Tọa độ vectơ được xác định như thế nào? §3

Tọa độ vectơ

Đại lượng đó được gọi là trục hoành của vectơ, và số đó là của anh ấy điều hành

Làm thế nào một cơ sở được hình thành trên một mặt phẳng

Làm thế nào một cơ sở được hình thành trong không gian

Cơ sở của không gian vectơ là một hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại có thứ tự từ không gian này.

Định nghĩa Hệ vectơ a1, a2, . . . , an từ không gian vectơ V được gọi là hệ các phần tử của không gian này nếu bất kỳ vectơ nào từ V được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ a1, a2, . . . , MỘT.

Một hệ vectơ có thứ tự là một cơ sở của không gian vectơ V khi và chỉ nếu nó là một hệ sinh độc lập tuyến tính của không gian này

Cơ sở Descartes là gì?

Nếu các vectơ e1, e2, e3 trực giao lẫn nhau và modulo bằng 1 thì chúng được gọi là các ort của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật và bản thân cơ sở là cơ sở Descartes trực giao.

Xây dựng tính chất tọa độ của vectơ theo cơ sở Descartes

Tọa độ của một điểm là gì?

Khoảng cách của một điểm đến các mặt phẳng tọa độ được gọi là tọa độ điểm.
Khoảng cách AA 1 điểm đến mặt phẳng P 1 gọi là điểm ứng dụng của điểm và ký hiệu là y A, khoảng cách AA 2 điểm đến mặt phẳng P 2 là tọa độ của điểm và được ký hiệu là y A, khoảng cách AA 3 điểm từ mặt phẳng P 3 là hoành độ của điểm và ký hiệu là x A.
Rõ ràng, tọa độ của điểm ứng dụng z A là độ cao AA 1, tọa độ của điểm tọa độ y A là độ sâu AA 2, tọa độ của điểm hoành độ x A là vĩ độ AA 3.

Tọa độ của một vectơ được tính như thế nào nếu biết tọa độ điểm cuối và điểm đầu của nó?

Cách tính khoảng cách giữa hai điểm nếu biết tọa độ của chúng

Bản thân bạn cũng biết rằng AB (x1-x2;y1-y2)
Khoảng cách giữa các điểm là độ dài của vectơ AB.

cosin định hướng là gì

cosin chỉ phương của một vectơ là cosin của các góc mà vectơ tạo thành với bán trục tọa độ dương.

Cosin định hướng xác định duy nhất hướng của vectơ.

Cái gọi là hình chiếu của vectơ lên trục, chứng minh tính chất của hình chiếu.

Phép chiếu vectơ mỗi trục tôi() là chiều dài thành phần của nó trên mỗi trục tôi, được lấy bằng dấu cộng nếu hướng của thành phần trùng với hướng của trục tôi và có dấu trừ nếu hướng của thành phần ngược với hướng của trục.

Nếu = , thì họ tin = .

Định lý I Hình chiếu của một vectơ lên trục l bằng tích của mô đun của nó và cosin của góc giữa vectơ này và trục l.

Bằng chứng. Vì vectơ = tự do nên chúng ta có thể giả sử rằng gốc O của nó nằm trên trục l(Hình 34).

Nếu góc nhọn thì hướng của thành phần = , vector trùng với hướng của trục tôi(Hình 34,a).

Trong trường hợp này chúng ta có = + = . Nếu góc (Hình 34, b) , thì hướng của thành phần = vectơ ngược chiều với trục tôi. Sau đó chúng ta nhận được = = cos( - ) = vì

Điều tương tự cũng xảy ra với vectơ.

Tích vô hướng của vectơ là gì

Sản phẩm chấm hai khác không vectơ a và b là một số bằng tích độ dài của chúng vectơ bằng cosin của góc giữa chúng.

Xây dựng điều kiện trực giao của vectơ

Điều kiện trực giao của hai vectơ. a và b trực giao (vuông góc), nếu tích vô hướng của chúng bằng 0.

Chứng minh tính chất tích vô hướng của vectơ

Tính chất của tích vô hướng của vectơ

Tích vô hướng của một vectơ với chính nó luôn lớn hơn hoặc bằng 0:

Tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng 0 khi và chỉ khi vectơ đó bằng vectơ 0:

một · a = 0<=>một = 0

Tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng bình phương mô đun của nó:

Phép nhân vô hướng có tính chất giao tiếp:

Nếu tích vô hướng của hai vectơ khác 0 bằng 0 thì các vectơ này trực giao:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

(αa) b = α(a b)
Phép nhân vô hướng có tính phân phối:

(a + b) c = a c + b c

Rút ra biểu thức tích vô hướng theo tọa độ

Xây dựng các tính chất của tích vector

CHỈ CÓ 1 CÔNG THỨC

Từ trên nó là một yếu tố quyết định.

Hình học giải tích

1. Chứng minh định lý về phương trình tổng quát của đường thẳng trên mặt phẳng

2. Nghiên cứu phương trình tổng quát của đường thẳng trên mặt phẳng

3. Suy ra phương trình đường thẳng trên mặt phẳng có hệ số góc và phương trình đường thẳng trên các trục

4. Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng trên mặt phẳng, viết phương trình tham số, suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

5. Góc giữa các đường thẳng trên mặt phẳng được xác định như thế nào nếu chúng được cho bởi phương trình chính tắc hoặc phương trình có hệ số góc?

6. Suy ra điều kiện về sự song song, trùng nhau và vuông góc của các đường thẳng trên mặt phẳng

7. Thu được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trên mặt phẳng

8. Chứng minh định lý về phương trình tổng quát của mặt phẳng

9. Xây dựng và chứng minh định lý về vị trí tương đối của một cặp mặt phẳng

10. Nghiên cứu phương trình tổng quát của mặt phẳng

11. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm cho trước

12. Lấy công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

13. Góc giữa các mặt phẳng được tính như thế nào?

14. Suy ra điều kiện song song và vuông góc của hai mặt phẳng

15. Viết dạng tổng quát của phương trình đường thẳng trong không gian, thu được dạng chính tắc của phương trình đường thẳng trong không gian

16. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng trong không gian và đường thẳng đi qua hai điểm trong không gian.

17. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian được xác định như thế nào? Viết điều kiện để các đường thẳng song song và vuông góc trong không gian

18. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định như thế nào? Viết điều kiện vuông góc, song song của đường thẳng và mặt phẳng

19. Tìm điều kiện để hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng

Phân tích toán học

1. Hàm là gì, có những cách định nghĩa nào?

2. Hàm chẵn, hàm lẻ là gì, cách dựng đồ thị

3. Hàm tuần hoàn, hàm nghịch đảo là gì, cách xây dựng đồ thị của chúng

4. Vẽ các hàm số mũ và logarit trên đồ thị a>1, a<1.

5. Sự phụ thuộc điều hòa là gì, đồ thị của nó có dạng gì?

6. Vẽ đồ thị y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx

7. Hàm cơ bản là gì. Đồ thị hàm số cơ bản

8. Cách dựng đồ thị như y=cf(x), y=f(cx), y=f(x)+c, y=f(x+c)

9. Dãy số là gì, cách xác định dãy số đó như thế nào?

10. Dãy đơn điệu và dãy bị chặn là gì?

11. Thế nào được gọi là giới hạn của dãy số? Viết định nghĩa rằng một số đã cho không phải là giới hạn của một dãy đã cho

12. Xây dựng tính chất của giới hạn dãy

13. Chứng minh hai tính chất chính của dãy hội tụ

14. Điều nào trong số chúng cung cấp điều kiện cần thiết cho sự hội tụ?

15. Xây dựng định lý chứng minh điều kiện đủ cho sự hội tụ của dãy

16. Chứng minh tính chất của giới hạn dãy

17. Dãy số vô cùng nhỏ (lớn) là gì?

18. Xây dựng tính chất của dãy số vô cùng nhỏ

19. Thế nào gọi là giới hạn của hàm số?

20. Xây dựng tính chất của hàm giới hạn

21. Thế nào được gọi là giới hạn một phía?

22. Viết giới hạn đáng chú ý đầu tiên và suy ra hệ quả của nó

23. Viết giới hạn đáng chú ý thứ hai và suy ra hệ quả của nó

24. Những hàm số nào được gọi là vô cùng nhỏ, hữu hạn, vô cùng lớn?

25. Xây dựng tính chất của hàm số vô cùng nhỏ, chứng minh bất kỳ hàm nào trong số đó

26. Những khái niệm nào được đưa ra để so sánh hàm số vô cùng nhỏ, cho biết định nghĩa của chúng

27. Hàm số nào được gọi là liên tục tại một điểm cho trước?

28. Xây dựng tiêu chí về tính liên tục và mô tả các loại điểm gián đoạn

29. Đạo hàm của hàm số tại một điểm cố định là bao nhiêu?

30. Thế nào gọi là đạo hàm một phía?

31. Vi phân của một hàm số là gì và nó liên quan như thế nào đến độ tăng của hàm số?

32. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai

33. Đạo hàm của một hàm số là gì?

34. Liệt kê tính chất của đạo hàm, chứng minh hai (u+v)" và (uv)"

35. Viết bảng đạo hàm, chứng minh hai công thức bất kỳ

36. Ý nghĩa hình học của đạo hàm và vi phân là gì?

37. Suy ra phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đồ thị hàm số

38. Chứng minh định lý về đạo hàm của hàm số phức

39. Suy ra đạo hàm của hàm nghịch đảo (cho ví dụ tìm)

40. Chứng minh định lý về phép tính đạo hàm

41. Chứng minh tất cả các định lý giá trị trung bình cho hàm khả vi

42. Xây dựng và chứng minh quy tắc L'Hopital

43. Những hàm số nào được gọi là tăng và giảm trên một khoảng?

44. Chứng minh định lý về mối liên hệ giữa đạo hàm và hàm số tăng

45. Điểm cực trị là gì?

46. Chứng minh điều kiện cần của cực trị

47. Suy ra hai loại điều kiện đủ cho một cực trị

48. Làm thế nào để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một đoạn?

49. Thế nào gọi là hàm lồi và hàm lõm?

50. Làm thế nào để kiểm tra hàm lồi và lõm? Điểm uốn là gì?

51. Đường tiệm cận - đưa ra định nghĩa, giải thích cách tìm

52. Suy ra công thức tìm đạo hàm (thứ nhất và thứ hai) của hàm xác định tham số

53. Hàm vectơ, hodograph và ý nghĩa cơ học của nó là gì?

54. Đặc trưng tốc độ và gia tốc của một điểm vật chất chuyển động thẳng đều trong một vòng tròn về độ lớn và hướng

55. Đặc trưng về độ lớn và hướng, tốc độ và gia tốc của một điểm vật chất chuyển động không đều trong một vòng tròn

56. Tìm đạo hàm của hàm số y=e x , y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=lnx, y=arcsinx, y=arccosx

Tọa độ vectơ là gì?

Tọa độ vectơ lần lượt được gọi là các hình chiếu và của một vectơ cho trước trên trục và:

Đại lượng đó được gọi là trục hoành của vectơ, và số đó là của anh ấy điều hành. Việc vectơ có tọa độ và được viết như sau: .

Hệ tọa độ hình chữ nhật

Để xác định khái niệm tọa độ điểm, chúng ta cần đưa ra một hệ tọa độ trong đó chúng ta sẽ xác định tọa độ của nó. Cùng một điểm trong các hệ tọa độ khác nhau có thể có tọa độ khác nhau. Ở đây chúng ta sẽ xem xét một hệ tọa độ hình chữ nhật trong không gian.

Hãy lấy một điểm $O$ trong không gian và giới thiệu tọa độ $(0,0,0)$ cho nó. Hãy gọi nó là gốc của hệ tọa độ. Chúng ta hãy vẽ ba trục vuông góc lẫn nhau $Ox$, $Oy$ và $Oz$ đi qua nó, như trong Hình 1. Các trục này sẽ lần lượt được gọi là trục hoành, trục tọa độ và trục ứng dụng. Tất cả những gì còn lại là nhập tỷ lệ trên các trục (đoạn đơn vị) - hệ tọa độ hình chữ nhật trong không gian đã sẵn sàng (Hình 1)

Hình 1. Hệ tọa độ hình chữ nhật trong không gian. Author24 - trao đổi trực tuyến các tác phẩm của sinh viên

tọa độ điểm

Bây giờ chúng ta hãy xem tọa độ của bất kỳ điểm nào được xác định trong hệ thống như vậy. Hãy lấy một điểm tùy ý $M$ (Hình 2).

Chúng ta hãy dựng một hình song song hình chữ nhật trên các trục tọa độ, sao cho các điểm $O$ và $M$ là các đỉnh đối diện của nó (Hình 3).

Hình 3. Cấu tạo của một hình bình hành hình chữ nhật. Author24 - trao đổi trực tuyến các tác phẩm của sinh viên

Khi đó điểm $M$ sẽ có tọa độ $(X,Y,Z)$, trong đó $X$ là giá trị trên trục số $Ox$, $Y$ là giá trị trên trục số $Oy$, và $Z $ là giá trị trên trục số $Oz$.

Ví dụ 1

Cần tìm lời giải cho bài toán sau: viết tọa độ các đỉnh của hình bình hành như hình 4.

Giải pháp.

Điểm $O$ là gốc tọa độ, do đó $O=(0,0,0)$.

Các điểm $Q$, $N$ và $R$ lần lượt nằm trên các trục $Ox$, $Oz$ và $Oy$, nghĩa là

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$

Các điểm $S$, $L$ và $M$ lần lượt nằm trong các mặt phẳng $Oxz$, $Oxy$ và $Oyz$, nghĩa là

$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$

Điểm $P$ có tọa độ $P=(2,2.5,1.5)$

Tọa độ vectơ dựa trên hai điểm và công thức tìm

Để tìm ra cách tìm một vectơ từ tọa độ của hai điểm, bạn cần xem xét hệ tọa độ mà chúng tôi đã giới thiệu trước đó. Trong đó, từ điểm $O$ theo hướng của trục $Ox$, chúng ta vẽ vectơ đơn vị $\overline(i)$, theo hướng của trục $Oy$ - vectơ đơn vị $\overline(j) $ và vectơ đơn vị $\overline(k) $ phải được hướng dọc theo trục $Oz$.

Để giới thiệu khái niệm tọa độ vectơ, chúng tôi đưa ra định lý sau (chúng tôi sẽ không xem xét chứng minh của nó ở đây).

Định lý 1

Một vectơ tùy ý trong không gian có thể được khai triển thành ba vectơ bất kỳ không nằm trong cùng một mặt phẳng và các hệ số trong khai triển đó sẽ được xác định duy nhất.

Về mặt toán học nó trông như thế này:

$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$

Vì các vectơ $\overline(i)$, $\overline(j)$ và $\overline(k)$ được xây dựng trên các trục tọa độ của hệ tọa độ hình chữ nhật, nên rõ ràng chúng sẽ không thuộc cùng một mặt phẳng. Điều này có nghĩa là bất kỳ vectơ $\overline(δ)$ nào trong hệ tọa độ này, theo Định lý 1, đều có thể có dạng sau

$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)

trong đó $n,m,l∈R$.

Định nghĩa 1

Ba vectơ $\overline(i)$, $\overline(j)$ và $\overline(k)$ sẽ được gọi là vectơ tọa độ.

Định nghĩa 2

Các hệ số đứng trước các vectơ $\overline(i)$, $\overline(j)$ và $\overline(k)$ trong khai triển (1) sẽ được gọi là tọa độ của vectơ này trong hệ tọa độ do chúng ta đưa ra , đó là

$\overline(δ)=(m,n,l)$

Các phép toán tuyến tính trên vectơ

Định lý 2

Định lý tổng: Tọa độ của tổng của số vectơ bất kỳ được xác định bằng tổng tọa độ tương ứng của chúng.

Bằng chứng.

Ta sẽ chứng minh định lý này cho 2 vectơ. Đối với 3 vectơ trở lên, cách chứng minh được xây dựng theo cách tương tự. Đặt $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2 ,β_3)$.

Các vectơ này có thể được viết như sau

$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\overline(k)$

Tìm tọa độ của vectơ là điều kiện khá phổ biến cho nhiều bài toán trong toán học. Khả năng tìm tọa độ vectơ sẽ giúp bạn giải quyết các vấn đề khác phức tạp hơn với các chủ đề tương tự. Trong bài này chúng ta sẽ xem xét công thức tìm tọa độ vectơ và một số bài toán.

Tìm tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Máy bay là gì? Một mặt phẳng được coi là một không gian hai chiều, một không gian có hai chiều (chiều x và chiều y). Ví dụ, giấy phẳng. Bề mặt của bàn phẳng. Mọi hình không thể tích (hình vuông, hình tam giác, hình thang) cũng là một mặt phẳng. Như vậy, nếu trong đề bài cần tìm tọa độ của một vectơ nằm trên một mặt phẳng thì chúng ta nhớ ngay về x và y. Bạn có thể tìm tọa độ của vectơ như sau: Tọa độ AB của vectơ = (xB – xA; yB – xA). Công thức cho thấy bạn cần trừ tọa độ của điểm đầu khỏi tọa độ của điểm cuối.

Ví dụ:

Vector CD có tọa độ ban đầu (5; 6) và cuối cùng (7; 8).
Tìm tọa độ của chính vectơ đó.
Sử dụng công thức trên, ta có biểu thức sau: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
Như vậy tọa độ của vectơ CD = (2; 2).
Theo đó, tọa độ x bằng hai, tọa độ y cũng bằng hai.

Tìm tọa độ của một vectơ trong không gian

Không gian là gì? Không gian đã là một chiều ba chiều, trong đó có 3 tọa độ: x, y, z. Nếu bạn cần tìm một vectơ nằm trong không gian, công thức thực tế không thay đổi. Chỉ có một tọa độ được thêm vào. Để tìm một vectơ, bạn cần trừ tọa độ đầu khỏi tọa độ cuối. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Ví dụ:

Vector DF có số đầu (2; 3; 1) và số cuối (1; 5; 2).
Áp dụng công thức trên, ta có: Tọa độ vectơ DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
Hãy nhớ rằng, giá trị tọa độ có thể âm, không có vấn đề gì.

Làm thế nào để tìm tọa độ vector trực tuyến?

Nếu vì lý do nào đó bạn không muốn tự mình tìm tọa độ, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến. Để bắt đầu, hãy chọn kích thước vectơ. Kích thước của một vectơ chịu trách nhiệm về kích thước của nó. Thứ nguyên 3 có nghĩa là vectơ nằm trong không gian, thứ nguyên 2 có nghĩa là nó nằm trên mặt phẳng. Tiếp theo, chèn tọa độ của các điểm vào các trường thích hợp và chương trình sẽ xác định cho bạn tọa độ của vectơ. Nó rất đơn giản.

Bằng cách nhấp vào nút, trang sẽ tự động cuộn xuống và cung cấp cho bạn câu trả lời đúng cùng với các bước giải.

Nên nghiên cứu kỹ chủ đề này vì khái niệm vectơ không chỉ có trong toán học mà còn trong vật lý. Sinh viên Khoa Công nghệ thông tin cũng nghiên cứu chủ đề vectơ nhưng ở mức độ phức tạp hơn.

Cuối cùng, tôi đã có được chủ đề sâu rộng và được chờ đợi từ lâu này. hình học giải tích. Đầu tiên, nói một chút về phần toán cao cấp này... Chắc hẳn bây giờ bạn còn nhớ một khóa học hình học ở trường với vô số định lý, cách chứng minh, hình vẽ, v.v. Che giấu điều gì, một chủ đề không được yêu thích và thường ít người biết đến đối với một bộ phận đáng kể học sinh. Kỳ lạ thay, hình học giải tích lại có vẻ thú vị và dễ tiếp cận hơn. Tính từ “phân tích” có nghĩa là gì? Hai cụm từ toán học sáo rỗng ngay lập tức xuất hiện trong đầu bạn: “phương pháp giải đồ họa” và “phương pháp giải phân tích”. Phương pháp đồ họa, tất nhiên, gắn liền với việc xây dựng đồ thị và hình vẽ. phân tích hoặc phương pháp liên quan đến việc giải quyết các vấn đề chủ yếu thông qua các phép toán đại số. Về vấn đề này, thuật toán giải hầu hết các bài toán của hình học giải tích rất đơn giản và minh bạch; thường chỉ cần áp dụng cẩn thận các công thức cần thiết là đủ - và câu trả lời đã sẵn sàng! Không, tất nhiên, chúng ta sẽ không thể làm được điều này nếu không có bản vẽ, và ngoài ra, để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi sẽ cố gắng trích dẫn chúng nếu không cần thiết.

Khóa học mới mở về hình học không có vẻ hoàn chỉnh về mặt lý thuyết; nó tập trung vào việc giải quyết các vấn đề thực tế. Theo quan điểm của tôi, tôi sẽ chỉ đưa vào bài giảng của mình những gì quan trọng về mặt thực tế. Nếu bạn cần trợ giúp đầy đủ hơn về bất kỳ tiểu mục nào, tôi khuyên bạn nên sử dụng tài liệu khá dễ tiếp cận sau:

1) Một điều mà không đùa được, nhiều thế hệ đã quen thuộc: Sách giáo khoa hình học phổ thông, tác giả – L.S. Atanasyan và Công ty. Chiếc móc treo phòng thay đồ của trường này đã trải qua 20 lần tái bản (!), Tất nhiên, đó không phải là giới hạn.

2) Hình học trong 2 tập. tác giả L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Đây là tài liệu dành cho cấp trung học, bạn sẽ cần tập đầu tiên. Những nhiệm vụ hiếm gặp có thể lọt khỏi tầm mắt của tôi và phần hướng dẫn sẽ mang lại sự trợ giúp vô giá.

Cả hai cuốn sách đều có thể được tải xuống miễn phí trực tuyến. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng kho lưu trữ của tôi với các giải pháp làm sẵn, có thể tìm thấy trên trang Tải các ví dụ về toán cao cấp.

Trong số các công cụ, tôi một lần nữa đề xuất sự phát triển của riêng mình - gói phần mềm trong hình học giải tích, điều này sẽ đơn giản hóa cuộc sống rất nhiều và tiết kiệm rất nhiều thời gian.

Giả định rằng người đọc đã quen thuộc với các khái niệm và hình học cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, hình tam giác, hình bình hành, hình bình hành, hình khối, v.v. Nên nhớ lại một số định lý, ít nhất là định lý Pythagore, xin chào những người lặp lại)

Và bây giờ chúng ta sẽ xem xét tuần tự: khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ. Tôi khuyên bạn nên đọc thêm bài viết quan trọng nhất Tích vô hướng của vectơ, và cả Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. Một nhiệm vụ cục bộ - Phân chia một phân khúc về mặt này - cũng sẽ không thừa. Dựa vào những thông tin trên, bạn có thể nắm vững phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Với ví dụ đơn giản nhất về giải pháp, điều này sẽ cho phép học cách giải các bài toán hình học. Các bài viết sau đây cũng hữu ích: Phương trình mặt phẳng trong không gian, Phương trình đường thẳng trong không gian, Các bài toán cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, các phần khác của hình học giải tích. Đương nhiên, các nhiệm vụ tiêu chuẩn sẽ được xem xét trong quá trình thực hiện.

Khái niệm vectơ. Vectơ miễn phí

Đầu tiên, hãy lặp lại định nghĩa trường học của một vectơ. Vectơ gọi điện chỉ đạo một đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được chỉ định:

Trong trường hợp này, phần đầu của đoạn là điểm, phần cuối của đoạn là điểm. Bản thân vectơ được ký hiệu là . Phương hướng là điều cần thiết, nếu bạn di chuyển mũi tên đến đầu kia của đoạn thẳng, bạn sẽ nhận được một vectơ và đây là vectơ hoàn toàn khác. Thật thuận tiện khi đồng nhất khái niệm vectơ với chuyển động của cơ thể vật chất: bạn phải đồng ý, việc bước vào cửa viện hay rời khỏi cửa viện là những chuyện hoàn toàn khác nhau.

Thật thuận tiện khi xem xét các điểm riêng lẻ của một mặt phẳng hoặc không gian như được gọi là vectơ không. Đối với một vectơ như vậy, điểm cuối và điểm đầu trùng nhau.

!!! Ghi chú: Ở đây và xa hơn nữa, bạn có thể giả sử rằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc bạn có thể giả định rằng chúng nằm trong không gian - bản chất của vật liệu được trình bày có giá trị cho cả mặt phẳng và không gian.

Chỉ định: Nhiều người ngay lập tức nhận thấy cây gậy không có mũi tên trong phần ký hiệu và nói, cũng có một mũi tên ở trên cùng! Đúng, bạn có thể viết nó bằng mũi tên: , nhưng cũng có thể mục mà tôi sẽ sử dụng trong tương lai. Tại sao? Rõ ràng, thói quen này phát triển vì những lý do thực tế; những tay súng của tôi ở trường học và đại học hóa ra có kích thước quá khác biệt và bờm xờm. Trong văn học giáo dục, đôi khi họ không hề bận tâm đến việc viết chữ hình nêm mà đánh dấu các chữ in đậm: , qua đó ngụ ý rằng đây là một vectơ.

Đó là phong cách, và bây giờ là về cách viết vectơ:

1) Các vectơ có thể được viết bằng hai chữ cái Latinh in hoa:
và vân vân. Trong trường hợp này, chữ cái đầu tiên nhất thiết biểu thị điểm bắt đầu của vectơ và chữ cái thứ hai biểu thị điểm cuối của vectơ.

2) Các vectơ cũng được viết bằng chữ Latinh thường:
Đặc biệt, vectơ của chúng ta có thể được thiết kế lại cho ngắn gọn bằng một chữ cái Latinh nhỏ.

Chiều dài hoặc mô-đun một vectơ khác 0 được gọi là độ dài của đoạn. Độ dài của vectơ 0 bằng 0. Hợp lý.

Độ dài của vectơ được biểu thị bằng dấu mô đun: ,

Chúng ta sẽ học cách tìm độ dài của vectơ (hoặc chúng ta sẽ lặp lại nó, tùy thuộc vào ai) sau đó một chút.

Đây là thông tin cơ bản về vectơ, quen thuộc với tất cả học sinh. Trong hình học giải tích, cái gọi là vectơ miễn phí.

Nói một cách đơn giản - vectơ có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào:

Chúng ta quen gọi các vectơ như vậy bằng nhau (định nghĩa các vectơ bằng nhau sẽ được đưa ra dưới đây), nhưng theo quan điểm toán học thuần túy, chúng là CÙNG VECTOR hoặc vectơ miễn phí. Tại sao miễn phí? Bởi vì trong quá trình giải toán, bạn có thể “gắn” vectơ “trường học” này vào BẤT KỲ điểm nào trên mặt phẳng hoặc không gian mà bạn cần. Đây là một tính năng rất thú vị! Hãy tưởng tượng một đoạn được định hướng có độ dài và hướng tùy ý - nó có thể được “nhân bản” vô số lần và tại bất kỳ điểm nào trong không gian, trên thực tế, nó tồn tại MỌI NƠI. Có một sinh viên nói rằng: Mọi giảng viên đều quan tâm đến vectơ. Xét cho cùng, đây không chỉ là một vần điệu dí dỏm, mọi thứ gần như đúng - một phân đoạn có định hướng cũng có thể được thêm vào đó. Nhưng đừng vội vui mừng, người khổ nhất chính là học sinh =))

Vì thế, vectơ miễn phí- Cái này nhiều các phân đoạn có hướng giống hệt nhau. Định nghĩa trường phái về vectơ được đưa ra ở đầu đoạn văn: “Một đoạn có hướng được gọi là vectơ…” ngụ ý cụ thể một đoạn có hướng được lấy từ một tập hợp nhất định, được gắn với một điểm cụ thể trong mặt phẳng hoặc không gian.

Cần lưu ý rằng từ quan điểm vật lý, khái niệm vectơ tự do nói chung là không chính xác và quan điểm ứng dụng là quan trọng. Thật vậy, một cú đánh trực tiếp với cùng một lực vào mũi hoặc trán, đủ để phát triển ví dụ ngu ngốc của tôi, sẽ gây ra những hậu quả khác nhau. Tuy nhiên, không có tự do vectơ cũng được tìm thấy trong quá trình vyshmat (đừng đến đó :)).

Hành động với vectơ. Sự cộng tuyến của các vectơ

Một khóa học hình học phổ thông bao gồm một số hành động và quy tắc với vectơ: phép cộng theo quy tắc tam giác, phép cộng theo quy tắc hình bình hành, quy tắc sai phân vectơ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng của vectơ, v.v.Để bắt đầu, chúng tôi nhắc lại hai quy tắc đặc biệt phù hợp để giải các bài toán hình học giải tích.

Quy tắc cộng vectơ bằng quy tắc tam giác

Xét hai vectơ khác 0 tùy ý và:

Bạn cần tìm tổng của các vectơ này. Do thực tế là tất cả các vectơ đều được coi là tự do nên chúng ta sẽ loại vectơ khỏi kết thúc vectơ:

Tổng các vectơ là vectơ. Để hiểu rõ hơn về quy luật, nên đặt ý nghĩa vật lý vào đó: để một vật nào đó chuyển động dọc theo vectơ , rồi dọc theo vectơ . Khi đó tổng các vectơ là vectơ của đường đi kết quả có điểm đầu là điểm khởi hành và điểm cuối là điểm đến. Một quy tắc tương tự được xây dựng cho tổng của bất kỳ số lượng vectơ nào. Như người ta nói, cơ thể có thể di chuyển rất nghiêng theo đường ngoằn ngoèo, hoặc có thể ở chế độ lái tự động - dọc theo vectơ kết quả của tổng.

Nhân tiện, nếu vectơ bị trễ từ bắt đầu vector, sau đó chúng ta nhận được tương đương quy tắc hình bình hành phép cộng các vectơ.

Đầu tiên, về sự cộng tuyến của các vectơ. Hai vectơ đó được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song. Nói một cách đại khái, chúng ta đang nói về các vectơ song song. Nhưng liên quan đến họ, tính từ “cộng tuyến” luôn được sử dụng.

Cho hai vectơ thẳng hàng. Nếu các mũi tên của các vectơ này cùng hướng thì các vectơ đó được gọi là đồng đạo diễn. Nếu các mũi tên hướng khác nhau thì các vectơ sẽ là hướng ngược lại.

Chỉ định: tính cộng tuyến của các vectơ được viết bằng ký hiệu song song thông thường: , trong khi có thể chi tiết hóa: (các vectơ có hướng ngược nhau) hoặc (các vectơ có hướng ngược nhau).

công việc một vectơ khác 0 của một số là một vectơ có độ dài bằng , và các vectơ cùng hướng và hướng ngược nhau tại .

Quy tắc nhân vectơ với một số sẽ dễ hiểu hơn khi sử dụng hình ảnh:

Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn:

1) Hướng. Nếu số nhân âm thì vectơ thay đổi hướng ngược lại.

2) Chiều dài. Nếu số nhân nằm trong hoặc , thì độ dài của vectơ giảm. Vậy chiều dài của vectơ bằng một nửa chiều dài của vectơ. Nếu mô đun của số nhân lớn hơn 1 thì độ dài của vectơ tăng lênđôi khi.

3) Xin lưu ý rằng mọi vectơ đều thẳng hàng, trong khi một vectơ được biểu thị thông qua một vectơ khác, ví dụ: . Điều ngược lại cũng đúng: nếu một vectơ có thể được biểu diễn thông qua một vectơ khác thì các vectơ đó nhất thiết phải thẳng hàng. Như vậy: nếu chúng ta nhân một vectơ với một số, chúng ta sẽ thẳng hàng(so với bản gốc) vectơ.

4) Các vectơ cùng hướng. Các vectơ và cũng được đồng đạo diễn. Bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ nhất đều có hướng ngược chiều với bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ hai.

Những vectơ nào bằng nhau?

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Lưu ý rằng tính đồng hướng hàm ý tính cộng tuyến của các vectơ. Định nghĩa sẽ không chính xác (dư thừa) nếu chúng ta nói: “Hai vectơ bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, cùng hướng và có cùng độ dài”.

Từ quan điểm của khái niệm vectơ tự do, các vectơ bằng nhau là cùng một vectơ, như đã thảo luận trong đoạn trước.

Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian

Điểm đầu tiên là xét các vectơ trên mặt phẳng. Chúng ta hãy mô tả một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes và vẽ nó từ gốc tọa độ đơn vectơ và:

Vectơ và trực giao. Trực giao = Vuông góc. Tôi khuyên bạn nên làm quen dần với các thuật ngữ: thay vì song song và vuông góc, chúng ta sử dụng các từ tương ứng sự cộng tác Và tính trực giao.

Chỉ định: Tính trực giao của vectơ được viết bằng ký hiệu vuông góc thông thường, ví dụ: .

Các vectơ đang xét được gọi là vectơ tọa độ hoặc orts. Các vectơ này hình thành cơ sở trên một chiếc máy bay. Tôi nghĩ cơ sở là gì thì nhiều người có thể dễ dàng tìm thấy thông tin chi tiết hơn trong bài viết; Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ Nói một cách đơn giản, cơ sở và nguồn gốc của tọa độ xác định toàn bộ hệ thống - đây là một loại nền tảng tạo nên đời sống hình học đầy đủ và phong phú.

Đôi khi cơ sở được xây dựng được gọi là trực giao cơ sở của mặt phẳng: “ortho” - vì các vectơ tọa độ là trực giao nên tính từ “chuẩn hóa” có nghĩa là đơn vị, tức là độ dài của các vectơ cơ sở bằng một.

Chỉ định: cơ sở thường được viết trong ngoặc đơn, trong đó theo trình tự chặt chẽ các vectơ cơ sở được liệt kê, ví dụ: . Các vectơ tọa độ nó bị cấm sắp xếp lại.

Bất kì véc tơ máy bay cách duy nhấtđược thể hiện như:
, Ở đâu - con sốđược gọi là tọa độ vector trong cơ sở này. Và bản thân sự biểu hiện gọi điện phân rã véc tơtheo cơ sở .

Bữa tối được phục vụ:

Hãy bắt đầu với chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái: . Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng khi phân tách một vectơ thành một cơ sở, những vectơ vừa thảo luận sẽ được sử dụng:
1) quy tắc nhân vectơ với một số: và ;
2) phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác: .

Bây giờ hãy tưởng tượng vectơ từ bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng. Rõ ràng là sự suy tàn của anh ta sẽ “theo anh ta không ngừng nghỉ”. Đây rồi, sự tự do của vectơ - vectơ “mang theo mọi thứ bên mình”. Tất nhiên, tính chất này đúng với mọi vectơ. Thật buồn cười là bản thân các vectơ cơ sở (miễn phí) không nhất thiết phải được vẽ từ gốc; một vectơ có thể được vẽ, chẳng hạn như ở dưới cùng bên trái và vectơ kia ở trên cùng bên phải, và sẽ không có gì thay đổi! Đúng, bạn không cần phải làm điều này, vì giáo viên cũng sẽ thể hiện sự độc đáo và ghi điểm “tín dụng” cho bạn ở một nơi không ngờ tới.

Các vectơ minh họa chính xác quy tắc nhân một vectơ với một số, vectơ cùng hướng với vectơ cơ sở, vectơ có hướng ngược với vectơ cơ sở. Đối với các vectơ này, một trong các tọa độ bằng 0, bạn có thể viết nó một cách tỉ mỉ như thế này:

Và nhân tiện, các vectơ cơ sở giống như thế này: (trên thực tế, chúng được thể hiện thông qua chính chúng).

Và cuối cùng: , . Nhân tiện, phép trừ vectơ là gì và tại sao tôi không nói về quy tắc trừ? Ở đâu đó trong đại số tuyến tính, tôi không nhớ ở đâu, tôi đã lưu ý rằng phép trừ là một trường hợp đặc biệt của phép cộng. Do đó, việc khai triển các vectơ “de” và “e” có thể dễ dàng viết dưới dạng tổng: , . Hãy theo dõi hình vẽ để thấy cách cộng các vectơ cũ theo quy tắc tam giác hoạt động rõ ràng như thế nào trong những tình huống này.

Việc phân hủy được coi là của biểu mẫu đôi khi được gọi là phân rã vector trong hệ thống ort(tức là trong một hệ vectơ đơn vị). Nhưng đây không phải là cách duy nhất để viết vectơ; tùy chọn sau đây là phổ biến:

Hoặc với dấu bằng:

Bản thân các vectơ cơ sở được viết như sau: và

Nghĩa là tọa độ của vectơ được biểu thị trong ngoặc đơn. Trong các bài toán thực tế, cả ba phương án ký hiệu đều được sử dụng.

Tôi phân vân không biết có nên nói không, nhưng tôi vẫn nói: tọa độ vector không thể được sắp xếp lại. Nghiêm túc ở vị trí đầu tiên chúng ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị, đúng ở vị trí thứ hai chúng ta viết tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị. Thật vậy, và là hai vectơ khác nhau.

Chúng tôi đã tìm ra tọa độ trên máy bay. Bây giờ chúng ta hãy xem các vectơ trong không gian ba chiều, hầu hết mọi thứ ở đây đều giống nhau! Nó sẽ chỉ thêm một tọa độ nữa. Thật khó để tạo các bản vẽ ba chiều, vì vậy tôi sẽ giới hạn ở một vectơ, để đơn giản, tôi sẽ tách khỏi gốc:

Bất kì vectơ không gian 3D cách duy nhất khai triển trên cơ sở trực chuẩn:
, tọa độ của vectơ (số) trong cơ sở này ở đâu.

Ví dụ từ hình ảnh: . Hãy xem các quy tắc vectơ hoạt động như thế nào ở đây. Đầu tiên, nhân vectơ với một số: (mũi tên đỏ), (mũi tên xanh) và (mũi tên quả mâm xôi). Thứ hai, đây là ví dụ về việc cộng một số vectơ, trong trường hợp này là ba vectơ: . Vectơ tổng bắt đầu tại điểm khởi hành ban đầu (điểm bắt đầu của vectơ) và kết thúc tại điểm đến cuối cùng (điểm cuối của vectơ).

Tất cả các vectơ của không gian ba chiều, một cách tự nhiên, cũng tự do; hãy cố gắng gạt vectơ đó ra khỏi bất kỳ điểm nào khác trong đầu, và bạn sẽ hiểu rằng sự phân rã của nó “sẽ vẫn ở lại với nó”.

Tương tự như trường hợp phẳng, ngoài chức năng viết các phiên bản có dấu ngoặc được sử dụng rộng rãi: .

Nếu một (hoặc hai) vectơ tọa độ bị thiếu trong khai triển thì các số 0 sẽ được đặt vào vị trí của chúng. Ví dụ:
vectơ (một cách tỉ mỉ ) – hãy viết ;
vectơ (một cách tỉ mỉ ) – hãy viết ;
vectơ (một cách tỉ mỉ ) – hãy viết .

Các vectơ cơ sở được viết như sau:

Có lẽ đây là tất cả những kiến thức lý thuyết tối thiểu cần thiết để giải các bài toán hình học giải tích. Có thể có rất nhiều thuật ngữ và định nghĩa nên tôi khuyên các ấm trà nên đọc lại và hiểu kỹ lại những thông tin này. Và sẽ rất hữu ích cho bất kỳ độc giả nào thỉnh thoảng tham khảo bài học cơ bản để tiếp thu tài liệu tốt hơn. Tính cộng tuyến, tính trực giao, cơ sở trực giao, phân rã vectơ - những khái niệm này và các khái niệm khác sẽ thường được sử dụng trong tương lai. Tôi muốn lưu ý rằng tài liệu của trang web không đủ để vượt qua một bài kiểm tra lý thuyết hoặc một bài hội thảo về hình học, vì tôi mã hóa cẩn thận tất cả các định lý (và không có bằng chứng) - gây bất lợi cho phong cách trình bày khoa học, nhưng là một điểm cộng cho bạn. hiểu biết về chủ đề. Để nhận được thông tin lý thuyết chi tiết, xin vui lòng cúi chào Giáo sư Atanasyan.

Và chúng ta chuyển sang phần thực hành:

Những bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích.
Hành động với vectơ trong tọa độ

Rất nên học cách giải quyết các nhiệm vụ sẽ được coi là hoàn toàn tự động và các công thức ghi nhớ, bạn thậm chí không cần phải cố ý nhớ nó, họ sẽ tự nhớ nó =) Điều này rất quan trọng, vì các bài toán khác của hình học giải tích đều dựa trên những ví dụ cơ bản đơn giản nhất và sẽ rất khó chịu khi dành thêm thời gian để ăn những con tốt . Không cần phải cài cúc trên cùng của áo sơ mi; nhiều thứ đã quen thuộc với bạn từ thời đi học.

Việc trình bày tài liệu sẽ tuân theo một tiến trình song song - cả về mặt phẳng và không gian. Vì lý do mà tất cả các công thức... bạn sẽ tự mình thấy.

Làm thế nào để tìm một vectơ từ hai điểm?

Nếu cho trước hai điểm của mặt phẳng thì vectơ có tọa độ như sau:

Nếu cho trước hai điểm trong không gian thì vectơ có tọa độ như sau:

Đó là, từ tọa độ điểm cuối của vectơ bạn cần trừ tọa độ tương ứng phần đầu của vectơ.

Bài tập:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Công thức ở cuối bài học.

Ví dụ 1

Cho hai điểm của mặt phẳng và . Tìm tọa độ vectơ

Giải pháp: theo công thức thích hợp:

Ngoài ra, mục sau có thể được sử dụng:

Thẩm mỹ sẽ quyết định điều này:

Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của bản ghi âm.

Trả lời:

Theo điều kiện thì không nhất thiết phải xây dựng một bản vẽ (điển hình cho các bài toán hình học giải tích), nhưng để làm rõ một số điểm cho người giả, tôi sẽ không lười biếng:

Bạn chắc chắn cần phải hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:

tọa độ điểm– đây là các tọa độ thông thường trong hệ tọa độ hình chữ nhật. Tôi nghĩ mọi người đều biết cách vẽ điểm trên mặt phẳng tọa độ từ lớp 5-6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên mặt phẳng và chúng không thể di chuyển đi bất cứ đâu.

Tọa độ của vectơ– đây là sự khai triển của nó theo cơ sở, trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào đều miễn phí nên nếu muốn hoặc cần thiết, chúng ta có thể dễ dàng di chuyển nó ra khỏi một số điểm khác trên mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ, bạn không cần phải xây dựng trục hoặc hệ tọa độ hình chữ nhật, bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này là cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng.

Các bản ghi tọa độ điểm và tọa độ của vectơ có vẻ giống nhau: và ý nghĩa tọa độ tuyệt đối khác biệt, và bạn nên nhận thức rõ về sự khác biệt này. Tất nhiên, sự khác biệt này cũng áp dụng cho không gian.

Thưa quý vị, hãy lấp đầy bàn tay của chúng tôi:

Ví dụ 2

a) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
b) Điểm được cho Và . Tìm vectơ và .
c) Điểm và được cho. Tìm vectơ và .
d) Điểm được cho. Tìm vectơ .

Có lẽ thế là đủ. Đây là những ví dụ để bạn tự quyết định, cố gắng đừng bỏ qua chúng, nó sẽ mang lại kết quả ;-). Không cần phải vẽ bản vẽ. Lời giải và đáp án cuối bài.

Điều quan trọng khi giải các bài toán hình học giải tích là gì?Điều quan trọng là phải CỰC KỲ CẨN THẬN để tránh mắc phải sai lầm bậc thầy “hai cộng hai bằng 0”. Mình có sai sót ở đâu thì xin lỗi ngay nhé =))

Làm thế nào để tìm độ dài của một đoạn?

Độ dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu mô đun.

Nếu cho hai điểm của mặt phẳng và , thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Nếu có hai điểm trong không gian và cho trước thì độ dài của đoạn đó có thể được tính bằng công thức

Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu đổi chỗ tọa độ tương ứng: và , nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn

Ví dụ 3

Giải pháp: theo công thức thích hợp:

Trả lời:

Để rõ ràng, tôi sẽ vẽ

Phân đoạn – đây không phải là một vectơ và tất nhiên là bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu. Ngoài ra nếu vẽ theo tỷ lệ: 1 đơn vị. = 1 cm (hai ô vở), thì có thể kiểm tra câu trả lời thu được bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn.

Đúng, giải pháp rất ngắn gọn, nhưng có một số điểm quan trọng hơn mà tôi muốn làm rõ:

Đầu tiên, trong câu trả lời chúng ta đặt thứ nguyên: “đơn vị”. Điều kiện không cho biết đó là CÁI GÌ, milimét, centimét, mét hoặc kilômét. Do đó, giải pháp đúng về mặt toán học sẽ là công thức tổng quát: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.

Thứ hai, chúng ta hãy nhắc lại tài liệu học tập, tài liệu này không chỉ hữu ích cho nhiệm vụ đang xem xét:

Xin lưu ý kỹ thuật quan trọng – loại bỏ số nhân từ dưới gốc. Kết quả của các phép tính, chúng ta có một kết quả và phong cách toán học tốt liên quan đến việc loại bỏ hệ số khỏi gốc (nếu có thể). Chi tiết hơn, quá trình này trông như thế này: . Tất nhiên, để lại câu trả lời như cũ không phải là một sai lầm - nhưng chắc chắn đó sẽ là một thiếu sót và là một lập luận nặng nề cho việc ngụy biện từ phía giáo viên.

Dưới đây là những trường hợp phổ biến khác:

Thường thì gốc cho ra số lượng khá lớn, ví dụ . Phải làm gì trong những trường hợp như vậy? Sử dụng máy tính, chúng tôi kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 hay không: . Vâng, nó đã được chia hoàn toàn, do đó: . Hoặc có thể số đó lại có thể chia cho 4? . Như vậy: . Chữ số cuối cùng của số là số lẻ nên việc chia cho 4 lần thứ ba hiển nhiên sẽ không được. Hãy thử chia cho chín: . Kết quả là:
Sẵn sàng.

Phần kết luận: nếu dưới gốc, chúng ta nhận được một số không thể trích ra toàn bộ, thì chúng ta sẽ cố gắng loại bỏ hệ số đó khỏi gốc - bằng máy tính, chúng ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, v.v.

Khi giải các bài toán khác nhau, gốc rễ thường gặp phải; hãy luôn cố gắng rút ra các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm kém và những vấn đề không đáng có khi hoàn thiện lời giải của mình dựa trên nhận xét của giáo viên.

Chúng ta cũng hãy lặp lại căn bậc hai và các lũy thừa khác:

Các quy tắc hoạt động với lũy thừa ở dạng tổng quát có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa đại số ở trường, nhưng tôi nghĩ từ các ví dụ đã cho, mọi thứ hoặc gần như mọi thứ đều đã rõ ràng.

Bài toán giải độc lập với một đoạn trong không gian:

Ví dụ 4

Điểm và được đưa ra. Tìm độ dài của đoạn đó.

Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?

Nếu cho trước một vectơ phẳng thì độ dài của nó được tính theo công thức.

Nếu cho trước một vectơ không gian thì độ dài của nó được tính theo công thức .

Cho đến nay người ta vẫn tin rằng vectơ được xem xét trong không gian. Từ thời điểm này trở đi, chúng ta giả sử rằng tất cả các vectơ đều được xét trên mặt phẳng. Chúng tôi cũng sẽ giả định rằng hệ tọa độ Descartes được chỉ định trên mặt phẳng (ngay cả khi điều này không được nêu rõ), biểu thị hai trục số vuông góc lẫn nhau - trục hoành và trục tung . Khi đó mỗi điểm
một cặp số được gán trên mặt phẳng
, đó là tọa độ của nó. Ngược lại, mỗi cặp số
tương ứng với một điểm trên mặt phẳng sao cho một cặp số
là tọa độ của nó.

Từ hình học cơ bản người ta biết rằng nếu có hai điểm trên một mặt phẳng
Và
, thì khoảng cách
giữa các điểm này được thể hiện thông qua tọa độ của chúng theo công thức

Cho hệ tọa độ Descartes được xác định trên mặt phẳng. Trục định hướng chúng ta sẽ biểu thị bằng ký hiệu , và vectơ đơn vị của trục biểu tượng . Phép chiếu tùy ý vectơ chúng ta sẽ biểu thị bằng ký hiệu
mỗi trục biểu tượng
.

, và hình chiếu lên trục Cho phép

- một vectơ tùy ý trên mặt phẳng. Định lý sau đây đúng.

Định lý 22. Với mọi vectơ

có một cặp số trên máy bay
,
.

Đồng thời

Bằng chứng. Cho một vectơ . Hãy đặt vector sang một bên từ nguồn gốc. Hãy ký hiệu bằng vectơ vectơ-vector chiếu từ nguồn gốc. Hãy ký hiệu bằng vectơ , và thông qua

. Sau đó, như có thể thấy trong Hình 21, đẳng thức đúng

Theo Định lý 9,
,
Hãy biểu thị

. Sau đó chúng tôi nhận được Vì vậy, người ta đã chứng minh rằng với mọi vectơ
có một cặp số

sao cho đẳng thức là đúng Với một vị trí vector khác

Chứng minh tương tự với trục.

Sự định nghĩa. Và Cặp số
như vậy , được gọi là tọa độ vectơ . Con số được gọi là tọa độ x và số

Chứng minh tương tự với trục.

trò chơi phối hợp.
Cặp vectơ đơn vị của trục tọa độ được gọi là cơ sở trực chuẩn trên mặt phẳng. Biểu diễn của bất kỳ vectơ nào
ở dạng gọi là phân rã vectơ
.

theo cơ sở

Nó suy ra trực tiếp từ định nghĩa tọa độ vectơ rằng nếu tọa độ của các vectơ bằng nhau thì bản thân các vectơ đó cũng bằng nhau. Điều ngược lại cũng đúng.

Định lý.

Đồng thời

Các vectơ bằng nhau có tọa độ bằng nhau.
Và
,
.

. Hãy chứng minh điều đó

Từ sự bằng nhau của các vectơ suy ra rằng
Hãy giả sử rằng
.

, MỘT
Sau đó
và điều đó có nghĩa là
, điều đó không đúng. Tương tự, nếu
, Nhưng
, Cái đó
.
Và
Từ đây

, điều đó không đúng. Cuối cùng, nếu chúng ta giả định rằng Và , sau đó chúng tôi nhận được điều đó
,
Điều này có nghĩa là các vectơ

cộng tuyến. Nhưng điều này không đúng vì chúng vuông góc với nhau. Vì vậy, vẫn còn đó Và Phép chiếu tùy ý , đó là điều cần chứng minh. Như vậy, tọa độ của vectơ hoàn toàn xác định chính vectơ đó. Biết tọa độ
Và
bạn có thể tự xây dựng vectơ , bằng cách xây dựng các vectơ
và gấp chúng lại. Do đó, thường thì chính vectơ
.

được ký hiệu là một cặp tọa độ của nó và được viết

. Mục này có nghĩa là

Đồng thời

, và hình chiếu lên trục
Định lý sau đây suy ra trực tiếp từ định nghĩa tọa độ vectơ. Khi cộng vectơ, tọa độ của chúng sẽ được cộng và khi nhân vectơ với một số, tọa độ của nó sẽ được nhân với số này. Các phát biểu này được viết dưới dạng
, và phần đầu của vectơ là điểm
có tọa độ

Đồng thời

, và hình chiếu lên trục
, và điểm cuối của vectơ là một điểm vectơ . Khi đó tọa độ của vectơ liên hệ với tọa độ các đầu của nó bằng quan hệ sau và gọi vectơ là hình chiếu của vectơ

thẳng hàng với trục (xem hình 22). Sau đó T

là độ dài của một đoạn trên trục số bằng tọa độ đầu bên phải trừ tọa độ đầu bên trái. Nếu vectơ

ngược với trục

(như trong Hình 23), sau đó
Cơm. 23.
Nếu như

, thì trong trường hợp này
và sau đó chúng tôi nhận được Vì vậy, với mọi vị trí của vectơ

so với trục tọa độ tọa độ của nó

bằng

Tọa độ các đầu của vectơ đã cho
:
. Tìm tọa độ vectơ
.

Giải pháp.

Định lý sau đây cung cấp một biểu thức về độ dài của vectơ theo tọa độ của nó.

Định lý 15.

, và hình chiếu lên trục
.Sau đó

Đồng thời

, và hình chiếu lên trục Và - vectơ chiếu vectơ trên trục Và , tương ứng. Khi đó, như thể hiện trong chứng minh Định lý 9, đẳng thức đúng

Đồng thời, vectơ Và vuông góc với nhau. Khi cộng các vectơ này theo quy tắc tam giác, chúng ta thu được một tam giác vuông (xem Hình 24).

Theo định lý Pytago ta có

Kể từ đây

bằng

.Tìm thấy .

Chúng ta hãy giới thiệu khái niệm cosin chỉ phương của một vectơ.

Chứng minh tương tự với trục.

Hãy để vectơ
là với trục góc , và với trục góc (Xem Hình 25).

Kể từ đây,

Vì với mọi vectơ có sự bình đẳng

Ở đâu - vectơ đơn vị , tức là một vectơ có độ dài đơn vị, cùng hướng với vectơ , Nhưng

Vectơ xác định hướng của vectơ .
Và
Tọa độ của nó được gọi là cosin chỉ phương của vectơ

. Cosin chỉ phương của một vectơ có thể được biểu diễn thông qua tọa độ của nó bằng các công thức

Có một mối quan hệ

Cho đến bây giờ trong phần này, người ta giả định rằng tất cả các vectơ đều nằm trong cùng một mặt phẳng. Bây giờ hãy khái quát hóa các vectơ trong không gian. ,Và .

Chúng ta sẽ giả sử rằng hệ tọa độ Descartes với các trục được cho trong không gian ,Và Vectơ đơn vị trục ,Và chúng ta sẽ biểu thị bằng ký hiệu

, tương ứng (Hình 26).

Có thể chứng minh rằng mọi khái niệm, công thức thu được cho vectơ trên mặt phẳng đều được khái quát hóa cho

Cơm. 26.
vectơ trong không gian. Ba vectơ

, và hình chiếu lên trục ,Và - vectơ chiếu vectơ được gọi là cơ sở trực chuẩn trong không gian. ,Và trên trục

, tương ứng. Sau đó

Lần lượt

Nếu chúng ta chỉ định

Khi đó ta nhận được đẳng thức ,Và Các hệ số trước vectơ cơ sở được gọi là tọa độ vectơ . Vì vậy, với mọi vectơ ,,có một bộ ba số trong không gian , gọi là tọa độ vectơ

Vectơ sao cho đối với vectơ này biểu diễn sau là hợp lệ:
trong trường hợp này cũng được biểu thị dưới dạng

. Trong trường hợp này, tọa độ của vectơ bằng hình chiếu của vectơ này lên các trục tọa độ Ở đâu - góc giữa vectơ ,và trục - góc giữa vectơ ,- góc giữa vectơ - góc giữa vectơ .

- góc giữa vectơ Chiều dài vectơ

được biểu thị thông qua tọa độ của nó bằng công thức
,
Và
Các phát biểu đúng là các vectơ bằng nhau có tọa độ bằng nhau; khi cộng các vectơ, tọa độ của chúng được cộng lại và khi nhân một vectơ với một số thì tọa độ của nó được nhân với số này. được gọi là cosin chỉ phương của vectơ