Một vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là. Vectơ là đoạn thẳng có hướng trong mặt phẳng hoặc trong không gian

Sự định nghĩa

Số lượng vô hướng- một đại lượng có thể được đặc trưng bởi một số. Ví dụ: chiều dài, diện tích, khối lượng, nhiệt độ, v.v.

Vectơđược gọi là đoạn có hướng $\overline(A B)$;

điểm $A$ là điểm bắt đầu, điểm $B$ là điểm cuối của vectơ (Hình 1).

Sự định nghĩa

Một vectơ được biểu thị bằng hai chữ cái viết hoa - phần đầu và phần cuối của nó: $\overline(A B)$ hoặc bằng một chữ cái nhỏ: $\overline(a)$. Nếu phần đầu và phần cuối của một vectơ trùng nhau thì vectơ đó được gọi là không

. Thông thường, vectơ 0 được ký hiệu là $\overline(0)$. Các vectơ được gọi là

Sự định nghĩa

thẳng hàng , nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song (Hình 2). Hai vectơ thẳng hàng $\overline(a)$ và $\overline(b)$ được gọi đồng đạo diễn, nếu hướng của chúng trùng nhau: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Hình 3, a). Hai vectơ thẳng hàng $\overline(a)$ và $\overline(b)$ được gọi

Sự định nghĩa

. hướng ngược lại, nếu hướng của chúng ngược nhau: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Hình 3, b).

đồng phẳng

Sự định nghĩa

, nếu chúng song song với cùng một mặt phẳng hoặc nằm trong cùng một mặt phẳng (Hình 4). Hai vectơ luôn đồng phẳng.

Chiều dài (mô-đun)

vector $\overline(A B)$ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó: $|\overline(A B)|$

Sự định nghĩa

Lý thuyết chi tiết về độ dài vectơ tại liên kết. Độ dài của vectơ 0 bằng 0. Một vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị.

. hoặc ortom

bình đẳng , nếu chúng nằm trên một đường thẳng hoặc song song; hướng của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. Nói cách khác, hai vectơ

bình đẳng

, nếu chúng thẳng hàng, cùng hướng và có độ dài bằng nhau:

$\overline(a)=\overline(b)$ if $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

đại số vectơ

Sự định nghĩa:

Vectơ là một đoạn có hướng trong mặt phẳng hoặc trong không gian.

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

Thông số kỹ thuật:

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

1) chiều dài vectơ Hai vectơ được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên các đường thẳng song song. ).

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Ví dụ,

Hoạt động:

1. Nhân một vectơ với một số

Nếu như
, Cái đó

↓Nếu như < 0

Hướng của vectơ 0 là tùy ý

Tính chất của phép nhân với một số

2. Phép cộng vectơ

Quy tắc hình bình hành:

Thuộc tính bổ sung:

- các vectơ như vậy được gọi là đối diện nhau. Thật dễ dàng để thấy điều đó

Thuộc tính chung:

VỀ sự định nghĩa:

Góc giữa hai vectơ là góc có được nếu các vectơ này vẽ từ một điểm, 0    

3. Tích vô hướng của vectơ.

, Ở đâu- góc giữa các vectơ

Tính chất của tích vô hướng của vectơ:

1) (sự đẳng thức xảy ra trong trường hợp các vectơ cùng hướng và cùng hướng tương ứng)

3)

Nếu như
, thì dấu của tích là dương, Nếu như ↓ đó là tiêu cực

)

6), tức là
, hoặc bất kỳ vectơ nào bằng 0

7)

Ứng dụng của vectơ

1.

MN - đường giữa

Chứng minh rằng


Bằng chứng:

, trừ vectơ ở cả hai vế
:

2.

Chứng minh rằng các đường chéo của hình thoi vuông góc


Bằng chứng:

Tìm thấy:

Giải pháp:

Phân tích vectơ thành cơ sở.

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

Tổ hợp tuyến tính của các vectơ (LCV) là tổng có dạng

(LKV)

Ở đâu 1 , 2 , … S - dãy số tùy ý

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

LCI được cho là không tầm thường nếu tất cả Tôi = 0, nếu không thì gọi là không tầm thường.

Kết quả:

Một LCV không tầm thường có ít nhất một hệ số khác 0 ĐẾN 0

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

Hệ vectơ
được gọi là độc lập tuyến tính (LNI),Nếu như() = 0 Tất cả Tôi 0,

nghĩa là chỉ LC tầm thường của nó bằng 0.

Kết quả:

LC không tầm thường của các vectơ độc lập tuyến tính là khác không

Ví dụ:

1)
- LNZ

2) Hãy để Và thì nằm trong cùng một mặt phẳng
- LNZ, không thẳng hàng

3) Hãy để , , không thuộc cùng một mặt phẳng thì chúng tạo thành hệ vectơ LNZ

Định lý:

Nếu một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì ít nhất một trong số chúng là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

Bằng chứng:

Cho phép () = 0 và không phải tất cả TÔI đều bằng không. Không mất tính tổng quát, hãy S 0. Sau đó
và đây là tổ hợp tuyến tính.

Cho phép

Vậy thì đó là LZ.

Định lý:

Bất kỳ 3 vectơ nào trên mặt phẳng đều phụ thuộc tuyến tính.

Bằng chứng:

Cho các vectơ
, các trường hợp có thể xảy ra:

1)

2) không thẳng hàng

Hãy thể hiện nó thông qua và:
, Ở đâu
- LC không tầm thường.

Định lý:

Cho phép
- LZ

Khi đó bất kỳ hệ thống “rộng hơn” nào cũng là LZ

Bằng chứng:

Vì - LZ, nên có ít nhất một Tôi 0 và () = 0

Khi đó và () = 0

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

Một hệ các vectơ độc lập tuyến tính được gọi là cực đại nếu khi thêm bất kỳ vectơ nào khác vào nó, nó trở nên phụ thuộc tuyến tính.

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

Chiều của không gian (mặt phẳng) là số vectơ trong hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại.

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

Cơ sở là hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại có thứ tự bất kỳ.

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

Một cơ sở được gọi là chuẩn hóa nếu các vectơ chứa trong nó có độ dài bằng một.

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.

Một cơ sở được gọi là trực giao nếu tất cả các phần tử (vectơ) của nó vuông góc từng cặp.

Định lý:

Một hệ vectơ trực giao luôn độc lập tuyến tính (nếu không có vectơ nào ở đó).

Bằng chứng:

Cho là một hệ vectơ trực giao (khác 0), nghĩa là
. Giả sử chúng ta nhân LC này với vectơ :

Dấu ngoặc đầu tiên khác 0 (bình phương của độ dài vectơ) và tất cả các dấu ngoặc khác đều bằng 0 theo điều kiện. Sau đó 1 = 0. Tương tự với 2 … S

Định lý:

Đặt M = - cơ sở. Khi đó chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ vectơ nào dưới dạng:

các hệ số ở đâu 2 … S được xác định duy nhất (đây là tọa độ của vectơ so với cơ sở M).

