có dấu trừ:
7. Tổng các số hạng có dấu cộng trừ đi tổng các số hạng có dấu trừ:

Dưới đây là một vài yếu tố quyết định nữa, hãy tự tính toán giá trị của chúng và so sánh chúng với câu trả lời:

Câu trả lời:

Chà, mọi thứ có trùng hợp không? Tuyệt vời, sau đó bạn có thể tiếp tục! Nếu gặp khó khăn thì lời khuyên của tôi là: trên Internet có rất nhiều chương trình tính định thức trực tuyến. Tất cả những gì bạn cần là đưa ra định thức của riêng mình, tự tính toán và sau đó so sánh nó với kết quả tính toán của chương trình. Và cứ như vậy cho đến khi kết quả bắt đầu trùng khớp. Tôi chắc chắn rằng thời điểm này sẽ không mất nhiều thời gian để đến!

Bây giờ chúng ta hãy quay lại định thức mà tôi đã viết ra khi nói về phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước:

Tất cả những gì bạn cần là tính trực tiếp giá trị của nó (sử dụng phương pháp tam giác) và đặt kết quả về 0. Đương nhiên, vì đây là các biến nên bạn sẽ nhận được một số biểu thức phụ thuộc vào chúng. Chính biểu thức này sẽ là phương trình của một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước không nằm trên cùng một đường thẳng!

Hãy minh họa điều này bằng một ví dụ đơn giản:

1. Xây dựng phương trình mặt phẳng đi qua các điểm

Chúng tôi biên soạn một yếu tố quyết định cho ba điểm sau:

Hãy đơn giản hóa:

Bây giờ chúng ta tính toán trực tiếp bằng quy tắc tam giác:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ phải| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua các điểm là:

Bây giờ hãy thử tự mình giải quyết một vấn đề và sau đó chúng ta sẽ thảo luận về vấn đề đó:

2. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm

Chà, bây giờ chúng ta hãy thảo luận về giải pháp:

Hãy tạo một định thức:

Và tính giá trị của nó:

Khi đó phương trình mặt phẳng có dạng:

Hoặc giảm đi, ta được:

Bây giờ có hai nhiệm vụ để tự kiểm soát:

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm:

Câu trả lời:

Có phải mọi thứ đều trùng hợp? Một lần nữa, nếu có những khó khăn nhất định, thì lời khuyên của tôi là: hãy lấy ba điểm trong đầu bạn (với ở một mức độ lớn rất có thể chúng sẽ không nằm trên cùng một đường thẳng), bạn xây dựng một mặt phẳng dựa trên chúng. Và sau đó bạn tự kiểm tra trực tuyến. Ví dụ: trên trang web:

Tuy nhiên, với sự trợ giúp của định thức, chúng ta sẽ xây dựng không chỉ phương trình của mặt phẳng. Hãy nhớ rằng, tôi đã nói với bạn rằng không chỉ tích vô hướng được xác định cho vectơ. Ngoài ra còn có tích vectơ và tích hỗn hợp. Và nếu tích vô hướng của hai vectơ là một số thì tích vectơ của hai vectơ sẽ là một vectơ và vectơ này sẽ vuông góc với các vectơ đã cho:

Hơn nữa, mô-đun của nó sẽ bằng diện tích hình bình hành được xây dựng trên vectơ và. Vectơ này Chúng ta sẽ cần nó để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Làm thế nào chúng ta có thể tính tích vectơ của vectơ và nếu tọa độ của chúng được cho trước? Định thức bậc ba một lần nữa lại hỗ trợ chúng ta. Tuy nhiên, trước khi chuyển sang thuật toán tính tích vectơ, tôi phải thực hiện một phép hồi quy nhỏ.

Sự lạc đề này liên quan đến các vectơ cơ sở.

Chúng được thể hiện dưới dạng sơ đồ trong hình:

Tại sao bạn nghĩ chúng được gọi là cơ bản? Vấn đề là:

Hoặc trong hình:

Giá trị của công thức này là hiển nhiên, bởi vì:

tác phẩm nghệ thuật vector

Bây giờ tôi có thể bắt đầu giới thiệu sản phẩm chéo:

Tích vectơ của hai vectơ là một vectơ, được tính theo quy tắc sau:

Bây giờ hãy đưa ra một số ví dụ về tính tích chéo:

Ví dụ 1: Tìm tích chéo của vectơ:

Giải: Ta tạo thành một định thức:

Và tôi tính toán:

Bây giờ từ việc viết qua các vectơ cơ sở, tôi sẽ quay lại ký hiệu vectơ thông thường:

Như vậy:

Bây giờ hãy thử nó.

Sẵn sàng? Chúng tôi kiểm tra:

Và theo truyền thống hai nhiệm vụ kiểm soát:

1. Tìm tích vectơ của các vectơ sau:
2. Tìm tích vectơ của các vectơ sau:

Câu trả lời:

Tích hỗn hợp của ba vectơ

Công thức cuối cùng tôi cần là tích hỗn hợp của ba vectơ. Nó, giống như một đại lượng, là một con số. Có hai cách để tính toán nó. - thông qua định thức, - thông qua tích hỗn hợp.

Cụ thể, chúng ta hãy cho ba vectơ:

Khi đó tích hỗn hợp của ba vectơ, ký hiệu là, có thể được tính như sau:

1. - tức là tích hỗn số là tích vô hướng của một vectơ và tích vectơ của hai vectơ khác

Ví dụ: tích hỗn hợp của ba vectơ là:

Hãy thử tự tính toán bằng cách sử dụng tích vectơ và đảm bảo rằng kết quả khớp với nhau!

