Sẽ không ai tranh luận rằng bạn không thể đến đích nếu không biết hướng di chuyển. Trong vật lý khái niệm này được gọi là vectơ. Cho đến thời điểm này, chúng ta đã làm việc với một số con số và giá trị, được gọi là đại lượng. Một vectơ khác với một đại lượng ở chỗ nó có hướng.
Khi làm việc với một vectơ, họ thao tác trên đó phương hướng Và kích cỡ. Thông số vật lý không quan tâm đến phương hướng được gọi là vô hướng.
Trực quan, vector được hiển thị dưới dạng một mũi tên. Độ dài của mũi tên là độ lớn của vectơ.
Trong vật lý, vectơ được ký hiệu là chữ in hoa với một mũi tên ở trên cùng.
Các vectơ có thể được so sánh. Hai vectơ sẽ bằng nhau nếu chúng có cùng kích thước và phương hướng.
Các vectơ có thể được thêm vào. Vectơ kết quả là tổng của cả hai vectơ và xác định khoảng cách và hướng. Ví dụ, bạn sống ở Kyiv và quyết định đến thăm những người bạn cũ ở Moscow, và từ đó đến thăm mẹ chồng yêu quý của bạn ở Lviv. Bạn sẽ ở cách nhà bao xa khi đến thăm mẹ vợ?
Để trả lời câu hỏi này bạn cần vẽ một vector từ điểm bắt đầu du lịch (Kyiv) và đến đích cuối cùng (Lviv). Vectơ mới xác định kết quả của toàn bộ hành trình từ đầu đến cuối.
- Vector A - Kiev-Moscow
- Vector B - Moscow-Lviv
- Vector C - Kiev-Lviv
C = A+B, trong đó C - tổng vectơ hoặc vectơ kết quả
Các vectơ không chỉ có thể được thêm vào mà còn có thể bị trừ đi! Để làm điều này, bạn cần kết hợp các cơ sở của vectơ trừ và vectơ trừ và nối các đầu của chúng bằng mũi tên:
- Vectơ A = C-B
- Vector B = C-A
Hãy đặt nó trên vectơ của chúng ta lưới tọa độ. Đối với vectơ A chúng ta có thể nói rằng nó được hướng lên trên 5 ô ( giá trị dương Trục Y) và 3 ô bên trái ( giá trị âm Trục X): X=-3; Y=5.
Đối với vectơ B: hướng 4 ô sang trái và 7 ô xuống: X=-4; Y=-7.
Vì vậy, để cộng các vectơ dọc theo trục X và Y, bạn cần cộng tọa độ của chúng. Để lấy tọa độ của vectơ kết quả dọc theo trục X và Y:
Hãy xem xét vấn đề: quả bóng chuyển động với vận tốc 10m/s mặt phẳng nghiêng có chiều dài đáy X=1m, nằm ở góc 30° so với đường chân trời. Cần xác định thời gian quả bóng chuyển động từ đầu đến cuối mặt phẳng.
Trong bài toán này, tốc độ là một vectơ V. với cường độ 10m/s và hướng α=30° sang phương ngang. Để xác định tốc độ chuyển động của quả bóng dọc theo chân mặt phẳng nghiêng, ta cần xác định thành phần X chuyển động của quả bóng là đại lượng vô hướng (chỉ có giá trị, không có hướng) và được ký hiệu là Vx. Tương tự, thành phần Y của vận tốc cũng là đại lượng vô hướng và được ký hiệu là V y. Vectơ vận tốc qua các thành phần: V = (V x ;V y)
Hãy xác định các thành phần (V x ;V y). Hãy nhớ lại lượng giác:
V x = V cosα
V y = V sinα
Thành phần X của tốc độ bóng:
V x = V cosα = V cos30° = 10,0 0,866 = 8,66 m/s
Vận tốc theo phương ngang của quả bóng là 8,66 m/s.
Bởi vì Chiều dài đáy của mặt phẳng nghiêng là 1 m thì quả bóng sẽ đi được quãng đường đó trong:
1,00(m)/8,66(m/s) = 0,12 giây
Như vậy, quả bóng sẽ cần 0,12 s để chuyển động dọc theo mặt phẳng nghiêng. Đáp án: 0,12s
Để quan tâm, hãy xác định thành phần Y của tốc độ:
V y = V sinα = 10 1/2 = 5,0 m/s
Vì thời gian “di chuyển” của quả bóng là như nhau đối với cả hai thành phần, nên chúng ta có thể xác định độ cao Y mà từ đó quả bóng lăn:
5,0(m/s)·0,12(s) = 0,6 m
Quãng đường bóng đi được:
Bài toán nghịch đảo
Hãy xem xét vấn đề nghịch đảo của vấn đề trước:
Quả bóng chuyển động dọc theo mặt phẳng nghiêng đến độ cao 0,6 m, còn trong mặt phẳng ngang chuyển động của nó là 1,0 m. Cần tìm quãng đường mà quả bóng đi được và góc.
Chúng tôi tính toán khoảng cách bằng định lý Pythagore:
L = √1,00 2 + 0,60 2 = √1,36 = 1,16m
Đối với lượng giác:
X = L cosα; Y = L sinα
X/L = cosα; Y/L = sinα
Bây giờ bạn có thể tìm thấy góc:
α = arccos(X/L); α = arcsin(Y/L)
Hãy thay thế các số:
α = arccos(1/1.16) = 30°
Tính toán trung gian của L có thể được loại bỏ:
Y = X tanα
Vectơ là đối tượng toán học, được đặc trưng bởi độ lớn và hướng (ví dụ: gia tốc, độ dịch chuyển), được tạo ra từ các đại lượng vô hướng không có hướng (ví dụ: khoảng cách, năng lượng). Các đại lượng vô hướng có thể được cộng bằng cách cộng các giá trị của chúng (ví dụ: 5 kJ công cộng với 6 kJ công bằng 11 kJ công), nhưng các vectơ không dễ dàng cộng và trừ như vậy.
bước
Cộng và trừ các vectơ có thành phần đã biết
- Lưu ý rằng vectơ có thể là một chiều, hai chiều hoặc ba chiều. Do đó, vectơ có thể có các thành phần "x", "x" và "y" hoặc các thành phần "x", "y", "z". Các vectơ 3D được thảo luận dưới đây, nhưng quá trình này tương tự đối với các vectơ 1D và 2D.
- Giả sử bạn được cho hai vectơ ba chiều- vectơ A và vectơ B. Viết các vectơ này vào dạng vector: A =
-
Để cộng hai vectơ, hãy cộng các thành phần tương ứng của chúng. Nói cách khác, thêm thành phần x của vectơ thứ nhất vào thành phần x của vectơ thứ hai (v.v.). Kết quả bạn sẽ nhận được các thành phần x, y, z của vectơ kết quả.
- A+B =
- Hãy cộng các vectơ A và B. A =<5, 9, -10>và B =<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, hoặc <22, 6, -12> .
- A+B =
-
Để trừ một vectơ này khỏi vectơ khác, bạn cần trừ các thành phần tương ứng. Như được trình bày dưới đây, phép trừ có thể được thay thế bằng cách cộng một vectơ và vectơ nghịch đảo của một vectơ khác. Nếu đã biết các thành phần của hai vectơ, hãy trừ các thành phần tương ứng của vectơ này khỏi các thành phần của vectơ kia.
- A-B =
- Trừ vectơ A và B. A =<18, 5, 3>và B =<-10, 9, -10>. A - B =<18--10, 5-9, 3--10>, hoặc <28, -4, 13> .
Cộng và trừ đồ họa
-
Vì vectơ có độ lớn và hướng nên chúng có điểm bắt đầu và điểm kết thúc (điểm bắt đầu và điểm kết thúc, khoảng cách giữa chúng bằng giá trị của vectơ).
- Khi một vectơ được hiển thị bằng đồ họa, nó được vẽ dưới dạng một mũi tên, đầu mũi tên là điểm cuối của vectơ và điểm đối diện là điểm bắt đầu của vectơ.
-
Khi vẽ vectơ, hãy vẽ tất cả các góc thật chính xác; nếu không bạn sẽ nhận được câu trả lời sai.
- Để cộng các vectơ, hãy vẽ chúng sao cho phần cuối của mỗi vectơ trước được nối với phần đầu của vectơ tiếp theo.
-
Nếu bạn chỉ cộng hai vectơ thì đó là tất cả những gì bạn phải làm trước khi tìm vectơ kết quả.
Xin lưu ý rằng thứ tự các vectơ được kết nối không quan trọng, nghĩa là vectơ A + vectơ B = vectơ B + vectơ A.
-
Vẽ một vectơ mới, bắt đầu từ đầu vectơ đầu tiên và kết thúc ở điểm cuối của vectơ cuối cùng (số lượng vectơ được thêm vào không quan trọng).
- Bạn sẽ nhận được một vectơ kết quả bằng tổng của tất cả các vectơ được thêm vào. Lưu ý rằng vectơ này giống với vectơ thu được bằng cách cộng các thành phần x, y và z của tất cả các vectơ.
- Nếu bạn đã vẽ độ dài của vectơ và góc giữa chúng rất chính xác thì bạn có thể tìm thấy giá trị của vectơ thu được chỉ bằng cách đo độ dài của nó. Ngoài ra, bạn có thể đo góc (giữa vectơ tổng hợp và vectơ được chỉ định khác hoặc các đường ngang/dọc) để tìm hướng của vectơ tổng hợp.
-
Nếu bạn đã vẽ độ dài của vectơ và góc giữa chúng rất chính xác thì bạn có thể tìm giá trị của vectơ thu được bằng phép đo lượng giác, cụ thể là định lý sin hoặc định lý cosin. Nếu bạn đang thêm nhiều vectơ (nhiều hơn hai), trước tiên hãy thêm hai vectơ, sau đó thêm vectơ kết quả và vectơ thứ ba, v.v. Xem phần tiếp theo để biết thêm thông tin. Trình bày vectơ kết quả, cho biết giá trị và hướng của nó.
- Như đã lưu ý ở trên, nếu bạn đã vẽ độ dài của các vectơ được cộng và các góc giữa chúng rất chính xác thì giá trị của vectơ kết quả bằng với chiều dài của nó và hướng là góc giữa nó và đường thẳng đứng hoặc nằm ngang . Đối với giá trị vectơ, đừng quên gán đơn vị đo cho các vectơ được cộng/trừ.
Ví dụ: nếu bạn thêm vectơ vận tốc được đo bằng m/s, thì hãy thêm “m/s” vào giá trị của vectơ kết quả, đồng thời chỉ ra góc của vectơ kết quả ở định dạng “o với đường ngang”.
-
Cộng và trừ vectơ bằng cách tìm giá trị thành phần của chúng
- Độ dài (giá trị) của hai thành phần (thành phần x và y) của vectơ ban đầu có thể được tính bằng phép đo lượng giác. Nếu "x" là giá trị (mô đun) của vectơ gốc thì thành phần vectơ liền kề với góc của vectơ gốc là xcosθ, và thành phần vectơ đối diện với góc của vectơ gốc là xsinθ.
- Điều quan trọng cần lưu ý là hướng của các thành phần. Nếu một thành phần hướng ngược lại với hướng của một trong các trục thì giá trị của nó sẽ âm, ví dụ: nếu trên mặt phẳng tọa độ hai chiều, thành phần đó hướng sang trái hoặc xuống dưới.
- Ví dụ: cho một vectơ có mô-đun (giá trị) là 3 và hướng 135 o (so với phương ngang). Khi đó thành phần "x" bằng 3cos 135 = -2,12 và thành phần "y" bằng 3sin135 = 2,12.
-
Khi bạn đã tìm thấy các thành phần của tất cả các vectơ được thêm vào, bạn chỉ cần cộng các giá trị của chúng và tìm các giá trị thành phần của vectơ kết quả.
- Đầu tiên, cộng các giá trị của tất cả các thành phần nằm ngang (nghĩa là các thành phần song song với trục X). Sau đó cộng các giá trị của tất cả các thành phần dọc (tức là các thành phần song song với trục Y). Nếu giá trị của một thành phần là âm, nó sẽ bị trừ đi thay vì được thêm vào.<-2,12, 2,12>Ví dụ: hãy thêm vectơ<5,78, -9>và vectơ<-2,12 + 5,78, 2,12-9>. Vector kết quả sẽ như thế này<3,66, -6,88>.
-
hoặc Tính độ dài (giá trị) của vectơ thu được bằng định lý Pythagore:
- c 2 =a 2 +b 2 (vì tam giác tạo bởi vectơ ban đầu và các thành phần của nó là hình chữ nhật). Trong trường hợp này, chân là các thành phần “x” và “y” của vectơ kết quả và cạnh huyền chính là vectơ kết quả.
- Ví dụ: nếu trong ví dụ của chúng tôi, bạn cộng lực đo bằng Newton, thì hãy viết kết quả như sau: 7,79 N ở góc -61,99 o (với trục hoành).
- Đừng nhầm lẫn vectơ với mô đun (giá trị) của chúng.
- Các vectơ có cùng hướng có thể được cộng hoặc trừ đơn giản bằng cách cộng hoặc trừ các giá trị của chúng. Nếu cộng hai vectơ có hướng ngược nhau thì giá trị của chúng sẽ bị trừ chứ không phải cộng. Các vectơ được biểu diễn dưới dạng x Tôi + y j + z k
- có thể được cộng hoặc trừ bằng cách cộng hoặc trừ các hệ số tương ứng. Đồng thời viết câu trả lời ở dạng i,j,k. Giá trị của vectơ trong không gian ba chiều có thể được tìm thấy bằng công thức a 2 =b 2 +c 2 +d 2 , Ở đâu Một - giá trị vectơ, Và b, c, d
- - thành phần vectơ.
- A-B =
Vì các vectơ có độ lớn và hướng nên chúng có thể được phân tách thành các thành phần dựa trên các chiều x, y và/hoặc z.<х,у,z>Chúng thường được chỉ định giống như các điểm trong hệ tọa độ (ví dụ:
Định nghĩa tiêu chuẩn: “Vectơ là một đoạn có hướng”. Đây thường là mức độ hiểu biết của sinh viên tốt nghiệp về vectơ. Ai cần bất kỳ “phân đoạn định hướng” nào?
Nhưng thực sự, vectơ là gì và chúng dùng để làm gì?
Dự báo thời tiết. “Gió hướng Tây Bắc, tốc độ 18 mét/giây.” Đồng ý rằng cả hướng gió (nơi nó thổi đến) và mô-đun (tức là giá trị tuyệt đối) của tốc độ của nó đều quan trọng.
Các đại lượng không có hướng được gọi là vô hướng. Khối lượng, công, điện tích không hướng vào đâu cả. Chúng chỉ được đặc trưng bởi một giá trị số - "bao nhiêu kilôgam" hoặc "bao nhiêu joules".
Các đại lượng vật lý không chỉ có giá trị tuyệt đối mà còn có hướng được gọi là đại lượng vectơ.
Tốc độ, lực, gia tốc - vectơ. Đối với họ, “bao nhiêu” là quan trọng và “ở đâu” cũng quan trọng. Ví dụ: gia tốc trọng trường 
hướng về bề mặt Trái đất và có giá trị là 9,8 m/s 2. Xung lực, cường độ điện trường, cảm ứng từ trường cũng là các đại lượng vectơ.
Bạn còn nhớ rằng các đại lượng vật lý được biểu thị bằng các chữ cái, tiếng Latin hoặc tiếng Hy Lạp. Mũi tên phía trên chữ cái chỉ ra rằng đại lượng là vectơ:
Đây là một ví dụ khác.
Một ô tô di chuyển từ A đến B. Kết quả cuối cùng là chuyển động của nó từ điểm A đến điểm B, tức là chuyển động theo vectơ.
Bây giờ đã rõ tại sao vectơ là đoạn có hướng. Xin lưu ý rằng phần cuối của vectơ là nơi có mũi tên. Chiều dài vectơđược gọi là độ dài của đoạn này. Được chỉ định bởi: hoặc
Cho đến nay, chúng ta đã làm việc với các đại lượng vô hướng, theo các quy tắc số học và đại số cơ bản. Vector là một khái niệm mới. Đây là một lớp đối tượng toán học khác. Họ có những quy tắc riêng của họ.
Ngày xửa ngày xưa, chúng ta thậm chí còn không biết gì về những con số. Sự quen biết của tôi với họ bắt đầu từ khi còn học tiểu học. Hóa ra các con số có thể được so sánh với nhau, cộng, trừ, nhân và chia. Chúng ta đã học được rằng có số một và số không.
Bây giờ chúng ta được giới thiệu về vectơ.
Khái niệm “nhiều hơn” và “ít hơn” đối với vectơ không tồn tại - xét cho cùng, hướng của chúng có thể khác nhau. Chỉ có thể so sánh độ dài vectơ.
Nhưng có một khái niệm về sự bình đẳng cho vectơ.
Bình đẳng Các vectơ có cùng độ dài và cùng hướng được gọi là. Điều này có nghĩa là vectơ có thể truyền song song với chính nó tới bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng.
Đơn là một vectơ có độ dài bằng 1. Số 0 là một vectơ có độ dài bằng 0, nghĩa là phần đầu của nó trùng với phần cuối.
Sẽ thuận tiện nhất khi làm việc với các vectơ trong hệ tọa độ hình chữ nhật - giống như hệ tọa độ mà chúng ta vẽ đồ thị hàm số. Mỗi điểm trong hệ tọa độ tương ứng với hai số - tọa độ x và y của nó, hoành độ và tọa độ.
Vector cũng được xác định bởi hai tọa độ:
Ở đây tọa độ của vectơ được viết trong ngoặc đơn - theo x và y.
Chúng được tìm thấy một cách đơn giản: tọa độ điểm cuối của vectơ trừ đi tọa độ điểm đầu của nó.
Nếu cho tọa độ vectơ thì độ dài của nó được tìm theo công thức
Phép cộng vectơ
Có hai cách để thêm vectơ.
1. Quy tắc hình bình hành. Để cộng các vectơ và , chúng ta đặt gốc của cả hai tại cùng một điểm. Chúng ta xây dựng thành hình bình hành và từ cùng một điểm, chúng ta vẽ một đường chéo của hình bình hành. Đây sẽ là tổng của các vectơ và .
Bạn có nhớ câu chuyện ngụ ngôn về thiên nga, tôm càng và pike không? Họ đã cố gắng rất nhiều nhưng họ không bao giờ di chuyển được chiếc xe. Rốt cuộc, tổng vectơ của các lực mà chúng tác dụng lên xe bằng 0.
2. Cách thứ hai để cộng vectơ là quy tắc tam giác. Hãy lấy cùng một vectơ và . Chúng ta sẽ thêm phần đầu của vectơ thứ hai vào phần cuối của vectơ đầu tiên. Bây giờ hãy kết nối phần đầu của phần đầu tiên và phần cuối của phần thứ hai. Đây là tổng của các vectơ và .
Sử dụng quy tắc tương tự, bạn có thể thêm một số vectơ. Chúng tôi sắp xếp chúng lần lượt, sau đó nối phần đầu của phần đầu tiên với phần cuối của phần cuối cùng.
Hãy tưởng tượng rằng bạn đang đi từ điểm A đến điểm B, từ B đến C, từ C đến D, rồi đến E và đến F. Kết quả cuối cùng của những hành động này là sự chuyển động từ A đến F.
Khi thêm vectơ và chúng tôi nhận được:
Phép trừ vectơ
Vectơ hướng ngược lại với vectơ. Độ dài của các vectơ và bằng nhau.
Bây giờ đã rõ phép trừ vectơ là gì. Hiệu vectơ và là tổng của vectơ và vectơ .
Nhân một vectơ với một số
Khi nhân một vectơ với số k, sẽ thu được một vectơ có độ dài gấp k lần độ dài . Nó cùng hướng với vectơ nếu k lớn hơn 0 và ngược chiều nếu k nhỏ hơn 0.
Tích vô hướng của vectơ
Các vectơ có thể được nhân không chỉ với số lượng mà còn với nhau.
Tích vô hướng của vectơ là tích độ dài của vectơ và cosin của góc giữa chúng.
Xin lưu ý rằng chúng tôi đã nhân hai vectơ và kết quả là một số vô hướng, tức là một số. Ví dụ, trong vật lý, công cơ học bằng tích vô hướng của hai vectơ - lực và chuyển vị:
Nếu các vectơ vuông góc thì tích vô hướng của chúng bằng 0.
Và đây là cách tích vô hướng được biểu diễn thông qua tọa độ của các vectơ và:
Từ công thức tích vô hướng, bạn có thể tìm được góc giữa các vectơ:
Công thức này đặc biệt thuận tiện trong phép đo lập thể. Ví dụ, trong bài 14 của Đề thi Tiểu bang Thống nhất môn Toán, bạn cần tìm góc giữa các đường thẳng cắt nhau hoặc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng. Bài toán 14 thường được giải nhanh hơn nhiều lần khi sử dụng phương pháp vectơ so với phương pháp cổ điển.
TRONG chương trình giảng dạy ở trường họ chỉ học toán sản phẩm chấm vectơ.
Hóa ra, ngoài đại lượng vô hướng, còn có sản phẩm vector, khi nhân hai vectơ sẽ thu được một vectơ. Bất cứ ai tham gia Kỳ thi Vật lý Thống nhất đều biết lực Lorentz và lực Ampe là gì. Công thức tìm các lực này bao gồm tích vectơ.
Vector là một công cụ toán học rất hữu ích. Bạn sẽ thấy điều này trong năm đầu tiên của bạn.
ov, trước tiên bạn cần hiểu khái niệm như trì hoãn một vectơ từ một điểm nhất định.
Định nghĩa 1
Nếu điểm $A$ là điểm bắt đầu của bất kỳ vectơ $\overrightarrow(a)$ nào, thì vectơ $\overrightarrow(a)$ được cho là bị trễ so với điểm $A$ (Hình 1).
Hình 1. $\overrightarrow(a)$ được vẽ từ điểm $A$
Hãy giới thiệu định lý sau:
Định lý 1
Từ bất kỳ điểm nào $K$ người ta có thể vẽ một vectơ $\overrightarrow(a)$ và hơn nữa, chỉ có một vectơ.
Bằng chứng.
Sự tồn tại: Có hai trường hợp cần xem xét ở đây:
Vector $\overrightarrow(a)$ bằng 0.
Trong trường hợp này, rõ ràng vectơ mong muốn là vectơ $\overrightarrow(KK)$.
Vector $\overrightarrow(a)$ khác 0.
Chúng ta hãy biểu thị bằng điểm $A$ phần đầu của vectơ $\overrightarrow(a)$, và bằng điểm $B$ phần cuối của vectơ $\overrightarrow(a)$. Chúng ta hãy vẽ một đường thẳng $b$ đi qua điểm $K$ song song với vectơ $\overrightarrow(a)$. Chúng ta hãy vẽ các đoạn $\left|KL\right|=|AB|$ và $\left|KM\right|=|AB|$ trên dòng này. Xét các vectơ $\overrightarrow(KL)$ và $\overrightarrow(KM)$. Trong hai vectơ này, vectơ mong muốn sẽ là vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow(a)$ (Hình 2)
Hình 2. Minh họa Định lý 1
Tính duy nhất: tính duy nhất xuất hiện ngay sau khi việc xây dựng được thực hiện tại điểm “tồn tại”.
Định lý đã được chứng minh.
Phép trừ các vectơ. Quy tắc một
Cho chúng ta các vectơ $\overrightarrow(a)$ và $\overrightarrow(b)$.
Định nghĩa 2
Sự khác biệt của hai vectơ $\overrightarrow(a)$ và $\overrightarrow(b)$ là một vectơ $\overrightarrow(c)$ mà khi được thêm vào vectơ $\overrightarrow(b)$, sẽ tạo ra vectơ $\ overrightarrow(a)$ , tức là
\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]
Chỉ định:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.
Hãy xem xét việc xây dựng sự khác biệt giữa hai vectơ bằng cách sử dụng bài toán.
Ví dụ 1
Cho các vectơ $\overrightarrow(a)$ và $\overrightarrow(b)$. Xây dựng vectơ $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.
Giải pháp.
Hãy xây dựng một điểm tùy ý $O$ và vẽ các vectơ $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ và $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ từ điểm đó. Bằng cách nối điểm $B$ với điểm $A$, chúng ta thu được vectơ $\overrightarrow(BA)$ (Hình 3).
Hình 3. Hiệu của hai vectơ
Sử dụng quy tắc tam giác để xây dựng tổng của hai vectơ, chúng ta thấy rằng
\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]
\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]
Từ Định nghĩa 2, ta có được điều đó
\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]
Trả lời:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.
Từ bài toán này ta thu được quy tắc tiếp theođể tìm sự khác biệt của hai vectơ. Để tìm sự khác biệt $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ bạn cần từ điểm tùy ý$O$ đặt các vectơ $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ và $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ sang một bên và nối điểm cuối của vectơ thứ hai với điểm cuối của vectơ đầu tiên.
Phép trừ các vectơ. Quy tắc hai
Chúng ta hãy nhớ khái niệm sau đây chúng ta cần.
Định nghĩa 3
Vectơ $\overrightarrow(a_1)$ được gọi là tùy ý đối với vectơ $\overrightarrow(a)$ nếu các vectơ này ngược hướng và có độ dài bằng nhau.
Chỉ định: Vector $(-\overrightarrow(a))$ đối lập với vector $\overrightarrow(a)$.
Để giới thiệu quy tắc thứ hai về hiệu hai vectơ, trước tiên chúng ta cần giới thiệu và chứng minh định lý sau.
Định lý 2
Đối với hai vectơ bất kỳ $\overrightarrow(a)$ và $\overrightarrow(b)$, đẳng thức sau có giá trị:
\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]
Bằng chứng.
Theo định nghĩa 2, ta có
Chúng ta thêm vectơ $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ vào cả hai phần, chúng ta nhận được
Vì các vectơ $\overrightarrow(b)$ và $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ đối nhau, nên $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ overrightarrow (0)$. Chúng tôi có
Định lý đã được chứng minh.
Từ định lý này, chúng ta thu được quy tắc sau đây cho sự khác biệt giữa hai vectơ: Để tìm sự khác biệt $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, chúng ta cần vẽ đồ thị vectơ $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a )$ từ một điểm tùy ý $O$, sau đó, từ điểm kết quả $A$, vẽ vectơ $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ và nối phần đầu của vectơ đầu tiên với phần cuối của vectơ vectơ thứ hai.
Ví dụ về một bài toán về khái niệm hiệu vector
Ví dụ 2
Cho hình bình hành $ADCD$ có các đường chéo cắt nhau tại điểm $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (Hình 4). Biểu diễn các vectơ sau thông qua các vectơ $\overrightarrow(a)$ và $\overrightarrow(b)$:
a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$
b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$
Hình 4. Hình bình hành
Giải pháp.
a) Thực hiện phép cộng theo quy tắc tam giác, ta được
\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]
Từ quy tắc đầu tiên về hiệu của hai vectơ, ta có
\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]
b) Vì $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, nên ta có
\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]
Theo Định lý 2, ta có
\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]
Áp dụng quy tắc tam giác, cuối cùng ta có
\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]
Trong các bài học hình học, bạn đã làm quen với các phép tính đơn giản nhất trên vectơ: tìm tổng và hiệu của chúng. Chúng ta hãy nhớ điều này.
Phép cộng vectơ.Để tìm tổng của hai vectơ, bạn phải: a) chuyển song song kết hợp phần đầu của các vectơ; b) bổ sung bản vẽ bằng hai đoạn để có được hình bình hành; c) thực hiện vectơ tổng từ điểm gốc của vectơ đến điểm nối các đoạn thẳng bổ sung (dọc theo đường chéo của hình bình hành).
Chúng ta hãy minh họa quy tắc này bằng ví dụ từ § 12-c, khi ô tô di chuyển đầu tiên dọc theo vectơ AB1 và sau đó dọc theo vectơ B1B2 trước khi rẽ vào cầu (xem hình vẽ bên trái). Nói cách khác, chúng tôi đang tìm kiếm vectơ tổng hoặc, cái gì giống nhau, tổng vectơ AB1 và B1B2.
Hãy tạo các bản vẽ mới của các vectơ đã thảo luận (xem bên dưới). Trong hình vẽ “a”, chúng ta áp dụng chuyển song song và di chuyển vectơ B1B2 có điểm bắt đầu đến điểm A (nghĩa là chúng ta khớp điểm bắt đầu của vectơ). Ta sẽ bổ sung hình vẽ “b” bằng hai đoạn CB2 và B1B2 để tạo thành hình bình hành. Trong bản vẽ “c” chúng ta sẽ vẽ vectơ tổng từ điểm A của phần đầu của vectơ đến điểm B2 của phần nối các đoạn thẳng bù nhau (dọc theo đường chéo của hình bình hành).
Vì vậy chúng tôi đã tìm thấy vectơ tổng. Vector kết quả sẽ như thế này tổng vectơ:
Hãy kiểm tra tính đúng đắn của kết quả: ô tô di chuyển từ điểm A đến điểm B1, sau đó di chuyển từ điểm B1 đến điểm B2. Nói cách khác, anh ấy đã di chuyển “dọc theo” vectơ AB2 mà chúng ta vừa xây dựng bằng cách sử dụng quy tắc hình bình hành.
Phép trừ các vectơ.Để tìm hiệu của hai vectơ, bạn cần: a) chuyển song song kết hợp phần đầu của các vectơ; b) bổ sung bản vẽ bằng một đoạn để nó trở thành hình tam giác; c) cung cấp cho đoạn một hướng từ phần trừ đến phần trừ, tạo ra vectơ khác biệt.
Chúng ta hãy minh họa quy tắc này bằng ví dụ tương tự từ § 12-c, khi một ô tô đến giữa cầu. Để làm điều này, từ vectơ chuyển vị tổng AB3, chúng ta trừ đi chuyển vị ở giai đoạn thứ ba, vectơ B2B3.
Nói cách khác, hiện nay chúng tôi đang tìm kiếm vectơ khác biệt:
Trong hình vẽ “a”, chúng ta áp dụng chuyển song song và di chuyển vectơ B2B3 có điểm bắt đầu đến điểm A (nghĩa là chúng ta khớp điểm bắt đầu của vectơ). Hãy bổ sung vẽ “b” với đoạn DB3 để tạo thành tam giác. Khi vẽ “c”, chúng ta sẽ cho đoạn này hướng từ điểm bị trừ (vectơ màu xanh) đến điểm trừ (vectơ màu đỏ), tạo ra vectơ khác biệt DВ3.
Mũi tên đường viền biểu thị sự truyền song song của vectơ sai phân tìm được đến điểm A. Quan trọng: vectơ sai phân DB3 được xây dựng bằng vectơ sai phân mong muốn AB2. Trên thực tế, đây là một cuộc kiểm tra tính đúng đắn của kết quả, vì chúng ta đã tìm thấy vectơ này bằng quy tắc hình bình hành.
Lưu ý rằng các vectơ có thể được cộng bằng một “tam giác” và trừ đi bằng một “hình bình hành”. Nhưng chúng tôi khuyên bạn nên nhớ chính xác quy tắc hình bình hành tính tổng các vectơ Và quy tắc tam giác cho sự khác biệt vector, vì trong tương lai chúng ta sẽ cần những quy tắc này ở dạng này.