Bằng chứng:

1)
=
- LZ (theo điều kiện cơ sở)

sau đó - không tầm thường

MỘT) 0 = 0, điều này là không thể, vì hóa ra M – LZ

b) 0 0

chia cho 0

những thứ kia. có một tài khoản cá nhân

2) Hãy chứng minh bằng phản chứng. Hãy là một biểu diễn khác của vectơ (tức làít nhất một cặp
). Hãy trừ các công thức với nhau:

- LC không tầm thường.

Nhưng theo điều kiện - cơ sởmâu thuẫn, tức là phân rã là duy nhất.

Phần kết luận:

Mọi cơ sở M xác định sự tương ứng một-một giữa các vectơ và tọa độ của chúng so với cơ sở M.

Chỉ định:

M = - vectơ tùy ý

Sau đó

2018 Olshevsky Andrey Georgievich

Trang web chứa đầy sách, bạn có thể tải sách xuống

Các vectơ trong mặt phẳng và trong không gian, phương pháp giải bài toán, ví dụ, công thức

1 Vectơ trong không gian

Các vectơ trong không gian bao gồm hình học lớp 10, hình học lớp 11 và hình học giải tích. Vectơ cho phép bạn giải một cách hiệu quả các bài toán hình học của phần thứ hai của Kỳ thi Thống nhất và hình học giải tích trong không gian. Các vectơ trong không gian được cho tương tự như các vectơ trong mặt phẳng, nhưng có tính đến tọa độ thứ ba z. Việc loại trừ các vectơ trong không gian ba chiều cho ra các vectơ trên mặt phẳng được giải thích bằng hình học lớp 8, 9.

1.1 Vector trên mặt phẳng và trong không gian

Vectơ là một đoạn có hướng có điểm đầu và điểm cuối, được mô tả trong hình bằng một mũi tên. Một điểm tùy ý trong không gian có thể được coi là một vectơ bằng không. Vectơ 0 không có hướng cụ thể, vì điểm đầu và điểm cuối giống nhau nên nó có thể có hướng bất kỳ.

Vector dịch từ tiếng Anh có nghĩa là vector, phương hướng, đường đi, hướng dẫn, thiết lập phương hướng, đường đi của máy bay.

Độ dài (mô đun) của vectơ khác 0 là độ dài đoạn AB, ký hiệu là
. Chiều dài vectơ ký hiệu là . Vector null có độ dài bằng 0 = 0.

Các vectơ khác 0 nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song được gọi là thẳng hàng.

Vectơ null thẳng hàng với bất kỳ vectơ nào.

Các vectơ cộng tuyến khác 0 có cùng hướng được gọi là cùng hướng. Các vectơ đồng hướng được biểu thị bằng . Ví dụ: nếu vectơ cùng hướng với vectơ , thì ký hiệu được sử dụng.

Vectơ 0 đồng hướng với bất kỳ vectơ nào.

Ngược hướng là hai vectơ khác 0 thẳng hàng có hướng ngược nhau. Các vectơ có hướng ngược nhau được biểu thị bằng dấu ↓. Ví dụ: nếu vectơ hướng ngược lại với vectơ thì ký hiệu ↓ được sử dụng.

Các vectơ đồng hướng có độ dài bằng nhau được gọi là bằng nhau.

Nhiều đại lượng vật lý là đại lượng vectơ: lực, tốc độ, điện trường.

Nếu điểm áp dụng (điểm bắt đầu) của vectơ không được chỉ định thì nó sẽ được chọn tùy ý.

Nếu phần đầu của vectơ được đặt tại điểm O thì vectơ được coi là bị trễ so với điểm O. Từ bất kỳ điểm nào bạn có thể vẽ một vectơ bằng một vectơ đã cho.

1.2 Tổng vectơ

Khi cộng các vectơ theo quy tắc tam giác thì vẽ vectơ 1, từ đầu vectơ 2 vẽ ra và tổng của hai vectơ này là vectơ 3, vẽ từ đầu vectơ 1 đến hết vectơ 2:

Đối với các điểm A, B và C tùy ý, bạn có thể viết tổng các vectơ:

+
=

Nếu hai vectơ cùng xuất phát từ một điểm

thì tốt hơn là cộng chúng theo quy tắc hình bình hành.

Khi thêm hai vectơ theo quy tắc hình bình hành, các vectơ được thêm được sắp xếp từ một điểm và từ các đầu của các vectơ này, một hình bình hành được hoàn thành bằng cách áp dụng đầu của vectơ khác vào cuối của một vectơ. Vectơ tạo bởi đường chéo của hình bình hành xuất phát từ điểm gốc của các vectơ được cộng sẽ là tổng của các vectơ

Quy tắc hình bình hành chứa một thứ tự cộng các vectơ khác nhau theo quy tắc tam giác.

Định luật cộng vectơ:

1. Định luật chuyển vị + = +.

2. Luật tổ hợp (+ ) + = + ( + ).

Nếu cần cộng nhiều vectơ thì các vectơ được cộng theo cặp hoặc theo quy tắc đa giác: vectơ 2 được vẽ từ cuối vectơ 1, vectơ 3 được vẽ từ cuối vectơ 2, vectơ 4 được vẽ từ điểm cuối của vectơ 3, vectơ 5 được vẽ từ điểm cuối của vectơ 4, v.v. Một vectơ là tổng của một số vectơ được vẽ từ đầu vectơ 1 đến cuối vectơ cuối cùng.

Theo định luật cộng vectơ, thứ tự cộng vectơ không ảnh hưởng đến vectơ thu được là tổng của một số vectơ.

Hai vectơ khác 0 có hướng ngược nhau có độ dài bằng nhau được gọi là đối nhau. Vector - là đối diện của vector

Các vectơ này có hướng ngược nhau và có độ lớn bằng nhau.

1.3 Hiệu vectơ

Sự khác biệt của vectơ có thể được viết dưới dạng tổng của các vectơ

- = + (-),

trong đó "-" là vectơ đối diện với vectơ.

Các vectơ và - có thể được cộng theo quy tắc tam giác hoặc hình bình hành.

Cho các vectơ và

Để tìm sự khác biệt giữa các vectơ, chúng ta xây dựng một vectơ -

Ta cộng các vectơ và - theo quy tắc tam giác, áp dụng phần đầu của vectơ - vào phần cuối của vectơ, ta được vectơ + (-) = -

Chúng ta cộng các vectơ và - theo quy tắc hình bình hành, đặt phần đầu của các vectơ và - từ một điểm

Nếu các vectơ và cùng xuất phát từ một điểm

,

khi đó hiệu của các vectơ cho một vectơ nối hai đầu của chúng và mũi tên ở cuối vectơ kết quả được đặt theo hướng của vectơ mà vectơ thứ hai bị trừ

Hình dưới đây thể hiện phép cộng và sự khác biệt của vectơ

Hình dưới đây thể hiện phép cộng và sự khác nhau của vectơ theo những cách khác nhau

Nhiệm vụ. Các vectơ và được cho trước.

Vẽ tổng và hiệu của các vectơ theo mọi cách có thể trong tất cả các tổ hợp vectơ có thể có.

1.4 Bổ đề về vectơ thẳng hàng

= k

1.5 Tích của vectơ và số

Tích của một vectơ khác 0 với số k sẽ cho vectơ = k, thẳng hàng với vectơ. Độ dài vectơ:

| | = |k |·| |

Nếu như k > 0 thì các vectơ và cùng hướng.

