Chúng ta sẽ bắt đầu nghiên cứu lượng giác với tam giác vuông. Hãy xác định sin và cosin, cũng như tiếp tuyến và cotang là gì góc nhọn. Đây là những điều cơ bản của lượng giác.
Hãy để chúng tôi nhắc nhở bạn rằng góc vuông là một góc bằng 90 độ. Nói cách khác, một nửa góc quay.
Góc nhọn- dưới 90 độ.
góc tù- lớn hơn 90 độ. Khi áp dụng cho một góc độ như vậy, "nghiêng" không phải là một sự xúc phạm mà là một thuật ngữ toán học :-)
Hãy vẽ một hình tam giác vuông. Góc vuông thường được ký hiệu là . Xin lưu ý rằng cạnh đối diện với góc được biểu thị bằng cùng một chữ cái, chỉ nhỏ. Do đó, cạnh đối diện với góc A được gọi là .
Góc được biểu thị bằng ký hiệu tương ứng chữ cái Hy Lạp.
Cạnh huyền của một tam giác vuông là cạnh đối diện góc vuông.
chân- các cạnh đối diện với nhau là góc nhọn.
Chân nằm đối diện với góc gọi là đối diện(so với góc). Chân còn lại nằm trên một cạnh của góc được gọi là liền kề.
xoang góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số chân đối diệnđến cạnh huyền:
Cô sin góc nhọn trong tam giác vuông - tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền:
Đường tiếp tuyến góc nhọn trong tam giác vuông - tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh kề:
Một định nghĩa khác (tương đương): tiếp tuyến của một góc nhọn là tỉ số giữa sin của góc và cosin của nó:
cotang góc nhọn trong một tam giác vuông - tỷ lệ của cạnh liền kề với cạnh đối diện (hoặc, tương tự, tỷ lệ cosin với sin):
Lưu ý các mối quan hệ cơ bản của sin, cos, tang và cotang dưới đây. Chúng sẽ hữu ích cho chúng ta khi giải quyết vấn đề.
Hãy chứng minh một số trong số họ.
Được rồi, chúng tôi đã đưa ra định nghĩa và công thức viết ra. Nhưng tại sao chúng ta vẫn cần sin, cos, tang và cotang?
Chúng tôi biết điều đó tổng các góc của một tam giác đều bằng.
Chúng ta biết mối quan hệ giữa các bữa tiệc tam giác bên phải. Đây là định lý Pythagore: .
Hóa ra khi biết hai góc trong một tam giác, bạn có thể tìm được góc thứ ba. Biết hai cạnh của một tam giác vuông, bạn có thể tìm được cạnh thứ ba. Điều này có nghĩa là các góc có tỷ lệ riêng và các cạnh có tỷ lệ riêng. Nhưng bạn phải làm gì nếu trong một tam giác vuông bạn biết một góc (trừ góc vuông) và một cạnh nhưng cần tìm các cạnh còn lại?
Đây là điều mà người xưa đã gặp phải khi lập bản đồ khu vực và bầu trời đầy sao. Rốt cuộc, không phải lúc nào cũng có thể đo trực tiếp tất cả các cạnh của một tam giác.
Sin, cosin và tiếp tuyến - chúng còn được gọi là hàm số góc lượng giác- nêu mối quan hệ giữa các bữa tiệc Và góc tam giác. Biết góc độ, bạn có thể tìm thấy tất cả hàm lượng giác theo bảng đặc biệt. Và biết các sin, cosin và tiếp tuyến của các góc của một tam giác và một trong các cạnh của nó, bạn có thể tìm thấy phần còn lại.
Chúng ta cũng sẽ vẽ một bảng các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang cho các góc “tốt” từ đến.
Xin lưu ý hai dấu gạch ngang màu đỏ trong bảng. Ở các giá trị góc thích hợp, tiếp tuyến và cotang không tồn tại.
Chúng ta hãy xem xét một số bài toán lượng giác từ Ngân hàng Nhiệm vụ FIPI.
1. Trong một tam giác, góc là , . Tìm thấy .
Vấn đề được giải quyết trong bốn giây.
Từ , .
2. Trong một tam giác, góc là , , . Tìm thấy .
Hãy tìm nó bằng định lý Pythagore.
Vấn đề đã được giải quyết.
Thông thường trong các bài toán có các hình tam giác có góc và hoặc có góc và. Hãy ghi nhớ các tỷ lệ cơ bản cho chúng!
Đối với một tam giác có các góc và cạnh đối diện thì góc at bằng một nửa cạnh huyền.
Một tam giác có các góc và cân. Trong đó, cạnh huyền lớn hơn chân gấp nhiều lần.
Chúng tôi đã xem xét các vấn đề giải quyết các tam giác vuông - nghĩa là tìm các bên không xác định hoặc các góc. Nhưng đó không phải là tất cả! TRONG Tùy chọn bài kiểm tra trạng thái thống nhất Trong toán học có rất nhiều bài toán liên quan đến sin, cosin, tiếp tuyến hoặc cotang của góc ngoài của một tam giác. Thêm về điều này trong bài viết tiếp theo.
xoang góc nhọn α của tam giác vuông là tỉ số đối diện chân đến cạnh huyền.
Nó được ký hiệu như sau: sin α.
Cô sin Góc nhọn α của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền.
