Sin, cos, tang, cotang của một góc là gì sẽ giúp bạn hiểu được tam giác vuông.

Các cạnh của một tam giác vuông được gọi là gì? Đúng vậy, cạnh huyền và chân: cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông (trong ví dụ của chúng ta đây là cạnh \(AC\)); chân là hai cạnh còn lại \(AB\) và \(BC\) ( kề với góc vuông), và nếu xét hai chân so với góc \(BC\) thì chân \(AB\) là chân liền kề và chân \(BC\) ngược lại. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: sin, cosin, tiếp tuyến và côtang của một góc là gì?

Sin của góc– đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosin của góc– đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tiếp tuyến của góc– đây là tỷ lệ của cạnh đối diện (xa) với cạnh kề (gần).

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotang của góc– đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với chân đối diện (xa).

Trong tam giác của chúng tôi:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Những định nghĩa này là cần thiết nhớ! Để dễ nhớ hơn nên chia chân nào thành chân nào, bạn cần hiểu rõ rằng trong đường tiếp tuyến Và cotang chỉ có hai chân ngồi và cạnh huyền chỉ xuất hiện ở xoang Và cô sin. Và sau đó bạn có thể nghĩ ra một chuỗi liên kết. Ví dụ: cái này:

Cosine→chạm→chạm→liền kề;

Cotang→chạm→chạm→liền kề.

Trước hết, bạn cần nhớ rằng sin, cos, tiếp tuyến và côtang là tỷ số của các cạnh của một tam giác không phụ thuộc vào độ dài của các cạnh này (ở cùng một góc). Không tin tôi? Sau đó hãy chắc chắn bằng cách nhìn vào hình ảnh:

Ví dụ, hãy xem xét cosin của góc \(\beta \) . Theo định nghĩa, từ một tam giác \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), nhưng chúng ta có thể tính cosin của góc \(\beta \) từ tam giác \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Bạn thấy đấy, độ dài của các cạnh là khác nhau, nhưng giá trị cosin của một góc là như nhau. Do đó, các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.

Nếu bạn hiểu các định nghĩa, hãy tiếp tục và củng cố chúng!

Đối với tam giác \(ABC \) ở hình bên dưới, ta tìm được \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Vâng, bạn đã nhận được nó? Sau đó hãy tự mình thử: tính toán tương tự cho góc \(\beta \) .

Câu trả lời: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Đường tròn đơn vị (lượng giác)

Hiểu các khái niệm về độ và radian, chúng ta đã xem xét một đường tròn có bán kính bằng \(1\) . Vòng tròn như vậy được gọi là đơn. Nó sẽ rất hữu ích khi nghiên cứu lượng giác. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn một chút.

Như bạn có thể thấy, vòng tròn này được xây dựng theo hệ tọa độ Descartes. Bán kính của đường tròn bằng 1, trong khi tâm của đường tròn nằm ở gốc tọa độ, vị trí ban đầu của vectơ bán kính được cố định dọc theo hướng dương của trục \(x\) (trong ví dụ của chúng ta, điều này là bán kính \(AB\)).

Mỗi điểm trên đường tròn tương ứng với hai số: tọa độ dọc theo trục \(x\) và tọa độ dọc theo trục \(y\). Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, chúng có liên quan gì đến chủ đề hiện tại? Để làm được điều này, chúng ta cần nhớ về tam giác vuông đang xét. Trong hình trên, bạn có thể thấy toàn bộ hai hình tam giác vuông. Xét tam giác \(ACG\) . Nó có hình chữ nhật vì \(CG\) vuông góc với trục \(x\).

\(\cos \ \alpha \) từ tam giác \(ACG \) là gì? Đúng rồi \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ngoài ra, chúng ta biết rằng \(AC\) là bán kính của đường tròn đơn vị, có nghĩa là \(AC=1\) . Hãy thay thế giá trị này vào công thức tính cosin của chúng ta. Đây là những gì xảy ra:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(\sin \ \alpha \) trong tam giác \(ACG \) bằng bao nhiêu? Tất nhiên rồi \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Thay thế giá trị của bán kính \(AC\) vào công thức này và nhận được:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Vì vậy, bạn có thể cho biết điểm \(C\) thuộc đường tròn có tọa độ nào không? Vâng, không thể nào? Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nhận ra rằng \(\cos \ \alpha \) và \(\sin \alpha \) chỉ là những con số? \(\cos \alpha \) tương ứng với tọa độ nào? Tất nhiên là tọa độ \(x\)! Và \(\sin \alpha \) tương ứng với tọa độ nào? Đúng rồi, phối hợp \(y\)! Vì vậy, điểm \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Vậy \(tg \alpha \) và \(ctg \alpha \) bằng bao nhiêu? Đúng vậy, hãy sử dụng các định nghĩa tương ứng của tiếp tuyến và côtang và hiểu được điều đó \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), MỘT \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Nếu góc lớn hơn thì sao? Ví dụ như trong hình này:

Điều gì đã thay đổi trong ví dụ này? Hãy tìm ra nó. Để làm điều này, hãy quay lại với một hình tam giác vuông. Xét một tam giác vuông \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : góc (giáp kề với góc \(\beta \) ). Giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc là bao nhiêu \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Đúng vậy, chúng ta tuân theo các định nghĩa tương ứng của hàm lượng giác:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\góc ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(mảng) \)

Vâng, như bạn có thể thấy, giá trị sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ \(y\) ; giá trị cosin của góc – tọa độ \(x\) ; và các giá trị tiếp tuyến, cotang theo các tỉ số tương ứng. Vì vậy, những mối quan hệ này áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.

Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính nằm dọc theo hướng dương của trục \(x\). Cho đến nay chúng ta đã xoay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì bất thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có giá trị nhất định, nhưng chỉ có điều nó sẽ âm. Như vậy, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, ta được góc tích cực và khi quay theo chiều kim đồng hồ - tiêu cực.

Vì vậy, chúng ta biết rằng toàn bộ vòng quay của vectơ bán kính xung quanh đường tròn là \(360()^\circ \) hoặc \(2\pi \) . Có thể xoay vectơ bán kính theo \(390()^\circ \) hoặc theo \(-1140()^\circ \) không? Tất nhiên là bạn có thể! Trong trường hợp đầu tiên, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), do đó, vectơ bán kính sẽ quay hết một vòng và dừng ở vị trí \(30()^\circ \) hoặc \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Trong trường hợp thứ hai, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tức là vectơ bán kính sẽ quay đủ ba vòng và dừng ở vị trí \(-60()^\circ \) hoặc \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Do đó, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau \(360()^\circ \cdot m \) hoặc \(2\pi \cdot m \) (trong đó \(m \) là bất kỳ số nguyên nào ), tương ứng với cùng một vị trí của vectơ bán kính.

Hình bên dưới thể hiện góc \(\beta =-60()^\circ \) . Hình ảnh tương tự tương ứng với góc \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vân vân. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức tổng quát \(\beta +360()^\circ \cdot m\) hoặc \(\beta +2\pi \cdot m \) (trong đó \(m \) là số nguyên bất kỳ)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Bây giờ, khi đã biết định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản và sử dụng vòng tròn đơn vị, hãy thử trả lời các giá trị là gì:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:

Gặp khó khăn? Sau đó chúng ta hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(mảng)\)

Từ đây ta xác định được tọa độ các điểm tương ứng với số đo góc nhất định. Nào, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc trong \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tương ứng với một điểm có tọa độ \(\left(0;1 \right) \) , do đó:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- không tồn tại;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Hơn nữa, tuân theo logic tương tự, chúng ta phát hiện ra rằng các góc trong \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) tương ứng với các điểm có tọa độ \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \phải) \), tương ứng. Biết được điều này, người ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm lượng giác tại các điểm tương ứng. Hãy tự mình thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.

Câu trả lời:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- không tồn tại

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- không tồn tại

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- không tồn tại

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- không tồn tại

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Vì vậy, chúng ta có thể lập bảng sau:

Không cần phải nhớ tất cả các giá trị này. Chỉ cần nhớ sự tương ứng giữa tọa độ các điểm trên đường tròn đơn vị và giá trị của hàm lượng giác là đủ:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Bạn phải nhớ hoặc có thể hiển thị nó!! \) !}

Nhưng giá trị của hàm lượng giác của các góc trong và \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)được đưa ra trong bảng dưới đây, bạn phải nhớ:

Đừng sợ, bây giờ chúng tôi sẽ chỉ cho bạn một ví dụ về cách ghi nhớ khá đơn giản các giá trị tương ứng:

Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị sin cho cả ba số đo góc ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), cũng như giá trị tiếp tuyến của góc trong \(30()^\circ \) . Biết các giá trị \(4\) này, việc khôi phục toàn bộ bảng khá đơn giản - các giá trị cosine được chuyển theo các mũi tên, nghĩa là:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(mảng) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), biết được điều này, bạn có thể khôi phục các giá trị cho \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Tử số "\(1 \)" sẽ tương ứng với \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) và mẫu số "\(\sqrt(\text(3)) \)" sẽ tương ứng với \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Các giá trị cotang được chuyển theo các mũi tên chỉ trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và nhớ sơ đồ có mũi tên thì chỉ cần nhớ các giá trị \(4\) ​​từ bảng là đủ.

Tọa độ của một điểm trên đường tròn

Có thể tìm được một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn khi biết tọa độ tâm của đường tròn, bán kính và góc quay của nó không? Tất nhiên là bạn có thể! Hãy rút ra công thức tổng quát để tìm tọa độ của một điểm. Ví dụ: đây là một vòng tròn trước mặt chúng ta:

Chúng ta được cho điểm đó \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn là \(1.5\) . Cần tìm tọa độ của điểm \(P\) thu được bằng cách xoay điểm \(O\) theo \(\delta \) độ.

