Sự định nghĩa Một tập hợp có thứ tự gồm (x 1 , x 2 , ... , x n) n số thực được gọi là vectơ n chiều, và các số x i (i = ) - thành phần, hoặc tọa độ,
Ví dụ. Ví dụ: nếu một nhà máy ô tô nhất định phải sản xuất 50 ô tô con, 100 xe tải, 10 xe buýt, 50 bộ phụ tùng cho ô tô con và 150 bộ cho xe tải và xe buýt mỗi ca thì chương trình sản xuất của nhà máy này có thể được viết dưới dạng vectơ (50, 100, 10, 50, 150), có năm thành phần.
Ký hiệu. Các vectơ được biểu thị bằng chữ in thường hoặc chữ cái có thanh hoặc mũi tên ở trên cùng, ví dụ: Một hoặc. Hai vectơ đó được gọi là bình đẳng, nếu chúng có cùng số thành phần và các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau.
Các thành phần vectơ không thể hoán đổi, ví dụ: (3, 2, 5, 0, 1) và (2, 3, 5, 0, 1) các vectơ khác nhau.
Các phép toán trên vectơ. công việc
x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) bởi một số thựcλ gọi là vectơλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).
Số lượngx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) và y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) được gọi là vectơ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).
Không gian vectơ. N -không gian vector chiều R n được định nghĩa là tập hợp tất cả các vectơ n chiều mà các phép nhân với số thực và phép cộng được xác định.
Minh họa kinh tế. Minh họa kinh tế của không gian vectơ n chiều: không gian hàng hóa (hàng hóa). Dưới hàng hóa chúng ta sẽ hiểu một số hàng hóa hoặc dịch vụ được bán vào một thời điểm nhất định ở một địa điểm nhất định. Giả sử có số lượng hữu hạn n hàng hóa sẵn có; Số lượng mỗi loại hàng hóa được người tiêu dùng mua được đặc trưng bởi một tập hợp hàng hóa
x= (x 1 , x 2 , ..., x n),
trong đó x i biểu thị số lượng hàng hóa thứ i được người tiêu dùng mua. Chúng ta sẽ giả định rằng tất cả hàng hóa đều có tính chất chia hết tùy ý, do đó có thể mua được bất kỳ số lượng không âm nào của mỗi hàng hóa. Khi đó tất cả các tập hàng hóa có thể có đều là vectơ của không gian hàng hóa C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).
Độc lập tuyến tính.
Hệ thống e 1 , e 2 , ... , e vectơ m n chiều được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu có những con số như vậyλ 1 , λ 2 , ... , λ m , trong đó ít nhất một giá trị khác 0, sao cho đẳng thứcλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; mặt khác, hệ vectơ này được gọi là độc lập tuyến tính, nghĩa là, đẳng thức đã chỉ ra chỉ có thể thực hiện được trong trường hợp khi tất cả 
. Ý nghĩa hình học của sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ trong R 3, được hiểu là các đoạn có hướng, giải thích các định lý sau.
Định lý 1. Một hệ gồm một vectơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ này bằng 0.
Định lý 2. Để hai vectơ phụ thuộc tuyến tính, điều cần thiết và đủ là chúng thẳng hàng (song song).
Định lý 3 . Để ba vectơ phụ thuộc tuyến tính thì điều cần thiết và đủ là chúng đồng phẳng (nằm trong cùng một mặt phẳng).
Bộ ba vectơ trái và phải. Bộ ba vectơ không đồng phẳng a, b, c gọi điện Phải, nếu người quan sát từ gốc chung của chúng bỏ qua các đầu của vectơ a, b, c theo thứ tự đã cho dường như xảy ra theo chiều kim đồng hồ. Nếu không thì a, b, c -còn lại ba. Tất cả các bộ ba vectơ bên phải (hoặc bên trái) được gọi là giống nhau định hướng.
Cơ sở và tọa độ. Troika e 1, e 2 , e 3 vectơ không đồng phẳng trong R 3 được gọi là cơ sở, và bản thân các vectơ e 1, e 2 , e 3 - nền tảng. Vectơ bất kỳ Một có thể được mở rộng duy nhất thành các vectơ cơ sở, nghĩa là được biểu diễn dưới dạng
MỘT= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)
các số x 1 , x 2 , x 3 trong khai triển (1.1) được gọi là tọa độMột trong cơ sở e 1, e 2 , e 3 và được chỉ định Một(x1, x2, x3).
Cơ sở trực chuẩn. Nếu các vectơ e 1, e 2 , e 3 cặp vuông góc với nhau và độ dài mỗi cặp bằng 1 thì gọi là cơ sở trực giao, và tọa độ x 1 , x 2 , x 3 - hình chữ nhật. Các vectơ cơ sở của một cơ sở trực chuẩn sẽ được ký hiệu là tôi, j, k.
Chúng ta sẽ giả sử rằng trong không gian R 3 hệ tọa độ vuông góc Descartes bên phải được chọn (0, tôi, j, k}.
tác phẩm nghệ thuật vector. tác phẩm nghệ thuật vector MỘT sang vectơ b gọi là vectơ c, được xác định bởi ba điều kiện sau:
1. Chiều dài vectơ c về số lượng bằng diện tích của hình bình hành dựng trên vectơ Một Và b, tức là
c=
|a||b| tội lỗi ( Một^b).
2. Vectơ c vuông góc với mỗi vectơ Một Và b.
3. Vectơ Một, b Và c, lấy theo thứ tự đã cho, tạo thành bộ ba bên phải.
Đối với một sản phẩm chéo c tên gọi được giới thiệu c =[bụng] hoặc
c = một
× b.
Nếu các vectơ Một Và b thẳng hàng thì phạm tội( a^b) = 0 và [ bụng] = 0, cụ thể là [ aaa] = 0. Tích vectơ của vectơ đơn vị: [ ij]=k, [jk] = Tôi, [ki]=j.
Nếu các vectơ Một Và b quy định tại cơ sở tôi, j, k tọa độ Một(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), thì
Công việc hỗn hợp. Nếu tích vectơ của hai vectơ MỘT Và b nhân vô hướng với vectơ thứ ba c, thì tích của ba vectơ như vậy được gọi là công việc hỗn hợp và được biểu thị bằng ký hiệu Một b c.
Nếu các vectơ một, b Và c trong cơ sở tôi, j, kđược cho bởi tọa độ của chúng
Một(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), thì
.
Sản phẩm hỗn hợp có cách giải thích hình học đơn giản - nó là một đại lượng vô hướng, có giá trị tuyệt đối bằng thể tích của một hình bình hành được xây dựng trên ba vectơ đã cho.
Nếu các vectơ tạo thành bộ ba bên phải thì tích hỗn hợp của chúng là số dương bằng thể tích đã chỉ định; nếu đó là số ba a, b, c - trái rồi a b c<0 и V = - a b c, do đó V =|a b c|.
Tọa độ của các vectơ gặp phải trong các bài toán của chương đầu tiên được giả sử là được cho tương ứng với một cơ sở trực chuẩn đúng. Vectơ đơn vị cùng hướng với vectơ MỘT,được biểu thị bằng ký hiệu MỘTÔ. Biểu tượng r=ôi ký hiệu là vectơ bán kính điểm M, ký hiệu a, AB hoặc|a|, | AB|mô-đun của vectơ được ký hiệu MỘT Và AB.
Ví dụ 1.2. Tìm góc giữa các vectơ Một= 2tôi+4N Và b= m-n, Ở đâu tôi Và N- vectơ đơn vị và góc giữa tôi Và N bằng 120 o.
Giải pháp. Ta có: cos φ = bụng/ab ab =(2tôi+4N) (m-n) = 2tôi 2 - 4N 2 +2tôi=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; một = ; Một 2 = (2tôi+4N) (2tôi+4N) =
= 4tôi 2 +16tôi+16N 2 = 4+16(-0,5)+16=12, có nghĩa là a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = tôi 2 -2tôi+N 2 =
1-2(-0,5)+1 = 3, có nghĩa là b = . Cuối cùng ta có: cosφ = = -1/2, φ = 120o.
Ví dụ 1.3.Biết các vectơ AB(-3,-2.6) và BC(-2,4,4), tính độ dài đường cao AD của tam giác ABC.
Giải pháp. Biểu thị diện tích tam giác ABC bằng S, ta có:
S = 1/2 TCN sau Công nguyên. Sau đó AD=2S/BC, BC= = 
= 6,
S = 1/2| AB×AC|.
AC=AB+BC, có nghĩa là vectơ A.C. có tọa độ
.
.
Ví dụ 1.4 . Hai vectơ được cho Một(11,10,2) và b(4,0,3). Tìm vectơ đơn vị c, trực giao với vectơ Một Và b và được hướng sao cho bộ ba vectơ có thứ tự a, b, cđã đúng.
Giải pháp.Hãy ký hiệu tọa độ của vectơ cđối với một cơ sở trực chuẩn phải cho trước theo x, y, z.
Từ c ⊥ một, c ⊥b, Cái đó ca= 0,cb= 0. Theo điều kiện của bài toán thì c = 1 và a b c >0.
Ta có hệ phương trình tìm x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.
Từ phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ ta thu được z = -4/3 x, y = -5/6 x. Thay y và z vào phương trình thứ ba, ta có: x 2 = 36/125, từ đó
x =±
. Sử dụng điều kiện a b c > 0, ta thu được bất đẳng thức
Khi tính đến các biểu thức của z và y, chúng ta viết lại bất đẳng thức thu được dưới dạng: 625/6 x > 0, ngụ ý rằng x>0. Vì vậy, x = , y = - , z =- .
Cuối cùng, tôi đã có được chủ đề rộng lớn và được chờ đợi từ lâu này. hình học giải tích. Đầu tiên, nói một chút về phần toán cao cấp này... Chắc hẳn bây giờ bạn còn nhớ một khóa học hình học ở trường với vô số định lý, cách chứng minh, hình vẽ, v.v. Che giấu điều gì, một chủ đề không được yêu thích và thường ít người biết đến đối với một bộ phận đáng kể học sinh. Kỳ lạ thay, hình học giải tích lại có vẻ thú vị và dễ tiếp cận hơn. Tính từ “phân tích” có nghĩa là gì? Hai cụm từ toán học sáo rỗng ngay lập tức xuất hiện trong đầu bạn: “phương pháp giải đồ họa” và “phương pháp giải phân tích”. Phương pháp đồ họa, tất nhiên, gắn liền với việc xây dựng đồ thị và hình vẽ. phân tích hoặc phương pháp liên quan đến việc giải quyết các vấn đề chủ yếu thông qua các phép toán đại số. Về vấn đề này, thuật toán giải hầu hết các bài toán của hình học giải tích rất đơn giản và minh bạch; thường chỉ cần áp dụng cẩn thận các công thức cần thiết là đủ - và câu trả lời đã sẵn sàng! Không, tất nhiên, chúng ta sẽ không thể làm được điều này nếu không có bản vẽ, và ngoài ra, để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi sẽ cố gắng trích dẫn chúng nếu không cần thiết.
Khóa học mới mở về hình học không có vẻ hoàn chỉnh về mặt lý thuyết; nó tập trung vào việc giải quyết các vấn đề thực tế. Theo quan điểm của tôi, tôi sẽ chỉ đưa vào bài giảng của mình những gì quan trọng về mặt thực tế. Nếu bạn cần trợ giúp đầy đủ hơn về bất kỳ tiểu mục nào, tôi khuyên bạn nên sử dụng tài liệu khá dễ tiếp cận sau:
1) Một điều mà không đùa được, nhiều thế hệ đã quen thuộc: Sách giáo khoa hình học phổ thông, tác giả – L.S. Atanasyan và Công ty. Chiếc móc treo phòng thay đồ của trường này đã trải qua 20 lần tái bản (!), Tất nhiên, đó không phải là giới hạn.
2) Hình học trong 2 tập. tác giả L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Đây là tài liệu dành cho cấp trung học, bạn sẽ cần tập đầu tiên. Những nhiệm vụ hiếm gặp có thể lọt khỏi tầm mắt của tôi và phần hướng dẫn sẽ mang lại sự trợ giúp vô giá.
Cả hai cuốn sách đều có thể được tải xuống miễn phí trực tuyến. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng kho lưu trữ của tôi với các giải pháp làm sẵn, có thể tìm thấy trên trang Tải các ví dụ về toán cao cấp.
Trong số các công cụ, tôi một lần nữa đề xuất sự phát triển của riêng mình - gói phần mềm trong hình học giải tích, điều này sẽ đơn giản hóa cuộc sống rất nhiều và tiết kiệm rất nhiều thời gian.
Giả sử rằng người đọc đã quen thuộc với các khái niệm và hình học cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hình tam giác, hình bình hành, hình bình hành, hình khối, v.v. Nên nhớ một số định lý, ít nhất là định lý Pythagore, xin chào những người lặp lại)
Và bây giờ chúng ta sẽ xem xét tuần tự: khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ. Tôi khuyên bạn nên đọc thêm bài viết quan trọng nhất Tích vô hướng của vectơ, và cũng Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. Một nhiệm vụ cục bộ - Phân chia một phân khúc về mặt này - cũng sẽ không thừa. Dựa vào những thông tin trên, bạn có thể nắm vững phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Với ví dụ đơn giản nhất về giải pháp, điều này sẽ cho phép học cách giải các bài toán hình học. Các bài viết sau đây cũng hữu ích: Phương trình mặt phẳng trong không gian, Phương trình đường thẳng trong không gian, Các bài toán cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, các phần khác của hình học giải tích. Đương nhiên, các nhiệm vụ tiêu chuẩn sẽ được xem xét trong quá trình thực hiện.
Khái niệm vectơ. Vectơ miễn phí
Đầu tiên, hãy lặp lại định nghĩa trường học của một vectơ. Vectơ gọi điện chỉ đạo một đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được chỉ định:
Trong trường hợp này, phần đầu của đoạn là điểm, phần cuối của đoạn là điểm. Bản thân vectơ được ký hiệu là . Phương hướng là điều cần thiết, nếu bạn di chuyển mũi tên đến đầu kia của đoạn thẳng, bạn sẽ nhận được một vectơ và đây là vectơ hoàn toàn khác. Thật thuận tiện khi đồng nhất khái niệm vectơ với chuyển động của cơ thể vật lý: bạn phải đồng ý, việc bước vào cửa viện hay rời khỏi cửa viện là những chuyện hoàn toàn khác nhau.
Thật thuận tiện khi xem xét các điểm riêng lẻ của một mặt phẳng hoặc không gian như được gọi là vectơ không. Đối với một vectơ như vậy, điểm cuối và điểm đầu trùng nhau.
!!! Ghi chú: Ở đây và xa hơn nữa, bạn có thể giả sử rằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc bạn có thể giả định rằng chúng nằm trong không gian - bản chất của vật liệu được trình bày có giá trị cho cả mặt phẳng và không gian.
Chỉ định: Nhiều người ngay lập tức nhận thấy cây gậy không có mũi tên trên nhãn và nói rằng cũng có một mũi tên ở trên cùng! Đúng, bạn có thể viết nó bằng mũi tên: , nhưng cũng có thể mục mà tôi sẽ sử dụng trong tương lai. Tại sao? Rõ ràng, thói quen này phát triển vì những lý do thực tế; những tay súng của tôi ở trường học và đại học hóa ra có kích thước quá khác biệt và xù xì. Trong văn học giáo dục, đôi khi họ không hề bận tâm đến việc viết chữ hình nêm mà đánh dấu các chữ in đậm: , qua đó ngụ ý rằng đây là một vectơ.
Đó là phong cách, và bây giờ là về cách viết vectơ:
1) Các vectơ có thể được viết bằng hai chữ cái Latinh in hoa: 
và vân vân. Trong trường hợp này, chữ cái đầu tiên nhất thiết biểu thị điểm bắt đầu của vectơ và chữ cái thứ hai biểu thị điểm cuối của vectơ.
2) Các vectơ cũng được viết bằng chữ Latinh thường:
Đặc biệt, vectơ của chúng ta có thể được thiết kế lại cho ngắn gọn bằng một chữ cái Latinh nhỏ.
Chiều dài hoặc mô-đun một vectơ khác 0 được gọi là độ dài của đoạn. Độ dài của vectơ 0 bằng 0. Hợp lý.
Độ dài của vectơ được biểu thị bằng dấu mô đun: ,
Chúng ta sẽ học cách tìm độ dài của vectơ (hoặc chúng ta sẽ lặp lại nó, tùy thuộc vào ai) sau đó một chút.
Đây là thông tin cơ bản về vectơ, quen thuộc với tất cả học sinh. Trong hình học giải tích, cái gọi là vectơ miễn phí.
Nói một cách đơn giản - vectơ có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào:
Chúng ta quen gọi các vectơ như vậy bằng nhau (định nghĩa các vectơ bằng nhau sẽ được đưa ra dưới đây), nhưng theo quan điểm toán học thuần túy, chúng là CÙNG VECTOR hoặc vectơ miễn phí. Tại sao miễn phí? Bởi vì trong quá trình giải toán, bạn có thể “gắn” vectơ này hoặc vectơ kia vào BẤT KỲ điểm nào trên mặt phẳng hoặc không gian mà bạn cần. Đây là một tính năng rất thú vị! Hãy tưởng tượng một vectơ có độ dài và hướng tùy ý - nó có thể được “nhân bản” vô số lần và tại bất kỳ điểm nào trong không gian, trên thực tế, nó tồn tại MỌI NƠI. Có một sinh viên nói: Mọi giảng viên đều quan tâm đến vectơ. Rốt cuộc, nó không chỉ là một vần điệu dí dỏm, mọi thứ đều đúng về mặt toán học - vectơ cũng có thể được gắn vào đó. Nhưng đừng vội vui mừng, người khổ nhất chính là học sinh =))
Vì thế, vectơ miễn phí- Cái này nhiều các phân đoạn được định hướng giống hệt nhau. Định nghĩa trường phái về vectơ được đưa ra ở đầu đoạn văn: “Một đoạn có hướng được gọi là vectơ…” ngụ ý cụ thể một đoạn có hướng được lấy từ một tập hợp nhất định, được gắn với một điểm cụ thể trong mặt phẳng hoặc không gian.
Cần lưu ý rằng từ quan điểm vật lý, khái niệm vectơ tự do nói chung là không chính xác và quan điểm ứng dụng của vectơ là quan trọng. Thật vậy, một cú đánh trực tiếp với cùng một lực vào mũi hoặc trán, đủ để phát triển ví dụ ngu ngốc của tôi, sẽ gây ra những hậu quả khác nhau. Tuy nhiên, không có tự do vectơ cũng được tìm thấy trong quá trình vyshmat (đừng đến đó :)).
Hành động với vectơ. Sự cộng tuyến của các vectơ
Một khóa học hình học phổ thông bao gồm một số hành động và quy tắc với vectơ: phép cộng theo quy tắc tam giác, phép cộng theo quy tắc hình bình hành, quy tắc sai phân vectơ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng của vectơ, v.v.Để bắt đầu, chúng ta hãy nhắc lại hai quy tắc đặc biệt phù hợp để giải các bài toán hình học giải tích.
Quy tắc cộng vectơ bằng quy tắc tam giác
Xét hai vectơ khác 0 tùy ý và: 
Bạn cần tìm tổng của các vectơ này. Do thực tế là tất cả các vectơ đều được coi là tự do nên chúng ta loại vectơ khỏi kết thúc vectơ: 
Tổng các vectơ là vectơ. Để hiểu rõ hơn về quy luật, nên đặt ý nghĩa vật lý vào đó: để một vật nào đó chuyển động dọc theo vectơ , rồi dọc theo vectơ . Khi đó tổng các vectơ là vectơ của đường đi kết quả có điểm đầu là điểm khởi hành và điểm cuối là điểm đến. Một quy tắc tương tự được xây dựng cho tổng của bất kỳ số lượng vectơ nào. Như người ta nói, cơ thể có thể di chuyển rất nghiêng theo đường ngoằn ngoèo, hoặc có thể ở chế độ lái tự động - dọc theo vectơ kết quả của tổng.
Nhân tiện, nếu vectơ bị trễ từ bắt đầu vector, sau đó chúng ta nhận được tương đương quy tắc hình bình hành phép cộng các vectơ.
Đầu tiên, về sự cộng tuyến của các vectơ. Hai vectơ đó được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song. Nói một cách đại khái, chúng ta đang nói về các vectơ song song. Nhưng liên quan đến họ, tính từ “cộng tuyến” luôn được sử dụng.
Cho hai vectơ thẳng hàng. Nếu các mũi tên của các vectơ này cùng hướng thì các vectơ đó được gọi là đồng đạo diễn. Nếu các mũi tên hướng khác nhau thì các vectơ sẽ là hướng ngược lại.
Chỉ định: tính cộng tuyến của các vectơ được viết bằng ký hiệu song song thông thường: , trong khi có thể chi tiết hóa: (các vectơ có hướng ngược nhau) hoặc (các vectơ có hướng ngược nhau).
công việc một vectơ khác 0 của một số là một vectơ có độ dài bằng , và các vectơ cùng hướng và hướng ngược nhau tại .
Quy tắc nhân vectơ với một số sẽ dễ hiểu hơn với sự trợ giúp của hình ảnh: 
Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn:
1) Hướng. Nếu số nhân âm thì vectơ thay đổi hướng ngược lại.
2) Chiều dài. Nếu số nhân nằm trong hoặc , thì độ dài của vectơ giảm. Vậy độ dài của vectơ bằng một nửa độ dài của vectơ. Nếu mô đun của số nhân lớn hơn 1 thì độ dài của vectơ tăng lênđôi khi.
3) Xin lưu ý rằng mọi vectơ đều thẳng hàng, trong khi một vectơ được biểu diễn thông qua một vectơ khác, ví dụ: . Điều ngược lại cũng đúng: nếu một vectơ có thể được biểu diễn thông qua một vectơ khác thì các vectơ đó nhất thiết phải thẳng hàng. Như vậy: nếu chúng ta nhân một vectơ với một số, chúng ta sẽ thẳng hàng(so với bản gốc) vectơ.
4) Các vectơ cùng hướng. Các vectơ và cũng được đồng đạo diễn. Bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ nhất đều có hướng ngược chiều với bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ hai.
Những vectơ nào bằng nhau?
Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Lưu ý rằng tính đồng hướng hàm ý tính cộng tuyến của các vectơ. Định nghĩa sẽ không chính xác (dư thừa) nếu chúng ta nói: “Hai vectơ bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, cùng hướng và có cùng độ dài”.
Từ quan điểm của khái niệm vectơ tự do, các vectơ bằng nhau là cùng một vectơ, như đã thảo luận trong đoạn trước.
Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian
Điểm đầu tiên là xét các vectơ trên mặt phẳng. Chúng ta hãy mô tả một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes và vẽ nó từ gốc tọa độ đơn vectơ và:
Vectơ và trực giao. Trực giao = Vuông góc. Tôi khuyên bạn nên làm quen dần với các thuật ngữ: thay vì song song và vuông góc, chúng ta sử dụng các từ tương ứng sự cộng tác Và tính trực giao.
Chỉ định: Tính trực giao của vectơ được viết bằng ký hiệu vuông góc thông thường, ví dụ: .
Các vectơ đang xét được gọi là vectơ tọa độ hoặc orts. Các vectơ này hình thành cơ sở trên một chiếc máy bay. Tôi nghĩ cơ sở là gì thì nhiều người có thể tìm thấy thông tin chi tiết hơn trong bài viết; Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ Nói một cách đơn giản, cơ sở và nguồn gốc của tọa độ xác định toàn bộ hệ thống - đây là một loại nền tảng tạo nên đời sống hình học đầy đủ và phong phú.
Đôi khi cơ sở được xây dựng được gọi là trực giao cơ sở của mặt phẳng: “ortho” - vì các vectơ tọa độ là trực giao nên tính từ “chuẩn hóa” có nghĩa là đơn vị, tức là độ dài của các vectơ cơ sở bằng một.
Chỉ định: cơ sở thường được viết trong ngoặc đơn, trong đó theo trình tự chặt chẽ các vectơ cơ sở được liệt kê, ví dụ: . Các vectơ tọa độ nó bị cấm sắp xếp lại.
Bất kì véc tơ máy bay cách duy nhấtđược thể hiện như: 
, Ở đâu - con sốđược gọi là tọa độ vector trong cơ sở này. Và bản thân sự biểu hiện 
gọi điện phân rã véc tơtheo cơ sở .
Bữa tối được phục vụ:
Hãy bắt đầu với chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái: . Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng khi phân tách một vectơ thành một cơ sở, những vectơ vừa thảo luận sẽ được sử dụng:
1) quy tắc nhân vectơ với một số: và ;
2) phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác: .
Bây giờ hãy tưởng tượng vectơ từ bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng. Rõ ràng là sự suy tàn của anh ta sẽ “theo anh ta không ngừng nghỉ”. Đây rồi, sự tự do của vectơ - vectơ “mang theo mọi thứ bên mình”. Tất nhiên, tính chất này đúng với mọi vectơ. Thật buồn cười là bản thân các vectơ cơ sở (miễn phí) không nhất thiết phải được vẽ từ gốc; một vectơ có thể được vẽ, chẳng hạn như ở dưới cùng bên trái và vectơ kia ở trên cùng bên phải, và sẽ không có gì thay đổi! Đúng, bạn không cần phải làm điều này, vì giáo viên cũng sẽ thể hiện sự độc đáo và ghi điểm “tín dụng” cho bạn ở một nơi không ngờ tới.
Các vectơ minh họa chính xác quy tắc nhân một vectơ với một số, vectơ cùng hướng với vectơ cơ sở, vectơ có hướng ngược với vectơ cơ sở. Đối với các vectơ này, một trong các tọa độ bằng 0, bạn có thể viết nó một cách tỉ mỉ như thế này:
Và nhân tiện, các vectơ cơ sở giống như thế này: (trên thực tế, chúng được thể hiện thông qua chính chúng).
Và cuối cùng: , . Nhân tiện, phép trừ vectơ là gì và tại sao tôi không nói về quy tắc trừ? Ở đâu đó trong đại số tuyến tính, tôi không nhớ ở đâu, tôi đã lưu ý rằng phép trừ là một trường hợp đặc biệt của phép cộng. Do đó, việc khai triển các vectơ “de” và “e” có thể dễ dàng viết dưới dạng tổng: , 
. Sắp xếp lại các số hạng và xem trong hình vẽ cách cộng các vectơ cũ theo quy tắc tam giác hoạt động tốt như thế nào trong những tình huống này.
Việc phân hủy được coi là của biểu mẫu 
đôi khi được gọi là phân rã vector trong hệ thống ort(tức là trong một hệ vectơ đơn vị). Nhưng đây không phải là cách duy nhất để viết vectơ; tùy chọn sau đây là phổ biến:
Hoặc với dấu bằng:
Bản thân các vectơ cơ sở được viết như sau: và
Nghĩa là tọa độ của vectơ được biểu thị trong ngoặc đơn. Trong các bài toán thực tế, cả ba tùy chọn ký hiệu đều được sử dụng.
Tôi phân vân không biết có nên nói không, nhưng dù sao tôi cũng sẽ nói: tọa độ vector không thể được sắp xếp lại. Nghiêm túc ở vị trí đầu tiên chúng ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị, đúng ở vị trí thứ hai chúng ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị. Thật vậy, và là hai vectơ khác nhau.
Chúng tôi đã tìm ra tọa độ trên máy bay. Bây giờ chúng ta hãy xem các vectơ trong không gian ba chiều, hầu hết mọi thứ ở đây đều giống nhau! Nó sẽ chỉ thêm một tọa độ nữa. Thật khó để tạo các bản vẽ ba chiều, vì vậy tôi sẽ giới hạn ở một vectơ, để đơn giản, tôi sẽ tách khỏi gốc: 
Bất kì vectơ không gian 3D cách duy nhất khai triển trên cơ sở trực chuẩn: 
, tọa độ của vectơ (số) trong cơ sở này ở đâu.
Ví dụ từ hình ảnh: 
. Hãy xem các quy tắc vectơ hoạt động như thế nào ở đây. Đầu tiên, nhân vectơ với số: (mũi tên đỏ), (mũi tên xanh) và (mũi tên quả mâm xôi). Thứ hai, đây là ví dụ về việc cộng một số vectơ, trong trường hợp này là ba vectơ: . Vectơ tổng bắt đầu tại điểm khởi hành ban đầu (điểm bắt đầu của vectơ) và kết thúc tại điểm đến cuối cùng (điểm cuối của vectơ).
Tất cả các vectơ của không gian ba chiều, một cách tự nhiên, cũng tự do; hãy cố gắng gạt vectơ đó ra khỏi bất kỳ điểm nào khác trong đầu, và bạn sẽ hiểu rằng sự phân rã của nó “sẽ vẫn ở lại với nó”.
Tương tự như trường hợp phẳng, ngoài chức năng viết 
các phiên bản có dấu ngoặc được sử dụng rộng rãi: .
Nếu một (hoặc hai) vectơ tọa độ bị thiếu trong khai triển thì các số 0 sẽ được đặt vào vị trí của chúng. Ví dụ:
vectơ (một cách tỉ mỉ 
) – hãy viết ;
vectơ (một cách tỉ mỉ 
) – hãy viết ;
vectơ (một cách tỉ mỉ 
) – hãy viết .
Các vectơ cơ sở được viết như sau:
Có lẽ đây là tất cả những kiến thức lý thuyết tối thiểu cần thiết để giải các bài toán hình học giải tích. Có thể có rất nhiều thuật ngữ và định nghĩa nên tôi khuyên các ấm trà nên đọc lại và hiểu kỹ lại những thông tin này. Và sẽ rất hữu ích cho bất kỳ độc giả nào thỉnh thoảng tham khảo bài học cơ bản để tiếp thu tài liệu tốt hơn. Tính cộng tuyến, tính trực giao, cơ sở trực giao, phân rã vectơ - những khái niệm này và các khái niệm khác sẽ thường được sử dụng trong tương lai. Tôi muốn lưu ý rằng tài liệu của trang web không đủ để vượt qua bài kiểm tra lý thuyết hoặc hội thảo về hình học, vì tôi mã hóa cẩn thận tất cả các định lý (và không có bằng chứng) - gây bất lợi cho phong cách trình bày khoa học, nhưng là điểm cộng cho bạn hiểu biết về chủ đề. Để nhận được thông tin lý thuyết chi tiết, xin vui lòng cúi chào Giáo sư Atanasyan.
Và chúng ta chuyển sang phần thực hành:
Những bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích.
Hành động với vectơ trong tọa độ
Rất nên học cách giải quyết các nhiệm vụ sẽ được coi là hoàn toàn tự động và các công thức ghi nhớ, bạn thậm chí không cần phải cố ý nhớ nó, họ sẽ tự nhớ nó =) Điều này rất quan trọng, vì các bài toán khác của hình học giải tích đều dựa trên những ví dụ cơ bản đơn giản nhất và sẽ rất khó chịu khi phải dành thêm thời gian để ăn những con tốt . Không cần phải cài cúc trên cùng của áo sơ mi; nhiều thứ đã quen thuộc với bạn từ thời đi học.
Việc trình bày tài liệu sẽ tuân theo một tiến trình song song - cả về mặt phẳng và không gian. Vì lý do mà tất cả các công thức... bạn sẽ tự mình nhìn thấy.
Làm thế nào để tìm một vectơ từ hai điểm?
Nếu cho trước hai điểm của mặt phẳng thì vectơ có tọa độ như sau: 
Nếu cho trước hai điểm trong không gian thì vectơ có tọa độ như sau:
Đó là, từ tọa độ điểm cuối của vectơ bạn cần trừ tọa độ tương ứng phần đầu của vectơ.
Bài tập:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Công thức ở cuối bài học.
Ví dụ 1
Cho hai điểm của mặt phẳng và . Tìm tọa độ vectơ
Giải pháp: theo công thức tương ứng:
Ngoài ra, mục sau có thể được sử dụng:
Thẩm mỹ sẽ quyết định điều này:
Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của bản ghi âm.
Trả lời:
Theo điều kiện thì không nhất thiết phải xây dựng một bản vẽ (điển hình cho các bài toán hình học giải tích), nhưng để làm rõ một số điểm cho người giả, tôi sẽ không lười biếng: 
Bạn chắc chắn cần phải hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:
tọa độ điểm– đây là các tọa độ thông thường trong hệ tọa độ hình chữ nhật. Tôi nghĩ mọi người đều biết cách vẽ điểm trên mặt phẳng tọa độ từ lớp 5-6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên mặt phẳng và chúng không thể di chuyển đi bất cứ đâu.
Tọa độ của vectơ– đây là sự khai triển của nó theo cơ sở, trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào đều miễn phí, vì vậy nếu cần, chúng ta có thể dễ dàng di chuyển nó ra khỏi một số điểm khác trong mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ, bạn không cần phải xây dựng trục hoặc hệ tọa độ hình chữ nhật, bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này là cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng.
Các bản ghi tọa độ điểm và tọa độ của vectơ có vẻ giống nhau: và ý nghĩa tọa độ tuyệt đối khác biệt, và bạn nên nhận thức rõ về sự khác biệt này. Tất nhiên, sự khác biệt này cũng áp dụng cho không gian.
Thưa quý vị, hãy lấp đầy bàn tay của chúng tôi:
Ví dụ 2
a) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
b) Điểm được cho 
Và . Tìm vectơ và .
c) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
d) Điểm được cho. Tìm vectơ 
.
Có lẽ thế là đủ. Đây là những ví dụ để bạn tự quyết định, cố gắng đừng bỏ qua chúng, nó sẽ mang lại kết quả ;-). Không cần phải vẽ bản vẽ. Lời giải và đáp án cuối bài.
Điều quan trọng khi giải các bài toán hình học giải tích là gì?Điều quan trọng là phải CỰC KỲ CẨN THẬN để tránh mắc phải sai lầm bậc thầy “hai cộng hai bằng 0”. Mình có sai sót ở đâu thì xin lỗi ngay nhé =))
Làm thế nào để tìm độ dài của một đoạn?
Độ dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu mô đun.
Nếu cho hai điểm của mặt phẳng và , thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức
Nếu có hai điểm trong không gian và cho trước thì độ dài của đoạn đó có thể được tính bằng công thức
Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu đổi chỗ tọa độ tương ứng: và , nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn
Ví dụ 3
Giải pháp: theo công thức tương ứng:
Trả lời: 
Để rõ ràng, tôi sẽ vẽ 
Phân đoạn – đây không phải là một vectơ và tất nhiên là bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu. Ngoài ra nếu vẽ theo tỷ lệ: 1 đơn vị. = 1 cm (hai ô vở), thì có thể kiểm tra câu trả lời thu được bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn.
Đúng, giải pháp rất ngắn gọn, nhưng có một số điểm quan trọng hơn mà tôi muốn làm rõ:
Đầu tiên, trong câu trả lời chúng ta đặt thứ nguyên: “đơn vị”. Điều kiện không cho biết đó là CÁI GÌ, milimét, centimét, mét hoặc kilômét. Do đó, giải pháp đúng về mặt toán học sẽ là công thức chung: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.
Thứ hai, chúng ta hãy nhắc lại tài liệu học tập, tài liệu này không chỉ hữu ích cho nhiệm vụ đang được xem xét:
Xin lưu ý kỹ thuật quan trọng – loại bỏ số nhân từ dưới gốc. Kết quả của các phép tính, chúng ta có một kết quả và phong cách toán học tốt liên quan đến việc loại bỏ hệ số khỏi gốc (nếu có thể). Quá trình này trông như thế này chi tiết hơn: 
. Tất nhiên, để lại câu trả lời như cũ không phải là một sai lầm - nhưng chắc chắn đó sẽ là một thiếu sót và là một lập luận nặng nề cho việc ngụy biện từ phía giáo viên.
Dưới đây là những trường hợp phổ biến khác: 
Thường thì gốc cho ra số lượng khá lớn, ví dụ . Phải làm gì trong những trường hợp như vậy? Sử dụng máy tính, chúng tôi kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 hay không: . Vâng, nó đã được chia hoàn toàn, do đó: 
. Hoặc có thể số đó lại có thể chia cho 4? . Như vậy: 
. Chữ số cuối cùng của số là số lẻ nên việc chia cho 4 lần thứ ba hiển nhiên sẽ không được. Hãy thử chia cho chín: . Kết quả là:
Sẵn sàng.
Phần kết luận: nếu dưới gốc, chúng ta nhận được một số không thể trích ra toàn bộ, thì chúng ta sẽ cố gắng loại bỏ hệ số từ dưới gốc - chúng ta kiểm tra trên máy tính xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, v.v.
Khi giải các bài toán khác nhau, gốc rễ thường gặp phải; hãy luôn cố gắng rút ra các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm kém và những vấn đề không đáng có khi hoàn thiện lời giải của mình dựa trên nhận xét của giáo viên.
Chúng ta hãy lặp lại căn bậc hai và các lũy thừa khác: 
Các quy tắc hoạt động với lũy thừa ở dạng tổng quát có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa đại số ở trường, nhưng tôi nghĩ từ các ví dụ đã cho, mọi thứ hoặc gần như mọi thứ đều đã rõ ràng.
Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập với một phân đoạn trong không gian:
Ví dụ 4
Điểm và được đưa ra. Tìm độ dài của đoạn này.
Đáp án và đáp án ở cuối bài.
Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?
Nếu cho trước một vectơ phẳng thì độ dài của nó được tính theo công thức.
Nếu cho trước một vectơ không gian thì độ dài của nó được tính theo công thức 
.
Vectơ đơn vị- Cái này vectơ, giá trị tuyệt đối (mô đun) của nó bằng đơn vị. Để biểu thị một vectơ đơn vị, chúng ta sẽ sử dụng chỉ số e. MỘT thì vectơ đơn vị của nó sẽ là vectơ MỘT e. Vectơ đơn vị này có hướng cùng hướng với chính vectơ đó MỘT và môđun của nó bằng 1, nghĩa là a e = 1.
Rõ ràng, MỘT= một MỘT e (một - mô-đun vector MỘT). Điều này tuân theo quy tắc thực hiện phép nhân nhân một đại lượng vô hướng với một vectơ.
Vectơ đơn vị thường gắn liền với các trục tọa độ của một hệ tọa độ (đặc biệt là với các trục của hệ tọa độ Descartes). Những hướng đi này vectơ trùng với hướng của các trục tương ứng và gốc của chúng thường được kết hợp với gốc của hệ tọa độ.
Hãy để tôi nhắc bạn điều đó Hệ tọa độ Descartes trong không gian, một bộ ba trục vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm gọi là gốc tọa độ. Các trục tọa độ thường được ký hiệu bằng các chữ cái X, Y, Z và được gọi lần lượt là trục hoành, trục hoành và trục ứng dụng. Bản thân Descartes chỉ sử dụng một trục, trên đó vẽ các trục hoành. Công dụng của việc sử dụng hệ thống trục thuộc về học sinh của mình. Vì vậy cụm từ Hệ tọa độ Descartes sai về mặt lịch sử. Sẽ tốt hơn nếu nói chuyện hình chữ nhật hệ tọa độ hoặc hệ tọa độ trực giao. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không thay đổi truyền thống và trong tương lai chúng tôi sẽ cho rằng hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ hình chữ nhật (trực giao) là một và giống nhau.
Vectơ đơn vị, hướng dọc theo trục X, được ký hiệu Tôi, vectơ đơn vị, hướng dọc theo trục Y, được ký hiệu j, MỘT vectơ đơn vị, hướng dọc theo trục Z, được ký hiệu k. Vectơ Tôi, j, kđược gọi là orts(Hình 12, bên trái), chúng có các mô-đun đơn, nghĩa là
tôi = 1, j = 1, k = 1.
Trục và vectơ đơn vị hệ tọa độ chữ nhật trong một số trường hợp chúng có tên và ký hiệu khác nhau. Do đó, trục hoành X có thể được gọi là trục tiếp tuyến và vectơ đơn vị của nó được ký hiệu là τ (chữ nhỏ tiếng Hy Lạp tau), trục tọa độ là trục pháp tuyến, vectơ đơn vị của nó được ký hiệu là N, trục ứng dụng là trục nhị chuẩn, vectơ đơn vị của nó được ký hiệu b. Tại sao phải đổi tên nếu bản chất vẫn như cũ?
Thực tế là, ví dụ, trong cơ học, khi nghiên cứu chuyển động của các vật thể, hệ tọa độ hình chữ nhật được sử dụng rất thường xuyên. Vì vậy, nếu bản thân hệ tọa độ đứng yên và sự thay đổi tọa độ của vật thể chuyển động được theo dõi trong hệ thống đứng yên này, thì thông thường các trục được ký hiệu là X, Y, Z và các trục của chúng vectơ đơn vị tương ứng Tôi, j, k.
Nhưng thông thường, khi một đối tượng di chuyển dọc theo một loại đường cong nào đó (ví dụ, trong một vòng tròn), sẽ thuận tiện hơn khi xem xét các quá trình cơ học trong hệ tọa độ chuyển động cùng với đối tượng này. Đối với một hệ tọa độ chuyển động như vậy, các tên trục khác và vectơ đơn vị của chúng được sử dụng. Nó chỉ là như vậy thôi. Trong trường hợp này, trục X được định hướng tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm hiện tại đang đặt vật thể này. Và khi đó trục này không còn được gọi là trục X nữa mà là trục tiếp tuyến và vectơ đơn vị của nó không còn được gọi là trục X nữa. Tôi, MỘT τ . Trục Y hướng dọc theo bán kính cong của quỹ đạo (trong trường hợp chuyển động theo đường tròn - đến tâm của đường tròn). Và vì bán kính vuông góc với tiếp tuyến nên trục đó được gọi là trục pháp tuyến (vuông góc và pháp tuyến là như nhau). Vectơ đơn vị của trục này không còn được ký hiệu j, MỘT N. Trục thứ ba (trước đây là Z) vuông góc với hai trục trước đó. Đây là một dị thường có orth b(Hình 12, bên phải). Nhân tiện, trong trường hợp này như vậy hệ tọa độ chữ nhật thường được gọi là "tự nhiên" hoặc tự nhiên.
7.1. Định nghĩa sản phẩm chéo
Ba vectơ không đồng phẳng a, b và c, được sắp xếp theo thứ tự đã cho, tạo thành một bộ ba thuận nếu, từ điểm cuối của vectơ thứ ba c, quãng đường ngắn nhất từ vectơ a thứ nhất đến vectơ thứ hai b được nhìn thấy là ngược chiều kim đồng hồ và bộ ba thuận tay trái nếu theo chiều kim đồng hồ (xem Hình .16).
Tích vectơ của vectơ a và vectơ b được gọi là vectơ c, trong đó:
1. Vuông góc với vectơ a và b, tức là c ^ a và c ^ b ;
2. Có chiều dài bằng diện tích hình bình hành dựng trên vectơ a vàb như ở các bên (xem Hình 17), tức là
3. Các vectơ a, b và c tạo thành bộ ba thuận tay phải.
Tích chéo được ký hiệu là a x b hoặc [a,b]. Các mối quan hệ sau đây giữa các vectơ đơn vị tôi rút ra trực tiếp từ định nghĩa của tích vectơ, j Và k
(xem Hình 18):
i x j = k, j x k = i, k x i = j. Hãy để chúng tôi chứng minh, ví dụ, rằng
tôi xj =k. ^ 1) k^i, k
j ; 2) |k |=1, nhưng | tôi x j
| = |tôi | Và|J | sin(90°)=1;
3) vectơ i, j và
tạo thành bộ ba bên phải (xem Hình 16).
7.2. Thuộc tính của sản phẩm chéo = -(1. Khi sắp xếp lại các thừa số, tích vectơ đổi dấu, tức là).
2. Tích vectơ có tính chất kết hợp đối với thừa số vô hướng, tức là l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).
Đặt l > 0. Vector l (a xb) vuông góc với vectơ a và b. Vectơ ( tôi a)x b cũng vuông góc với vectơ a và b(vectơ a, tôi nhưng nằm trong cùng một mặt phẳng). Điều này có nghĩa là các vectơ tôi(a xb) và ( tôi a)x b thẳng hàng. Rõ ràng là hướng của họ trùng nhau. Chúng có cùng độ dài:
Đó là lý do tại sao tôi(a xb)= tôi một xb. Nó được chứng minh một cách tương tự cho tôi<0.
3. Hai vectơ khác 0 a và b thẳng hàng khi và chỉ nếu tích vectơ của chúng bằng vectơ 0, tức là a ||b<=>và xb = 0.
Cụ thể, i *i =j *j =k *k =0 .
4. Tích vector có tính chất phân phối:
(a+b) xc = a xc + b xs.
Chúng tôi sẽ chấp nhận mà không cần bằng chứng.
7.3. Biểu diễn tích chéo theo tọa độ
Chúng ta sẽ sử dụng bảng tích chéo của vectơ i, Các mối quan hệ sau đây giữa các vectơ đơn vị tôi rút ra trực tiếp từ định nghĩa của tích vectơ, và k:
nếu hướng của đường đi ngắn nhất từ vectơ thứ nhất đến vectơ thứ hai trùng với hướng của mũi tên thì tích bằng vectơ thứ ba, nếu không trùng nhau thì vectơ thứ ba lấy dấu trừ;
Cho hai vectơ a =a x i +a y Các mối quan hệ sau đây giữa các vectơ đơn vị tôi rút ra trực tiếp từ định nghĩa của tích vectơ,+a z Và và b = b x Tôi+b y Các mối quan hệ sau đây giữa các vectơ đơn vị tôi rút ra trực tiếp từ định nghĩa của tích vectơ,+bz Và. Hãy tìm tích vectơ của các vectơ này bằng cách nhân chúng dưới dạng đa thức (theo tính chất của tích vectơ):
Công thức kết quả có thể được viết ngắn gọn hơn:
vì vế phải của đẳng thức (7.1) tương ứng với việc khai triển định thức bậc ba theo các phần tử của hàng đầu tiên. Đẳng thức (7.2) rất dễ nhớ.
7.4. Một số ứng dụng của tích chéo
Thiết lập sự cộng tuyến của các vectơ
Tìm diện tích hình bình hành và hình tam giác
Theo định nghĩa tích vectơ của vectơ MỘT và b |a xb | =|a | * |b |sin g, tức là S cặp = |a x b |. Và do đó, D S =1/2|a x b |.
Xác định mô men lực đối với một điểm
Cho một lực tác dụng vào điểm A F =AB và để VỀ- một số điểm trong không gian (xem Hình 20).
Người ta biết từ vật lý rằng khoảnh khắc của lực lượng F so với điểm VỀ gọi là vectơ M,đi qua điểm VỀ Và:
1) vuông góc với mặt phẳng đi qua các điểm O, A, B;
2) về số lượng bằng tích của lực trên mỗi cánh tay
3) tạo thành bộ ba bên phải với các vectơ OA và A B.
Do đó, M = OA x F.
Tìm tốc độ quay tuyến tính
Tốc độ vđiểm M của một vật rắn quay với vận tốc góc w quanh một trục cố định, được xác định theo công thức Euler v =w xr, trong đó r =OM, trong đó O là một điểm cố định nào đó của trục (xem Hình 21).
Trước khi đưa ra khái niệm tích vectơ, chúng ta hãy quay lại câu hỏi về hướng của bộ ba vectơ a →, b →, c → trong không gian ba chiều.
Để bắt đầu, hãy đặt các vectơ a → , b → , c → từ một điểm. Hướng của bộ ba a → , b → , c → có thể sang phải hoặc sang trái, tùy thuộc vào hướng của vectơ c → chính nó. Loại bộ ba a → , b → , c → sẽ được xác định từ hướng mà đoạn rẽ ngắn nhất được thực hiện từ vectơ a → đến b → từ điểm cuối của vectơ c → .
Nếu thực hiện vòng quay ngắn nhất ngược chiều kim đồng hồ thì bộ ba vectơ a → , b → , c → được gọi là Phải, nếu theo chiều kim đồng hồ – bên trái.
Tiếp theo, lấy hai vectơ không thẳng hàng a → và b →. Sau đó chúng ta hãy vẽ các vectơ A B → = a → và A C → = b → từ điểm A. Hãy dựng một vectơ A D → = c →, vuông góc đồng thời với cả A B → và A C →. Như vậy, khi dựng vectơ A D → = c →, chúng ta có thể thực hiện theo hai cách, cho nó một hướng hoặc ngược lại (xem hình minh họa).
Như chúng ta đã tìm ra, một bộ ba vectơ a → , b → , c → có thể ở bên phải hoặc bên trái tùy thuộc vào hướng của vectơ.
Từ những điều trên chúng ta có thể đưa ra định nghĩa về tích vector. Định nghĩa này được đưa ra cho hai vectơ được xác định trong hệ tọa độ hình chữ nhật của không gian ba chiều.
Định nghĩa 1
Tích vectơ của hai vectơ a → và b → chúng ta sẽ gọi một vectơ như vậy được xác định trong hệ tọa độ hình chữ nhật của không gian ba chiều sao cho:
- nếu các vectơ a → và b → thẳng hàng thì nó sẽ bằng 0;
- nó sẽ vuông góc với cả hai vectơ a → và vectơ b → tức là. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- chiều dài của nó được xác định theo công thức: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
- bộ ba vectơ a → , b → , c → có cùng hướng với hệ tọa độ đã cho.
Tích vectơ của các vectơ a → và b → có ký hiệu sau: a → × b →.
Tọa độ của tích vectơ
Vì bất kỳ vectơ nào cũng có tọa độ nhất định trong hệ tọa độ, nên chúng ta có thể đưa ra định nghĩa thứ hai về tích vectơ, định nghĩa này sẽ cho phép chúng ta tìm tọa độ của nó bằng cách sử dụng tọa độ đã cho của vectơ.
Định nghĩa 2
Trong hệ tọa độ chữ nhật của không gian ba chiều tích vectơ của hai vectơ a → = (a x ; a y ; a z) và b → = (b x ; b y ; b z) được gọi là vectơ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , trong đó i → , j → , k → là các vectơ tọa độ.
Tích vectơ có thể được biểu diễn dưới dạng định thức của ma trận vuông bậc ba, trong đó hàng đầu tiên chứa các vectơ vectơ i → , j → , k → , hàng thứ hai chứa tọa độ của vectơ a → , và hàng thứ ba chứa tọa độ của vectơ b → trong một hệ tọa độ hình chữ nhật nhất định, đây là định thức của ma trận có dạng như sau: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Khai triển định thức này thành các phần tử của hàng đầu tiên, chúng ta thu được đẳng thức: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
Thuộc tính của sản phẩm chéo
Được biết, tích vectơ trong tọa độ được biểu diễn dưới dạng định thức của ma trận c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , khi đó trên cơ sở tính chất của định thức ma trận những điều sau đây được hiển thị Tính chất của tích vectơ:
- tính phản giao hoán a → × b → = - b → × a → ;
- độ phân phối a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → hoặc a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- tính kết hợp λ a → × b → = λ a → × b → hoặc a → × (λ b →) = λ a → × b →, trong đó λ là số thực tùy ý.
Những tính chất này có bằng chứng đơn giản.
Ví dụ, chúng ta có thể chứng minh tính chất phản giao hoán của tích vectơ.
Bằng chứng về tính phản giao hoán
Theo định nghĩa, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z và b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Và nếu hai hàng của ma trận được hoán đổi cho nhau thì giá trị của định thức của ma trận sẽ thay đổi theo chiều ngược lại, do đó a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , điều này chứng tỏ rằng tích vectơ có tính phản giao hoán.
Sản phẩm Vector - ví dụ và giải pháp
Trong hầu hết các trường hợp, có ba loại vấn đề.
Trong các bài toán loại thứ nhất, độ dài của hai vectơ và góc giữa chúng thường được cho trước và bạn cần tìm độ dài của tích vectơ. Trong trường hợp này, hãy sử dụng công thức sau c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .
Ví dụ 1
Tìm độ dài tích vectơ của các vectơ a → và b → nếu biết a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.
Giải pháp
Bằng cách xác định độ dài tích vectơ của các vectơ a → và b →, ta giải được bài toán này: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .
Trả lời: 15 2 2 .
Các bài toán loại thứ hai có mối liên hệ với tọa độ của vectơ, trong đó tích vectơ, độ dài của nó, v.v. được tìm kiếm thông qua tọa độ đã biết của các vectơ đã cho a → = (a x; a y; a z) Và b → = (b x ; b y ; b z) .
Đối với loại vấn đề này, bạn có thể giải quyết rất nhiều phương án nhiệm vụ. Ví dụ, không thể xác định được tọa độ của các vectơ a → và b →, nhưng việc khai triển chúng thành các vectơ tọa độ có dạng b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → và c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, hoặc các vectơ a → và b → có thể được xác định bằng tọa độ điểm bắt đầu của chúng và điểm cuối.
Hãy xem xét các ví dụ sau.
Ví dụ 2
Trong hệ tọa độ hình chữ nhật, có hai vectơ: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Tìm sản phẩm chéo của họ.
Giải pháp
Theo định nghĩa thứ hai, ta tìm tích vectơ của hai vectơ trong tọa độ cho trước: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Nếu chúng ta viết tích vectơ thông qua định thức của ma trận, thì nghiệm của ví dụ này sẽ như sau: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Trả lời: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Ví dụ 3
Tìm độ dài tích vectơ của các vectơ i → - j → và i → + j → + k →, trong đó i →, j →, k → là các vectơ đơn vị của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật.
Giải pháp
Đầu tiên, chúng ta hãy tìm tọa độ của một tích vectơ cho trước i → - j → × i → + j → + k → trong một hệ tọa độ hình chữ nhật nhất định.
Được biết, các vectơ i → - j → và i → + j → + k → lần lượt có tọa độ (1; - 1; 0) và (1; 1; 1). Hãy tìm độ dài của tích vectơ bằng định thức của ma trận, khi đó ta có i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
Do đó, tích vectơ i → - j → × i → + j → + k → có tọa độ (- 1 ; - 1 ; 2) trong hệ tọa độ đã cho.
Chúng ta tìm độ dài của tích vectơ bằng công thức (xem phần tìm độ dài của vectơ): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.
Trả lời: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .
Ví dụ 4
Trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật, tọa độ của ba điểm A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) được cho trước. Tìm một số vectơ vuông góc với A B → và A C → đồng thời.
Giải pháp
Các vectơ A B → và A C → có tọa độ lần lượt là (- 1 ; 2 ; 2) và (0 ; 4 ; 1). Khi đã tìm được tích vectơ của các vectơ A B → và A C →, rõ ràng nó là vectơ vuông góc theo định nghĩa với cả A B → và A C →, tức là nó là nghiệm của bài toán của chúng ta. Hãy tìm nó A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
Trả lời: - 6 i → + j → - 4 k → . - một trong các vectơ vuông góc.
Các bài toán loại thứ ba tập trung vào việc sử dụng các tính chất tích vectơ của vectơ. Sau khi áp dụng, chúng ta sẽ thu được giải pháp cho vấn đề đã cho.
Ví dụ 5
Các vectơ a → và b → vuông góc và độ dài của chúng lần lượt là 3 và 4. Tìm độ dài của tích vectơ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .
Giải pháp
Theo tính chất phân phối của tích vectơ, ta có thể viết 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
Theo tính chất kết hợp, chúng ta lấy các hệ số số ra khỏi dấu của tích vectơ trong biểu thức cuối cùng: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
Tích vectơ a → × a → và b → × b → bằng 0, vì a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 và b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 thì 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .
Từ tính phản giao hoán của tích vectơ suy ra - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .
Sử dụng các tính chất của tích vectơ, ta thu được đẳng thức 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
Theo điều kiện, các vectơ a → và b → vuông góc, nghĩa là góc giữa chúng bằng π 2. Bây giờ tất cả những gì còn lại là thay thế các giá trị tìm được vào các công thức thích hợp: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .
Trả lời: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.
Độ dài tích vectơ của các vectơ theo định nghĩa bằng a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Vì người ta đã biết (từ khóa học ở trường) rằng diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích độ dài hai cạnh của nó nhân với sin của góc giữa các cạnh này. Do đó, chiều dài của tích vectơ bằng diện tích của hình bình hành - một tam giác nhân đôi, cụ thể là tích của các cạnh dưới dạng vectơ a → và b →, đặt từ một điểm, theo sin của góc giữa chúng sin ∠ a →, b →.
Đây là ý nghĩa hình học của tích vector.
Ý nghĩa vật lý của sản phẩm vector
Trong cơ học, một trong những nhánh của vật lý, nhờ tích vectơ, bạn có thể xác định mômen của lực so với một điểm trong không gian.
Định nghĩa 3
Đến thời điểm lực F → tác dụng lên điểm B tương ứng với điểm A, ta sẽ hiểu tích vectơ sau A B → × F →.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter