Trước hết chúng ta cần hiểu khái niệm về vectơ. Để giới thiệu định nghĩa của vectơ hình học, chúng ta hãy nhớ đoạn thẳng là gì. Hãy giới thiệu định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1
Đoạn là một phần của đường có hai ranh giới dưới dạng điểm.
Một đoạn có thể có 2 hướng. Để biểu thị hướng, chúng ta sẽ gọi một trong các ranh giới của đoạn này là điểm bắt đầu và ranh giới còn lại là điểm cuối của nó. Hướng được chỉ định từ đầu đến cuối đoạn.
Định nghĩa 2
Một vectơ hoặc đoạn có hướng sẽ là một đoạn mà người ta biết ranh giới nào của đoạn đó được coi là điểm bắt đầu và đâu là điểm kết thúc của nó.
Ký hiệu: Bằng hai chữ cái: $\overline(AB)$ – (trong đó $A$ là phần đầu và $B$ là phần cuối).
Bằng một chữ cái nhỏ: $\overline(a)$ (Hình 1).
Bây giờ chúng ta hãy giới thiệu trực tiếp khái niệm độ dài vectơ.
Định nghĩa 3
Độ dài của vectơ $\overline(a)$ sẽ là độ dài của đoạn $a$.
Ký hiệu: $|\overline(a)|$
Ví dụ, khái niệm độ dài vectơ được liên kết với khái niệm như sự bằng nhau của hai vectơ.
Định nghĩa 4
Chúng ta sẽ gọi hai vectơ bằng nhau nếu chúng thỏa mãn hai điều kiện: 1. Chúng cùng hướng; 1. Chiều dài của chúng bằng nhau (Hình 2).
Để xác định vectơ, hãy nhập hệ tọa độ và xác định tọa độ cho vectơ trong hệ thống đã nhập. Như chúng ta biết, bất kỳ vectơ nào cũng có thể được phân tách dưới dạng $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, trong đó $m$ và $n$ là số thực và $\overline (i )$ và $\overline(j)$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên trục $Ox$ và $Oy$.
Định nghĩa 5
Chúng ta sẽ gọi các hệ số khai triển của vectơ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ là tọa độ của vectơ này trong hệ tọa độ đã giới thiệu. Về mặt toán học:
$\overline(c)=(m,n)$
Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?
Để suy ra công thức tính độ dài của một vectơ tùy ý cho tọa độ của nó, hãy xem xét bài toán sau:
Ví dụ 1
Cho trước: vectơ $\overline(α)$ có tọa độ $(x,y)$. Tìm: độ dài của vectơ này.
Hãy để chúng tôi giới thiệu hệ tọa độ Descartes $xOy$ trên mặt phẳng. Chúng ta hãy đặt $\overline(OA)=\overline(a)$ khỏi nguồn gốc của hệ tọa độ được giới thiệu. Chúng ta hãy xây dựng các hình chiếu $OA_1$ và $OA_2$ của vectơ được xây dựng trên trục $Ox$ và $Oy$ tương ứng (Hình 3).
Vectơ $\overline(OA)$ mà chúng ta đã xây dựng sẽ là vectơ bán kính cho điểm $A$, do đó, nó sẽ có tọa độ $(x,y)$, nghĩa là
$=x$, $[OA_2]=y$
Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tìm được độ dài cần thiết bằng định lý Pythagore, chúng ta có
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Trả lời: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Phần kết luận:Để tìm độ dài của một vectơ có tọa độ cho trước, cần phải tìm căn bậc hai của tổng các tọa độ này.
Nhiệm vụ mẫu
Ví dụ 2
Tìm khoảng cách giữa các điểm $X$ và $Y$, có tọa độ tương ứng như sau: $(-1.5)$ và $(7.3)$.
Bất kỳ hai điểm nào cũng có thể dễ dàng liên kết với khái niệm vectơ. Ví dụ, hãy xem xét vectơ $\overline(XY)$. Như chúng ta đã biết, tọa độ của một vectơ như vậy có thể tìm được bằng cách trừ tọa độ điểm cuối($Y$) tọa độ tương ứng của điểm bắt đầu ($X$). Chúng tôi hiểu điều đó
Cuối cùng, tôi đã có được chủ đề rộng lớn và được chờ đợi từ lâu này. hình học giải tích . Đầu tiên một chút về phần này toán cao hơn…. Chắc hẳn bây giờ bạn còn nhớ một khóa học hình học ở trường với vô số định lý, cách chứng minh, hình vẽ, v.v. Che giấu điều gì, một chủ đề không được yêu thích và thường ít người biết đến đối với một bộ phận đáng kể học sinh. Kỳ lạ thay, hình học giải tích lại có vẻ thú vị và dễ tiếp cận hơn. Tính từ “phân tích” có nghĩa là gì? Hai cụm từ toán học sáo rỗng ngay lập tức hiện lên trong đầu: “phương pháp giải đồ họa” và “ phương pháp phân tích giải pháp." Phương pháp đồ họa , tất nhiên, gắn liền với việc xây dựng đồ thị và hình vẽ. phân tích hoặc phương pháp liên quan đến việc giải quyết các vấn đề chủ yếu bởi vì phép toán đại số. Về vấn đề này, thuật toán để giải hầu hết các bài toán của hình học giải tích rất đơn giản và minh bạch, chỉ cần áp dụng một cách cẩn thận là đủ; công thức cần thiết- và câu trả lời đã sẵn sàng! Không, tất nhiên, chúng ta sẽ không thể làm được điều này nếu không có bản vẽ, và ngoài ra, để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi sẽ cố gắng trích dẫn chúng nếu không cần thiết.