Như có thể thấy trong hình, tọa độ \(x\) của điểm \(P\) tương ứng với độ dài của đoạn \(TP=UQ=UK+KQ\) . Độ dài của đoạn \(UK\) tương ứng với tọa độ \(x\) của tâm đường tròn, nghĩa là nó bằng \(3\) . Độ dài của đoạn \(KQ\) có thể được biểu thị bằng định nghĩa cosin:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Sau đó, chúng ta có điểm \(P\) tọa độ \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Sử dụng logic tương tự, chúng ta tìm thấy giá trị của tọa độ y cho điểm \(P\) . Như vậy,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Vì vậy, nói chung, tọa độ các điểm được xác định theo công thức:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(mảng) \), Ở đâu

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - tọa độ tâm của đường tròn,

\(r\) - bán kính của hình tròn,

\(\delta \) - góc quay của bán kính vectơ.

Như bạn có thể thấy, đối với đường tròn đơn vị mà chúng ta đang xem xét, các công thức này được giảm đáng kể, vì tọa độ của tâm bằng 0 và bán kính bằng 1:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript bị vô hiệu hóa trong trình duyệt của bạn.
Để thực hiện tính toán, bạn phải kích hoạt điều khiển ActiveX!

Trình độ trung cấp

Tam giác bên phải. Hướng dẫn minh họa đầy đủ (2019)

TAM GIÁC CHỮ NHẬT. CẤP ĐẦU VÀO.

Trong các bài toán, góc vuông hoàn toàn không cần thiết - góc dưới bên trái, vì vậy bạn cần học cách nhận biết tam giác vuông ở dạng này,

và trong này

và trong này

Điều gì tốt về một tam giác vuông? À..., trước hết, có những cái tên đẹp đặc biệt cho các mặt của nó.

Chú ý đến bản vẽ!

Hãy nhớ và đừng nhầm lẫn: có hai chân và chỉ có một cạnh huyền(một và duy nhất, duy nhất và dài nhất)!

Chà, chúng ta đã thảo luận về những cái tên, bây giờ là điều quan trọng nhất: Định lý Pythagore.

Định lý Pythagore.

Định lý này là chìa khóa để giải nhiều bài toán liên quan đến tam giác vuông. Nó đã được Pythagoras chứng minh từ thời xa xưa và kể từ đó nó đã mang lại rất nhiều lợi ích cho những ai biết đến nó. Và điều tốt nhất về nó là nó rất đơn giản.

Vì thế, Định lý Pythagore:

Bạn có nhớ câu nói đùa: “Quần Pythagore các bên đều bình đẳng!” không?

Hãy vẽ những chiếc quần Pythagore tương tự này và quan sát chúng.

Trông nó không giống một loại quần short nào đó sao? Chà, ở bên nào và chúng bằng nhau ở đâu? Tại sao và trò đùa đến từ đâu? Và trò đùa này có liên quan chính xác đến định lý Pythagore, hay chính xác hơn là với cách chính Pythagoras xây dựng định lý của mình. Và anh ấy đã xây dựng nó như thế này:

"Tổng diện tích hình vuông, được xây dựng trên chân, bằng diện tích hình vuông, được xây dựng trên cạnh huyền."

Nó thực sự nghe có vẻ hơi khác một chút? Và vì vậy, khi Pythagoras vẽ ra phát biểu về định lý của mình, đây chính xác là bức tranh hiện ra.

Trong hình này, tổng diện tích của các hình vuông nhỏ bằng diện tích của hình vuông lớn. Và để trẻ có thể nhớ rõ hơn rằng tổng bình phương của hai chân bằng bình phương cạnh huyền, một người nào đó đã hóm hỉnh nghĩ ra trò đùa về chiếc quần Pythagore này.

Tại sao bây giờ chúng ta đang xây dựng định lý Pythagore?

Pythagoras có đau khổ và nói về hình vuông không?

Bạn thấy đấy, thời cổ đại không có... đại số! Không có dấu hiệu nào và vân vân. Không có chữ khắc. Bạn có tưởng tượng được việc những học sinh cổ đại tội nghiệp có thể nhớ được mọi thứ bằng lời sẽ khủng khiếp đến thế nào không??! Và chúng ta có thể vui mừng vì đã có được một công thức đơn giản của định lý Pythagore. Hãy lặp lại lần nữa để ghi nhớ tốt hơn:

Bây giờ nó sẽ dễ dàng:

Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân.

Vâng, định lý quan trọng nhất về tam giác vuông đã được thảo luận. Nếu bạn quan tâm đến cách chứng minh nó, hãy đọc các cấp độ lý thuyết sau đây, và bây giờ chúng ta hãy đi xa hơn... vào khu rừng tối tăm... của lượng giác! Với những từ khủng khiếp sin, cosin, tiếp tuyến và cotang.

Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông.

Trên thực tế, mọi thứ không quá đáng sợ chút nào. Tất nhiên, định nghĩa “thực tế” của sin, cos, tiếp tuyến và cotang nên được xem xét trong bài viết. Nhưng tôi thực sự không muốn, phải không? Chúng ta có thể vui mừng: để giải các bài toán về tam giác vuông, bạn chỉ cần điền vào những điều đơn giản sau:

Tại sao mọi thứ chỉ ở góc? Góc ở đâu? Để hiểu điều này, bạn cần biết các câu 1 - 4 được viết bằng chữ như thế nào. Hãy nhìn, hiểu và ghi nhớ!

1.
Trên thực tế nó có vẻ như thế này:

Còn góc thì sao? Có một chân đối diện với góc, tức là một chân đối diện (đối với một góc) không? Tất nhiên là có! Đây là một cái chân!

Còn góc thì sao? Hãy nhìn cẩn thận. Chân nào tiếp giáp với góc? Tất nhiên là chân. Điều này có nghĩa là đối với góc thì chân liền kề và

Bây giờ, hãy chú ý! Hãy xem chúng ta có gì:

Hãy xem nó tuyệt vời thế nào:

Bây giờ chúng ta chuyển sang tiếp tuyến và cotang.

Làm sao tôi có thể viết điều này ra bằng lời bây giờ? Chân liên quan đến góc như thế nào? Tất nhiên là đối diện - nó “nằm” đối diện với góc. Còn chân thì sao? Liền kề góc. Vậy chúng ta có gì?

Hãy xem tử số và mẫu số đã đổi chỗ cho nhau như thế nào?

Và bây giờ các góc lại và thực hiện một cuộc trao đổi:

Bản tóm tắt

Hãy viết ngắn gọn tất cả những gì chúng ta đã học được.

Định lý Pythagore:

Định lý chính về tam giác vuông là định lý Pythagore.

định lý Pythagore

Nhân tiện, bạn có nhớ rõ chân và cạnh huyền là gì không? Nếu chưa hay thì xem hình - ôn lại kiến ​​thức

Rất có thể bạn đã sử dụng định lý Pythagore nhiều lần, nhưng bạn có bao giờ tự hỏi tại sao định lý đó lại đúng không? Làm thế nào tôi có thể chứng minh điều đó? Hãy làm như người Hy Lạp cổ đại. Hãy vẽ một hình vuông có một cạnh.

Hãy xem chúng tôi đã khéo léo chia các cạnh của nó thành các đoạn có độ dài như thế nào và!

Bây giờ hãy kết nối các dấu chấm được đánh dấu

Tuy nhiên, ở đây chúng tôi đã lưu ý một điều khác, nhưng chính bạn hãy nhìn vào bức vẽ và nghĩ tại sao lại như vậy.

Diện tích của hình vuông lớn hơn là gì? Phải, . Diện tích nhỏ hơn thì sao? Chắc chắn, . Tổng diện tích của bốn góc vẫn còn. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta lấy hai cái cùng một lúc và tựa chúng vào nhau bằng cạnh huyền. Chuyện gì đã xảy ra thế? Hai hình chữ nhật. Điều này có nghĩa là diện tích của các “vết cắt” bằng nhau.

Bây giờ chúng ta hãy đặt tất cả lại với nhau.

Hãy chuyển đổi:

Vì vậy, chúng tôi đã đến thăm Pythagoras - chúng tôi đã chứng minh định lý của ông ấy theo cách cổ xưa.

Tam giác vuông và lượng giác

Đối với một tam giác vuông, các mối quan hệ sau giữ:

Sin của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền

Cosin của một góc nhọn bằng tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền.

Tiếp tuyến của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.

Cotang của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện.

Và một lần nữa tất cả điều này ở dạng máy tính bảng:

Nó rất thuận tiện!

Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông

I. Ở hai bên

II. Bằng chân và cạnh huyền

III. Bằng cạnh huyền và góc nhọn

IV. Dọc theo chân và góc nhọn

Một)

b)

Chú ý! Điều rất quan trọng ở đây là đôi chân phải “phù hợp”. Ví dụ: nếu nó diễn ra như thế này:

THÌ TAM GIÁC KHÔNG BẰNG, mặc dù thực tế là chúng có một góc nhọn giống hệt nhau.

Điều cần thiết là trong cả hai hình tam giác, chân liền kề hoặc trong cả hai hình tam giác thì chân đối diện.

Bạn có nhận thấy dấu bằng của các tam giác vuông khác với dấu bằng của các tam giác vuông thông thường như thế nào không? Hãy xem chủ đề “và chú ý đến thực tế là để các tam giác “bình thường” bằng nhau, ba phần tử của chúng phải bằng nhau: hai cạnh và góc xen giữa, hai góc và cạnh ở giữa chúng, hoặc ba cạnh. Nhưng để tam giác vuông bằng nhau thì chỉ cần hai phần tử tương ứng là đủ. Tuyệt vời phải không?

Tình hình cũng gần tương tự với dấu tương tự của các tam giác vuông.

Dấu hiệu tương tự của tam giác vuông

I. Dọc theo góc nhọn

II. Ở hai bên

III. Bằng chân và cạnh huyền

Đường trung bình trong tam giác vuông

Tại sao lại như vậy?

Thay vì một hình tam giác vuông, hãy xem xét toàn bộ hình chữ nhật.

Hãy vẽ một đường chéo và xem xét một điểm - điểm giao nhau của các đường chéo. Bạn biết gì về các đường chéo của hình chữ nhật?

Và điều gì xảy ra sau đó?

Hóa ra là thế

1. - trung vị:

Hãy nhớ sự thật này! Giúp ích rất nhiều!

Điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là điều ngược lại cũng đúng.

Có thể thu được điều gì tốt từ việc đường trung tuyến kéo vào cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền? Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh

Hãy nhìn cẩn thận. Chúng ta có: , tức là khoảng cách từ điểm đến cả ba đỉnh của tam giác hóa ra bằng nhau. Nhưng chỉ có một điểm trong tam giác, có khoảng cách từ đó đến cả ba đỉnh của tam giác đều bằng nhau và đây là TRUNG TÂM CỦA VÒNG TRÒN. Vậy chuyện gì đã xảy ra?

Vậy hãy bắt đầu với từ “ngoài ra…” này.

Chúng ta hãy nhìn vào và.

Nhưng các tam giác đồng dạng đều có các góc bằng nhau!

Điều tương tự cũng có thể nói về và

Bây giờ chúng ta hãy vẽ nó lại với nhau:

Lợi ích gì có thể được rút ra từ sự giống nhau “bộ ba” này?

Vâng, ví dụ - hai công thức tính chiều cao của tam giác vuông.

Chúng ta hãy viết ra mối quan hệ của các bên tương ứng:

Để tìm chiều cao, chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức đầu tiên "Chiều cao trong tam giác vuông":

Vì vậy, hãy áp dụng sự tương tự: .

Điều gì sẽ xảy ra bây giờ?

Một lần nữa chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức thứ hai:

Bạn cần phải nhớ thật kỹ cả hai công thức này và sử dụng công thức nào thuận tiện hơn. Hãy viết chúng lại lần nữa

Định lý Pythagore:

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông: .

Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông:

• ở hai phía:
• bằng chân và cạnh huyền: hoặc
• dọc theo chân và góc nhọn liền kề: hoặc
• dọc theo chân và góc nhọn đối diện: hoặc
• bởi cạnh huyền và góc nhọn: hoặc.

Dấu hiệu đồng dạng của tam giác vuông:

• một góc nhọn: hoặc
• từ tỷ lệ của hai chân:
• từ tỷ lệ của chân và cạnh huyền: hoặc.

Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông

• Sin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền:
• Cosin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền:
• Tiếp tuyến của góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh kề:
• Cotang của góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện: .

Chiều cao của một tam giác vuông: hoặc.

Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến vẽ từ đỉnh của góc vuông bằng một nửa cạnh huyền: .

Diện tích của một tam giác vuông:

• qua chân:

Trong cuộc sống, chúng ta sẽ thường xuyên phải giải quyết những vấn đề toán học: ở trường, ở trường đại học và sau đó là giúp con làm bài tập về nhà. Những người trong một số ngành nghề nhất định sẽ gặp phải toán học hàng ngày. Vì vậy, việc ghi nhớ hoặc nhớ lại các quy tắc toán học sẽ rất hữu ích. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét một trong số đó: tìm chân của một tam giác vuông.

Tam giác vuông là gì

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ tam giác vuông là gì. Tam giác vuông là một hình hình học gồm ba đoạn nối các điểm không nằm trên cùng một đường thẳng và một trong các góc của hình này là 90 độ. Các cạnh tạo thành một góc vuông được gọi là chân, và cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền.

Tìm chân của một tam giác vuông

Có một số cách để tìm ra chiều dài của chân. Tôi muốn xem xét chúng chi tiết hơn.

Định lý Pythagore để tìm cạnh của một tam giác vuông

Nếu chúng ta biết cạnh huyền và chân thì chúng ta có thể tìm được độ dài của cạnh chưa biết bằng định lý Pythagore. Nghe như thế này: “Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân”. Công thức: c2=a2+b2, trong đó c là cạnh huyền, a và b là hai chân. Chúng ta biến đổi công thức và nhận được: a2=c2-b2.

Ví dụ. Cạnh huyền là 5 cm và cạnh huyền là 3 cm. Chúng ta biến đổi công thức: c2=a2+b2 → a2=c2-b2. Tiếp theo chúng ta giải: a2=52-32; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Các tỉ số lượng giác để tìm cạnh của tam giác vuông

Bạn cũng có thể tìm thấy một cạnh chưa biết nếu biết bất kỳ cạnh nào khác và bất kỳ góc nhọn nào của một tam giác vuông. Có bốn lựa chọn để tìm một chân bằng các hàm lượng giác: sin, cosin, tiếp tuyến, cotang. Bảng dưới đây sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề. Hãy xem xét các lựa chọn này.

Tìm chân của tam giác vuông bằng hàm sin

Sin của một góc (sin) là tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền. Công thức: sin=a/c, trong đó a là cạnh đối diện với góc đã cho và c là cạnh huyền. Tiếp theo, chúng ta biến đổi công thức và nhận được: a=sin*c.

Ví dụ. Cạnh huyền là 10 cm, góc A là 30 độ. Dựa vào bảng ta tính sin của góc A bằng 1/2. Sau đó, bằng cách sử dụng công thức được chuyển đổi, chúng ta giải: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Tìm chân của tam giác vuông bằng cosin

Cosin của một góc (cos) là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền. Công thức: cos=b/c, trong đó b là cạnh kề với một góc cho trước và c là cạnh huyền. Hãy biến đổi công thức và nhận được: b=cos*c.

