Trang chủ Các vectơ có thể được biểu diễn bằng đồ họa bằng các đoạn có hướng. Độ dài được chọn theo thang đo cụ thể để biểu thị độ lớn vectơ và hướng của đoạn này thể hiện hướng véc tơ
. Ví dụ: nếu chúng ta giả sử rằng 1 cm đại diện cho 5 km/h, thì gió đông bắc với tốc độ 15 km/h sẽ được biểu thị bằng một đoạn định hướng có chiều dài 3 cm, như trong hình. Vectơ trên một mặt phẳng nó là một đoạn có hướng. Hai vectơ bình đẳng nếu họ có điều tương tự kích cỡ Và.
phương hướng Xét một vectơ vẽ từ điểm A đến điểm B. Điểm đó được gọi làđiểm bắt đầu vectơ và điểm B được gọi làđiểm cuối . Ký hiệu tượng trưng cho vectơ này là (đọc là “vectơ AB”). Các vectơ cũng được biểu thị bằng các chữ in đậm như U, V và W. Bốn vectơ trong hình bên trái có cùng độ dài và hướng. Vì thế họ đại diện bình đẳng 
gió; nghĩa là,
Trong ngữ cảnh của vectơ, chúng ta sử dụng = để biểu thị rằng chúng bằng nhau. Chiều dài hoặc kích cỡ
được thể hiện dưới dạng ||. Để xác định xem các vectơ có bằng nhau hay không, chúng ta tìm độ lớn và hướng của chúng. Ví dụ 1 
Các vectơ u, , w được biểu diễn trong hình bên dưới. Chứng minh rằng u = = w. Giải pháp
Đầu tiên chúng ta tìm độ dài của mỗi vectơ bằng công thức khoảng cách:
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Từ đây
|u| = | = |w|. 
Các vectơ u, , và w, như có thể thấy từ hình vẽ, dường như có cùng hướng, nhưng chúng ta sẽ kiểm tra độ dốc của chúng. Nếu các đường mà chúng nằm trên đó có cùng độ dốc thì các vectơ có cùng hướng. Chúng tôi tính toán độ dốc:
Vì u, , và w có độ lớn bằng nhau và cùng hướng,
bạn = = w.
Hãy nhớ rằng các vectơ bằng nhau chỉ yêu cầu cùng độ lớn và cùng hướng chứ không phải cùng một vị trí. Hình trên cùng cho thấy một ví dụ về đẳng thức vectơ. Giả sử một người bước 4 bước về phía đông rồi 3 bước về phía bắc. Sau đó, người đó sẽ cách điểm xuất phát 5 bước theo hướng hiển thị bên trái. Một vectơ dài 4 đơn vị với hướng sang phải tượng trưng cho 4 bước về phía đông và một vectơ dài 3 đơn vị với hướng lên trên tượng trưng cho 3 bước về phía bắc. trong hai vectơ này có một vectơ có độ lớn 5 bậc và cùng hướng như hình vẽ. Số tiền đó còn được gọi là kết quả hai vectơ.
Nói chung, hai vectơ u và v khác 0 có thể được cộng về mặt hình học bằng cách đặt điểm bắt đầu của vectơ v vào điểm kết thúc của vectơ u, sau đó tìm một vectơ có cùng điểm bắt đầu với vectơ u và cùng một kết thúc điểm là vectơ v như trong hình bên dưới. 
Tổng là một vectơ được biểu thị bằng một đoạn có hướng từ điểm A của vectơ u đến điểm cuối C của vectơ v. Vì vậy, nếu u = và v = , thì
bạn + v = + =
Chúng ta cũng có thể mô tả phép cộng vectơ là việc đặt các điểm bắt đầu của các vectơ lại với nhau, dựng hình bình hành và tìm đường chéo của hình bình hành. (trong hình bên dưới.) Phép cộng này đôi khi được gọi là quy tắc hình bình hành
phép cộng các vectơ. Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán. Như thể hiện trong hình, cả hai vectơ u + v và v + u đều được biểu thị bằng cùng một đoạn đường có hướng. 
Nếu hai lực F1 và F2 tác dụng lên một vật thì kết quả lực là tổng F 1 + F 2 của hai lực riêng biệt này. 
Ví dụ Hai lực 15 newton và 25 newton tác dụng lên một vật vuông góc với nhau. Tìm tổng của chúng, hay lực tạo thành, và góc nó tạo với lực lớn hơn.