Nó được ký hiệu như sau: cos α.
Đường tiếp tuyến góc nhọn α là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
Nó được chỉ định như sau: tg α.
cotang góc nhọn α là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện.
Nó được chỉ định như sau: ctg α.
Sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.
Quy tắc:
Nền tảng nhận thức lượng giác trong một tam giác vuông:
(α - góc nhọn đối diện với chân b và liền kề với chân Một . Bên Với - cạnh huyền. β - góc nhọn thứ hai).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
Một | 1 | |
b | 1 | |
Một | 1 1 | |
tội lỗi α |
Khi góc nhọn tăngtội lỗi α vàtan α tăng, vàcos α giảm.
Với mọi góc nhọn α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Ví dụ-giải thích:
Cho tam giác vuông ABC
AB = 6,
BC = 3,
góc A = 30°.
Hãy tìm sin của góc A và cosin của góc B.
Giải pháp .
1) Đầu tiên, chúng ta tìm giá trị của góc B. Ở đây mọi thứ rất đơn giản: vì trong một tam giác vuông tổng các góc nhọn là 90° nên góc B = 60°:
B = 90° – 30° = 60°.
2) Hãy tính sin A. Chúng ta biết sin bằng tỷ lệ phía đối diện với cạnh huyền. Góc A có cạnh đối diện là cạnh BC. Vì thế:
TCN 3 1
tội lỗi A = -- = - = -
AB 6 2
3) Bây giờ hãy tính cos B. Chúng ta biết rằng cosin bằng tỉ số của cạnh kề với cạnh huyền. Đối với góc B thì cạnh kề cùng cạnh BC. Điều này có nghĩa là chúng ta lại cần chia BC cho AB - nghĩa là thực hiện các thao tác tương tự như khi tính sin góc A:
TCN 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Kết quả là:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30° = cos 60° = 1/2.
Từ đó suy ra rằng trong một tam giác vuông, sin của một góc nhọn là bằng cosin một góc nhọn khác - và ngược lại. Đây chính xác là ý nghĩa của hai công thức của chúng tôi:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Hãy đảm bảo điều này một lần nữa:
1) Cho α = 60°. Thay giá trị của α vào công thức sin, ta được:
tội lỗi (90° – 60°) = cos 60°.
sin 30° = cos 60°.
2) Cho α = 30°. Thay giá trị của α vào công thức cosine, chúng ta nhận được:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Để biết thêm thông tin về lượng giác, xem phần Đại số)
Lượng giác - phần khoa học toán học, khám phá các hàm lượng giác và cách sử dụng chúng trong hình học. Sự phát triển của lượng giác bắt đầu từ Hy Lạp cổ đại. Trong thời Trung cổ đóng góp quan trọng Các nhà khoa học từ Trung Đông và Ấn Độ đã đóng góp vào sự phát triển của ngành khoa học này.
Bài viết này được dành riêng cho khái niệm cơ bản và định nghĩa lượng giác. Nó thảo luận về các định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản: sin, cos, tiếp tuyến và cotang. Ý nghĩa của chúng được giải thích và minh họa trong bối cảnh hình học.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ban đầu, định nghĩa về các hàm lượng giác có đối số là một góc được biểu diễn dưới dạng tỉ số của các cạnh của một tam giác vuông.
Định nghĩa hàm lượng giác
Sin của một góc (sin α) là tỷ lệ giữa cạnh đối diện với góc này và cạnh huyền.
Cosine của góc (cos α) - tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền.
Góc tiếp tuyến (t g α) - tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh kề.
Góc cotang (c t g α) - tỷ lệ của cạnh kề với cạnh đối diện.
Những định nghĩa này được đưa ra cho góc nhọn của một tam giác vuông!
Hãy đưa ra một minh họa.
TRONG tam giác ABC góc vuông C thì sin của góc A bằng tỉ số giữa cạnh BC và cạnh huyền AB.
Các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang cho phép bạn tính giá trị của các hàm này từ độ dài đã biết của các cạnh của tam giác.
Điều quan trọng cần nhớ!
Phạm vi giá trị của sin và cosine là từ -1 đến 1. Nói cách khác, sin và cosine lấy các giá trị từ -1 đến 1. Phạm vi giá trị của tang và cotang là toàn bộ dãy số, nghĩa là các hàm này có thể nhận bất kỳ giá trị nào.
Các định nghĩa đưa ra ở trên áp dụng cho các góc nhọn. Trong lượng giác, khái niệm góc quay được đưa ra, giá trị của nó, không giống như góc nhọn, không bị giới hạn từ 0 đến 90 độ. Góc quay tính bằng độ hoặc radian được biểu thị bằng bất kỳ số thực nào từ - ∞ đến + ∞.
Trong bối cảnh này, chúng ta có thể định nghĩa sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc có độ lớn tùy ý. Chúng ta hãy tưởng tượng một đường tròn đơn vị có tâm ở gốc hệ tọa độ Descartes.
Điểm bắt đầu A có tọa độ (1, 0) được quay quanh tâm vòng tròn đơn vị tới một góc α nào đó và đi đến điểm A 1 . Định nghĩa được đưa ra theo tọa độ của điểm A 1 (x, y).