Ví dụ. Góc A bằng 60 độ, cạnh huyền bằng 10 cm, ta tính cosin của góc A bằng 1/2. Tiếp theo chúng ta giải: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Tìm chân của tam giác vuông bằng cách sử dụng tiếp tuyến

Tiếp tuyến của một góc (tg) là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề. Công thức: tg=a/b, trong đó a là cạnh đối diện với góc và b là cạnh liền kề. Hãy biến đổi công thức và nhận được: a=tg*b.

Ví dụ. Góc A bằng 45 độ, cạnh huyền bằng 10 cm, ta tính tiếp tuyến của góc A bằng Giải: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Tìm chân của tam giác vuông bằng cotang

Góc cotang (ctg) là tỉ số của cạnh kề với cạnh đối diện. Công thức: ctg=b/a, trong đó b là cạnh kề với góc và là cạnh đối diện. Nói cách khác, cotang là một “tiếp tuyến ngược”. Chúng tôi nhận được: b=ctg*a.

Ví dụ. Góc A là 30 độ, cạnh đối diện là 5 cm. Theo bảng thì tiếp tuyến của góc A là √3. Chúng tôi tính toán: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Vậy là bây giờ bạn đã biết cách tìm chân trong một tam giác vuông. Như bạn có thể thấy, nó không khó lắm, điều chính là phải nhớ các công thức.

Lượng giác là một nhánh của khoa học toán học nghiên cứu các hàm lượng giác và cách sử dụng chúng trong hình học. Sự phát triển của lượng giác bắt đầu từ Hy Lạp cổ đại. Trong thời Trung cổ, các nhà khoa học từ Trung Đông và Ấn Độ đã có những đóng góp quan trọng cho sự phát triển của ngành khoa học này.

Bài viết này được dành cho các khái niệm và định nghĩa cơ bản của lượng giác. Nó thảo luận về các định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản: sin, cos, tiếp tuyến và cotang. Ý nghĩa của chúng được giải thích và minh họa trong bối cảnh hình học.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ban đầu, định nghĩa về các hàm lượng giác có đối số là một góc được biểu diễn dưới dạng tỉ số của các cạnh của một tam giác vuông.

Định nghĩa hàm lượng giác

Sin của một góc (sin α) là tỷ lệ giữa cạnh đối diện với góc này và cạnh huyền.

Cosine của góc (cos α) - tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền.

Góc tiếp tuyến (t g α) - tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh kề.

Góc cotang (c t g α) - tỷ lệ của cạnh kề với cạnh đối diện.

Những định nghĩa này được đưa ra cho góc nhọn của một tam giác vuông!

Hãy đưa ra một minh họa.

Cho tam giác ABC vuông góc C, sin của góc A bằng tỉ số giữa cạnh BC và cạnh huyền AB.

Các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang cho phép bạn tính giá trị của các hàm này từ độ dài đã biết của các cạnh của tam giác.

Điều quan trọng cần nhớ!

Phạm vi giá trị của sin và cosine là từ -1 đến 1. Nói cách khác, sin và cosine lấy các giá trị từ -1 đến 1. Phạm vi giá trị của tang và cotang là toàn bộ dãy số, nghĩa là các hàm này có thể nhận bất kỳ giá trị nào.

Các định nghĩa đưa ra ở trên áp dụng cho các góc nhọn. Trong lượng giác, khái niệm góc quay được đưa ra, giá trị của nó, không giống như góc nhọn, không bị giới hạn từ 0 đến 90 độ. Góc quay tính bằng độ hoặc radian được biểu thị bằng bất kỳ số thực nào từ - ∞ đến + ∞.

Trong bối cảnh này, chúng ta có thể định nghĩa sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc có độ lớn tùy ý. Chúng ta hãy tưởng tượng một đường tròn đơn vị có tâm ở gốc hệ tọa độ Descartes.

Điểm ban đầu A có tọa độ (1, 0) quay quanh tâm đường tròn đơn vị một góc α nhất định và đi đến điểm A 1. Định nghĩa được đưa ra theo tọa độ của điểm A 1 (x, y).

Sin (sin) của góc quay

Sin của góc quay α là tọa độ của điểm A 1 (x, y). tội lỗi α = y

Cosin (cos) của góc quay

Cosin của góc quay α là hoành độ của điểm A 1 (x, y). cos α = x

Tiếp tuyến (tg) của góc quay

Tiếp tuyến của góc quay α là tỉ số giữa tọa độ của điểm A 1 (x, y) với trục hoành của nó. t g α = y x

Cotang (ctg) của góc quay

Cotang của góc quay α là tỉ số giữa hoành độ của điểm A 1 (x, y) với tọa độ của nó. c tg α = x y

Sin và cosin được xác định cho bất kỳ góc quay nào. Điều này là hợp lý, bởi vì hoành độ và tọa độ của một điểm sau khi quay có thể được xác định ở bất kỳ góc nào. Tình hình là khác nhau với tiếp tuyến và cotang. Tiếp tuyến không được xác định khi một điểm sau khi quay đi đến một điểm có hoành độ bằng 0 (0, 1) và (0, - 1). Trong những trường hợp như vậy, biểu thức của tiếp tuyến t g α = y x đơn giản là không có ý nghĩa, vì nó chứa phép chia cho 0. Tình hình cũng tương tự với cotang. Sự khác biệt là cotang không được xác định trong trường hợp tọa độ của một điểm bằng 0.