Khóa học mới mở về hình học không có vẻ hoàn chỉnh về mặt lý thuyết; nó tập trung vào việc giải quyết các vấn đề thực tế. Theo quan điểm của tôi, tôi sẽ chỉ đưa vào bài giảng của mình những gì quan trọng về mặt thực tế. Nếu bạn cần trợ giúp đầy đủ hơn về bất kỳ tiểu mục nào, tôi khuyên bạn nên sử dụng tài liệu khá dễ tiếp cận sau:
1) Một điều mà không đùa được, nhiều thế hệ đã quen thuộc: Sách giáo khoa hình học phổ thông, tác giả – L.S. Atanasyan và Công ty. Chiếc móc treo phòng thay đồ của trường này đã trải qua 20 lần tái bản (!), Tất nhiên, đó không phải là giới hạn.
2) Hình học trong 2 tập. tác giả L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Đây là văn học dành cho trường trung học, bạn sẽ cần tập đầu tiên. Những nhiệm vụ hiếm gặp có thể lọt khỏi tầm mắt của tôi và hướng dẫn đào tạo sẽ cung cấp sự trợ giúp vô giá.
Cả hai cuốn sách đều có thể được tải xuống miễn phí trực tuyến. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng kho lưu trữ của tôi với các giải pháp làm sẵn, có thể tìm thấy trên trang Tải các ví dụ về toán cao cấp.
Trong số các công cụ, tôi một lần nữa đề xuất sự phát triển của riêng mình - gói phần mềm trong hình học giải tích, điều này sẽ đơn giản hóa cuộc sống rất nhiều và tiết kiệm rất nhiều thời gian.
Giả định rằng người đọc đã quen thuộc với những kiến thức cơ bản khái niệm hình học và các hình: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hình tam giác, hình bình hành, hình bình hành, hình lập phương, v.v. Nên nhớ một số định lý, ít nhất là định lý Pythagore, xin chào những người lặp lại)
Và bây giờ chúng ta sẽ xem xét tuần tự: khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ. Tôi khuyên bạn nên đọc thêm bài viết quan trọng nhất Tích vô hướng của vectơ, và cả Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. Sẽ không thừa vấn đề cục bộ- Chia một đoạn theo một tỉ số nhất định. Dựa vào những thông tin trên, bạn có thể nắm vững phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Với ví dụ đơn giản nhất về giải pháp, điều này sẽ cho phép học cách giải các bài toán hình học. Các bài viết sau đây cũng hữu ích: Phương trình mặt phẳng trong không gian, Phương trình đường thẳng trong không gian, Các bài toán cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, các phần khác của hình học giải tích. Đương nhiên, các nhiệm vụ tiêu chuẩn sẽ được xem xét trong quá trình thực hiện.
Khái niệm vectơ. Vectơ miễn phí
Đầu tiên, hãy lặp lại định nghĩa trường học của một vectơ. Vectơ gọi điện chỉ đạo một đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được chỉ định:
TRONG trong trường hợp này phần đầu của đoạn là điểm, phần cuối của đoạn là điểm. Bản thân vectơ được ký hiệu là . Phương hướng là điều cần thiết, nếu bạn di chuyển mũi tên đến đầu kia của đoạn thẳng, bạn sẽ nhận được một vectơ và đây là vectơ hoàn toàn khác. Khái niệm vectơ được xác định một cách thuận tiện với chuyển động cơ thể vật lý: Đồng ý, việc vào cửa viện hay ra khỏi cửa viện là chuyện hoàn toàn khác nhau.
Thật thuận tiện khi xem xét các điểm riêng lẻ của một mặt phẳng hoặc không gian như được gọi là vectơ không. Đối với một vectơ như vậy, điểm cuối và điểm đầu trùng nhau.
!!! Ghi chú: Ở đây và xa hơn nữa, bạn có thể giả sử rằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc bạn có thể giả định rằng chúng nằm trong không gian - bản chất của vật liệu được trình bày có giá trị cho cả mặt phẳng và không gian.
Chỉ định: Nhiều người ngay lập tức nhận thấy cây gậy không có mũi tên trên nhãn và nói rằng cũng có một mũi tên ở trên cùng! Đúng, bạn có thể viết nó bằng mũi tên: , nhưng cũng có thể mục mà tôi sẽ sử dụng trong tương lai. Tại sao? Rõ ràng, thói quen này phát triển vì những lý do thực tế; những tay súng của tôi ở trường học và đại học hóa ra có kích thước quá khác biệt và xù xì. TRONG văn học giáo dụcđôi khi họ không bận tâm đến việc viết chữ hình nêm mà chỉ đánh dấu các chữ cái in đậm: , ngụ ý rằng nó là một vectơ.
Đó là phong cách, và bây giờ là về cách viết vectơ:
1) Các vectơ có thể được viết bằng hai chữ cái Latinh in hoa: 
và vân vân. Trong trường hợp này, chữ cái đầu tiên nhất thiết biểu thị điểm bắt đầu của vectơ và chữ cái thứ hai biểu thị điểm cuối của vectơ.
2) Các vectơ cũng được viết bằng chữ Latinh thường:
Đặc biệt, để cho ngắn gọn, vectơ của chúng ta có thể được thiết kế lại là nhỏ chữ cái Latinh.
Chiều dài hoặc mô-đun một vectơ khác 0 được gọi là độ dài của đoạn. Độ dài của vectơ 0 bằng 0. Hợp lý.
Độ dài của vectơ được biểu thị bằng dấu mô đun: ,
Chúng ta sẽ học cách tìm độ dài của vectơ (hoặc chúng ta sẽ lặp lại nó, tùy thuộc vào ai) sau đó một chút.
Họ đã thông tin cơ bản về vector, quen thuộc với tất cả học sinh. Trong hình học giải tích, cái gọi là vectơ miễn phí.