Các vectơ u, , w được biểu diễn trong hình bên dưới. Chứng minh rằng u = = w. Hãy vẽ điều kiện bài toán, trong trường hợp này là một hình chữ nhật, sử dụng v hoặc để biểu thị kết quả. Để tìm giá trị của nó, chúng ta sử dụng định lý Pythagore:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Đây |v| biểu thị độ dài hoặc độ lớn của v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29.2.
Để tìm hướng, lưu ý rằng vì OAB là góc vuông nên
tanθ = 15/25 = 0,6.
Sử dụng máy tính, chúng ta tìm được θ, góc mà lực lớn hơn tạo với lực ròng:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Kết quả có cường độ 29,2 và góc 31° với lực lớn hơn.
Phi công có thể điều chỉnh hướng bay nếu có gió ngược. Gió và tốc độ của máy bay có thể được biểu diễn dưới dạng gió.
Ví dụ 3. Tốc độ và hướng máy bay. Máy bay đang di chuyển theo góc phương vị 100° với tốc độ 190 km/h, trong khi tốc độ gió là 48 km/h và góc phương vị là 220°. Tìm tốc độ tuyệt đối của máy bay và hướng chuyển động của nó, có tính đến gió.
Các vectơ u, , w được biểu diễn trong hình bên dưới. Chứng minh rằng u = = w. Trước tiên hãy vẽ một bản vẽ. Gió được biểu diễn và vectơ tốc độ máy bay là . Vectơ vận tốc thu được là v, tổng của hai vectơ. Góc θ giữa v và được gọi là góc trôi
.
Lưu ý rằng giá trị COA = 100° - 40° = 60°. Khi đó giá trị của CBA cũng bằng 60° (các góc đối diện của hình bình hành bằng nhau). Vì tổng tất cả các góc của hình bình hành là 360° và COB và OAB có cùng độ lớn nên mỗi góc phải bằng 120°. Qua quy tắc cosin
trong OAB, chúng ta có
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Sau đó, |v| bằng 218 km/h. Theo quy tắc sin
, trong cùng một tam giác,
48
/sinθ = 218
/tội lỗi 120°,
hoặc
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Khi đó, θ = 11°, tính đến góc nguyên gần nhất. Tốc độ tuyệt đối là 218 km/h và hướng chuyển động của nó có tính đến gió: 100° - 11°, hoặc 89°.
Cho một vectơ w, chúng ta có thể tìm thấy hai vectơ u và v khác có tổng là w. Các vectơ u và v được gọi là thành phần w và quá trình tìm kiếm chúng được gọi là sự phân hủy hoặc biểu diễn một vectơ bằng các thành phần vectơ của nó.
Khi khai triển một vectơ, chúng ta thường tìm các thành phần vuông góc. Tuy nhiên, rất thường xuyên, một thành phần sẽ song song với trục x và thành phần kia sẽ song song với trục y. Vì vậy, chúng thường được gọi nằm ngang
kích cỡ thẳng đứng
thành phần vectơ Trong hình bên dưới, vectơ w = được phân tách thành tổng của u = và v =. 
Thành phần ngang của w là u và thành phần dọc là v.
Ví dụ 4 Vectơ w có độ lớn 130 và độ dốc 40° so với phương ngang. Phân tách vectơ thành các thành phần ngang và dọc.
Các vectơ u, , w được biểu diễn trong hình bên dưới. Chứng minh rằng u = = w.Đầu tiên chúng ta sẽ vẽ một bức tranh với các vectơ ngang và dọc u và v có tổng là w. 
Từ ABC, ta tìm được |u| và |v|, sử dụng định nghĩa của cosin và sin:
cos40° = |u|/130, hoặc |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, hoặc |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Khi đó, thành phần ngang của w là 100 về bên phải và thành phần dọc của w là 84 hướng lên.
Cơ sở của không gian họ gọi một hệ vectơ như vậy trong đó tất cả các vectơ khác trong không gian có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ có trong cơ sở.
Trong thực tế, tất cả điều này được thực hiện khá đơn giản. Cơ sở, theo quy luật, được kiểm tra trên mặt phẳng hoặc trong không gian, và để làm được điều này, bạn cần tìm định thức của ma trận bậc hai, bậc ba bao gồm các tọa độ vectơ. Dưới đây được viết bằng sơ đồ điều kiện theo đó các vectơ tạo thành cơ sở
ĐẾN khai triển vectơ b thành các vectơ cơ sở
e,e...,e[n] cần tìm các hệ số x, ..., x[n] sao cho tổ hợp tuyến tính của các vectơ e,e...,e[n] bằng vectơ b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Để làm được điều này, phương trình vectơ phải được chuyển đổi thành hệ phương trình tuyến tính và tìm ra nghiệm. Việc thực hiện này cũng khá đơn giản.
Các hệ số tìm được x, ..., x[n] được gọi là tọa độ của vectơ b trong cơ sở e,e...,e[n].
Hãy chuyển sang khía cạnh thực tế của chủ đề.
Phân tách một vectơ thành các vectơ cơ sở
Nhiệm vụ 1. Kiểm tra xem các vectơ a1, a2 có tạo thành cơ sở trên mặt phẳng không
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Giải: Ta soạn định thức từ tọa độ của vectơ và tính toán
Định thức không bằng 0, kể từ đây các vectơ độc lập tuyến tính, có nghĩa là chúng tạo thành một cơ sở.
2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Giải: Ta tính định thức tạo bởi vectơ 
Định thức bằng 13 (không bằng 0) - từ đó suy ra các vectơ a1, a2 là cơ sở trên mặt phẳng.
---=================---
Chúng ta hãy xem các ví dụ điển hình của chương trình MAUP trong môn “Toán cao cấp”.
Nhiệm vụ 2. Chứng minh rằng các vectơ a1, a2, a3 tạo thành cơ sở của không gian vectơ ba chiều và khai triển vectơ b theo cơ sở này (sử dụng phương pháp Cramer khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Lời giải: Đầu tiên xét hệ vectơ a1, a2, a3 và kiểm tra định thức của ma trận A
được xây dựng trên các vectơ khác 0. Ma trận chứa một phần tử bằng 0, vì vậy sẽ thích hợp hơn khi tính định thức ở dạng biểu đồ ở cột đầu tiên hoặc hàng thứ ba. 
Theo kết quả tính toán, chúng tôi thấy rằng định thức khác 0, do đó các vectơ a1, a2, a3 độc lập tuyến tính.
Theo định nghĩa, các vectơ tạo thành một cơ sở trong R3. Hãy viết đồ thị của vectơ b dựa trên 
Các vectơ bằng nhau khi tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau.
Do đó, từ phương trình vectơ ta thu được hệ phương trình tuyến tính 
Hãy giải quyết SLAE Phương pháp Cramer. Để làm được điều này ta viết hệ phương trình dưới dạng
Định thức chính của SLAE luôn bằng định thức gồm các vectơ cơ sở
Vì vậy, trong thực tế nó không được tính hai lần. Để tìm các định thức phụ, chúng ta đặt một cột các số hạng tự do thay cho mỗi cột của định thức chính. Các yếu tố quyết định được tính bằng quy tắc tam giác 
Hãy thay thế các định thức tìm được vào công thức Cramer 
Vì vậy, khai triển của vectơ b theo cơ sở có dạng b=-4a1+3a2-a3. Tọa độ của vectơ b trên cơ sở a1, a2, a3 sẽ là (-4,3, 1).
2)a1(1; -5; 2), a2(2; 3; 0), a3(1; -1; 1), b(3; 5; 1).
Giải pháp: Chúng tôi kiểm tra các vectơ để tìm cơ sở - chúng tôi tạo định thức từ tọa độ của vectơ và tính toán nó 
Định thức không bằng 0, do đó vectơ tạo thành một cơ sở trong không gian. Vẫn còn phải tìm lịch trình của vectơ b thông qua cơ sở này. Để làm điều này, chúng ta viết phương trình vectơ 
và chuyển đổi sang hệ phương trình tuyến tính 
Chúng tôi viết phương trình ma trận
Tiếp theo, đối với công thức Cramer, chúng ta tìm các định thức phụ trợ 
Chúng tôi áp dụng công thức Cramer 
Vì vậy, một vectơ b đã cho có lịch trình đi qua hai vectơ cơ sở b=-2a1+5a3 và tọa độ của nó trong cơ sở bằng b(-2,0, 5).
Bài tập kiểm tra
Nhiệm vụ 1 - 10. Các vectơ được cho.
Chứng minh rằng các vectơ tạo thành một cơ sở của không gian ba chiều và tìm tọa độ của vectơ trên cơ sở đó:
Cho các vectơ ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Chứng minh rằng các vectơ tạo thành cơ sở của không gian ba chiều và tìm tọa độ của vectơ X trên cơ sở này.
Nhiệm vụ này bao gồm hai phần. Đầu tiên bạn cần kiểm tra xem các vectơ có tạo thành cơ sở hay không. Các vectơ tạo thành một cơ sở nếu định thức bao gồm tọa độ của các vectơ này khác 0, nếu không thì các vectơ không cơ bản và vectơ X không thể mở rộng trên cơ sở này.
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
Hãy tính định thức của ma trận:
Định thức của ma trận là ∆ =37
Vì định thức khác 0 nên các vectơ tạo thành một cơ sở, do đó, vectơ X có thể được mở rộng trên cơ sở này. Những thứ kia. có các số α 1, α 2, α 3 thỏa mãn đẳng thức:
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
Chúng ta hãy viết đẳng thức này dưới dạng tọa độ:
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)
Sử dụng các tính chất của vectơ, chúng ta thu được đẳng thức sau:
(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)
(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)
Theo tính chất đẳng thức của vectơ ta có:
3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3
1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0
6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1 Ta giải hệ phương trình thu được phương pháp Gaussian hoặc.
Phương pháp Cramer
X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3
Giải pháp đã được nhận và xử lý bằng dịch vụ:
Tọa độ vectơ trong cơ sở
Cùng với vấn đề này, họ cũng giải quyết:
Giải phương trình ma trận
Phương pháp Cramer
Phương pháp Gauss
Ma trận nghịch đảo sử dụng phương pháp Jordano-Gauss
Ma trận nghịch đảo thông qua phần bù đại số
Nhân ma trận trực tuyến
Định nghĩa tiêu chuẩn: “Vectơ là một đoạn có hướng”. Đây thường là mức độ hiểu biết của sinh viên tốt nghiệp về vectơ. Ai cần bất kỳ “phân đoạn định hướng” nào?
Dự báo thời tiết. “Gió hướng Tây Bắc, tốc độ 18 mét/giây.” Đồng ý rằng, cả hướng gió (nơi nó thổi đến) và cường độ (tức là giá trị tuyệt đối) của tốc độ của nó đều quan trọng.
Các đại lượng không có hướng được gọi là vô hướng. Khối lượng, công, điện tích không hướng vào đâu cả. Chúng chỉ được đặc trưng bởi một giá trị số - "bao nhiêu kilôgam" hoặc "bao nhiêu joules".
Các đại lượng vật lý không chỉ có giá trị tuyệt đối mà còn có hướng được gọi là đại lượng vectơ.
Tốc độ, lực, gia tốc - vectơ. Đối với họ, “bao nhiêu” là quan trọng và “ở đâu” cũng quan trọng. Ví dụ: gia tốc trọng trường 
hướng về bề mặt Trái Đất và có cường độ là 9,8 m/s 2. Xung lực, cường độ điện trường, cảm ứng từ trường cũng là các đại lượng vectơ.
Bạn còn nhớ rằng các đại lượng vật lý được biểu thị bằng các chữ cái, tiếng Latin hoặc tiếng Hy Lạp. Mũi tên phía trên chữ cái chỉ ra rằng đại lượng là vectơ:
Đây là một ví dụ khác.
Một ô tô di chuyển từ A đến B. Kết quả cuối cùng là sự chuyển động của nó từ điểm A đến điểm B, tức là chuyển động theo một vectơ.
Bây giờ đã rõ tại sao vectơ là đoạn có hướng. Xin lưu ý rằng phần cuối của vectơ là nơi có mũi tên. Chiều dài vectơđược gọi là độ dài của đoạn này. Được chỉ định bởi: hoặc
Cho đến nay, chúng ta đã làm việc với các đại lượng vô hướng, theo các quy tắc số học và đại số cơ bản. Vector là một khái niệm mới. Đây là một lớp đối tượng toán học khác. Họ có những quy tắc riêng của họ.
Ngày xửa ngày xưa, chúng ta thậm chí còn không biết gì về những con số. Sự quen biết của tôi với họ bắt đầu từ khi còn học tiểu học. Hóa ra các con số có thể được so sánh với nhau, cộng, trừ, nhân và chia. Chúng ta đã học được rằng có số một và số không.
Bây giờ chúng ta được giới thiệu về vectơ.
Khái niệm “nhiều hơn” và “ít hơn” đối với vectơ không tồn tại - xét cho cùng, hướng của chúng có thể khác nhau. Chỉ có thể so sánh độ dài vectơ.
Nhưng có một khái niệm về sự bình đẳng cho vectơ.
Bình đẳng Các vectơ có cùng độ dài và cùng hướng được gọi là. Điều này có nghĩa là vectơ có thể truyền song song với chính nó tới bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng.
Đơn là một vectơ có độ dài bằng 1. Số 0 là một vectơ có độ dài bằng 0, nghĩa là phần đầu của nó trùng với phần cuối.
Sẽ thuận tiện nhất khi làm việc với các vectơ trong hệ tọa độ hình chữ nhật - giống như hệ tọa độ mà chúng ta vẽ đồ thị hàm số. Mỗi điểm trong hệ tọa độ tương ứng với hai số - tọa độ x và y, hoành độ và tọa độ.
Vector cũng được xác định bởi hai tọa độ:
Ở đây tọa độ của vectơ được viết trong ngoặc đơn - theo x và y.
Chúng được tìm thấy một cách đơn giản: tọa độ điểm cuối của vectơ trừ đi tọa độ điểm đầu của nó.
Nếu cho tọa độ vectơ thì độ dài của nó được tìm theo công thức
Phép cộng vectơ
Có hai cách để thêm vectơ.
1. Quy tắc hình bình hành. Để cộng các vectơ và , chúng ta đặt gốc của cả hai tại cùng một điểm. Chúng ta xây dựng thành hình bình hành và từ cùng một điểm, chúng ta vẽ một đường chéo của hình bình hành. Đây sẽ là tổng của các vectơ và .
Bạn có nhớ câu chuyện ngụ ngôn về thiên nga, tôm càng và pike không? Họ đã cố gắng rất nhiều nhưng họ không bao giờ di chuyển chiếc xe khỏi vị trí của nó. Rốt cuộc, tổng vectơ của các lực mà chúng tác dụng lên xe bằng 0.
2. Cách thứ hai để cộng vectơ là quy tắc tam giác. Hãy lấy cùng một vectơ và . Chúng ta sẽ thêm phần đầu của vectơ thứ hai vào phần cuối của vectơ đầu tiên. Bây giờ hãy kết nối phần đầu của phần đầu tiên và phần cuối của phần thứ hai. Đây là tổng của các vectơ và .
Sử dụng quy tắc tương tự, bạn có thể thêm một số vectơ. Chúng tôi sắp xếp chúng lần lượt, sau đó nối phần đầu của phần đầu tiên với phần cuối của phần cuối cùng.
Hãy tưởng tượng rằng bạn đang đi từ điểm A đến điểm B, từ B đến C, từ C đến D, rồi đến E và đến F. Kết quả cuối cùng của những hành động này là chuyển động từ A đến F.
Khi thêm vectơ và chúng tôi nhận được:
Phép trừ vectơ
Vectơ hướng ngược lại với vectơ. Độ dài của các vectơ và bằng nhau.
Bây giờ đã rõ phép trừ vectơ là gì. Hiệu vectơ và là tổng của vectơ và vectơ .
Nhân một vectơ với một số
Khi nhân một vectơ với số k, sẽ thu được một vectơ có độ dài gấp k lần độ dài . Nó cùng hướng với vectơ nếu k lớn hơn 0 và ngược chiều nếu k nhỏ hơn 0.
Tích vô hướng của vectơ
Các vectơ có thể được nhân không chỉ với số lượng mà còn với nhau.
Tích vô hướng của vectơ là tích độ dài của vectơ và cosin của góc giữa chúng.
Xin lưu ý rằng chúng tôi đã nhân hai vectơ và kết quả là một số vô hướng, tức là một số. Ví dụ, trong vật lý, công cơ học bằng tích vô hướng của hai vectơ - lực và chuyển vị:
Nếu các vectơ vuông góc thì tích vô hướng của chúng bằng 0.
Và đây là cách tích vô hướng được biểu diễn thông qua tọa độ của các vectơ và:
Từ công thức tích vô hướng, bạn có thể tìm được góc giữa các vectơ:
Công thức này đặc biệt thuận tiện trong phép đo lập thể. Ví dụ, trong bài 14 của Đề thi Tiểu bang Thống nhất môn Toán, bạn cần tìm góc giữa các đường thẳng cắt nhau hoặc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng. Thường phương pháp vectơ Vấn đề 14 được giải nhanh hơn nhiều lần so với vấn đề cổ điển.
Trong chương trình toán ở trường chỉ dạy tích vô hướng của vectơ.
Hóa ra, ngoài tích vô hướng còn có tích vectơ, khi kết quả của phép nhân hai vectơ là một vectơ. Ai thuê Kỳ thi Vật lý thống nhất cấp bang, biết lực Lorentz và lực Ampe là gì. Công thức tìm các lực này bao gồm tích vectơ.
Vector là một công cụ toán học rất hữu ích. Bạn sẽ thấy điều này trong năm đầu tiên của bạn.
