Kỹ thuật giải phương trình có tham số bằng đồ thị. Phương pháp đồ họa giải bài toán có tham số

Phương trình có tham số: phương pháp giải đồ họa

lớp 8-9

Bài viết đề cập đến phương pháp đồ họa để giải một số phương trình có tham số, rất hiệu quả khi cần xác định một phương trình có bao nhiêu nghiệm phụ thuộc vào tham số. Một.

Bài 1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm? | | x | – 2 | = Một tùy thuộc vào tham số Một?

Giải pháp. Trong hệ tọa độ (x; y) ta sẽ xây dựng đồ thị của hàm số y = | | x | – 2 | và y = Một. Đồ thị hàm số y = | | x | – 2 | thể hiện trong hình.

Đồ thị của hàm số y = a là đường thẳng song song với trục Ox hoặc trùng với trục Ox (nếu Một = 0).

Qua hình vẽ có thể thấy rằng:

Nếu như Một= 0 thì đường thẳng y = Một trùng với trục Ox và có đồ thị của hàm số y = | | x |
– 2 | hai điểm chung; điều này có nghĩa là phương trình ban đầu có hai nghiệm (trong trường hợp này, có thể tìm thấy các nghiệm: x 1,2 = d 2).< Một < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Nếu 0 Một Nếu như
Nếu 0 Một= 2 thì đường thẳng y = 2 có ba điểm chung với đồ thị của hàm số. Khi đó phương trình ban đầu có ba nghiệm. Một> 2 thì đường thẳng y =

sẽ có hai điểm cùng với đồ thị của hàm số ban đầu, tức là phương trình này sẽ có hai nghiệm. Một < 0, то корней нет;
Nếu như Một = 0, Một Nếu như
Nếu như Một> 2 thì có hai nghiệm;
= 2 thì ba căn;< Một < 2, то четыре корня.

nếu 0 Bài 2. Phương trình có bao nhiêu nghiệm? Một tùy thuộc vào tham số Một?

| x 2 – 2| x | – 3 | = Một.

Giải pháp. Trong hệ tọa độ (x; y) ta sẽ xây dựng đồ thị của hàm số y = | x 2 – 2| x | – 3 | và y = Một = 0).

Đồ thị hàm số y = | x 2 – 2| x | – 3 | thể hiện trong hình. Đồ thị của hàm số y = a là đường thẳng song song với Ox hoặc trùng với Ox (khi

Nếu như Một= 0 thì đường thẳng y = Một Từ hình vẽ có thể thấy: Một trùng với trục Ox và có đồ thị của hàm số y = | x2 – 2| x | – 3 | hai điểm chung và đường thẳng y = Một sẽ có đồ thị của hàm số y = | x 2 – 2| x | – 3 | hai điểm chung tại Một> 4. Vì vậy, khi Một= 0 và
– 2 | hai điểm chung; điều này có nghĩa là phương trình ban đầu có hai nghiệm (trong trường hợp này, có thể tìm thấy các nghiệm: x 1,2 = d 2).< Một < 3, то прямая y = Một> 4 phương trình ban đầu có hai nghiệm. Một có đồ thị của hàm số y = | x 2 – 2| x | – 3 | Một bốn điểm chung và đường thẳng y=< Một < 3, Một sẽ có bốn điểm chung với đồ thị của hàm số dựng tại
Nếu 0 Một= 4. Vậy tại 0 Một= 4 phương trình ban đầu có bốn nghiệm.
= 3 thì đường thẳng y =< Một < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Nếu 0 Một < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

sẽ có hai điểm cùng với đồ thị của hàm số ban đầu, tức là phương trình này sẽ có hai nghiệm. Một < 0, то корней нет;
Nếu như Một = 0, Một cắt đồ thị của hàm số tại năm điểm; do đó, phương trình có năm gốc.
= 2 thì ba căn;< Một < 3, Một Nếu 3
Nếu như Một> 4 thì hai căn;
= 4 thì có bốn căn;< Một < 4, то шесть корней.

= 3 thì năm căn;

nếu 3 Một?

Giải pháp. Chúng ta hãy xây dựng đồ thị của hàm số trong hệ tọa độ (x; y) nhưng trước tiên hãy trình bày nó dưới dạng:

Các đường thẳng x = 1, y = 1 là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số y = | x | + Một thu được từ đồ thị của hàm số y = | x | chuyển vị một đơn vị dọc theo trục Oy.

Đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm tại Một> – 1; Điều này có nghĩa là phương trình (1) cho các giá trị tham số này có một nghiệm.

Tại Một = – 1, Một= – 2 đồ thị cắt nhau tại hai điểm; Điều này có nghĩa là đối với các giá trị tham số này, phương trình (1) có hai nghiệm.
Tại – 2< Một < – 1, Một < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

sẽ có hai điểm cùng với đồ thị của hàm số ban đầu, tức là phương trình này sẽ có hai nghiệm. Một> – 1 thì một nghiệm;
Nếu như Một = – 1, Một= – 2 thì có hai nghiệm;
nếu – 2< Một < – 1, Một < – 1, то три решения.

Bình luận. Khi giải phương trình (1) của bài toán 3 cần đặc biệt chú ý đến trường hợp Một= – 2, vì điểm (– 1; – 1) không thuộc đồ thị hàm số nhưng thuộc đồ thị của hàm số y = | x | + Một.

Hãy chuyển sang giải quyết một vấn đề khác.

Bài 4. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

x + 2 = Một| x – 1 |

nếu 3 Một?

(2) Một Giải pháp. Lưu ý rằng x = 1 không phải là nghiệm của phương trình này, vì đẳng thức 3 = Một· 0 không thể đúng với bất kỳ giá trị tham số nào . Hãy chia cả hai vế của phương trình cho | x – 1 |(| x – 1 | Số 0), thì phương trình (2) sẽ có dạng

Trong hệ tọa độ xOy chúng ta sẽ vẽ đồ thị hàm số MộtĐồ thị của hàm này được thể hiện trong hình. Đồ thị của hàm số y = Một = 0).

sẽ có hai điểm cùng với đồ thị của hàm số ban đầu, tức là phương trình này sẽ có hai nghiệm. Một là đường thẳng song song với trục Ox hoặc trùng với trục Ox (nếu
Ј – 1 thì không có nghiệm;< Một nếu - 1
Nếu như MộtЈ 1 thì một nghiệm;

> 1 thì có hai nghiệm.

Hãy xem xét phương trình phức tạp nhất. Một Bài 5. Ở giá trị nào của tham số

Một phương trình

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

có ba giải pháp? Một Giải pháp. 1. Giá trị điều khiển của tham số cho phương trình này sẽ là số Một= 0, tại đó phương trình (3) có dạng 0 + | x – 1 | = 0, do đó x = 1. Do đó, khi

= 0, phương trình (3) có một nghiệm, không thỏa mãn điều kiện của bài toán. Một № 0.