Nói một cách đơn giản - vectơ có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào:
Chúng ta quen gọi các vectơ như vậy bằng nhau (định nghĩa các vectơ bằng nhau sẽ được đưa ra dưới đây), nhưng theo quan điểm toán học thuần túy, chúng là CÙNG VECTOR hoặc vectơ miễn phí. Tại sao miễn phí? Bởi vì trong quá trình giải toán, bạn có thể “gắn” vectơ này hoặc vectơ kia vào BẤT KỲ điểm nào trên mặt phẳng hoặc không gian mà bạn cần. Đây là một tính năng rất thú vị! Hãy tưởng tượng một vectơ có chiều dài và hướng tùy ý - nó có thể được “nhân bản” số vô hạn lần và ở bất kỳ thời điểm nào trong không gian, trên thực tế, nó tồn tại MỌI NƠI. Có một sinh viên nói: Mọi giảng viên đều quan tâm đến vectơ. Rốt cuộc, nó không chỉ là một vần điệu dí dỏm, mọi thứ đều đúng về mặt toán học - vectơ cũng có thể được gắn vào đó. Nhưng đừng vội vui mừng, người khổ nhất chính là học sinh =))
Vì thế, vectơ miễn phí- Cái này nhiều các phân đoạn được định hướng giống hệt nhau. Định nghĩa trường học vectơ được đưa ra ở đầu đoạn văn: “Một vectơ là một đoạn có hướng…” ngụ ý cụ thể một đoạn có hướng được lấy từ một tập hợp nhất định, được gắn với một điểm cụ thể trong mặt phẳng hoặc không gian.
Cần lưu ý rằng theo quan điểm vật lý, khái niệm vectơ tự do trong trường hợp chung là không chính xác và điểm áp dụng của vectơ là quan trọng. Thật vậy, một cú đánh trực tiếp với cùng một lực vào mũi hoặc trán, đủ để phát triển ví dụ ngu ngốc của tôi, sẽ gây ra những hậu quả khác nhau. Tuy nhiên, không có tự do vectơ cũng được tìm thấy trong quá trình vyshmat (đừng đến đó :)).
Hành động với vectơ. Sự cộng tuyến của các vectơ
TRONG khóa học hình học, một số hành động và quy tắc với vectơ được xem xét: phép cộng theo quy tắc tam giác, phép cộng theo quy tắc hình bình hành, quy tắc sai phân vectơ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng của vectơ, v.v.Để bắt đầu, chúng ta hãy nhắc lại hai quy tắc đặc biệt phù hợp để giải các bài toán hình học giải tích.
Quy tắc cộng vectơ bằng quy tắc tam giác
Xét hai vectơ khác 0 tùy ý và: 
Bạn cần tìm tổng của các vectơ này. Do thực tế là tất cả các vectơ đều được coi là tự do nên chúng ta loại vectơ khỏi kết thúc vectơ: 
Tổng các vectơ là vectơ. Để hiểu rõ hơn về quy tắc, nên đưa vào ý nghĩa vật lý: cho một vật chuyển động dọc theo một vectơ, rồi dọc theo một vectơ. Khi đó tổng các vectơ là vectơ của đường đi kết quả có điểm đầu là điểm khởi hành và điểm cuối là điểm đến. Một quy tắc tương tự được xây dựng cho tổng của bất kỳ số lượng vectơ nào. Như người ta nói, cơ thể có thể di chuyển rất nghiêng theo đường ngoằn ngoèo, hoặc có thể ở chế độ lái tự động - dọc theo vectơ kết quả của tổng.
Nhân tiện, nếu vectơ bị trễ từ bắt đầu vector, sau đó chúng ta nhận được tương đương quy tắc hình bình hành phép cộng các vectơ.
Đầu tiên, về sự cộng tuyến của các vectơ. Hai vectơ đó được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song. Nói một cách đại khái, chúng ta đang nói về các vectơ song song. Nhưng liên quan đến họ, tính từ “cộng tuyến” luôn được sử dụng.
Cho hai vectơ thẳng hàng. Nếu các mũi tên của các vectơ này cùng hướng thì các vectơ đó được gọi là đồng đạo diễn. Nếu mũi tên hướng về phía các mặt khác nhau, thì các vectơ sẽ là hướng ngược lại.
Chỉ định: tính cộng tuyến của các vectơ được viết bằng ký hiệu song song thông thường: , trong khi có thể chi tiết hóa: (các vectơ có hướng ngược nhau) hoặc (các vectơ có hướng ngược nhau).
công việc một vectơ khác 0 của một số là một vectơ có độ dài bằng , và các vectơ cùng hướng và hướng ngược nhau tại .
Quy tắc nhân vectơ với một số sẽ dễ hiểu hơn với sự trợ giúp của hình ảnh: 
Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn:
1) Hướng. Nếu số nhân âm thì vectơ thay đổi hướng ngược lại.
2) Chiều dài. Nếu số nhân nằm trong hoặc , thì độ dài của vectơ giảm. Vậy chiều dài của vectơ bằng một nửa chiều dài của vectơ. Nếu số nhân modulo nhiều hơn một, thì độ dài vectơ tăng lênđôi khi.
3) Xin lưu ý rằng mọi vectơ đều thẳng hàng, trong khi một vectơ được biểu diễn thông qua một vectơ khác, ví dụ: . Điều ngược lại cũng đúng: nếu một vectơ có thể được biểu diễn thông qua một vectơ khác thì các vectơ đó nhất thiết phải thẳng hàng. Như vậy: nếu chúng ta nhân một vectơ với một số, chúng ta sẽ thẳng hàng(so với bản gốc) vectơ.
4) Các vectơ cùng hướng. Các vectơ và cũng được đồng đạo diễn. Bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ nhất đều có hướng ngược chiều với bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ hai.
