Hệ tọa độ hình chữ nhật (tên khác - phẳng, hai chiều), được đặt theo tên của nhà khoa học người Pháp Descartes (1596-1650) " Hệ thống Descartes tọa độ trên mặt phẳng” được hình thành bởi giao điểm trên mặt phẳng vuông góc (vuông góc) của hai trục số sao cho nửa trục dương của một trục hướng sang phải (trục x hoặc trục abscissa) và trục thứ hai được hướng lên trên (trục y hoặc trục tọa độ).
Điểm giao nhau của các trục trùng với điểm 0 của mỗi trục và được gọi là gốc tọa độ.
Đối với mỗi trục, một tỷ lệ tùy ý (một đoạn có độ dài) được chọn. Mỗi điểm trên mặt phẳng ứng với một cặp số gọi là tọa độ của điểm đó trên mặt phẳng. Ngược lại, bất kỳ cặp số có thứ tự nào cũng tương ứng với một điểm trên mặt phẳng mà các số này là tọa độ.
Tọa độ đầu tiên của một điểm được gọi là hoành độ của điểm đó và tọa độ thứ hai được gọi là tọa độ.
Toàn bộ mặt phẳng tọa độ được chia thành 4 góc phần tư (phần tư). Các góc phần tư được đặt từ góc phần tư thứ nhất đến góc phần tư ngược chiều kim đồng hồ (xem hình).
Để xác định tọa độ của một điểm, bạn cần tìm khoảng cách của nó với trục hoành và trục tọa độ. Vì khoảng cách (ngắn nhất) được xác định bởi đường vuông góc nên từ điểm này hai đường vuông góc (đường phụ trên mặt phẳng tọa độ) được hạ xuống trục sao cho điểm giao nhau của chúng là vị trí điểm nhất định trong mặt phẳng tọa độ. Giao điểm của các đường vuông góc với các trục gọi là hình chiếu của điểm trên các trục tọa độ.
Góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi bán trục dương của hoành độ và tọa độ. Do đó tọa độ các điểm trong 1/4 mặt phẳng này sẽ dương
(dấu “+” và
Ví dụ: điểm M (2; 4) trong hình trên.
Góc phần tư thứ hai được giới hạn bởi trục x âm và trục y dương. Do đó, tọa độ của các điểm dọc theo trục hoành sẽ mang giá trị âm (dấu “-”) và dọc theo trục hoành chúng sẽ mang giá trị dương (dấu “+”).
Ví dụ: điểm C (-4; 1) trong hình trên.
Góc phần tư thứ ba bị giới hạn bởi trục x âm và trục y âm. Do đó, tọa độ của các điểm dọc theo trục hoành và trục hoành sẽ âm (dấu “-” và “-”).
Ví dụ: điểm D (-6; -2) trong hình trên.
Góc phần tư thứ tư được giới hạn bởi trục x dương và trục y âm. Do đó, tọa độ của các điểm dọc theo trục hoành sẽ dương (dấu “+”). và dọc theo trục tọa độ - âm (ký hiệu “-”).
Ví dụ: điểm R (3; -3) trong hình trên.
Xây dựng một điểm bằng cách sử dụng tọa độ đã chỉ định của nó
chúng ta sẽ tìm tọa độ đầu tiên của điểm trên trục x và vẽ một đường phụ đi qua nó - đường vuông góc;
chúng ta tìm tọa độ thứ hai của điểm trên trục hoành và vẽ một đường phụ đi qua nó - đường vuông góc;
giao điểm của hai đường vuông góc (đường phụ) sẽ ứng với điểm có tọa độ cho trước.
giáo dục nghề nghiệp sơ cấp
"Trường dạy nghề số 5" Belgorod
Tom tăt bai học
trong toán học về chủ đề:
Hệ thống hình chữ nhật tọa độ trong không gian
dành cho học sinh lớp 11
giáo viên khoa học máy tính và toán học
GOU NPO PU số 5
Belgorod 2010
Chủ đề bài học
: Hệ tọa độ hình chữ nhật trong không gian. Tọa độ vectơ
Mục tiêu bài học: - phát triển logic và không gian Suy nghĩ
Giới thiệu khái niệm hệ tọa độ trong không gian, tọa độ vectơ
Văn học: Hình học lớp 10-11 L. S. Atanasyan, M.: Education, 2006
Trong các buổi học:
Tổ chức Chốc lát
Giải thích vật liệu mới
Nếu ba cặp đường vuông góc được vẽ qua một điểm trong không gian, thì mỗi hướng sẽ được chọn trên mỗi đường đó (nó được biểu thị bằng một mũi tên) và đơn vị đo cho các đoạn được chọn, thì người ta nói rằng Hệ toạ độ hình chữ nhật trong không gian (Hình 121). Các đường thẳng có hướng được chọn gọi là trục tọa độ, và của họ điểm chung - nguồn gốc. Nó thường được ký hiệu bằng chữ O. Các trục tọa độ được ký hiệu như sau: Ox, Oy, Oz - và có tên: trục abscissa, trục tọa độ, trục ứng dụng. Toàn bộ hệ tọa độ được chỉ định là Oxyz. Các mặt phẳng lần lượt đi qua các trục tọa độ Ox và Oy, Oy và Oz, Oz và Ox được gọi là mặt phẳng tọa độ và được chỉ định là Oxy, Oyz, Ozx.
Điểm O chia mỗi trục tọa độ thành hai tia. Tia có phương trùng với phương của trục gọi là tia bán trục dương, và chùm tia kia bán trục âm.
TRONG 
Trong hệ tọa độ hình chữ nhật, mỗi điểm M trong không gian được liên kết với một bộ ba số, được gọi là tọa độ. Chúng được xác định tương tự như tọa độ các điểm trên mặt phẳng. Chúng ta hãy vẽ ba mặt phẳng đi qua điểm M, vuông góc với các trục tọa độ và biểu thị bằng M 1, M 2 và M 3 lần lượt là các điểm giao nhau của các mặt phẳng này với trục hoành, trục tọa độ và trục ứng dụng (Hình 122). Tọa độ đầu tiên của điểm M (được gọi là cơ hoành và thường được ký hiệu bằng chữ x) được định nghĩa như sau: x = OM 1 nếu M 1 là điểm của nửa trục dương; x = - OM 1 nếu M 1 là điểm của nửa trục âm; x = 0 nếu M 1 trùng với điểm O. Tương tự, lấy điểm M 2 làm tọa độ thứ hai ( điều hành) y điểm M, và sử dụng điểm M 3 tọa độ thứ ba ( áp dụng) z điểm M. Tọa độ của điểm M được viết trong ngoặc đơn sau khi chỉ định điểm: M (x; y; z), với hoành độ được chỉ định đầu tiên, tọa độ được chỉ định thứ hai và thứ ba áp dụng được chỉ định. Hình 123 thể hiện sáu điểm A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), E (4; 0; 5), E (0; 3; 0 ) , F (0; 0; -3).
E 
Nếu điểm M (x; y; z) nằm trên mặt phẳng tọa độ hoặc trên trục tọa độ thì một số tọa độ của nó bằng 0. Vì vậy, nếu M € Oxy, thì ứng dụng của điểm M bằng 0: z = 0. Tương tự, nếu M với Oxz thì y = 0, và nếu M € Oyz, thì x = 0. Nếu M € Ox , thì tọa độ và ứng dụng của điểm M bằng 0: y = 0 và z = 0 (ví dụ tại điểm C trên Hình 123). Nếu M € Oy thì x = 0 và z = 0; nếu M€ Oz thì x = 0 và y = 0. Cả ba tọa độ gốc đều bằng 0: 0 (0; 0; 0).
Tọa độ vectơ
Z 
Hãy định nghĩa hệ tọa độ chữ nhật Oxyz trong không gian. Trên mỗi bán trục dương, chúng ta vẽ đồ thị từ gốc tọa độ đơn vị véc tơ
, tức là một vectơ có độ dài bằng một. Tôi vectơ đơn vị của trục x, thông qua j là vectơ đơn vị của trục tọa độ và thông qua k vectơ đơn vị của trục ứng dụng (Hình 124). Gọi các vectơ i, j, k vectơ tọa độ. Rõ ràng các vectơ này không đồng phẳng. Đó là lý do tại sao bất kỳ vectơ nàoMộtvà có thể bị phân hủy thành vectơ tọa độ, tức là biểu diễn nó dưới dạng
và các hệ số giãn nở x, y,zđược xác định một cách độc đáo.
ĐẾN 
các hệ số x, y và z trong khai triển vectơ a trong vectơ tọa độ được gọi là tọa độ vectorMộttrong hệ tọa độ này. Chúng ta sẽ viết tọa độ của vectơ a trong dấu ngoặc nhọn sau ký hiệu vectơ: a (x; y; z). Hình 125 cho thấy hình khối, có các kích thước sau: OA 1 = 2, OA 2 = 2, OA 3 =4. Tọa độ của các vectơ thể hiện trong hình này là: a (2; 2; 4), b(2; 2; -1), A 3 A (2; 2; 0), i(1; 0; 0), j(0; 1; 0), k(0; 0; 1).
Vì vectơ 0 có thể được biểu diễn dưới dạng 0 = oi+ oj+ 0k, nên tất cả tọa độ của vectơ 0 đều bằng 0. Hơn nữa, tọa độ vectơ bằng nhau tương ứng bằng nhau, tức là nếu các vectơ a(x 1, y 1, z 1) và b(x 2, y 2, z 2) bằng nhau thì x 1 = x 2, y 1 = y 2 và z 1 = z 2 ( giải thích vì sao).
Hãy xem xét quy tắc, cho phép sử dụng tọa độ của các vectơ này để tìm tọa độ tổng và hiệu của chúng, cũng như tọa độ của tích vectơ đã cho cho con số này.
1 0 . Mỗi tọa độ của tổng của hai hoặc nhiều vectơ bằng tổng tọa độ tương ứng của các vectơ này. Nói cách khác, nếu a (x 1, y 1, z 1) và b(x 2, y 2, z 2) là các vectơ thì vectơ a + b có tọa độ (x 1 + x 2, y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ).
2 0 . Mỗi tọa độ hiệu của hai vectơ bằng hiệu tọa độ tương ứng của các vectơ này. Nói cách khác, nếu a (x 1, y 1, z 1) và b(x 2 y 2; z 2) là các vectơ thì vectơ a- b có tọa độ (x 1 - x 2, y 1 – y 2, z 1 - z 2 ).
3 VỀ. Mỗi tọa độ tích của một vectơ và một số bằng tích của tọa độ tương ứng của vectơ và số này. Nói cách khác, nếu a(x;y;x) -
Để xác định vị trí của một điểm trong không gian, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Descartes Tọa độ hình chữ nhật(Hình 2).
Hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes trong không gian được hình thành bởi ba trục tọa độ vuông góc với nhau OX, OY, OZ. Các trục tọa độ cắt nhau tại điểm O gọi là gốc tọa độ, trên mỗi trục chọn một hướng dương, biểu thị bằng các mũi tên và đơn vị đo các đoạn trên các trục. Đơn vị đo thường (không nhất thiết) giống nhau đối với tất cả các trục. Trục OX được gọi là trục abscissa (hoặc đơn giản là abscissa), trục OY là trục tọa độ và trục OZ là trục ứng dụng.
Vị trí của điểm A trong không gian được xác định bởi ba tọa độ x, y và z. Tọa độ x bằng độ dài đoạn OB, tọa độ y là độ dài đoạn OC, tọa độ z là độ dài đoạn OD theo đơn vị đo đã chọn. Các đoạn OB, OC và OD được xác định bởi các mặt phẳng vẽ từ một điểm song song với các mặt phẳng YOZ, XOZ và XOY tương ứng.
Tọa độ x được gọi là hoành độ của điểm A, tọa độ y được gọi là tọa độ của điểm A và tọa độ z được gọi là tọa độ ứng dụng của điểm A.
Một cách tượng trưng nó được viết như thế này:
hoặc liên kết bản ghi tọa độ với một điểm cụ thể bằng chỉ mục:
x A , y A , z A ,
Mỗi trục được coi là một trục số, tức là có hướng dương và các điểm nằm trên tia âm được gán giá trị âm tọa độ (khoảng cách được lấy bằng dấu trừ). Đó là, ví dụ, nếu điểm B không nằm như trong hình - trên tia OX, mà nằm trên phần tiếp theo của nó trong mặt trái từ điểm O (trên phần âm của trục OX) thì hoành độ x của điểm A sẽ âm (trừ khoảng cách OB). Tương tự như vậy đối với hai trục còn lại.
Các trục tọa độ OX, OY, OZ như hình vẽ. 2, tạo thành một hệ tọa độ thuận tay phải. Điều này có nghĩa là nếu nhìn mặt phẳng YOZ dọc theo chiều dương của trục OX thì chuyển động của trục OY về phía trục OZ sẽ theo chiều kim đồng hồ. Tình huống này có thể được mô tả bằng quy tắc gimlet: nếu gimlet (vít có ren bên phải) quay theo hướng từ trục OY sang trục OZ thì nó sẽ di chuyển dọc theo hướng dương của trục OX.
Các vectơ có độ dài đơn vị hướng dọc theo trục tọa độ, được gọi là vectơ đơn vị tọa độ. Chúng thường được chỉ định là 
(Hình 3). Ngoài ra còn có tên gọi 
Các vectơ đơn vị tạo thành cơ sở của hệ tọa độ.
Trong trường hợp hệ tọa độ thuận tay phải, hợp lệ công thức sau Với công trình vector ortov:
Một hệ tọa độ hình chữ nhật trong không gian là bộ ba lẫn nhau trục vuông góc, cắt nhau tại một điểm O, gọi là gốc tọa độ.
Trục tọa độ thường được ký hiệu bằng các chữ cái và được gọi tương ứng là trục abscissa, trục tọa độ, trục ứng dụng hoặc trục Oy, trục (Hình 33).
Các vectơ đơn vị của các trục tọa độ Ox, Oy, Oz được ký hiệu tương ứng hoặc chúng ta sẽ chủ yếu sử dụng ký hiệu sau.
Có hệ tọa độ phải và trái.
Hệ tọa độ được gọi là đúng nếu từ điểm cuối của cung thứ ba đến chỗ rẽ từ cung thứ nhất đến cung thứ hai xảy ra ngược chiều kim đồng hồ (Hình 34, a).
Hệ tọa độ được gọi là thuận tay trái nếu, từ điểm cuối của trục tọa độ thứ ba, chuyển động quay từ trục tọa độ thứ nhất sang trục tọa độ thứ hai có thể nhìn thấy theo chiều kim đồng hồ (Hình 34, b).
Do đó, nếu bạn vặn vít theo hướng vectơ k, xoay nó đi, thì trong trường hợp hệ thống thuận tay phải, ren phải thuận tay phải và trong trường hợp hệ thống thuận tay trái, ren phải thuận tay trái. thuận tay (Hình 35).
Nhiều quy định của đại số vectơ không phụ thuộc vào việc chúng ta sử dụng hệ tọa độ thuận tay phải hay tay trái. Tuy nhiên, đôi khi hoàn cảnh này quan trọng. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ luôn sử dụng hệ tọa độ thuận tay phải, như thông lệ trong vật lý.