Vectơ. Hành động với vectơ. Trong bài viết này, chúng ta sẽ nói về vectơ là gì, cách tìm độ dài của nó và cách nhân vectơ với một số, cũng như cách tìm tổng, hiệu và tích vô hướng của hai vectơ.
Như thường lệ, một chút lý thuyết cần thiết nhất.
Vectơ là một đoạn có hướng, nghĩa là một đoạn có điểm bắt đầu và điểm kết thúc:
Ở đây điểm A là điểm bắt đầu của vectơ và điểm B là điểm cuối của vectơ.
Một vectơ có hai tham số: chiều dài và hướng của nó.
Độ dài của vectơ là độ dài đoạn nối điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Chiều dài vectơ được ký hiệu
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu họ có cùng chiều dài và đồng đạo diễn.
Hai vectơ đó được gọi là đồng đạo diễn, nếu chúng nằm trên các đường thẳng song song và cùng hướng: vectơ và đồng hướng:
Hai vectơ được gọi là ngược hướng nếu chúng nằm trên các đường thẳng song song và hướng ngược nhau: vectơ và , cũng như và hướng ngược nhau:
Các vectơ nằm trên các đường thẳng song song gọi là vectơ thẳng hàng: vectơ và là các vectơ thẳng hàng.
Sản phẩm của một vectơ một số được gọi là vectơ đồng hướng với vectơ nếu title="k>0">, и направленный в !} phía đối diện, if , và có độ dài bằng độ dài của vectơ nhân với:
ĐẾN cộng hai vectơ và bạn cần nối phần đầu của vectơ với phần cuối của vectơ. Vectơ tổng nối phần đầu của vectơ với phần cuối của vectơ:
Quy tắc cộng vectơ này được gọi là quy tắc tam giác.
Để cộng hai vectơ bằng quy tắc hình bình hành, bạn cần trì hoãn các vectơ từ một điểm và dựng chúng thành hình bình hành. Vectơ tổng nối điểm bắt đầu của vectơ với góc đối diện hình bình hành:
Sự khác biệt của hai vectơđược xác định thông qua tổng: hiệu của các vectơ và gọi là vectơ như vậy, tổng với vectơ sẽ cho vectơ:
Nó theo sau từ này quy tắc tìm hiệu của hai vectơ: để trừ một vectơ khỏi một vectơ, bạn cần vẽ các vectơ này từ một điểm. Vectơ hiệu nối điểm cuối của vectơ với điểm cuối của vectơ (nghĩa là điểm cuối của số trừ với điểm cuối của số bị trừ):
Để tìm góc giữa vectơ và vectơ, bạn cần vẽ các vectơ này từ một điểm. Góc tạo bởi các tia chứa vectơ được gọi là góc giữa các vectơ:
Tích vô hướng của hai vectơ là số tương đương với sản phẩmđộ dài của các vectơ này bằng cosin của góc giữa chúng:
Tôi đề nghị bạn giải quyết vấn đề từ Mở ngân hàng nhiệm vụ cho , sau đó kiểm tra giải pháp của bạn bằng VIDEO HƯỚNG DẪN:
1. Nhiệm vụ 4 (số 27709)
Hai cạnh của hình chữ nhật ABCD bằng 6 và 8. Tìm độ dài chênh lệch giữa các vectơ và .
2. Nhiệm vụ 4 (số 27710)
Hai cạnh của hình chữ nhật ABCD bằng 6 và 8. Tìm tích vô hướng của vectơ và . (rút ra từ bài tập trước).
3. Nhiệm vụ 4 (số 27711)
Hai cạnh của hình chữ nhật ABCD ồ. Tìm độ dài tổng của các vectơ và .
4. Nhiệm vụ 4 (số 27712)
Hai cạnh của hình chữ nhật ABCD bằng 6 và 8. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm ồ. Tìm độ dài chênh lệch giữa các vectơ và . (rút ra từ bài tập trước).
5. Nhiệm vụ 4 (số 27713)
Các đường chéo của hình thoi ABCD bằng 12 và 16. Tìm độ dài của vectơ.
6. Nhiệm vụ 4 (số 27714)
Các đường chéo của hình thoi ABCD là 12 và 16. Tìm độ dài của vectơ +.