Nếu như k = 0 thì vectơ bằng 0.

Nếu như k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Nếu | k | = 1 thì các vectơ và có độ dài bằng nhau.

Nếu như k = 1 thì các vectơ bằng nhau.

Nếu như k = -1 thì các vectơ ngược nhau.

Nếu | k | > 1 thì độ dài của vectơ lớn hơn độ dài của vectơ .

Nếu như k > 1 thì các vectơ đều cùng hướng và có độ dài lớn hơn độ dài của vectơ.

Nếu như k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Nếu | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Nếu 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Nếu -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Tích của một vectơ 0 và một số cho một vectơ 0.

Nhiệm vụ. Cho một vectơ.

Xây dựng các vectơ 2, -3, 0,5, -1,5.

Nhiệm vụ. Các vectơ và được cho trước.

Xây dựng các vectơ 3 + 2, 2 - 2, -2 -.

Các định luật mô tả phép nhân một vectơ với một số

1. Luật tổ hợp (kn) = k(n)

2. Định luật phân phối thứ nhất k (+ ) = k + k .

3. Luật phân phối thứ hai (k + n) = k + n.

Đối với các vectơ thẳng hàng và , nếu ≠ 0, có một số k duy nhất cho phép bạn biểu thị vectơ theo:

= k

1.6 Vectơ đồng phẳng

Các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc song song với nhau được gọi là đồng phẳng. Nếu chúng ta vẽ các vectơ bằng các vectơ đồng phẳng này từ một điểm thì chúng sẽ nằm trong cùng một mặt phẳng. Vì vậy, ta có thể nói các vectơ được gọi là đồng phẳng nếu có các vectơ bằng nhau nằm trong cùng một mặt phẳng.

Hai vectơ tùy ý luôn đồng phẳng. Ba vectơ có thể đồng phẳng hoặc không đồng phẳng. Ba vectơ, trong đó có ít nhất hai vectơ thẳng hàng, đồng phẳng. Các vectơ cộng tuyến luôn đồng phẳng.

1.7 Phân tích một vectơ thành hai vectơ không thẳng hàng

Vectơ bất kỳ phân hủy duy nhất trên mặt phẳng thành hai vectơ khác 0 không thẳng hàng Và với hệ số mở rộng đơn x và y:

= x+y

Bất kỳ vectơ nào đồng phẳng với các vectơ khác 0 và có thể được khai triển duy nhất thành hai vectơ không thẳng hàng và có hệ số khai triển duy nhất x và y:

= x+y

Khai triển vectơ đã cho trên mặt phẳng theo các vectơ không thẳng hàng đã cho và:

Hãy vẽ các vectơ đồng phẳng đã cho từ một điểm

Từ điểm cuối của vectơ ta vẽ các đường thẳng song song với vectơ và cho đến khi chúng cắt nhau với các đường thẳng vẽ qua vectơ và . Chúng ta có được một hình bình hành

Độ dài các cạnh của hình bình hành có được bằng cách nhân độ dài của vectơ và với các số x và y, được xác định bằng cách chia độ dài các cạnh của hình bình hành cho độ dài của vectơ tương ứng của chúng và. Ta thu được phân tích của vectơ theo các vectơ không thẳng hàng đã cho và:

= x+y

Trong bài toán đang giải x ≈ 1.3, y ≈ 1.9, do đó khai triển vectơ trong các vectơ không thẳng hàng đã cho có thể viết dưới dạng

1,3 + 1,9 .

Trong bài toán đang giải x ≈ 1.3, y ≈ -1.9, do đó khai triển vectơ trong các vectơ không thẳng hàng đã cho có thể viết dưới dạng

1,3 - 1,9 .

1.8 Quy tắc song song

Hình bình hành là hình ba chiều có các mặt đối diện bao gồm hai hình bình hành bằng nhau nằm trong các mặt phẳng song song.

Quy tắc đường song song cho phép bạn cộng ba vectơ không đồng phẳng, được vẽ từ một điểm và một đường song song được xây dựng sao cho các vectơ tổng tạo thành các cạnh của nó và các cạnh còn lại của đường song song tương ứng song song và bằng độ dài của các cạnh được hình thành bởi các vectơ tổng. Đường chéo của hình bình hành tạo thành một vectơ, là tổng của ba vectơ đã cho, bắt đầu từ điểm gốc của các vectơ được thêm vào.

1.9 Phân tích một vectơ thành ba vectơ không đồng phẳng

Vectơ bất kỳ khai triển thành ba vectơ không đồng phẳng cho trước , và với các hệ số giãn nở đơn x, y, z:

= x + y + z .

1.10 Hệ tọa độ chữ nhật trong không gian

Trong không gian ba chiều, hệ tọa độ chữ nhật Oxyz được xác định bởi gốc O và các trục tọa độ Ox, Oy và Oz cắt nhau vuông góc với nhau với các hướng dương chọn lọc được biểu thị bằng các mũi tên và đơn vị đo các đoạn thẳng. Nếu tỷ lệ của các đoạn trên cả ba trục là như nhau thì hệ thống như vậy được gọi là hệ tọa độ Descartes.

Điều phối x được gọi là hoành độ, y là tọa độ, z là ứng dụng. Tọa độ điểm M được viết trong ngoặc đơn M(x;y;z).

1.11 Tọa độ vectơ trong không gian

Trong không gian, chúng ta sẽ xác định hệ tọa độ hình chữ nhật Oxyz. Từ gốc tọa độ theo chiều dương của các trục Ox, Oy, Oz ta vẽ các vectơ đơn vị tương ứng , , , được gọi là vectơ tọa độ và không đồng phẳng. Do đó, bất kỳ vectơ nào cũng bị phân tách thành ba vectơ tọa độ không đồng phẳng cho trước và có các hệ số khai triển duy nhất x, y, z:

= x + y + z .

Các hệ số khai triển x, y, z là tọa độ của vectơ trong hệ tọa độ chữ nhật cho trước, được viết trong ngoặc đơn (x; y; z). Vectơ 0 có tọa độ bằng 0 (0; 0; 0). Các vectơ bằng nhau có tọa độ tương ứng bằng nhau.

Quy tắc tìm tọa độ của vectơ kết quả:

1. Khi tính tổng hai hoặc nhiều vectơ thì mỗi tọa độ của vectơ thu được bằng tổng tọa độ tương ứng của các vectơ đã cho. Nếu cho hai vectơ (x 1 ; y 1 ; z 1) và (x 1 ; y 1 ; z 1) thì tổng các vectơ + cho một vectơ có tọa độ (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ;z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

2. Hiệu là một loại tổng, do đó hiệu của các tọa độ tương ứng sẽ cho mỗi tọa độ của vectơ thu được bằng cách trừ hai vectơ đã cho. Nếu cho hai vectơ (x a; y a; z a) và (x b; y b; z b) thì hiệu của các vectơ cho một vectơ có tọa độ (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

- = (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

3. Khi nhân một vectơ với một số, mỗi tọa độ của vectơ thu được bằng tích của số đó với tọa độ tương ứng của vectơ đã cho. Nếu cho một số k và một vectơ (x; y; z), thì nhân vectơ với số k sẽ có vectơ k có tọa độ

k = (kx;ky;kz).

Nhiệm vụ. Tìm tọa độ của vectơ = 2 - 3 + 4 nếu tọa độ của các vectơ là (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Giải pháp

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Tọa độ của vectơ, vectơ bán kính và điểm

Tọa độ của vectơ là tọa độ điểm cuối của vectơ nếu phần đầu của vectơ được đặt ở gốc tọa độ.

Vectơ bán kính là vectơ vẽ từ gốc tọa độ đến một điểm cho trước; tọa độ của vectơ bán kính và điểm bằng nhau.

Nếu vectơ
được cho bởi các điểm M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) và M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) thì mỗi tọa độ của nó bằng hiệu của tọa độ tương ứng của điểm cuối và phần đầu của vectơ

Đối với các vectơ cộng tuyến = (x 1 ; y 1 ; z 1) và = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), nếu ≠ 0 thì tồn tại một số k duy nhất cho phép bạn biểu diễn vectơ thông qua:

= k

Khi đó tọa độ của vectơ được biểu diễn thông qua tọa độ của vectơ

= (kx 1 ; kỷ 1 ; kz 1)

Tỉ số tọa độ tương ứng của các vectơ thẳng hàng bằng số ít k

1.13 Độ dài vectơ và khoảng cách giữa hai điểm

Độ dài của vectơ (x; y; z) bằng căn bậc hai của tổng bình phương tọa độ của nó

Độ dài của vectơ xác định bởi điểm đầu M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) và điểm cuối M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) bằng căn bậc hai của tổng của bình phương chênh lệch giữa tọa độ tương ứng của điểm cuối và điểm đầu của vectơ

Khoảng cách d giữa hai điểm M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) và M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) bằng độ dài của vectơ

Không có tọa độ z trên mặt phẳng

Khoảng cách giữa các điểm M 1 (x 1 ; y 1) và M 2 (x 2 ; y 2)

1.14 Tọa độ giữa đoạn thẳng

Nếu điểm C là điểm giữa đoạn AB thì vectơ bán kính của điểm C trong hệ tọa độ tùy ý có gốc tại điểm O bằng nửa tổng các vectơ bán kính của điểm A và B

Nếu tọa độ của vectơ
(x; y; z),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2 ; y 2 ​​; z 2) thì mỗi vectơ tọa độ bằng một nửa tổng tọa độ vectơ tương ứng và

,
,

= (x, y, z) =

Mỗi tọa độ ở giữa đoạn bằng một nửa tổng tọa độ tương ứng của các đầu của đoạn đó.

1.15 Góc giữa các vectơ

Góc giữa các vectơ bằng góc giữa các tia vẽ từ một điểm và cùng hướng với các vectơ này. Góc giữa các vectơ có thể từ 0 0 đến 180 0. Góc giữa các vectơ cùng hướng là 0 0 . Nếu một hoặc cả hai vectơ đều bằng 0 thì góc giữa các vectơ, ít nhất một trong số đó bằng 0, sẽ bằng 0 0 . Góc giữa các vectơ vuông góc là 90 0. Góc giữa các vectơ hướng ngược nhau là 180 0.

1.16 Phép chiếu vectơ

1.17 Tích số chấm của vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ là một số (vô hướng) bằng tích độ dài của vectơ và cosin của góc giữa các vectơ

Nếu như = 0 0 thì các vectơ cùng hướng
Và
= cos 0 0 = 1, do đó, tích vô hướng của các vectơ cùng hướng bằng tích độ dài của chúng (mô-đun)

.

Nếu góc giữa hai vectơ bằng 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, do đó tích vô hướng lớn hơn 0
.

Nếu các vectơ khác 0 vuông góc thì tích vô hướng của chúng bằng 0
, vì cos 90 0 = 0. Tích vô hướng của các vectơ vuông góc bằng 0.

Nếu như
, thì cosin của góc giữa các vectơ đó nhỏ hơn 0
, do đó tích vô hướng nhỏ hơn 0
.

Khi góc giữa các vectơ tăng thì cosin của góc giữa chúng
giảm dần và đạt giá trị nhỏ nhất tại = 180 0 khi các vectơ có hướng ngược nhau
. Vì cos 180 0 = -1 nên
. Tích vô hướng của các vectơ có hướng ngược nhau bằng tích âm của độ dài (mô-đun) của chúng.

Bình phương vô hướng của một vectơ bằng mô đun của vectơ bình phương

Tích vô hướng của các vectơ có ít nhất một trong số đó bằng 0 thì bằng 0.

1.18 Ý nghĩa vật lý của tích vô hướng của vectơ

Trong giáo trình vật lý người ta biết rằng công do lực A thực hiện khi di chuyển cơ thể bằng tích độ dài của vectơ lực và vectơ dịch chuyển và cosin của góc giữa chúng, nghĩa là bằng tích vô hướng của vectơ lực và vectơ dịch chuyển

Nếu vectơ lực cùng hướng với chuyển động của vật thì góc giữa các vectơ
= 0 0, do đó công do lực thực hiện khi dịch chuyển là lớn nhất và bằng A =
.

Nếu 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Nếu = 90 0 thì công do lực thực hiện khi dịch chuyển bằng 0 A = 0.

Nếu 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Nếu vectơ lực hướng ngược chiều với chuyển động của vật thì góc giữa các vectơ = 180 0, do đó công của lực tác dụng lên chuyển động là âm và bằng A = -.

Nhiệm vụ. Xác định công do trọng lực thực hiện khi nâng một ô tô khách có khối lượng 1 tấn dọc theo đoạn đường dài 1 km với góc nghiêng 30 0 so với phương ngang. Có thể đun sôi bao nhiêu lít nước ở nhiệt độ 20 0 bằng năng lượng này?

Giải pháp

Công việc Một trọng lực khi di chuyển một vật thể, nó bằng tích độ dài của các vectơ và cosin của góc giữa chúng, nghĩa là bằng tích vô hướng của các vectơ trọng lực và độ dịch chuyển

Trọng lực

G = mg = 1000 kg 10 m/s 2 = 10.000 N.

= 1000m.

Góc giữa các vectơ = 120 0 . Sau đó

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - sin 30 0 = - 0,5.

Hãy thay thế

A = 10.000 N · 1000 m · (-0,5) = - 5.000.000 J = - 5 MJ.

1.19 Tích số chấm của vectơ trong tọa độ

Tích chấm của hai vectơ = (x 1 ; y 1 ; z 1) và = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) trong hệ tọa độ hình chữ nhật bằng tổng các tích tọa độ cùng tên

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Điều kiện vuông góc của vectơ

Nếu các vectơ khác 0 = (x 1 ; y 1 ; z 1) và = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) vuông góc thì tích vô hướng của chúng bằng 0

Nếu cho trước một vectơ khác 0 = (x 1 ; y 1 ; z 1) thì tọa độ của vectơ vuông góc (bình thường) với nó = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) phải thỏa mãn đẳng thức

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Có vô số vectơ như vậy.

