Hãy để chức năng u = f(x,y,z) liên tục ở một số khu vực D và có đạo hàm riêng liên tục trong vùng này. Chúng ta hãy chọn một điểm trong khu vực đang được xem xét M(x,y,z) và vẽ một vector từ nó S, các cosin định hướng là cosα, cosβ, cosγ. Trên vectơ S ở khoảng cách ∆ S ngay từ đầu chúng ta sẽ tìm thấy một điểm M 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z), Ở đâu
Hãy tưởng tượng mức tăng đầy đủ của hàm fở dạng:
Ở đâu 
Sau khi chia cho ∆ S chúng tôi nhận được:
Từ 
đẳng thức trước đó có thể được viết lại thành:
Độ dốc.
Sự định nghĩa Giới hạn của tỷ số tại được gọi là đạo hàm của hàm u = f(x,y,z) theo hướng của vectơ S và được chỉ định.
Trong trường hợp này, từ (1) chúng ta thu được:
(2)
Nhận xét 1. Đạo hàm riêng là trường hợp đặc biệt của đạo hàm có hướng. Ví dụ, khi 
chúng tôi nhận được:
Nhận xét 2. Trên đây, ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng của hàm số hai biến được định nghĩa là hệ số góc của các tiếp tuyến với các đường giao nhau của một mặt là đồ thị của hàm số, với các mặt phẳng x = x 0 Và y = y 0. Theo cách tương tự, chúng ta có thể xem xét đạo hàm của hàm này theo hướng tôi tại điểm M(x 0, y 0) là hệ số góc của đường giao nhau của một mặt cho trước và một mặt phẳng đi qua một điểm M song song với trục O z và thẳng tôi.
Sự định nghĩa Một vectơ có tọa độ tại mỗi điểm của một vùng nhất định là đạo hàm riêng của hàm u = f(x,y,z) tại thời điểm này được gọi là độ dốc chức năng u = f(x,y,z).
Chức danh: tốt nghiệp bạn = .
Thuộc tính độ dốc.
1. Đạo hàm theo hướng của một vectơ nào đó S bằng hình chiếu của vectơ grad bạn sang vectơ S . Bằng chứng. Vectơ hướng đơn vị S trông giống như e S =(cosα, cosβ, cosγ), do đó vế phải của công thức (4.7) là tích vô hướng của vectơ cấp độ bạn Và ồ , tức là phép chiếu đã chỉ định.
2. Đạo hàm tại một điểm cho trước theo hướng của vectơ S có giá trị lớn nhất bằng |grad bạn|, nếu hướng này trùng với hướng của gradient. Bằng chứng. Hãy biểu thị góc giữa các vectơ S và tốt nghiệp bạn qua φ. Sau đó từ thuộc tính 1 nó dẫn đến |grad bạn|∙cosφ, (4.8) do đó, giá trị lớn nhất của nó đạt được ở φ=0 và bằng |grad bạn|.
3. Đạo hàm theo hướng vectơ vuông góc với vectơ grad bạn, bằng 0.
Bằng chứng. Trong trường hợp này, trong công thức (4.8) 
4. Nếu z = f(x,y) là hàm hai biến, thì grad f= hướng vuông góc với đường mức f(x,y) = c,đi qua điểm này.
Cực trị của hàm nhiều biến. Điều kiện cần để đạt cực trị. Điều kiện đủ để đạt cực trị. Cực trị có điều kiện. Phương pháp nhân Lagrange. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Định nghĩa 1. chấm M 0 (x 0, y 0) gọi điện điểm tối đa chức năng z = f(x, y), Nếu như f (x o , y o) > f(x,y) cho tất cả các điểm (x, y) M 0.
Định nghĩa 2. chấm M 0 (x 0, y 0) gọi điện điểm tối thiểu chức năng z = f(x, y), Nếu như f (x o , y o) < f(x,y) cho tất cả các điểm (x, y) từ một lân cận nào đó của một điểm M 0.
Lưu ý 1. Điểm tối đa và điểm tối thiểu được gọi là điểm cực trị hàm nhiều biến.
Nhận xét 2. Điểm cực trị của hàm số có số biến bất kỳ được xác định theo cách tương tự.
Định lý 1(điều kiện cần để đạt cực trị). Nếu như M 0 (x 0, y 0)- điểm cực trị của hàm số z = f(x, y), thì tại thời điểm này đạo hàm riêng cấp một của hàm số này bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bằng chứng.
Hãy cố định giá trị của biến Tại, đếm y = y 0. Sau đó, chức năng f(x, y 0) sẽ là hàm của một biến X, mà x = x 0 là điểm cực trị. Do đó, theo định lý Fermat, hoặc không tồn tại. Tuyên bố tương tự được chứng minh tương tự cho .
Định nghĩa 3. Các điểm thuộc miền xác định của hàm nhiều biến mà tại đó đạo hàm riêng của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại được gọi là điểm cố định chức năng này.
Bình luận. Do đó, cực trị chỉ có thể đạt được tại các điểm dừng, nhưng nó không nhất thiết phải được quan sát thấy ở mỗi điểm đó.
Định lý 2(điều kiện đủ để đạt cực trị). Hãy ở một số vùng lân cận của điểm M 0 (x 0, y 0), là điểm dừng của hàm số z = f(x, y), hàm này có đạo hàm riêng liên tục đến bậc 3. Hãy ký hiệu Khi đó:
1) f(x,y) có tại điểm M 0 tối đa nếu AC–B² > 0, MỘT < 0;
2) f(x,y) có tại điểm M 0 tối thiểu nếu AC–B² > 0, MỘT > 0;
3) không có cực trị tại điểm tới hạn nếu AC–B² < 0;
4) nếu AC–B² = 0, cần nghiên cứu thêm.
Ví dụ. Hãy tìm điểm cực trị của hàm số z = x 2 - 2 xy + 2y 2 + 2 x.Để tìm điểm dừng ta giải hệ 
. Vậy điểm dừng là (-2,-1). Đồng thời A = 2, TRONG = -2, VỚI= 4. Khi đó AC–B² = 4 > 0, do đó, tại một điểm dừng đạt đến một cực trị, tức là cực tiểu (vì MỘT > 0).
Cực trị có điều kiện.
Định nghĩa 4. Nếu các đối số của hàm f(x 1 , x 2 ,…, xn) bị ràng buộc bởi các điều kiện bổ sung dưới dạng tôi phương trình ( tôi< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (1)
trong đó các hàm φ i có đạo hàm riêng liên tục thì phương trình (1) được gọi là phương trình kết nối.
Định nghĩa 5. Cực trị của hàm f(x 1 , x 2 ,…, xn) khi điều kiện (1) được đáp ứng, nó được gọi là cực trị có điều kiện.
Bình luận. Chúng ta có thể đưa ra cách giải thích hình học sau đây về cực trị có điều kiện của hàm hai biến: f(x,y) liên hệ bởi phương trình φ (x,y)= 0, xác định một số đường cong trong mặt phẳng O xy. Dựng lại các đường vuông góc với mặt phẳng O từ mỗi điểm của đường cong này xy cho đến khi nó giao nhau với bề mặt z = f(x,y), chúng ta thu được một đường cong không gian nằm trên bề mặt phía trên đường cong φ (x,y)= 0. Nhiệm vụ là tìm các điểm cực trị của đường cong kết quả, tất nhiên, trong trường hợp tổng quát không trùng với các điểm cực trị vô điều kiện của hàm f(x,y).
Chúng ta hãy xác định các điều kiện cần thiết cho cực trị có điều kiện của hàm hai biến bằng cách đưa ra định nghĩa sau:
Định nghĩa 6. Chức năng L(x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)
Ở đâu λi – một số là hằng số, được gọi là Hàm Lagrange, và các số λi– số nhân Lagrange không xác định.
Định lý(điều kiện cần của cực trị có điều kiện). Cực trị có điều kiện của hàm z = f(x,y) với sự có mặt của phương trình ghép φ ( x, y)= 0 chỉ có thể đạt được tại các điểm dừng của hàm Lagrange L(x, y) = f(x, y) + λφ(x, y).
Trường vô hướng một phần không gian (hoặc toàn bộ không gian) được gọi, mỗi điểm tương ứng với giá trị số của một đại lượng vô hướng nào đó.
Ví dụ
Một vật thể có một giá trị nhiệt độ nhất định tại mỗi điểm là một trường vô hướng.
Một vật thể không đồng nhất, mỗi điểm của nó tương ứng với một mật độ nhất định - trường mật độ vô hướng.
Trong tất cả các trường hợp này, đại lượng vô hướng U không phụ thuộc vào thời gian mà phụ thuộc vào vị trí (tọa độ) của điểm M trong không gian, nghĩa là nó là hàm ba biến, gọi là hàm trường. Và ngược lại, mọi hàm ba biến u=f(x, y, z) chỉ định một số trường vô hướng.
Hàm trường vô hướng phẳng phụ thuộc vào hai biến z=f(x, y).
Xét trường vô hướng u=f(x, y, z).
Một vectơ có tọa độ là đạo hàm riêng của hàm số tính tại một điểm cho trước được gọi là độ dốc hàm tại điểm này hoặc gradient của trường vô hướng.
Xét một vectơ và hai điểm trên đó M 0 (x 0 , y 0 , z 0) Và . Hãy tìm độ tăng của hàm theo hướng:
Đạo hàm định hướng giới hạn sau được gọi nếu nó tồn tại:
cosin chỉ phương của vectơ ở đâu; α, β, γ là các góc tạo bởi vectơ với trục tọa độ, nếu .
Đối với hàm hai biến, các công thức này có dạng:
hoặc 
,
bởi vì .
Có một mối quan hệ giữa độ dốc và đạo hàm có hướng tại cùng một điểm.
Định lý. Tích vô hướng của gradient của một hàm và một vectơ theo hướng nào đó bằng đạo hàm của hàm này theo hướng của vectơ này:
.
Kết quả.Đạo hàm có hướng có giá trị lớn nhất nếu hướng này trùng với hướng của gradient (bạn hãy chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa của tích vô hướng và giả sử rằng ).
Kết luận:
1. Độ dốc là một vectơ biểu thị hướng tăng lớn nhất của hàm tại một điểm cho trước và có mô đun số bằng tốc độ tăng này:
.
2. Đạo hàm có hướng là tốc độ thay đổi của hàm số theo hướng: nếu , thì hàm số theo hướng này tăng, nếu , thì hàm số giảm.
3. Nếu vectơ trùng với một trong các vectơ thì đạo hàm theo hướng của vectơ này trùng với đạo hàm riêng tương ứng.
Ví dụ: nếu , thì .
Ví dụ
Chức năng đã cho 
, điểm A(1, 2) và vectơ.
Tìm: 1);
Giải pháp
1) Tìm đạo hàm riêng của hàm số và tính chúng tại điểm A.
, .
Sau đó 
.
2) Tìm cosin chỉ phương của vectơ:
Trả lời: ; .
Văn học [ 1,2]
Câu hỏi tự kiểm tra:
1. Cái gì gọi là hàm hai biến, miền định nghĩa của nó?
2. Đạo hàm riêng được xác định như thế nào?
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng là gì?
4. Cái gì gọi là gradient của trường vô hướng tại một điểm cho trước?
5. Đạo hàm có hướng được gọi là gì?
6. Xây dựng quy tắc tìm cực trị của hàm số hai biến.
Tùy chọn 1
Nhiệm vụ số 1
MỘT) 
; b) 
;
V) ; G) 
.
Nhiệm vụ số 2 Kiểm tra tính liên tục của hàm số: tìm các điểm gián đoạn của hàm số và xác định loại của chúng. Xây dựng sơ đồ của hàm số.
Số nhiệm vụ Cho số phức Z. Yêu cầu: viết số Z dưới dạng đại số và lượng giác. .
Nhiệm vụ số 4.
1) y = 3x 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .
Nhiệm vụ số 5. Nghiên cứu một hàm số bằng phương pháp tính vi phân và sử dụng kết quả nghiên cứu để xây dựng biểu đồ. .
Nhiệm vụ số 6. Hàm z=f(x,y) đã cho. Kiểm tra xem danh tính F≡0 có đúng không? 
Nhiệm vụ số 7 Cho một hàm Z=x 2 +xy+y 2, điểm và vectơ. Tìm thấy:
1) cấp độ z tại điểm MỘT;
2) đạo hàm tại một điểm MỘT theo hướng của vectơ .
Tùy chọn 2
Nhiệm vụ số 1 Tính giới hạn của hàm số không sử dụng quy tắc L'Hopital.
MỘT) 
; b) 
;
V) 
; G) 
.
Nhiệm vụ số 2 Kiểm tra tính liên tục của hàm số: tìm các điểm gián đoạn của hàm số và xác định loại của chúng. Xây dựng sơ đồ của hàm số.
Nhiệm vụ số 3 Cho số phức Z. Yêu cầu: viết số Z dưới dạng đại số và lượng giác.
Nhiệm vụ số 4. Tìm đạo hàm bậc nhất của các hàm này.
Giới thiệu khái niệm đạo hàm riêng của hàm nhiều biến, chúng tôi tăng các biến riêng lẻ, giữ nguyên tất cả các đối số khác. Cụ thể, nếu chúng ta xem xét hàm hai biến z = f(x,y), thì biến x được tăng thêm Δx, và khi đó trong miền định nghĩa của hàm có sự chuyển đổi từ một điểm có tọa độ (x,y) đến một điểm có tọa độ (x + Δx ;y); hoặc biến y được cho một gia số Δy, và sau đó trong miền định nghĩa của hàm số có sự chuyển đổi từ một điểm có tọa độ (x,y) sang một điểm có tọa độ (x; y + Δy) (xem Hình 5.6 ). Do đó, điểm mà tại đó chúng ta lấy đạo hàm riêng của hàm số sẽ di chuyển theo hướng song song với các trục tọa độ trên mặt phẳng (song song với trục x hoặc song song với tọa độ). Bây giờ chúng ta hãy xem xét trường hợp khi hướng có thể được thực hiện tùy ý, tức là mức tăng được đưa ra cho một số biến cùng một lúc. Đối với trường hợp hàm hai biến ta sẽ di chuyển đến điểm (x + Δx; y + Δy) và độ dời sẽ là Δ tôi(xem Hình 5.6).
Khi di chuyển theo một hướng nhất định, hàm z sẽ tăng Δ tôi z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), được gọi là gia số của hàm z theo một hướng cho trước tôi.
Đạo hàm của z tôi` theo hướng tôi
hàm hai biến
z = f(x,y) là giới hạn của tỷ số giữa độ tăng của hàm theo hướng này với giá trị dịch chuyển Δ tôi vì cái sau có xu hướng bằng 0, tức là .
Đạo hàm z tôi` đặc trưng cho tốc độ thay đổi của hàm theo hướng tôi.
Khái niệm đạo hàm có hướng có thể được khái quát hóa thành hàm số với số lượng biến bất kỳ.
Hình 5.6 – Di chuyển một điểm theo một hướng tôi
Có thể chứng minh rằng z tôi` = z x `cos α + z y `cos β, trong đó α và β là các góc được tạo bởi hướng chuyển động của điểm với các trục tọa độ (xem Hình 5.6).
Ví dụ: hãy tìm đạo hàm của hàm số z = ln(x 2 + xy) tại điểm
(3; 1) theo hướng đi từ điểm này đến điểm (6; -3) (xem Hình 5.7).
Để làm điều này, trước tiên hãy tìm đạo hàm riêng của hàm số này tại điểm (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3* 1) = 7/12;
z y ` = x/(x 2 + xy) = 3/(3 2 + 3*1) = 3/12 = 1/4.