7.Nhiệm vụ 4 (Số 27715)
Các đường chéo của hình thoi ABCD bằng 12 và 16. Tìm độ dài của vectơ - .(rút ra từ bài toán trước).
8.Nhiệm vụ 4 (Số 27716)
Các đường chéo của hình thoi ABCD bằng 12 và 16. Tìm độ dài của vectơ - .
9. Nhiệm vụ 4 (số 27717)
Các đường chéo của hình thoi ABCD cắt nhau tại một điểm ồ và bằng 12 và 16. Tìm độ dài của vectơ + .
10. Nhiệm vụ 4 (số 27718)
Các đường chéo của hình thoi ABCD cắt nhau tại một điểm ồ và bằng 12 và 16. Tìm độ dài của vectơ - .(rút ra từ bài toán trước).
11.Nhiệm vụ 4 (Số 27719)
Các đường chéo của hình thoi ABCD cắt nhau tại một điểm ồ và bằng 12 và 16. Tìm tích vô hướng của vectơ và . (rút ra từ bài toán trước).
12. Nhiệm vụ 4 (số 27720)
ABC bằng nhau Tìm độ dài của vectơ +.
13. Nhiệm vụ 4 (số 27721)
các bữa tiệc tam giác đều ABCđều bằng 3. Tìm độ dài của vectơ -. (rút ra từ bài toán trước).
14. Nhiệm vụ 4 (số 27722)
Các cạnh của một tam giác đều ABCđều bằng 3. Tìm tích vô hướng của các vectơ và . (rút ra từ bài tập trước).
Trình duyệt của bạn có thể không được hỗ trợ. Để sử dụng huấn luyện viên " Giờ thi thống nhất của bang", hãy thử tải xuống
Firefox
Các vấn đề với vectơ trong Kỳ thi Thống nhất. Các bạn thân mến! Bạn biết rằng bài kiểm tra toán bao gồm những nhiệm vụ như vậy. Thực tế không phải là bạn sẽ được giao một nhiệm vụ như vậy, nhưng bạn cần phải chuẩn bị cho nó và hiểu chủ đề trong mọi trường hợp. Trên blog chúng tôi có một số bài toán về tổng (hiệu) của vectơ, độ dài của vectơ, trong cùng một bài viết có lý thuyết cần thiết.Hãy xem nó trước khi nhìn vào những vấn đề dưới đây.
Ngoài ra trên blog. Nếu bạn cần nhớ hoành độ và tọa độ của một điểm là gì thì hãy nhìn.Hãy lặp lại ngắn gọn:
Để tìm tọa độ của một vectơ, bạn cần từ tọa độ đầu của nótrừ đitọa độ gốc tương ứng:
Công thức xác định độ dài của vectơ, nếu biếttọa độ đầu và cuối của nó:
Công thức xác định độ dài của vectơ,nếu biết tọa độ của nó:
27725. Vector AB có gốc tại điểmMỘT(2;4) có tọa độ (6;2). Tìm tọa độ của một điểmB.
Như đã nói, tọa độ của vectơ là như sau: Vàtừ tọa độ cuối tương ứngtọa độ của gốc vectơ bị trừ. Đó là:
Tọa độ của vectơ đã cho ta, tọa độ gốc của nó cũng cho ta, nghĩa là:
Do đó ta tìm được tọa độ điểm B:
x 2 – 2 = 6 y 2 – 4 = 2
x 2 = 8 y 2 = 6
Do đó tọa độ của điểm B là 6.
Đáp án: 6
27726. Vector AB có gốc tại điểm MỘT(3;6) có tọa độ (9;3). Tìm tổng tọa độ của điểm B.
Vấn đề của quá trình giải quyết cũng giống như vấn đề trước, nhưng câu hỏi được đặt ra khác nhau. Các tính toán cũng nằm trong tính nhẩm. Một lần nữa, chúng ta viết tọa độ của vectơ khi biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối của nó:
Tọa độ của vectơ và tọa độ gốc của nó đã cho, nghĩa là:
Ta tìm được tọa độ điểm B:
x 2 – 3 = 9 y 2 – 6 = 3
x 2 = 12 y 2 = 9
Vậy tổng tọa độ của điểm B là 21.
