Hướng dẫn
Một tam giác được gọi là vuông nếu một trong các góc của nó bằng 90 độ. Nó bao gồm hai chân và một cạnh huyền. Cạnh huyền được gọi là mặt lớn tam giác này. Nó nằm dựa vào một góc vuông. Theo đó, chân được gọi là các cạnh nhỏ hơn của nó. Chúng có thể bằng nhau hoặc có kích cỡ khác nhau. Bình đẳng về hai chân là điều bạn đang làm với một tam giác vuông. Vẻ đẹp của nó là nó kết hợp hai hình: hình chữ nhật và tam giác cân. Nếu hai chân không bằng nhau thì tam giác đó là tùy ý và tuân theo quy luật cơ bản: góc càng lớn thì vật nằm đối diện càng lăn.
Có một số cách để tìm cạnh huyền theo và góc. Nhưng trước khi sử dụng một trong số chúng, bạn nên xác định góc nào đã biết. Nếu bạn được cho một góc và một cạnh kề với nó, thì việc tìm cạnh huyền bằng cách sử dụng cosin của góc sẽ dễ dàng hơn. Cô sin góc nhọn(cos a) trong tam giác vuông được gọi là tỉ số chân liền kềđến cạnh huyền. Theo đó, cạnh huyền (c) sẽ bằng tỉ số của cạnh kề (b) với cosin của góc a (cos a). Điều này có thể được viết như thế này: cos a=b/c => c=b/cos a.
Nếu có một góc và một chân đối diện, thì bạn nên làm việc. Sin của một góc nhọn (sin a) trong tam giác vuông là tỉ số phía đối diện(a) đến cạnh huyền (c). Ở đây nguyên tắc giống như trong ví dụ trước, chỉ có điều thay vì hàm cosine, hàm sin được lấy. sin a=a/c => c=a/sin a.
Bạn cũng có thể sử dụng hàm lượng giác như . Nhưng việc tìm kiếm giá trị mong muốn sẽ trở nên phức tạp hơn một chút. Tiếp tuyến của góc nhọn (tg a) trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện (a) với cạnh kề (b). Sau khi tìm được cả hai vế, hãy áp dụng định lý Pytago (bình phương cạnh huyền bằng tổng hình vuông của chân) và cái lớn hơn sẽ được tìm thấy.
Xin lưu ý
Khi làm việc với định lý Pythagore, hãy nhớ rằng bạn đang xử lý một mức độ. Sau khi tìm được tổng bình phương của các chân, bạn cần lấy căn bậc hai để có đáp án cuối cùng.
Nguồn:
- làm thế nào để tìm chân và cạnh huyền
Cạnh huyền là cạnh trong tam giác vuông đối diện với góc 90 độ. Để tính chiều dài của nó, chỉ cần biết chiều dài của một trong hai chân và kích thước của một trong các góc nhọn của tam giác là đủ.
Hướng dẫn
Cho một góc hình chữ nhật đã biết và nhọn thì kích thước của cạnh huyền sẽ là tỷ lệ giữa chân với/của góc này, nếu góc này đối diện/liền kề với nó:
h = C1(hoặc C2)/sinα;
h = C1 (hoặc C2)/cosα.
Ví dụ: Cho ABC có cạnh huyền AB và C. Gọi góc B là 60 độ và góc A là 30 độ. Độ dài cạnh huyền AB là 8 cm. Để thực hiện việc này, bạn có thể sử dụng bất kỳ phương pháp nào được đề xuất ở trên:
AB = BC/cos60 = 8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
Từ " chân"đến từ từ Hy Lạp"vuông góc" hoặc "thẳng đứng" - điều này giải thích tại sao cả hai cạnh của một tam giác vuông, tạo thành góc 90 độ, được gọi như vậy. Tìm độ dài của bất kỳ chân ov không khó nếu biết giá trị của góc liền kề và bất kỳ tham số nào khác, vì trong trường hợp này, giá trị của cả ba góc sẽ thực sự được biết.
Hướng dẫn
Nếu, ngoài giá trị của góc kề (β), độ dài của giây chân a (b), thì độ dài chân và (a) có thể được định nghĩa là thương số của độ dài đã biết chân và ở một góc đã biết: a=b/tg(β). Điều này tuân theo định nghĩa của lượng giác này. Bạn có thể làm mà không cần tiếp tuyến nếu bạn sử dụng định lý. Từ đó suy ra rằng độ dài mong muốn với sin của góc đối diện với tỉ số giữa chiều dài đã biết chân và sin của một góc đã biết. Ngược lại với mong muốn chân y góc nhọn có thể được biểu thị thông qua góc đã biết là 180°-90°-β = 90°-β, vì tổng tất cả các góc của bất kỳ tam giác nào cũng phải là 180° và một trong các góc của nó là 90°. Vậy độ dài cần thiết chân và có thể được tính bằng công thức a=sin(90°-β)∗b/sin(β).
Nếu biết giá trị của góc kề (β) và độ dài cạnh huyền (c) thì độ dài chân và (a) có thể được tính bằng tích của độ dài cạnh huyền và cosin của góc đã biết: a=c∗cos(β). Điều này xuất phát từ định nghĩa cosin là hàm lượng giác. Nhưng bạn có thể sử dụng, như ở bước trước, định lý về sin và sau đó là độ dài của đoạn mong muốn chân a sẽ bằng tích của sin trong khoảng từ 90° đến góc đã biết tỷ lệ giữa độ dài cạnh huyền với sin của một góc vuông. Và vì sin là 90° bằng một, thì chúng ta có thể viết nó như thế này: a=sin(90°-β)∗c.