2. Xét trường hợp khi Một Chúng ta hãy viết lại phương trình (3) dưới dạng sau: Một < 0.

x 2 = – | x – 1 |. Lưu ý rằng phương trình chỉ có nghiệm khi Một Trong hệ tọa độ xOy chúng ta sẽ xây dựng đồ thị của hàm số y = | x – 1 | và y = Một x2 . Đồ thị hàm số y = | x – 1 | thể hiện trong hình. Đồ thị của hàm số y = Một < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 là một parabol có các nhánh hướng xuống dưới, vì Một Phương trình (3) chỉ có ba nghiệm khi đường thẳng y = – x + 1 tiếp xúc với đồ thị của hàm số y=

x2 . Một Gọi x 0 là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng y = – x + 1 với parabol y =

x2 . Phương trình tiếp tuyến có dạng

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Hãy viết các điều kiện tiếp tuyến:

Hãy xem xét một phương pháp khác. Giả sử đường thẳng y = kx + b có một điểm chung duy nhất với parabol y = Một x 2 + px + q thì phương trình Một x 2 + px + q = kx + b phải có nghiệm duy nhất, nghĩa là biệt thức của nó bằng 0. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có phương trình Một x 2 = – x + 1 ( Một số 0). Phương trình phân biệt

Vấn đề cần giải quyết độc lập

6. Phương trình có bao nhiêu nghiệm tùy thuộc vào tham số Một?

1)| | x | – 3 | = Một;
 2)| x + 1 | + | x + 2 | = Một;
 3)| x 2 – 4| x | + 3 | = Một;
 4)| x 2 – 6| x | + 5 | = Một.

1) nếu Một<0, то корней нет; если Một=0, Một>3 thì có hai nghiệm; Nếu như Một=3 thì ba căn; nếu 0<Một<3, то четыре корня;
2) nếu Một<1, то корней нет; если Một=1 thì có vô số nghiệm nằm trong khoảng [– 2; Một– 1]; Nếu như
> 1 thì có hai nghiệm; Một<0, то корней нет; если Một=0, Một<3, то четыре корня; если 0<Một<1, то восемь корней; если Một 3) nếu Một=1 thì sáu căn; Nếu như Một=3 thì có ba nghiệm; Nếu như
>3 thì có hai nghiệm; Một<0, то корней нет; если Một=0, 4<Một<5, то четыре корня; если 0<Một< 4, то восемь корней; если Một 4) nếu Một=4 thì sáu căn; Nếu như Một=5 thì ba căn; Nếu như

>5 thì có hai nghiệm. Một 7. Phương trình có bao nhiêu nghiệm | x + 1 | = Một?

(x – 1) tùy thuộc vào tham số .

Ghi chú. Vì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên phương trình này có thể rút gọn về dạng Một Trả lời: nếu Một > 1, Một J-1,<Một<0, то два корня; если 0<Một=0 thì có một nghiệm; nếu – 1

Ј 1 thì không có nghiệm. Một 8. Phương trình x + 1 = có bao nhiêu nghiệm? Một?

| x – 1 |tùy thuộc vào tham số

Ghi chú. Vì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên phương trình này có thể rút gọn về dạng Một Vẽ đồ thị (xem hình).<MộtЈ –1 thì không có nghiệm; nếu - 1 MộtЈ 1 thì một nghiệm; Nếu như

>1 thì có hai nghiệm.

9. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

nếu 3 Một?

2| x | – 1 = a(x – 1)

Ghi chú. Vì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên phương trình này có thể rút gọn về dạng Một Ghi chú. Rút gọn phương trình về dạng Một>2, Một J-2,<Một<1, то два корня; если 1<Một=1 thì một nghiệm; nếu –2

Ј 2 thì không có nghiệm.

nếu 3 Một?

Ghi chú. Vì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên phương trình này có thể rút gọn về dạng MộtЈ 0, Một 10. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?<Một<2, то два корня.

i 2 thì một gốc; nếu 0 Một Bài 5. Ở giá trị nào của tham số

11. Ở giá trị nào của tham số Một x2 +

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 Một Ghi chú. Rút gọn phương trình về dạng x 2 = –

| x – 2 |. Một Trả lời: khi nào

J-8. Một Bài 5. Ở giá trị nào của tham số

Một 12. Tại giá trị nào của tham số

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 Một Ghi chú. Sử dụng bài toán 5. Phương trình này chỉ có ba nghiệm nếu phương trình Một x 2 + x + 1 = 0 có một nghiệm và trường hợp

= 0 không thỏa mãn điều kiện của bài toán, tức là trường hợp còn lại khi

13. Phương trình có bao nhiêu nghiệm? Một

nếu 3 Một?

x | x – 2 | = 1 – Ghi chú. Rút gọn phương trình về dạng –x |x – 2| + 1 =

nếu 3 Một?

Một

Ghi chú. Vì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên phương trình này có thể rút gọn về dạng Một<0, Một Ghi chú. Xây dựng đồ thị bên trái và bên phải của phương trình này. Một>2 thì có hai nghiệm; nếu 0Ј

Ј 2 thì một nghiệm.

nếu 3 Một?

16. Phương trình có bao nhiêu nghiệm? Ghi chú. Xây dựng đồ thị bên trái và bên phải của phương trình này. Để vẽ đồ thị một hàm số

Ghi chú. Vì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên phương trình này có thể rút gọn về dạng Một Hãy tìm các khoảng dấu không đổi của các biểu thức x + 2 và x: Một>– 1, sau đó là một giải pháp; Nếu như<Một<–1, то четыре решения; если Một= – 1 thì có hai nghiệm; nếu – 3

Ј –3 thì có ba nghiệm.

Chủ đề này là một phần không thể thiếu trong môn đại số ở trường. Mục đích của công việc này là nghiên cứu chủ đề này sâu hơn, xác định giải pháp hợp lý nhất nhanh chóng dẫn đến câu trả lời. Bài viết này sẽ giúp các học sinh khác hiểu được công dụng của phương pháp đồ họa để giải phương trình với tham số, tìm hiểu về nguồn gốc và sự phát triển của phương pháp này.

Tải xuống:

Xem trước:

Giới thiệu2

Chương 1. Phương trình có tham số

Lịch sử xuất hiện của phương trình với tham số 3

Định lý Vieta4

Các khái niệm cơ bản5

Chương 2. Các loại phương trình có tham số.

Phương trình tuyến tính6

Phương trình bậc hai……………………………….7

Chương 3. Phương pháp giải phương trình có tham số

Phương pháp phân tích.......................................................8

Phương pháp đồ họa. Lịch sử hình thành………………………9

Giải thuật toán bằng phương pháp đồ thị..................................................10

Giải phương trình với mô đun……………………………….11

Phần thực hành……………………………….12

Kết luận…………………………………….19

Tài liệu tham khảo……………………………………20

Giới thiệu.

Tôi chọn chủ đề này vì nó là một phần không thể thiếu trong môn đại số ở trường. Khi chuẩn bị cho công việc này, tôi đặt mục tiêu nghiên cứu sâu hơn về chủ đề này, xác định giải pháp hợp lý nhất để nhanh chóng đưa ra câu trả lời. Bài viết của em sẽ giúp các học sinh khác hiểu được công dụng của phương pháp đồ họa để giải phương trình với tham số, tìm hiểu về nguồn gốc và sự phát triển của phương pháp này.

Trong cuộc sống hiện đại, việc nghiên cứu nhiều quá trình vật lý và mô hình hình học thường dẫn đến việc giải các bài toán bằng tham số.

Để giải các phương trình như vậy, phương pháp đồ thị rất hiệu quả khi bạn cần xác định xem phương trình có bao nhiêu nghiệm tùy thuộc vào tham số α.