Những vectơ nào bằng nhau?
Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng chiều dài . Lưu ý rằng tính đồng hướng hàm ý tính cộng tuyến của các vectơ. Định nghĩa sẽ không chính xác (dư thừa) nếu chúng ta nói: “Hai vectơ bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, cùng hướng và có cùng độ dài”.
Từ quan điểm của khái niệm vectơ tự do, vectơ bằng nhau– đây là cùng một vectơ đã được thảo luận ở đoạn trước.
Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian
Điểm đầu tiên là xét các vectơ trên mặt phẳng. Hãy để chúng tôi đại diện cho Descartes hệ thống hình chữ nhật tọa độ và từ gốc tọa độ chúng ta trì hoãn đơn vectơ và:
Vectơ và trực giao. Trực giao = Vuông góc. Tôi khuyên bạn nên làm quen dần với các thuật ngữ: thay vì song song và vuông góc, chúng ta sử dụng các từ tương ứng sự cộng tác Và tính trực giao.
Chỉ định: Tính trực giao của vectơ được viết bằng ký hiệu vuông góc thông thường, ví dụ: .
Các vectơ đang xét được gọi là vectơ tọa độ hoặc orts. Các vectơ này hình thành cơ sở trên một chiếc máy bay. Tôi nghĩ cơ sở là gì thì rõ ràng bằng trực giác đối với nhiều người, hơn thế nữa. thông tin chi tiết có thể tìm thấy trong bài viết Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ Nói một cách đơn giản, cơ sở và nguồn gốc của tọa độ xác định toàn bộ hệ thống - đây là một loại nền tảng tạo nên đời sống hình học đầy đủ và phong phú.
Đôi khi cơ sở được xây dựng được gọi là trực giao cơ sở của mặt phẳng: “ortho” - vì các vectơ tọa độ là trực giao nên tính từ “chuẩn hóa” có nghĩa là đơn vị, tức là độ dài của các vectơ cơ sở bằng một.
Chỉ định: cơ sở thường được viết trong ngoặc đơn, trong đó theo trình tự chặt chẽ các vectơ cơ sở được liệt kê, ví dụ: . Các vectơ tọa độ nó bị cấm sắp xếp lại.
Bất kì véc tơ máy bay cách duy nhấtđược thể hiện như: 
, Ở đâu - con sốđược gọi là tọa độ vector V. trên cơ sở này. Và bản thân sự biểu hiện 
gọi điện phân rã véc tơtheo cơ sở .
Bữa tối được phục vụ:
Hãy bắt đầu với chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái: . Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng khi phân tách một vectơ thành một cơ sở, những vectơ vừa thảo luận sẽ được sử dụng:
1) quy tắc nhân vectơ với một số: và ;
2) phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác: .
Bây giờ hãy tưởng tượng vectơ từ bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng. Rõ ràng là sự suy tàn của anh ta sẽ “theo anh ta không ngừng nghỉ”. Đây rồi, sự tự do của vectơ - vectơ “mang theo mọi thứ bên mình”. Tất nhiên, tính chất này đúng với mọi vectơ. Thật buồn cười là bản thân các vectơ cơ sở (miễn phí) không nhất thiết phải được vẽ từ gốc; một vectơ có thể được vẽ, chẳng hạn như ở dưới cùng bên trái và vectơ kia ở trên cùng bên phải, và sẽ không có gì thay đổi! Đúng, bạn không cần phải làm điều này, vì giáo viên cũng sẽ thể hiện sự độc đáo và ghi điểm “tín dụng” cho bạn ở một nơi không ngờ tới.
Các vectơ minh họa chính xác quy tắc nhân một vectơ với một số, vectơ cùng hướng với vectơ cơ sở, vectơ có hướng ngược với vectơ cơ sở. Đối với các vectơ này, một trong các tọa độ bằng 0, bạn có thể viết nó một cách tỉ mỉ như thế này:
Và nhân tiện, các vectơ cơ sở giống như thế này: (trên thực tế, chúng được thể hiện thông qua chính chúng).
Và cuối cùng: , . Nhân tiện, phép trừ vectơ là gì và tại sao tôi không nói về quy tắc trừ? Ở đâu đó trong đại số tuyến tính, Tôi không nhớ ở đâu, tôi lưu ý rằng phép trừ là trường hợp đặc biệt phép cộng. Do đó, việc khai triển các vectơ “de” và “e” có thể dễ dàng viết dưới dạng tổng: , 
. Sắp xếp lại các số hạng và xem trong hình vẽ cách cộng các vectơ cũ theo quy tắc tam giác hoạt động tốt như thế nào trong những tình huống này.
Việc phân hủy được coi là của biểu mẫu 
đôi khi được gọi là phân rã vector trong hệ thống ort(tức là trong một hệ vectơ đơn vị). Nhưng đây không phải là cách duy nhất để viết vectơ, nó rất phổ biến lựa chọn tiếp theo:
Hoặc với dấu bằng:
Bản thân các vectơ cơ sở được viết như sau: và
Nghĩa là tọa độ của vectơ được biểu thị trong ngoặc đơn. TRONG vấn đề thực tế Tất cả ba tùy chọn ghi đều được sử dụng.
Tôi phân vân không biết có nên nói không, nhưng tôi vẫn nói: tọa độ vector không thể được sắp xếp lại. Nghiêm túc ở vị trí đầu tiên chúng ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị, đúng ở vị trí thứ hai chúng ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị. Thật vậy, và là hai vectơ khác nhau.