Các tính toán thực tế có thể được thực hiện, ví dụ, bằng cách sử dụng hệ điều hành đi kèm Phần mềm Windows máy tính. Để chạy nó, bạn có thể chọn “Run” từ menu chính trên nút “Start”, gõ lệnh calc và nhấp vào “OK”. Trong phiên bản giao diện đơn giản nhất của chương trình này mở theo mặc định hàm lượng giác không được cung cấp nên sau khi khởi chạy bạn cần bấm vào phần “Xem” trong menu và chọn dòng “Khoa học” hoặc “Kỹ thuật” (tùy theo phiên bản sử dụng hệ điều hành).
Video về chủ đề
Từ “kathet” có nguồn gốc từ tiếng Nga từ tiếng Hy Lạp. TRONG bản dịch chính xác nó có nghĩa là một đường thẳng đứng, tức là vuông góc với bề mặt trái đất. Trong toán học, chân là các cạnh tạo thành các góc vuông của một tam giác vuông. Cạnh đối diện với góc này được gọi là cạnh huyền. Thuật ngữ "cathet" cũng được sử dụng trong kiến trúc và công nghệ công việc hàn.
Vẽ tam giác vuông DIA. Gọi hai chân của nó là a và b, và cạnh huyền là c. Tất cả các cạnh và góc của một tam giác vuông đều được xác định lẫn nhau. Tỷ lệ của chân đối diện với một trong các góc nhọn với cạnh huyền được gọi là sin góc đã cho. TRONG tam giác đã cho sinCAB=a/c. Cosine là tỷ lệ với cạnh huyền của cạnh kề, nghĩa là cosCAB=b/c. Các mối quan hệ nghịch đảo được gọi là secant và cosecant.
Sec của góc này có được bằng cách chia cạnh huyền cho cạnh kề, tức là secCAB = c/b. Kết quả là nghịch đảo của cosine, nghĩa là nó có thể được biểu thị bằng công thức secCAB=1/cosSAB.
Cosecant bằng thương của cạnh huyền chia cho cạnh đối diện và là đại lượng nghịch đảo của sin. Nó có thể được tính bằng công thức cosecCAB=1/sinCAB
Cả hai chân được kết nối với nhau và bằng cotang. TRONG trong trường hợp này tiếp tuyến sẽ là tỷ lệ của cạnh a và cạnh b, nghĩa là cạnh đối diện với cạnh kề. Mối quan hệ này có thể được biểu diễn bằng công thức tgCAB=a/b. Tương ứng, mối quan hệ nghịch đảo sẽ có cotang: ctgCAB=b/a.
Mối quan hệ giữa kích thước của cạnh huyền và cả hai chân đã được xác định bởi Pythagoras của Hy Lạp cổ đại. Người ta vẫn sử dụng định lý và tên tuổi của ông. Nó nói rằng bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân, tức là c2 = a2 + b2. Theo đó, mỗi chân sẽ bằng căn bậc hai từ sự khác biệt giữa các bình phương của cạnh huyền và chân kia. Công thức này có thể được viết là b=√(c2-a2).
Chiều dài của chân cũng có thể được thể hiện thông qua các mối quan hệ mà bạn đã biết. Theo định lý sin và cosin, chân tương đương với sản phẩm cạnh huyền đối với một trong các chức năng này. Nó có thể được biểu diễn dưới dạng và hoặc cotang. Ví dụ, có thể tìm thấy chân a bằng cách sử dụng công thức a = b*tan CAB. Theo cách tương tự, tùy thuộc vào tiếp tuyến đã cho hoặc , chặng thứ hai được xác định.
Thuật ngữ "cathet" cũng được sử dụng trong kiến trúc. Nó được áp dụng cho thủ đô Ionic và xuyên qua giữa lưng của nó. Nghĩa là, trong trường hợp này, số hạng này vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Trong công nghệ hàn có “chân hàn phi lê”. Như trong các trường hợp khác, đây là khoảng cách ngắn nhất. Đây chúng ta đang nói về về khoảng cách giữa một trong các bộ phận được hàn với ranh giới của đường may nằm trên bề mặt của bộ phận kia.
Video về chủ đề
Nguồn:
- chân và cạnh huyền năm 2019 là gì
xoang góc nhọn α của tam giác vuông là tỉ số đối diện chân đến cạnh huyền.
Nó được ký hiệu như sau: sin α.
Cô sin Góc nhọn α của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền.
Nó được ký hiệu như sau: cos α.
Đường tiếp tuyến góc nhọn α là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
Nó được chỉ định như sau: tg α.
cotang góc nhọn α là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện.
Nó được chỉ định như sau: ctg α.
Sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc đó.
Quy tắc:
Nền tảng nhận thức lượng giác trong một tam giác vuông:
(α - góc nhọn đối diện với chân b và liền kề với chân Một . Bên Với - cạnh huyền. β - góc nhọn thứ hai).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
Một | 1 | |
b | 1 | |
Một | 1 1 | |
sinα |
Khi góc nhọn tăngtội lỗi α vàtan α tăng, vàcos α giảm.
Với mọi góc nhọn α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Ví dụ-giải thích:
Cho tam giác vuông ABC
AB = 6,
BC = 3,
góc A = 30°.
Hãy tìm sin của góc A và cosin của góc B.
Giải pháp .
1) Đầu tiên, chúng ta tìm giá trị của góc B. Ở đây mọi thứ rất đơn giản: vì trong một tam giác vuông tổng các góc nhọn là 90° nên góc B = 60°:
B = 90° – 30° = 60°.
2) Hãy tính sin A. Chúng ta biết sin bằng tỷ lệ phía đối diện với cạnh huyền. Góc A có cạnh đối diện là cạnh BC. Vì thế:
TCN 3 1
tội lỗi A = -- = - = -
AB 6 2
3) Bây giờ hãy tính cos B. Chúng ta biết rằng cosin bằng tỉ số của cạnh kề với cạnh huyền. Đối với góc B thì cạnh kề cùng cạnh BC. Điều này có nghĩa là chúng ta lại cần chia BC cho AB - nghĩa là thực hiện các thao tác tương tự như khi tính sin góc A:
TCN 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Kết quả là:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30° = cos 60° = 1/2.
Từ đó suy ra rằng trong một tam giác vuông, sin của một góc nhọn là bằng cosin một góc nhọn khác - và ngược lại. Đây chính xác là ý nghĩa của hai công thức của chúng tôi:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Hãy đảm bảo điều này một lần nữa:
1) Cho α = 60°. Thay giá trị của α vào công thức sin, chúng ta có:
tội lỗi (90° – 60°) = cos 60°.
sin 30° = cos 60°.
2) Cho α = 30°. Thay giá trị của α vào công thức cosine, chúng ta nhận được:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Để biết thêm thông tin về lượng giác, xem phần Đại số)
Lượng giác - phần khoa học toán học, khám phá các hàm lượng giác và cách sử dụng chúng trong hình học. Sự phát triển của lượng giác bắt đầu từ Hy Lạp cổ đại. Trong thời Trung cổ đóng góp quan trọng Các nhà khoa học từ Trung Đông và Ấn Độ đã đóng góp vào sự phát triển của ngành khoa học này.
Bài viết này được dành riêng cho khái niệm cơ bản và định nghĩa lượng giác. Nó thảo luận về các định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản: sin, cos, tiếp tuyến và cotang. Ý nghĩa của chúng được giải thích và minh họa trong bối cảnh hình học.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ban đầu, định nghĩa về các hàm lượng giác có đối số là một góc được biểu diễn dưới dạng tỉ số của các cạnh của một tam giác vuông.
Định nghĩa hàm lượng giác
Sin của một góc (sin α) là tỷ lệ giữa cạnh đối diện với góc này và cạnh huyền.
Cosine của góc (cos α) - tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền.
Góc tiếp tuyến (t g α) - tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh kề.
Góc cotang (c t g α) - tỷ lệ của cạnh kề với cạnh đối diện.
Những định nghĩa này được đưa ra cho góc nhọn của một tam giác vuông!
Hãy đưa ra một minh họa.
Trong tam giác ABC vuông góc C, sin của góc A bằng tỉ số giữa cạnh BC và cạnh huyền AB.
Các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang cho phép bạn tính giá trị của các hàm này từ độ dài đã biết của các cạnh của tam giác.
Điều quan trọng cần nhớ!
Phạm vi giá trị của sin và cosine là từ -1 đến 1. Nói cách khác, sin và cosine lấy các giá trị từ -1 đến 1. Phạm vi giá trị của tang và cotang là toàn bộ dãy số, nghĩa là các hàm này có thể nhận bất kỳ giá trị nào.
Các định nghĩa đưa ra ở trên áp dụng cho các góc nhọn. Trong lượng giác, khái niệm góc quay được đưa ra, giá trị của góc quay, không giống như góc nhọn, không bị giới hạn từ 0 đến 90 độ. Góc quay tính bằng độ hoặc radian được biểu thị bằng bất kỳ số thực nào từ - ∞ đến + ∞. .
Trong bối cảnh này, chúng ta có thể định nghĩa sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc có độ lớn tùy ý. Chúng ta hãy tưởng tượng một đường tròn đơn vị có tâm ở gốc hệ tọa độ Descartes.
Điểm đầu A có tọa độ (1, 0) được quay quanh tâm vòng tròn đơn vị tới một góc α nào đó và đi đến điểm A 1 . Định nghĩa được đưa ra theo tọa độ của điểm A 1 (x, y).
Sin (sin) của góc quay
Sin của góc quay α là tọa độ của điểm A 1 (x, y). tội lỗi α = y
Cosin (cos) của góc quay
Cosin của góc quay α là hoành độ của điểm A 1 (x, y). cos α = x
Tiếp tuyến (tg) của góc quay
Tiếp tuyến của góc quay α là tỉ số giữa tọa độ của điểm A 1 (x, y) với trục hoành của nó. t g α = y x
Cotang (ctg) của góc quay
Cotang của góc quay α là tỉ số giữa hoành độ của điểm A 1 (x, y) với tọa độ của nó. c tg α = x y
Sin và cosin được xác định cho bất kỳ góc quay nào. Điều này là hợp lý, bởi vì hoành độ và tọa độ của một điểm sau khi quay có thể được xác định ở bất kỳ góc nào. Tình hình là khác nhau với tiếp tuyến và cotang. Tiếp tuyến không được xác định khi một điểm sau khi quay đi đến một điểm có hoành độ bằng 0 (0, 1) và (0, - 1). Trong những trường hợp như vậy, biểu thức tiếp tuyến t g α = y x đơn giản là không có ý nghĩa, vì nó chứa phép chia cho 0. Tình hình cũng tương tự với cotang. Sự khác biệt là cotang không được xác định trong trường hợp tọa độ của một điểm bằng 0.
Điều quan trọng cần nhớ!
Sin và cosin được xác định cho mọi góc α.
Tiếp tuyến được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Cotang được xác định cho mọi góc ngoại trừ α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Khi quyết định ví dụ thực tếđừng nói "sin của góc quay α". Cụm từ “góc quay” đơn giản được lược bỏ, ngụ ý rằng bối cảnh đang thảo luận đã rõ ràng điều gì đang được thảo luận.
số
Còn việc xác định sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một số thay vì góc quay thì sao?
Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang của một số
Sin, cosin, tang và cotang của một số t là một số tương ứng bằng sin, cos, tiếp tuyến và cotang trong t radian.
Ví dụ: sin của số 10 π bằng sin của góc quay 10 π rad.
Có một cách tiếp cận khác để xác định sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một số. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về nó.
Bất cứ ai số thực t một điểm trên đường tròn đơn vị được liên kết với tâm ở gốc của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật. Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được xác định thông qua tọa độ của điểm này.