Nếu cho trên mặt phẳng một vectơ khác 0 = (x 1 ; y 1) thì tọa độ của vectơ vuông góc (bình thường) với nó = (x 2 ; y 2) phải thỏa mãn đẳng thức

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Nếu cho trước một vectơ khác 0 = (x 1 ; y 1) trên mặt phẳng thì chỉ cần đặt tùy ý một trong các tọa độ của vectơ vuông góc (bình thường) với nó = (x 2 ; y 2) và từ điều kiện vuông góc của vectơ

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

biểu thị tọa độ thứ hai của vectơ.

Ví dụ: nếu bạn thay thế tọa độ tùy ý x 2, thì

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Tọa độ vectơ thứ hai

Nếu ta cho x 2 = y 1 thì tọa độ thứ hai của vectơ

Nếu một vectơ khác 0 = (x 1 ; y 1) được cho trên mặt phẳng thì vectơ vuông góc (bình thường) với nó = (y 1 ; -x 1).

Nếu một trong các tọa độ của vectơ khác 0 bằng 0 thì vectơ đó có cùng tọa độ không bằng 0 và tọa độ thứ hai bằng 0. Các vectơ như vậy nằm trên trục tọa độ và do đó vuông góc.

Hãy xác định vectơ thứ hai vuông góc với vectơ = (x 1 ; y 1), nhưng ngược lại với vectơ , tức là vectơ - . Khi đó chỉ cần đổi dấu tọa độ vector là đủ

- = (-y 1 ; x 1)

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x1).

Nhiệm vụ.

Giải pháp

Tọa độ hai vectơ vuông góc với vectơ = (x 1 ; y 1) trên mặt phẳng

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x1).

Tọa độ vectơ thay thế = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

Phải!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

Phải!

Đáp án: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Nếu ta gán x 2 = 1 thì thay thế

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Ta thu được tọa độ y 2 của vectơ vuông góc với vectơ = (x 1 ; y 1)

Để thu được vectơ thứ hai vuông góc với vectơ = (x 1 ; y 1), nhưng ngược lại với vectơ . Cho phép

Khi đó chỉ cần thay đổi dấu của tọa độ vectơ là đủ.

Tọa độ hai vectơ vuông góc với vectơ = (x 1 ; y 1) trên mặt phẳng

Nhiệm vụ. Cho vectơ = (3; -5). Tìm hai vectơ pháp tuyến có hướng khác nhau.

Giải pháp

Tọa độ hai vectơ vuông góc với vectơ = (x 1 ; y 1) trên mặt phẳng

Tọa độ của một vectơ

Tọa độ của vectơ thứ hai

Để kiểm tra độ vuông góc của các vectơ, ta thay tọa độ của chúng vào điều kiện độ vuông góc của các vectơ

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

Phải!

3·(-1) + (-5)·(-0,6) = -3 + 3 = 0

Phải!

Trả lời: và.

Nếu bạn gán x 2 = - x 1 , thay thế

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Ta được tọa độ của vectơ vuông góc với vectơ

Nếu bạn gán x 2 = x 1 , thay thế

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Ta thu được tọa độ y của vectơ thứ hai vuông góc với vectơ

Tọa độ của một vectơ vuông góc với vectơ trên mặt phẳng = (x 1 ; y 1)

Tọa độ của vectơ thứ hai vuông góc với vectơ trên mặt phẳng = (x 1 ; y 1)

Tọa độ hai vectơ vuông góc với vectơ = (x 1 ; y 1) trên mặt phẳng

1.21 Cosin của góc giữa các vectơ

Cosin của góc giữa hai vectơ khác 0 = (x 1 ; y 1 ; z 1) và = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) bằng tích vô hướng của các vectơ chia cho tích của độ dài của các vectơ này

Nếu như
= 1 thì góc giữa các vectơ là 0 0, các vectơ cùng hướng.

Nếu 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Nếu = 0 thì góc giữa các vectơ là 90 0, các vectơ vuông góc.

Nếu -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Nếu = -1 thì góc giữa các vectơ là 180 0, các vectơ ngược chiều nhau.

Nếu một vectơ được cho bởi tọa độ điểm đầu và điểm cuối, sau đó trừ tọa độ điểm đầu với tọa độ tương ứng điểm cuối của vectơ, chúng ta thu được tọa độ của vectơ này.

Nhiệm vụ. Tìm góc giữa các vectơ (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Giải pháp

Tích vô hướng của vectơ

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

do đó góc giữa các vectơ bằng = 90 0 .

1.22 Tính chất tích vô hướng của vectơ

Các tính chất của tích vô hướng có giá trị cho mọi , , , k :

1.
, Nếu như
, Cái đó
, Nếu như =, Cái đó
= 0.

2. Luật du lịch

3. Luật phân phối

4. Luật kết hợp
.

1.23 Vectơ trực tiếp

Vectơ chỉ phương của một đường thẳng là vectơ khác 0 nằm trên một đường thẳng hoặc trên một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.

Nếu một đường thẳng được xác định bởi hai điểm M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) và M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) thì hướng dẫn là vectơ
hoặc vectơ đối diện của nó
= - , có tọa độ

Nên đặt hệ tọa độ sao cho đường thẳng đi qua gốc tọa độ thì tọa độ của điểm duy nhất trên đường thẳng sẽ là tọa độ của vectơ chỉ phương.

Nhiệm vụ. Xác định tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua các điểm M 1(1;0;0), M2(0;1;0).

Giải pháp

Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua các điểm M 1(1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) được ký hiệu
. Mỗi tọa độ của nó bằng hiệu giữa tọa độ tương ứng của điểm cuối và điểm đầu của vectơ

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Hãy vẽ vectơ chỉ hướng của đường thẳng trong hệ tọa độ có điểm đầu là điểm M 1, điểm cuối là điểm M 2 và một vectơ bằng nhau
từ gốc có điểm cuối tại điểm M (-1; 1; 0)

1.24 Góc giữa hai đường thẳng

Các phương án lựa chọn vị trí tương đối của 2 đường thẳng trên mặt phẳng và góc giữa các đường thẳng đó:

1. Các đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo thành 4 góc, 2 cặp góc thẳng đứng bằng nhau. Góc φ giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc không vượt quá ba góc còn lại giữa hai đường thẳng đó. Do đó, góc giữa các đường thẳng là φ ≤ 90 0.

Đặc biệt, các đường giao nhau có thể vuông góc với φ = 90 0.

Các phương án khả thi về vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian và góc giữa các đường thẳng đó:

1. Các đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo thành 4 góc, 2 cặp góc thẳng đứng bằng nhau. Góc φ giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc không vượt quá ba góc còn lại giữa hai đường thẳng đó.

2. Các đường thẳng song song, nghĩa là chúng không trùng nhau và không cắt nhau, φ=0 0 .

3. Hai đường thẳng trùng nhau, φ = 0 0 .

4. Các đường thẳng cắt nhau, tức là chúng không giao nhau trong không gian và không song song. Góc φ giữa các đường thẳng cắt nhau là góc giữa các đường thẳng vẽ song song với các đường thẳng này sao cho chúng cắt nhau. Do đó, góc giữa các đường thẳng là φ ≤ 90 0.

Góc giữa 2 đường thẳng đó bằng góc giữa hai đường thẳng vẽ song song với các đường thẳng đó trong cùng một mặt phẳng. Do đó, góc giữa các đường thẳng là 0 0 ≤ φ ≤ 90 0.

Góc θ (theta) giữa các vectơ và 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Nếu góc φ giữa hai đường thẳng α và β bằng góc θ giữa các vectơ chỉ phương của các đường thẳng φ = θ thì

cos φ = cos θ.

Nếu góc giữa các đường thẳng là φ = 180 0 - θ thì

cosφ = cos(180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Do đó cosin của góc giữa các đường thẳng bằng mô đun cosin của góc giữa các vectơ

cos φ = |cos θ|.

Nếu cho tọa độ của các vectơ khác 0 = (x 1 ; y 1 ; z 1) và = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) thì cosin của góc θ giữa chúng

Cosin của góc giữa các đường thẳng bằng mô đun cosin của góc giữa các vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó

cos φ = |cos θ| =

Các đường thẳng là các đối tượng hình học giống nhau, do đó các hàm cos lượng giác giống nhau có trong công thức.

Nếu mỗi đường thẳng được cho bởi hai điểm thì có thể xác định được vectơ chỉ phương của các đường thẳng này và cosin của góc giữa hai đường thẳng đó.

Nếu như cos φ = 1 thì góc φ giữa các đường thẳng bằng 0 0, ta có thể coi đối với các đường thẳng này một trong các vectơ chỉ phương của các đường thẳng này là các đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Nếu các đường thẳng không trùng nhau thì chúng song song. Nếu các đường thẳng trùng nhau thì bất kỳ điểm nào trên một đường thẳng đều thuộc đường kia.

Nếu 0< cos φ 1 thì góc giữa hai đường thẳng là 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Nếu như cos φ = 0 thì góc φ giữa các đường thẳng là 90 0 (các đường thẳng vuông góc), các đường thẳng cắt nhau hoặc cắt nhau.

Nhiệm vụ. Xác định góc giữa các đường thẳng M 1 M 3 và M 2 M 3 với tọa độ các điểm M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) và M 3 (0; 0; 1).

Giải pháp

Hãy dựng các điểm và đường cho trước trong hệ tọa độ Oxyz.

Ta hướng các vectơ chỉ phương của các đường thẳng sao cho góc θ giữa các vectơ trùng với góc φ giữa các đường thẳng đã cho. Hãy biểu diễn các vectơ =
và =
, cũng như các góc θ và φ:

Hãy xác định tọa độ của các vectơ và

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 và ax + by + cz = 0;

Mặt phẳng song song với trục tọa độ, không có ký hiệu của nó trong phương trình của mặt phẳng và do đó, hệ số tương ứng bằng 0, ví dụ, tại c = 0, mặt phẳng song song với trục Oz và không chứa z trong phương trình ax + by + d = 0;

Mặt phẳng chứa trục tọa độ đó bị thiếu ký hiệu nên hệ số tương ứng bằng 0 và d = 0, ví dụ với c = d = 0 thì mặt phẳng song song với trục Oz và không chứa z trong phương trình ax + by = 0;

Mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ, các ký hiệu của nó không có trong phương trình của mặt phẳng và do đó các hệ số tương ứng bằng 0, ví dụ, với b = c = 0, mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ Oyz và không chứa y, z trong phương trình ax + d = 0.

Nếu mặt phẳng trùng với mặt phẳng tọa độ thì phương trình của mặt phẳng đó bằng 0 của ký hiệu trục tọa độ vuông góc với mặt phẳng tọa độ đã cho, ví dụ khi x = 0 thì mặt phẳng đã cho là mặt phẳng tọa độ Ôi trời.

Nhiệm vụ. Vectơ pháp tuyến được cho bởi phương trình

Trình bày phương trình mặt phẳng ở dạng chuẩn.

Giải pháp

Tọa độ vector chuẩn

MỘT; b ; c), khi đó bạn có thể thay tọa độ của điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) và tọa độ a, b, c của vectơ pháp tuyến vào phương trình tổng quát của mặt phẳng

ax + by + cz + d = 0 (1)

Chúng ta thu được một phương trình với một ẩn số d

ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0

Từ đây

d = -(ax 0 + by 0 + cz 0 )

Phương trình mặt phẳng (1) sau khi thay thế d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Ta thu được phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) vuông góc với vectơ khác 0 (a; b; c)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Hãy mở dấu ngoặc

rìu - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

Hãy biểu thị

d = - ax 0 - by 0 - cz 0

Ta thu được phương trình tổng quát của mặt phẳng

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và gốc tọa độ

ax + by + cz + d = 0.

Nên đặt hệ tọa độ sao cho mặt phẳng đi qua gốc tọa độ này. Các điểm M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) và M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) nằm trong mặt phẳng này phải xác định sao cho đường thẳng nối các điểm này không đi qua gốc tọa độ.

Mặt phẳng sẽ đi qua gốc tọa độ nên d = 0. Khi đó phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng

ax + by + cz = 0.

Có 3 hệ số chưa biết a, b, c. Thay tọa độ của hai điểm vào phương trình tổng quát của mặt phẳng sẽ thu được hệ gồm 2 phương trình. Nếu lấy một hệ số nào đó trong phương trình tổng quát của mặt phẳng bằng 1 thì hệ 2 phương trình sẽ cho phép xác định được 2 hệ số chưa biết.

Nếu một trong các tọa độ của một điểm bằng 0 thì hệ số tương ứng với tọa độ này được lấy bằng một.

Nếu một điểm nào đó có hai tọa độ 0 thì hệ số tương ứng với một trong các tọa độ 0 này được lấy bằng một.

Nếu chấp nhận a = 1 thì hệ 2 phương trình sẽ cho phép xác định 2 hệ số b và c chưa biết:

Việc giải hệ phương trình này sẽ dễ dàng hơn bằng cách nhân một số phương trình với một số sao cho các hệ số của một số ẩn số trở nên bằng nhau. Khi đó sự khác biệt của các phương trình sẽ cho phép chúng ta loại bỏ ẩn số này và xác định một ẩn số khác. Thay thế ẩn số tìm thấy vào bất kỳ phương trình nào sẽ cho phép bạn xác định ẩn số thứ hai.

1.30 Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm

Hãy xác định các hệ số của phương trình tổng quát của mặt phẳng

ax + by + cz + d = 0,

đi qua các điểm M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) và M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). Điểm không được có hai tọa độ giống nhau.

Có 4 hệ số chưa biết a, b, c và d. Thay tọa độ của ba điểm vào phương trình tổng quát của mặt phẳng sẽ thu được hệ gồm 3 phương trình. Lấy một hệ số nào đó trong phương trình tổng quát của mặt phẳng bằng đơn vị thì hệ 3 phương trình sẽ xác định được 3 hệ số chưa biết. Thông thường a = 1 được chấp nhận thì hệ 3 phương trình sẽ cho phép xác định 3 hệ số chưa biết b, c và d:

Tốt hơn là giải hệ phương trình bằng cách loại bỏ các ẩn số (phương pháp Gauss). Bạn có thể sắp xếp lại các phương trình trong hệ thống. Bất kỳ phương trình nào cũng có thể được nhân hoặc chia cho bất kỳ hệ số nào không bằng 0. Bất kỳ hai phương trình nào cũng có thể được cộng lại và phương trình thu được có thể được viết thay cho một trong hai phương trình được thêm vào. Những ẩn số được loại trừ khỏi các phương trình bằng cách thu được hệ số 0 ở phía trước chúng. Trong một phương trình, thường là phương trình thấp nhất, chỉ còn một biến được xác định. Biến tìm thấy được thay thế vào phương trình thứ hai từ dưới lên, thường để lại 2 ẩn số. Các phương trình được giải từ dưới lên trên và tất cả các hệ số chưa biết đều được xác định.

Các hệ số được đặt trước các ẩn số và các số hạng không chứa ẩn số được chuyển sang vế phải của phương trình

Dòng trên cùng thường chứa một phương trình có hệ số 1 trước ẩn số đầu tiên hoặc bất kỳ ẩn số nào, hoặc toàn bộ phương trình đầu tiên được chia cho hệ số trước ẩn số đầu tiên. Trong hệ phương trình này, chia phương trình thứ nhất cho y 1

Trước ẩn số đầu tiên, chúng tôi có hệ số 1:

Để đặt lại hệ số trước biến thứ nhất của phương trình thứ hai, hãy nhân phương trình thứ nhất với -y 2, cộng nó vào phương trình thứ hai và viết phương trình thu được thay cho phương trình thứ hai. Ẩn số đầu tiên trong phương trình thứ hai sẽ bị loại vì

y 2 b - y 2 b = 0.

Tương tự, chúng ta loại bỏ ẩn số đầu tiên trong phương trình thứ ba bằng cách nhân phương trình thứ nhất với -y 3, cộng nó với phương trình thứ ba và viết phương trình thu được thay vì phương trình thứ ba. Ẩn số đầu tiên trong phương trình thứ ba cũng sẽ bị loại vì

y 3 b - y 3 b = 0.

Tương tự, chúng ta loại bỏ ẩn số thứ hai trong phương trình thứ ba. Ta giải hệ từ dưới lên.

Nhiệm vụ.

ax + by + cz + d = 0,

đi qua các điểm M 1(0;0;0), M2(0;1;0) và y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Mặt phẳng được chỉ định là mặt phẳng tọa độ Oyz.

Nhiệm vụ. Xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng

ax + by + cz + d = 0,

đi qua các điểm M 1(1;0;0), M2(0;1;0) và M3(0;0;1). Tìm khoảng cách từ mặt phẳng này đến điểm M 0 (10; -3; -7).

Giải pháp

Hãy xây dựng các điểm đã cho trong hệ tọa độ Oxyz.

Hãy chấp nhận Một= 1. Thay tọa độ của 3 điểm vào phương trình tổng quát của mặt phẳng ta được hệ 3 phương trình

ℓ =

Các trang web: 1 2 Vector trong mặt phẳng và trong không gian (tiếp theo)

Tham vấn với Andrey Georgievich Olshevsky về Skype da.khó chịu.ru

    Luyện thi cho học sinh, sinh viên các môn toán, vật lý, tin học, học sinh muốn đạt nhiều điểm (Phần C) và học sinh yếu thi cấp Bang (GIA) và Kỳ thi Thống nhất cấp Bang. Đồng thời cải thiện kết quả học tập hiện tại bằng cách phát triển trí nhớ, tư duy và giải thích rõ ràng về cách trình bày đồ vật phức tạp, trực quan. Một cách tiếp cận đặc biệt cho mỗi học sinh. Chuẩn bị cho Thế vận hội mang lại lợi ích khi nhập học. 15 năm kinh nghiệm nâng cao thành tích học sinh.

    Toán cao cấp, đại số, hình học, lý thuyết xác suất, thống kê toán học, lập trình tuyến tính.

    Giải thích lý thuyết rõ ràng, thu hẹp khoảng cách hiểu biết, phương pháp giảng dạy giải quyết vấn đề, tư vấn khi soạn giáo trình, văn bằng.

    Động cơ hàng không, tên lửa và ô tô. Siêu âm, ramjet, tên lửa, kích nổ xung, xung, tua bin khí, động cơ đốt trong piston - lý thuyết, thiết kế, tính toán, cường độ, thiết kế, công nghệ chế tạo.

    Nhiệt động lực học, kỹ thuật nhiệt, động lực học chất khí, thủy lực.

    Hàng không, cơ khí, khí động học, động lực bay, lý thuyết, thiết kế, cơ khí thủy lực. Máy bay siêu nhẹ, ekranoplanes, máy bay, trực thăng, tên lửa, tên lửa hành trình, thủy phi cơ, khí cầu, cánh quạt - lý thuyết, thiết kế, tính toán, sức mạnh, thiết kế, công nghệ sản xuất.

    Sáng tạo và thực hiện ý tưởng. Những nguyên tắc cơ bản của nghiên cứu khoa học, phương pháp hình thành, thực hiện ý tưởng khoa học, sáng tạo, kinh doanh. Dạy học các kỹ thuật giải quyết các vấn đề khoa học và các vấn đề sáng tạo. Khoa học, sáng tạo, viết lách, sáng tạo kỹ thuật. Tuyên bố, lựa chọn, giải quyết các vấn đề và ý tưởng khoa học, sáng tạo có giá trị nhất.

    Công bố kết quả sáng tạo. Cách viết và xuất bản một bài báo khoa học, xin phát minh, viết, xuất bản một cuốn sách. Lý luận viết, bảo vệ luận văn. Kiếm tiền từ ý tưởng và phát minh. Tư vấn sáng tạo sáng chế, viết đơn đăng ký sáng chế, bài báo khoa học, đơn đăng ký sáng chế, sách, chuyên khảo, luận văn. Đồng tác giả của các phát minh, bài báo khoa học, chuyên khảo.

    Cơ học lý thuyết (teormekh), sức bền vật liệu (sức bền vật liệu), bộ phận máy, lý thuyết về cơ cấu và máy móc (TMM), công nghệ cơ khí, các ngành kỹ thuật.

    Hình học phân tích, hình học mô tả, đồ họa kỹ thuật, bản vẽ.

    Đồ họa máy tính, lập trình đồ họa, bản vẽ trong AutoCAD, NanoCAD, photomontage.

    Logic, đồ thị, cây cối, toán học rời rạc. OpenOffice và LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET,

    macro, VBScript, BASIC, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Xây dựng chương trình, game cho PC, Laptop, thiết bị di động. Sử dụng các chương trình làm sẵn miễn phí, công cụ nguồn mở.

    Sáng tạo, bố trí, quảng bá, lập trình website, cửa hàng trực tuyến, kiếm tiền trên website, thiết kế Web.

    Khoa học máy tính, người dùng PC: văn bản, bảng biểu, thuyết trình, đào tạo đánh máy tốc độ trong 2 giờ, cơ sở dữ liệu, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, Internet, mạng, email.

    Lắp đặt và sửa chữa máy tính, laptop cố định.

    Blogger video, tạo, biên tập, đăng video, biên tập video, kiếm tiền từ blog video.

    Lựa chọn, đạt được mục tiêu, lập kế hoạch.

Đào tạo kiếm tiền trên Internet: blogger, video blogger, chương trình, website, cửa hàng trực tuyến, bài viết, sách, v.v.

Bạn có thể hỗ trợ sự phát triển của trang web, trả tiền cho các dịch vụ tư vấn của Andrey Georgievich Olshevsky15.10.17 Olshevsky Andrey Georgieviche-mail:

[email được bảo vệ]

Kết quả: Tính duy nhất của các hệ số của tổ hợp tuyến tính được chứng minh theo cách tương tự như trong hệ quả trước.

Bốn vectơ bất kỳ đều phụ thuộc tuyến tính

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.Chương 4. Khái niệm cơ sở. Tính chất của một vectơ trong một cơ sở nhất định Cơ sở trong không gian

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.là bộ ba vectơ không đồng phẳng bất kỳ có thứ tự. Căn cứ trên máy bay

là cặp vectơ không thẳng hàng có thứ tự bất kỳ.

Cơ sở trong không gian cho phép mỗi vectơ được liên kết duy nhất với một bộ ba số có thứ tự - các hệ số biểu diễn vectơ này dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở. Ngược lại, chúng ta liên kết một vectơ với mỗi bộ ba số có thứ tự bằng cách sử dụng cơ số nếu chúng ta thực hiện tổ hợp tuyến tính. Các số được gọi thành phần (hoặc tọa độ

Định lý:) vectơ theo một cơ sở nhất định (được viết ).

Khi cộng hai vectơ, tọa độ của chúng sẽ được cộng. Khi một vectơ được nhân với một số, tất cả tọa độ của vectơ đều được nhân với số đó. Thật vậy, nếu

, Cái đó

Định nghĩa và tính chất của tọa độ vectơ trên mặt phẳng là tương tự nhau. Bạn có thể dễ dàng tự mình xây dựng chúng.

Chương 5. Phép chiếu véc tơ Dưới đề cập đến góc giữa các vectơ bằng dữ liệu và có nguồn gốc chung. Nếu hướng tham chiếu góc không được chỉ định thì góc giữa các vectơ được coi là góc không vượt quá π. Nếu một trong các vectơ bằng 0 thì góc được coi là bằng 0. Nếu góc giữa hai vectơ thẳng thì vectơ được gọi là trực giao .

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho.Phép chiếu trực giao vectơ theo hướng của vectơ gọi là đại lượng vô hướng , φ – góc giữa các vectơ (Hình 9).

Mô đun của đại lượng vô hướng này bằng độ dài của đoạn O.A. 0 .

Nếu góc φ nhọn thì hình chiếu dương; nếu góc φ tù thì hình chiếu âm; nếu góc φ thẳng thì hình chiếu bằng 0.

Với hình chiếu trực giao, góc giữa các đoạn O.A. 0 Và A.A. 0 trực tiếp. Có những hình chiếu trong đó góc này khác với góc vuông.

Hình chiếu của vectơ có các tính chất sau:

Cơ sở được gọi là trực giao , nếu các vectơ của nó trực giao từng cặp.

Một cơ sở trực giao được gọi là trực giao , nếu vectơ của nó có độ dài bằng một. Đối với cơ sở trực chuẩn trong không gian, ký hiệu thường được sử dụng.

Định lý: Trong cơ sở trực chuẩn, tọa độ của vectơ là hình chiếu trực giao tương ứng của vectơ này lên hướng của vectơ tọa độ.

Ví dụ: Cho một vectơ có độ dài đơn vị tạo thành một góc φ với vectơ cơ sở trực chuẩn trên mặt phẳng thì .

Ví dụ:Đặt một vectơ có độ dài đơn vị lần lượt tạo thành các góc α, β, γ với các vectơ , và có cơ sở trực chuẩn trong không gian (Hình 11), sau đó . Hơn thế nữa. Các đại lượng cosα, cosβ, cosγ gọi là cosin chỉ phương của vectơ

Chương 6. Sản phẩm chấm

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho. Tích vô hướng của hai vectơ là một số bằng tích độ dài của các vectơ này và cosin của góc giữa chúng. Nếu một trong các vectơ bằng 0 thì tích vô hướng được coi là bằng 0.

Tích vô hướng của vectơ và được ký hiệu là [hoặc ; hoặc ]. Nếu φ là góc giữa các vectơ và , thì .

Tích vô hướng có các tính chất sau:

Định lý: Trong cơ sở trực giao, các thành phần của bất kỳ vectơ nào được tìm thấy theo các công thức:

Thật vậy, let và mỗi số hạng thẳng hàng với vectơ cơ sở tương ứng. Từ định lý của phần thứ hai, suy ra rằng, trong đó dấu cộng hoặc dấu trừ được chọn tùy thuộc vào việc các vectơ và hướng cùng hướng hay ngược chiều. Nhưng, , trong đó φ là góc giữa các vectơ , và . Vì thế, . Các thành phần còn lại được tính toán tương tự.

Tích vô hướng được sử dụng để giải các bài toán cơ bản sau:

1. ; 2. ; 3. .

Giả sử các vectơ được cho theo một cơ sở nhất định, sau đó sử dụng các tính chất của tích vô hướng, chúng ta có thể viết:

Các đại lượng được gọi là hệ số mét của một cơ sở nhất định. Kể từ đây .

Định lý: Trên cơ sở trực chuẩn

;
;
;
.

Bình luận: Tất cả các đối số trong phần này được đưa ra cho trường hợp vị trí của vectơ trong không gian. Trường hợp vectơ nằm trên một mặt phẳng thu được bằng cách loại bỏ các thành phần không cần thiết. Tác giả đề nghị bạn tự làm việc này.

Chương 7. Sản phẩm vector

Bộ ba vectơ không đồng phẳng có thứ tự được gọi là đúng hướng (Phải ), nếu sau khi áp dụng vào gốc chung từ điểm cuối của vectơ thứ ba, đoạn rẽ ngắn nhất từ ​​vectơ thứ nhất sang vectơ thứ hai có thể nhìn thấy ngược chiều kim đồng hồ. Ngược lại, bộ ba vectơ không đồng phẳng có thứ tự được gọi là hướng trái (bên trái ).

Tại một điểm $M$ tùy ý trong không gian, người ta có thể xây dựng một vectơ $\overline(M N)$ bằng vectơ $\overline(A B)$ đã cho. Tích chéo của một vectơ và một vectơ là một vectơ thỏa mãn điều kiện:

Nếu một trong các vectơ bằng 0 thì tích chéo là vectơ 0.

Tích chéo của một vectơ và một vectơ được ký hiệu là (hoặc).

Định lý:Điều kiện cần và đủ để hai vectơ cộng tuyến là tích vectơ của chúng bằng 0.

Định lý:Độ dài (mô đun) tích vectơ của hai vectơ bằng diện tích hình bình hành dựng trên các vectơ này làm các cạnh.

Ví dụ: Nếu là một cơ sở trực chuẩn đúng thì , , .

Ví dụ: Nếu là cơ sở trực chuẩn trái thì , , .

Ví dụ: Cho a trực giao với . Sau đó, nó thu được từ vectơ bằng cách xoay nó theo chiều kim đồng hồ quanh vectơ (khi nhìn từ cuối vectơ).