Các bài toán có tham số chỉ mang tính toán học thuần túy, góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh và là tài liệu tốt cho việc rèn luyện kỹ năng. Chúng có giá trị chẩn đoán vì chúng có thể được sử dụng để kiểm tra kiến ​​thức về các nhánh chính của toán học, trình độ tư duy toán học và logic, kỹ năng nghiên cứu ban đầu và cơ hội đầy hứa hẹn để thành công trong việc học thành công khóa học toán học ở các cơ sở giáo dục đại học.

Bài văn của em đề cập đến các dạng phương trình thường gặp và em mong rằng những kiến ​​thức em thu được trong quá trình làm bài sẽ giúp ích cho em khi vượt qua các kỳ thi ở trường, bởi vìphương trình với tham sốđược coi là một trong những bài toán khó nhất trong môn toán phổ thông. Chính những nhiệm vụ này đã được đưa vào danh sách nhiệm vụ trong Kỳ thi Thống nhất.

Lịch sử xuất hiện của phương trình có tham số

Các vấn đề về phương trình với một tham số đã từng gặp phải trong chuyên luận thiên văn học “Aryabhattiam”, do nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Aryabhatta biên soạn vào năm 499. Một nhà khoa học Ấn Độ khác, Brahmagupta (thế kỷ thứ 7), đã đưa ra một quy tắc chung để giải các phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc duy nhất:

αx 2 + bx = c, α>0

Các hệ số trong phương trình, ngoại trừ tham số, cũng có thể âm.

Phương trình bậc hai của al-Khwarizmi.

Chuyên luận đại số của Al-Khorezmi đưa ra cách phân loại các phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai với tham số a. Tác giả đếm được 6 loại phương trình, biểu diễn chúng như sau:

1) “Hình vuông bằng căn”, tức là αx 2 = bx.

2) “Hình vuông bằng số”, tức là αx 2 = c.

3) “Các căn bằng số,” tức là αx = c.

4) “Hình vuông và số đều bằng căn”, tức là αx 2 + c = bx.

5) “Bình phương và căn bậc hai đều bằng số”, tức là αx 2 + bx = c.

6) “Các căn và số đều bằng bình phương,” tức là bx + c = αx 2 .

Công thức giải phương trình bậc hai theo al-Khwarizmi ở châu Âu lần đầu tiên được nêu trong “Sách bàn tính” do nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci viết vào năm 1202.

Công thức giải phương trình bậc hai với tham số ở dạng tổng quát có sẵn ở Vieta, nhưng Vieta chỉ công nhận nghiệm dương. Các nhà toán học người Ý Tartaglia, Cardano, Bombelli nằm trong số những người đầu tiên ở thế kỷ 12. Ngoài những cái tích cực, những gốc âm cũng được tính đến. Chỉ trong thế kỷ 17. Nhờ các công trình của Girard, Descartes, Newton và các nhà khoa học khác, phương pháp giải phương trình bậc hai đã có được hình thức hiện đại.

Định lý Vieta

Định lý biểu thị mối liên hệ giữa các tham số, hệ số của một phương trình bậc hai và nghiệm của nó, mang tên Vieta, được ông xây dựng lần đầu tiên vào năm 1591. Như sau: “Nếu b + d nhân với α trừ α 2 , bằng bc thì α bằng b và bằng d.”

Để hiểu Vieta, chúng ta nên nhớ rằng α, giống như bất kỳ chữ cái nguyên âm nào, có nghĩa là ẩn số (x của chúng ta), trong khi các nguyên âm b, d là hệ số của ẩn số. Trong ngôn ngữ đại số hiện đại, công thức Vieta trên có nghĩa là:

Nếu có

(α + b)x - x 2 = αb,

Nghĩa là, x 2 - (α -b)x + αb =0,

thì x 1 = α, x 2 = b.

Bằng cách biểu diễn mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bằng các công thức tổng quát viết bằng ký hiệu, Vieta đã tạo nên sự thống nhất trong phương pháp giải phương trình. Tuy nhiên, biểu tượng của tiếng Việt vẫn còn xa với hình thức hiện đại của nó. Ông không nhận ra số âm và do đó, khi giải phương trình, ông chỉ xét những trường hợp tất cả các nghiệm đều dương.

Khái niệm cơ bản

tham số - một biến độc lập, giá trị của nó được coi là một số cố định hoặc tùy ý, hoặc một số thuộc khoảng được xác định bởi điều kiện của bài toán.

Phương trình với tham số- toán họcphương trình, sự xuất hiện và giải pháp của nó phụ thuộc vào giá trị của một hoặc nhiều tham số.

Quyết định phương trình với phương tiện tham số cho mỗi giá trịtìm các giá trị của x thỏa mãn phương trình này, đồng thời:

  1. 1. Nghiên cứu xem phương trình có gốc bằng bao nhiêu giá trị của các tham số và có bao nhiêu nghiệm cho các giá trị khác nhau của các tham số.
  2. 2. Tìm tất cả các biểu thức của các nghiệm và chỉ ra cho mỗi biểu thức đó những giá trị tham số mà tại đó biểu thức này thực sự xác định được nghiệm của phương trình.

Xét phương trình α(x+k)= α +c, trong đó α, c, k, x là các đại lượng thay đổi.

Hệ giá trị cho phép của các biến α, c, k, xlà bất kỳ hệ giá trị biến nào trong đó cả bên trái và bên phải của phương trình này đều lấy giá trị thực.

Gọi A là tập hợp tất cả các giá trị chấp nhận được của α, K là tập hợp tất cả các giá trị chấp nhận được của k, X là tập hợp tất cả các giá trị chấp nhận được của x, C là tập hợp tất cả các giá trị chấp nhận được của c. Nếu với mỗi tập hợp A, K, C, X, chúng ta lần lượt chọn và cố định một giá trị α, k, c và thay chúng vào phương trình, thì chúng ta thu được phương trình cho x, tức là. phương trình với một ẩn số.

Các biến α, k, c được coi là không đổi khi giải phương trình được gọi là tham số, còn bản thân phương trình đó được gọi là phương trình chứa tham số.

Các tham số được ký hiệu bằng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái Latinh: α, b, c, d, ..., k, l, m, n và các ẩn số được ký hiệu bằng các chữ cái x, y, z.

Hai phương trình chứa cùng tham số được gọi là tương đương nếu:

a) chúng có ý nghĩa đối với các giá trị tham số giống nhau;

b) Mọi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương trình thứ hai và ngược lại.

Các loại phương trình có tham số

Phương trình có tham số là: tuyến tính và hình vuông.

1) Phương trình tuyến tính. Nhìn chung:

α x = b, trong đó x chưa biết;α, b - các thông số.

Đối với phương trình này, giá trị đặc biệt hoặc giá trị kiểm soát của tham số là giá trị mà tại đó hệ số của ẩn số trở thành 0.

Khi giải phương trình tuyến tính có tham số, các trường hợp được xem xét khi tham số bằng giá trị đặc biệt của nó và khác với tham số đó.

Giá trị đặc biệt của tham số α là giá trịα = 0.

1.Nếu và ≠0 thì với mọi cặp tham sốα và b nó có một giải pháp duy nhất x = .

2.Nếu và =0 thì phương trình có dạng: 0 x = b . Trong trường hợp này giá trị b = 0 là giá trị tham số đặc biệt b.

2.1. Tại b ≠ 0 phương trình vô nghiệm.

2.2. Tại b =0 phương trình sẽ có dạng:0 x = 0.

Nghiệm của phương trình này là số thực bất kỳ.

Phương trình bậc hai có tham số.