Điểm bắt đầu trên đường tròn là điểm A có tọa độ (1, 0).
số dương t
Số âm t tương ứng với điểm mà điểm bắt đầu sẽ đi tới nếu nó di chuyển quanh vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ và sẽ đi con đường t.
Bây giờ mối liên hệ giữa một số và một điểm trên đường tròn đã được thiết lập, chúng ta chuyển sang định nghĩa sin, cos, tiếp tuyến và cotang.
Sin (tội lỗi) của t
Sin của một số t- tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t. tội lỗi t = y
Cosin (cos) của t
Cosin của một số t- hoành độ của điểm của vòng tròn đơn vị tương ứng với số t. cos t = x
Tiếp tuyến (tg) của t
Tiếp tuyến của một số t- tỉ số giữa tọa độ và hoành độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t. t g t = y x = sin t cos t
Các định nghĩa mới nhất phù hợp và không mâu thuẫn với định nghĩa được đưa ra ở đầu đoạn này. Một điểm trên đường tròn tương ứng với số t, trùng với điểm mà điểm xuất phát đi tới sau khi quay một góc t radian.
Hàm lượng giác của đối số góc và số
Mỗi giá trị của góc α tương ứng với giá trị cụ thể sin và cosin của góc này. Cũng giống như tất cả các góc α khác với α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) đều tương ứng với một giá trị tiếp tuyến nhất định. Cotang, như đã nêu ở trên, được xác định cho mọi α ngoại trừ α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Chúng ta có thể nói rằng sin α, cos α, t g α, c t g α là các hàm của góc alpha hoặc các hàm của đối số góc.
Tương tự, chúng ta có thể coi sin, cos, tang và cotang là các hàm đối số số. Mỗi số thực t tương ứng với một giá trị nhất định của sin hoặc cosin của một số t. Tất cả các số không phải π 2 + π · k, k ∈ Z, đều tương ứng với một giá trị tiếp tuyến. Tương tự, cotang được xác định cho tất cả các số ngoại trừ π · k, k ∈ Z.
Các hàm cơ bản của lượng giác
Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là các hàm lượng giác cơ bản.
Thông thường, trong ngữ cảnh, chúng ta sẽ thấy rõ đối số nào của hàm lượng giác (đối số góc hoặc đối số số) mà chúng ta đang xử lý.
Chúng ta hãy quay lại các định nghĩa được đưa ra ở phần đầu và góc alpha, nằm trong phạm vi từ 0 đến 90 độ. định nghĩa lượng giác sin, cosin, tiếp tuyến và cotang hoàn toàn phù hợp với định nghĩa hình học, được cho bằng cách sử dụng các tỷ lệ khung hình của một tam giác vuông. Hãy thể hiện nó.
Lấy một đường tròn đơn vị có tâm là hình chữ nhật Hệ thống Descartes tọa độ Hãy xoay điểm bắt đầu A (1, 0) một góc lên tới 90 độ và vẽ một đường vuông góc với trục hoành từ điểm thu được A 1 (x, y). Trong tam giác vuông thu được, góc A 1 O H bằng góc quay α, độ dài chân OH bằng hoành độ của điểm A 1 (x, y). Độ dài của cạnh đối diện với góc bằng tọa độ của điểm A 1 (x, y), và độ dài cạnh huyền bằng 1, vì nó là bán kính của đường tròn đơn vị.
Theo định nghĩa từ hình học, sin của góc α bằng tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền.
tội lỗi α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Điều này có nghĩa là việc xác định sin của một góc nhọn trong tam giác vuông thông qua tỷ lệ khung hình tương đương với việc xác định sin của góc quay α, với alpha nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ.
Tương tự, sự tương ứng của các định nghĩa có thể được biểu diễn cho cosine, tang và cotang.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Sin, cos, tang, cotang của một góc là gì sẽ giúp bạn hiểu được tam giác vuông.
Các cạnh của một tam giác vuông được gọi là gì? Đúng vậy, cạnh huyền và chân: cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông (trong ví dụ của chúng ta đây là cạnh \(AC\)); chân là hai cạnh còn lại \(AB\) và \(BC\) (liền kề với góc vuông), và nếu chúng ta coi hai chân so với góc \(BC\), thì chân \(AB\) là cạnh liền kề và chân \(BC\) là đối diện. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: sin, cosin, tiếp tuyến và côtang của một góc là gì?
Sin của góc– đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.
Trong tam giác của chúng tôi:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosin của góc– đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với cạnh huyền.
Trong tam giác của chúng tôi:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tiếp tuyến của góc– đây là tỷ lệ của cạnh đối diện (xa) với cạnh kề (gần).
Trong tam giác của chúng tôi:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotang của góc– đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với chân đối diện (xa).
Trong tam giác của chúng tôi:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Những định nghĩa này là cần thiết nhớ! Để dễ nhớ hơn nên chia chân nào thành chân nào, bạn cần hiểu rõ rằng trong đường tiếp tuyến Và cotang chỉ có hai chân ngồi và cạnh huyền chỉ xuất hiện ở xoang Và cô sin. Và sau đó bạn có thể nghĩ ra một chuỗi liên kết. Ví dụ: cái này:
Cosine→chạm→chạm→liền kề;
Cotang→chạm→chạm→liền kề.
Trước hết, bạn cần nhớ rằng sin, cos, tiếp tuyến và côtang là tỷ số của các cạnh của một tam giác không phụ thuộc vào độ dài của các cạnh này (ở cùng một góc). Không tin tôi? Sau đó hãy chắc chắn bằng cách nhìn vào hình ảnh:
Ví dụ, hãy xem xét cosin của góc \(\beta \) . Theo định nghĩa, từ một tam giác \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), nhưng chúng ta có thể tính cosin của góc \(\beta \) từ tam giác \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Bạn thấy đấy, độ dài của các cạnh là khác nhau, nhưng giá trị cosin của một góc là như nhau. Do đó, các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.
Nếu bạn hiểu các định nghĩa, hãy tiếp tục và củng cố chúng!
Đối với tam giác \(ABC \) ở hình bên dưới, ta tìm được \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Vâng, bạn đã nhận được nó? Sau đó hãy tự mình thử: tính toán tương tự cho góc \(\beta \) .
Câu trả lời: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Đường tròn đơn vị (lượng giác)
Hiểu các khái niệm về độ và radian, chúng ta đã xem xét một đường tròn có bán kính bằng \(1\) . Vòng tròn như vậy được gọi là đơn. Nó sẽ rất hữu ích khi nghiên cứu lượng giác. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn một chút.
Như bạn có thể thấy, vòng tròn đã chođược xây dựng theo hệ tọa độ Descartes. Bán kính của đường tròn bằng 1 và tâm của đường tròn nằm ở gốc tọa độ, vị trí bắt đầu Vectơ bán kính được cố định dọc theo hướng dương của trục \(x\) (trong ví dụ của chúng tôi, đây là bán kính \(AB\)).
Mỗi điểm trên đường tròn tương ứng với hai số: tọa độ dọc theo trục \(x\) và tọa độ dọc theo trục \(y\). Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, chúng có liên quan gì đến chủ đề hiện tại? Để làm được điều này, chúng ta cần nhớ về tam giác vuông đang xét. Trong hình trên, bạn có thể thấy toàn bộ hai hình tam giác vuông. Xét tam giác \(ACG\) . Nó có hình chữ nhật vì \(CG\) vuông góc với trục \(x\).
\(\cos \ \alpha \) từ tam giác \(ACG \) là gì? Đúng rồi \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ngoài ra, chúng ta biết rằng \(AC\) là bán kính của vòng tròn đơn vị, có nghĩa là \(AC=1\) . Hãy thay thế giá trị này vào công thức tính cosin của chúng ta. Đây là những gì xảy ra:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(\sin \ \alpha \) trong tam giác \(ACG \) bằng bao nhiêu? Tất nhiên rồi \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Thay thế giá trị của bán kính \(AC\) vào công thức này và nhận được:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Vì vậy, bạn có thể cho biết điểm \(C\) thuộc đường tròn có tọa độ nào không? Vâng, không thể nào? Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nhận ra rằng \(\cos \ \alpha \) và \(\sin \alpha \) chỉ là những con số? \(\cos \alpha \) tương ứng với tọa độ nào? Tất nhiên là tọa độ \(x\)! Và \(\sin \alpha \) tương ứng với tọa độ nào? Đúng rồi, phối hợp \(y\)! Vì vậy, điểm \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Vậy \(tg \alpha \) và \(ctg \alpha \) bằng bao nhiêu? Đúng vậy, hãy sử dụng các định nghĩa tương ứng của tiếp tuyến và côtang và hiểu được điều đó \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), MỘT \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Nếu góc lớn hơn thì sao? Ví dụ như trong hình này:
Điều gì đã thay đổi trong trong ví dụ này? Hãy tìm ra nó. Để làm điều này, hãy quay lại với một hình tam giác vuông. Xét một tam giác vuông \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : góc (giáp kề với góc \(\beta \) ). Giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc là bao nhiêu \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Đúng vậy, chúng ta tuân theo các định nghĩa tương ứng của hàm lượng giác:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\góc ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(mảng) \)
Vâng, như bạn có thể thấy, giá trị sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ \(y\) ; giá trị cosin của góc - tọa độ \(x\) ; và các giá trị tiếp tuyến, cotang theo các tỉ số tương ứng. Vì vậy, những mối quan hệ này áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.
Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính nằm dọc theo hướng dương của trục \(x\). Cho đến nay chúng ta đã xoay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì bất thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có giá trị nhất định, nhưng chỉ có điều nó sẽ âm. Như vậy, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, ta được góc tích cực và khi quay theo chiều kim đồng hồ - tiêu cực.
Vì vậy, chúng ta biết rằng toàn bộ vòng quay của vectơ bán kính xung quanh đường tròn là \(360()^\circ \) hoặc \(2\pi \) . Có thể xoay vectơ bán kính theo \(390()^\circ \) hoặc theo \(-1140()^\circ \) không? Tất nhiên là bạn có thể! Trong trường hợp đầu tiên, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), do đó, vectơ bán kính sẽ quay hết một vòng và dừng ở vị trí \(30()^\circ \) hoặc \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Trong trường hợp thứ hai, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), nghĩa là, vectơ bán kính sẽ tạo thành ba cuộc cách mạng đầy đủ và sẽ dừng ở vị trí \(-60()^\circ \) hoặc \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Do đó, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau \(360()^\circ \cdot m \) hoặc \(2\pi \cdot m \) (trong đó \(m \) là bất kỳ số nguyên nào ), tương ứng với cùng một vị trí của vectơ bán kính.
Hình bên dưới thể hiện góc \(\beta =-60()^\circ \) . Hình ảnh tương tự tương ứng với góc \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vân vân. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức tổng quát \(\beta +360()^\circ \cdot m\) hoặc \(\beta +2\pi \cdot m \) (trong đó \(m \) là số nguyên bất kỳ)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Bây giờ, khi đã biết định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản và sử dụng vòng tròn đơn vị, hãy thử trả lời các giá trị là gì:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:
Gặp khó khăn? Sau đó chúng ta hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(mảng)\)
Từ đây ta xác định được tọa độ các điểm tương ứng với số đo góc nhất định. Nào, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc trong \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tương ứng với một điểm có tọa độ \(\left(0;1 \right) \) , do đó:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- không tồn tại;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Hơn nữa, tuân theo logic tương tự, chúng ta phát hiện ra rằng các góc trong \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) tương ứng với các điểm có tọa độ \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \phải) \), tương ứng. Biết được điều này, người ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm lượng giác trong điểm tương ứng. Hãy tự mình thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.
Câu trả lời:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0\)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- không tồn tại
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- không tồn tại
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- không tồn tại
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- không tồn tại
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Vì vậy, chúng ta có thể lập bảng sau:
Không cần phải nhớ tất cả các giá trị này. Chỉ cần nhớ sự tương ứng giữa tọa độ các điểm trên đường tròn đơn vị và giá trị của hàm lượng giác là đủ:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Bạn phải nhớ hoặc có thể xuất nó!! \) !}
Nhưng giá trị của hàm lượng giác của các góc trong và \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)được đưa ra trong bảng dưới đây, bạn phải nhớ:
Đừng sợ, bây giờ chúng tôi sẽ chỉ cho bạn một ví dụ về cách ghi nhớ khá đơn giản các giá trị tương ứng:
Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị sin cho cả ba số đo góc ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), cũng như giá trị tiếp tuyến của góc trong \(30()^\circ \) . Biết các giá trị \(4\) này, việc khôi phục toàn bộ bảng khá đơn giản - các giá trị cosine được chuyển theo các mũi tên, nghĩa là:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(mảng) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), biết được điều này, bạn có thể khôi phục các giá trị cho \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Tử số "\(1 \)" sẽ tương ứng với \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) và mẫu số "\(\sqrt(\text(3)) \)" sẽ tương ứng với \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Các giá trị cotang được chuyển theo các mũi tên chỉ trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và nhớ sơ đồ có mũi tên thì chỉ cần nhớ các giá trị \(4\) từ bảng là đủ.
Tọa độ của một điểm trên đường tròn
Có thể tìm được một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn khi biết tọa độ tâm của đường tròn, bán kính và góc quay của nó không? Tất nhiên là bạn có thể! Hãy lấy nó ra công thức tổng quátđể tìm tọa độ của một điểm. Ví dụ: đây là một vòng tròn trước mặt chúng ta:
Chúng ta được cho điểm đó \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn là \(1.5\) . Cần tìm tọa độ của điểm \(P\) thu được bằng cách xoay điểm \(O\) theo \(\delta \) độ.
Như có thể thấy trong hình, tọa độ \(x\) của điểm \(P\) tương ứng với độ dài của đoạn \(TP=UQ=UK+KQ\) . Độ dài của đoạn \(UK\) tương ứng với tọa độ \(x\) của tâm đường tròn, nghĩa là nó bằng \(3\) . Độ dài của đoạn \(KQ\) có thể được biểu thị bằng định nghĩa cosin:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Sau đó, chúng ta có điểm \(P\) tọa độ \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Sử dụng logic tương tự, chúng ta tìm thấy giá trị của tọa độ y cho điểm \(P\) . Như vậy,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Vì vậy, trong cái nhìn tổng quát tọa độ các điểm được xác định theo công thức:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(mảng) \), Ở đâu
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - tọa độ tâm của đường tròn,
\(r\) - bán kính của hình tròn,
\(\delta \) - góc quay của bán kính vectơ.
Như bạn có thể thấy, đối với đường tròn đơn vị mà chúng ta đang xem xét, các công thức này được giảm đáng kể, vì tọa độ của tâm bằng 0 và bán kính bằng 1:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript bị vô hiệu hóa trong trình duyệt của bạn.Để thực hiện tính toán, bạn phải kích hoạt điều khiển ActiveX!
Trong bài viết này chúng tôi sẽ hướng dẫn cách cung cấp Định nghĩa sin, cosin, tang, cotang của góc và số trong lượng giác. Ở đây chúng ta sẽ nói về các ký hiệu, đưa ra ví dụ về các mục và đưa ra hình ảnh minh họa. Để kết luận, chúng ta hãy so sánh các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang trong lượng giác và hình học.
Điều hướng trang.
Định nghĩa sin, cos, tiếp tuyến và cotang
Chúng ta hãy xem ý tưởng về sin, cos, tiếp tuyến và cotang được hình thành như thế nào trong khóa học toán học. Trong các bài học hình học, đưa ra định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của góc nhọn trong tam giác vuông. Và lượng giác sau này được nghiên cứu, trong đó nói về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của góc quay và số. Hãy để chúng tôi trình bày tất cả các định nghĩa này, đưa ra ví dụ và đưa ra những nhận xét cần thiết.
Góc nhọn trong tam giác vuông
Từ môn học hình học, chúng ta biết các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong một tam giác vuông. Chúng được đưa ra dưới dạng tỷ lệ của các cạnh của một tam giác vuông. Hãy để chúng tôi đưa ra công thức của họ.
Sự định nghĩa.
Sin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số của cạnh đối diện với cạnh huyền.
Sự định nghĩa.
Cosin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của góc nhọn trong tam giác vuông- đây là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
Sự định nghĩa.
Cotang của góc nhọn trong tam giác vuông- đây là tỷ lệ của cạnh liền kề với cạnh đối diện.
Các ký hiệu cho sin, cos, tiếp tuyến và cotang cũng được giới thiệu ở đó - lần lượt là sin, cos, tg và ctg.
Ví dụ: nếu ABC là tam giác vuông có góc vuông C thì sin của góc nhọn A bằng tỉ số giữa cạnh đối diện BC và cạnh huyền AB, tức là sin∠A=BC/AB.
Các định nghĩa này cho phép bạn tính các giá trị sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn từ độ dài đã biết của các cạnh của một tam giác vuông, cũng như từ giá trị đã biết tìm độ dài của các cạnh khác bằng cách sử dụng sin, cos, tiếp tuyến, côtang và độ dài của một trong các cạnh. Ví dụ: nếu chúng ta biết rằng trong một tam giác vuông, cạnh AC bằng 3 và cạnh huyền AB bằng 7, thì chúng ta có thể tính giá trị cosin của góc nhọn A theo định nghĩa: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Góc quay
Trong lượng giác, các em bắt đầu nhìn góc rộng hơn - các em đưa ra khái niệm góc quay. Độ lớn của góc quay, không giống như góc nhọn, không bị giới hạn từ 0 đến 90 độ; góc quay tính bằng độ (và tính bằng radian) có thể được biểu thị bằng bất kỳ số thực nào từ −∞ đến +∞.
Trong ánh sáng này, các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang được đưa ra không phải là một góc nhọn mà là một góc có kích thước tùy ý - góc quay. Chúng được cho thông qua tọa độ x và y của điểm A 1, mà cái gọi là điểm bắt đầu A(1, 0) đi sau khi nó quay một góc α quanh điểm O - điểm bắt đầu của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật và tâm của đường tròn đơn vị.
Sự định nghĩa.
Sin góc quayα là tọa độ của điểm A 1, nghĩa là sinα=y.
Sự định nghĩa.
Cosin của góc quayα được gọi là hoành độ của điểm A 1, nghĩa là cosα=x.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của góc quayα là tỷ số giữa tọa độ của điểm A 1 và hoành độ của nó, nghĩa là tanα=y/x.
Sự định nghĩa.
Cotang của góc quayα là tỉ số giữa hoành độ của điểm A 1 với tọa độ của nó, nghĩa là ctgα=x/y.
Sin và cosin được xác định cho bất kỳ góc α nào, vì chúng ta luôn có thể xác định hoành độ và tọa độ của điểm, điều này thu được bằng cách xoay điểm bắt đầu theo góc α. Nhưng tiếp tuyến và côtang không được xác định cho bất kỳ góc nào. Tiếp tuyến không được xác định cho các góc α mà tại đó điểm bắt đầu đi đến một điểm có trục hoành bằng 0 (0, 1) hoặc (0, −1), và điều này xảy ra ở các góc 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Thật vậy, ở những góc quay như vậy, biểu thức tgα=y/x không có ý nghĩa, vì nó chứa phép chia cho 0. Đối với cotang, nó không được xác định cho các góc α mà tại đó điểm bắt đầu đi đến điểm có tọa độ 0 (1, 0) hoặc (−1, 0), và điều này xảy ra đối với các góc 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Vì vậy, sin và cosin được xác định cho mọi góc quay, tiếp tuyến được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) và cotang được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Các định nghĩa bao gồm các ký hiệu mà chúng ta đã biết là sin, cos, tg và ctg, chúng cũng được sử dụng để chỉ sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay (đôi khi bạn có thể tìm thấy các ký hiệu tan và cot tương ứng với tiếp tuyến và cotang) . Vì vậy sin của một góc quay 30 độ có thể được viết là sin30°, các mục tg(−24°17′) và ctgα tương ứng với tang của góc quay −24 độ 17 phút và cotang của góc quay α . Hãy nhớ lại rằng khi viết số đo radian của một góc, ký hiệu “rad” thường bị bỏ qua. Ví dụ, cosin của góc quay bằng 3 pi rad thường được ký hiệu là cos3·π.
Để kết luận điểm này, điều cần lưu ý là khi nói về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của góc quay, cụm từ “góc quay” hoặc từ “xoay” thường bị lược bỏ. Nghĩa là, thay vì cụm từ “sin của góc quay alpha”, cụm từ “sin của góc alpha” hoặc thậm chí ngắn hơn, “sine alpha” thường được sử dụng. Điều tương tự cũng áp dụng cho cosine, tang và cotang.
Chúng ta cũng sẽ nói rằng các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong một tam giác vuông phù hợp với các định nghĩa vừa đưa ra cho sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc quay từ 0 đến 90 độ. Chúng tôi sẽ biện minh cho điều này.
số
Sự định nghĩa.
Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một số t là số bằng sin, cosin, tang và cotang của góc quay tính bằng t radian tương ứng.
Ví dụ, cosin của số 8 π theo định nghĩa là số bằng cosin góc 8·π rad. Và cosin của một góc 8·π rad bằng 1 nên cosin của số 8·π bằng 1.
Có một cách tiếp cận khác để xác định sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một số. Nó bao gồm thực tế là mỗi số thực t được liên kết với một điểm trên đường tròn đơn vị có tâm ở đầu. hệ thống hình chữ nhật tọa độ và sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được xác định thông qua tọa độ của điểm này. Hãy xem xét điều này chi tiết hơn.
Hãy để chúng tôi chỉ ra cách thiết lập sự tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn:
- số 0 được gán cho điểm bắt đầu A(1, 0);
- số dương t được liên kết với điểm của đường tròn đơn vị mà chúng ta sẽ tới nếu chúng ta di chuyển dọc theo đường tròn từ điểm bắt đầu theo hướng ngược chiều kim đồng hồ và chúng ta hãy đi trên con đường chiều dài t;
- số âm t được liên kết với điểm của đường tròn đơn vị mà chúng ta sẽ đạt được nếu chúng ta di chuyển dọc theo đường tròn từ điểm bắt đầu theo chiều kim đồng hồ và đi trên một đường có độ dài |t| .
Bây giờ chúng ta chuyển sang các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của số t. Giả sử số t tương ứng với một điểm trên đường tròn A 1 (x, y) (ví dụ: số &pi/2; tương ứng với điểm A 1 (0, 1)).
Sự định nghĩa.
Sin của số t là tọa độ của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, nghĩa là sint=y.
Sự định nghĩa.
Cosin của số t được gọi là hoành độ của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là cost=x.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của số t là tỉ số giữa tọa độ và hoành độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là tgt=y/x. Trong một công thức tương đương khác, tang của một số t là tỷ số của sin của số này với cosin, tức là tgt=sint/cost.
Sự định nghĩa.
Cotang của số t là tỉ số của trục hoành với tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là ctgt=x/y. Một công thức khác là: tang của số t là tỉ số giữa cosin của số t và sin của số t: ctgt=cost/sint.
Ở đây chúng tôi lưu ý rằng các định nghĩa vừa đưa ra nhất quán với định nghĩa được đưa ra ở đầu đoạn này. Thật vậy, điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t trùng với điểm thu được bằng cách quay điểm đầu một góc t radian.
Nó vẫn đáng để làm rõ điểm này. Giả sử chúng ta có mục sin3. Làm sao chúng ta có thể hiểu được chúng ta đang nói về sin của số 3 hay sin của góc quay 3 radian? Điều này thường rõ ràng từ bối cảnh, trong nếu không thìđiều này rất có thể không có tầm quan trọng cơ bản.
Hàm lượng giác của đối số góc và số
Theo số liệu ở đoạn trướcđịnh nghĩa, mỗi góc quay α tương ứng với một góc được xác định rõ giá trị tội lỗiα, giống như giá trị của cosα. Ngoài ra, tất cả các góc quay khác 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tương ứng với các giá trị tgα và các giá trị khác 180°k, k∈Z (πk rad ) – các giá trị của ctgα. Do đó sinα, cosα, tanα và ctgα là các hàm của góc α. Nói cách khác, đây là các hàm của đối số góc.
Chúng ta có thể nói tương tự về các hàm sin, cosin, tang và cotang của một đối số số. Thật vậy, mỗi số thực t tương ứng với một giá trị sint cũng như chi phí rất cụ thể. Ngoài ra, tất cả các số không phải π/2+π·k, k∈Z tương ứng với các giá trị tgt và các số π·k, k∈Z - giá trị ctgt.
Các hàm sin, cosin, tang và cotang được gọi là các hàm lượng giác cơ bản.
Thông thường, từ ngữ cảnh chúng ta sẽ thấy rõ liệu chúng ta đang xử lý các hàm lượng giác của một đối số góc hay một đối số số. Mặt khác, chúng ta có thể coi biến độc lập vừa là thước đo của góc (đối số góc) vừa là đối số số.
Tuy nhiên, ở trường họ chủ yếu học hàm số, nghĩa là các hàm có đối số, giống như các giá trị hàm tương ứng của chúng, là số. Vì vậy, nếu chúng ta đang nói cụ thể về hàm số thì nên coi hàm lượng giác là hàm của các đối số số.
Mối quan hệ giữa các định nghĩa từ hình học và lượng giác
Nếu chúng ta xem xét góc quay α nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ, thì các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay trong bối cảnh lượng giác là hoàn toàn phù hợp với các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong tam giác vuông đã được đưa ra trong môn hình học. Hãy biện minh cho điều này.
Hãy vẽ đường tròn đơn vị trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật Oxy. Hãy đánh dấu điểm bắt đầu A(1, 0) . Xoay nó một góc α trong khoảng từ 0 đến 90 độ, ta được điểm A 1 (x, y). Chúng ta thả đường vuông góc A 1 H từ điểm A 1 xuống trục Ox.
Dễ dàng nhận thấy trong một tam giác vuông, góc A 1 OH bằng góc quay α, độ dài cạnh OH kề góc này bằng trục hoành của điểm A 1, tức là |OH |=x, độ dài cạnh A 1 H đối diện với góc bằng tọa độ điểm A 1, tức là |A 1 H|=y, và độ dài cạnh huyền OA 1 bằng 1, vì nó là bán kính của đường tròn đơn vị. Khi đó, theo định nghĩa từ hình học, sin của góc nhọn α trong tam giác vuông A 1 OH bằng tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền, nghĩa là sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Và theo định nghĩa từ lượng giác, sin của góc quay α bằng tọa độ của điểm A 1, nghĩa là sinα=y. Điều này cho thấy việc xác định sin của một góc nhọn trong tam giác vuông tương đương với việc xác định sin của góc quay α khi α nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ.
Tương tự, có thể chứng minh rằng các định nghĩa về cosin, tiếp tuyến và cotang của góc nhọn α nhất quán với các định nghĩa về cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay α.
Tài liệu tham khảo.
- Hình học. lớp 7-9: sách giáo khoa cho giáo dục phổ thông tổ chức / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, v.v.]. - tái bản lần thứ 20. M.: Giáo dục, 2010. - 384 tr.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Hình học: Sách giáo khoa. cho lớp 7-9. giáo dục phổ thông tổ chức / A. V. Pogorelov. - Tái bản lần thứ 2 - M.: Education, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Đại số và hàm cơ bản : Hướng dẫn dành cho học sinh lớp 9 trường trung học/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Biên tập bởi Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học O. N. Golovin - tái bản lần thứ 4. M.: Giáo dục, 1969.
- Đại số: Sách giáo khoa cho lớp 9. trung bình trường học/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Giáo dục, 1990. - 272 trang: bệnh - ISBN 5-09-002727-7
- đại số và phần đầu của phân tích: Proc. cho lớp 10-11. giáo dục phổ thông tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - tái bản lần thứ 14 - M.: Giáo dục, 2004. - 384 trang: ốm - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A. G.Đại số và sự khởi đầu của phân tích. lớp 10. Lúc 2 giờ chiều Phần 1: hướng dẫn cơ sở giáo dục (cấp độ hồ sơ)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Tái bản lần thứ 4, bổ sung. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-00792-0.
- đại số và bắt đầu phân tích toán học. lớp 10: SGK. cho giáo dục phổ thông tổ chức: cơ bản và hồ sơ. cấp độ /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; được chỉnh sửa bởi A. B. Zhizhchenko. - tái bản lần thứ 3. - I.: Education, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmak M. I.Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Sách giáo khoa. cho lớp 10-11. trung bình trường học - tái bản lần thứ 3. - M.: Education, 1993. - 351 tr.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.