Điều quan trọng cần nhớ!

Sin và cosin được xác định cho mọi góc α.

Tiếp tuyến được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Cotang được xác định cho mọi góc ngoại trừ α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Khi giải các ví dụ thực tế không nói “sin của góc quay α”. Cụm từ “góc quay” đơn giản được lược bỏ, ngụ ý rằng bối cảnh đang thảo luận đã rõ ràng điều gì đang được thảo luận.

số

Còn việc xác định sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một số thay vì góc quay thì sao?

Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang của một số

Sin, cosin, tang và cotang của một số t là một số tương ứng bằng sin, cos, tiếp tuyến và cotang trong t radian.

Ví dụ, sin của số 10 π bằng sin của góc quay 10 π rad.

Có một cách tiếp cận khác để xác định sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một số. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về nó.

Bất kỳ số thực nào t một điểm trên đường tròn đơn vị được liên kết với tâm ở gốc của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật. Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được xác định thông qua tọa độ của điểm này.

Điểm bắt đầu trên đường tròn là điểm A có tọa độ (1, 0).

số dương t

Số âm t tương ứng với điểm mà điểm bắt đầu sẽ đi tới nếu nó di chuyển quanh đường tròn ngược chiều kim đồng hồ và đi qua đường t.

Bây giờ, mối liên hệ giữa một số và một điểm trên đường tròn đã được thiết lập, chúng ta chuyển sang định nghĩa sin, cos, tiếp tuyến và cotang.

Sin (tội lỗi) của t

Sin của một số t- tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t. tội lỗi t = y

Cosin (cos) của t

Cosin của một số t- hoành độ của điểm của vòng tròn đơn vị tương ứng với số t. cos t = x

Tiếp tuyến (tg) của t

Tiếp tuyến của một số t- tỉ số giữa tọa độ và hoành độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t. t g t = y x = sin t cos t

Các định nghĩa mới nhất phù hợp và không mâu thuẫn với định nghĩa được đưa ra ở đầu đoạn này. Điểm trên vòng tròn tương ứng với số t, trùng với điểm mà điểm xuất phát đi tới sau khi rẽ một góc t radian.

Hàm lượng giác của đối số góc và số

Mỗi giá trị của góc α tương ứng với một giá trị sin và cosin nhất định của góc đó. Cũng giống như tất cả các góc α khác với α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) đều tương ứng với một giá trị tiếp tuyến nhất định. Cotang, như đã nêu ở trên, được xác định cho mọi α ngoại trừ α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Chúng ta có thể nói rằng sin α, cos α, t g α, c t g α là các hàm của góc alpha hoặc các hàm của đối số góc.

Tương tự như vậy, chúng ta có thể nói về sin, cos, tiếp tuyến và cotang như là các hàm của một đối số bằng số. Mỗi số thực t tương ứng với một giá trị nhất định của sin hoặc cosin của một số t. Tất cả các số không phải π 2 + π · k, k ∈ Z, đều tương ứng với một giá trị tiếp tuyến. Tương tự, cotang được xác định cho tất cả các số ngoại trừ π · k, k ∈ Z.

Các hàm cơ bản của lượng giác

Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là các hàm lượng giác cơ bản.

Thông thường, trong ngữ cảnh, chúng ta sẽ thấy rõ đối số nào của hàm lượng giác (đối số góc hoặc đối số số) mà chúng ta đang xử lý.

Chúng ta hãy quay lại các định nghĩa được đưa ra ở phần đầu và góc alpha, nằm trong phạm vi từ 0 đến 90 độ. Các định nghĩa lượng giác của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang hoàn toàn phù hợp với các định nghĩa hình học được đưa ra bởi các tỷ lệ khung hình của một tam giác vuông. Hãy thể hiện nó.

Chúng ta hãy lấy một đường tròn đơn vị có tâm trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật. Hãy xoay điểm bắt đầu A (1, 0) một góc lên tới 90 độ và vẽ một đường vuông góc với trục hoành từ điểm thu được A 1 (x, y). Trong tam giác vuông thu được, góc A 1 OH bằng góc quay α, chiều dài chân OH bằng trục hoành của điểm A 1 (x, y). Độ dài của cạnh đối diện với góc bằng tọa độ của điểm A 1 (x, y) và độ dài cạnh huyền bằng 1, vì nó là bán kính của đường tròn đơn vị.

Theo định nghĩa từ hình học, sin của góc α bằng tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền.

tội lỗi α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Điều này có nghĩa là việc xác định sin của một góc nhọn trong tam giác vuông thông qua tỷ lệ khung hình tương đương với việc xác định sin của góc quay α, với alpha nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ.