Sin (sin) của góc quay
Sin của góc quay α là tọa độ của điểm A 1 (x, y). tội lỗi α = y
Cosin (cos) của góc quay
Cosin của góc quay α là hoành độ của điểm A 1 (x, y). cos α = x
Tiếp tuyến (tg) của góc quay
Tiếp tuyến của góc quay α là tỉ số giữa tọa độ của điểm A 1 (x, y) với trục hoành của nó. t g α = y x
Cotang (ctg) của góc quay
Cotang của góc quay α là tỉ số giữa hoành độ của điểm A 1 (x, y) với tọa độ của nó. c tg α = x y
Sin và cosin được xác định cho bất kỳ góc quay nào. Điều này là hợp lý, bởi vì hoành độ và tọa độ của một điểm sau khi quay có thể được xác định ở bất kỳ góc nào. Tình hình là khác nhau với tiếp tuyến và cotang. Tiếp tuyến không được xác định khi một điểm sau khi quay đi đến một điểm có hoành độ bằng 0 (0, 1) và (0, - 1). Trong những trường hợp như vậy, biểu thức của tiếp tuyến t g α = y x đơn giản là không có ý nghĩa, vì nó chứa phép chia cho 0. Tình hình cũng tương tự với cotang. Sự khác biệt là cotang không được xác định trong trường hợp tọa độ của một điểm bằng 0.
Điều quan trọng cần nhớ!
Sin và cosin được xác định cho mọi góc α.
Tiếp tuyến được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Cotang được xác định cho mọi góc ngoại trừ α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Khi quyết định ví dụ thực tếđừng nói "sin của góc quay α". Cụm từ “góc quay” đơn giản được lược bỏ, ngụ ý rằng bối cảnh đang thảo luận đã rõ ràng điều gì đang được thảo luận.
số
Còn việc xác định sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một số thay vì góc quay thì sao?
Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang của một số
Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một số t là một số tương ứng bằng sin, cos, tiếp tuyến và cotang trong t radian.
Ví dụ, sin của số 10 π bằng sin của góc quay 10 π rad.
Có một cách tiếp cận khác để xác định sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một số. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về nó.
Bất cứ ai số thực t một điểm trên đường tròn đơn vị được liên kết với tâm tại gốc của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật. Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được xác định thông qua tọa độ của điểm này.
Điểm bắt đầu trên đường tròn là điểm A có tọa độ (1, 0).
số dương t
Số âm t tương ứng với điểm mà điểm bắt đầu sẽ đi tới nếu nó di chuyển quanh vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ và sẽ đi con đường t.
Bây giờ mối liên hệ giữa một số và một điểm trên đường tròn đã được thiết lập, chúng ta chuyển sang định nghĩa sin, cos, tiếp tuyến và cotang.
Sin (tội lỗi) của t
Sin của một số t- tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t. tội lỗi t = y
Cosin (cos) của t
Cosin của một số t- hoành độ của điểm của vòng tròn đơn vị tương ứng với số t. cos t = x
Tiếp tuyến (tg) của t
Tiếp tuyến của một số t- tỉ số giữa tọa độ và hoành độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t. t g t = y x = sin t cos t
Các định nghĩa mới nhất phù hợp và không mâu thuẫn với định nghĩa được đưa ra ở đầu đoạn này. Một điểm trên đường tròn tương ứng với số t, trùng với điểm mà điểm xuất phát đi tới sau khi quay một góc t radian.
Hàm lượng giác của đối số góc và số
Mỗi giá trị của góc α tương ứng với giá trị cụ thể sin và cosin của góc này. Cũng giống như tất cả các góc α khác với α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) đều tương ứng với một giá trị tiếp tuyến nhất định. Cotang, như đã nêu ở trên, được xác định cho mọi α ngoại trừ α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Chúng ta có thể nói rằng sin α, cos α, t g α, c t g α là các hàm của góc alpha hoặc các hàm của đối số góc.
Tương tự, chúng ta có thể coi sin, cos, tang và cotang là các hàm đối số số. Mỗi số thực t tương ứng với một giá trị nhất định của sin hoặc cosin của một số t. Tất cả các số không phải π 2 + π · k, k ∈ Z, đều tương ứng với một giá trị tiếp tuyến. Tương tự, cotang được xác định cho tất cả các số ngoại trừ π · k, k ∈ Z.
Các hàm cơ bản của lượng giác
Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là các hàm lượng giác cơ bản.
Trong ngữ cảnh, chúng ta thường thấy rõ đối số nào của hàm lượng giác (đối số góc hoặc đối số số) mà chúng ta đang xử lý.
Chúng ta hãy quay lại các định nghĩa được đưa ra ở phần đầu và góc alpha, nằm trong phạm vi từ 0 đến 90 độ. định nghĩa lượng giác sin, cosin, tiếp tuyến và cotang hoàn toàn phù hợp với định nghĩa hình học, được cho bằng cách sử dụng các tỷ lệ khung hình của một tam giác vuông. Hãy thể hiện nó.
Lấy một đường tròn đơn vị có tâm là hình chữ nhật Hệ thống Descartes tọa độ Hãy xoay điểm bắt đầu A (1, 0) một góc lên tới 90 độ và vẽ một đường vuông góc với trục hoành từ điểm thu được A 1 (x, y). Trong tam giác vuông thu được, góc A 1 O H bằng góc quay α, độ dài chân OH bằng hoành độ của điểm A 1 (x, y). Độ dài của cạnh đối diện với góc bằng tọa độ của điểm A 1 (x, y), và độ dài cạnh huyền bằng 1, vì nó là bán kính của đường tròn đơn vị.
Theo định nghĩa từ hình học, sin của góc α bằng tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền.
tội lỗi α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Điều này có nghĩa là việc xác định sin của một góc nhọn trong tam giác vuông thông qua tỷ lệ khung hình tương đương với việc xác định sin của góc quay α, với alpha nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ.
Tương tự, sự tương ứng của các định nghĩa có thể được biểu diễn cho cosine, tang và cotang.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Trong bài viết này chúng tôi sẽ hướng dẫn cách cung cấp Định nghĩa sin, cosin, tang, cotang của góc và số trong lượng giác. Ở đây chúng ta sẽ nói về các ký hiệu, đưa ra ví dụ về các mục và đưa ra hình ảnh minh họa. Để kết luận, chúng ta hãy so sánh các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang trong lượng giác và hình học.
Điều hướng trang.
Định nghĩa sin, cos, tiếp tuyến và cotang
Chúng ta hãy xem ý tưởng về sin, cos, tiếp tuyến và cotang được hình thành như thế nào trong khóa học toán học. Trong các bài học hình học, đưa ra định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và côtang của góc nhọn trong tam giác vuông. Và lượng giác sau này được nghiên cứu, trong đó nói về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của góc quay và số. Hãy để chúng tôi trình bày tất cả các định nghĩa này, đưa ra ví dụ và đưa ra những nhận xét cần thiết.
Góc nhọn trong tam giác vuông
Từ môn học hình học, chúng ta biết các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong một tam giác vuông. Chúng được cho dưới dạng tỷ lệ của các cạnh của một tam giác vuông. Hãy để chúng tôi đưa ra công thức của họ.
Sự định nghĩa.
Sin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số của cạnh đối diện với cạnh huyền.
Sự định nghĩa.
Cosin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của góc nhọn trong tam giác vuông- đây là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
Sự định nghĩa.
Cotang của góc nhọn trong tam giác vuông- đây là tỷ lệ của cạnh liền kề với cạnh đối diện.
Các ký hiệu cho sin, cos, tiếp tuyến và cotang cũng được giới thiệu ở đó - lần lượt là sin, cos, tg và ctg.
Ví dụ: nếu ABC là tam giác vuông có góc vuông C thì sin của góc nhọn A bằng tỉ số giữa cạnh đối diện BC và cạnh huyền AB, tức là sin∠A=BC/AB.
Các định nghĩa này cho phép bạn tính các giá trị sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn từ độ dài đã biết của các cạnh của một tam giác vuông, cũng như từ giá trị đã biết tìm độ dài của các cạnh khác bằng cách sử dụng sin, cos, tiếp tuyến, côtang và độ dài của một trong các cạnh. Ví dụ: nếu chúng ta biết rằng trong một tam giác vuông, cạnh AC bằng 3 và cạnh huyền AB bằng 7, thì chúng ta có thể tính giá trị cosin của góc nhọn A theo định nghĩa: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Góc quay
Trong lượng giác, các em bắt đầu nhìn góc rộng hơn - các em đưa ra khái niệm góc quay. Độ lớn của góc quay, không giống như góc nhọn, không bị giới hạn từ 0 đến 90 độ; góc quay tính bằng độ (và tính bằng radian) có thể được biểu thị bằng bất kỳ số thực nào từ −∞ đến +∞.
Trong ánh sáng này, các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang được đưa ra không phải là một góc nhọn mà là một góc có kích thước tùy ý - góc quay. Chúng được cho thông qua tọa độ x và y của điểm A 1, mà cái gọi là điểm bắt đầu A(1, 0) đi sau khi nó quay một góc α quanh điểm O - điểm bắt đầu của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật và tâm của đường tròn đơn vị.
Sự định nghĩa.
Sin góc quayα là tọa độ của điểm A 1, nghĩa là sinα=y.
Sự định nghĩa.
Cosin của góc quayα được gọi là hoành độ của điểm A 1, nghĩa là cosα=x.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của góc quayα là tỷ số giữa tọa độ của điểm A 1 và hoành độ của nó, nghĩa là tanα=y/x.
Sự định nghĩa.
Cotang của góc quayα là tỉ số giữa hoành độ của điểm A 1 với tọa độ của nó, nghĩa là ctgα=x/y.
Sin và cosin được xác định cho bất kỳ góc α nào, vì chúng ta luôn có thể xác định hoành độ và tọa độ của điểm, điều này thu được bằng cách xoay điểm bắt đầu theo góc α. Nhưng tiếp tuyến và côtang không được xác định cho bất kỳ góc nào. Tiếp tuyến không được xác định cho các góc α mà tại đó điểm bắt đầu đi đến một điểm có trục hoành bằng 0 (0, 1) hoặc (0, −1), và điều này xảy ra ở các góc 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Thật vậy, ở những góc quay như vậy, biểu thức tgα=y/x không có ý nghĩa, vì nó chứa phép chia cho 0. Đối với cotang, nó không được xác định cho các góc α mà tại đó điểm bắt đầu đi đến điểm có tọa độ 0 (1, 0) hoặc (−1, 0), và điều này xảy ra đối với các góc 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Vì vậy, sin và cosin được xác định cho mọi góc quay, tiếp tuyến được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) và cotang được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Các định nghĩa bao gồm các ký hiệu mà chúng ta đã biết là sin, cos, tg và ctg, chúng cũng được sử dụng để chỉ sin, cos, tiếp tuyến và cotang của góc quay (đôi khi bạn có thể tìm thấy các ký hiệu tan và cot tương ứng với tiếp tuyến và cotang) . Vì vậy sin của một góc quay 30 độ có thể được viết là sin30°, các mục tg(−24°17′) và ctgα tương ứng với tang của góc quay −24 độ 17 phút và cotang của góc quay α . Hãy nhớ lại rằng khi viết số đo radian của một góc, ký hiệu “rad” thường bị bỏ qua. Ví dụ, cosin của góc quay bằng 3 pi rad thường được ký hiệu là cos3·π.