Lưu ý rằng Δx = 6 – 3 = 3; Δy = -3 – 1 = -4; (Δ tôi) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ tôi| = 5. Khi đó cos α = 3/5; cos β = -4/5; z tôi` =
z x `cos α +
z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20.
Hàm chuyển màu
Từ môn toán ở trường, chúng ta biết rằng một vectơ trên mặt phẳng là một đoạn có hướng. Đầu và cuối của nó có hai tọa độ. Tọa độ vectơ được tính bằng cách trừ tọa độ đầu khỏi tọa độ cuối.
Khái niệm vectơ có thể được mở rộng sang không gian n chiều (thay vì hai tọa độ sẽ có n tọa độ).
Độ dốc grad z của hàm z = f(x 1, x 2, ...x n) là vectơ đạo hàm riêng của hàm số tại một điểm, tức là. vectơ có tọa độ 
.
Có thể chứng minh rằng độ dốc của hàm đặc trưng cho hướng tăng trưởng nhanh nhất về mức của hàm tại một điểm.
Ví dụ, đối với hàm z = 2x 1 + x 2 (xem Hình 5.8), gradient tại bất kỳ điểm nào sẽ có tọa độ (2; 1). Bạn có thể dựng nó trên một mặt phẳng theo nhiều cách khác nhau, lấy bất kỳ điểm nào làm điểm bắt đầu của vectơ. Ví dụ: bạn có thể kết nối điểm (0; 0) với điểm (2; 1) hoặc điểm (1; 0) với điểm (3; 1) hoặc điểm (0; 3) với điểm (2; 4), hoặc vân vân. (Xem Hình 5.8). Tất cả các vectơ được xây dựng theo cách này sẽ có tọa độ (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Từ Hình 5.8, có thể thấy rõ rằng mức của hàm tăng theo hướng gradient, vì các đường mức được xây dựng tương ứng với các giá trị mức 4 > 3 > 2.
Hình 5.8 - Độ dốc của hàm z = 2x 1 + x 2
Hãy xem xét một ví dụ khác - hàm z = 1/(x 1 x 2). Độ dốc của hàm này sẽ không còn giống nhau ở các điểm khác nhau, vì tọa độ của nó được xác định bởi các công thức (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).
Hình 5.9 thể hiện các đường mức của hàm z = 1/(x 1 x 2) cho mức 2 và 10 (đường thẳng 1/(x 1 x 2) = 2 được biểu thị bằng một đường chấm và đường thẳng
1/(x 1 x 2) = 10 – đường liền nét).
Hình 5.9 - Độ dốc của hàm z = 1/(x 1 x 2) tại các điểm khác nhau
Ví dụ: lấy điểm (0,5; 1) và tính độ dốc tại điểm này: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Lưu ý rằng điểm (0,5; 1) nằm trên đường mức 1/(x 1 x 2) = 2, vì z = f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Để mô tả vectơ ( -4; -2) trong Hình 5.9, ta nối điểm (0,5; 1) với điểm (-3,5; -1), vì
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Hãy lấy một điểm khác trên cùng một đường mức, ví dụ: điểm (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Hãy tính độ dốc tại thời điểm này
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Để mô tả nó trong Hình 5.9, chúng ta nối điểm (1; 0,5) với điểm (-1; -3,5), vì (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).
Chúng ta hãy lấy một điểm khác trên cùng một đường thẳng, nhưng bây giờ chỉ ở một phần tư tọa độ không dương. Ví dụ: điểm (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Độ dốc tại điểm này sẽ bằng
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Hãy mô tả nó trên Hình 5.9 bằng cách nối điểm (-0,5; -1) với điểm (3,5; 1), vì (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).
Cần lưu ý rằng trong cả ba trường hợp được xem xét, độ dốc cho thấy hướng tăng trưởng của cấp độ hàm (hướng tới đường cấp 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Có thể chứng minh rằng gradient luôn vuông góc với đường mức (mặt mức) đi qua một điểm cho trước.