Chúng tôi đã tìm ra tọa độ trên máy bay. Bây giờ chúng ta hãy xem các vectơ trong không gian ba chiều, hầu hết mọi thứ ở đây đều giống nhau! Nó sẽ chỉ thêm một tọa độ nữa. Thật khó để tạo các bản vẽ ba chiều, vì vậy tôi sẽ giới hạn ở một vectơ, để đơn giản, tôi sẽ tách khỏi gốc: 
Bất kì vectơ không gian ba chiều Có thể cách duy nhất
khai triển trên cơ sở trực chuẩn: 
, tọa độ của vectơ (số) trong cơ sở này ở đâu.
Ví dụ từ hình ảnh: 
. Hãy xem các quy tắc vectơ hoạt động như thế nào ở đây. Đầu tiên, nhân vectơ với số: (mũi tên đỏ), (mũi tên xanh) và (mũi tên quả mâm xôi). Thứ hai, đây là ví dụ về việc cộng một số vectơ, trong trường hợp này là ba vectơ: . Vectơ tổng bắt đầu tại điểm bắt đầu khởi hành (điểm bắt đầu của vectơ) và kết thúc ở điểm đến cuối cùng (điểm cuối của vectơ).
Tất cả các vectơ của không gian ba chiều, một cách tự nhiên, cũng tự do; hãy cố gắng gạt vectơ đó ra khỏi bất kỳ điểm nào khác trong đầu, và bạn sẽ hiểu rằng sự phân rã của nó “sẽ vẫn ở lại với nó”.
Tương tự như trường hợp phẳng, ngoài chức năng viết 
các phiên bản có dấu ngoặc được sử dụng rộng rãi: .
Nếu bản mở rộng thiếu một (hoặc hai) vectơ tọa độ, sau đó số không được đặt vào vị trí của chúng. Ví dụ:
vectơ (một cách tỉ mỉ 
) – hãy viết ;
vectơ (một cách tỉ mỉ 
) – hãy viết ;
vectơ (một cách tỉ mỉ 
) – hãy viết .
Các vectơ cơ sở được viết như sau:
Đó có lẽ là mức tối thiểu kiến thức lý thuyết cần thiết cho việc giải các bài toán hình học giải tích. Có thể có rất nhiều thuật ngữ và định nghĩa nên tôi khuyên người chưa biết nên đọc lại và hiểu thông tin này lại. Và nó sẽ hữu ích cho bất kỳ độc giả nào tham khảo bài học cơ bản Vì hấp thụ tốt hơn vật liệu. Tính cộng tuyến, tính trực giao, cơ sở trực giao, phân rã vectơ - những khái niệm này và các khái niệm khác sẽ thường được sử dụng trong tương lai. Tôi muốn lưu ý rằng tài liệu của trang web không đủ để vượt qua bài kiểm tra lý thuyết hoặc hội thảo về hình học, vì tôi mã hóa cẩn thận tất cả các định lý (và không có bằng chứng) - gây bất lợi cho phong cách khoa học trình bày mà còn là một điểm cộng cho sự hiểu biết của bạn về chủ đề này. Để nhận được thông tin lý thuyết chi tiết, xin vui lòng cúi chào Giáo sư Atanasyan.
Và chúng ta chuyển sang phần thực hành:
Những bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích.
Hành động với vectơ trong tọa độ
Rất nên học cách giải quyết các nhiệm vụ sẽ được coi là hoàn toàn tự động và các công thức ghi nhớ, không nhớ cụ thể thì họ sẽ nhớ mình =)) Điều này rất quan trọng, vì nói một cách đơn giản nhất ví dụ cơ bản các bài toán khác của hình học giải tích đều có cơ sở, và sẽ rất khó để chi tiêu thêm thời gian vì ăn thịt những con tốt. Không cần phải cài cúc trên cùng của áo sơ mi; nhiều thứ đã quen thuộc với bạn từ thời đi học.
Việc trình bày tài liệu sẽ tuân theo một tiến trình song song - cả về mặt phẳng và không gian. Vì lý do mà tất cả các công thức... bạn sẽ tự mình nhìn thấy.
Làm thế nào để tìm một vectơ từ hai điểm?
Nếu cho trước hai điểm của mặt phẳng thì vectơ có tọa độ như sau: 
Nếu cho trước hai điểm trong không gian thì vectơ có tọa độ như sau:
Đó là, từ tọa độ điểm cuối của vectơ bạn cần trừ tọa độ tương ứng phần đầu của vectơ.
Bài tập:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Công thức ở cuối bài học.
Ví dụ 1
Cho hai điểm của mặt phẳng và . Tìm tọa độ vectơ
Giải pháp: theo công thức tương ứng:
Ngoài ra, mục sau có thể được sử dụng:
Thẩm mỹ sẽ quyết định điều này:
Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của bản ghi âm.
Trả lời:
Theo điều kiện thì không nhất thiết phải xây dựng một bản vẽ (điển hình cho các bài toán hình học giải tích), nhưng để làm rõ một số điểm cho người giả, tôi sẽ không lười biếng: 
Bạn chắc chắn cần phải hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:
tọa độ điểm– đây là các tọa độ thông thường trong hệ tọa độ hình chữ nhật. Tôi nghĩ mọi người đều biết cách vẽ điểm trên mặt phẳng tọa độ từ lớp 5-6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên mặt phẳng và chúng không thể di chuyển đi bất cứ đâu.
Tọa độ của vectơ– đây là sự khai triển của nó theo cơ sở, trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào đều miễn phí, vì vậy nếu cần, chúng ta có thể dễ dàng di chuyển nó ra khỏi một số điểm khác trong mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ, bạn không cần phải xây dựng trục hoặc hệ tọa độ hình chữ nhật, bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này là cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng.