Để kết luận điểm này, điều cần lưu ý là khi nói về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của góc quay, cụm từ “góc quay” hoặc từ “xoay” thường bị lược bỏ. Nghĩa là, thay vì cụm từ “sin của góc quay alpha”, cụm từ “sin của góc alpha” hoặc thậm chí ngắn hơn, “sine alpha” thường được sử dụng. Điều tương tự cũng áp dụng cho cosine, tang và cotang.
Chúng ta cũng sẽ nói rằng các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong một tam giác vuông phù hợp với các định nghĩa vừa đưa ra cho sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc quay từ 0 đến 90 độ. Chúng tôi sẽ biện minh cho điều này.
số
Sự định nghĩa.
Sin, cosin, tang và cotang của một số t là số bằng sin, cosin, tang và cotang của góc quay tính bằng t radian tương ứng.
Ví dụ, cosin của số 8 π theo định nghĩa là số bằng cosin góc 8·π rad. Và cosin của góc là 8 π rad bằng một, do đó, cosin của số 8·π bằng 1.
Có một cách tiếp cận khác để xác định sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một số. Nó bao gồm thực tế là mỗi số thực t được liên kết với một điểm trên đường tròn đơn vị có tâm ở đầu. hệ thống hình chữ nhật tọa độ và sin, cos, tiếp tuyến và côtang được xác định thông qua tọa độ của điểm này. Hãy xem xét điều này chi tiết hơn.
Hãy để chúng tôi chỉ ra cách thiết lập sự tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn:
- số 0 được gán cho điểm bắt đầu A(1, 0);
- số dương t được liên kết với điểm trên đường tròn đơn vị mà chúng ta sẽ đến nếu chúng ta di chuyển dọc theo đường tròn từ điểm bắt đầu theo hướng ngược chiều kim đồng hồ và chúng ta hãy đi trên con đường chiều dài t;
- số âm t được liên kết với điểm của đường tròn đơn vị mà chúng ta sẽ đạt được nếu chúng ta di chuyển dọc theo đường tròn từ điểm bắt đầu theo chiều kim đồng hồ và đi trên một đường có độ dài |t| .
Bây giờ chúng ta chuyển sang các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của số t. Giả sử số t tương ứng với một điểm trên đường tròn A 1 (x, y) (ví dụ: số &pi/2; tương ứng với điểm A 1 (0, 1)).
Sự định nghĩa.
Sin của số t là tọa độ của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, nghĩa là sint=y.
Sự định nghĩa.
Cosin của số t được gọi là hoành độ của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là cost=x.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của số t là tỉ số giữa tọa độ và hoành độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là tgt=y/x. Trong một công thức tương đương khác, tang của một số t là tỷ số của sin của số này với cosin, tức là tgt=sint/cost.
Sự định nghĩa.
Cotang của số t là tỉ số của trục hoành với tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là ctgt=x/y. Một công thức khác là: tang của số t là tỉ số giữa cosin của số t và sin của số t: ctgt=cost/sint.
Ở đây chúng tôi lưu ý rằng các định nghĩa vừa đưa ra nhất quán với định nghĩa được đưa ra ở đầu đoạn này. Thật vậy, điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t trùng với điểm thu được bằng cách quay điểm đầu một góc t radian.
Nó vẫn đáng để làm rõ điểm này. Giả sử chúng ta có mục sin3. Làm sao chúng ta có thể hiểu được chúng ta đang nói về sin của số 3 hay sin của góc quay 3 radian? Điều này thường rõ ràng từ bối cảnh, trong nếu không thìđiều này rất có thể không có tầm quan trọng cơ bản.
Hàm lượng giác của đối số góc và số
Theo số liệu ở đoạn trướcđịnh nghĩa, mỗi góc quay α tương ứng với một góc được xác định rõ giá trị tội lỗiα, giống như giá trị của cosα. Ngoài ra, tất cả các góc quay khác 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tương ứng với các giá trị tgα và các giá trị khác 180°k, k∈Z (πk rad ) – các giá trị của ctgα. Do đó sinα, cosα, tanα và ctgα là các hàm của góc α. Nói cách khác, đây là các hàm của đối số góc.
Chúng ta có thể nói tương tự về các hàm sin, cos, tang và cotang của một đối số số. Thật vậy, mỗi số thực t tương ứng với một giá trị sint cũng như chi phí rất cụ thể. Ngoài ra, tất cả các số không phải π/2+π·k, k∈Z tương ứng với các giá trị tgt và các số π·k, k∈Z - giá trị ctgt.