Trả lời: 21
27727. Vector AB có điểm cuối tại B (5;3) có tọa độ (3;1). Tìm hoành độ và tọa độ của điểm MỘT, cũng là tổng tọa độ của nó.
Chúng ta biết tọa độ của vectơ và tọa độ điểm cuối của nó, nghĩa là:
Ta tìm được tọa độ điểm A:
5 – x 1 = 3 3 – y 1 = 1
x 1 = 2 y 1 = 2
Như vậy, hoành độ của điểm A bằng 2, tọa độ cũng bằng 2 và tổng tọa độ là 2+2 = 4.
27731 Tìm bình phương độ dài của vectơ a + b .
Trong bài toán này, bạn cần tìm tọa độ của vectơ là tổng vectơ xác định, sau đó tìm chiều dài của nó và bình phương nó. Hãy viết công thức tính độ dài của vectơ nếu biết tọa độ của nó:
Hoặc dưới dạng khác:
Hãy tìm tọa độ của vectơ, là tổng của các vectơ này.Để làm điều này, trước tiên hãy tìm tọa độ của các vectơ này.
Xét vectơ:
Xét vectơ:
* Có thể viết chúng ra ngay lập tức bằng cách nhìn vào bản phác thảo, vì điểm gốc của chúng trùng với gốc tọa độ.
Bây giờ hãy tìm tọa độ của vectơ là tổng của chúng:
(2 + 8; 6 + 4) = (10;10)
Do đó, độ dài của vectơ là tổng của vectơ a và b bằng:
Do đó bình phương của chiều dài sẽ bằng 200.
* Có kinh nghiệm giải quyết nhiệm vụ tương tự, bạn có thể viết ngay:
Như bạn có thể thấy, việc tính toán có thể được thực hiện bằng miệng. Một giải pháp chi tiết được cố tình trình bày ở đây cho bạn.
Đáp số: 200
27733. Tìm bình phương độ dài của vectơ a – b.
Nhiệm vụ tương tự như nhiệm vụ trước. Cần tìm tọa độ của vectơ là hiệu của các vectơ đã trình bày, sau đó tìm độ dài của nó và bình phương kết quả.
Chúng ta đã biết tọa độ của các vectơ này (từ bài toán trước):
Bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ của vectơ, đó là sự khác biệt của chúng:
(2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)
Do đó, độ dài của vectơ, là hiệu của các vectơ
Do đó, bình phương chiều dài của nó sẽ bằng 40.
*Có thể viết và tính ngay:
Trục hoành và trục tọa độ được gọi là tọa độ vectơ. Tọa độ vectơ thường được biểu thị dưới dạng (x, y), và chính vectơ là: =(x, y).
Công thức xác định tọa độ vectơ cho bài toán hai chiều.
Trong trường hợp bài toán hai chiều vector nổi tiếng tọa độ điểm A(x 1; y 1) Và B(x 2 ; y 2 ) có thể được tính toán:
= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).
Công thức xác định tọa độ vectơ cho bài toán không gian.
Trong trường hợp của một bài toán không gian, một vectơ đã biết tọa độ điểm MỘT (x 1; y 1;z 1 ) và B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) có thể được tính bằng công thức:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Tọa độ được đưa ra mô tả toàn diện vectơ, vì có thể tự xây dựng vectơ bằng cách sử dụng tọa độ. Biết tọa độ thì dễ tính toán chiều dài vectơ. (Tính chất 3 bên dưới).
Tính chất của tọa độ vector.
1. bất kỳ vectơ bằng nhau V. hệ thống thống nhất tọa độ có tọa độ bằng nhau.
2. Tọa độ các vectơ thẳng hàng tỷ lệ thuận. Với điều kiện là không có vectơ nào bằng 0.
3. Bình phương chiều dài của vectơ bất kỳ bằng tổng vuông nó tọa độ.
4.Trong quá trình phẫu thuật phép nhân vectơ TRÊN số thực mỗi tọa độ của nó được nhân với số này.
5. Khi cộng các vectơ, ta tính tổng các vectơ tương ứng tọa độ vector.
6. Sản phẩm chấm hai vectơ bằng tổng các tích tọa độ tương ứng của chúng.