Các bản ghi tọa độ điểm và tọa độ của vectơ có vẻ giống nhau: và ý nghĩa tọa độ tuyệt đối khác biệt, và bạn nên nhận thức rõ về sự khác biệt này. Tất nhiên, sự khác biệt này cũng áp dụng cho không gian.
Thưa quý vị, hãy lấp đầy bàn tay của chúng tôi:
Ví dụ 2
a) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
b) Điểm được cho 
Và . Tìm vectơ và .
c) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
d) Điểm được cho. Tìm vectơ 
.
Có lẽ thế là đủ. Đây là những ví dụ cho quyết định độc lập, hãy cố gắng đừng bỏ bê chúng, nó sẽ được đền đáp ;-). Không cần phải vẽ bản vẽ. Lời giải và đáp án cuối bài.
Điều quan trọng khi giải các bài toán hình học giải tích là gì?Điều quan trọng là phải CỰC KỲ CẨN THẬN để tránh mắc phải sai lầm bậc thầy “hai cộng hai bằng 0”. Mình có sai sót ở đâu thì xin lỗi ngay nhé =))
Làm thế nào để tìm độ dài của một đoạn?
Độ dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu mô đun.
Nếu cho hai điểm của mặt phẳng và , thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức
Nếu có hai điểm trong không gian và cho trước thì độ dài của đoạn đó có thể được tính bằng công thức
Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu đổi chỗ tọa độ tương ứng: và , nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn
Ví dụ 3
Giải pháp: theo công thức tương ứng:
Trả lời: 
Để rõ ràng, tôi sẽ vẽ 
Phân đoạn – đây không phải là một vectơ và tất nhiên là bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu. Ngoài ra nếu vẽ theo tỷ lệ: 1 đơn vị. = 1 cm (hai ô vở), thì có thể kiểm tra câu trả lời thu được bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn.
Vâng, giải pháp thì ngắn gọn, nhưng còn có một vài giải pháp nữa trong đó điểm quan trọng mà tôi muốn làm rõ:
Đầu tiên, trong câu trả lời chúng ta đặt thứ nguyên: “đơn vị”. Điều kiện không cho biết đó là CÁI GÌ, milimét, centimét, mét hoặc kilômét. Do đó, giải pháp đúng về mặt toán học sẽ là công thức chung: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.
Thứ hai, hãy lặp lại tài liệu học tập, điều này không chỉ hữu ích cho vấn đề đang được xem xét:
Xin lưu ý quan trọng kỹ thuật kỹ thuật
– loại bỏ số nhân từ dưới gốc. Kết quả của các phép tính, chúng ta có một kết quả và phong cách toán học tốt liên quan đến việc loại bỏ hệ số khỏi gốc (nếu có thể). Quá trình này trông như thế này chi tiết hơn: 
. Tất nhiên, để lại câu trả lời như cũ không phải là một sai lầm - nhưng chắc chắn đó sẽ là một thiếu sót và là một lập luận nặng nề cho việc ngụy biện từ phía giáo viên.
Dưới đây là những trường hợp phổ biến khác: 
Thường có đủ ở gốc số lượng lớn, Ví dụ . Phải làm gì trong những trường hợp như vậy? Sử dụng máy tính, chúng tôi kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 hay không: . Vâng, nó đã được chia hoàn toàn, do đó: 
. Hoặc có thể số đó lại có thể chia cho 4? . Như vậy: 
. Chữ số cuối cùng của số là số lẻ nên việc chia cho 4 lần thứ ba hiển nhiên sẽ không được. Hãy thử chia cho chín: . Kết quả là:
Sẵn sàng.
Phần kết luận: nếu dưới gốc, chúng ta nhận được một số không thể trích ra toàn bộ, thì chúng ta sẽ cố gắng loại bỏ hệ số từ dưới gốc - chúng ta kiểm tra trên máy tính xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, v.v.
Trong quá trình quyết định nhiệm vụ khác nhau gốc rễ là phổ biến, hãy luôn cố gắng rút ra các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm thấp và những rắc rối không đáng có khi hoàn thiện lời giải dựa trên nhận xét của giáo viên.
Chúng ta hãy lặp lại căn bậc hai và các lũy thừa khác: 
Quy tắc cho các hành động có mức độ trong cái nhìn tổng quát có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa ở trường về đại số, nhưng tôi nghĩ từ những ví dụ đã cho, mọi thứ hoặc gần như mọi thứ đều đã rõ ràng.
Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập với một phân đoạn trong không gian:
Ví dụ 4
Điểm và được đưa ra. Tìm độ dài của đoạn này.
Đáp án và đáp án ở cuối bài.
Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?
Nếu cho trước một vectơ phẳng thì độ dài của nó được tính theo công thức.
Nếu cho trước một vectơ không gian thì độ dài của nó được tính theo công thức 
.
Trước hết chúng ta cần hiểu khái niệm về vectơ. Để giới thiệu định nghĩa của vectơ hình học, chúng ta hãy nhớ đoạn thẳng là gì. Hãy giới thiệu định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1
Đoạn là một phần của đường có hai ranh giới dưới dạng điểm.
Một đoạn có thể có 2 hướng. Để biểu thị hướng, chúng ta sẽ gọi một trong các ranh giới của đoạn này là điểm bắt đầu và ranh giới còn lại là điểm cuối của nó. Hướng được chỉ định từ đầu đến cuối đoạn.
Định nghĩa 2
Một vectơ hoặc đoạn có hướng sẽ là một đoạn mà người ta biết ranh giới nào của đoạn đó được coi là điểm bắt đầu và đâu là điểm kết thúc của nó.
Ký hiệu: Bằng hai chữ cái: $\overline(AB)$ – (trong đó $A$ là phần đầu và $B$ là phần cuối).
Bằng một chữ cái nhỏ: $\overline(a)$ (Hình 1).
Bây giờ chúng ta hãy giới thiệu trực tiếp khái niệm độ dài vectơ.
Định nghĩa 3
Độ dài của vectơ $\overline(a)$ sẽ là độ dài của đoạn $a$.
Ký hiệu: $|\overline(a)|$
Ví dụ, khái niệm độ dài vectơ được liên kết với khái niệm như sự bằng nhau của hai vectơ.
Định nghĩa 4
Chúng ta sẽ gọi hai vectơ bằng nhau nếu chúng thỏa mãn hai điều kiện: 1. Chúng cùng hướng; 1. Chiều dài của chúng bằng nhau (Hình 2).
Để xác định vectơ, hãy nhập hệ tọa độ và xác định tọa độ cho vectơ trong hệ thống đã nhập. Như chúng ta biết, bất kỳ vectơ nào cũng có thể được phân tách dưới dạng $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, trong đó $m$ và $n$ là số thực và $\overline (i )$ và $\overline(j)$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên trục $Ox$ và $Oy$.
Định nghĩa 5
Chúng ta sẽ gọi các hệ số khai triển của vectơ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ là tọa độ của vectơ này trong hệ tọa độ đã giới thiệu. Về mặt toán học:
$\overline(c)=(m,n)$
Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?
Để suy ra công thức tính độ dài của một vectơ tùy ý cho tọa độ của nó, hãy xem xét bài toán sau:
Ví dụ 1
Cho trước: vectơ $\overline(α)$ có tọa độ $(x,y)$. Tìm: độ dài của vectơ này.
Hãy để chúng tôi giới thiệu hệ tọa độ Descartes $xOy$ trên mặt phẳng. Chúng ta hãy đặt $\overline(OA)=\overline(a)$ khỏi nguồn gốc của hệ tọa độ được giới thiệu. Chúng ta hãy xây dựng các hình chiếu $OA_1$ và $OA_2$ của vectơ được xây dựng trên trục $Ox$ và $Oy$ tương ứng (Hình 3).
Vectơ $\overline(OA)$ mà chúng ta đã xây dựng sẽ là vectơ bán kính cho điểm $A$, do đó, nó sẽ có tọa độ $(x,y)$, nghĩa là
$=x$, $[OA_2]=y$
Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng tìm được độ dài cần thiết bằng định lý Pythagore, chúng ta có
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Trả lời: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Phần kết luận:Để tìm độ dài của một vectơ có tọa độ cho trước, cần phải tìm căn bậc hai của tổng các tọa độ này.
Nhiệm vụ mẫu
Ví dụ 2
Tìm khoảng cách giữa các điểm $X$ và $Y$, có tọa độ tương ứng như sau: $(-1.5)$ và $(7.3)$.
Bất kỳ hai điểm nào cũng có thể dễ dàng liên kết với khái niệm vectơ. Ví dụ, hãy xem xét vectơ $\overline(XY)$. Như chúng ta đã biết, tọa độ của một vectơ như vậy có thể được tìm thấy bằng cách trừ tọa độ tương ứng của điểm bắt đầu ($X$) khỏi tọa độ của điểm cuối ($Y$). Chúng tôi hiểu điều đó
Tổng các vectơ. Chiều dài vectơ. Các bạn thân mến, là một phần của các dạng bài kiểm tra phía sau, có một nhóm các bài toán về vectơ. Các nhiệm vụ khá phạm vi rộng(quan trọng cần biết cơ sở lý thuyết). Hầu hết đều được giải quyết bằng miệng. Các câu hỏi liên quan đến việc tìm độ dài của một vectơ, tổng (hiệu) của các vectơ và tích vô hướng. Ngoài ra còn có nhiều nhiệm vụ cần thực hiện các hành động với tọa độ vectơ.
Lý thuyết xung quanh chủ đề vectơ không phức tạp và cần phải được hiểu rõ. Trong bài viết này chúng ta sẽ phân tích các bài toán liên quan đến việc tìm độ dài của một vectơ, cũng như tổng (hiệu) của các vectơ. Một số điểm lý thuyết:
khái niệm vectơ
Một vectơ là một đoạn có hướng.
Tất cả các vectơ có cùng hướng và có độ dài bằng nhau thì bằng nhau.
*Cả bốn vectơ trình bày ở trên đều bằng nhau!
Nghĩa là, nếu chúng ta sử dụng chuyển song song di chuyển vectơ đã cho, chúng ta sẽ luôn nhận được một vectơ bằng vectơ ban đầu. Vì vậy, có thể có vô số vectơ bằng nhau.
ký hiệu vectơ
Vector có thể được ký hiệu bằng tiếng Latin bằng chữ in hoa, Ví dụ:
Với dạng ký hiệu này, đầu tiên chữ cái biểu thị phần đầu của vectơ được viết, sau đó là chữ cái biểu thị phần cuối của vectơ.
Một vectơ khác được biểu thị bằng một chữ cái bảng chữ cái Latinh(thủ đô):
Cũng có thể chỉ định không có mũi tên:
Tổng của hai vectơ AB và BC sẽ là vectơ AC.
Viết là AB + BC = AC.
Quy tắc này được gọi là - quy tắc tam giác.
Nghĩa là, nếu chúng ta có hai vectơ – hãy gọi chúng theo điều kiện (1) và (2), và điểm cuối của vectơ (1) trùng với điểm bắt đầu của vectơ (2), thì tổng của các vectơ này sẽ là một vectơ mà phần đầu trùng với phần đầu của vectơ (1) và phần cuối trùng với phần cuối của vectơ (2).