Các hàm sin, cosin, tang và cotang được gọi là các hàm lượng giác cơ bản.
Thông thường, từ ngữ cảnh chúng ta sẽ thấy rõ liệu chúng ta đang xử lý các hàm lượng giác của một đối số góc hay một đối số số. Mặt khác, chúng ta có thể coi biến độc lập vừa là thước đo của góc (đối số góc) vừa là đối số số.
Tuy nhiên, ở trường họ chủ yếu học hàm số, nghĩa là các hàm có đối số, giống như các giá trị hàm tương ứng, là số. Vì vậy, nếu chúng ta đang nói về Riêng về hàm số, nên coi hàm lượng giác là hàm của đối số.
Mối quan hệ giữa các định nghĩa từ hình học và lượng giác
Nếu chúng ta xem xét góc quay α nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ, thì các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay trong bối cảnh lượng giác là hoàn toàn phù hợp với các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong tam giác vuông đã được đưa ra trong môn hình học. Hãy biện minh cho điều này.
Hãy vẽ đường tròn đơn vị trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật Oxy. Hãy đánh dấu điểm bắt đầu A(1, 0) . Xoay nó một góc α trong khoảng từ 0 đến 90 độ, ta được điểm A 1 (x, y). Chúng ta thả đường vuông góc A 1 H từ điểm A 1 xuống trục Ox.
Dễ dàng nhận thấy trong một tam giác vuông, góc A 1 OH bằng góc quay α, độ dài cạnh OH kề góc này bằng trục hoành của điểm A 1, tức là |OH |=x, độ dài cạnh A 1 H đối diện với góc bằng tọa độ điểm A 1, tức là |A 1 H|=y, và độ dài cạnh huyền OA 1 bằng 1, vì nó là bán kính của đường tròn đơn vị. Khi đó, theo định nghĩa từ hình học, sin của góc nhọn α trong tam giác vuông A 1 OH bằng tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền, nghĩa là sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Và theo định nghĩa từ lượng giác, sin của góc quay α bằng tọa độ của điểm A 1, nghĩa là sinα=y. Điều này cho thấy việc xác định sin của một góc nhọn trong tam giác vuông tương đương với việc xác định sin của góc quay α khi α nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ.
Tương tự, có thể chứng minh rằng các định nghĩa về cosin, tiếp tuyến và cotang của góc nhọn α nhất quán với các định nghĩa về cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay α.
Tài liệu tham khảo.
- Hình học. lớp 7-9: sách giáo khoa cho giáo dục phổ thông tổ chức / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, v.v.]. - tái bản lần thứ 20. M.: Giáo dục, 2010. - 384 tr.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Hình học: Sách giáo khoa. cho lớp 7-9. giáo dục phổ thông tổ chức / A. V. Pogorelov. - Tái bản lần thứ 2 - M.: Education, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Đại số và hàm cơ bản : Hướng dẫn dành cho học sinh lớp 9 trường trung học/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Biên tập bởi Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học O. N. Golovin - tái bản lần thứ 4. M.: Giáo dục, 1969.
- Đại số: Sách giáo khoa cho lớp 9. trung bình trường học/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Giáo dục, 1990. - 272 trang: bệnh - ISBN 5-09-002727-7
- đại số và phần đầu của phân tích: Proc. cho lớp 10-11. giáo dục phổ thông tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - tái bản lần thứ 14 - M.: Giáo dục, 2004. - 384 trang: ốm - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A. G.Đại số và sự khởi đầu của phân tích. lớp 10. Lúc 2 giờ chiều Phần 1: hướng dẫn cơ sở giáo dục (cấp độ hồ sơ)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Tái bản lần thứ 4, bổ sung. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-00792-0.
- đại số và bắt đầu phân tích toán học. lớp 10: SGK. cho giáo dục phổ thông tổ chức: cơ bản và hồ sơ. cấp độ /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; được chỉnh sửa bởi A. B. Zhizhchenko. - tái bản lần thứ 3. - I.: Education, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmak M. I.Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Sách giáo khoa. cho lớp 10-11. trung bình trường học - tái bản lần thứ 3. - M.: Education, 1993. - 351 tr.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.
Trình độ trung cấp
Tam giác bên phải. Hướng dẫn minh họa đầy đủ (2019)
TAM GIÁC CHỮ NHẬT. CẤP ĐẦU VÀO.
Trong các bài toán, góc vuông hoàn toàn không cần thiết - góc dưới bên trái, vì vậy bạn cần học cách nhận biết tam giác vuông ở dạng này,
và trong này
và trong này 
Điều gì tốt về một tam giác vuông? À... trước hết, có những điều đặc biệt tên đẹp cho phe của mình.
Chú ý đến bản vẽ!
Hãy nhớ và đừng nhầm lẫn: có hai chân và chỉ có một cạnh huyền(một và duy nhất, duy nhất và dài nhất)!
Chà, chúng ta đã thảo luận về những cái tên, bây giờ là điều quan trọng nhất: Định lý Pythagore.
Định lý Pythagore.
Định lý này là chìa khóa để giải nhiều bài toán liên quan đến tam giác vuông. Pythagoras đã chứng minh điều đó một cách hoàn toàn thời xa xưa, và kể từ đó cô ấy đã mang lại rất nhiều lợi ích cho những người biết đến cô ấy. Và điều tốt nhất về nó là nó rất đơn giản.
Vì thế, Định lý Pythagore:
Bạn có nhớ câu nói đùa: “Quần Pythagore các bên đều bình đẳng!” không?
Hãy vẽ những chiếc quần Pythagore tương tự này và quan sát chúng. 
Trông nó không giống một loại quần short nào đó sao? Chà, ở bên nào và chúng bằng nhau ở đâu? Tại sao và trò đùa đến từ đâu? Và trò đùa này có liên quan chính xác đến định lý Pythagore, hay chính xác hơn là với cách chính Pythagoras xây dựng định lý của mình. Và anh ấy đã xây dựng nó như thế này:
"Tổng diện tích hình vuông, được xây dựng trên chân, bằng diện tích hình vuông, được xây dựng trên cạnh huyền."
Nó thực sự nghe có vẻ hơi khác một chút? Và vì vậy, khi Pythagoras vẽ ra phát biểu về định lý của mình, đây chính xác là bức tranh hiện ra.
Trong hình này, tổng diện tích của các hình vuông nhỏ bằng diện tích của hình vuông lớn. Và để trẻ có thể nhớ rõ hơn rằng tổng bình phương của hai chân bằng bình phương cạnh huyền, một người nào đó đã hóm hỉnh nghĩ ra trò đùa về chiếc quần Pythagore này.
Tại sao bây giờ chúng ta đang xây dựng định lý Pythagore?
Pythagoras có đau khổ và nói về hình vuông không?
Bạn thấy đấy, thời cổ đại không có... đại số! Không có dấu hiệu nào và vân vân. Không có chữ khắc. Bạn có thể tưởng tượng được việc những học sinh cổ đại tội nghiệp có thể ghi nhớ mọi thứ bằng lời sẽ khủng khiếp đến thế nào không??! Và chúng ta có thể vui mừng vì đã có được một công thức đơn giản của định lý Pythagore. Hãy lặp lại lần nữa để ghi nhớ tốt hơn:
Bây giờ nó sẽ dễ dàng:
| Bình phương cạnh huyền bằng tổng hình vuông của chân. |
Vâng, định lý quan trọng nhất về tam giác vuông đã được thảo luận. Nếu bạn quan tâm đến cách nó được chứng minh, hãy đọc các cấp độ lý thuyết sau đây và bây giờ chúng ta hãy chuyển sang... rừng tối... lượng giác! Với những từ khủng khiếp sin, cosin, tang và cotang.
Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông.
Trên thực tế, mọi thứ không quá đáng sợ chút nào. Tất nhiên, định nghĩa “thực tế” của sin, cos, tiếp tuyến và cotang nên được xem xét trong bài viết. Nhưng tôi thực sự không muốn, phải không? Chúng ta có thể vui mừng: để giải các bài toán về tam giác vuông, bạn chỉ cần điền vào những điều đơn giản sau:
Tại sao mọi thứ chỉ ở góc? Góc ở đâu? Để hiểu điều này, bạn cần biết các câu 1 - 4 được viết bằng chữ như thế nào. Hãy nhìn, hiểu và ghi nhớ!
1.
Trên thực tế nó có vẻ như thế này:
Còn góc thì sao? Có một chân đối diện với góc, tức là một chân đối diện (đối với một góc)? Tất nhiên là có! Đây là một cái chân!
Còn góc thì sao? Hãy nhìn cẩn thận. Chân nào tiếp giáp với góc? Tất nhiên là chân. Điều này có nghĩa là đối với góc thì chân liền kề và
Bây giờ, hãy chú ý! Hãy xem chúng ta có gì:
Hãy xem nó tuyệt vời thế nào:
Bây giờ chúng ta chuyển sang tiếp tuyến và cotang.
Làm sao tôi có thể viết điều này ra bằng lời bây giờ? Chân liên quan đến góc như thế nào? Tất nhiên là đối diện - nó “nằm” đối diện với góc. Còn chân thì sao? Liền kề góc. Vậy chúng ta có gì?
Hãy xem tử số và mẫu số đã đổi chỗ cho nhau như thế nào?
Và bây giờ các góc lại và thực hiện một cuộc trao đổi:
Bản tóm tắt
Hãy viết ngắn gọn tất cả những gì chúng ta đã học được.
 |
Định lý Pythagore: |
Định lý chính về tam giác vuông là định lý Pythagore.
định lý Pythagore
Nhân tiện, bạn có nhớ rõ chân và cạnh huyền là gì không? Nếu chưa hay thì xem hình - ôn lại kiến thức
Rất có thể bạn đã sử dụng định lý Pythagore nhiều lần, nhưng bạn có bao giờ tự hỏi tại sao định lý đó lại đúng không? Làm thế nào tôi có thể chứng minh điều đó? Hãy làm như người Hy Lạp cổ đại. Hãy vẽ một hình vuông có một cạnh.
Hãy xem chúng tôi đã khéo léo chia các cạnh của nó thành các đoạn có độ dài như thế nào và!
Bây giờ hãy kết nối các dấu chấm được đánh dấu
Tuy nhiên, ở đây chúng tôi đã lưu ý một điều khác, nhưng chính bạn hãy nhìn vào bức vẽ và nghĩ tại sao lại như vậy.
Diện tích bằng bao nhiêu? hình vuông lớn hơn? Phải, . Diện tích nhỏ hơn thì sao? Chắc chắn, . Tổng diện tích của bốn góc vẫn còn. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta lấy hai cái cùng một lúc và tựa chúng vào nhau bằng cạnh huyền. Chuyện gì đã xảy ra thế? Hai hình chữ nhật. Điều này có nghĩa là diện tích của các “vết cắt” bằng nhau.
Bây giờ chúng ta hãy đặt tất cả lại với nhau.
Hãy biến đổi:
Vì vậy, chúng tôi đã đến thăm Pythagoras - chúng tôi đã chứng minh định lý của ông ấy theo cách cổ xưa.
Tam giác vuông và lượng giác
Đối với một tam giác vuông, các mối quan hệ sau giữ:
Sin của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền
Cosin của một góc nhọn bằng tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền.
Tiếp tuyến của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
Cotang của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện.
Và một lần nữa tất cả điều này ở dạng máy tính bảng:
Nó rất thuận tiện!
Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông
I. Ở hai bên
II. Bằng chân và cạnh huyền
III. Bằng cạnh huyền và góc nhọn
IV. Dọc theo chân và góc nhọn
Một) 
b) 
Chú ý! Điều rất quan trọng ở đây là đôi chân phải “phù hợp”. Ví dụ: nếu nó diễn ra như thế này:
THÌ TAM GIÁC KHÔNG BẰNG, mặc dù thực tế là chúng có một góc nhọn giống hệt nhau.
Điều cần thiết là trong cả hai hình tam giác, chân liền kề hoặc trong cả hai hình tam giác thì chân đối diện.
Bạn có nhận thấy dấu bằng của các tam giác vuông khác với dấu bằng của các tam giác vuông thông thường như thế nào không? Nhìn vào chủ đề “và chú ý đến thực tế là để các tam giác “bình thường” bằng nhau, ba phần tử của chúng phải bằng nhau: hai cạnh và góc giữa chúng, hai góc và cạnh giữa chúng, hoặc ba cạnh. Nhưng để tam giác vuông bằng nhau thì chỉ cần hai phần tử tương ứng là đủ. Tuyệt vời phải không?
Tình hình cũng gần tương tự với dấu tương tự của các tam giác vuông.
Dấu hiệu tương tự của tam giác vuông
I. Dọc theo góc nhọn
II. Ở hai bên
III. Bằng chân và cạnh huyền
Đường trung bình trong tam giác vuông
Tại sao lại như vậy?
Thay vì một hình tam giác vuông, hãy xem xét toàn bộ hình chữ nhật.
Hãy vẽ một đường chéo và xem xét một điểm - điểm giao nhau của các đường chéo. Bạn biết gì về các đường chéo của hình chữ nhật?
Và điều gì xảy ra sau đó?
Hóa ra là thế
- - trung vị:
Hãy nhớ sự thật này! Giúp ích rất nhiều!
Điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là điều ngược lại cũng đúng.
Có thể thu được điều gì tốt từ việc đường trung tuyến kéo vào cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền? Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh
Hãy nhìn cẩn thận. Chúng ta có: , tức là khoảng cách từ điểm đến cả ba đỉnh của tam giác hóa ra bằng nhau. Nhưng chỉ có một điểm trong tam giác, có khoảng cách từ đó đến cả ba đỉnh của tam giác đều bằng nhau và đây là TRUNG TÂM CỦA VÒNG TRÒN. Vậy chuyện gì đã xảy ra?
Vậy hãy bắt đầu với từ “ngoài ra…” này.
Chúng ta hãy nhìn vào và.
Nhưng tam giác đồng dạng mọi góc độ đều bằng nhau!
Điều tương tự cũng có thể nói về và
Bây giờ chúng ta hãy vẽ nó lại với nhau:
Lợi ích gì có thể được rút ra từ sự giống nhau “bộ ba” này?
Vâng, ví dụ - hai công thức tính chiều cao của tam giác vuông.
Chúng ta hãy viết ra mối quan hệ của các bên tương ứng:
Để tìm chiều cao, chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức đầu tiên "Chiều cao trong tam giác vuông":
Vì vậy, hãy áp dụng sự tương tự: .
Điều gì sẽ xảy ra bây giờ?
Một lần nữa chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức thứ hai:
Bạn cần phải nhớ thật kỹ cả hai công thức này và sử dụng công thức nào thuận tiện hơn. Hãy viết chúng lại lần nữa
Định lý Pythagore:
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông: .
Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông:
- ở hai phía:
- bằng chân và cạnh huyền: hoặc
- dọc theo chân và góc nhọn liền kề: hoặc
- dọc theo chân và góc nhọn đối diện: hoặc
- bởi cạnh huyền và góc nhọn: hoặc.
Dấu hiệu đồng dạng của tam giác vuông:
- một góc nhọn: hoặc
- từ tỷ lệ của hai chân:
- từ tỷ lệ của chân và cạnh huyền: hoặc.
Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông
- Sin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền:
- Cosin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền:
- Tiếp tuyến của góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh kề:
- Cotang của góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện: .
Chiều cao của một tam giác vuông: hoặc.
Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến vẽ từ đỉnh của góc vuông bằng một nửa cạnh huyền: .
Diện tích của một tam giác vuông:
- qua chân: