Cấp độ đầu vào

Tọa độ và vectơ. Hướng dẫn toàn diện (2019)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ bắt đầu thảo luận về một “cây đũa thần” cho phép bạn biến nhiều bài toán hình học thành số học đơn giản. “Cây gậy” này có thể giúp cuộc sống của bạn dễ dàng hơn nhiều, đặc biệt là khi bạn cảm thấy không chắc chắn trong việc xây dựng các hình, mặt cắt không gian, v.v. Tất cả điều này đòi hỏi trí tưởng tượng và kỹ năng thực tế nhất định. Phương pháp mà chúng tôi sẽ bắt đầu xem xét ở đây sẽ cho phép bạn gần như hoàn toàn trừu tượng khỏi tất cả các loại cấu trúc hình học và lý luận. Phương pháp này được gọi là "phương pháp tọa độ". Trong bài này chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi sau:

1. Mặt phẳng tọa độ
2. Điểm và vectơ trên mặt phẳng
3. Xây dựng một vectơ từ hai điểm
4. Độ dài vectơ (khoảng cách giữa hai điểm)​
5. Tọa độ giữa của đoạn
6. Tích vô hướng của vectơ
7. Góc giữa hai vectơ

Tôi nghĩ bạn đã đoán được tại sao phương thức tọa độ lại được gọi như vậy rồi? Đúng vậy, nó có tên này vì nó hoạt động không phải với các đối tượng hình học mà với các đặc tính số (tọa độ) của chúng. Và bản thân phép biến đổi, cho phép chúng ta chuyển từ hình học sang đại số, bao gồm việc giới thiệu một hệ tọa độ. Nếu hình ban đầu phẳng thì tọa độ là hai chiều, còn nếu hình ban đầu là ba chiều thì tọa độ là ba chiều. Trong bài này chúng ta chỉ xét trường hợp hai chiều. Và mục tiêu chính của bài viết là hướng dẫn các bạn cách sử dụng một số kỹ thuật cơ bản của phương pháp tọa độ (đôi khi chúng tỏ ra hữu ích khi giải các bài toán về phép đo phẳng trong Phần B của Kỳ thi Thống nhất). Hai phần tiếp theo về chủ đề này được dành để thảo luận về các phương pháp giải bài toán C2 (bài toán lập thể).

Sẽ hợp lý ở đâu khi bắt đầu thảo luận về phương pháp tọa độ? Có lẽ là từ khái niệm hệ tọa độ. Hãy nhớ lại lần đầu tiên bạn gặp cô ấy. Đối với tôi, có vẻ như ở lớp 7, khi bạn học về sự tồn tại của hàm tuyến tính chẳng hạn. Hãy để tôi nhắc bạn rằng bạn đã xây dựng nó từng điểm một. Bạn có nhớ không? Bạn chọn một số tùy ý, thay vào công thức và tính theo cách đó. Ví dụ: nếu, thì, nếu, thì, v.v. Cuối cùng bạn đã nhận được gì? Và bạn đã nhận được điểm có tọa độ: và. Tiếp theo, bạn vẽ một “chữ thập” (hệ tọa độ), chọn thang đo trên đó (bạn sẽ có bao nhiêu ô dưới dạng một đoạn đơn vị) và đánh dấu các điểm bạn thu được trên đó, sau đó bạn nối chúng bằng một đường thẳng; đường thẳng là đồ thị của hàm số.

Ở đây có một số điểm cần được giải thích chi tiết hơn cho bạn:

1. Bạn chọn một đoạn duy nhất vì lý do thuận tiện, sao cho mọi thứ đều đẹp và gọn trong bản vẽ

2. Chấp nhận trục đi từ trái sang phải, trục đi từ dưới lên trên

3. Chúng cắt nhau vuông góc và giao điểm của chúng được gọi là gốc tọa độ. Nó được chỉ định bởi một lá thư.

4. Khi viết tọa độ của một điểm, ví dụ, bên trái trong ngoặc đơn là tọa độ của điểm dọc theo trục và bên phải, dọc theo trục. Đặc biệt, nó đơn giản có nghĩa là tại thời điểm

5. Để xác định điểm bất kỳ trên trục tọa độ, bạn cần chỉ ra tọa độ của điểm đó (2 số)

6. Với mọi điểm nằm trên trục,

7. Với mọi điểm nằm trên trục,

8. Trục được gọi là trục x

9. Trục được gọi là trục y

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện bước tiếp theo: đánh dấu hai điểm. Hãy kết nối hai điểm này với một đoạn. Và chúng ta sẽ đặt mũi tên như thể chúng ta đang vẽ một đoạn từ điểm này sang điểm khác: nghĩa là chúng ta sẽ làm cho đoạn của mình được định hướng!

Bạn có nhớ một đoạn định hướng khác được gọi là gì không? Đúng vậy, nó được gọi là vector!

Vì vậy, nếu chúng ta kết nối dấu chấm với dấu chấm, và điểm đầu sẽ là điểm A, và điểm cuối sẽ là điểm B, thì chúng ta nhận được một vectơ. Bạn cũng đã làm công việc này vào năm lớp 8, nhớ không?

Hóa ra các vectơ, giống như các điểm, có thể được biểu thị bằng hai số: những số này được gọi là tọa độ vectơ. Câu hỏi: Theo bạn, chỉ cần biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối của một vectơ là đủ để tìm tọa độ của nó phải không? Hóa ra là có! Và việc này được thực hiện rất đơn giản:

Do đó, vì trong một vectơ, điểm là điểm bắt đầu và điểm cuối là điểm cuối nên vectơ có tọa độ sau:

Ví dụ: nếu thì tọa độ của vectơ

Bây giờ hãy làm ngược lại, tìm tọa độ của vectơ. Chúng ta cần thay đổi điều gì cho điều này? Có, bạn cần hoán đổi phần đầu và phần cuối: bây giờ phần đầu của vectơ sẽ ở điểm và phần cuối sẽ ở điểm. Sau đó:

Hãy nhìn kỹ, sự khác biệt giữa vectơ và là gì? Sự khác biệt duy nhất của họ là các dấu hiệu trong tọa độ. Họ là những đối lập. Thực tế này thường được viết như thế này:

Đôi khi, nếu không nêu cụ thể điểm nào là đầu và điểm nào là điểm cuối của vectơ thì vectơ không được biểu thị bằng hai chữ in hoa mà bằng một chữ cái viết thường, ví dụ: , v.v.

Bây giờ một chút luyện tập và tìm tọa độ của các vectơ sau:

Bài kiểm tra:

Bây giờ hãy giải một bài toán khó hơn một chút:

Một vectơ có điểm bắt đầu tại một điểm có co-or-di-na-you. Tìm các điểm abs-cis-su.

Tất cả đều giống nhau nhưng khá tầm thường: Gọi là tọa độ của điểm. Sau đó

Tôi đã biên soạn hệ thống dựa trên định nghĩa tọa độ vectơ là gì. Khi đó điểm có tọa độ. Chúng tôi quan tâm đến abscissa. Sau đó

Trả lời:

Bạn có thể làm gì khác với vectơ? Vâng, hầu hết mọi thứ đều giống như với các số thông thường (ngoại trừ việc bạn không thể chia, nhưng bạn có thể nhân theo hai cách, một trong số đó chúng ta sẽ thảo luận ở đây sau)

1. Các vectơ có thể được thêm vào nhau
2. Các vectơ có thể được trừ khỏi nhau
3. Các vectơ có thể được nhân (hoặc chia) với một số khác 0 tùy ý
4. Các vectơ có thể nhân với nhau

Tất cả các hoạt động này có một biểu diễn hình học rất rõ ràng. Ví dụ: quy tắc tam giác (hoặc hình bình hành) để cộng và trừ:

Một vectơ giãn ra, co lại hoặc đổi hướng khi nhân hoặc chia cho một số:

Tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ quan tâm đến câu hỏi điều gì xảy ra với tọa độ.

1. Khi cộng (trừ) hai vectơ, ta cộng (trừ) từng phần tử tọa độ của chúng. Đó là:

2. Khi nhân (chia) một vectơ với một số, tất cả tọa độ của nó đều được nhân (chia) với số này:

Ví dụ:

· Tìm số lượng co-or-di-nat thế kỷ-to-ra.

Trước tiên chúng ta hãy tìm tọa độ của từng vectơ. Cả hai đều có cùng nguồn gốc - điểm gốc. Kết thúc của họ là khác nhau. Sau đó, . Bây giờ hãy tính tọa độ của vectơ Khi đó tổng tọa độ của vectơ thu được bằng nhau.

Trả lời:

Bây giờ hãy tự mình giải quyết vấn đề sau:

· Tìm tổng tọa độ vectơ

Chúng tôi kiểm tra:

Bây giờ chúng ta xét bài toán sau: chúng ta có hai điểm trên mặt phẳng tọa độ. Làm thế nào để tìm thấy khoảng cách giữa chúng? Hãy để điểm đầu tiên, và điểm thứ hai. Hãy để chúng tôi biểu thị khoảng cách giữa chúng bằng. Chúng ta hãy thực hiện bản vẽ sau cho rõ ràng:

Tôi đã làm gì thế này? Đầu tiên, tôi nối các điểm và từ điểm đó tôi vẽ một đường thẳng song song với trục và từ điểm đó tôi vẽ một đường thẳng song song với trục. Chúng có giao nhau tại một điểm, tạo thành một hình đáng chú ý không? Có gì đặc biệt ở cô ấy? Vâng, bạn và tôi biết hầu hết mọi thứ về tam giác vuông. Vâng, chắc chắn là định lý Pythagore. Đoạn cần thiết là cạnh huyền của tam giác này và các đoạn là chân. Tọa độ của điểm là gì? Có, chúng rất dễ tìm thấy từ hình ảnh: Vì các đoạn thẳng song song với các trục và tương ứng, độ dài của chúng rất dễ tìm thấy: nếu chúng ta biểu thị độ dài của các đoạn tương ứng bằng, thì

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng định lý Pythagore. Chúng ta biết chiều dài của chân, chúng ta sẽ tìm thấy cạnh huyền:

Do đó, khoảng cách giữa hai điểm là gốc của tổng bình phương chênh lệch so với tọa độ. Hoặc - khoảng cách giữa hai điểm là độ dài của đoạn nối chúng.

Dễ dàng nhận thấy khoảng cách giữa các điểm không phụ thuộc vào hướng. Sau đó:

Từ đây chúng ta rút ra ba kết luận:

Hãy luyện tập một chút về cách tính khoảng cách giữa hai điểm:

Ví dụ: nếu thì khoảng cách giữa và bằng

Hoặc chúng ta đi cách khác: tìm tọa độ của vectơ

Và tìm độ dài của vectơ:

Như bạn có thể thấy, đó là điều tương tự!

Bây giờ hãy tự mình thực hành một chút:

Nhiệm vụ: tìm khoảng cách giữa các điểm được chỉ định:

Chúng tôi kiểm tra:

Dưới đây là một vài vấn đề khác khi sử dụng cùng một công thức, mặc dù chúng nghe có vẻ hơi khác một chút:

1. Tìm bình phương chiều dài của mí mắt.

2. Tìm bình phương chiều dài mí mắt

Tôi nghĩ bạn đã giải quyết chúng mà không gặp khó khăn gì? Chúng tôi kiểm tra:

1. Và đây là để chú ý) Chúng ta đã tìm thấy tọa độ của các vectơ trước đó: . Khi đó vectơ có tọa độ. Bình phương chiều dài của nó sẽ bằng:

2. Tìm tọa độ của vectơ

Khi đó bình phương độ dài của nó là

Không có gì phức tạp phải không? Số học đơn giản, không có gì hơn.

1. Các vấn đề sau đây không thể được phân loại một cách rõ ràng; chúng thiên về sự uyên bác nói chung và khả năng vẽ những bức tranh đơn giản.

Tìm sin của góc từ vết cắt, nối điểm với trục hoành.

Và

Chúng ta sẽ tiếp tục như thế nào đây? Chúng ta cần tìm sin của góc giữa và trục. Chúng ta có thể tìm sin ở đâu? Đúng vậy, trong một tam giác vuông. Vậy chúng ta cần phải làm gì? Hãy xây dựng hình tam giác này!

Chúng ta còn lại gì để làm? Tìm cạnh huyền. Bạn có thể thực hiện việc này theo hai cách: sử dụng định lý Pythagore (đã biết hai chân!) hoặc sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm (trên thực tế, điều này cũng tương tự như phương pháp đầu tiên!). Tôi sẽ đi theo cách thứ hai:

Trả lời:

Nhiệm vụ tiếp theo sẽ có vẻ dễ dàng hơn với bạn. Cô ấy đang ở tọa độ của điểm.

Nhiệm vụ 2. Từ điểm per-pen-di-ku-lyar được hạ xuống trục ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Hãy vẽ một bức tranh:

Đáy của đường vuông góc là điểm tại đó nó cắt trục x (trục), đối với tôi đây là một điểm. Hình vẽ cho thấy nó có tọa độ: . Chúng tôi quan tâm đến abscissa - nghĩa là thành phần “x”. Cô ấy bình đẳng.

Trả lời: .

Nhiệm vụ 3. Trong điều kiện của bài toán trước, hãy tìm tổng khoảng cách từ điểm đến các trục tọa độ.

Nhiệm vụ nói chung là cơ bản nếu bạn biết khoảng cách từ một điểm đến các trục là bao nhiêu. Bạn biết? Tôi hy vọng, nhưng tôi vẫn sẽ nhắc nhở bạn:

Vì vậy, trong bản vẽ của tôi ở trên, tôi đã vẽ một đường vuông góc như vậy chưa? Nó nằm trên trục nào? Đến trục. Và chiều dài của nó là bao nhiêu? Cô ấy bình đẳng. Bây giờ hãy tự vẽ một đường vuông góc với trục và tìm độ dài của nó. Sẽ bình đẳng phải không? Khi đó tổng của chúng bằng nhau.

Trả lời: .

Nhiệm vụ 4. Trong điều kiện của bài 2, hãy tìm tọa độ của một điểm đối xứng với điểm so với trục hoành.

Tôi nghĩ bằng trực giác, bạn đã hiểu rõ đối xứng là gì? Nhiều đồ vật có nó: nhiều tòa nhà, cái bàn, máy bay, nhiều hình dạng hình học: quả bóng, hình trụ, hình vuông, hình thoi, v.v. Nói một cách đại khái, tính đối xứng có thể hiểu như sau: một hình gồm hai (hoặc nhiều) nửa giống hệt nhau. Sự đối xứng này được gọi là đối xứng trục. Vậy trục là gì? Nói một cách tương đối, đây chính xác là đường mà hình có thể được “cắt” thành hai nửa bằng nhau (trong bức tranh này, trục đối xứng là thẳng):

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại nhiệm vụ của chúng ta. Chúng ta biết rằng chúng ta đang tìm một điểm đối xứng qua trục. Khi đó trục này là trục đối xứng. Điều này có nghĩa là chúng ta cần đánh dấu một điểm sao cho trục cắt đoạn đó thành hai phần bằng nhau. Hãy cố gắng tự mình đánh dấu một điểm như vậy. Bây giờ so sánh với giải pháp của tôi:

Nó có diễn ra theo cách tương tự với bạn không? Khỏe! Chúng ta quan tâm đến tọa độ của điểm tìm thấy. Nó bằng nhau

Trả lời:

Bây giờ hãy cho tôi biết, sau khi suy nghĩ trong vài giây, trục hoành của một điểm đối xứng với điểm A so với tọa độ sẽ như thế nào? Câu trả lời của bạn là gì? Câu trả lời đúng: .

Nói chung, quy tắc có thể được viết như thế này:

Một điểm đối xứng với một điểm so với trục hoành có tọa độ:

Một điểm đối xứng với một điểm so với trục hoành có tọa độ:

Chà, bây giờ nó hoàn toàn đáng sợ nhiệm vụ: tìm tọa độ của một điểm đối xứng với điểm đó so với gốc tọa độ. Trước tiên bạn hãy tự suy nghĩ và sau đó nhìn vào bức vẽ của tôi!

Trả lời:

Hiện nay bài toán hình bình hành:

Nhiệm vụ 5: Các điểm xuất hiện ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Tìm or-di-on-điểm đó.

Bạn có thể giải quyết vấn đề này bằng hai cách: logic và phương pháp tọa độ. Trước tiên, tôi sẽ sử dụng phương pháp tọa độ, sau đó tôi sẽ cho bạn biết cách giải theo cách khác.

Rõ ràng là trục hoành của điểm bằng. (nằm trên đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến trục hoành). Chúng ta cần tìm tọa độ. Hãy lợi dụng thực tế là hình của chúng ta là hình bình hành, điều này có nghĩa là như vậy. Hãy tìm độ dài của đoạn bằng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:

Chúng ta hạ thấp đường vuông góc nối điểm với trục. Tôi sẽ biểu thị điểm giao nhau bằng một chữ cái.

Độ dài của đoạn bằng nhau. (hãy tự tìm ra vấn đề mà chúng ta đã thảo luận ở điểm này), sau đó chúng ta sẽ tìm độ dài của đoạn bằng định lý Pythagore:

Độ dài của một đoạn trùng khớp chính xác với tọa độ của nó.

Trả lời: .

Một giải pháp khác (tôi sẽ chỉ đưa ra một hình ảnh minh họa nó)

Tiến độ giải quyết:

1. Ứng xử

2. Tìm tọa độ điểm và độ dài

3. Chứng minh điều đó.

Một cái nữa vấn đề về độ dài đoạn:

Các điểm xuất hiện trên đỉnh của các hình tam giác. Tìm độ dài đường trung tuyến của nó, song song.

Bạn có nhớ đường giữa của một hình tam giác là gì không? Sau đó, nhiệm vụ này là cơ bản đối với bạn. Nếu bạn không nhớ thì tôi nhắc bạn: đường trung bình của một tam giác là đường nối trung điểm các cạnh đối diện. Nó song song với đáy và bằng một nửa đáy.

Cơ sở là một phân khúc. Chúng tôi đã phải tìm độ dài của nó sớm hơn, nó bằng nhau. Khi đó chiều dài của đường giữa lớn bằng một nửa và bằng nhau.

Trả lời: .

Nhận xét: vấn đề này có thể được giải quyết theo cách khác mà chúng ta sẽ đề cập sau.

Trong lúc chờ đợi, đây là một số bài toán dành cho bạn, hãy thực hành với chúng, chúng rất đơn giản nhưng giúp bạn sử dụng phương pháp tọa độ tốt hơn!

1. Điểm là đỉnh cao của tra-pe-tions. Tìm độ dài đường trung tuyến của nó.

2. Điểm và ngoại hình ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Tìm or-di-trên-điểm đó.

3. Tìm độ dài từ vết cắt, nối điểm và

4. Tìm diện tích phía sau hình màu trên mặt phẳng tọa độ.

5. Một đường tròn có tâm na-cha-le ko-or-di-nat đi qua một điểm. Tìm cô ấy ra-di-us.

6. Tìm-di-te ra-di-us của hình tròn, mô tả-san-noy về góc vuông-no-ka, đỉnh của vật gì đó có co-hoặc -di-na-bạn thật là có trách nhiệm

Giải pháp:

1. Biết rằng đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy của nó. Cơ sở bằng nhau và cơ sở. Sau đó

Trả lời:

2. Cách dễ nhất để giải bài toán này là lưu ý rằng (quy tắc hình bình hành). Tính tọa độ của vectơ không khó: . Khi thêm vectơ, tọa độ sẽ được thêm vào. Thế thì nó có tọa độ. Điểm cũng có các tọa độ này, vì gốc của vectơ là điểm có tọa độ. Chúng tôi quan tâm đến sắc lệnh. Cô ấy bình đẳng.

Trả lời:

3. Ta thực hiện ngay theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:

Trả lời:

4. Nhìn vào bức tranh và cho tôi biết vùng tô bóng được “kẹp” vào giữa hai hình nào? Nó được kẹp giữa hai hình vuông. Khi đó diện tích của hình mong muốn bằng diện tích của hình vuông lớn trừ đi diện tích của hình nhỏ. Cạnh của hình vuông nhỏ là đoạn nối các điểm và có chiều dài là

Khi đó diện tích hình vuông nhỏ là

Ta làm tương tự với một hình vuông lớn: cạnh của nó là đoạn nối các điểm và có chiều dài là

Khi đó diện tích hình vuông lớn là

Chúng tôi tìm diện tích của hình mong muốn bằng công thức:

Trả lời:

5. Nếu một đường tròn có gốc là tâm và đi qua một điểm thì bán kính của nó sẽ chính xác bằng chiều dài của đoạn thẳng (hãy vẽ và bạn sẽ hiểu tại sao điều này là hiển nhiên). Hãy tìm độ dài của đoạn này:

Trả lời:

6. Người ta biết rằng bán kính của một hình tròn ngoại tiếp một hình chữ nhật bằng một nửa đường chéo của nó. Hãy tìm chiều dài của một trong hai đường chéo bất kỳ (xét cho cùng, trong hình chữ nhật, chúng bằng nhau!)

Trả lời:

Chà, bạn đã đương đầu được với mọi thứ chưa? Không quá khó để tìm ra nó phải không? Chỉ có một quy tắc ở đây - có thể tạo một bức tranh trực quan và chỉ cần “đọc” tất cả dữ liệu từ nó.

Chúng tôi còn lại rất ít. Thực sự có hai điểm nữa mà tôi muốn thảo luận.

Hãy thử giải quyết vấn đề đơn giản này. Hãy để hai điểm và được đưa ra. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Giải pháp cho vấn đề này như sau: đặt điểm ở giữa mong muốn thì nó có tọa độ:

Đó là: tọa độ của phần giữa của đoạn = giá trị trung bình số học của tọa độ tương ứng của các đầu của đoạn.

Quy tắc này rất đơn giản và thường không gây khó khăn cho học sinh. Hãy xem nó có vấn đề gì và nó được sử dụng như thế nào:

1. Tìm-di-te hay-di-na-tu se-re-di-ny từ-cắt, nối-điểm và

2. Những điểm dường như đứng đầu thế giới. Find-di-te hay-di-na-tu điểm per-re-se-che-niya của dia-go-na-ley của mình.

3. Tìm-di-te abs-cis-su tâm của hình tròn, mô tả-san-noy về hình chữ nhật-no-ka, phần trên của cái gì đó có co-hoặc-di-na-bạn vậy-có trách nhiệm-nhưng.

Giải pháp:

1. Vấn đề đầu tiên đơn giản là một vấn đề kinh điển. Chúng tôi tiến hành ngay để xác định phần giữa của đoạn. Nó có tọa độ. Thứ tự là bằng nhau.

Trả lời:

2. Dễ dàng nhận thấy tứ giác này là hình bình hành (thậm chí là hình thoi!). Bạn có thể tự chứng minh điều này bằng cách tính độ dài các cạnh và so sánh chúng với nhau. Em biết gì về hình bình hành? Các đường chéo của nó được chia làm đôi bởi điểm giao nhau! Vâng! Vậy điểm giao nhau của các đường chéo là gì? Đây là điểm giữa của bất kỳ đường chéo nào! Tôi sẽ chọn, đặc biệt, đường chéo. Khi đó điểm có tọa độ. Tọa độ của điểm bằng.

Trả lời:

3. Tâm của hình tròn ngoại tiếp hình chữ nhật trùng với tâm nào? Nó trùng với điểm giao nhau của các đường chéo của nó. Bạn biết gì về các đường chéo của hình chữ nhật? Chúng bằng nhau và giao điểm chia chúng làm đôi. Nhiệm vụ đã được giảm xuống nhiệm vụ trước đó. Hãy lấy đường chéo chẳng hạn. Khi đó nếu là tâm của đường tròn ngoại tiếp thì là điểm giữa. Tôi đang tìm tọa độ: Trục hoành bằng nhau.

Trả lời:

Bây giờ các bạn tự luyện tập một chút nhé, mình sẽ chỉ đưa ra đáp án từng vấn đề để các bạn tự kiểm tra.

1. Tìm-di-te ra-di-us của hình tròn, mô tả-san-noy xung quanh hình tam giác, đỉnh của vật gì đó có co-or-di -on-you

2. Tìm-di-te hoặc-di-trên-tâm đó của đường tròn, mô tả-san-noy về tam giác-no-ka, các đỉnh của tam giác đó có tọa độ

3. Đường tròn có tâm tại một điểm sao cho trùng với trục ab-ciss sẽ là đường tròn như thế nào?

4. Tìm-di-those hoặc-di-on-that điểm đặt lại trục và from-cut, connect-the-point và

Câu trả lời:

Mọi thứ có thành công không? Tôi thực sự hy vọng như vậy! Bây giờ - lần đẩy cuối cùng. Bây giờ hãy đặc biệt cẩn thận. Nội dung mà tôi sẽ giải thích bây giờ không chỉ liên quan trực tiếp đến các bài toán đơn giản về phương pháp tọa độ ở Phần B mà còn có ở khắp mọi nơi trong Bài toán C2.

Lời hứa nào tôi chưa giữ? Hãy nhớ những phép toán nào trên vectơ mà tôi đã hứa sẽ giới thiệu và những phép toán nào cuối cùng tôi đã giới thiệu? Bạn có chắc là tôi không quên điều gì không? Quên! Tôi quên giải thích ý nghĩa của phép nhân vector.

Có hai cách để nhân một vectơ với một vectơ. Tùy thuộc vào phương pháp đã chọn, chúng ta sẽ nhận được các đối tượng có tính chất khác nhau:

Sản phẩm chéo được thực hiện khá khéo léo. Chúng ta sẽ thảo luận về cách thực hiện và lý do cần thiết trong bài viết tiếp theo. Và trong phần này chúng ta sẽ tập trung vào tích vô hướng.

Có hai cách cho phép chúng ta tính toán:

Như bạn đoán, kết quả sẽ giống nhau! Vì vậy, trước tiên hãy xem xét phương pháp đầu tiên:

Chấm sản phẩm qua tọa độ

Tìm: - ký hiệu được chấp nhận chung cho tích vô hướng

Công thức tính toán như sau:

Tức là tích vô hướng = tổng các tích của tọa độ vectơ!

Ví dụ:

Tìm-di-te

Giải pháp:

Hãy tìm tọa độ của từng vectơ:

Chúng tôi tính tích vô hướng bằng công thức:

Trả lời:

Hãy xem, hoàn toàn không có gì phức tạp!

Vâng, bây giờ hãy tự mình thử:

· Tìm một nghiệm vô hướng của nhiều thế kỷ và

Bạn đã quản lý được chưa? Có lẽ bạn nhận thấy một đánh bắt nhỏ? Hãy kiểm tra:

Tọa độ vector, như trong bài toán trước! Trả lời: .

Ngoài tọa độ, còn có một cách khác để tính tích vô hướng, đó là thông qua độ dài của vectơ và cosin của góc giữa chúng:

Biểu thị góc giữa các vectơ và.

Nghĩa là, tích vô hướng bằng tích độ dài của các vectơ và cosin của góc giữa chúng.

Tại sao chúng ta cần công thức thứ hai này, nếu chúng ta có công thức thứ nhất, đơn giản hơn nhiều, ít nhất là không có cosin trong đó. Và nó cần thiết để từ công thức thứ nhất và thứ hai, bạn và tôi có thể suy ra cách tìm góc giữa các vectơ!

Hãy nhớ công thức tính độ dài của vectơ!

Sau đó, nếu tôi thay thế dữ liệu này vào công thức tích vô hướng, tôi nhận được:

Nhưng mặt khác:

Vậy bạn và tôi đã nhận được gì? Bây giờ chúng ta đã có công thức tính góc giữa hai vectơ! Đôi khi nó cũng được viết như thế này cho ngắn gọn:

Tức là thuật toán tính góc giữa các vectơ như sau:

1. Tính tích vô hướng thông qua tọa độ
2. Tìm độ dài của các vectơ và nhân chúng
3. Chia kết quả của điểm 1 cho kết quả của điểm 2

Hãy thực hành với các ví dụ:

1. Tìm góc giữa mí mắt và. Đưa ra câu trả lời bằng grad-du-sah.

2. Trong điều kiện của bài toán trước, hãy tìm cosin giữa các vectơ

Hãy làm điều này: Tôi sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề đầu tiên và cố gắng tự giải quyết vấn đề thứ hai! Đồng ý? Vậy thì hãy bắt đầu!

1. Những vectơ này là bạn cũ của chúng ta. Chúng tôi đã tính tích vô hướng của họ và nó bằng nhau. Tọa độ của chúng là: , . Sau đó, chúng tôi tìm thấy độ dài của chúng:

Sau đó, chúng ta tìm cosin giữa các vectơ:

Cosin của góc là gì? Đây là góc.

Trả lời:

Bây giờ hãy tự mình giải quyết vấn đề thứ hai rồi so sánh! Tôi sẽ chỉ đưa ra một giải pháp rất ngắn gọn:

2. có tọa độ, có tọa độ.

Gọi là góc giữa các vectơ và sau đó

Trả lời:

Cần lưu ý rằng các bài toán trực tiếp trên vectơ và phương pháp tọa độ trong phần B của đề thi khá hiếm gặp. Tuy nhiên, phần lớn các bài toán C2 có thể được giải dễ dàng bằng cách đưa ra hệ tọa độ. Vì vậy, bạn có thể coi bài viết này là nền tảng, trên cơ sở đó chúng ta sẽ tạo ra những công trình khá thông minh mà chúng ta sẽ cần để giải quyết các vấn đề phức tạp.

Tọa độ và Vectơ. MỨC TRUNG BÌNH

Tôi và bạn tiếp tục nghiên cứu phương pháp tọa độ. Trong phần trước, chúng tôi đã rút ra một số công thức quan trọng cho phép bạn:

1. Tìm tọa độ vectơ
2. Tìm độ dài của một vectơ (cách khác: khoảng cách giữa hai điểm)
3. Cộng và trừ các vectơ. Nhân chúng với một số thực
4. Tìm trung điểm của một đoạn
5. Tính tích số chấm của vectơ
6. Tìm góc giữa các vectơ

Tất nhiên, toàn bộ phương pháp tọa độ không phù hợp với 6 điểm này. Nó làm nền tảng cho một môn khoa học như hình học giải tích mà bạn sẽ làm quen ở trường đại học. Tôi chỉ muốn xây dựng một nền tảng cho phép bạn giải quyết vấn đề trong một trạng thái duy nhất. bài thi. Chúng ta đã giải quyết xong các nhiệm vụ của Phần B. Giờ đã đến lúc chuyển sang một cấp độ hoàn toàn mới! Bài viết này sẽ tập trung vào một phương pháp giải các bài toán C2 trong đó chuyển sang phương pháp tọa độ là hợp lý. Tính hợp lý này được xác định bởi những gì cần tìm trong bài toán và những con số nào được đưa ra. Vì vậy, tôi sẽ sử dụng phương pháp tọa độ nếu câu hỏi là:

1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng
2. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
3. Tìm góc giữa hai đường thẳng
4. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
5. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
6. Tìm khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng
7. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng

Nếu hình trong đề bài là một vật quay (quả bóng, hình trụ, hình nón...)

Các số liệu phù hợp cho phương pháp tọa độ là:

1. Hình chữ nhật song song
2. Kim tự tháp (tam giác, tứ giác, lục giác)

Cũng theo kinh nghiệm của tôi việc sử dụng phương pháp tọa độ là không phù hợp:

1. Tìm diện tích mặt cắt ngang
2. Tính toán khối lượng cơ thể

Tuy nhiên, cần lưu ý ngay rằng ba tình huống “bất lợi” đối với phương pháp tọa độ là khá hiếm trong thực tế. Trong hầu hết các nhiệm vụ, nó có thể trở thành vị cứu tinh của bạn, đặc biệt nếu bạn không giỏi về các công trình ba chiều (đôi khi có thể khá phức tạp).

Tất cả những số liệu tôi liệt kê ở trên là gì? Chúng không còn phẳng nữa, chẳng hạn như hình vuông, hình tam giác, hình tròn, mà rất đồ sộ! Theo đó, chúng ta cần xem xét không phải hệ tọa độ hai chiều mà là hệ tọa độ ba chiều. Việc xây dựng nó khá dễ dàng: ngoài trục hoành độ và trục tọa độ, chúng tôi sẽ giới thiệu một trục khác, trục ứng dụng. Hình vẽ sơ đồ cho thấy vị trí tương đối của chúng:

Tất cả chúng đều vuông góc với nhau và cắt nhau tại một điểm mà chúng ta gọi là gốc tọa độ. Như trước đây, chúng ta sẽ biểu thị trục hoành, trục hoành - , và trục ứng dụng được giới thiệu - .

Nếu trước đây mỗi điểm trên mặt phẳng được đặc trưng bởi hai số - hoành độ và tọa độ, thì mỗi điểm trong không gian đã được mô tả bằng ba số - hoành độ, tọa độ và ứng dụng. Ví dụ:

Theo đó, hoành độ của một điểm bằng nhau, tọa độ là , và ứng dụng là .

Đôi khi trục hoành của một điểm còn được gọi là hình chiếu của một điểm lên trục hoành, tọa độ - hình chiếu của một điểm lên trục tọa độ, và ứng dụng - hình chiếu của một điểm lên trục ứng dụng. Theo đó, nếu cho một điểm thì điểm có tọa độ:

gọi là hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng

gọi là hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: tất cả các công thức rút ra cho trường hợp hai chiều có hợp lệ trong không gian không? Câu trả lời là có, họ đều công bằng và có ngoại hình giống nhau. Đối với một chi tiết nhỏ. Tôi nghĩ bạn đã đoán được đó là cái nào rồi. Trong tất cả các công thức, chúng ta sẽ phải thêm một số hạng nữa chịu trách nhiệm về trục ứng dụng. Cụ thể là.

1. Nếu cho hai điểm: , thì:

• Tọa độ vectơ:
• Khoảng cách giữa hai điểm (hoặc độ dài vectơ)
• Trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ

2. Nếu cho trước hai vectơ: và, thì:

• Tích vô hướng của chúng bằng:
• Cosin của góc giữa các vectơ bằng:

Tuy nhiên, không gian không đơn giản như vậy. Như bạn hiểu, việc thêm một tọa độ nữa sẽ mang lại sự đa dạng đáng kể trong phạm vi của các nhân vật “sống” trong không gian này. Và để tường thuật thêm, tôi sẽ cần giới thiệu một số, nói một cách đại khái, “sự khái quát hóa” của đường thẳng. Sự “khái quát hóa” này sẽ là một mặt phẳng. Bạn biết gì về máy bay? Hãy thử trả lời câu hỏi máy bay là gì? Rất khó để nói. Tuy nhiên, tất cả chúng ta đều tưởng tượng bằng trực giác nó trông như thế nào:

Nói một cách đại khái, đây là một loại “tấm” vô tận mắc kẹt trong không gian. “Vô cực” nên hiểu là mặt phẳng trải dài về mọi hướng, tức là diện tích của nó bằng vô cùng. Tuy nhiên, lời giải thích “thực tế” này không đưa ra một chút ý tưởng nào về cấu trúc của mặt phẳng. Và chính cô ấy sẽ là người quan tâm đến chúng tôi.

Chúng ta hãy nhớ một trong những tiên đề cơ bản của hình học:

• một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt trên một mặt phẳng và chỉ có một điểm:

Hoặc tương tự của nó trong không gian:

Tất nhiên, bạn nhớ cách rút ra phương trình của một đường thẳng từ hai điểm cho trước; không khó chút nào: nếu điểm đầu tiên có tọa độ: và điểm thứ hai thì phương trình của đường thẳng sẽ như sau:

Bạn đã học cái này vào năm lớp 7. Trong không gian, phương trình đường thẳng có dạng như sau: Cho hai điểm có tọa độ: , khi đó phương trình đường thẳng đi qua chúng có dạng:

Ví dụ: một đường đi qua các điểm:

Điều này nên được hiểu như thế nào? Điều này nên hiểu như sau: một điểm nằm trên đường thẳng nếu tọa độ của nó thỏa mãn hệ sau:

Chúng ta sẽ không quan tâm nhiều đến phương trình của một đường thẳng nhưng chúng ta cần chú ý đến khái niệm rất quan trọng về vectơ chỉ phương của đường thẳng. - bất kỳ vectơ nào khác 0 nằm trên một đường thẳng cho trước hoặc song song với nó.

Ví dụ: cả hai vectơ đều là vectơ chỉ phương của một đường thẳng. Giả sử một điểm nằm trên một đường thẳng và là vectơ chỉ phương của nó. Khi đó phương trình của đường thẳng có thể được viết dưới dạng sau:

Một lần nữa, tôi sẽ không quan tâm lắm đến phương trình của đường thẳng, nhưng tôi thực sự cần bạn nhớ vectơ chỉ phương là gì! Lại: đây là BẤT KỲ vectơ nào khác 0 nằm trên một đường thẳng hoặc song song với nó.

Rút phương trình mặt phẳng dựa trên ba điểm cho trước không còn quá tầm thường nữa và vấn đề này thường không được đề cập đến trong các khóa học ở trường trung học. Nhưng vô ích! Kỹ thuật này rất quan trọng khi chúng ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán phức tạp. Tuy nhiên, tôi cho rằng bạn đang háo hức muốn học điều gì đó mới? Hơn nữa, bạn sẽ có thể gây ấn tượng với giáo viên của mình ở trường đại học khi biết cách sử dụng một kỹ thuật thường được học trong khóa học hình học giải tích. Vì vậy, hãy bắt đầu.

Phương trình của mặt phẳng không quá khác biệt so với phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng, cụ thể là nó có dạng:

một số số (không phải tất cả đều bằng 0), nhưng các biến, ví dụ: v.v. Như bạn có thể thấy, phương trình của mặt phẳng không khác lắm so với phương trình của đường thẳng (hàm tuyến tính). Tuy nhiên, hãy nhớ những gì bạn và tôi đã tranh luận? Chúng ta đã nói rằng nếu chúng ta có ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng thì phương trình của mặt phẳng có thể được xây dựng lại một cách duy nhất từ ​​chúng. Nhưng làm thế nào? Tôi sẽ cố gắng giải thích nó cho bạn.

Vì phương trình của mặt phẳng là:

Và các điểm đều thuộc mặt phẳng này thì khi thay tọa độ của từng điểm vào phương trình của mặt phẳng ta sẽ nhận được đẳng thức đúng:

Vì vậy cần phải giải ba phương trình ẩn số! Vấn đề nan giải! Tuy nhiên, bạn luôn có thể giả định rằng (để làm được điều này bạn cần chia cho). Như vậy, ta thu được ba phương trình với ba ẩn số:

Tuy nhiên, chúng ta sẽ không giải hệ thống như vậy mà sẽ viết ra biểu thức bí ẩn dẫn đến hệ thống đó:

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(mảng)) \right| = 0\]

Dừng lại! Đây là cái gì? Một số mô-đun rất bất thường! Tuy nhiên, đối tượng bạn nhìn thấy trước mặt không liên quan gì đến mô-đun. Đối tượng này được gọi là định thức bậc ba. Từ giờ trở đi, khi làm việc với phương pháp tọa độ trên mặt phẳng, bạn sẽ rất thường xuyên gặp phải những định thức tương tự. Yếu tố quyết định bậc ba là gì? Điều kỳ lạ là nó chỉ là một con số. Vẫn còn phải hiểu con số cụ thể nào chúng ta sẽ so sánh với định thức.

Trước tiên chúng ta hãy viết định thức bậc ba ở dạng tổng quát hơn:

Một số con số ở đâu. Hơn nữa, theo chỉ mục đầu tiên, chúng tôi muốn nói đến số hàng và theo chỉ mục, chúng tôi muốn nói đến số cột. Ví dụ: có nghĩa là số này nằm ở giao điểm của hàng thứ hai và cột thứ ba. Chúng ta hãy đặt ra câu hỏi sau: chúng ta sẽ tính toán một định thức như vậy một cách chính xác như thế nào? Tức là chúng ta sẽ so sánh con số cụ thể nào với nó? Đối với định thức bậc ba, có một quy tắc tam giác heuristic (trực quan), nó trông như thế này:

1. Tích của các phần tử của đường chéo chính (từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải) tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ nhất “vuông góc” với đường chéo chính tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ hai “vuông góc” với đường chéo chính
2. Tích của các phần tử của đường chéo phụ (từ góc trên bên phải đến góc dưới bên trái) tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ nhất “vuông góc” với đường chéo phụ tích của các phần tử tạo thành tam giác thứ hai “vuông góc” với đường chéo thứ cấp
3. Khi đó định thức bằng hiệu giữa các giá trị thu được ở bước và

Nếu chúng ta viết tất cả những điều này bằng số, chúng ta sẽ nhận được biểu thức sau:

Tuy nhiên, bạn không cần phải nhớ phương pháp tính toán ở dạng này; chỉ cần giữ trong đầu các hình tam giác và ý tưởng về cái gì cộng với cái gì và cái gì sau đó trừ đi cái gì).

Hãy minh họa phương pháp tam giác bằng một ví dụ:

1. Tính định thức:

Hãy tìm hiểu những gì chúng ta thêm và những gì chúng ta trừ:

Các điều khoản đi kèm với điểm cộng:

Đây là đường chéo chính: tích của các phần tử bằng

Tam giác thứ nhất, “vuông góc với đường chéo chính: tích các phần tử bằng

Tam giác thứ hai “vuông góc với đường chéo chính: tích các phần tử bằng

Cộng ba số:

Các điều khoản đi kèm với dấu trừ

Đây là đường chéo cạnh: tích của các phần tử bằng

Tam giác đầu tiên “vuông góc với đường chéo phụ: tích các phần tử bằng

Tam giác thứ hai “vuông góc với đường chéo phụ: tích các phần tử bằng

Cộng ba số:

Tất cả những gì còn lại phải làm là trừ tổng các số hạng “cộng” khỏi tổng các số hạng “trừ”:

Như vậy,

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp hay siêu nhiên trong việc tính định thức bậc ba. Điều quan trọng là phải nhớ về hình tam giác và không mắc lỗi số học. Bây giờ hãy thử tự tính toán:

Nhiệm vụ: tìm khoảng cách giữa các điểm được chỉ định:

1. Tam giác thứ nhất vuông góc với đường chéo chính:
2. Tam giác thứ hai vuông góc với đường chéo chính:
3. Tổng các số hạng có dấu cộng:
4. Tam giác thứ nhất vuông góc với đường chéo phụ:
5. Tam giác thứ hai vuông góc với đường chéo cạnh:
6. Tổng các số hạng có dấu trừ:
7. Tổng các số hạng có dấu cộng trừ đi tổng các số hạng có dấu trừ:

Dưới đây là một vài yếu tố quyết định nữa, hãy tự tính toán giá trị của chúng và so sánh chúng với câu trả lời:

Câu trả lời:

Chà, mọi thứ có trùng hợp không? Tuyệt vời, sau đó bạn có thể tiếp tục! Nếu gặp khó khăn thì lời khuyên của tôi là: trên Internet có rất nhiều chương trình tính định thức trực tuyến. Tất cả những gì bạn cần là đưa ra định thức của riêng mình, tự tính toán rồi so sánh với kết quả tính toán của chương trình. Và cứ như vậy cho đến khi kết quả bắt đầu trùng khớp. Tôi chắc chắn rằng thời điểm này sẽ không mất nhiều thời gian để đến!

Bây giờ chúng ta hãy quay lại định thức mà tôi đã viết ra khi nói về phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước:

Tất cả những gì bạn cần là tính trực tiếp giá trị của nó (sử dụng phương pháp tam giác) và đặt kết quả về 0. Đương nhiên, vì đây là các biến nên bạn sẽ nhận được một số biểu thức phụ thuộc vào chúng. Chính biểu thức này sẽ là phương trình của một mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước không nằm trên cùng một đường thẳng!

Hãy minh họa điều này bằng một ví dụ đơn giản:

1. Xây dựng phương trình mặt phẳng đi qua các điểm

Chúng tôi biên soạn một định thức cho ba điểm sau:

Hãy đơn giản hóa:

Bây giờ chúng ta tính toán trực tiếp bằng quy tắc tam giác:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ phải| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua các điểm là:

Bây giờ hãy thử tự mình giải quyết một vấn đề và sau đó chúng ta sẽ thảo luận về vấn đề đó:

2. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm

Chà, bây giờ chúng ta hãy thảo luận về giải pháp:

Hãy tạo một định thức:

Và tính giá trị của nó:

Khi đó phương trình mặt phẳng có dạng:

Hoặc giảm đi, ta được:

Bây giờ có hai nhiệm vụ để tự kiểm soát:

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm:

Câu trả lời:

Có phải mọi thứ đều trùng hợp? Một lần nữa, nếu có một số khó khăn nhất định, thì lời khuyên của tôi là: lấy ba điểm trong đầu bạn (với khả năng cao là chúng sẽ không nằm trên cùng một đường thẳng), hãy xây dựng một mặt phẳng dựa trên chúng. Và sau đó bạn tự kiểm tra trực tuyến. Ví dụ: trên trang web:

Tuy nhiên, với sự trợ giúp của định thức, chúng ta sẽ xây dựng không chỉ phương trình của mặt phẳng. Hãy nhớ rằng, tôi đã nói với bạn rằng không chỉ tích vô hướng được xác định cho vectơ. Ngoài ra còn có tích vectơ và tích hỗn hợp. Và nếu tích vô hướng của hai vectơ là một số thì tích vectơ của hai vectơ sẽ là một vectơ và vectơ này sẽ vuông góc với các vectơ đã cho:

Hơn nữa, mô-đun của nó sẽ bằng diện tích của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ và. Chúng ta sẽ cần vectơ này để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Làm thế nào chúng ta có thể tính tích vectơ của vectơ và nếu tọa độ của chúng được cho trước? Định thức bậc ba một lần nữa lại hỗ trợ chúng ta. Tuy nhiên, trước khi chuyển sang thuật toán tính tích vectơ, tôi phải thực hiện một phép hồi quy nhỏ.

Sự lạc đề này liên quan đến các vectơ cơ sở.

Chúng được thể hiện dưới dạng sơ đồ trong hình:

Tại sao bạn nghĩ chúng được gọi là cơ bản? Vấn đề là:

Hoặc trong hình:

Giá trị của công thức này là hiển nhiên, bởi vì:

tác phẩm nghệ thuật vector

Bây giờ tôi có thể bắt đầu giới thiệu sản phẩm chéo:

Tích vectơ của hai vectơ là một vectơ, được tính theo quy tắc sau:

Bây giờ hãy đưa ra một số ví dụ về tính tích chéo:

Ví dụ 1: Tìm tích chéo của vectơ:

Giải: Ta tạo thành định thức:

Và tôi tính toán:

Bây giờ từ việc viết qua các vectơ cơ sở, tôi sẽ quay lại ký hiệu vectơ thông thường:

Như vậy:

Bây giờ hãy thử nó.

Sẵn sàng? Chúng tôi kiểm tra:

Và theo truyền thống hai nhiệm vụ kiểm soát:

1. Tìm tích vectơ của các vectơ sau:
2. Tìm tích vectơ của các vectơ sau:

Câu trả lời:

Tích hỗn hợp của ba vectơ

Công thức cuối cùng tôi cần là tích hỗn hợp của ba vectơ. Nó, giống như một đại lượng, là một con số. Có hai cách để tính toán nó. - thông qua định thức, - thông qua tích hỗn hợp.

Cụ thể, chúng ta hãy cho ba vectơ:

Khi đó tích hỗn hợp của ba vectơ, ký hiệu là, có thể được tính như sau:

1. - tức là tích hỗn số là tích vô hướng của một vectơ và tích vectơ của hai vectơ khác

Ví dụ: tích hỗn hợp của ba vectơ là:

Hãy thử tự tính toán bằng cách sử dụng tích vectơ và đảm bảo rằng kết quả khớp với nhau!

Và một lần nữa, hai ví dụ cho các giải pháp độc lập:

Câu trả lời:

Lựa chọn hệ tọa độ

Bây giờ chúng ta đã có đủ nền tảng kiến ​​thức cần thiết để giải các bài toán lập thể phức tạp trong hình học. Tuy nhiên, trước khi chuyển trực tiếp sang các ví dụ và thuật toán để giải chúng, tôi tin rằng sẽ hữu ích nếu bạn tập trung vào câu hỏi sau: chính xác thì làm thế nào chọn một hệ tọa độ cho một hình cụ thể. Rốt cuộc, việc lựa chọn vị trí tương đối của hệ tọa độ và hình trong không gian cuối cùng sẽ quyết định mức độ phức tạp của các phép tính.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng trong phần này chúng tôi xem xét các số liệu sau:

1. Hình chữ nhật song song
2. Lăng trụ thẳng (tam giác, lục giác...)
3. Kim tự tháp (tam giác, tứ giác)
4. Tứ diện (giống như hình chóp tam giác)

Đối với hình chữ nhật có hình song song hoặc hình lập phương, tôi khuyên bạn nên xây dựng như sau:

Tức là tôi sẽ đặt hình “trong góc”. Khối lập phương và hình bình hành là những hình vẽ rất đẹp. Đối với họ, bạn luôn có thể dễ dàng tìm thấy tọa độ các đỉnh của nó. Ví dụ: nếu (như trong hình)

thì tọa độ các đỉnh như sau:

Tất nhiên, bạn không cần phải nhớ điều này, nhưng nên nhớ cách tốt nhất để đặt một hình khối hoặc hình chữ nhật theo hình song song.

lăng kính thẳng

Lăng kính là một hình ảnh có hại hơn. Nó có thể được định vị trong không gian theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, tùy chọn sau đây đối với tôi có vẻ dễ chấp nhận nhất:

Lăng kính tam giác:

Nghĩa là, chúng ta đặt một trong các cạnh của tam giác hoàn toàn trên trục và một trong các đỉnh trùng với gốc tọa độ.

Lăng kính lục giác:

Nghĩa là, một trong các đỉnh trùng với gốc tọa độ và một trong các cạnh nằm trên trục.

Kim tự tháp tứ giác và lục giác:

Tình huống tương tự như một khối lập phương: chúng ta căn chỉnh hai cạnh của đáy với các trục tọa độ và căn chỉnh một trong các đỉnh với gốc tọa độ. Khó khăn nhỏ duy nhất là tính toán tọa độ của điểm.

Đối với hình chóp lục giác - giống như đối với hình lăng trụ lục giác. Nhiệm vụ chính sẽ lại là tìm tọa độ của đỉnh.

Tứ diện (hình chóp tam giác)

Tình huống rất giống với tình huống tôi đưa ra cho lăng trụ tam giác: một đỉnh trùng với gốc tọa độ, một cạnh nằm trên trục tọa độ.

Chà, bây giờ bạn và tôi cuối cùng cũng sắp bắt đầu giải quyết được vấn đề. Từ những gì tôi đã nói ở đầu bài, bạn có thể rút ra kết luận sau: hầu hết các bài toán C2 được chia thành 2 loại: bài toán về góc và bài toán về khoảng cách. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét vấn đề tìm góc. Chúng lần lượt được chia thành các loại sau (khi độ phức tạp tăng lên):

Các vấn đề về tìm góc

1. Tìm góc giữa hai đường thẳng
2. Tìm góc giữa hai mặt phẳng

Chúng ta hãy xem xét các vấn đề này một cách tuần tự: hãy bắt đầu bằng việc tìm góc giữa hai đường thẳng. Chà, hãy nhớ rằng, trước đây bạn và tôi chưa giải được những ví dụ tương tự sao? Bạn có nhớ không, chúng ta đã có một cái gì đó tương tự... Chúng ta đang tìm góc giữa hai vectơ. Để tôi nhắc bạn, nếu cho hai vectơ: và, thì góc giữa chúng được tìm từ hệ thức:

Bây giờ mục tiêu của chúng ta là tìm góc giữa hai đường thẳng. Hãy nhìn vào “bức tranh phẳng”:

Hai đường thẳng cắt nhau thì ta được bao nhiêu góc? Chỉ một vài điều thôi. Đúng, chỉ có hai trong số chúng không bằng nhau, trong khi những cái còn lại thẳng đứng với chúng (và do đó trùng với chúng). Vậy góc giữa hai đường thẳng cần xét là góc nào: hay? Ở đây quy tắc là: góc giữa hai đường thẳng luôn không quá độ. Nghĩa là trong hai góc ta sẽ luôn chọn góc có số đo nhỏ nhất. Nghĩa là, trong hình này góc giữa hai đường thẳng bằng nhau. Để không phải bận tâm mỗi lần tìm góc nhỏ nhất trong hai góc, các nhà toán học khôn ngoan đã đề xuất sử dụng một mô đun. Do đó, góc giữa hai đường thẳng được xác định theo công thức:

Bạn, với tư cách là một độc giả chăm chú, chắc hẳn đã đặt câu hỏi: chính xác thì chúng ta lấy những con số này ở đâu để tính cosin của một góc? Trả lời: chúng ta sẽ lấy chúng từ vectơ chỉ phương của các đường thẳng! Như vậy thuật toán tìm góc giữa hai đường thẳng như sau:

1. Chúng ta áp dụng công thức 1.

Hoặc chi tiết hơn:

1. Ta tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ nhất
2. Ta tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng thứ hai
3. Chúng tôi tính toán mô đun tích vô hướng của chúng
4. Chúng tôi đang tìm kiếm độ dài của vectơ đầu tiên
5. Chúng tôi đang tìm kiếm độ dài của vectơ thứ hai
6. Nhân kết quả của điểm 4 với kết quả của điểm 5
7. Ta chia kết quả của điểm 3 cho kết quả của điểm 6. Ta được cosin của góc giữa các đường thẳng
8. Nếu kết quả này cho phép chúng ta tính toán chính xác góc thì chúng ta sẽ tìm nó
9. Ngược lại ta viết qua cung cosin

Chà, bây giờ là lúc chuyển sang các vấn đề: Tôi sẽ trình bày chi tiết giải pháp cho hai vấn đề đầu tiên, tôi sẽ trình bày ngắn gọn giải pháp cho vấn đề khác, và đối với hai vấn đề cuối cùng, tôi sẽ chỉ đưa ra câu trả lời cho bạn; tự mình ra tất cả các tính toán cho họ.

Nhiệm vụ:

1. Trong tet-ra-ed-re bên phải, hãy tìm góc giữa chiều cao của tet-ra-ed-ra và cạnh giữa.

2. Trong hình pi-ra-mi-de sáu góc bên phải, trăm os-no-va-niya bằng nhau, các cạnh bên bằng nhau, tìm góc giữa các đường thẳng và.

3. Độ dài các cạnh của hình pi-ra-mi-dy bốn than bên phải bằng nhau. Tìm góc giữa các đường thẳng và nếu từ vết cắt - bạn đang có pi-ra-mi-dy đã cho, điểm là se-re-di-on các sườn bo-co- giây của nó

4. Trên cạnh của hình lập phương có một điểm sao cho Tìm góc giữa hai đường thẳng và

5. Điểm - trên các cạnh của hình lập phương Tìm góc giữa các đường thẳng và.

Không phải ngẫu nhiên mà tôi sắp xếp nhiệm vụ theo thứ tự như vậy. Mặc dù bạn vẫn chưa có thời gian để bắt đầu điều hướng phương pháp tọa độ, nhưng bản thân tôi sẽ phân tích những số liệu “có vấn đề” nhất và tôi sẽ để bạn giải quyết khối lập phương đơn giản nhất! Dần dần bạn sẽ phải học cách làm việc với tất cả các số liệu; tôi sẽ tăng độ phức tạp của các nhiệm vụ từ chủ đề này sang chủ đề khác.

Hãy bắt đầu giải quyết vấn đề:

1. Vẽ một khối tứ diện, đặt nó vào hệ tọa độ như tôi đã đề xuất trước đó. Vì tứ diện là đều nên tất cả các mặt của nó (kể cả đáy) đều là hình tam giác đều. Vì chúng ta không biết chiều dài của cạnh nên tôi có thể coi nó bằng nhau. Tôi nghĩ bạn hiểu rằng góc sẽ không thực sự phụ thuộc vào mức độ “kéo dài” của khối tứ diện của chúng ta?. Tôi cũng sẽ vẽ chiều cao và đường trung tuyến trong tứ diện. Trong quá trình thực hiện, tôi sẽ vẽ phần đế của nó (nó cũng sẽ hữu ích cho chúng ta).

Tôi cần tìm góc giữa và. Chúng ta biết gì? Chúng ta chỉ biết tọa độ của điểm. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm tọa độ của các điểm. Bây giờ chúng ta nghĩ: một điểm là giao điểm của các đường cao (hoặc đường phân giác hoặc đường trung tuyến) của tam giác. Và một dấu chấm là một điểm nổi lên. Điểm nằm ở giữa đoạn thẳng. Khi đó cuối cùng chúng ta cần tìm: tọa độ các điểm: .

Hãy bắt đầu với điều đơn giản nhất: tọa độ của một điểm. Nhìn vào hình vẽ: Rõ ràng ứng dụng của một điểm bằng 0 (điểm nằm trên mặt phẳng). Tọa độ của nó bằng nhau (vì nó là trung vị). Việc tìm thấy abscissa của nó khó khăn hơn. Tuy nhiên, điều này có thể thực hiện dễ dàng dựa trên định lý Pythagore: Xét một tam giác. Cạnh huyền của nó bằng nhau và một cạnh của nó bằng nhau Khi đó:

Cuối cùng ta có: .

Bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ của điểm. Rõ ràng là ứng dụng của nó lại bằng 0, và tọa độ của nó giống với tọa độ của điểm. Hãy tìm abscissa của nó. Điều này được thực hiện khá tầm thường nếu bạn nhớ rằng chiều cao của một tam giác đều tại giao điểm được chia theo tỷ lệ, tính từ trên xuống. Vì: , thì hoành độ cần thiết của điểm, bằng độ dài của đoạn thẳng, bằng: . Vậy tọa độ của điểm là:

Hãy tìm tọa độ của điểm. Rõ ràng là hoành độ và tọa độ của nó trùng với hoành độ và tọa độ của điểm. Và ứng dụng bằng với độ dài của đoạn. - đây là một trong những chân của tam giác. Cạnh huyền của một tam giác là một đoạn - một chân. Nó được tìm kiếm vì những lý do mà tôi đã in đậm:

Điểm nằm ở giữa đoạn thẳng. Khi đó chúng ta cần nhớ công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng:

Vậy là xong, bây giờ chúng ta có thể tìm tọa độ của các vectơ chỉ phương:

Chà, mọi thứ đã sẵn sàng: chúng tôi thay thế tất cả dữ liệu vào công thức:

Như vậy,

Trả lời:

Bạn không nên sợ hãi trước những câu trả lời “đáng sợ” như vậy: đối với các bài toán C2 thì đây là thông lệ. Tôi thà ngạc nhiên trước câu trả lời “đẹp” ở phần này còn hơn. Ngoài ra, như bạn đã nhận thấy, thực tế tôi không dùng đến bất cứ điều gì khác ngoài định lý Pythagore và tính chất đường cao của một tam giác đều. Nghĩa là, để giải quyết vấn đề lập thể, tôi đã sử dụng phương pháp lập thể ở mức tối thiểu. Lợi ích trong việc này bị “dập tắt” một phần bởi những tính toán khá cồng kềnh. Nhưng chúng khá thuật toán!

2. Chúng ta hãy mô tả một hình chóp lục giác đều cùng với hệ tọa độ và đáy của nó:

Chúng ta cần tìm góc giữa các đường thẳng và. Vì vậy, nhiệm vụ của chúng ta là tìm tọa độ của các điểm: . Chúng ta sẽ tìm tọa độ của ba điểm cuối cùng bằng cách sử dụng một hình vẽ nhỏ và chúng ta sẽ tìm tọa độ của đỉnh thông qua tọa độ của điểm. Có rất nhiều việc phải làm, nhưng chúng ta cần phải bắt đầu!

a) Tọa độ: rõ ràng là ứng dụng và tọa độ của nó bằng 0. Chúng ta hãy tìm abscissa. Để làm điều này, hãy xem xét một tam giác vuông. Than ôi, trong đó chúng ta chỉ biết đến cạnh huyền, bằng nhau. Chúng ta sẽ cố gắng tìm chân (vì rõ ràng là chiều dài gấp đôi của chân sẽ cho chúng ta cơ hoành của điểm). Làm thế nào chúng ta có thể tìm kiếm nó? Chúng ta hãy nhớ chúng ta có hình gì ở đáy kim tự tháp? Đây là một hình lục giác đều. Điều này có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là tất cả các cạnh và mọi góc đều bằng nhau. Chúng ta cần tìm một góc như vậy. Có ý tưởng gì không? Có rất nhiều ý tưởng, nhưng có một công thức:

Tổng các góc của một n-giác đều là .

Do đó, tổng các góc của một hình lục giác đều bằng độ. Khi đó mỗi góc bằng:

Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh một lần nữa. Rõ ràng đoạn thẳng đó là phân giác của một góc. Khi đó góc bằng độ. Sau đó:

Thế thì từ đâu tới.

Như vậy có tọa độ

b) Bây giờ chúng ta dễ dàng tìm được tọa độ của điểm: .

c) Tìm tọa độ điểm. Vì trục hoành của nó trùng với chiều dài của đoạn đó nên nó bằng nhau. Việc tìm tọa độ cũng không khó lắm: nếu chúng ta nối các điểm và chỉ định giao điểm của đường thẳng như, chẳng hạn, . (tự mình làm cách xây dựng đơn giản). Khi đó, tọa độ của điểm B bằng tổng độ dài các đoạn. Chúng ta hãy nhìn vào hình tam giác một lần nữa. Sau đó

Khi đó điểm có tọa độ

d) Bây giờ hãy tìm tọa độ của điểm. Xét hình chữ nhật và chứng minh rằng tọa độ của điểm là:

e) Vẫn còn phải tìm tọa độ của đỉnh. Rõ ràng là hoành độ và tọa độ của nó trùng với hoành độ và tọa độ của điểm. Hãy tìm ứng dụng. Kể từ đó. Hãy xem xét một tam giác vuông. Theo các điều kiện của vấn đề, một cạnh bên. Đây là cạnh huyền của tam giác của tôi. Khi đó chiều cao của kim tự tháp là một chân.

Khi đó điểm có tọa độ:

Vâng, thế là xong, tôi đã có tọa độ của tất cả các điểm mà tôi quan tâm. Tôi đang tìm tọa độ các vectơ chỉ đạo của đường thẳng:

Chúng tôi đang tìm kiếm góc giữa các vectơ này:

Trả lời:

Một lần nữa, khi giải bài toán này, tôi đã không sử dụng bất kỳ kỹ thuật phức tạp nào ngoài công thức tính tổng các góc của một n-giác đều, cũng như định nghĩa cosin và sin của một tam giác vuông.

3. Vì một lần nữa chúng ta không cho trước độ dài của các cạnh trong hình chóp nên tôi sẽ coi chúng bằng một. Do đó, vì TẤT CẢ các cạnh, chứ không chỉ các cạnh bên, đều bằng nhau, nên ở đáy của kim tự tháp và tôi có một hình vuông, và các mặt bên là các hình tam giác đều. Chúng ta hãy vẽ một kim tự tháp như vậy, cũng như đáy của nó trên một mặt phẳng, lưu ý tất cả dữ liệu được đưa ra trong nội dung của bài toán:

Chúng ta đang tìm góc giữa và. Tôi sẽ thực hiện những phép tính rất ngắn gọn khi tìm kiếm tọa độ của các điểm. Bạn sẽ cần phải “giải mã” chúng:

b) - phần giữa của đoạn. Tọa độ của nó:

c) Tôi sẽ tìm độ dài của đoạn thẳng bằng định lý Pythagore trong một tam giác. Tôi có thể tìm thấy nó bằng định lý Pythagore trong một tam giác.

Tọa độ:

d) - phần giữa của đoạn. tọa độ của nó là

e) Tọa độ vectơ

f) Tọa độ vectơ

g) Tìm góc:

Hình lập phương là hình đơn giản nhất. Tôi chắc chắn bạn sẽ tự mình tìm ra nó. Đáp án câu 4 và 5 như sau:

Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Chà, thời gian dành cho những câu đố đơn giản đã qua! Bây giờ các ví dụ sẽ còn phức tạp hơn nữa. Để tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta thực hiện như sau:

1. Sử dụng ba điểm chúng ta xây dựng một phương trình của mặt phẳng
   ,
   sử dụng định thức bậc ba.
2. Sử dụng hai điểm, ta tìm tọa độ vectơ chỉ hướng của đường thẳng:
3. Ta áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Như bạn có thể thấy, công thức này rất giống với công thức chúng ta sử dụng để tìm góc giữa hai đường thẳng. Cấu trúc ở bên phải đơn giản là giống nhau, và ở bên trái, chúng ta đang tìm kiếm sin chứ không phải cos như trước. Chà, một hành động khó chịu đã được thêm vào - tìm kiếm phương trình của mặt phẳng.

Chúng ta đừng trì hoãn ví dụ giải pháp:

1. Chính-nhưng-va-ni-em lăng kính trực tiếp-chúng ta bằng-nghèo-ren-tam giác-nick-name của bạn-và-lăng kính đó-chúng ta đều bình đẳng. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2. Trong hình chữ nhật par-ral-le-le-pi-pe-de hướng Tây Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

3. Trong lăng trụ lục giác vuông, tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

4. Trong tam giác bên phải pi-ra-mi-de với os-no-va-ni-em của các xương sườn đã biết Tìm một góc, ob-ra-zo-van -phẳng ở đáy và thẳng, đi qua màu xám xương sườn và

5. Độ dài của tất cả các cạnh của một pi-ra-mi-dy tứ giác vuông có một đỉnh đều bằng nhau. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nếu điểm đó nằm ở giữa cạnh của hình pi-ra-mi-dy.

Một lần nữa, tôi sẽ giải quyết chi tiết hai vấn đề đầu tiên, vấn đề thứ ba một cách ngắn gọn và để hai vấn đề cuối cùng để bạn tự giải quyết. Ngoài ra, bạn đã phải giải quyết các hình chóp tam giác và tứ giác, nhưng vẫn chưa xử lý được lăng kính.

Giải pháp:

1. Chúng ta hãy mô tả một lăng kính và đế của nó. Hãy kết hợp nó với hệ tọa độ và ghi lại tất cả dữ liệu được đưa ra trong câu lệnh bài toán:

Tôi xin lỗi vì một số không tuân thủ tỷ lệ, nhưng để giải quyết vấn đề, trên thực tế, điều này không quá quan trọng. Chiếc máy bay chỉ đơn giản là "bức tường phía sau" của lăng kính của tôi. Chỉ cần đoán đơn giản rằng phương trình của mặt phẳng như vậy có dạng:

Tuy nhiên, điều này có thể được hiển thị trực tiếp:

Hãy chọn ba điểm tùy ý trên mặt phẳng này: ví dụ: .

Hãy lập phương trình mặt phẳng:

Bài tập dành cho bạn: hãy tự tính toán yếu tố quyết định này. Bạn đã thành công? Khi đó phương trình của mặt phẳng có dạng:

Hoặc chỉ

Như vậy,

Để giải ví dụ tôi cần tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vì điểm trùng với gốc tọa độ nên tọa độ của vectơ sẽ đơn giản trùng với tọa độ của điểm. Để làm được điều này, trước tiên chúng ta tìm tọa độ của điểm.

Để làm điều này, hãy xem xét một hình tam giác. Hãy vẽ chiều cao (còn được gọi là đường trung tuyến và đường phân giác) từ đỉnh. Vì tọa độ của điểm bằng. Để tìm hoành độ của điểm này, chúng ta cần tính độ dài của đoạn thẳng. Theo định lý Pytago ta có:

Khi đó điểm có tọa độ:

Dấu chấm là dấu chấm "nổi lên":

Khi đó tọa độ vectơ là:

Trả lời:

Như bạn có thể thấy, về cơ bản không có gì khó khăn khi giải những bài toán như vậy. Trên thực tế, quá trình này được đơn giản hóa hơn một chút nhờ tính “thẳng” của một hình như lăng kính. Bây giờ hãy chuyển sang ví dụ tiếp theo:

2. Vẽ một hình bình hành, vẽ một mặt phẳng và một đường thẳng trong đó, đồng thời vẽ riêng đáy dưới của nó:

Đầu tiên ta tìm phương trình của mặt phẳng: Tọa độ ba điểm nằm trong đó:

(hai tọa độ đầu tiên được lấy một cách rõ ràng và bạn có thể dễ dàng tìm thấy tọa độ cuối cùng từ hình ảnh từ điểm). Khi đó ta lập phương trình mặt phẳng:

Chúng tôi tính toán:

Ta đang tìm tọa độ của vectơ dẫn hướng: Rõ ràng tọa độ của nó trùng với tọa độ của điểm phải không? Làm thế nào để tìm tọa độ? Đây là tọa độ của điểm, được nâng lên dọc theo trục ứng dụng một đơn vị! . Sau đó, chúng tôi tìm kiếm góc mong muốn:

Trả lời:

3. Vẽ một hình chóp lục giác đều, sau đó vẽ một mặt phẳng và một đường thẳng trong đó.

Ở đây vẽ mặt phẳng còn có vấn đề, chưa kể giải được bài toán này, nhưng phương pháp tọa độ lại không quan tâm! Tính linh hoạt của nó là lợi thế chính của nó!

Mặt phẳng đi qua ba điểm: . Chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của họ:

1) . Hãy tự mình tìm ra tọa độ của hai điểm cuối cùng. Bạn sẽ cần phải giải bài toán kim tự tháp lục giác cho việc này!

2) Ta xây dựng phương trình mặt phẳng:

Ta đang tìm tọa độ của vectơ: . (Xem lại bài toán hình chóp tam giác!)

3) Tìm góc:

Trả lời:

Như bạn có thể thấy, không có gì khó khăn một cách siêu nhiên trong những nhiệm vụ này. Bạn chỉ cần phải rất cẩn thận với rễ. Tôi sẽ chỉ đưa ra câu trả lời cho hai vấn đề cuối cùng:

Như bạn có thể thấy, kỹ thuật giải bài toán ở mọi nơi đều giống nhau: nhiệm vụ chính là tìm tọa độ của các đỉnh và thay thế chúng vào các công thức nhất định. Chúng ta vẫn phải xét thêm một loại bài toán nữa để tính góc, đó là:

Tính góc giữa hai mặt phẳng

Thuật toán giải sẽ như sau:

1. Sử dụng ba điểm chúng ta tìm phương trình của mặt phẳng thứ nhất:
2. Sử dụng ba điểm còn lại, chúng ta tìm phương trình của mặt phẳng thứ hai:
3. Chúng ta áp dụng công thức:

Như bạn có thể thấy, công thức này rất giống với hai công thức trước, nhờ đó chúng ta đã tìm được góc giữa các đường thẳng và giữa đường thẳng và mặt phẳng. Vì vậy, sẽ không khó để bạn ghi nhớ điều này. Hãy chuyển sang phân tích các nhiệm vụ:

1. Cạnh đáy của hình lăng trụ tam giác vuông bằng nhau, đường kính của mặt bên bằng nhau. Tìm góc giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng trục của lăng kính.

2. Trong hình pi-ra-mi-de bốn góc có các cạnh bằng nhau, tìm sin của góc giữa mặt phẳng và xương phẳng đi qua điểm per-pen-di-ku- nói dối nhưng thẳng thắn.

3. Trong lăng kính bốn góc đều, các cạnh của đáy bằng nhau và các cạnh bên bằng nhau. Có một điểm ở rìa từ-me-che-on vậy đó. Tìm góc giữa hai mặt phẳng và

4. Trong một lăng trụ đứng tứ giác, các cạnh của đáy bằng nhau và các cạnh bên bằng nhau. Có một điểm trên cạnh tính từ điểm đó sao cho Tìm góc giữa hai mặt phẳng và.

5. Trong hình lập phương, hãy tìm hệ số góc giữa các mặt phẳng và

Giải pháp vấn đề:

1. Tôi vẽ một hình lăng trụ tam giác đều (một tam giác đều ở đáy) và đánh dấu trên đó các mặt phẳng xuất hiện trong lời giải:

Chúng ta cần tìm phương trình của hai mặt phẳng: Phương trình cơ số tầm thường: bạn có thể soạn định thức tương ứng bằng cách lấy ba điểm, nhưng tôi sẽ soạn ngay phương trình:

Bây giờ chúng ta hãy tìm phương trình Điểm có tọa độ Điểm - Vì là đường trung tuyến và đường cao của tam giác nên có thể dễ dàng tìm được bằng định lý Pytago trong tam giác. Khi đó điểm có tọa độ: Hãy tìm ứng dụng của điểm. Để làm được điều này, hãy xét một tam giác vuông.

Khi đó chúng ta có được tọa độ sau: Chúng ta soạn phương trình của mặt phẳng.

Ta tính góc giữa các mặt phẳng:

Trả lời:

2. Lập bản vẽ:

Điều khó khăn nhất là hiểu đây là loại mặt phẳng bí ẩn nào, đi vuông góc qua điểm. Vâng, điều quan trọng là, nó là gì? Điều chính là sự chú ý! Trong thực tế, đường thẳng vuông góc. Đường thẳng cũng vuông góc. Khi đó mặt phẳng đi qua hai đường thẳng này sẽ vuông góc với đường thẳng đó và đồng thời đi qua điểm. Mặt phẳng này cũng đi qua đỉnh kim tự tháp. Sau đó, chiếc máy bay mong muốn - Và chiếc máy bay đã được trao cho chúng tôi. Chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của các điểm.

Ta tìm tọa độ của điểm qua điểm. Từ bức tranh nhỏ có thể dễ dàng suy ra tọa độ của điểm sẽ như sau: Bây giờ còn lại những gì cần tìm để tìm tọa độ của đỉnh kim tự tháp? Bạn cũng cần phải tính chiều cao của nó. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng định lý Pythagore: trước tiên hãy chứng minh điều đó (một cách tầm thường từ các hình tam giác nhỏ tạo thành một hình vuông ở đáy). Vì theo điều kiện nên ta có:

Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng: tọa độ đỉnh:

Ta soạn phương trình mặt phẳng:

Bạn đã là một chuyên gia trong việc tính toán định thức. Không gặp khó khăn gì bạn sẽ nhận được:

Hoặc cách khác (nếu chúng ta nhân cả hai vế với căn bậc hai)

Bây giờ hãy tìm phương trình của mặt phẳng:

(Bạn vẫn chưa quên cách chúng ta có được phương trình của một mặt phẳng phải không? Nếu bạn không hiểu dấu trừ một này đến từ đâu, thì hãy quay lại định nghĩa phương trình của mặt phẳng! Nó luôn luôn diễn ra trước đó máy bay của tôi thuộc về nguồn gốc!)

Ta tính định thức:

(Bạn có thể nhận thấy rằng phương trình của mặt phẳng trùng với phương trình của đường thẳng đi qua các điểm và! Hãy nghĩ xem tại sao!)

Bây giờ hãy tính góc:

Chúng ta cần tìm sin:

Trả lời:

3. Câu hỏi hóc búa: Bạn nghĩ hình lăng trụ chữ nhật là gì? Đây chỉ là một đường song song mà bạn biết rõ! Hãy thực hiện một bản vẽ ngay lập tức! Bạn thậm chí không cần phải mô tả phần đế một cách riêng biệt; nó ít được sử dụng ở đây:

Mặt phẳng, như chúng tôi đã lưu ý trước đó, được viết dưới dạng phương trình:

Bây giờ hãy tạo một mặt phẳng

Ta lập ngay phương trình mặt phẳng:

Đang tìm một góc:

Bây giờ là câu trả lời cho hai vấn đề cuối cùng:

Bây giờ là lúc để nghỉ ngơi một chút, vì bạn và tôi đều tuyệt vời và đã làm rất tốt!

Tọa độ và vectơ. Cấp độ nâng cao

Trong bài này chúng tôi sẽ thảo luận với các bạn một loại bài toán khác có thể giải bằng phương pháp tọa độ: bài toán tính khoảng cách. Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp sau:

1. Tính khoảng cách giữa các đường giao nhau.

Tôi đã sắp xếp các bài tập này theo thứ tự độ khó tăng dần. Hóa ra là dễ tìm nhất khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, và điều khó khăn nhất là tìm ra khoảng cách giữa các đường giao nhau. Mặc dù, tất nhiên, không có gì là không thể! Chúng ta đừng trì hoãn và ngay lập tức tiến hành xem xét loại vấn đề đầu tiên:

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Chúng ta cần gì để giải quyết vấn đề này?

1. Tọa độ điểm

Vì vậy, ngay khi nhận được đủ dữ liệu cần thiết, chúng tôi áp dụng công thức:

Bạn hẳn đã biết cách xây dựng phương trình mặt phẳng từ các bài toán trước mà tôi đã thảo luận ở phần trước. Hãy đi thẳng vào nhiệm vụ. Sơ đồ như sau: 1, 2 - Tôi giúp bạn quyết định, còn chi tiết nào đó, 3, 4 - chỉ đáp án, bạn tự thực hiện giải pháp và so sánh. Hãy bắt đầu!

Nhiệm vụ:

1. Cho một hình lập phương. Độ dài cạnh của hình lập phương bằng nhau. Tìm khoảng cách từ se-re-di-na từ mặt cắt đến mặt phẳng

2. Cho đúng bốn than pi-ra-mi-có, cạnh bên bằng đáy. Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nơi - se-re-di-on các cạnh.

3. Trong hình tam giác bên phải pi-ra-mi-de với os-no-va-ni-em thì cạnh bên bằng nhau, còn trăm ro-trên os-no-vania- bằng nhau. Tìm khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng.

4. Trong lăng trụ lục giác vuông, tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Giải pháp:

1. Vẽ hình lập phương có một cạnh, dựng đoạn thẳng và mặt phẳng, ký hiệu phần giữa của đoạn thẳng bằng chữ cái

.

Trước tiên, hãy bắt đầu với việc dễ dàng: tìm tọa độ của điểm. Từ đó (nhớ tọa độ giữa đoạn đường!)

Bây giờ chúng ta soạn phương trình mặt phẳng sử dụng ba điểm

\[\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Bây giờ tôi có thể bắt đầu tìm khoảng cách:

2. Chúng tôi bắt đầu lại với bản vẽ mà chúng tôi đánh dấu tất cả dữ liệu!

Đối với một kim tự tháp, sẽ rất hữu ích nếu vẽ phần đáy của nó một cách riêng biệt.

Ngay cả việc tôi vẽ như một con gà bằng chân của nó cũng không ngăn cản chúng ta giải quyết vấn đề này một cách dễ dàng!

Bây giờ thật dễ dàng để tìm tọa độ của một điểm

Vì tọa độ của điểm nên

2. Vì tọa độ của điểm a là điểm giữa của đoạn thẳng nên

Không gặp vấn đề gì, chúng ta có thể tìm tọa độ của hai điểm nữa trên mặt phẳng. Chúng ta tạo một phương trình cho mặt phẳng và đơn giản hóa nó:

\[\left| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Vì điểm có tọa độ: , nên ta tính khoảng cách:

Trả lời (rất hiếm!):

Vâng, bạn đã tìm ra nó? Đối với tôi, có vẻ như mọi thứ ở đây đều mang tính kỹ thuật giống như trong các ví dụ mà chúng ta đã xem xét ở phần trước. Vì vậy tôi tin chắc rằng nếu đã nắm vững tài liệu đó thì bạn sẽ không khó để giải quyết hai vấn đề còn lại. Tôi sẽ chỉ cho bạn câu trả lời:

Tính khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng

Trên thực tế, không có gì mới ở đây. Làm thế nào một đường thẳng và một mặt phẳng có thể được định vị tương đối với nhau? Chúng chỉ có một khả năng: giao nhau hoặc một đường thẳng song song với mặt phẳng. Bạn nghĩ khoảng cách từ một đường thẳng đến mặt phẳng mà đường thẳng này cắt nhau là bao nhiêu? Đối với tôi, có vẻ như rõ ràng ở đây khoảng cách như vậy bằng 0. Vụ án không thú vị.

Trường hợp thứ hai phức tạp hơn: ở đây khoảng cách đã khác 0. Tuy nhiên, vì đường thẳng song song với mặt phẳng nên mỗi điểm của đường thẳng cách đều mặt phẳng này:

Như vậy:

Điều này có nghĩa là nhiệm vụ của tôi đã được giảm xuống nhiệm vụ trước: chúng ta đang tìm tọa độ của bất kỳ điểm nào trên đường thẳng, tìm phương trình của mặt phẳng và tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Trên thực tế, những nhiệm vụ như vậy là cực kỳ hiếm trong Kỳ thi Thống nhất. Tôi chỉ tìm thấy một vấn đề và dữ liệu trong đó khiến phương pháp tọa độ không thể áp dụng được cho nó!

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang một loại vấn đề khác quan trọng hơn nhiều:

Tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Chúng ta cần gì?

1. Tọa độ của điểm mà chúng ta đang tìm khoảng cách:

2. Tọa độ của điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng

3. Tọa độ vectơ chỉ hướng của đường thẳng

Chúng ta sử dụng công thức nào?

Mẫu số của phân số này có nghĩa là gì thì chắc hẳn bạn đã rõ: đây là độ dài của vectơ chỉ hướng của đường thẳng. Đây là một tử số rất phức tạp! Biểu thức có nghĩa là mô đun (độ dài) của tích vectơ của vectơ và Cách tính tích vectơ mà chúng ta đã nghiên cứu ở phần trước của bài viết. Hãy ôn lại kiến ​​thức của bạn, chúng tôi sẽ rất cần nó ngay bây giờ!

Như vậy, thuật toán giải bài toán sẽ như sau:

1. Chúng ta đang tìm tọa độ của điểm mà chúng ta đang tìm khoảng cách:

2. Chúng ta đang tìm tọa độ của bất kỳ điểm nào trên đường thẳng mà chúng ta đang tìm khoảng cách:

3. Xây dựng một vectơ

4. Xây dựng vectơ chỉ hướng của đường thẳng

5. Tính tích vector

6. Chúng ta tìm độ dài của vectơ kết quả:

7. Tính khoảng cách:

Chúng ta có rất nhiều việc phải làm và các ví dụ sẽ khá phức tạp! Vì vậy bây giờ hãy tập trung mọi sự chú ý của bạn!

1. Cho một hình tam giác vuông pi-ra-mi-da có đỉnh. Trăm-ro-trên cơ sở pi-ra-mi-dy đều bình đẳng, các bạn đều bình đẳng. Tìm khoảng cách từ cạnh màu xám đến đường thẳng, trong đó các điểm và là các cạnh màu xám và tính từ thú y.

2. Độ dài của các gân và góc thẳng không đi par-ral-le-le-pi-pe-da tương ứng bằng nhau và Tìm khoảng cách từ đỉnh đến đường thẳng

3. Trong lăng trụ đứng có các cạnh bằng nhau, tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Giải pháp:

1. Chúng tôi tạo một bản vẽ gọn gàng để đánh dấu tất cả dữ liệu:

Chúng ta có rất nhiều việc phải làm! Đầu tiên, tôi muốn mô tả bằng lời những gì chúng tôi sẽ tìm kiếm và theo thứ tự:

1. Tọa độ điểm và

2. Tọa độ điểm

3. Tọa độ điểm và

4. Tọa độ của vectơ và

5. Sản phẩm chéo của họ

6. Chiều dài vectơ

7. Độ dài của tích vector

8. Khoảng cách từ đến

Vâng, chúng tôi có rất nhiều công việc phía trước! Hãy xắn tay áo lên!

1. Để tìm tọa độ chiều cao của hình chóp, chúng ta cần biết tọa độ của điểm ứng dụng của nó bằng 0 và tọa độ của nó bằng trục hoành của nó bằng độ dài của đoạn thẳng. chiều cao của một tam giác đều thì được chia theo tỷ lệ, tính từ đỉnh, từ đây. Cuối cùng ta có tọa độ:

tọa độ điểm

2. - giữa đoạn

3. - giữa đoạn

Trung điểm của đoạn

4. Tọa độ

Tọa độ vectơ

5. Tính tích vectơ:

6. Vector chiều dài: cách thay thế dễ nhất là đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác, tức là bằng nửa cạnh đáy. Vì thế.

7. Tính độ dài tích vector:

8. Cuối cùng, chúng ta tìm được khoảng cách:

Ờ, thế thôi! Tôi thành thật nói với bạn: giải quyết vấn đề này bằng các phương pháp truyền thống (thông qua xây dựng) sẽ nhanh hơn nhiều. Nhưng ở đây tôi đã giảm mọi thứ thành một thuật toán làm sẵn! Tôi nghĩ thuật toán giải pháp đã rõ ràng với bạn? Vì vậy, tôi sẽ yêu cầu bạn tự giải quyết hai vấn đề còn lại. Hãy so sánh câu trả lời?

Một lần nữa, tôi nhắc lại: việc giải quyết những vấn đề này thông qua việc xây dựng sẽ dễ dàng hơn (nhanh hơn) thay vì sử dụng phương pháp tọa độ. Tôi đã trình bày phương pháp giải pháp này chỉ để cho bạn thấy một phương pháp phổ quát cho phép bạn “không hoàn thành việc xây dựng bất cứ thứ gì”.

Cuối cùng, hãy xem xét loại vấn đề cuối cùng:

Tính khoảng cách giữa các đường giao nhau

Ở đây thuật toán giải bài toán sẽ tương tự như thuật toán trước. Những gì chúng tôi có:

3. Bất kỳ vectơ nào nối các điểm của dòng thứ nhất và dòng thứ hai:

Làm thế nào để chúng ta tìm thấy khoảng cách giữa các dòng?

Công thức như sau:

Tử số là mô đun của tích hỗn hợp (chúng ta đã giới thiệu ở phần trước) và mẫu số là, như trong công thức trước (mô đun của tích vectơ của các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, khoảng cách giữa chúng ta đang tìm kiếm).

Tôi sẽ nhắc bạn điều đó

Sau đó công thức tính khoảng cách có thể được viết lại thành:

Đây là định thức chia cho định thức! Mặc dù thành thật mà nói, tôi không có thời gian để đùa ở đây! Trên thực tế, công thức này rất cồng kềnh và dẫn đến các phép tính khá phức tạp. Nếu tôi là bạn, tôi sẽ chỉ dùng đến nó như là phương sách cuối cùng!

Hãy thử giải quyết một số vấn đề bằng phương pháp trên:

1. Trong một lăng trụ tam giác vuông có các cạnh bằng nhau, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng và.

2. Cho một lăng trụ tam giác vuông, các cạnh của đáy bằng tiết diện đi qua gân thân và các gân se-re-di-well là hình vuông. Tìm khoảng cách giữa các đường thẳng và

Tôi quyết định điều đầu tiên, và dựa vào đó, bạn quyết định điều thứ hai!

1. Tôi vẽ một lăng kính và đánh dấu các đường thẳng và

Tọa độ điểm C: khi đó

tọa độ điểm

Tọa độ vectơ

tọa độ điểm

Tọa độ vectơ

Tọa độ vectơ

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(mảng))\end(mảng)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Chúng tôi tính toán tích vectơ giữa các vectơ và

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Bây giờ chúng tôi tính toán chiều dài của nó:

Trả lời:

Bây giờ hãy cố gắng hoàn thành nhiệm vụ thứ hai một cách cẩn thận. Câu trả lời sẽ là: .

Tọa độ và vectơ. Mô tả ngắn gọn và công thức cơ bản

Một vectơ là một đoạn có hướng. - phần đầu của vectơ, - phần cuối của vectơ.
Một vectơ được ký hiệu là hoặc.

Giá trị tuyệt đối vector - độ dài của đoạn đại diện cho vector. Ký hiệu là.

Tọa độ vectơ:

,
đâu là điểm cuối của vectơ \displaystyle a .

Tổng các vectơ: .

Tích của vectơ:

Tích số chấm của vectơ:

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng đó. Trong hình học mô tả, nó được xác định bằng đồ họa bằng thuật toán được đưa ra dưới đây.

Thuật toán

1. Đường thẳng được di chuyển đến vị trí mà nó sẽ song song với bất kỳ mặt phẳng chiếu nào. Với mục đích này, các phương pháp biến đổi các hình chiếu trực giao được sử dụng.
2. Từ một điểm vẽ đường vuông góc thành một đường thẳng. Cách xây dựng này dựa trên định lý về hình chiếu của một góc vuông.
3. Độ dài của đường vuông góc được xác định bằng cách biến đổi hình chiếu của nó hoặc sử dụng phương pháp tam giác vuông.

Hình dưới đây thể hiện một bản vẽ phức tạp của điểm M và đường thẳng b, được xác định bởi đoạn CD. Bạn cần tìm khoảng cách giữa chúng.

Theo thuật toán của chúng tôi, việc đầu tiên cần làm là di chuyển đường thẳng đến vị trí song song với mặt phẳng chiếu. Điều quan trọng là phải hiểu rằng sau khi biến đổi, khoảng cách thực tế giữa điểm và đường thẳng sẽ không thay đổi. Đó là lý do tại sao ở đây sử dụng phương pháp thay thế mặt phẳng là thuận tiện, phương pháp này không liên quan đến việc chuyển động các hình trong không gian.

Kết quả của giai đoạn xây dựng đầu tiên được trình bày dưới đây. Hình vẽ cho thấy một mặt phẳng phía trước bổ sung P 4 được đưa vào song song với b như thế nào. Trong hệ thống mới (P 1, P 4), các điểm C"" 1, D"" 1, M"" 1 có cùng khoảng cách với trục X 1 như C"", D"", M"" từ trục X.

Thực hiện phần thứ hai của thuật toán, từ M"" 1 ta hạ đường vuông góc M"" 1 N"" 1 xuống đường thẳng b"" 1, vì góc vuông MND giữa b và MN được chiếu lên mặt phẳng P 4 với kích thước đầy đủ. Sử dụng đường truyền xác định vị trí điểm N” và thực hiện phép chiếu M”N” của đoạn MN.

Ở giai đoạn cuối, bạn cần xác định kích thước của đoạn MN từ các hình chiếu M"N" và M"" 1 N"" 1 của nó. Để làm điều này, chúng ta dựng một tam giác vuông M"" 1 N"" 1 N 0, có chân N"" 1 N 0 bằng hiệu (Y M 1 – Y N 1) khoảng cách của các điểm M" và N" từ trục X 1. Độ dài cạnh huyền M"" 1 N 0 của tam giác M"" 1 N"" 1 N 0 tương ứng với khoảng cách mong muốn từ M đến b.

Giải pháp thứ hai

• Song song với CD, chúng tôi giới thiệu mặt phẳng phía trước mới P 4. Nó cắt P 1 dọc theo trục X 1 và X 1 ∥C"D". Theo phương pháp thay thế các mặt phẳng, ta xác định hình chiếu của các điểm C"" 1, D"" 1 và M"" 1 như hình vẽ.
• Vuông góc với C"" 1 D"" 1 ta dựng thêm một mặt phẳng ngang P 5, trên đó đường thẳng b chiếu tới điểm C" 2 = b" 2.
• Khoảng cách giữa điểm M và đường b được xác định bởi độ dài của đoạn M" 2 C" 2, được đánh dấu bằng màu đỏ.

Nhiệm vụ tương tự:

Oh-oh-oh-oh-oh... à, khó quá, cứ như thể anh ấy đang đọc cho chính mình một câu vậy =) Tuy nhiên, thư giãn sẽ giúp ích sau này, nhất là vì hôm nay tôi đã mua những phụ kiện thích hợp. Vì vậy, chúng ta hãy chuyển sang phần đầu tiên, tôi hy vọng rằng đến cuối bài viết tôi sẽ giữ được tâm trạng vui vẻ.

Vị trí tương đối của hai đường

Đây là trường hợp khán giả hát theo đồng ca. Hai đường thẳng có thể:

1) khớp;

2) song song: ;

3) hoặc cắt nhau tại một điểm: .

Trợ giúp cho người giả : Hãy nhớ dấu giao nhau toán học, nó sẽ xuất hiện rất thường xuyên. Ký hiệu này có nghĩa là đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm .

Làm thế nào để xác định vị trí tương đối của hai dòng?

Hãy bắt đầu với trường hợp đầu tiên:

Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỷ lệ thuận, tức là có một số “lambda” sao cho các đẳng thức được thỏa mãn

Hãy xem xét các đường thẳng và tạo ba phương trình từ các hệ số tương ứng: . Từ mỗi phương trình, do đó, các đường thẳng này trùng nhau.

Thật vậy, nếu tất cả các hệ số của phương trình nhân với –1 (đổi dấu) và tất cả các hệ số của phương trình giảm đi 2, bạn sẽ có được phương trình tương tự: .

Trường hợp thứ hai, khi các đường thẳng song song:

Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hệ số biến của chúng tỷ lệ thuận: , Nhưng.

Ví dụ: Xét hai đường thẳng. Ta kiểm tra tính tương xứng của các hệ số tương ứng với các biến:

Tuy nhiên, điều đó khá rõ ràng.

Và trường hợp thứ ba, khi các đường thẳng cắt nhau:

Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi hệ số của chúng KHÔNG tỷ lệ, nghĩa là KHÔNG có giá trị “lambda” nào thỏa mãn các đẳng thức

Vì vậy, đối với các đường thẳng, chúng ta sẽ tạo ra một hệ thống:

Từ phương trình thứ nhất suy ra , và từ phương trình thứ hai: , có nghĩa là hệ thống không nhất quán(không có giải pháp). Như vậy, hệ số của các biến không tỷ lệ thuận.

Kết luận: đường thẳng cắt nhau

Trong các bài toán thực tế, bạn có thể sử dụng sơ đồ giải pháp vừa thảo luận. Nhân tiện, nó rất gợi nhớ đến thuật toán kiểm tra vectơ cộng tuyến mà chúng ta đã xem xét trong lớp Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính (trong) của vectơ. Cơ sở của vectơ. Nhưng có một cách đóng gói văn minh hơn:

Ví dụ 1

Tìm vị trí tương đối của các đường thẳng:

Giải pháp dựa vào việc nghiên cứu vectơ chỉ hướng của đường thẳng:

a) Từ các phương trình ta tìm được vectơ chỉ phương của các đường thẳng: .

, có nghĩa là các vectơ không thẳng hàng và các đường thẳng cắt nhau.

Để đề phòng, tôi sẽ đặt một hòn đá có biển báo ở ngã tư:

Những người còn lại nhảy qua đá và đi xa hơn, thẳng đến Kashchei the Immortal =)

b) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Các đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương, nghĩa là chúng song song hoặc trùng nhau. Không cần phải tính định thức ở đây.

Rõ ràng là các hệ số của ẩn số tỷ lệ thuận với nhau và .

Hãy tìm hiểu xem đẳng thức có đúng không:

Như vậy,

c) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Hãy tính định thức tạo thành từ tọa độ của các vectơ này:
, do đó, các vectơ chỉ phương thẳng hàng. Các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Hệ số tỉ lệ “lambda” dễ dàng nhận thấy trực tiếp từ tỉ số của các vectơ chỉ phương thẳng hàng. Tuy nhiên, nó cũng có thể được tìm thấy thông qua các hệ số của phương trình: .

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem đẳng thức có đúng hay không. Cả hai điều khoản miễn phí đều bằng 0, vì vậy:

Giá trị kết quả thỏa mãn phương trình này (bất kỳ số nào nói chung đều thỏa mãn nó).

Như vậy, các đường thẳng trùng nhau.

Trả lời:

Bạn sẽ sớm học được (hoặc thậm chí đã học được) cách giải quyết vấn đề được thảo luận bằng lời nói theo đúng nghĩa đen chỉ trong vài giây. Về vấn đề này, tôi không thấy có ích gì khi đưa ra bất kỳ giải pháp độc lập nào; tốt hơn hết là đặt một viên gạch quan trọng khác vào nền tảng hình học:

Làm thế nào để dựng một đường thẳng song song với một đường thẳng đã cho?

Vì thiếu hiểu biết về nhiệm vụ đơn giản nhất này, Nightingale the Robber đã trừng phạt nghiêm khắc.

Ví dụ 2

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường thẳng song song đi qua một điểm.

Giải pháp: Hãy biểu thị dòng chưa biết bằng chữ cái . Tình trạng nói gì về cô ấy? Đường thẳng đi qua điểm. Và nếu các đường thẳng song song thì rõ ràng vectơ chỉ phương của đường thẳng “tse” cũng phù hợp để dựng đường thẳng “de”.

Chúng ta loại bỏ vectơ chỉ phương ra khỏi phương trình:

Trả lời:

Hình học của ví dụ trông đơn giản:

Thử nghiệm phân tích bao gồm các bước sau:

1) Ta kiểm tra xem các đường thẳng có cùng vectơ chỉ phương hay không (nếu phương trình của đường thẳng không được đơn giản hóa đúng cách thì các vectơ sẽ thẳng hàng).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình thu được hay không.

Trong hầu hết các trường hợp, việc kiểm tra phân tích có thể được thực hiện dễ dàng bằng miệng. Nhìn vào hai phương trình, nhiều bạn sẽ nhanh chóng xác định được độ song song của các đường thẳng mà không cần vẽ hình.

Ví dụ về các giải pháp độc lập ngày nay sẽ rất sáng tạo. Bởi vì bạn vẫn sẽ phải cạnh tranh với Baba Yaga, và bạn biết đấy, cô ấy là người yêu thích đủ loại câu đố.

Ví dụ 3

Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm song song với đường thẳng nếu

Có một cách hợp lý và không quá hợp lý để giải quyết nó. Con đường ngắn nhất là ở cuối bài học.

Chúng ta đã làm việc một chút với các đường song song và sẽ quay lại với chúng sau. Trường hợp các đường thẳng trùng nhau ít được quan tâm, hãy xét một bài toán rất quen thuộc với các bạn trong chương trình học ở trường:

Làm thế nào để tìm giao điểm của hai đường thẳng?

Nếu thẳng cắt nhau tại điểm thì tọa độ của nó là nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Làm thế nào để tìm điểm giao nhau của đường? Giải quyết hệ thống.

Đây nhé ý nghĩa hình học của hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số- đây là hai đường thẳng giao nhau (thường xuyên nhất) trên một mặt phẳng.

Ví dụ 4

Tìm giao điểm của đường

Giải pháp: Có hai cách giải - đồ họa và phân tích.

Phương pháp đồ họa chỉ đơn giản là vẽ những đường này và tìm ra điểm giao nhau trực tiếp từ bản vẽ:

Đây là quan điểm của chúng tôi: . Để kiểm tra, bạn thay tọa độ của nó vào từng phương trình của đường thẳng thì phải vừa chỗ này vừa chỗ kia. Nói cách khác, tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ thống. Về cơ bản, chúng tôi đã xem xét giải pháp đồ họa hệ phương trình tuyến tính với hai phương trình, hai ẩn số.

Tất nhiên, phương pháp đồ họa không tệ, nhưng có những nhược điểm đáng chú ý. Không, vấn đề không phải là học sinh lớp bảy quyết định theo cách này, vấn đề là sẽ mất thời gian để tạo ra một bức vẽ đúng và CHÍNH XÁC. Ngoài ra, một số đường thẳng không dễ xây dựng và bản thân điểm giao nhau có thể nằm ở đâu đó trong vương quốc thứ ba mươi bên ngoài trang sổ tay.

Vì vậy, sẽ tốt hơn nếu tìm kiếm điểm giao nhau bằng phương pháp phân tích. Hãy giải hệ phương trình:

Để giải hệ phương trình, người ta sử dụng phương pháp cộng từng số hạng của phương trình. Để phát triển các kỹ năng liên quan, hãy học một bài học Giải hệ phương trình như thế nào?

Trả lời:

Việc kiểm tra rất đơn giản - tọa độ của điểm giao nhau phải thỏa mãn mọi phương trình của hệ thống.

Ví dụ 5

Tìm giao điểm của các đường nếu chúng cắt nhau.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Thật thuận tiện để chia nhiệm vụ thành nhiều giai đoạn. Phân tích tình trạng cho thấy rằng cần thiết:
1) Viết phương trình đường thẳng.
2) Lập phương trình đường thẳng.
3) Tìm vị trí tương đối của các đường thẳng.
4) Nếu các đường thẳng cắt nhau thì tìm giao điểm.

Sự phát triển của một thuật toán hành động là điển hình cho nhiều bài toán hình học và tôi sẽ tập trung nhiều lần vào vấn đề này.

Lời giải và đáp án đầy đủ ở cuối bài:

Thậm chí không một đôi giày nào bị mòn trước khi chúng ta bước sang phần thứ hai của bài học:

Các đường vuông góc. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
Góc giữa các đường thẳng

Hãy bắt đầu với một nhiệm vụ điển hình và rất quan trọng. Ở phần đầu tiên chúng ta đã học cách dựng một đường thẳng song song với đường thẳng này và bây giờ túp lều trên chân gà sẽ quay 90 độ:

Làm thế nào để dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng đã cho?

Ví dụ 6

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình vuông góc với đường thẳng đi qua điểm đó.

Giải pháp: Theo điều kiện thì biết rằng . Sẽ thật tuyệt nếu tìm được vectơ chỉ hướng của đường thẳng. Vì các đường thẳng vuông góc nên thủ thuật rất đơn giản:

Từ phương trình, chúng ta “loại bỏ” vectơ pháp tuyến: , đây sẽ là vectơ chỉ hướng của đường thẳng.

Viết phương trình đường thẳng sử dụng vectơ chỉ phương và điểm:

Trả lời:

Hãy mở rộng bản phác thảo hình học:

Hmmm... Bầu trời màu cam, biển màu cam, lạc đà màu cam.

Phân tích xác minh giải pháp:

1) Chúng ta loại bỏ các vectơ chỉ phương từ các phương trình và với sự giúp đỡ tích vô hướng của vectơ chúng ta đi đến kết luận rằng các đường thẳng thực sự vuông góc: .

Nhân tiện, bạn có thể sử dụng vectơ pháp tuyến, điều đó thậm chí còn dễ dàng hơn.

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình thu được không .

Bài kiểm tra, một lần nữa, rất dễ thực hiện bằng miệng.

Ví dụ 7

Tìm giao điểm của các đường vuông góc nếu biết phương trình và thời kỳ.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Trong bài toán có một số hành động nên việc xây dựng giải pháp theo từng điểm sẽ rất thuận tiện.

Cuộc hành trình thú vị của chúng tôi tiếp tục:

Khoảng cách từ điểm tới đường

Trước mặt chúng ta là một dải sông thẳng tắp và nhiệm vụ của chúng ta là đi đến đó bằng con đường ngắn nhất. Không có chướng ngại vật và con đường tối ưu nhất sẽ là di chuyển theo đường vuông góc. Nghĩa là, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn thẳng vuông góc.

Khoảng cách trong hình học theo truyền thống được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp “rho”, ví dụ: – khoảng cách từ điểm “em” đến đường thẳng “de”.

Khoảng cách từ điểm tới đường được thể hiện bằng công thức

Ví dụ 8

Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Giải pháp: tất cả những gì bạn cần làm là cẩn thận thay thế các số vào công thức và thực hiện các phép tính:

Trả lời:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Khoảng cách tìm được từ điểm đến đường thẳng chính xác là độ dài của đoạn màu đỏ. Nếu bạn vẽ một bức vẽ trên giấy ca-rô theo tỷ lệ 1 đơn vị. = 1 cm (2 ô) thì khoảng cách có thể đo được bằng thước thông thường.

Hãy xem xét một nhiệm vụ khác dựa trên cùng một bản vẽ:

Nhiệm vụ là tìm tọa độ của một điểm đối xứng với điểm đó so với đường thẳng . Tôi khuyên bạn nên tự mình thực hiện các bước, nhưng tôi sẽ phác thảo một thuật toán giải với kết quả trung gian:

1) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó.

2) Tìm giao điểm của các đường thẳng: .

Cả hai hành động đều được thảo luận chi tiết trong bài học này.

3) Điểm là trung điểm của đoạn thẳng. Chúng ta biết tọa độ của phần giữa và một phần cuối. Qua công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng chúng tôi tìm thấy .

Sẽ là một ý tưởng tốt nếu kiểm tra xem khoảng cách cũng là 2,2 đơn vị.

Ở đây có thể nảy sinh khó khăn khi tính toán, nhưng máy tính vi mô là một trợ giúp đắc lực trong tháp, cho phép bạn tính các phân số thông thường. Mình đã khuyên bạn nhiều lần và sẽ giới thiệu lại cho bạn.

Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song?

Ví dụ 9

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Đây là một ví dụ khác để bạn tự quyết định. Tôi sẽ cho bạn một gợi ý nhỏ: có vô số cách để giải quyết vấn đề này. Tóm tắt cuối bài nhưng tốt hơn hết bạn nên tự mình đoán xem, tôi nghĩ khả năng khéo léo của bạn đã phát triển tốt.

Góc giữa hai đường thẳng

Mỗi góc đều là một jamb:


Trong hình học, góc giữa hai đường thẳng được lấy là góc NHỎ hơn, từ đó tự động suy ra không thể tù được. Trong hình, góc được biểu thị bằng cung màu đỏ không được coi là góc giữa các đường thẳng cắt nhau. Và người hàng xóm “xanh” của anh ấy hoặc định hướng trái ngược góc "quả mâm xôi".

Nếu các đường thẳng vuông góc thì bất kỳ góc nào trong 4 góc đều có thể coi là góc giữa chúng.

Các góc khác nhau như thế nào? Định hướng. Thứ nhất, hướng mà góc được “cuộn” về cơ bản là quan trọng. Thứ hai, góc định hướng âm được viết bằng dấu trừ, ví dụ nếu .

Tại sao tôi lại nói với bạn điều này? Có vẻ như chúng ta có thể hiểu được khái niệm thông thường về một góc. Thực tế là các công thức dùng để tìm góc có thể dễ dàng dẫn đến kết quả âm và điều này không làm bạn ngạc nhiên. Một góc có dấu trừ cũng không tệ hơn và có ý nghĩa hình học rất cụ thể. Trong bản vẽ, đối với góc âm, hãy đảm bảo chỉ ra hướng của nó bằng một mũi tên (theo chiều kim đồng hồ).

Làm thế nào để tìm góc giữa hai đường thẳng? Có hai công thức làm việc:

Ví dụ 10

Tìm góc giữa các đường thẳng

Giải pháp Và Phương pháp một

Xét hai đường thẳng được xác định bởi phương trình ở dạng tổng quát:

Nếu thẳng không vuông góc, Cái đó định hướng Góc giữa chúng có thể được tính bằng công thức:

Chúng ta hãy chú ý đến mẫu số - đây chính xác là sản phẩm chấm Vectơ chỉ hướng của đường thẳng:

Nếu , thì mẫu số của công thức sẽ bằng 0 và các vectơ sẽ trực giao và các đường thẳng sẽ vuông góc. Đó là lý do tại sao đã có sự bảo lưu về tính không vuông góc của các đường trong công thức.

Dựa trên những điều trên, thật thuận tiện để chính thức hóa giải pháp theo hai bước:

1) Hãy tính tích vô hướng của các vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
, có nghĩa là các đường thẳng không vuông góc.

2) Tìm góc giữa các đường thẳng bằng công thức:

Sử dụng hàm nghịch đảo, bạn có thể dễ dàng tìm được góc đó. Trong trường hợp này, chúng ta sử dụng độ lẻ của arctang (xem. Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản):

Trả lời:

Trong câu trả lời của bạn, chúng tôi chỉ ra giá trị chính xác cũng như giá trị gần đúng (tốt nhất là theo cả độ và radian), được tính bằng máy tính.

Vâng, trừ, trừ, không có gì to tát cả. Đây là một minh họa hình học:

Không có gì đáng ngạc nhiên khi góc hóa ra có hướng âm, bởi vì trong câu lệnh bài toán, số đầu tiên là một đường thẳng và việc “tháo” góc bắt đầu chính xác từ nó.

Nếu bạn thực sự muốn có được một góc dương, bạn cần hoán đổi các đường thẳng, nghĩa là lấy các hệ số từ phương trình thứ hai , và lấy các hệ số từ phương trình đầu tiên. Nói tóm lại, bạn cần bắt đầu bằng cách trực tiếp .

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trên mặt phẳng

Nếu phương trình của đường thẳng Ax + By + C = 0 được cho thì khoảng cách từ điểm M(M x , M y) đến đường thẳng có thể được tính bằng công thức sau

Ví dụ về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trên mặt phẳng

Ví dụ 1.

Tìm khoảng cách giữa đường thẳng 3x + 4y - 6 = 0 và điểm M(-1, 3).

Giải pháp. Hãy thay các hệ số của đường thẳng và tọa độ của điểm vào công thức

Trả lời: khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là 0,6.

phương trình mặt phẳng đi qua các điểm vuông góc với vectơ Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Một vectơ khác 0 vuông góc với một mặt phẳng cho trước được gọi là vectơ chuẩn (hay nói tóm lại là Bình thường ) cho mặt phẳng này.

Cho các giá trị sau trong không gian tọa độ (trong hệ tọa độ hình chữ nhật):

a) điểm ;

b) vectơ khác 0 (Hình 4.8, a).

Bạn cần lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm vuông góc với vectơ Kết thúc bằng chứng.

Bây giờ chúng ta xét các loại phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng.

1) Phương trình tổng quát của mặt phẳngP .

Từ đạo hàm của phương trình, nó suy ra rằng đồng thời MỘT, B Và C không bằng 0 (giải thích tại sao).

Điểm thuộc về mặt phẳng P chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của mặt phẳng. Tùy thuộc vào tỷ lệ cược MỘT, B, C Và D máy bay P chiếm vị trí này hay vị trí khác:

- mặt phẳng đi qua gốc hệ tọa độ, - mặt phẳng không đi qua gốc hệ tọa độ,

- mặt phẳng song song với trục X,

X,

- mặt phẳng song song với trục Y,

- mặt phẳng không song song với trục Y,

- mặt phẳng song song với trục Z,

- mặt phẳng không song song với trục Z.

Hãy tự mình chứng minh những nhận định này.

Phương trình (6) dễ dàng được suy ra từ phương trình (5). Thật vậy, cho điểm nằm trên mặt phẳng P. Khi đó tọa độ của nó thỏa mãn phương trình (7) từ phương trình (5) và nhóm các số hạng, chúng ta thu được phương trình (6). Bây giờ chúng ta xét hai vectơ có tọa độ tương ứng. Từ công thức (6), suy ra tích vô hướng của chúng bằng 0. Do đó, vectơ vuông góc với vectơ. Điểm đầu và cuối của vectơ cuối cùng lần lượt nằm tại các điểm thuộc mặt phẳng. P. Do đó vectơ vuông góc với mặt phẳng P. Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng P, phương trình tổng quát của nó được xác định bởi công thức Chứng minh công thức này hoàn toàn giống với chứng minh công thức tính khoảng cách giữa một điểm và một đường thẳng (xem Hình 2).
Cơm. 2. Rút ra công thức tính khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng.

Thật vậy, khoảng cách d giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng nhau

một điểm nằm ở đâu trên mặt phẳng. Từ đây, như bài giảng số 11, thu được công thức trên. Hai mặt phẳng song song nếu vectơ pháp tuyến của chúng song song. Từ đây ta thu được điều kiện về sự song song của hai mặt phẳng - các hệ số của phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc nếu vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc, do đó ta thu được điều kiện về độ vuông góc của hai mặt phẳng nếu biết phương trình tổng quát của chúng

Góc f giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa các vectơ pháp tuyến của chúng (xem Hình 3) và do đó có thể được tính bằng công thức
Xác định góc giữa các mặt phẳng.

(11)

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và cách tìm nó

Khoảng cách từ điểm tới máy bay– độ dài đường vuông góc rơi từ một điểm lên mặt phẳng này. Có ít nhất hai cách để tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: hình học Và đại số.

Bằng phương pháp hình học Trước tiên, bạn phải hiểu cách đặt đường vuông góc từ một điểm đến một mặt phẳng: có thể nó nằm trong một mặt phẳng thuận tiện nào đó, là chiều cao trong một tam giác thuận tiện (hoặc không thuận tiện lắm), hoặc có thể đường vuông góc này nói chung là chiều cao trong một kim tự tháp nào đó.

Sau giai đoạn đầu tiên và phức tạp nhất này, bài toán được chia thành một số bài toán phẳng cụ thể (có thể ở các mặt phẳng khác nhau).

Bằng phương pháp đại sốĐể tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bạn cần nhập hệ tọa độ, tìm tọa độ của điểm và phương trình của mặt phẳng, sau đó áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.