Và một lần nữa, hai ví dụ cho các giải pháp độc lập:

Câu trả lời:

Lựa chọn hệ tọa độ

Bây giờ chúng ta đã có đủ nền tảng kiến ​​thức cần thiết để giải các bài toán hình học lập thể phức tạp. Tuy nhiên, trước khi chuyển trực tiếp sang các ví dụ và thuật toán để giải chúng, tôi tin rằng sẽ hữu ích nếu bạn tập trung vào câu hỏi sau: chính xác thì làm thế nào chọn hệ tọa độ cho một hình cụ thể. Suy cho cùng, đó là sự lựa chọn vị trí tương đối hệ tọa độ và hình dạng trong không gian cuối cùng sẽ quyết định mức độ phức tạp của việc tính toán.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng trong phần này chúng tôi xem xét các số liệu sau:

1. Hình chữ nhật song song
2. Lăng trụ thẳng (tam giác, lục giác...)
3. Kim tự tháp (tam giác, tứ giác)
4. Tứ diện (giống như hình chóp tam giác)

Đối với hình chữ nhật có hình song song hoặc hình lập phương, tôi khuyên bạn nên xây dựng như sau:

Tức là tôi sẽ đặt hình “trong góc”. Khối lập phương và hình bình hành là những hình vẽ rất đẹp. Đối với họ, bạn luôn có thể dễ dàng tìm thấy tọa độ các đỉnh của nó. Ví dụ: nếu (như trong hình)

thì tọa độ các đỉnh như sau:

Tất nhiên, bạn không cần phải nhớ điều này, nhưng nên nhớ cách tốt nhất để đặt một hình khối hoặc hình chữ nhật theo hình song song.

lăng kính thẳng

Lăng kính là một hình ảnh có hại hơn. Nó có thể được định vị trong không gian theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, tùy chọn sau đây đối với tôi có vẻ dễ chấp nhận nhất:

Lăng kính tam giác:

Nghĩa là, chúng ta đặt một trong các cạnh của tam giác hoàn toàn trên trục và một trong các đỉnh trùng với gốc tọa độ.

Lăng kính lục giác:

Nghĩa là, một trong các đỉnh trùng với gốc tọa độ và một trong các cạnh nằm trên trục.

Kim tự tháp tứ giác và lục giác:

Tình huống tương tự như một khối lập phương: chúng ta căn chỉnh hai cạnh của đáy với các trục tọa độ và căn chỉnh một trong các đỉnh với gốc tọa độ. Khó khăn nhỏ duy nhất là tính toán tọa độ của điểm.

Đối với hình chóp lục giác - tương tự như đối với lăng kính lục giác. Nhiệm vụ chính sẽ lại là tìm tọa độ của đỉnh.

Tứ diện (hình chóp tam giác)

Tình huống rất giống với tình huống tôi đưa ra cho lăng trụ tam giác: một đỉnh trùng với gốc tọa độ, một cạnh nằm trên trục tọa độ.

Chà, bây giờ bạn và tôi cuối cùng cũng sắp bắt đầu giải quyết được vấn đề. Từ những gì tôi đã nói ở đầu bài, bạn có thể rút ra kết luận sau: hầu hết các bài toán C2 được chia thành 2 loại: bài toán về góc và bài toán về khoảng cách. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét vấn đề tìm góc. Chúng lần lượt được chia thành các loại sau (khi chúng tăng độ phức tạp):

Các vấn đề về tìm góc

1. Tìm góc giữa hai đường thẳng
2. Tìm góc giữa hai mặt phẳng

Chúng ta hãy xem xét các vấn đề này một cách tuần tự: hãy bắt đầu bằng việc tìm góc giữa hai đường thẳng. Chà, hãy nhớ rằng, không phải bạn và tôi đã quyết định sao? ví dụ tương tự sớm hơn? Bạn có nhớ không, chúng ta đã có một cái gì đó tương tự... Chúng ta đang tìm góc giữa hai vectơ. Để tôi nhắc bạn, nếu cho hai vectơ: và, thì góc giữa chúng được tìm từ hệ thức:

Bây giờ mục tiêu của chúng ta là tìm góc giữa hai đường thẳng. Hãy nhìn vào “bức tranh phẳng”:

Hai đường thẳng cắt nhau thì ta được bao nhiêu góc? Chỉ một vài điều thôi. Đúng, chỉ có hai trong số chúng không bằng nhau, trong khi những cái còn lại thẳng đứng với chúng (và do đó trùng với chúng). Vậy góc giữa hai đường thẳng cần xét là góc nào: hay? Ở đây quy tắc là: góc giữa hai đường thẳng luôn không quá độ. Nghĩa là trong hai góc ta sẽ luôn chọn góc có số đo nhỏ nhất. Nghĩa là, trong hình này góc giữa hai đường thẳng bằng nhau. Để không phải bận tâm mỗi lần tìm góc nhỏ nhất trong hai góc, các nhà toán học khôn ngoan đã đề xuất sử dụng một mô đun. Do đó, góc giữa hai đường thẳng được xác định theo công thức:

Bạn, với tư cách là một độc giả chăm chú, chắc hẳn đã đặt câu hỏi: chính xác thì chúng ta lấy những con số này ở đâu để tính cosin của một góc? Trả lời: chúng ta sẽ lấy chúng từ vectơ chỉ phương của các đường thẳng! Như vậy thuật toán tìm góc giữa hai đường thẳng như sau:

1. Chúng ta áp dụng công thức 1.

Hoặc chi tiết hơn:

1. Ta tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ nhất
2. Ta tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ hai
3. Chúng tôi tính toán mô đun tích vô hướng của chúng
4. Chúng tôi đang tìm kiếm độ dài của vectơ đầu tiên
5. Chúng tôi đang tìm kiếm độ dài của vectơ thứ hai
6. Nhân kết quả của điểm 4 với kết quả của điểm 5
7. Ta chia kết quả của điểm 3 cho kết quả của điểm 6. Ta được cosin của góc giữa các đường thẳng
8. Nếu như kết quả này cho phép bạn tính toán chính xác góc, hãy tìm nó
9. Ngược lại ta viết qua cung cosin

Chà, bây giờ là lúc chuyển sang vấn đề: Tôi sẽ trình bày chi tiết giải pháp cho hai vấn đề đầu tiên, tôi sẽ trình bày giải pháp cho vấn đề khác trong tóm lại, và đối với hai bài toán cuối cùng, tôi sẽ chỉ đưa ra câu trả lời; bạn phải tự mình thực hiện tất cả các phép tính.

Nhiệm vụ:

1. Trong tet-ra-ed-re bên phải, hãy tìm góc giữa chiều cao của tet-ra-ed-ra và cạnh giữa.

2. Trong hình pi-ra-mi-de sáu góc bên phải, trăm os-no-va-niya bằng nhau, các cạnh bên bằng nhau, tìm góc giữa các đường thẳng và.

3. Độ dài các cạnh của hình pi-ra-mi-dy bốn than bên phải bằng nhau. Tìm góc giữa các đường thẳng và nếu từ vết cắt - bạn đang có pi-ra-mi-dy đã cho, điểm là se-re-di-on các gân bo-co- giây của nó

4. Trên cạnh của hình lập phương có một điểm sao cho Tìm góc giữa hai đường thẳng và

5. Điểm - trên các cạnh của hình lập phương Tìm góc giữa các đường thẳng và.

Không phải ngẫu nhiên mà tôi sắp xếp nhiệm vụ theo thứ tự như vậy. Mặc dù bạn vẫn chưa có thời gian để bắt đầu điều hướng phương pháp tọa độ, nhưng bản thân tôi sẽ phân tích những số liệu “có vấn đề” nhất và tôi sẽ để bạn giải quyết khối lập phương đơn giản nhất! Dần dần bạn sẽ phải học cách làm việc với tất cả các số liệu; tôi sẽ tăng độ phức tạp của các nhiệm vụ từ chủ đề này sang chủ đề khác.

Hãy bắt đầu giải quyết vấn đề:

1. Vẽ một khối tứ diện, đặt nó vào hệ tọa độ như tôi đã đề xuất trước đó. Vì tứ diện là đều nên tất cả các mặt của nó (kể cả đáy) đều là hình tam giác đều. Vì chúng ta không biết chiều dài của cạnh nên tôi có thể coi nó bằng nhau. Tôi nghĩ bạn hiểu rằng góc sẽ không thực sự phụ thuộc vào mức độ “kéo dài” của khối tứ diện của chúng ta?. Tôi cũng sẽ vẽ chiều cao và đường trung tuyến trong tứ diện. Trong quá trình thực hiện, tôi sẽ vẽ phần đế của nó (nó cũng sẽ hữu ích cho chúng ta).

Tôi cần tìm góc giữa và. Chúng ta biết gì? Chúng ta chỉ biết tọa độ của điểm. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm tọa độ của các điểm. Bây giờ chúng ta nghĩ: một điểm là giao điểm của các đường cao (hoặc đường phân giác hoặc đường trung tuyến) của tam giác. Và một điểm là một điểm nâng lên. Điểm nằm ở giữa đoạn thẳng. Khi đó cuối cùng chúng ta cần tìm: tọa độ các điểm: .

Hãy bắt đầu với điều đơn giản nhất: tọa độ của một điểm. Nhìn vào hình vẽ: Rõ ràng ứng dụng của một điểm bằng 0 (điểm nằm trên mặt phẳng). Tọa độ của nó bằng nhau (vì nó là trung vị). Việc tìm thấy abscissa của nó khó khăn hơn. Tuy nhiên, điều này có thể thực hiện dễ dàng dựa trên định lý Pythagore: Xét một tam giác. Cạnh huyền của nó bằng nhau và một cạnh của nó bằng nhau Khi đó:

Cuối cùng ta có: .

Bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ của điểm. Rõ ràng là ứng dụng của nó lại bằng 0, và tọa độ của nó giống với tọa độ của một điểm. Hãy tìm abscissa của nó. Điều này được thực hiện khá tầm thường nếu bạn nhớ rằng độ cao tam giác đềuđiểm giao nhau được chia theo tỷ lệ, tính từ trên xuống. Vì: , thì hoành độ cần thiết của điểm, bằng độ dài của đoạn thẳng, bằng: . Vậy tọa độ của điểm là:

Hãy tìm tọa độ của điểm. Rõ ràng là hoành độ và tọa độ của nó trùng với hoành độ và tọa độ của điểm. Và ứng dụng bằng với độ dài của đoạn. - đây là một trong những chân của tam giác. Cạnh huyền của một tam giác là một đoạn - một chân. Nó được tìm kiếm vì những lý do mà tôi đã in đậm:

Điểm nằm ở giữa đoạn thẳng. Khi đó chúng ta cần nhớ công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng:

Vậy là xong, bây giờ chúng ta có thể tìm tọa độ của các vectơ chỉ phương:

Chà, mọi thứ đã sẵn sàng: chúng tôi thay thế tất cả dữ liệu vào công thức:

Như vậy,

Trả lời:

Bạn không nên sợ hãi trước những câu trả lời “đáng sợ” như vậy: đối với các bài toán C2 thì đây là thông lệ. Tôi thà ngạc nhiên trước câu trả lời “đẹp” ở phần này còn hơn. Ngoài ra, như bạn đã nhận thấy, thực tế tôi đã không dùng đến bất cứ thứ gì khác ngoài định lý Pythagore và tính chất đường cao của một tam giác đều. Nghĩa là, để giải quyết vấn đề lập thể, tôi đã sử dụng phương pháp lập thể ở mức tối thiểu. Lợi ích trong việc này bị “dập tắt” một phần bởi những tính toán khá cồng kềnh. Nhưng chúng khá thuật toán!

2. Chúng ta hãy mô tả một hình chóp lục giác đều cùng với hệ tọa độ và đáy của nó:

Chúng ta cần tìm góc giữa các đường thẳng và. Vì vậy, nhiệm vụ của chúng ta là tìm tọa độ của các điểm: . Chúng ta sẽ tìm tọa độ của ba điểm cuối cùng bằng cách sử dụng một hình vẽ nhỏ và chúng ta sẽ tìm tọa độ của đỉnh thông qua tọa độ của điểm. Có rất nhiều việc phải làm, nhưng chúng ta cần phải bắt đầu!

a) Tọa độ: rõ ràng là ứng dụng và tọa độ của nó bằng 0. Chúng ta hãy tìm abscissa. Để làm điều này, hãy xem xét một tam giác vuông. Than ôi, trong đó chúng ta chỉ biết đến cạnh huyền, bằng nhau. Chúng ta sẽ cố gắng tìm chân (vì rõ ràng là chiều dài gấp đôi của chân sẽ cho chúng ta cơ hoành của điểm). Làm thế nào chúng ta có thể tìm kiếm nó? Chúng ta hãy nhớ chúng ta có hình gì ở đáy kim tự tháp? Đây là một hình lục giác đều. Điều này có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là tất cả các cạnh và mọi góc đều bằng nhau. Chúng ta cần tìm một góc như vậy. Có ý tưởng gì không? Có rất nhiều ý tưởng, nhưng có một công thức:

Tổng các góc n-gon thường xuyên bằng .

Vậy tổng các góc lục giác đều bằng nhau về độ. Khi đó mỗi góc bằng:

Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh một lần nữa. Rõ ràng đoạn thẳng đó là phân giác của một góc. Khi đó góc bằng độ. Sau đó:

Thế thì từ đâu tới.

Như vậy có tọa độ

b) Bây giờ chúng ta dễ dàng tìm được tọa độ của điểm: .

c) Tìm tọa độ điểm. Vì trục hoành của nó trùng với chiều dài của đoạn đó nên nó bằng nhau. Việc tìm tọa độ cũng không khó lắm: nếu chúng ta nối các điểm và chỉ định giao điểm của đường thẳng như, chẳng hạn, . (tự mình làm cách xây dựng đơn giản). Khi đó, tọa độ của điểm B bằng tổng độ dài các đoạn. Chúng ta hãy nhìn vào hình tam giác một lần nữa. Sau đó

Khi đó điểm có tọa độ

d) Bây giờ hãy tìm tọa độ của điểm. Xét hình chữ nhật và chứng minh rằng tọa độ của điểm là:

e) Vẫn còn phải tìm tọa độ của đỉnh. Rõ ràng là hoành độ và tọa độ của nó trùng với hoành độ và tọa độ của điểm. Hãy tìm ứng dụng. Kể từ đó. Hãy xem xét một tam giác vuông. Theo các điều kiện của vấn đề, một cạnh bên. Đây là cạnh huyền của tam giác của tôi. Khi đó chiều cao của kim tự tháp là một chân.

Khi đó điểm có tọa độ:

Thôi thế là xong, tôi đã có tọa độ của tất cả các điểm mà tôi quan tâm. Tôi đang tìm tọa độ các vectơ chỉ hướng của đường thẳng:

Chúng tôi đang tìm kiếm góc giữa các vectơ này:

Trả lời:

Một lần nữa, khi giải bài toán này, tôi đã không sử dụng bất kỳ kỹ thuật phức tạp nào ngoài công thức tính tổng các góc của một n-giác đều, cũng như định nghĩa cosin và sin của một tam giác vuông.

3. Vì một lần nữa chúng ta không được cho biết độ dài của các cạnh trong hình chóp nên tôi sẽ đếm chúng bằng một. Do đó, vì TẤT CẢ các cạnh, chứ không chỉ các cạnh bên, đều bằng nhau, nên ở đáy của kim tự tháp và tôi có một hình vuông, và các mặt bên là các hình tam giác đều. Chúng ta hãy vẽ một kim tự tháp như vậy, cũng như đáy của nó trên một mặt phẳng, lưu ý tất cả dữ liệu được đưa ra trong nội dung của bài toán:

Chúng ta đang tìm góc giữa và. Tôi sẽ thực hiện những phép tính rất ngắn gọn khi tìm kiếm tọa độ của các điểm. Bạn sẽ cần phải “giải mã” chúng:

b) - phần giữa của đoạn. Tọa độ của nó:

c) Tôi sẽ tìm độ dài của đoạn thẳng bằng định lý Pythagore trong một tam giác. Tôi có thể tìm thấy nó bằng định lý Pythagore trong một tam giác.

Tọa độ:

d) - phần giữa của đoạn. tọa độ của nó là

e) Tọa độ vectơ

f) Tọa độ vectơ

g) Tìm góc:

Khối lập phương - hình đơn giản nhất. Tôi chắc chắn bạn sẽ tự mình tìm ra nó. Đáp án câu 4 và 5 như sau:

Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Chà, thời gian dành cho những câu đố đơn giản đã qua! Bây giờ các ví dụ sẽ còn phức tạp hơn nữa. Để tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta thực hiện như sau:

1. Sử dụng ba điểm chúng ta xây dựng một phương trình của mặt phẳng
   ,
   sử dụng định thức bậc ba.
2. Sử dụng hai điểm, ta tìm tọa độ vectơ chỉ hướng của đường thẳng:
3. Ta áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Như bạn có thể thấy, công thức này rất giống với công thức chúng ta sử dụng để tìm góc giữa hai đường thẳng. Cấu trúc ở bên phải đơn giản là giống nhau, và ở bên trái, chúng ta đang tìm kiếm sin chứ không phải cos như trước. Chà, một hành động khó chịu đã được thêm vào - tìm kiếm phương trình của mặt phẳng.

Chúng ta đừng trì hoãn ví dụ giải pháp:

1. Chính-nhưng-va-ni-em lăng kính trực tiếp-chúng ta bằng-nghèo-ren-tam giác-nick-name của bạn-và-lăng kính đó-chúng ta đều bình đẳng. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2. Trong hình chữ nhật par-ral-le-le-pi-pe-de hướng Tây Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

3. Trong lăng trụ lục giác vuông, tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

4. Trong tam giác bên phải pi-ra-mi-de với os-no-va-ni-em của các xương sườn đã biết Tìm một góc, ob-ra-zo-van -phẳng ở đáy và thẳng, đi qua màu xám xương sườn và

5. Độ dài của tất cả các cạnh của một hình tứ giác vuông có một đỉnh đều bằng nhau. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nếu điểm nằm trên cạnh của pi-ra-mi-dy.

Một lần nữa, tôi sẽ giải quyết chi tiết hai vấn đề đầu tiên, vấn đề thứ ba một cách ngắn gọn và để hai vấn đề cuối cùng để bạn tự giải quyết. Ngoài ra, bạn đã phải giải quyết vấn đề tam giác và kim tự tháp tứ giác, nhưng với lăng kính - chưa.

Giải pháp:

1. Chúng ta hãy mô tả một lăng kính và đế của nó. Hãy kết hợp nó với hệ tọa độ và ghi lại tất cả dữ liệu được đưa ra trong câu lệnh bài toán:

Tôi xin lỗi vì một số không tuân thủ tỷ lệ, nhưng để giải quyết vấn đề, trên thực tế, điều này không quá quan trọng. Chiếc máy bay chỉ đơn giản là "bức tường phía sau" của lăng kính của tôi. Chỉ cần đoán đơn giản rằng phương trình của mặt phẳng như vậy có dạng:

Tuy nhiên, điều này có thể được hiển thị trực tiếp:

Hãy chọn ba điểm tùy ý trên mặt phẳng này: ví dụ: .

Hãy lập phương trình của mặt phẳng:

Bài tập dành cho bạn: hãy tự tính toán yếu tố quyết định này. Bạn đã thành công? Khi đó phương trình của mặt phẳng có dạng:

Hoặc chỉ

Như vậy,

Để giải ví dụ tôi cần tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vì điểm trùng với gốc tọa độ nên tọa độ của vectơ sẽ đơn giản trùng với tọa độ của điểm. Để làm được điều này, trước tiên chúng ta tìm tọa độ của điểm.

Để làm điều này, hãy xem xét một hình tam giác. Hãy vẽ chiều cao (còn được gọi là đường trung tuyến và đường phân giác) từ đỉnh. Vì tọa độ của điểm bằng. Để tìm hoành độ của điểm này, chúng ta cần tính độ dài của đoạn thẳng. Theo định lý Pytago ta có:

Khi đó điểm có tọa độ:

Dấu chấm là dấu chấm "nổi lên":

Khi đó tọa độ vectơ là:

Trả lời:

Như bạn có thể thấy, về cơ bản không có gì khó khăn khi giải những bài toán như vậy. Trên thực tế, quá trình này được đơn giản hóa hơn một chút nhờ tính “thẳng” của một hình như lăng kính. Bây giờ hãy chuyển sang ví dụ tiếp theo:

2. Vẽ một hình bình hành, vẽ một mặt phẳng và một đường thẳng trong đó, đồng thời vẽ riêng đáy dưới của nó:

Đầu tiên ta tìm phương trình của mặt phẳng: Tọa độ ba điểm nằm trong đó:

(hai tọa độ đầu tiên được lấy một cách rõ ràng và bạn có thể dễ dàng tìm thấy tọa độ cuối cùng từ hình ảnh từ điểm). Khi đó ta lập phương trình mặt phẳng:

Chúng tôi tính toán:

Ta đang tìm tọa độ của vectơ dẫn hướng: Rõ ràng tọa độ của nó trùng với tọa độ của điểm phải không? Làm thế nào để tìm tọa độ? Đây là tọa độ của điểm, được nâng lên dọc theo trục ứng dụng một đơn vị! . Sau đó, chúng tôi tìm kiếm góc mong muốn:

Trả lời:

3. Vẽ một hình chóp lục giác đều, sau đó vẽ một mặt phẳng và một đường thẳng trong đó.

Ở đây việc vẽ mặt phẳng còn có vấn đề, chưa kể giải được bài toán này, nhưng phương pháp tọa độ lại không quan tâm! Tính linh hoạt của nó là lợi thế chính của nó!

Mặt phẳng đi qua ba điểm: . Chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của họ:

1) . Hãy tự mình tìm ra tọa độ của hai điểm cuối cùng. Bạn sẽ cần phải giải bài toán kim tự tháp lục giác cho việc này!

2) Ta xây dựng phương trình mặt phẳng:

Ta đang tìm tọa độ của vectơ: . (Xem lại bài toán hình chóp tam giác!)

3) Tìm góc:

Trả lời:

Như bạn có thể thấy, không có gì khó khăn một cách siêu nhiên trong những nhiệm vụ này. Bạn chỉ cần phải rất cẩn thận với rễ. Tôi sẽ chỉ đưa ra câu trả lời cho hai vấn đề cuối cùng:

Như bạn có thể thấy, kỹ thuật giải bài toán ở mọi nơi đều giống nhau: nhiệm vụ chính là tìm tọa độ của các đỉnh và thay thế chúng vào các công thức nhất định. Chúng ta vẫn phải xét thêm một loại bài toán nữa để tính góc, đó là:

Tính góc giữa hai mặt phẳng

Thuật toán giải sẽ như sau:

1. Sử dụng ba điểm chúng ta tìm phương trình của mặt phẳng thứ nhất:
2. Sử dụng ba điểm còn lại, chúng ta tìm phương trình của mặt phẳng thứ hai:
3. Chúng ta áp dụng công thức:

Như bạn có thể thấy, công thức này rất giống với hai công thức trước, nhờ đó chúng ta đã tìm được góc giữa các đường thẳng và giữa đường thẳng và mặt phẳng. Vì vậy, sẽ không khó để bạn ghi nhớ điều này. Hãy chuyển sang phân tích các nhiệm vụ:

1. Cạnh đáy của hình lăng trụ tam giác vuông bằng nhau, đường kính của mặt bên bằng nhau. Tìm góc giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng trục của lăng kính.

2. Trong hình pi-ra-mi-de bốn góc có các cạnh bằng nhau, tìm sin của góc giữa mặt phẳng và xương phẳng đi qua điểm per-pen-di-ku- nói dối nhưng thẳng thắn.

3. Trong lăng kính bốn góc đều, các cạnh của đáy bằng nhau và các cạnh bên bằng nhau. Có một điểm ở rìa từ-me-che-on vậy đó. Tìm góc giữa hai mặt phẳng và

4. Trong một lăng trụ đứng tứ giác, các cạnh của đáy bằng nhau và các cạnh bên bằng nhau. Có một điểm trên cạnh tính từ điểm đó sao cho Tìm góc giữa hai mặt phẳng và.

5. Trong hình lập phương, hãy tìm hệ số góc giữa các mặt phẳng và

Giải pháp vấn đề:

1. Tôi vẽ đúng (ở đáy có hình tam giác đều) lăng kính tam giác và đánh dấu vào đó các mặt phẳng xuất hiện trong phát biểu bài toán:

Chúng ta cần tìm phương trình của hai mặt phẳng: Phương trình cơ số tầm thường: bạn có thể soạn định thức tương ứng bằng cách lấy ba điểm, nhưng tôi sẽ soạn ngay phương trình:

Bây giờ chúng ta hãy tìm phương trình Điểm có tọa độ Điểm - Vì là đường trung tuyến và đường cao của tam giác nên có thể dễ dàng tìm được bằng định lý Pytago trong tam giác. Khi đó điểm có tọa độ: Hãy tìm ứng dụng của điểm. Để làm được điều này, hãy xét một tam giác vuông.

Khi đó chúng ta có được tọa độ sau: Chúng ta soạn phương trình của mặt phẳng.

Ta tính góc giữa các mặt phẳng:

Trả lời:

2. Lập bản vẽ:

Điều khó khăn nhất là hiểu đây là loại mặt phẳng bí ẩn nào, đi vuông góc qua điểm. Vâng, điều quan trọng là, nó là gì? Điều chính là sự chú ý! Trong thực tế, đường thẳng vuông góc. Đường thẳng cũng vuông góc. Khi đó mặt phẳng đi qua hai đường thẳng này sẽ vuông góc với đường thẳng đó và đồng thời đi qua điểm. Mặt phẳng này cũng đi qua đỉnh kim tự tháp. Sau đó, chiếc máy bay mong muốn - Và chiếc máy bay đã được trao cho chúng tôi. Chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của các điểm.

Ta tìm tọa độ của điểm qua điểm. Từ bức tranh nhỏ có thể dễ dàng suy ra tọa độ của điểm sẽ như sau: Bây giờ còn lại những gì cần tìm để tìm tọa độ của đỉnh kim tự tháp? Bạn cũng cần phải tính chiều cao của nó. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng định lý Pythagore: trước tiên hãy chứng minh điều đó (một cách tầm thường từ các hình tam giác nhỏ tạo thành một hình vuông ở đáy). Vì theo điều kiện nên ta có:

Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng: tọa độ đỉnh:

Ta soạn phương trình mặt phẳng:

Bạn đã là một chuyên gia trong việc tính các định thức. Không gặp khó khăn gì bạn sẽ nhận được:

Hoặc cách khác (nếu chúng ta nhân cả hai vế với căn bậc hai)

Bây giờ hãy tìm phương trình của mặt phẳng:

(Bạn vẫn chưa quên cách chúng ta có được phương trình của một mặt phẳng phải không? Nếu bạn không hiểu dấu trừ một này đến từ đâu, thì hãy quay lại định nghĩa phương trình của mặt phẳng! Nó luôn luôn diễn ra trước đó máy bay của tôi thuộc về nguồn gốc!)

Ta tính định thức:

(Bạn có thể nhận thấy rằng phương trình của mặt phẳng trùng với phương trình của đường thẳng đi qua các điểm và! Hãy nghĩ xem tại sao!)

Bây giờ hãy tính góc:

Chúng ta cần tìm sin:

Trả lời:

3. Câu hỏi hóc búa: nó là gì? lăng kính chữ nhật, Bạn nghĩ thế nào? Đây chỉ là một đường song song mà bạn biết rõ! Hãy thực hiện một bản vẽ ngay lập tức! Bạn thậm chí không cần phải mô tả phần đế một cách riêng biệt; nó ít được sử dụng ở đây:

Mặt phẳng, như chúng tôi đã lưu ý trước đó, được viết dưới dạng phương trình:

Bây giờ hãy tạo một mặt phẳng

Ta lập ngay phương trình mặt phẳng:

Đang tìm một góc:

Bây giờ là câu trả lời cho hai vấn đề cuối cùng:

Bây giờ là lúc để nghỉ ngơi một chút, vì bạn và tôi đều tuyệt vời và đã làm rất tốt!

Tọa độ và vectơ. Cấp độ nâng cao

Trong bài này chúng tôi sẽ thảo luận với các bạn một loại bài toán khác có thể giải bằng phương pháp tọa độ: bài toán tính khoảng cách. Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp sau:

1. Tính khoảng cách giữa các đường giao nhau.

Tôi đã sắp xếp các bài tập này theo thứ tự độ khó tăng dần. Hóa ra là dễ tìm nhất khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, và điều khó khăn nhất là tìm ra khoảng cách giữa các đường giao nhau. Mặc dù, tất nhiên, không có gì là không thể! Chúng ta đừng trì hoãn và ngay lập tức tiến hành xem xét loại vấn đề đầu tiên:

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Chúng ta cần gì để giải quyết vấn đề này?

1. Tọa độ điểm

Vì vậy, ngay khi nhận được đủ dữ liệu cần thiết, chúng tôi áp dụng công thức:

Bạn hẳn đã biết cách xây dựng phương trình mặt phẳng từ các bài toán trước mà tôi đã thảo luận ở phần trước. Hãy đi thẳng vào nhiệm vụ. Sơ đồ như sau: 1, 2 - Tôi giúp bạn quyết định, còn chi tiết nào đó, 3, 4 - chỉ đáp án, bạn tự thực hiện giải pháp và so sánh. Hãy bắt đầu!

Nhiệm vụ:

1. Cho một hình lập phương. Độ dài cạnh của hình lập phương bằng nhau. Tìm khoảng cách từ se-re-di-na từ mặt cắt đến mặt phẳng

2. Cho đúng bốn than pi-ra-mi-có, cạnh bên bằng đáy. Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nơi - se-re-di-on các cạnh.

3. Trong hình tam giác bên phải pi-ra-mi-de với os-no-va-ni-em thì cạnh bên bằng nhau, còn trăm ro-trên os-no-vania- bằng nhau. Tìm khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng.

4. Trong lăng trụ lục giác vuông, tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Giải pháp:

1. Vẽ hình lập phương có một cạnh, dựng đoạn thẳng và mặt phẳng, ký hiệu phần giữa của đoạn thẳng bằng chữ cái

.

Trước tiên, hãy bắt đầu với việc dễ dàng: tìm tọa độ của điểm. Từ đó (nhớ tọa độ giữa đoạn đường!)

Bây giờ chúng ta soạn phương trình mặt phẳng sử dụng ba điểm

\[\left| (\begin(mảng)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(mảng)) \right| = 0\]

Bây giờ tôi có thể bắt đầu tìm khoảng cách:

2. Chúng tôi bắt đầu lại với bản vẽ mà chúng tôi đánh dấu tất cả dữ liệu!

Đối với một kim tự tháp, sẽ rất hữu ích nếu vẽ phần đáy của nó một cách riêng biệt.

Ngay cả việc tôi vẽ như một con gà bằng chân của nó cũng không ngăn cản chúng ta giải quyết vấn đề này một cách dễ dàng!

Bây giờ thật dễ dàng để tìm tọa độ của một điểm

Vì tọa độ của điểm nên

2. Vì tọa độ của điểm a là điểm giữa của đoạn thẳng nên

Không gặp vấn đề gì, chúng ta có thể tìm tọa độ của hai điểm nữa trên mặt phẳng. Chúng ta tạo một phương trình cho mặt phẳng và đơn giản hóa nó:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Vì điểm có tọa độ: , nên ta tính khoảng cách:

Trả lời (rất hiếm!):

Vâng, bạn đã tìm ra nó? Đối với tôi, có vẻ như mọi thứ ở đây đều mang tính kỹ thuật giống như trong các ví dụ mà chúng ta đã xem xét ở phần trước. Vì vậy tôi tin chắc rằng nếu đã nắm vững tài liệu đó thì bạn sẽ không khó để giải quyết hai vấn đề còn lại. Tôi sẽ chỉ cho bạn câu trả lời:

Tính khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng

Trên thực tế, không có gì mới ở đây. Làm thế nào một đường thẳng và một mặt phẳng có thể được định vị tương đối với nhau? Chúng chỉ có một khả năng: giao nhau hoặc một đường thẳng song song với mặt phẳng. Bạn nghĩ khoảng cách từ một đường thẳng đến mặt phẳng mà đường thẳng này cắt nhau là bao nhiêu? Đối với tôi, có vẻ như rõ ràng ở đây khoảng cách như vậy bằng 0. Vụ án không thú vị.

Trường hợp thứ hai phức tạp hơn: ở đây khoảng cách đã khác 0. Tuy nhiên, vì đường thẳng song song với mặt phẳng nên mỗi điểm của đường thẳng cách đều mặt phẳng này:

Như vậy:

Điều này có nghĩa là nhiệm vụ của tôi đã được giảm xuống nhiệm vụ trước: chúng ta đang tìm tọa độ của bất kỳ điểm nào trên đường thẳng, tìm phương trình của mặt phẳng và tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Trên thực tế, những nhiệm vụ như vậy là cực kỳ hiếm trong Kỳ thi Thống nhất. Tôi chỉ tìm thấy một vấn đề và dữ liệu trong đó khiến phương pháp tọa độ không thể áp dụng được cho nó!

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang một loại vấn đề khác quan trọng hơn nhiều:

Tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Chúng ta cần gì?

1. Tọa độ của điểm mà chúng ta đang tìm khoảng cách:

2. Tọa độ của điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng

3. Tọa độ vectơ chỉ hướng của đường thẳng

Chúng ta sử dụng công thức nào?

Mẫu số của phân số này có nghĩa là gì thì chắc hẳn bạn đã rõ: đây là độ dài của vectơ chỉ hướng của đường thẳng. Đây là một tử số rất phức tạp! Biểu thức có nghĩa là mô đun (độ dài) của tích vectơ của vectơ và Cách tính tích vectơ mà chúng ta đã nghiên cứu ở phần trước của bài viết. Hãy ôn lại kiến ​​thức của bạn, chúng tôi sẽ rất cần nó ngay bây giờ!

Như vậy, thuật toán giải bài toán sẽ như sau:

1. Chúng ta đang tìm tọa độ của điểm mà chúng ta đang tìm khoảng cách:

2. Chúng ta đang tìm tọa độ của bất kỳ điểm nào trên đường thẳng mà chúng ta đang tìm khoảng cách:

3. Xây dựng một vectơ

4. Dựng vectơ chỉ hướng của đường thẳng

5. Tính tích vector

6. Chúng ta tìm độ dài của vectơ kết quả:

7. Tính khoảng cách:

Chúng ta có rất nhiều việc phải làm và các ví dụ sẽ khá phức tạp! Vì vậy bây giờ hãy tập trung mọi sự chú ý của bạn!

1. Cho một hình tam giác vuông pi-ra-mi-da có đỉnh. Trăm-ro-trên cơ sở pi-ra-mi-dy đều bình đẳng, các bạn đều bình đẳng. Tìm khoảng cách từ cạnh màu xám đến đường thẳng, trong đó các điểm và là các cạnh màu xám và tính từ thú y.

2. Độ dài các cạnh và góc thẳng không đi par-ral-le-le-pi-pe-da tương ứng bằng nhau và Tìm khoảng cách từ đỉnh đến đường thẳng

3. Trong lăng trụ đứng có các cạnh bằng nhau, tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Giải pháp:

1. Chúng tôi tạo một bản vẽ gọn gàng để đánh dấu tất cả dữ liệu:

Chúng ta có rất nhiều việc phải làm! Đầu tiên, tôi muốn mô tả bằng lời những gì chúng tôi sẽ tìm kiếm và theo thứ tự:

1. Tọa độ điểm và

2. Tọa độ điểm

3. Tọa độ điểm và

4. Tọa độ của vectơ và

5. Sản phẩm chéo của họ

6. Chiều dài vectơ

7. Độ dài của tích vector

8. Khoảng cách từ đến

Chà, chúng ta còn rất nhiều việc phải làm phía trước! Hãy xắn tay áo lên!

1. Để tìm tọa độ chiều cao của hình chóp, chúng ta cần biết tọa độ của điểm ứng dụng của nó là 0 và tọa độ của nó bằng trục hoành của nó bằng chiều dài của đoạn thẳng. một tam giác đều, nó được chia theo tỷ lệ, tính từ đỉnh, từ đây. Cuối cùng ta có tọa độ:

tọa độ điểm

2. - giữa đoạn

3. - giữa đoạn

Trung điểm của đoạn

4. Tọa độ

Tọa độ vectơ

5. Tính tích vectơ:

6. Vector chiều dài: cách thay thế dễ nhất là đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác, tức là bằng nửa cạnh đáy. Vì thế.

7. Tính độ dài tích vector:

8. Cuối cùng, chúng ta tìm được khoảng cách:

Ờ, thế thôi! Tôi sẽ nói thật với bạn: giải pháp cho vấn đề này là phương pháp truyền thống(thông qua xây dựng), nó sẽ nhanh hơn nhiều. Nhưng ở đây tôi đã giảm mọi thứ thành một thuật toán làm sẵn! Tôi nghĩ thuật toán giải pháp đã rõ ràng với bạn? Vì vậy, tôi sẽ yêu cầu bạn tự giải quyết hai vấn đề còn lại. Hãy so sánh câu trả lời?

Một lần nữa, tôi nhắc lại: việc giải quyết những vấn đề này thông qua việc xây dựng sẽ dễ dàng hơn (nhanh hơn) thay vì dùng đến phương pháp tọa độ. Tôi đã trình bày giải pháp này chỉ để cho bạn thấy phương pháp phổ quát, cho phép bạn "không hoàn thành việc xây dựng bất cứ thứ gì."

Cuối cùng, hãy xem xét loại vấn đề cuối cùng:

Tính khoảng cách giữa các đường giao nhau

Ở đây thuật toán giải bài toán sẽ tương tự như thuật toán trước. Những gì chúng tôi có:

3. Bất kỳ vectơ nào nối các điểm của dòng thứ nhất và dòng thứ hai:

Làm thế nào để chúng ta tìm thấy khoảng cách giữa các dòng?

Công thức như sau:

Tử số là mô đun sản phẩm hỗn hợp(chúng tôi đã giới thiệu nó ở phần trước) và mẫu số giống như trong công thức trước (mô đun tích vectơ của các vectơ chỉ hướng của các đường thẳng, khoảng cách giữa chúng tôi đang tìm kiếm).

Tôi sẽ nhắc bạn điều đó

Sau đó công thức tính khoảng cách có thể được viết lại thành:

Đây là định thức chia cho định thức! Mặc dù thành thật mà nói, tôi không có thời gian để đùa ở đây! Công thức này, trên thực tế, là rất cồng kềnh và dẫn đến khá nhiều tính toán phức tạp. Nếu tôi là bạn, tôi sẽ chỉ dùng đến nó như là phương sách cuối cùng!

Hãy thử giải quyết một số vấn đề bằng phương pháp trên:

1. Đi đúng hướng lăng kính tam giác, tất cả các cạnh đều bằng nhau, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng và.

2. Cho một hình lăng trụ tam giác vuông, các cạnh của đáy bằng tiết diện đi qua gân thân và các gân se-re-di-well là hình vuông. Tìm khoảng cách giữa các đường thẳng và

Tôi quyết định điều đầu tiên, và dựa vào đó, bạn quyết định điều thứ hai!

1. Tôi vẽ một lăng kính và đánh dấu các đường thẳng và

Tọa độ điểm C: khi đó

tọa độ điểm

Tọa độ vectơ

tọa độ điểm

Tọa độ vectơ

Tọa độ vectơ

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(mảng))\end(mảng)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Chúng tôi tính toán tích vectơ giữa các vectơ và

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Bây giờ chúng tôi tính toán chiều dài của nó:

Trả lời:

Bây giờ hãy cố gắng hoàn thành nhiệm vụ thứ hai một cách cẩn thận. Câu trả lời sẽ là: .

Tọa độ và vectơ. Mô tả ngắn gọn và công thức cơ bản

Một vectơ là một đoạn có hướng. - phần đầu của vectơ, - phần cuối của vectơ.
Một vectơ được ký hiệu là hoặc.

Giá trị tuyệt đối vector - độ dài của đoạn đại diện cho vector. Ký hiệu là.

Tọa độ vectơ:

,
đâu là điểm cuối của vectơ \displaystyle a .

Tổng các vectơ: .

Tích của vectơ:

Tích số chấm của vectơ: