Dạng vector ký hiệu của dạng bậc hai. Dạng bậc hai xác định dương

Hình bậc hai f(x 1, x 2,...,x n) của n biến là một tổng, mỗi số hạng của nó là bình phương của một trong các biến hoặc là tích của hai biến khác nhau, được lấy với một hệ số nhất định: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Ma trận A gồm các hệ số này được gọi là ma trận dạng bậc hai. Nó luôn luôn đối xứng ma trận (tức là ma trận đối xứng qua đường chéo chính, a ij = a ji).

Trong ký hiệu ma trận, dạng bậc hai là f(X) = X T AX, trong đó

Thực vậy

Ví dụ: hãy viết dạng bậc hai ở dạng ma trận.

Để làm điều này, chúng ta tìm một ma trận dạng bậc hai. Các phần tử đường chéo của nó bằng các hệ số của các biến bình phương, và các phần tử còn lại bằng một nửa các hệ số tương ứng của dạng bậc hai. Đó là lý do tại sao

Giả sử cột ma trận của biến X thu được bằng phép biến đổi tuyến tính không suy biến của cột ma trận Y, tức là. X = CY, trong đó C là ma trận không suy biến cấp n. Khi đó dạng bậc hai f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Như vậy, với phép biến đổi tuyến tính không suy biến C, ma trận dạng bậc hai có dạng: A * =C T AC.

Ví dụ: hãy tìm dạng bậc hai f(y 1, y 2), thu được từ dạng bậc hai f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 bằng phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai được gọi là kinh điển(có chế độ xem chuẩn), nếu tất cả các hệ số của nósa ij = 0 với i≠j, tức là f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ma trận của nó là đường chéo.

Định lý(bằng chứng không được đưa ra ở đây). Bất kỳ dạng bậc hai nào cũng có thể được rút gọn thành dạng chính tắc bằng cách sử dụng phép biến đổi tuyến tính không suy biến.

Ví dụ: hãy đưa về dạng chính tắc dạng bậc hai f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Để thực hiện việc này, trước tiên hãy chọn một hình vuông hoàn chỉnh có biến x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Bây giờ chúng ta chọn một hình vuông hoàn chỉnh với biến x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Khi đó, phép biến đổi tuyến tính không suy biến y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 và y 3 = x 3 đưa dạng bậc hai này về dạng chính tắcf(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Lưu ý rằng dạng chính tắc của dạng bậc hai được xác định một cách mơ hồ (cùng một dạng bậc hai có thể được rút gọn thành dạng chính tắc theo nhiều cách khác nhau 1). Tuy nhiên, các dạng kinh điển thu được bằng nhiều phương pháp khác nhau đều có một số đặc tính chung. Đặc biệt, số số hạng có hệ số dương (âm) của dạng bậc hai không phụ thuộc vào phương pháp quy giản về dạng này (ví dụ, trong ví dụ đang xét sẽ luôn có hai hệ số âm và một hệ số dương). Thuộc tính này được gọi là định luật quán tính dạng bậc hai.

Chúng ta hãy xác minh điều này bằng cách đưa dạng bậc hai tương tự sang dạng chính tắc theo một cách khác. Hãy bắt đầu phép biến đổi với biến x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , trong đó y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 và y 3 = x 1 . Ở đây có hệ số dương là 2 cho y 3 và hai hệ số âm (-3) cho y 1 và y 2 (và sử dụng phương pháp khác, chúng ta thu được hệ số dương là 2 cho y 1 và hai hệ số âm - (-5) cho y 2 và (-1/20) cho y 3 ).

Cũng cần lưu ý rằng hạng của một ma trận dạng bậc hai, được gọi là hạng của dạng bậc hai, bằng số hệ số khác 0 của dạng chính tắc và không thay đổi dưới các phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai f(X) được gọi là tích cực(tiêu cực)chắc chắn, nếu với tất cả các giá trị của các biến không đồng thời bằng 0 thì nó là dương, tức là f(X) > 0 (âm, tức là f(X)< 0).

Ví dụ, dạng bậc hai f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 là xác định dương, bởi vì là tổng của các bình phương, và dạng bậc hai f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 là xác định âm, bởi vì biểu diễn nó có thể được biểu diễn dưới dạng 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Trong hầu hết các tình huống thực tế, việc thiết lập dấu hiệu xác định của dạng bậc hai khó khăn hơn một chút, vì vậy để làm được điều này, chúng ta sử dụng một trong các định lý sau (chúng ta sẽ xây dựng chúng mà không cần chứng minh).

Định lý. Dạng bậc hai là dương (âm) xác định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của ma trận của nó là dương (âm).

Định lý (tiêu chuẩn Sylvester). Dạng bậc hai là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các phần tử đứng đầu của ma trận dạng này đều dương.

Chính (góc) phụ Các ma trận bậc k thuộc bậc An được gọi là định thức của ma trận, gồm k hàng và cột đầu tiên của ma trận A().

Lưu ý rằng đối với các dạng bậc hai xác định âm, các dấu của các phân số chính thay thế nhau và phân thứ bậc một phải âm.

Ví dụ, chúng ta hãy xét dạng bậc hai f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 để biết tính xác định của dấu.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Do đó, dạng bậc hai là xác định dương.

Cách 2. Thứ chính cấp một của ma trận A  1 =a 11 = 2 > 0. Thứ chính cấp hai  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Do đó, theo tiêu chí Sylvester, phương trình bậc hai dạng xác định dương.

Chúng ta xét một dạng bậc hai khác để tìm tính xác định của dấu, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Cách 1. Xây dựng ma trận dạng bậc hai A = . Phương trình đặc trưng sẽ có dạng = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Do đó, dạng bậc hai là xác định âm.

Cách 2. Cấp thứ nhất của ma trận A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Do đó, theo tiêu chuẩn Sylvester, dạng bậc hai xác định âm (dấu của các dấu thứ lớn xen kẽ nhau, bắt đầu bằng dấu trừ).

Và trong một ví dụ khác, chúng ta xét dạng bậc hai xác định bằng dấu f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Cách 1. Xây dựng ma trận dạng bậc hai A = . Phương trình đặc trưng sẽ có dạng = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Một trong những số này là âm và số còn lại là dương. Dấu của các giá trị riêng là khác nhau. Do đó, dạng bậc hai có thể không xác định âm hoặc dương, tức là dạng bậc hai này không xác định được dấu (nó có thể lấy giá trị của bất kỳ dấu nào).

Cách 2. Thứ chính cấp 1 ma trận A  1 =a 11 = 2 > 0. Thứ chính cấp 2 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Phương pháp được xem xét để rút gọn dạng bậc hai thành dạng chính tắc sẽ thuận tiện khi sử dụng khi gặp các hệ số khác 0 trong bình phương của các biến. Nếu chúng không có ở đó, bạn vẫn có thể thực hiện chuyển đổi nhưng bạn phải sử dụng một số kỹ thuật khác. Ví dụ: cho f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, trong đó y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

Các hình vuông.
Dấu hiệu xác định của các hình thức. Tiêu chí Sylvester

Tính từ “bậc hai” ngay lập tức gợi ý rằng một cái gì đó ở đây được kết nối với một hình vuông (cấp hai), và chúng ta sẽ sớm tìm ra “thứ gì đó” này và hình dạng là gì. Hóa ra là uốn lưỡi :)

Chào mừng bạn đến với bài học mới của tôi và để khởi động ngay, chúng ta sẽ xem xét hình sọc tuyến tính. Dạng tuyến tính biến gọi điện đồng nhấtĐa thức bậc 1:

- một số con số cụ thể * (chúng tôi giả định rằng ít nhất một trong số chúng khác 0), a là các biến có thể nhận giá trị tùy ý.

* Trong khuôn khổ chủ đề này chúng ta chỉ xem xét số thực .

Chúng ta đã gặp thuật ngữ “đồng nhất” trong bài học về hệ thống đồng nhất của phương trình tuyến tính và trong trường hợp này nó ngụ ý rằng đa thức không có hằng số cộng.

Ví dụ: – dạng tuyến tính của hai biến

Bây giờ hình dạng là bậc hai. Hình bậc hai biến gọi điện đồng nhấtđa thức bậc 2, mỗi thuật ngữ trong đó chứa bình phương của biến hoặc đôi tích của các biến. Vì vậy, ví dụ, dạng bậc hai của hai biến có dạng sau:

Chú ý!Đây là một mục tiêu chuẩn và không cần phải thay đổi bất cứ điều gì về nó! Mặc dù có vẻ ngoài “đáng sợ”, mọi thứ ở đây đều đơn giản - chỉ số kép của hằng số báo hiệu biến nào được bao gồm trong thuật ngữ nào:
– thuật ngữ này chứa tích và (hình vuông);
- đây là công việc;
- và đây là công việc.

– Tôi lường trước ngay một sai lầm nghiêm trọng khi họ làm mất “điểm trừ” của một hệ số mà không hiểu rằng nó ám chỉ một thuật ngữ:

Đôi khi có một phương án thiết kế “trường học” về mặt tinh thần, nhưng chỉ đôi khi thôi. Nhân tiện, hãy lưu ý rằng các hằng số không cho chúng ta biết bất cứ điều gì ở đây, và do đó việc nhớ “ký hiệu dễ dàng” sẽ khó khăn hơn. Đặc biệt là khi có nhiều biến số hơn.

Và dạng bậc hai của ba biến đã chứa sáu số hạng:

...tại sao yếu tố “hai” lại được đặt trong thuật ngữ “hỗn hợp”? Điều này thật tiện lợi và sẽ sớm hiểu rõ lý do tại sao.

Tuy nhiên, hãy viết công thức chung ra thành một “trang tính” sẽ thuận tiện hơn:

– chúng tôi nghiên cứu kỹ từng dòng – không có gì sai cả!

Dạng bậc hai chứa các số hạng với bình phương của các biến và các số hạng với các tích ghép của chúng (cm. công thức tổ hợp) . Không có gì hơn - không có “X cô đơn” và không có hằng số phẳng (khi đó bạn sẽ không nhận được dạng bậc hai, mà là không đồng nhấtđa thức bậc 2).

Ký hiệu ma trận dạng bậc hai

Tùy thuộc vào các giá trị, dạng được đề cập có thể nhận cả giá trị dương và âm, và điều tương tự cũng áp dụng cho bất kỳ dạng tuyến tính nào - nếu ít nhất một trong các hệ số của nó khác 0 thì nó có thể là dương hoặc âm (tùy thuộc vào các giá trị).

Hình thức này được gọi là dấu hiệu xen kẽ. Và nếu mọi thứ đều trong suốt với dạng tuyến tính, thì với dạng bậc hai, mọi thứ sẽ thú vị hơn nhiều:

Hoàn toàn rõ ràng rằng hình thức này có thể mang ý nghĩa của bất kỳ ký hiệu nào, do đó dạng bậc hai cũng có thể xen kẽ.

Hoặc có thể không:

– luôn luôn, trừ khi đồng thời bằng 0.

- cho bất cứ ai vectơ ngoại trừ số không.

Và nói chung, nếu vì ai đó khác không vector , , thì dạng bậc hai được gọi xác định dương; nếu vậy thì xác định tiêu cực.

Và mọi thứ sẽ ổn, nhưng tính xác định của dạng bậc hai chỉ hiển thị trong các ví dụ đơn giản và khả năng hiển thị này bị mất ngay cả khi có một chút phức tạp:
– ?

Người ta có thể cho rằng dạng này là xác định dương, nhưng điều này có thực sự như vậy không? Điều gì sẽ xảy ra nếu có những giá trị mà nó nhỏ hơn 0?

có một định lý: nếu TẤT CẢ giá trị riêng ma trận dạng bậc hai là dương * , thì nó xác định dương. Nếu tất cả đều âm tính thì âm tính.

* Trên lý thuyết người ta đã chứng minh rằng mọi giá trị riêng của ma trận đối xứng thực có hiệu lực

Hãy viết ma trận có dạng trên:
và từ phương trình. hãy tìm cô ấy giá trị riêng:

Hãy giải quyết chuyện cũ phương trình bậc hai:

, có nghĩa là hình thức được định nghĩa tích cực, tức là đối với mọi giá trị khác 0 thì nó lớn hơn 0.

Phương pháp được xem xét có vẻ hiệu quả nhưng có một điều NHƯNG lớn. Đối với ma trận ba nhân ba, việc tìm kiếm những con số thích hợp là một công việc lâu dài và khó chịu; với khả năng cao bạn sẽ nhận được đa thức bậc 3 với các nghiệm vô tỉ.

Tôi nên làm gì? Có một cách dễ dàng hơn!

Tiêu chí Sylvester

Không, không phải Sylvester Stallone :) Đầu tiên, hãy để tôi nhắc bạn nó là gì góc trẻ vị thành niên ma trận. Cái này vòng loại "mọc" từ góc trên bên trái của nó:

và cái cuối cùng chính xác bằng định thức của ma trận.

Bây giờ, thực ra, tiêu chí:

1) Dạng bậc hai được xác định tích cực khi và chỉ khi TẤT CẢ các số góc nhỏ của nó lớn hơn 0: .

2) Dạng bậc hai được xác định tiêu cực nếu và chỉ khi các phần tử góc của nó thay phiên nhau dấu, với phần thứ nhất nhỏ hơn 0: , , if – chẵn hoặc , if – lẻ.

Nếu ít nhất một góc nhỏ có dấu ngược lại thì dạng dấu hiệu xen kẽ. Nếu các lũy thừa góc có dấu "phải", nhưng trong số đó có các số 0, thì đây là một trường hợp đặc biệt mà tôi sẽ xem xét sau một chút, sau khi chúng ta xem xét các ví dụ phổ biến hơn.

Hãy phân tích các góc nhỏ của ma trận :

Và điều này ngay lập tức cho chúng ta biết rằng hình thức không được xác định một cách phủ định.

Phần kết luận: tất cả các số góc đều lớn hơn 0, có nghĩa là dạng được xác định tích cực.

Có sự khác biệt nào với phương pháp giá trị riêng không? ;)

Chúng ta hãy viết ma trận dạng từ Ví dụ 1:

cái đầu tiên là góc nhỏ của nó, và cái thứ hai , từ đó suy ra rằng hình dạng đó có dấu xen kẽ, tức là tùy thuộc vào các giá trị, nó có thể nhận cả giá trị dương và âm. Tuy nhiên, điều này đã rõ ràng rồi.

Hãy lấy biểu mẫu và ma trận của nó từ Ví dụ 2:

Không có cách nào để tìm ra điều này nếu không có cái nhìn sâu sắc. Nhưng với tiêu chí của Sylvester chúng ta không quan tâm:
, do đó, dạng chắc chắn không âm.

, và chắc chắn là không tích cực (vì tất cả các lũy thừa góc phải dương).

Phần kết luận: hình dạng xen kẽ nhau.

Ví dụ khởi động để tự giải quyết:

Ví dụ 4

Nghiên cứu các dạng bậc hai để xác định dấu

MỘT)

Trong những ví dụ này, mọi thứ đều trơn tru (xem phần cuối bài học), nhưng trên thực tế, để hoàn thành một nhiệm vụ như vậy Tiêu chí của Sylvester có thể không đủ.

Vấn đề là có những trường hợp “cạnh”, cụ thể là: nếu vì bất kỳ khác không vector, sau đó hình dạng được xác định không tiêu cực, nếu – thì tiêu cực. Những hình thức này có khác không vectơ mà .

Ở đây bạn có thể trích dẫn "accordion" sau đây:

Làm nổi bật hình vuông hoàn hảo, ta thấy ngay không tiêu cực form: , và nó bằng 0 đối với bất kỳ vectơ nào có tọa độ bằng nhau, ví dụ: .

Ví dụ về "Gương" tiêu cực một hình thức nhất định:

và một ví dụ thậm chí còn tầm thường hơn:
– ở đây dạng bằng 0 đối với bất kỳ vectơ nào, trong đó là một số tùy ý.

Làm thế nào để xác định các hình thức không tiêu cực hoặc không tích cực?

Để làm được điều này chúng ta cần khái niệm trẻ vị thành niên lớn ma trận. Một thứ lớn là một thứ bao gồm các phần tử đứng ở giao điểm của các hàng và cột có cùng số. Như vậy, ma trận có hai phần phụ chính bậc 1:
(phần tử nằm ở giao điểm của hàng 1 và cột 1);
(phần tử nằm ở giao điểm của hàng thứ 2 và cột thứ 2),

và một thứ chính thứ 2:
– bao gồm các phần tử của hàng 1, hàng 2 và cột 1, 2.

Ma trận là “ba nhân ba” Có bảy phần chính và ở đây bạn sẽ phải uốn cong bắp tay của mình:
– ba trẻ vị thành niên bậc 1,
ba trẻ vị thành niên cấp 2:
– bao gồm các phần tử của hàng thứ 1, thứ 2 và cột thứ 1, thứ 2;
– bao gồm các phần tử của hàng thứ 1, thứ 3 và cột thứ 1, thứ 3;
– bao gồm các phần tử của hàng thứ 2, thứ 3 và cột thứ 2, thứ 3,
và một bậc phụ thứ 3:
– Bao gồm các phần tử của hàng 1, 2, 3 và cột 1, 2, 3.
Bài tậpđể hiểu: viết ra tất cả các phân số chính của ma trận .
Chúng tôi kiểm tra ở cuối bài học và tiếp tục.

tiêu chí Schwarzenegger:

1) Đã xác định dạng bậc hai khác 0* không tiêu cực khi và chỉ khi TẤT CẢ các thành phần phụ chính của nó không tiêu cực(lớn hơn hoặc bằng 0).

* Dạng bậc hai 0 (suy biến) có tất cả các hệ số bằng 0.

2) Dạng bậc hai khác 0 có ma trận được xác định tiêu cực nếu và chỉ khi:
– các tiểu chính cấp 1 không tích cực(nhỏ hơn hoặc bằng 0);
– Các thứ thứ lớn thuộc loại thứ 2 không tiêu cực;
– trẻ vị thành niên lớn bậc 3 không tích cực(bắt đầu xen kẽ);
…
- thứ lớn của thứ tự thứ không tích cực, nếu - lẻ hoặc không tiêu cực, nếu – chẵn.

Nếu có ít nhất một thứ có dấu ngược lại thì dạng đó là dạng xen kẽ dấu.

Hãy xem tiêu chí hoạt động như thế nào trong các ví dụ trên:

Hãy tạo một ma trận hình dạng và đầu tiên Hãy tính các góc nhỏ - nếu nó được xác định tích cực hay tiêu cực thì sao?

Các giá trị thu được không thỏa mãn tiêu chí Sylvester nhưng yếu tố thứ hai không tiêu cực, và điều này khiến cần phải kiểm tra tiêu chí thứ 2 (trong trường hợp tiêu chí thứ 2 sẽ không được đáp ứng một cách tự động, tức là kết luận được đưa ra ngay lập tức về sự thay đổi dấu của biểu mẫu).

Các trẻ vị thành niên chính của bậc 1:
- tích cực,
thứ lớn cấp 2:
– không tiêu cực.

Do đó, TẤT CẢ các trẻ vị thành niên lớn đều không âm, có nghĩa là dạng không tiêu cực.

Hãy viết ma trận hình , mà tiêu chí Sylvester rõ ràng không được thỏa mãn. Nhưng chúng tôi cũng không nhận được dấu trái ngược nhau (vì cả hai góc nhỏ đều bằng 0). Vì vậy, chúng tôi kiểm tra việc đáp ứng tiêu chí không tiêu cực/không tích cực. Các trẻ vị thành niên chính của bậc 1:
– không tích cực,
thứ lớn cấp 2:
– không tiêu cực.

Như vậy, theo tiêu chí Schwarzenegger (điểm 2), hình thức được xác định một cách không tích cực.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét kỹ hơn một vấn đề thú vị hơn:

Ví dụ 5

Kiểm tra dạng bậc hai để biết tính xác định của dấu

Biểu mẫu này được trang trí theo thứ tự “alpha”, có thể bằng bất kỳ số thực nào. Nhưng nó sẽ chỉ vui hơn chúng tôi quyết định.

Đầu tiên, hãy viết ra ma trận biểu mẫu; có lẽ nhiều người đã quen với việc làm điều này bằng miệng: trên đường chéo chính Chúng tôi đặt các hệ số cho các hình vuông và ở những vị trí đối xứng, chúng tôi đặt một nửa hệ số của các sản phẩm “hỗn hợp” tương ứng:

Hãy tính các góc nhỏ:

Tôi sẽ mở rộng định thức thứ ba ở dòng thứ 3:

Khái niệm về dạng bậc hai. Ma trận dạng bậc hai. Dạng kinh điển của dạng bậc hai. Phương pháp Lagrange. Hình ảnh bình thường của một dạng bậc hai. Xếp hạng, chỉ số và chữ ký của dạng bậc hai. Dạng bậc hai xác định dương. Tứ giác.

Khái niệm về dạng bậc hai: một hàm trên không gian vectơ được xác định bởi đa thức đồng nhất bậc hai trong tọa độ của vectơ.

Dạng bậc hai từ N không rõ được gọi là tổng, mỗi số hạng của nó là bình phương của một trong các ẩn số này hoặc là tích của hai ẩn số khác nhau.

Ma trận bậc hai: Ma trận được gọi là ma trận dạng bậc hai có cơ sở cho trước. Nếu đặc tính trường không bằng 2, thì chúng ta có thể giả sử rằng ma trận dạng bậc hai là đối xứng.

Viết ma trận dạng bậc hai:

Kể từ đây,

Ở dạng ma trận vectơ, dạng bậc hai là:

A, ở đâu

Dạng chính tắc của dạng bậc hai: Một dạng bậc hai được gọi là chính tắc nếu tất cả tức là

Bất kỳ dạng bậc hai nào cũng có thể được rút gọn thành dạng chính tắc bằng cách sử dụng các phép biến đổi tuyến tính. Trong thực tế, các phương pháp sau thường được sử dụng.

Phương pháp Lagrange : lựa chọn tuần tự các hình vuông hoàn chỉnh. Ví dụ, nếu

Sau đó thực hiện quy trình tương tự với dạng bậc hai v.v. Nếu ở dạng bậc hai thì mọi thứ đều như vậy nhưng sau đó, sau khi chuyển đổi sơ bộ, vấn đề sẽ được chuyển sang quy trình được xem xét. Vì vậy, nếu, ví dụ, thì chúng ta giả sử

Dạng bình thường của dạng bậc hai: Dạng bậc hai thông thường là dạng bậc hai chính tắc trong đó tất cả các hệ số đều bằng +1 hoặc -1.

Xếp hạng, chỉ số và chữ ký của dạng bậc hai: Xếp hạng của dạng bậc hai MỘTđược gọi là hạng của ma trận MỘT. Thứ hạng của dạng bậc hai không thay đổi dưới các phép biến đổi không suy biến của ẩn số.

Số lượng các hệ số âm được gọi là chỉ số dạng âm.

Số số hạng dương ở dạng chính tắc gọi là chỉ số quán tính dương của dạng bậc hai, số số hạng âm gọi là chỉ số âm. Sự khác biệt giữa chỉ số dương và chỉ số âm được gọi là chữ ký của dạng bậc hai

Dạng bậc hai xác định dương: Dạng bậc hai thực được gọi là xác định dương (xác định âm) nếu, với bất kỳ giá trị thực nào của các biến không đồng thời bằng 0,

. (36)

Trong trường hợp này, ma trận còn được gọi là ma trận xác định dương (xác định âm).

Lớp các dạng xác định dương (xác định âm) là một phần của lớp các dạng không âm (tương ứng không dương).

Tứ giác: Tứ giác - N siêu bề mặt có chiều trong N Không gian +1 chiều, được định nghĩa là tập hợp các số 0 của đa thức bậc hai. Nếu bạn nhập tọa độ ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (trong không gian Euclide hoặc affine), phương trình tổng quát của bậc bốn là

Phương trình này có thể được viết lại gọn hơn dưới dạng ký hiệu ma trận:

trong đó x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) — vectơ hàng, x T là một vectơ chuyển vị, Q- ma trận kích thước ( N+1)×( N+1) (giả sử rằng ít nhất một trong các phần tử của nó khác 0), P là một vectơ hàng và R- không thay đổi. Bậc hai trên số thực hoặc số phức thường được xem xét nhiều nhất. Định nghĩa có thể được mở rộng sang bậc bốn trong không gian xạ ảnh, xem bên dưới.

Tổng quát hơn, tập hợp các số 0 của một hệ phương trình đa thức được gọi là đa tạp đại số. Do đó, một tứ giác là một biến thể đại số (affine hoặc xạ ảnh) bậc hai và hệ số 1.

Các phép biến đổi của mặt phẳng và không gian.

Định nghĩa phép biến đổi mặt phẳng. Phát hiện chuyển động. tính chất của chuyển động. Có hai loại chuyển động: chuyển động loại thứ nhất và chuyển động loại thứ hai. Ví dụ về chuyển động. Biểu hiện phân tích của chuyển động. Phân loại chuyển động phẳng (tùy theo sự có mặt của điểm cố định và đường bất biến). Nhóm chuyển động của máy bay.

Định nghĩa phép biến đổi mặt phẳng: Định nghĩa. Một phép biến đổi mặt phẳng bảo toàn khoảng cách giữa các điểm được gọi là sự chuyển động(hoặc chuyển động) của mặt phẳng. Phép biến đổi mặt phẳng được gọi là affine, nếu nó biến đổi ba điểm bất kỳ nằm trên cùng một đường thành ba điểm cũng nằm trên cùng một đường thẳng và đồng thời bảo toàn quan hệ đơn giản của ba điểm.

Định nghĩa chuyển động:Đây là những phép biến đổi hình dạng bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Nếu hai hình được căn chỉnh chính xác với nhau thông qua chuyển động thì các hình này giống nhau, bằng nhau.

Đặc tính chuyển động: Mọi chuyển động bảo toàn hướng của mặt phẳng đều là chuyển động tịnh tiến song song hoặc chuyển động quay; mọi chuyển động thay đổi hướng của mặt phẳng đều là đối xứng trục hoặc đối xứng trượt. Khi chuyển động, các điểm nằm trên đường thẳng biến thành các điểm nằm trên đường thẳng và thứ tự vị trí tương đối của chúng được giữ nguyên. Khi di chuyển, góc giữa các nửa đường thẳng được giữ nguyên.

Hai loại chuyển động: chuyển động loại thứ nhất và chuyển động loại thứ hai: Chuyển động loại một là những chuyển động bảo toàn hướng của các đế của một hình nhất định. Chúng có thể được nhận ra bằng các chuyển động liên tục.

Chuyển động loại thứ hai là những chuyển động làm thay đổi hướng của các đế theo hướng ngược lại. Chúng không thể được nhận ra bằng những chuyển động liên tục.

Ví dụ về chuyển động loại thứ nhất là chuyển động tịnh tiến và quay quanh một đường thẳng, và chuyển động loại thứ hai là đối xứng trung tâm và đối xứng gương.

Sự cấu thành của bất kỳ số lượng chuyển động nào thuộc loại thứ nhất đều là chuyển động thuộc loại thứ nhất.

Tổ hợp số chuyển động chẵn loại thứ hai là chuyển động loại 1, tổ hợp số chuyển động lẻ loại 2 là chuyển động loại 2.

Ví dụ về chuyển động:Chuyển song song. Gọi a là vectơ đã cho. Truyền song song sang vectơ a là ánh xạ mặt phẳng lên chính nó, trong đó mỗi điểm M được ánh xạ tới điểm M 1, sao cho vectơ MM 1 bằng vectơ a.

Dịch song song là một chuyển động vì nó là sự ánh xạ của mặt phẳng lên chính nó, bảo toàn khoảng cách. Chuyển động này có thể được biểu diễn một cách trực quan dưới dạng sự dịch chuyển của toàn bộ mặt phẳng theo hướng của một vectơ a cho trước theo chiều dài của nó.

Quay. Hãy ký hiệu điểm O trên mặt phẳng ( trung tâm quay) và đặt góc α ( góc quay). Phép quay mặt phẳng quanh điểm O một góc α là ánh xạ mặt phẳng lên chính nó, trong đó mỗi điểm M ánh xạ tới điểm M 1 sao cho OM = OM 1 và góc MOM 1 bằng α. Trong trường hợp này, điểm O vẫn giữ nguyên vị trí của nó, tức là nó được ánh xạ lên chính nó và tất cả các điểm khác quay quanh điểm O theo cùng một hướng - theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ (hình minh họa xoay ngược chiều kim đồng hồ).

Xoay là một chuyển động vì nó thể hiện sự ánh xạ của mặt phẳng lên chính nó, trong đó khoảng cách được bảo toàn.

Phân tích biểu hiện chuyển động: Mối liên hệ phân tích giữa tọa độ tiền ảnh và ảnh của điểm có dạng (1).

Phân loại chuyển động phẳng (tùy theo sự có mặt của điểm cố định và đường bất biến): Định nghĩa:

Một điểm trên mặt phẳng là bất biến (cố định) nếu dưới một phép biến đổi nhất định, nó biến thành chính nó.

Ví dụ: Với sự đối xứng tâm, điểm của tâm đối xứng là bất biến. Khi quay, điểm của tâm quay là bất biến. Với đối xứng trục thì đường bất biến là đường thẳng - trục đối xứng là đường thẳng của các điểm bất biến.

Định lý: Nếu một chuyển động không có một điểm bất biến thì nó có ít nhất một hướng bất biến.

Ví dụ: Truyền song song. Thật vậy, các đường thẳng song song với hướng này là một hình bất biến xét về tổng thể, mặc dù nó không bao gồm các điểm bất biến.

Định lý: Nếu một tia chuyển động thì tia đó dịch chuyển thành chính nó thì chuyển động này là một phép biến đổi đồng nhất hoặc là sự đối xứng đối với đường thẳng chứa tia đã cho.

Vì vậy, dựa vào sự có mặt của các điểm hoặc hình bất biến có thể phân loại chuyển động.

Tên phong trào	Điểm bất biến	Đường bất biến
Chuyển động của loại đầu tiên.
1. - rẽ	(giữa) - 0	KHÔNG
2. Chuyển đổi danh tính	tất cả các điểm của mặt phẳng	tất cả đều thẳng
3. Đối xứng trung tâm	điểm 0 - trung tâm	mọi đường thẳng đi qua điểm 0
4. Truyền song song	KHÔNG	tất cả đều thẳng
Chuyển động loại thứ hai.
5. Đối xứng trục.	tập hợp các điểm	trục đối xứng (đường thẳng) tất cả các đường thẳng

Nhóm chuyển động phẳng: Trong hình học, các nhóm hình tự tạo có vai trò quan trọng. Nếu là một hình nào đó trên một mặt phẳng (hoặc trong không gian), thì chúng ta có thể xem xét tập hợp tất cả các chuyển động của mặt phẳng (hoặc không gian) trong đó hình đó biến thành chính nó.

Bộ này là một nhóm. Ví dụ, đối với một tam giác đều, nhóm chuyển động phẳng biến tam giác đó thành chính nó gồm có 6 phần tử: phép quay qua các góc xung quanh một điểm và phép đối xứng qua ba đường thẳng.

Chúng được thể hiện trong hình. 1 đường màu đỏ. Các phần tử của nhóm tự căn chỉnh của một tam giác đều có thể được chỉ định khác nhau. Để giải thích điều này, chúng ta hãy đánh số các đỉnh của một tam giác đều bằng các số 1, 2, 3. Bất kỳ sự tự căn chỉnh nào của tam giác đều lấy các điểm 1, 2, 3 về cùng một điểm, nhưng được lấy theo một thứ tự khác, tức là. có thể được viết có điều kiện dưới dạng một trong các dấu ngoặc sau:

vân vân.

trong đó các số 1, 2, 3 biểu thị số đỉnh mà các đỉnh 1, 2, 3 đi vào do chuyển động đang xét.

Không gian xạ ảnh và mô hình của chúng.

Khái niệm không gian xạ ảnh và mô hình không gian xạ ảnh. Những kiến thức cơ bản về hình học xạ ảnh. Một loạt các đường thẳng có tâm tại điểm O là mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Điểm chiếu. Mặt phẳng mở rộng là mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Không gian affine ba chiều mở rộng hoặc không gian Euclide là một mô hình của không gian xạ ảnh. Hình ảnh của các hình phẳng và không gian trong thiết kế song song.

Khái niệm không gian xạ ảnh và mô hình không gian xạ ảnh:

Không gian xạ ảnh trên một trường là không gian bao gồm các đường thẳng (không gian con một chiều) của một không gian tuyến tính nào đó trên một trường nhất định. Không gian trực tiếp được gọi là dấu chấm không gian xạ ảnh. Định nghĩa này có thể được khái quát hóa cho một cơ thể tùy ý

Nếu nó có thứ nguyên thì chiều của không gian xạ ảnh được gọi là số và bản thân không gian xạ ảnh được ký hiệu và gọi là liên kết với (để biểu thị điều này, ký hiệu được chấp nhận).

Sự chuyển đổi từ không gian vectơ có chiều sang không gian xạ ảnh tương ứng được gọi là sự phóng chiếu không gian.

Điểm có thể được mô tả bằng tọa độ đồng nhất.

Các sự kiện cơ bản của hình học xạ ảnh: Hình học xạ ảnh là một nhánh của hình học nghiên cứu các mặt phẳng và không gian xạ ảnh. Đặc điểm chính của hình học xạ ảnh là nguyên tắc đối ngẫu, giúp tăng thêm tính đối xứng thanh lịch cho nhiều thiết kế. Hình học xạ ảnh có thể được nghiên cứu cả từ quan điểm hình học thuần túy và từ quan điểm phân tích (sử dụng tọa độ đồng nhất) và quan điểm đại số, coi mặt phẳng xạ ảnh như một cấu trúc trên một trường. Thông thường và trong lịch sử, mặt phẳng xạ ảnh thực được coi là mặt phẳng Euclide với việc bổ sung "đường thẳng ở vô cực".

Trong khi đó các tính chất của các hình mà hình học Euclide đề cập đến là thước đo(các giá trị cụ thể của góc, đoạn, diện tích) và sự tương đương của các hình tương đương với chúng sự phù hợp(tức là, khi các hình có thể được dịch sang một hình khác thông qua chuyển động trong khi vẫn bảo toàn các thuộc tính số liệu), có nhiều đặc tính “nằm sâu” hơn của các hình hình học được bảo toàn dưới các phép biến đổi thuộc loại tổng quát hơn là chuyển động. Hình học xạ ảnh nghiên cứu các tính chất của các hình bất biến trong lớp phép biến đổi xạ ảnh, cũng như chính những biến đổi này.

Hình học xạ ảnh bổ sung cho hình học Euclide bằng cách cung cấp các giải pháp đơn giản và đẹp mắt cho nhiều vấn đề phức tạp do sự hiện diện của các đường thẳng song song. Lý thuyết xạ ảnh của đường conic đặc biệt đơn giản và tinh tế.

Có ba cách tiếp cận chính đối với hình học xạ ảnh: tiên đề độc lập, bổ sung hình học Euclide và cấu trúc trên một trường.

tiên đề hóa

Không gian xạ ảnh có thể được xác định bằng cách sử dụng một bộ tiên đề khác.

Coxeter cung cấp những thông tin sau:

1. Có một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó.

2. Mỗi đường thẳng có ít nhất ba điểm.

3. Qua hai điểm vẽ được một đường thẳng.

4. Nếu MỘT, B, C, Và D- nhiều điểm khác nhau và AB Và đĩa CD cắt nhau thì A.C. Và BD giao nhau.

5. Nếu ABC là một mặt phẳng thì có ít nhất một điểm không thuộc mặt phẳng đó ABC.

6. Hai mặt phẳng khác nhau cắt nhau ít nhất tại hai điểm.

7. Ba đường chéo của một tứ giác không thẳng hàng.

8. Nếu ba điểm thẳng hàng X X

Mặt phẳng xạ ảnh (không có chiều thứ ba) được xác định bởi các tiên đề hơi khác nhau:

1. Qua hai điểm vẽ được đúng một đường thẳng.

2. Hai đường thẳng bất kỳ cắt nhau.

3. Có bốn điểm trong đó có ba điểm không thẳng hàng.

4. Ba đường chéo của tứ giác không thẳng hàng.

5. Nếu ba điểm thẳng hàng X là bất biến đối với phép chiếu của φ, thì tất cả các điểm trên X bất biến đối với φ.

6. Định lý Desargues: Nếu hai tam giác phối cảnh qua một điểm thì chúng phối cảnh qua một đường thẳng.

Với sự có mặt của chiều thứ ba, định lý Desargues có thể được chứng minh mà không cần đưa ra một điểm và đường lý tưởng.

Mặt phẳng mở rộng - mô hình mặt phẳng xạ ảnh: Trong không gian affine A3, chúng ta lấy một bó đường thẳng S(O) có tâm tại điểm O và một mặt phẳng Π không đi qua tâm của bó: O 6∈ Π. Một tập hợp các đường thẳng trong không gian affine là mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Hãy xác định ánh xạ của tập hợp các điểm của mặt phẳng Π lên tập hợp các đường thẳng của liên kết S (Chết tiệt, cầu nguyện nếu bạn gặp câu hỏi này, hãy tha thứ cho tôi)

Không gian affine ba chiều mở rộng hoặc không gian Euclide - mô hình không gian xạ ảnh:

Để thực hiện ánh xạ tính từ, chúng ta lặp lại quá trình mở rộng chính thức mặt phẳng affine Π thành mặt phẳng xạ ảnh, Π, bổ sung cho mặt phẳng Π một tập hợp các điểm không đúng (M∞) sao cho: ((M∞)) = P0(O). Vì trong bản đồ, ảnh nghịch đảo của mỗi mặt phẳng của bó mặt phẳng S(O) là một đường thẳng trên mặt phẳng d, nên rõ ràng là tập hợp tất cả các điểm không chính xác của mặt phẳng mở rộng: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), biểu thị một đường thẳng d∞ không chính xác của mặt phẳng mở rộng, là ảnh nghịch đảo của mặt phẳng kỳ dị Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Chúng ta hãy đồng ý rằng sau đây chúng ta sẽ hiểu đẳng thức cuối cùng P0(O) = Π0 theo nghĩa đẳng thức của các tập hợp điểm, nhưng có một cấu trúc khác. Bằng cách bổ sung cho mặt phẳng affine một đường không đúng, chúng ta đã đảm bảo rằng ánh xạ (I.21) trở thành phỏng đoán trên tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng mở rộng:

Hình ảnh các hình phẳng và không gian trong quá trình thiết kế song song:

Trong phép đo lập thể, các hình không gian được nghiên cứu, nhưng trong bản vẽ chúng được mô tả dưới dạng hình phẳng. Một hình không gian nên được mô tả như thế nào trên mặt phẳng? Thông thường trong hình học, thiết kế song song được sử dụng cho việc này. Cho p là một mặt phẳng nào đó, tôi- một đường thẳng cắt nó (Hình 1). Qua một điểm tùy ý MỘT, không thuộc đường thẳng tôi, vẽ đường thẳng song song với đường thẳng tôi. Giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng p gọi là hình chiếu song song của điểm MỘTđến mặt phẳng p theo hướng của đường thẳng tôi. Hãy biểu thị nó MỘT". Nếu điểm MỘT thuộc về dòng tôi, sau đó bằng phép chiếu song song MỘT giao điểm của đường thẳng được coi là nằm trên mặt phẳng p tôi với mặt phẳng p.

Như vậy, mỗi điểm MỘT không gian hình chiếu của nó được so sánh MỘT" lên mặt phẳng p. Sự tương ứng này gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng p theo hướng đường thẳng tôi.

Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh. Ứng dụng vào giải quyết vấn đề.

Khái niệm phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng. Ví dụ về các phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng. Tính chất của phép biến đổi xạ ảnh. Tương đồng, tính chất của tương đồng. Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh.

Khái niệm phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng: Khái niệm phép biến đổi xạ ảnh khái quát hóa khái niệm phép chiếu trung tâm. Nếu chúng ta thực hiện phép chiếu tâm của mặt phẳng α lên một mặt phẳng α 1 nào đó, thì phép chiếu của α 1 lên α 2, α 2 lên α 3, ... và cuối cùng là một mặt phẳng α nào đó N lại trên α 1, khi đó thành phần của tất cả các hình chiếu này là phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng α; Các phép chiếu song song cũng có thể được bao gồm trong một chuỗi như vậy.

Ví dụ về các phép biến đổi mặt phẳng xạ ảnh: Phép biến đổi xạ ảnh của một mặt phẳng hoàn chỉnh là ánh xạ một-một của nó lên chính nó, trong đó tính thẳng hàng của các điểm được bảo toàn, hay nói cách khác, ảnh của bất kỳ đường thẳng nào cũng là một đường thẳng. Bất kỳ phép biến đổi xạ ảnh nào cũng là thành phần của một chuỗi các hình chiếu trung tâm và song song. Phép biến đổi affine là trường hợp đặc biệt của phép biến đổi xạ ảnh, trong đó đường thẳng ở vô cực biến thành chính nó.

Tính chất của phép biến đổi xạ ảnh:

Trong quá trình biến đổi xạ ảnh, ba điểm không nằm trên một đường thẳng sẽ được biến đổi thành ba điểm không nằm trên một đường thẳng.

Trong quá trình chuyển đổi xạ ảnh, khung biến thành khung.

Trong quá trình biến đổi xạ ảnh, một đường thẳng biến thành một đường thẳng và một cây bút chì biến thành một cây bút chì.

Tương đồng, tính chất của tương đồng:

Một phép biến đổi xạ ảnh của một mặt phẳng có một đường thẳng gồm các điểm bất biến và do đó có một cây bút chì chứa các đường thẳng bất biến, được gọi là phép tương đồng.

1. Đường thẳng đi qua các điểm tương đồng tương ứng không trùng nhau là đường thẳng bất biến;

2. Các đường thẳng đi qua các điểm tương đồng tương ứng không trùng nhau thuộc cùng một cây bút chì, tâm là điểm bất biến.

3. Điểm, ảnh và tâm đồng đẳng nằm trên một đường thẳng.

Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh: xét ánh xạ xạ của mặt phẳng xạ ảnh P 2 lên chính nó, tức là phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng này (P 2 ' = P 2).

Như trước đây, thành phần f của các phép biến đổi xạ ảnh f 1 và f 2 của mặt phẳng xạ ảnh P 2 là kết quả của việc thực hiện tuần tự các phép biến đổi f 1 và f 2: f = f 2 °f 1 .

Định lý 1: tập H của tất cả các phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng xạ ảnh P 2 là một nhóm theo thành phần của các phép biến đổi xạ ảnh.

hình bậc hai

Trong ký hiệu ma trận, dạng bậc hai là f(X) = X T AX, trong đó

Thực vậy

Ví dụ: hãy viết dạng bậc hai ở dạng ma trận.

Giả sử cột ma trận của biến X thu được bằng phép biến đổi tuyến tính không suy biến của cột ma trận Y, tức là. X = CY, trong đó C là ma trận không suy biến cấp n. Khi đó dạng bậc hai
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Như vậy, với phép biến đổi tuyến tính không suy biến C, ma trận bậc hai có dạng: A * = C T AC.

Ví dụ: hãy tìm dạng bậc hai f(y 1, y 2), thu được từ dạng bậc hai f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 bằng phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai được gọi là kinh điển(có chế độ xem chuẩn), nếu tất cả các hệ số của nó a ij = 0 với i ≠ j, tức là
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ma trận của nó là đường chéo.

Ví dụ: chúng ta hãy chuyển dạng bậc hai thành dạng chính tắc
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Để thực hiện việc này, trước tiên hãy chọn một hình vuông hoàn chỉnh có biến x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Bây giờ chúng ta chọn một hình vuông hoàn chỉnh với biến x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Khi đó phép biến đổi tuyến tính không suy biến y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 và y 3 = x 3 đưa dạng bậc hai này về dạng chính tắc f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Lưu ý rằng dạng chính tắc của dạng bậc hai được xác định một cách mơ hồ (cùng một dạng bậc hai có thể được rút gọn thành dạng chính tắc theo nhiều cách khác nhau). Tuy nhiên, các dạng kinh điển thu được bằng nhiều phương pháp khác nhau đều có một số đặc tính chung. Đặc biệt, số số hạng có hệ số dương (âm) của dạng bậc hai không phụ thuộc vào phương pháp quy giản về dạng này (ví dụ, trong ví dụ đang xét sẽ luôn có hai hệ số âm và một hệ số dương). Thuộc tính này được gọi là định luật quán tính dạng bậc hai.

Chúng ta hãy xác minh điều này bằng cách đưa dạng bậc hai tương tự sang dạng chính tắc theo một cách khác. Hãy bắt đầu phép biến đổi với biến x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, trong đó y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 và y 3 = x 1 . Ở đây có hệ số dương là 2 tại y 3 và hai hệ số âm (-3) tại y 1 và y 2 (và sử dụng phương pháp khác chúng ta thu được hệ số dương 2 tại y 1 và hai hệ số âm - (-5) tại y 2 và (-1/20) tại y 3).

Dạng bậc hai f(X) được gọi là tích cực (tiêu cực) chắc chắn, nếu với tất cả các giá trị của các biến không đồng thời bằng 0 thì giá trị đó là dương, tức là. f(X) > 0 (âm, tức là
f(X)< 0).

Định lý. Dạng bậc hai là dương (âm) xác định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của ma trận của nó là dương (âm).

Định lý (tiêu chuẩn Sylvester). Dạng bậc hai là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các phần tử đứng đầu của ma trận dạng này đều dương.

Chính (góc) phụ Ma trận cấp k A cấp n gọi là định thức của ma trận, gồm k hàng và cột đầu tiên của ma trận A().

Lưu ý rằng đối với các dạng bậc hai xác định âm, các dấu của các phân số chính thay thế nhau và phân thứ bậc một phải âm.

Ví dụ, chúng ta hãy xét dạng bậc hai f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 để biết tính xác định của dấu.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Do đó, dạng bậc hai là xác định dương.

Cách 2. Chính thứ cấp một của ma trận A D 1 = a 11 = 2 > 0. Chính thứ cấp hai D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Do đó, theo tiêu chuẩn Sylvester, dạng bậc hai là xác định dương.

Chúng ta xét một dạng bậc hai khác để tìm tính xác định của dấu, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Cách 1. Xây dựng ma trận dạng bậc hai A = . Phương trình đặc trưng sẽ có dạng = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Do đó, dạng bậc hai là xác định âm.

Sự định nghĩa. Dạng bậc hai được gọi là xác định dương nếu tất cả các giá trị của nó đối với giá trị thực của các biến không đồng thời bằng 0 đều dương. Rõ ràng dạng bậc hai là xác định dương.

Sự định nghĩa. Dạng bậc hai được gọi là xác định âm nếu tất cả các giá trị của nó đều âm, ngoại trừ giá trị khác 0 cho các giá trị khác 0 của các biến.

Sự định nghĩa. Dạng bậc hai được gọi là nửa xác định dương (âm) nếu nó không nhận các giá trị âm (dương).

Các dạng bậc hai nhận cả giá trị dương và âm được gọi là không xác định.

Tại N=1 dạng bậc hai là xác định dương (at ) hoặc xác định âm (at ). Các dạng không xác định xuất hiện khi .

Định lý(Kiểm tra Sylvester về tính xác định dương của dạng bậc hai). Để có dạng bậc hai

được xác định dương thì cần và đủ để thỏa mãn các điều kiện sau:

Bằng chứng. Chúng tôi sử dụng quy nạp về số lượng biến có trong . Đối với dạng bậc hai phụ thuộc vào một biến, và phát biểu của định lý là hiển nhiên. Giả sử định lý đúng cho dạng bậc hai phụ thuộc vào N-1 biến.

1. Bằng chứng về sự cần thiết. Cho phép

là xác định dương. Khi đó dạng bậc hai

sẽ xác định dương, vì nếu , thì tại .

Theo giả thuyết quy nạp, tất cả các đại số phụ đều có dạng dương, tức là

Nó vẫn còn để chứng minh điều đó.

Dạng bậc hai xác định dương bằng phép biến đổi tuyến tính không suy biến X=BỞI rút gọn về dạng kinh điển

Dạng bậc hai tương ứng với ma trận đường chéo

với một định thức.

Phép biến đổi tuyến tính được xác định bởi ma trận không số ít TRONG, biến đổi ma trận VỚI dạng bậc hai thành ma trận. Nhưng kể từ khi Cái đó .

2. Bằng chứng đầy đủ. Giả sử rằng tất cả các số hạng đứng đầu của dạng bậc hai đều dương: .

Hãy chứng minh rằng dạng bậc hai là xác định dương. Giả định quy nạp ngụ ý tính xác định dương của dạng bậc hai . Đó là lý do tại sao bằng một phép biến đổi tuyến tính không suy biến được giảm về dạng chuẩn. Thực hiện thay đổi thích hợp các biến và đặt , chúng ta nhận được

Ở đâu - một số hệ số mới.

Tiến hành đổi biến, ta được

Định thức của ma trận dạng bậc hai này bằng , và vì dấu của nó trùng với dấu của , nên , và do đó, dạng bậc hai - xác định dương tính. Định lý đã được chứng minh.

Để một dạng bậc hai xác định âm, điều cần thiết và đủ là

là xác định dương, có nghĩa là tất cả các phân số chính của ma trận

đã tích cực. Nhưng điều này có nghĩa là

những thứ kia. rằng dấu của các cấp số chính của ma trận C thay thế, bắt đầu bằng dấu trừ.

Ví dụ. Tính xem dạng bậc hai là dương (âm) xác định hay không xác định.

Giải pháp. Ma trận dạng bậc hai có dạng:

Hãy tính các tiểu số chính của ma trận VỚI:

Dạng bậc hai là xác định dương.

Giải pháp. Hãy tính các tiểu số chính của ma trận

Dạng bậc hai là không xác định.

Để kết luận, chúng tôi xây dựng định lý sau đây.

Định lý(định luật quán tính dạng bậc hai). Số lượng bình phương dương và số bình phương âm ở dạng chuẩn, mà dạng bậc hai được rút gọn bằng các phép biến đổi tuyến tính không suy biến, không phụ thuộc vào việc lựa chọn các phép biến đổi này.

7.5. Bài tập làm việc độc lập ở Chương 7

7.1. Chứng minh rằng nếu dạng bậc hai với ma trận MỘT là xác định dương thì dạng bậc hai với ma trận nghịch đảo của nó là xác định dương.

7.2. Tìm dạng chuẩn tắc trong miền số thực

7.3. Tìm dạng chuẩn tắc trong miền số thực