Nhìn chung:

α x 2 + bx + c = 0

trong đó tham số α ≠0, b và c - số tùy ý

Nếu α =1 thì phương trình đó được gọi là phương trình bậc hai rút gọn.

Các nghiệm của phương trình bậc hai được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức

Biểu thức D = b 2 - 4 α c được gọi là người phân biệt đối xử.

1. Nếu D> 0 thì phương trình có hai nghiệm khác nhau.

2. Nếu D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Nếu D = 0 thì phương trình có hai nghiệm bằng nhau.

Các phương pháp giải phương trình có tham số:

  1. Phân tích - một phương pháp giải trực tiếp, lặp lại các quy trình chuẩn để tìm đáp án trong phương trình không có tham số.
  2. Đồ họa - tùy thuộc vào điều kiện của bài toán, xem xét vị trí của đồ thị của hàm bậc hai tương ứng trong hệ tọa độ.

Phương pháp phân tích

Thuật toán giải:

  1. Trước khi bắt đầu giải bài toán có tham số bằng phương pháp phân tích, bạn cần hiểu tình huống đối với một giá trị số cụ thể của tham số. Ví dụ: lấy giá trị của tham số α =1 và trả lời câu hỏi: giá trị của tham số α =1 có cần thiết cho nhiệm vụ này không.

Ví dụ 1. Giải tương đối X phương trình tuyến tính với tham số m:

Theo ý nghĩa của bài toán (m-1)(x+3) = 0 tức là m= 1, x = -3.

Nhân cả hai vế của phương trình với (m-1)(x+3), ta được phương trình

chúng tôi nhận được

Do đó, tại m = 2,25.

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra xem có bất kỳ giá trị nào của m mà

giá trị của x tìm được là -3.

giải phương trình này, ta thấy x bằng -3 với m = -0,4.

Trả lời: với m=1, m =2,25.

Phương pháp đồ họa. Lịch sử xuất xứ

Việc nghiên cứu về sự phụ thuộc chung bắt đầu vào thế kỷ 14. Khoa học thời trung cổ mang tính học thuật. Với bản chất này, không còn chỗ cho việc nghiên cứu sự phụ thuộc về số lượng mà chỉ nghiên cứu về đặc tính của các đối tượng và mối liên hệ của chúng với nhau. Nhưng trong số các học giả, một trường phái đã nảy sinh lập luận rằng những phẩm chất có thể ít nhiều mãnh liệt (trang phục của người rơi xuống sông ướt hơn trang phục của người vừa mắc mưa)

Nhà khoa học người Pháp Nikolai Oresme bắt đầu mô tả cường độ bằng độ dài của các đoạn. Khi ông đặt các đoạn này vuông góc với một đường thẳng nhất định, đầu của chúng tạo thành một đường mà ông gọi là “đường cường độ” hay “đường của cạnh trên” (đồ thị của sự phụ thuộc hàm tương ứng), Oresme thậm chí còn nghiên cứu “mặt phẳng”. ” và phẩm chất “vật chất”, tức là các chức năng, tùy thuộc vào hai hoặc ba biến.

Thành tựu quan trọng của Oresme là nỗ lực phân loại các đồ thị thu được. Ông đã xác định ba loại phẩm chất: Đồng nhất (với cường độ không đổi), đồng đều-không đồng đều (với tốc độ thay đổi cường độ không đổi) và không đồng đều-không đồng đều (tất cả các loại khác), cũng như các đặc tính của đồ thị có những phẩm chất đó.

Để tạo ra một bộ máy toán học dùng để nghiên cứu đồ thị hàm số, cần có khái niệm về biến. Khái niệm này được nhà triết học và toán học người Pháp Rene Descartes (1596-1650) đưa vào khoa học. Chính Descartes là người đã đưa ra ý tưởng về sự thống nhất giữa đại số và hình học cũng như vai trò của các biến; Descartes đã đưa ra một phân đoạn đơn vị cố định và bắt đầu xem xét mối quan hệ của các phân đoạn khác với nó.

Do đó, đồ thị của hàm số trong suốt thời gian tồn tại của chúng đã trải qua một số biến đổi cơ bản, dẫn chúng đến dạng mà chúng ta đã quen thuộc. Mỗi giai đoạn hoặc giai đoạn phát triển đồ thị hàm số là một phần không thể thiếu trong lịch sử của đại số và hình học hiện đại.

Phương pháp đồ họa để xác định số nghiệm của một phương trình tùy thuộc vào tham số có trong nó thuận tiện hơn phương pháp phân tích.

Giải thuật toán bằng phương pháp đồ họa

Đồ thị của hàm số - một tập hợp các điểm tại đócơ hoànhlà các giá trị đối số hợp lệ, MỘT tọa độ- giá trị tương ứngchức năng.

Thuật toán giải phương trình bằng đồ thị có tham số:

  1. Tìm miền định nghĩa của phương trình.
  2. Chúng tôi biểu thị α như một hàm của x.
  3. Trong hệ tọa độ ta ​​xây dựng đồ thị của hàmα (x) đối với các giá trị của x nằm trong miền định nghĩa của phương trình này.
  4. Tìm giao điểm của một đườngα =с, với đồ thị của hàm số

α(x). Nếu đường thẳng α =с cắt đồ thịα (x), khi đó ta xác định hoành độ của các giao điểm. Để làm được điều này, chỉ cần giải phương trình là đủ c = α (x) so với x.

  1. Viết ra câu trả lời

Giải phương trình bằng mô đun

Khi giải phương trình mô đun chứa tham số bằng đồ thị, cần xây dựng đồ thị của hàm số và xem xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra đối với các giá trị khác nhau của tham số.

Ví dụ: │x│= a,

Trả lời: nếu một < 0, то нет корней, a > 0 thì x = a, x = - a, nếu a = 0 thì x = 0.

Giải quyết vấn đề.

Bài 1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?| | x | - 2 | = một tùy thuộc vào tham số Một?

Giải pháp. Trong hệ tọa độ (x; y) ta sẽ xây dựng đồ thị của hàm số y = | | x | - 2 | và y = Một . Đồ thị hàm số y = | | x | - 2 | thể hiện trong hình.

Đồ thị của hàm số y =α a = 0).

Từ biểu đồ có thể thấy rằng:

Nếu a = 0 thì đường thẳng y = a trùng với trục Ox và có đồ thị của hàm số y = | | x | - 2 | hai điểm chung; điều này có nghĩa là phương trình ban đầu có hai nghiệm (trong trường hợp này, có thể tìm thấy các nghiệm: x 1,2 = + 2).
Nếu 0< a < 2, то прямая y = α có đồ thị của hàm số y = | | x | - 2 | bốn điểm chung và do đó phương trình ban đầu có bốn nghiệm.
Nếu như Một = 2 thì đường thẳng y = 2 có ba điểm chung với đồ thị của hàm số. Khi đó phương trình ban đầu có ba nghiệm.
Nếu như a > 2 thì đường thẳng y = a sẽ có hai điểm cùng với đồ thị của hàm số ban đầu, tức là phương trình này sẽ có hai nghiệm.

Trả lời: nếu một < 0, то корней нет;
nếu a = 0, a > 2 thì có hai nghiệm;
nếu a = 2 thì có ba nghiệm;
nếu 0< a < 2, то четыре корня.

Bài 2. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?| x 2 - 2| x | - 3 | = một tùy thuộc vào tham số Một?

Giải pháp. Trong hệ tọa độ (x; y) ta sẽ xây dựng đồ thị của hàm số y = | x 2 - 2| x | - 3 | và y = a.

Đồ thị hàm số y = | x 2 - 2| x | - 3 | thể hiện trong hình. Đồ thị của hàm số y =α là đường thẳng song song với Ox hoặc trùng với nó (khi a = 0).

Từ biểu đồ bạn có thể thấy:

Nếu a = 0 thì đường thẳng y = a trùng với trục Ox và có đồ thị của hàm số y = | x2 - 2| x | - 3 | hai điểm chung và đường thẳng y = Một sẽ có đồ thị của hàm số y = | x 2 - 2| x | - 3 | hai điểm chung tại a > 4. Vì vậy, với a = 0 và a > 4 phương trình ban đầu có hai nghiệm.
Nếu 0< Một< 3, то прямая y = a có đồ thị của hàm số y = | x 2 - 2| x | - 3 | bốn điểm chung và đường thẳng y= Một sẽ có bốn điểm chung với đồ thị của hàm số dựng tại a = 4. Vậy tại 0< a < 3, a = 4 phương trình ban đầu có bốn nghiệm.
Nếu như a = 3 thì đường thẳng y = a cắt đồ thị của hàm số tại năm điểm; do đó, phương trình có năm gốc.
Nếu 3< Một< 4, прямая y = α cắt đồ thị của hàm số được xây dựng tại sáu điểm; Điều này có nghĩa là đối với các giá trị tham số này, phương trình ban đầu có sáu nghiệm.
Nếu như Một < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α không cắt đồ thị của hàm số y = | x 2 - 2| x | - 3 |.

Trả lời: nếu một < 0, то корней нет;
nếu a = 0, a > 4 thì có hai nghiệm;
nếu 0< a < 3, a = 4 thì có bốn căn;

nếu một = 3 thì năm căn;
nếu 3< a < 4, то шесть корней.

Bài 3. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

tùy thuộc vào tham số Một?

Giải pháp. Chúng ta hãy xây dựng đồ thị của hàm số trong hệ tọa độ (x; y)

nhưng trước tiên hãy trình bày nó dưới dạng:

Các đường thẳng x = 1, y = 1 là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số y = | x | + Một thu được từ đồ thị của hàm số y = | x | chuyển vị một đơn vị dọc theo trục Oy.

Đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm tại Một > - 1; Điều này có nghĩa là phương trình (1) cho các giá trị tham số này có một nghiệm.

Khi a = - 1, a = - 2 đồ thị cắt nhau tại hai điểm; Điều này có nghĩa là đối với các giá trị tham số này, phương trình (1) có hai nghiệm.
Tại - 2< Một< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Trả lời: nếu một > - 1 thì một nghiệm;
nếu a = - 1 thì a = - 2 thì có hai nghiệm;
nếu - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Bình luận. Khi giải phương trình bài toán cần đặc biệt chú ý đến trường hợp Một = - 2, vì điểm (- 1; - 1) không thuộc đồ thị của hàm sốnhưng thuộc đồ thị của hàm số y = | x | + Một.

Bài 4. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

x + 2 = a | x - 1 |

tùy thuộc vào tham số Một?

Giải pháp. Lưu ý rằng x = 1 không phải là nghiệm của phương trình này, vì đẳng thức 3 = Một 0 không thể đúng với bất kỳ giá trị tham số nào Một . Hãy chia cả hai vế của phương trình cho | x - 1 |(| x - 1 |0), thì phương trình có dạngTrong hệ tọa độ xOy chúng ta sẽ vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm này được thể hiện trong hình. Đồ thị của hàm số y = Một là đường thẳng song song với trục Ox hoặc trùng với trục Ox (nếu a = 0).

Với mỗi giá trị của tham số a a giải bất đẳng thức | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .

Đầu tiên, hãy giải một bài toán phụ. Hãy coi bất đẳng thức này là bất đẳng thức có hai biến x x và a a và vẽ trên mặt phẳng tọa độ x O a xOa tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn bất đẳng thức.

Nếu 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (tức là trên đường thẳng a = - 2 x a=-2x và cao hơn), thì ta được 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x .

Bộ này được hiển thị trong hình. 11.

Bây giờ hãy giải quyết vấn đề ban đầu bằng cách sử dụng bản vẽ này. Nếu chúng ta sửa a a , thì chúng ta sẽ có một đường ngang a = const a = \textrm(const) . Để xác định các giá trị của x x, bạn cần tìm hoành độ các giao điểm của đường thẳng này với tập nghiệm của bất đẳng thức. Ví dụ: nếu a = 8 a=8 thì bất đẳng thức vô nghiệm (đường thẳng không cắt tập hợp); nếu a = 1 a=1 , thì các nghiệm đều là x x từ khoảng [ - 1 ; 1 ] [-1;1], v.v. Vì vậy, có thể có ba lựa chọn.

1) Nếu $$a>4$$ thì không có nghiệm nào.

2) Nếu a = 4 a=4 thì x = - 2 x=-2.

TRẢ LỜI

ở mức $$ một

với a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;

với $$a>4$$ - không có giải pháp nào.

Tìm tất cả các giá trị của tham số a a thỏa mãn bất đẳng thức $$3-|x-a| > x^2$$ a) có ít nhất một nghiệm; b) có ít nhất một nghiệm dương.

Hãy viết lại bất đẳng thức dưới dạng $$3-x^2 > |x-a)$$. Hãy dựng đồ thị phần bên trái và bên phải trên mặt phẳng x O y xOy. Đồ thị bên trái là một parabol có các nhánh hướng xuống với đỉnh tại điểm (0; 3) (0;3) . Đồ thị cắt trục x tại các điểm (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) . Đồ thị bên phải là một góc có đỉnh nằm trên trục x, các cạnh của nó hướng lên trên một góc 45° 45^(\circ) so với các trục tọa độ. Trục hoành của đỉnh là điểm x = a x=a .

a) Để bất đẳng thức có ít nhất một nghiệm thì điều kiện cần và đủ là có ít nhất một điểm parabol nằm phía trên đồ thị y = | x - a | y=|x-a| . Điều này được thực hiện nếu đỉnh của góc nằm giữa các điểm A A và B B của trục hoành (xem Hình 12 - không bao gồm các điểm A A và B B). Vì vậy, cần xác định tại vị trí nào của đỉnh một trong các nhánh của góc tiếp xúc với parabol.

Xét trường hợp đỉnh của góc ở điểm A A . Khi đó nhánh phải của góc chạm vào parabol. Độ dốc của nó bằng một. Điều này có nghĩa là đạo hàm của hàm số y = 3 - x 2 y = 3-x^2 tại điểm tiếp tuyến bằng 1 1, tức là - 2 x = 1 -2x=1, từ đó x = - 1 2 x = -\frac( 1)(2) . Khi đó tọa độ của điểm tiếp tuyến là y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . Phương trình của đường thẳng có hệ số góc k = 1 k=1 và đi qua một điểm có tọa độ (- 1 2 ; 11 4) (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) ) là * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

Đây là phương trình nhánh phải của góc. Trục hoành của giao điểm với trục x bằng - 13 4 -\frac(13)(4), tức là điểm A A có tọa độ A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4 ); 0) . Vì lý do đối xứng, điểm B B có tọa độ: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

Từ đây chúng ta có được a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

b) Bất đẳng thức có nghiệm dương nếu đỉnh của góc nằm giữa hai điểm F F và B B (xem Hình 13). Tìm vị trí của điểm F F không khó: nếu đỉnh của góc thuộc điểm F F thì nhánh phải của nó (đường thẳng cho bởi phương trình y = x - a y = x-a đi qua điểm (0; 3) ) (0;3). Từ đây ta tìm được a = - 3 a=-3 và điểm F F có tọa độ (- 3 ; 0) (-3;0) . Do đó, a ∈ (- 3 ; 13 4) a . \in (-3; \frac(13)(4) ) .

TRẢ LỜI

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .

* {\^* Полезные формулы: !}

- \-- một đường thẳng đi qua điểm (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) và có hệ số góc k k được cho bởi phương trình y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= k(x-x_0 ) ;

- \-- hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) và (x 1 ; y 1) (x_1;y_1), trong đó x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, được tính theo công thức k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) .

Bình luận. Nếu bạn cần tìm giá trị của tham số tại đó đường thẳng y = k x + l y=kx+l và parabol y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c chạm vào, thì bạn có thể viết điều kiện là phương trình k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c có đúng một nghiệm. Sau đó, có một cách khác để tìm các giá trị của tham số a a sao cho đỉnh của góc. tại điểm A A có dạng sau: phương trình x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 có đúng một nghiệm ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\ dfrac(13)(4) .

Xin lưu ý rằng theo cách này không thể viết ra điều kiện để một đường thẳng tiếp xúc với một đồ thị tùy ý. Ví dụ: đường thẳng y = 3 x - 2 y = 3x - 2 chạm vào parabol lập phương y = x 3 y=x^3 tại điểm (1 ; 1) (1;1) và cắt nó tại điểm (- 2 ; - 8) (-2;-8), tức là phương trình x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 có hai nghiệm.

Tìm tất cả các giá trị của tham số a a , với mỗi giá trị đó phương trình (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 có a) chính xác hai nghiệm phân biệt; b) có đúng ba nghiệm khác nhau.

Hãy làm tương tự như ví dụ 25. Hãy biểu diễn tập nghiệm của phương trình này trên mặt phẳng x O a xOa . Nó tương đương với sự kết hợp của hai phương trình:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 là góc có các nhánh hướng lên và có đỉnh tại điểm (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - đây là một parabol có các nhánh hướng lên và có đỉnh tại điểm (- 2 ; - 3) (-2;-3) . Xem hình. 14.

Ta tìm giao điểm của hai đồ thị. Nhánh bên phải của góc được cho bởi phương trình y = x + 1 y=x+1 . Giải phương trình

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

chúng tôi tìm thấy rằng x = 0 x=0 hoặc x = - 3 x=-3 . Chỉ có giá trị x = 0 x=0 là phù hợp (vì đối với nhánh phải x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0). Khi đó a = 1 a=1 . Tương tự, ta tìm tọa độ giao điểm thứ hai - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

Hãy quay trở lại vấn đề ban đầu. Phương trình có đúng hai nghiệm a a mà đường nằm ngang a = const a=\textrm(const) cắt tập nghiệm của phương trình tại hai điểm. Từ biểu đồ, chúng ta thấy rằng điều này đúng với a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) . Sẽ có đúng ba nghiệm trong trường hợp có ba giao điểm, điều này chỉ thực hiện được khi a = - 1 a=-1 .

TRẢ LỜI

a) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) ;      

$$\begin(case) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end(case) $$

có đúng một giải pháp.

Hãy mô tả nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng x O a xOa . Hãy viết lại hệ thống dưới dạng $$ \begin(case) a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac(x^2+6x)(6) .\end(case) $$

Bất đẳng thức thứ nhất được thỏa mãn bởi các điểm nằm trên parabol a = - x 2 + x a = -x^2+x trở xuống, và bất đẳng thức thứ hai được thỏa mãn bởi các điểm nằm trên parabol a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) trở lên. Chúng ta tìm tọa độ các đỉnh của parabol và các điểm giao nhau của chúng, sau đó xây dựng đồ thị. Đỉnh của parabol thứ nhất là (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), đỉnh của parabol thứ hai là (- 1 ; - 1 6) ( -1; -\dfrac( 1)(6)), các giao điểm là (0; 0) (0;0) và (4 7; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12 )(49)). Tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thống được minh họa trên Hình 2. 15. Có thể thấy đường ngang a = const a=\textrm(const) có đúng một điểm chung với tập hợp này (tức là hệ có đúng một nghiệm) trong các trường hợp a = 0 a=0 và a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

TRẢ LỜI

A = 0 ,  a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số a a , với mỗi tham số đó hệ thống

$$\begin(case) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \end(case) $$

có một giải pháp độc đáo.

Hãy biến đổi phương trình đầu tiên, làm nổi bật các hình vuông hoàn chỉnh:

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1.      

18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \Leftrightarrow (x-a\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\left(18\right)

Không giống như các bài toán trước, ở đây tốt hơn là vẽ hình trên mặt phẳng x O y xOy (hình vẽ trong mặt phẳng “biến - tham số” thường được sử dụng cho các bài toán có một biến và một tham số - kết quả là một tập hợp trên mặt phẳng Trong bài toán này, chúng ta đang xử lý hai biến và một tham số. Vẽ một tập hợp các điểm (x; y; a) (x;y;a) trong không gian ba chiều là một nhiệm vụ khó khăn; có tính trực quan). Phương trình (18) xác định một đường tròn có tâm (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) bán kính 1. Tâm của đường tròn này, tùy thuộc vào giá trị của a a, có thể nằm ở bất kỳ điểm nào trên đường thẳng y = 1 y=1.

Hệ phương trình này có đúng một nghiệm nếu đường tròn tiếp xúc với một trong các nhánh của góc. Điều này có thể xảy ra trong bốn trường hợp (Hình 16): tâm của đường tròn có thể ở một trong các điểm A A, B B, C C, D D. Vì chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tham số a a , nên chúng ta quan tâm đến hoành độ của điểm D D . Xét tam giác vuông D H M DHM. Khoảng cách từ điểm D D đến đường thẳng H M HM bằng bán kính đường tròn nên D H = 1 DH=1. Vì vậy, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . Tọa độ của điểm M M được tìm là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = 1 y=1 và y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 (phía bên trái của góc) .

Chúng tôi nhận được M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) . Khi đó hoành độ của điểm D D bằng - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\sqrt(3)) .

Vì hoành độ của tâm đường tròn bằng a 3 a\sqrt(3) , nên a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

TRẢ LỜI

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

Tìm tất cả các giá trị của tham số a a , với mỗi giá trị đó hệ thống

$$\begin(trường hợp) |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end(case) $$

có đúng một giải pháp.

Hãy vẽ các tập nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng x O y xOy .

Trong bất đẳng thức thứ hai, chúng ta chọn các bình phương hoàn hảo:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2         (19 ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

Khi a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), bất đẳng thức (19) xác định một điểm có tọa độ (7 a ; 3 a) (7a;3a), tức là (- 56 ; - 24) (-56;-24) . Đối với tất cả các giá trị khác của a (19) xác định một đường tròn có tâm tại điểm (7 a ; 3 a) (7a;3a) có bán kính | một + 8 | |a+8| .

Hãy xem xét bất đẳng thức đầu tiên.
1) Với âm a a nó không có nghiệm. Điều này có nghĩa là hệ thống không có giải pháp.

2) Nếu a = 0 a=0 thì ta được đường thẳng 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0. Từ bất đẳng thức thứ hai, ta có một đường tròn có tâm (0; 0) (0; 0) bán kính 8. Rõ ràng, có nhiều hơn một nghiệm.

3) Nếu $$a>0$$, thì bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng thức kép - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Nó xác định một dải giữa hai đường thẳng y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , mỗi đường thẳng song song với đường thẳng 4 x + 3 y = 0 4x+ 3y=0 (Hình 17).

Vì chúng ta đang xem xét $$a>0$$, tâm của hình tròn nằm ở phần tư đầu tiên trên đường y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Thật vậy, tọa độ của tâm là x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; biểu thị a a và phương trình, chúng ta nhận được x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , từ đó y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Để hệ có đúng một nghiệm thì điều cần và đủ là đường tròn tiếp xúc với đường thẳng a 2 a_2 . Điều này xảy ra khi bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng a 2 a_2. Theo công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

TRẢ LỜI

A = 2 a = 2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} . !}

Tại giá trị nào của tham số a a hệ thống thực hiện

$$\begin(cases) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end(cases)$$ không có giải pháp nào?

Phương trình đầu tiên của hệ xác định hình vuông A B C D ABCD trên mặt phẳng x O y xOy (để xây dựng nó, xét x ≥ 0 x\geq 0 và y ≥ 0 y\geq 0 . Khi đó phương trình có dạng x + y = 1 x+y=1 . Chúng ta thu được một đoạn - một phần của đường thẳng x + y = 1 x+y=1, nằm trong phần tư đầu tiên. Tiếp theo, chúng ta phản ánh đoạn này so với trục O x Ox, và sau đó. phản ánh tập kết quả tương ứng với trục O y Oy (xem Hình 18). Phương trình thứ hai xác định hình vuông P Q R S PQRS , bằng hình vuông A B C D ABCD , nhưng có tâm tại điểm (- a ; - a) (-a;-a) . Trong hình. Ví dụ, Hình 18 cho thấy hình vuông này cho a = - 2 a=-2. Hệ không có nghiệm nếu hai hình vuông này không cắt nhau.

Dễ dàng nhận thấy nếu các đoạn P Q PQ và B C BC trùng nhau thì tâm của hình vuông thứ hai nằm tại điểm (1; 1) (1;1). Các giá trị đó của a a phù hợp với chúng ta, tại đó tâm nằm ở “phía trên” và “bên phải”, tức là $$a1$$.

TRẢ LỜI

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Tìm tất cả các giá trị của tham số b b mà hệ thống

$$\begin(case) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end(case) $$

có ít nhất một nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của a .

Hãy xem xét một số trường hợp.

1) Nếu $$b2) Nếu b = 0 b=0 , thì hệ thống có dạng $$\begin(cases) y=x^2,\\ y=ax .\end(case) $$

Với mọi a a cặp số (0 ; 0) (0;0) là nghiệm của hệ này, do đó b = 0 b=0 là phù hợp.

3) Chúng ta hãy sửa một số $$b>0$$. Phương trình đầu tiên được thỏa mãn bởi tập hợp các điểm thu được từ parabol y = x 2 - b y=x^2-b bằng cách phản ánh một phần của parabol này so với trục O x Ox (xem Hình 19a, b). Phương trình thứ hai xác định một họ đường thẳng (bằng cách thay thế các giá trị khác nhau của a a , bạn có thể nhận được tất cả các loại đường thẳng đi qua điểm (b ; 0) (b;0) , ngoại trừ đường thẳng đứng), đi qua qua điểm (b ; 0) (b;0) . Nếu điểm (b ; 0) (b;0) nằm trên đoạn [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . trục hoành độ thì đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đầu tiên đối với bất kỳ độ dốc nào (Hình 19a). Ngược lại (Hình 19b) trong mọi trường hợp sẽ có một đường thẳng không cắt đồ thị này. Giải bất đẳng thức - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) và xét đến $$b>0$$, ta thu được b ∈ (0 ; 1 ] b \ trong ( 0;1] .

Chúng tôi kết hợp các kết quả: $$b \in $$.

TRẢ LỜI

$$b \in $$

Tìm tất cả các giá trị của a a , với mỗi giá trị đó hàm f(x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x có ít nhất một điểm tối đa.

Mở rộng mô-đun, chúng tôi nhận được điều đó

$$f(x) = \begin(case) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \end(trường hợp) $$

Trên mỗi khoảng trong hai khoảng, đồ thị của hàm số y = f (x) y=f(x) là một parabol có các nhánh hướng lên trên.

Vì các parabol có nhánh hướng lên trên không thể có điểm cực đại, nên khả năng duy nhất là điểm cực đại là điểm biên của các khoảng này - điểm x = a 2 x=a^2 . Tại điểm này sẽ đạt cực đại nếu đỉnh của parabol y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 rơi vào khoảng $$x>a^2$$, và đỉnh của parabol y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - đối với khoảng $$x\lt a^2$$ (xem Hình 20). Điều kiện này được đưa ra bởi các bất đẳng thức và $$2 \gt a^2$$ và $$1 \lt a^2$$, giải quyết mà chúng ta thấy rằng a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

TRẢ LỜI

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

Tìm tất cả các giá trị của a a , với mỗi giá trị đó nghiệm tổng quát của bất đẳng thức

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a và y - x ≥ 2 a             (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

là giải pháp cho sự bất bình đẳng

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Để điều hướng tình huống, đôi khi việc xem xét một giá trị tham số là rất hữu ích. Ví dụ, hãy vẽ một bản vẽ cho a = 0 a=0 . Bất đẳng thức (20) (thực tế là ta đang xét hệ bất đẳng thức (20)) được thỏa mãn bởi các điểm của góc B A C BAC (xem Hình 21) - các điểm, mỗi điểm nằm phía trên cả hai đường thẳng y = - 2 x y=-2x và y = x y =x (hoặc trên những dòng này). Bất đẳng thức (21) được thỏa mãn bởi các điểm nằm phía trên đường thẳng y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) . Có thể thấy rằng khi a = 0 a = 0 thì điều kiện của bài toán không được thỏa mãn.

Điều gì sẽ thay đổi nếu chúng ta lấy một giá trị khác cho tham số a a ? Mỗi đường thẳng sẽ chuyển động và biến thành một đường thẳng song song với chính nó, vì hệ số góc của các đường thẳng không phụ thuộc vào a a. Để thỏa mãn điều kiện của bài toán thì toàn bộ góc B A C BAC phải nằm phía trên đường thẳng l l . Vì hệ số góc của các đường thẳng A B AB và A C AC có giá trị tuyệt đối lớn hơn hệ số góc của đường thẳng l l nên điều cần và đủ là đỉnh của góc nằm phía trên đường thẳng l l .

Giải hệ phương trình

$$\begin(case) y+2x=a,\\ y-x=2a, \end(case)$$

tìm tọa độ của điểm A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . Chúng phải thỏa mãn bất đẳng thức (21), do đó $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, từ đó $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

TRẢ LỜI

$$a>\dfrac(9)(8)$$

§ 8. ÁP DỤNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀO THỐNG KÊ.

2. Xác định các tham số phân bố chưa biết.

Bằng cách sử dụng biểu đồ, chúng ta có thể vẽ gần đúng mật độ phân phối của một biến ngẫu nhiên. Sự xuất hiện của biểu đồ này thường cho phép chúng ta đưa ra giả định về phân bố mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên. Biểu thức của mật độ phân bố này thường bao gồm một số thông số cần được xác định từ số liệu thực nghiệm.
Chúng ta hãy tập trung vào trường hợp cụ thể khi mật độ phân bố phụ thuộc vào hai tham số.
Vậy hãy để x 1 , x 2 , ..., xn- giá trị quan sát của một biến ngẫu nhiên liên tục và để mật độ phân bố xác suất của nó phụ thuộc vào hai tham số chưa biết MỘT Và B, tức là có vẻ như . Một trong những phương pháp tìm tham số chưa biết MỘT Và B bao gồm thực tế là chúng được chọn theo cách sao cho kỳ vọng toán học và phương sai của phân bố lý thuyết trùng với phương tiện và phương sai mẫu:

(66)
Ở đâu
(67)

Từ hai phương trình thu được () tìm được các tham số chưa biết MỘT Và B. Vì vậy, ví dụ, nếu một biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối xác suất chuẩn thì mật độ phân bố xác suất của nó

phụ thuộc vào hai thông số Một Và . Như chúng ta biết, các tham số này lần lượt là kỳ vọng toán học và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên; do đó đẳng thức () sẽ được viết như thế này:

(68)

Do đó, mật độ phân bố xác suất có dạng

Lưu ý 1. Chúng tôi đã giải quyết vấn đề này trong . Kết quả đo là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với các tham số Một Và . Đối với giá trị gần đúng Một chúng tôi đã chọn giá trị và đối với giá trị gần đúng - giá trị .

Lưu ý 2. Với số lượng thí nghiệm lớn, việc tìm đại lượng và sử dụng công thức () gắn liền với việc tính toán rườm rà. Do đó, họ làm điều này: mỗi giá trị quan sát được của đại lượng, rơi vào Tôi khoảng thứ ] X i-1 , X tôi [ chuỗi thống kê, được coi là xấp xỉ bằng giữa tôi khoảng thời gian này, tức là c i =(X i-1 +X i)/2. Hãy xem xét khoảng đầu tiên ] X 0 , X 1 [. Nó đánh anh ta tôi 1 các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên, mỗi giá trị chúng ta thay thế bằng một số từ 1. Do đó, tổng của các giá trị này xấp xỉ bằng m 1 s 1. Tương tự, tổng các giá trị rơi vào khoảng thứ hai xấp xỉ bằng m 2 với 2 vân vân. Đó là lý do tại sao

Theo cách tương tự, chúng ta thu được đẳng thức gần đúng

Vì vậy, hãy cho thấy điều đó

(71)
Thật sự,

Phương trình với các tham số được coi là một trong những bài toán khó nhất trong toán học ở trường. Chính những nhiệm vụ này năm này qua năm khác đều được đưa vào danh sách nhiệm vụ loại B và C trong kỳ thi thống nhất cấp bang của Kỳ thi thống nhất. Tuy nhiên, trong số lượng lớn các phương trình có tham số, có những phương trình có thể dễ dàng giải bằng đồ thị. Hãy xem xét phương pháp này bằng cách sử dụng ví dụ về giải một số vấn đề.

Tìm tổng các giá trị nguyên của số a thỏa mãn phương trình |x 2 – 2x – 3| = a có bốn gốc.

Giải pháp.

Để trả lời câu hỏi của bài toán, hãy dựng đồ thị hàm số trên một mặt phẳng tọa độ

y = |x 2 – 2x – 3| và y = a.

Đồ thị hàm số thứ nhất y = |x 2 – 2x – 3| sẽ thu được từ đồ thị của parabol y = x 2 – 2x – 3 bằng cách hiển thị đối xứng đối với trục x phần của đồ thị nằm dưới trục Ox. Phần của biểu đồ nằm phía trên trục x sẽ không thay đổi.

Hãy thực hiện việc này từng bước một. Đồ thị của hàm số y = x 2 – 2x – 3 là một parabol có các nhánh hướng lên trên. Để xây dựng đồ thị của nó, chúng ta tìm tọa độ của đỉnh. Điều này có thể được thực hiện bằng công thức x 0 = -b/2a. Do đó, x 0 = 2/2 = 1. Để tìm tọa độ đỉnh của parabol dọc theo trục tọa độ, chúng ta thay giá trị thu được của x 0 vào phương trình của hàm đang xét. Ta có y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Điều này có nghĩa là đỉnh của parabol có tọa độ (1; -4).

Tiếp theo, bạn cần tìm giao điểm của các nhánh parabol với các trục tọa độ. Tại giao điểm của các nhánh parabol với trục hoành, giá trị của hàm bằng 0. Do đó, ta giải phương trình bậc hai x 2 – 2x – 3 = 0. Căn của nó sẽ là các điểm cần tìm. Theo định lý Vieta ta có x 1 = -1, x 2 = 3.

Tại giao điểm của các nhánh parabol với trục tọa độ, giá trị của đối số bằng 0. Như vậy, điểm y = -3 là giao điểm của các nhánh của parabol với trục y. Biểu đồ kết quả được hiển thị trong Hình 1.

Để thu được đồ thị của hàm số y = |x 2 – 2x – 3|, chúng ta hãy biểu thị phần đồ thị nằm bên dưới trục x một cách đối xứng so với trục x. Biểu đồ kết quả được hiển thị trong Hình 2.

Đồ thị của hàm số y = a là đường thẳng song song với trục hoành. Nó được mô tả trong Hình 3. Sử dụng hình này, chúng ta thấy rằng các đồ thị có bốn điểm chung (và phương trình có bốn nghiệm) nếu a thuộc khoảng (0; 4).

Giá trị nguyên của số a từ khoảng kết quả: 1; 2; 3. Để trả lời câu hỏi, hãy tìm tổng của các số sau: 1 + 2 + 3 = 6.

Trả lời: 6.

Tìm trung bình số học của các giá trị nguyên của số a thỏa mãn phương trình |x 2 – 4|x| – 1| = a có sáu gốc.

Hãy bắt đầu bằng cách vẽ đồ thị hàm số y = |x 2 – 4|x| – 1|. Để làm điều này, chúng ta sử dụng đẳng thức a 2 = |a| 2 và chọn hình vuông hoàn chỉnh trong biểu thức mô đun con được viết ở bên phải của hàm:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Khi đó hàm số ban đầu sẽ có dạng y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Để xây dựng đồ thị của hàm này, chúng ta xây dựng đồ thị tuần tự của hàm:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabol có đỉnh tại điểm có tọa độ (2; -5); (Hình 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – phần parabol dựng ở bước 1, nằm ở bên phải trục tọa độ, được hiển thị đối xứng ở bên trái trục Oy; (Hình 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – phần đồ thị được xây dựng ở điểm 2, nằm bên dưới trục x, được hiển thị đối xứng so với trục x hướng lên trên. (Hình 3).

Chúng ta hãy nhìn vào các bản vẽ kết quả:

Đồ thị của hàm số y = a là đường thẳng song song với trục hoành.

Sử dụng hình vẽ, chúng ta kết luận rằng đồ thị của hàm số có sáu điểm chung (phương trình có sáu nghiệm) nếu a thuộc khoảng (1; 5).

Điều này có thể được nhìn thấy trong hình sau:

Hãy tìm giá trị trung bình số học của các giá trị nguyên của tham số a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Trả lời: 3.

trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.