Tương tự, sự tương ứng của các định nghĩa có thể được biểu diễn cho cosin, tang và cotang.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Chúng ta sẽ bắt đầu nghiên cứu lượng giác với tam giác vuông. Chúng ta hãy xác định sin và cosin là gì, cũng như tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn. Đây là những điều cơ bản của lượng giác.

Hãy để chúng tôi nhắc nhở bạn rằng góc vuông là một góc bằng 90 độ. Nói cách khác, một nửa góc quay.

Góc nhọn- dưới 90 độ.

góc tù- lớn hơn 90 độ. Liên quan đến một góc độ như vậy, "nghiêng" không phải là một sự xúc phạm, mà là một thuật ngữ toán học :-)

Hãy vẽ một hình tam giác vuông. Góc vuông thường được ký hiệu là . Xin lưu ý rằng cạnh đối diện với góc được biểu thị bằng cùng một chữ cái, chỉ nhỏ. Do đó, cạnh đối diện với góc A được gọi là .

Góc được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp tương ứng.

Cạnh huyền của tam giác vuông là cạnh đối diện với góc vuông.

chân- các cạnh đối diện với nhau là góc nhọn.

Chân nằm đối diện với góc gọi là đối diện(so với góc). Chân còn lại nằm trên một cạnh của góc được gọi là liền kề.

xoang Góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền:

Cô sin góc nhọn trong tam giác vuông - tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền:

Đường tiếp tuyến góc nhọn trong tam giác vuông - tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh kề:

Một định nghĩa khác (tương đương): tiếp tuyến của một góc nhọn là tỉ số giữa sin của góc và cosin của nó:

cotang góc nhọn trong một tam giác vuông - tỷ lệ của cạnh liền kề với cạnh đối diện (hoặc, tương tự, tỷ lệ cosin với sin):

Lưu ý các mối quan hệ cơ bản của sin, cos, tang và cotang dưới đây. Chúng sẽ hữu ích cho chúng ta khi giải quyết vấn đề.

Hãy chứng minh một số trong số họ.

Được rồi, chúng tôi đã đưa ra định nghĩa và công thức viết ra. Nhưng tại sao chúng ta vẫn cần sin, cos, tang và cotang?

Chúng tôi biết điều đó tổng các góc của một tam giác đều bằng.

Chúng ta biết mối quan hệ giữa các bữa tiệc tam giác bên phải. Đây là định lý Pythagore: .

Hóa ra khi biết hai góc trong một tam giác, bạn có thể tìm được góc thứ ba. Biết hai cạnh của một tam giác vuông, bạn có thể tìm được cạnh thứ ba. Điều này có nghĩa là các góc có tỷ lệ riêng và các cạnh có tỷ lệ riêng. Nhưng bạn phải làm gì nếu trong một tam giác vuông bạn biết một góc (trừ góc vuông) và một cạnh nhưng cần tìm các cạnh còn lại?

Đây là điều mà người xưa đã gặp phải khi lập bản đồ khu vực và bầu trời đầy sao. Rốt cuộc, không phải lúc nào cũng có thể đo trực tiếp tất cả các cạnh của một tam giác.

Sin, cosin và tiếp tuyến - chúng còn được gọi là hàm số góc lượng giác- nêu mối quan hệ giữa các bữa tiệc Và góc tam giác. Biết góc, bạn có thể tìm thấy tất cả các hàm lượng giác của nó bằng các bảng đặc biệt. Và biết các sin, cosin và tiếp tuyến của các góc của một tam giác và một trong các cạnh của nó, bạn có thể tìm thấy phần còn lại.

Chúng ta cũng sẽ vẽ một bảng các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang cho các góc “tốt” từ đến.

Xin lưu ý hai dấu gạch ngang màu đỏ trong bảng. Ở các giá trị góc thích hợp, tiếp tuyến và cotang không tồn tại.

Chúng ta hãy xem xét một số bài toán lượng giác từ Ngân hàng Nhiệm vụ FIPI.

1. Trong một tam giác, góc là , . Tìm thấy .

Vấn đề được giải quyết trong bốn giây.

Từ , .

2. Trong một tam giác, góc là , , . Tìm thấy .

Hãy tìm nó bằng định lý Pythagore.

Vấn đề đã được giải quyết.

Thông thường trong các bài toán có các hình tam giác có góc và hoặc có góc và. Hãy ghi nhớ các tỷ lệ cơ bản cho chúng!

Đối với một tam giác có các góc và cạnh đối diện thì góc at bằng một nửa cạnh huyền.

Một tam giác có các góc và cân. Trong đó, cạnh huyền lớn hơn chân gấp nhiều lần.

Chúng ta đã xem xét các bài toán giải tam giác vuông - tức là tìm các cạnh hoặc góc chưa biết. Nhưng đó không phải là tất cả! Trong Kỳ thi Thống nhất môn toán có rất nhiều bài toán liên quan đến sin, cos, tiếp tuyến hoặc cotang của một góc ngoài của một tam giác. Thêm về điều này trong bài viết tiếp theo.