Kết luận: nếu chúng ta có hai vectơ trên một mặt phẳng, chúng ta luôn có thể tìm được tổng của chúng. Bằng cách sử dụng tính năng dịch song song, bạn có thể di chuyển bất kỳ vectơ nào trong số này và kết nối phần đầu của nó với phần cuối của vectơ khác. Ví dụ:
Hãy di chuyển vectơ b, hay nói cách khác, hãy xây dựng một cái bằng nhau:
Tổng của một số vectơ được tìm thấy như thế nào? Theo nguyên tắc tương tự:
* * *
Quy tắc hình bình hành
Quy luật này là hệ quả của điều trên.
Đối với các vectơ có sự khởi đầu chung tổng của chúng được biểu thị bằng đường chéo của hình bình hành dựng trên các vectơ này.
Hãy xây dựng một vectơ bằng vectơ b sao cho điểm đầu của nó trùng với điểm cuối của vectơ Một và chúng ta có thể xây dựng một vectơ sẽ là tổng của chúng:
Thêm một chút nữa thông tin quan trọng cần thiết để giải quyết vấn đề.
Một vectơ có độ dài bằng vectơ ban đầu nhưng có hướng ngược nhau cũng được ký hiệu nhưng có dấu ngược lại:
Thông tin này cực kỳ hữu ích để giải quyết các vấn đề liên quan đến việc tìm sự khác biệt giữa các vectơ. Như bạn có thể thấy, hiệu vectơ bằng tổng ở dạng đã sửa đổi.
Cho hai vectơ, tìm sự khác biệt của chúng:
Chúng tôi đã xây dựng một vectơ vectơ đối diện b, và tìm thấy sự khác biệt.
Tọa độ vectơ
Để tìm tọa độ của một vectơ, bạn cần trừ tọa độ tương ứng của điểm đầu khỏi tọa độ cuối:
Nghĩa là tọa độ vectơ là một cặp số.
Nếu như
Và tọa độ của các vectơ trông như sau:
Khi đó c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2
Nếu như
Khi đó c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2
mô-đun vectơ
Mô đun của vectơ là độ dài của nó, được xác định theo công thức:
Công thức xác định độ dài của vectơ nếu biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối của nó:
Hãy xem xét các nhiệm vụ:
Hai cạnh của hình chữ nhật ABCD bằng 6 và 8. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm O. Tìm độ dài hiệu giữa các vectơ AO và BO.
Hãy tìm vectơ là kết quả của AO–VO:
AO –VO =AO +(–VO )=AB
Tức là sự khác biệt giữa các vectơ AO và VO sẽ là một vectơ AB. Và chiều dài của nó là tám.
Các đường chéo của hình thoi ABCD bằng 12 và 16. Tìm độ dài của vectơ AB + AD.
Hãy tìm một vectơ sẽ là tổng của các vectơ AD và AB BC bằng vectơ AD Vậy AB + AD = AB + BC = AC
AC là độ dài đường chéo của hình thoi AC, nó bằng 16.Các đường chéo của hình thoi ABCD cắt nhau tại điểm Ô và bằng 12 và 16. Tìm độ dài của vectơ AO + BO.
Hãy tìm một vectơ sẽ là tổng của các vectơ AO và VO VO bằng vectơ OD, nghĩa là
AD là độ dài cạnh của hình thoi. Vấn đề nằm ở việc tìm cạnh huyền trong tam giác vuông AOD. Hãy tính toán chân:
Theo định lý Pythagore:
Các đường chéo của hình thoi ABCD cắt nhau tại điểm O và bằng 12 và 16. Tìm độ dài của vectơ AO – BO.
Hãy tìm vectơ là kết quả của AO–VO:
AB là độ dài cạnh của hình thoi. Vấn đề nằm ở việc tìm cạnh huyền AB trong tam giác vuông AOB. Hãy tính toán chân:
Theo định lý Pythagore:
Bên đúng tam giác ABCđều bằng 3.
Tìm độ dài vectơ AB –AC.
Hãy tìm kết quả của sự khác biệt vectơ:
CB bằng 3, vì điều kiện nói rằng tam giác đều và các cạnh của nó bằng 3.27663. Tìm độ dài của vectơ a (6;8).
27664. Tìm bình phương độ dài của vectơ AB.
Trục hoành và trục tọa độ được gọi là tọa độ vectơ. Tọa độ vectơ thường được biểu thị dưới dạng (x, y), và chính vectơ là: =(x, y).
Công thức xác định tọa độ vectơ cho bài toán hai chiều.
Trong trường hợp bài toán hai chiều vector nổi tiếng tọa độ của điểm A(x 1; y 1) Và B(x 2 ; y 2 ) có thể được tính toán:
= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).
Công thức xác định tọa độ vectơ cho bài toán không gian.
Trong trường hợp vấn đề không gian vector nổi tiếng tọa độ của điểm MỘT (x 1; y 1;z 1 ) và B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) có thể được tính bằng công thức:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Tọa độ được đưa ra mô tả toàn diện vectơ, vì có thể tự xây dựng vectơ bằng cách sử dụng tọa độ. Biết tọa độ thì dễ tính toán chiều dài vectơ. (Tính chất 3 bên dưới).
Tính chất của tọa độ vector.
1. bất kỳ vectơ bằng nhau V. hệ thống thống nhất tọa độ có tọa độ bằng nhau.
2. Tọa độ các vectơ thẳng hàng tỷ lệ thuận. Với điều kiện là không có vectơ nào bằng 0.
3. Bình phương độ dài của vectơ bất kỳ bằng tổng vuông nó tọa độ.
4.Trong quá trình phẫu thuật phép nhân vectơ TRÊN số thực mỗi tọa độ của nó được nhân với số này.
5. Khi cộng các vectơ, ta tính tổng các vectơ tương ứng tọa độ vector.
6. Sản phẩm chấm hai vectơ bằng tổng các tích tọa độ tương ứng của chúng.