Trong bài viết này chúng tôi sẽ hướng dẫn cách cung cấp Định nghĩa sin, cosin, tang, cotang của góc và số trong lượng giác. Ở đây chúng ta sẽ nói về các ký hiệu, đưa ra ví dụ về các mục và đưa ra hình ảnh minh họa. Để kết luận, chúng ta hãy so sánh các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang trong lượng giác và hình học.
Điều hướng trang.
Định nghĩa sin, cos, tiếp tuyến và cotang
Chúng ta hãy xem ý tưởng về sin, cos, tiếp tuyến và cotang được hình thành như thế nào trong một khóa học toán ở trường. Trong các bài học hình học, đưa ra định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của góc nhọn trong tam giác vuông. Và lượng giác sau này được nghiên cứu, trong đó nói về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của góc quay và số. Hãy để chúng tôi trình bày tất cả các định nghĩa này, đưa ra ví dụ và đưa ra những nhận xét cần thiết.
Góc nhọn trong tam giác vuông
Từ môn học hình học, chúng ta biết các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong một tam giác vuông. Chúng được đưa ra dưới dạng tỷ lệ của các cạnh của một tam giác vuông. Hãy để chúng tôi đưa ra công thức của họ.
Sự định nghĩa.
Sin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số của cạnh đối diện với cạnh huyền.
Sự định nghĩa.
Cosin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của góc nhọn trong tam giác vuông- đây là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
Sự định nghĩa.
Cotang của góc nhọn trong tam giác vuông- đây là tỷ lệ của cạnh liền kề với cạnh đối diện.
Các ký hiệu cho sin, cos, tiếp tuyến và cotang cũng được giới thiệu ở đó - lần lượt là sin, cos, tg và ctg.
Ví dụ: nếu ABC là tam giác vuông có góc vuông C thì sin của góc nhọn A bằng tỉ số giữa cạnh đối diện BC và cạnh huyền AB, tức là sin∠A=BC/AB.
Các định nghĩa này cho phép bạn tính các giá trị sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn từ độ dài đã biết của các cạnh của một tam giác vuông, cũng như từ các giá trị đã biết của sin, cosin, tiếp tuyến, cotang và độ dài của một cạnh để tìm độ dài của cạnh còn lại. Ví dụ: nếu chúng ta biết rằng trong một tam giác vuông, cạnh AC bằng 3 và cạnh huyền AB bằng 7, thì chúng ta có thể tính giá trị cosin của góc nhọn A theo định nghĩa: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Góc quay
Trong lượng giác, các em bắt đầu nhìn góc rộng hơn - các em đưa ra khái niệm góc quay. Độ lớn của góc quay, không giống như góc nhọn, không bị giới hạn từ 0 đến 90 độ; góc quay tính bằng độ (và tính bằng radian) có thể được biểu thị bằng bất kỳ số thực nào từ −∞ đến +∞.
Trong ánh sáng này, các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang được đưa ra không phải là một góc nhọn mà là một góc có kích thước tùy ý - góc quay. Chúng được cho thông qua tọa độ x và y của điểm A 1, mà cái gọi là điểm bắt đầu A(1, 0) đi sau khi nó quay một góc α quanh điểm O - điểm bắt đầu của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật và tâm của đường tròn đơn vị.
Sự định nghĩa.
Sin góc quayα là tọa độ của điểm A 1, nghĩa là sinα=y.
Sự định nghĩa.
Cosin của góc quayα được gọi là hoành độ của điểm A 1, nghĩa là cosα=x.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của góc quayα là tỷ số giữa tọa độ của điểm A 1 và hoành độ của nó, nghĩa là tanα=y/x.
Sự định nghĩa.
Cotang của góc quayα là tỉ số giữa hoành độ của điểm A 1 với tọa độ của nó, nghĩa là ctgα=x/y.
Sin và cosin được xác định cho bất kỳ góc α nào, vì chúng ta luôn có thể xác định hoành độ và tọa độ của điểm, điều này thu được bằng cách xoay điểm bắt đầu theo góc α. Nhưng tiếp tuyến và côtang không được xác định cho bất kỳ góc nào. Tiếp tuyến không được xác định cho các góc α mà tại đó điểm bắt đầu đi đến một điểm có trục hoành bằng 0 (0, 1) hoặc (0, −1), và điều này xảy ra ở các góc 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Thật vậy, ở những góc quay như vậy, biểu thức tgα=y/x không có ý nghĩa, vì nó chứa phép chia cho 0. Đối với cotang, nó không được xác định cho các góc α mà tại đó điểm bắt đầu đi đến điểm có tọa độ 0 (1, 0) hoặc (−1, 0), và điều này xảy ra đối với các góc 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Vì vậy, sin và cosin được xác định cho mọi góc quay, tiếp tuyến được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) và cotang được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Các định nghĩa bao gồm các ký hiệu mà chúng ta đã biết là sin, cos, tg và ctg, chúng cũng được sử dụng để chỉ sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay (đôi khi bạn có thể tìm thấy các ký hiệu tan và cot tương ứng với tiếp tuyến và cotang) . Vì vậy sin của một góc quay 30 độ có thể được viết là sin30°, các mục tg(−24°17′) và ctgα tương ứng với tang của góc quay −24 độ 17 phút và cotang của góc quay α . Hãy nhớ lại rằng khi viết số đo radian của một góc, ký hiệu “rad” thường bị bỏ qua. Ví dụ, cosin của góc quay bằng 3 pi rad thường được ký hiệu là cos3·π.
Để kết luận điểm này, điều cần lưu ý là khi nói về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của góc quay, cụm từ “góc quay” hoặc từ “xoay” thường bị lược bỏ. Nghĩa là, thay vì cụm từ “sin của góc quay alpha”, cụm từ “sin của góc alpha” hoặc thậm chí ngắn hơn, “sine alpha” thường được sử dụng. Điều tương tự cũng áp dụng cho cosine, tang và cotang.
Chúng ta cũng sẽ nói rằng các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong một tam giác vuông phù hợp với các định nghĩa vừa đưa ra cho sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc quay từ 0 đến 90 độ. Chúng tôi sẽ biện minh cho điều này.
số
Sự định nghĩa.
Sin, cosin, tang và cotang của một số t là một số lần lượt bằng sin, cos, tiếp tuyến và cotang của góc quay tính bằng radian.
Ví dụ, cosin của số 8·π theo định nghĩa là một số bằng cosin của góc 8·π rad. Và cosin của một góc 8·π rad bằng 1 nên cosin của số 8·π bằng 1.
Có một cách tiếp cận khác để xác định sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một số. Nó bao gồm thực tế là mỗi số thực t được liên kết với một điểm trên đường tròn đơn vị có tâm ở gốc của hệ tọa độ hình chữ nhật và sin, cos, tiếp tuyến và cotang được xác định thông qua tọa độ của điểm này. Hãy xem xét điều này chi tiết hơn.
Hãy để chúng tôi chỉ ra cách thiết lập sự tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn:
- số 0 được gán cho điểm bắt đầu A(1, 0);
- số dương t liên kết với một điểm trên đường tròn đơn vị mà chúng ta sẽ đạt được nếu chúng ta di chuyển dọc theo đường tròn từ điểm bắt đầu theo hướng ngược chiều kim đồng hồ và đi trên một quãng đường có độ dài t;
- số âm t được liên kết với một điểm trên đường tròn đơn vị mà chúng ta sẽ đạt được nếu chúng ta di chuyển dọc theo đường tròn từ điểm bắt đầu theo chiều kim đồng hồ và đi trên một đoạn đường có độ dài |t| .
Bây giờ chúng ta chuyển sang các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của số t. Giả sử số t tương ứng với một điểm trên đường tròn A 1 (x, y) (ví dụ: số &pi/2; tương ứng với điểm A 1 (0, 1) ).
Sự định nghĩa.
Sin của số t là tọa độ của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, nghĩa là sint=y.
Sự định nghĩa.
Cosin của số t được gọi là hoành độ của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là cost=x.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của số t là tỉ số giữa tọa độ và hoành độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là tgt=y/x. Trong một công thức tương đương khác, tang của một số t là tỷ số của sin của số này với cosin, tức là tgt=sint/cost.
Sự định nghĩa.
Cotang của số t là tỉ số của trục hoành với tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là ctgt=x/y. Một công thức khác là: tang của số t là tỉ số giữa cosin của số t và sin của số t: ctgt=cost/sint.
Ở đây chúng tôi lưu ý rằng các định nghĩa vừa đưa ra nhất quán với định nghĩa được đưa ra ở đầu đoạn này. Thật vậy, điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t trùng với điểm thu được bằng cách quay điểm đầu một góc t radian.
Nó vẫn đáng để làm rõ điểm này. Giả sử chúng ta có mục sin3. Làm sao chúng ta có thể hiểu được chúng ta đang nói về sin của số 3 hay sin của góc quay 3 radian? Điều này thường rõ ràng nếu xét theo ngữ cảnh, nếu không thì nó có thể không có tầm quan trọng cơ bản.
Hàm lượng giác của đối số góc và số
Theo các định nghĩa được đưa ra ở đoạn trước, mỗi góc quay α tương ứng với một giá trị rất cụ thể sinα, cũng như giá trị cosα. Ngoài ra, tất cả các góc quay khác 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tương ứng với các giá trị tgα và các giá trị khác 180°k, k∈Z (πk rad ) – các giá trị của ctgα. Do đó sinα, cosα, tanα và ctgα là các hàm của góc α. Nói cách khác, đây là các hàm của đối số góc.
Chúng ta có thể nói tương tự về các hàm sin, cosin, tang và cotang của một đối số số. Thật vậy, mỗi số thực t tương ứng với một giá trị sint cũng như chi phí rất cụ thể. Ngoài ra, tất cả các số không phải π/2+π·k, k∈Z tương ứng với các giá trị tgt và các số π·k, k∈Z - giá trị ctgt.
Các hàm sin, cosin, tang và cotang được gọi là các hàm lượng giác cơ bản.
Thông thường, từ ngữ cảnh chúng ta sẽ thấy rõ liệu chúng ta đang xử lý các hàm lượng giác của một đối số góc hay một đối số số. Mặt khác, chúng ta có thể coi biến độc lập vừa là thước đo của góc (đối số góc) vừa là đối số số.
Tuy nhiên, ở trường chúng ta chủ yếu nghiên cứu các hàm số, tức là các hàm có đối số cũng như giá trị hàm tương ứng của chúng là số. Vì vậy, nếu chúng ta đang nói cụ thể về hàm số thì nên coi hàm lượng giác là hàm của các đối số số.
Mối quan hệ giữa các định nghĩa từ hình học và lượng giác
Nếu chúng ta xem xét góc quay α nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ, thì các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay trong bối cảnh lượng giác là hoàn toàn phù hợp với các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong tam giác vuông đã được đưa ra trong môn hình học. Hãy biện minh cho điều này.
Hãy vẽ đường tròn đơn vị trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật Oxy. Hãy đánh dấu điểm bắt đầu A(1, 0) . Xoay nó một góc α trong khoảng từ 0 đến 90 độ, ta được điểm A 1 (x, y). Chúng ta thả đường vuông góc A 1 H từ điểm A 1 xuống trục Ox.
Dễ dàng nhận thấy trong một tam giác vuông, góc A 1 OH bằng góc quay α, độ dài cạnh OH kề góc này bằng trục hoành của điểm A 1, tức là |OH |=x, độ dài cạnh A 1 H đối diện với góc bằng tọa độ điểm A 1, tức là |A 1 H|=y, và độ dài cạnh huyền OA 1 bằng 1, vì nó là bán kính của đường tròn đơn vị. Khi đó, theo định nghĩa từ hình học, sin của góc nhọn α trong tam giác vuông A 1 OH bằng tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền, nghĩa là sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Và theo định nghĩa từ lượng giác, sin của góc quay α bằng tọa độ của điểm A 1, nghĩa là sinα=y. Điều này cho thấy việc xác định sin của một góc nhọn trong tam giác vuông tương đương với việc xác định sin của góc quay α khi α nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ.
Tương tự, có thể chứng minh rằng các định nghĩa về cosin, tiếp tuyến và cotang của góc nhọn α nhất quán với các định nghĩa về cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay α.
Tài liệu tham khảo.
- Hình học. lớp 7-9: sách giáo khoa cho giáo dục phổ thông tổ chức / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, v.v.]. - tái bản lần thứ 20. M.: Giáo dục, 2010. - 384 tr.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Hình học: Sách giáo khoa. cho lớp 7-9. giáo dục phổ thông tổ chức / A. V. Pogorelov. - Tái bản lần thứ 2 - M.: Education, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Đại số và các hàm cơ bản: Sách giáo khoa dành cho học sinh lớp 9 THCS / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Biên tập bởi Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học O. N. Golovin - tái bản lần thứ 4. M.: Giáo dục, 1969.
- Đại số: Sách giáo khoa cho lớp 9. trung bình trường học/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Giáo dục, 1990. - 272 trang: bệnh - ISBN 5-09-002727-7
- đại số và phần đầu của phân tích: Proc. cho lớp 10-11. giáo dục phổ thông tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - tái bản lần thứ 14 - M.: Giáo dục, 2004. - 384 trang: bệnh - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A. G.Đại số và sự khởi đầu của phân tích. lớp 10. Gồm 2 phần Phần 1: Sách giáo khoa phổ thông (cấp độ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Tái bản lần thứ 4, bổ sung. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-00792-0.
- đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học. lớp 10: SGK. cho giáo dục phổ thông tổ chức: cơ bản và hồ sơ. cấp độ /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; được chỉnh sửa bởi A. B. Zhizhchenko. - tái bản lần thứ 3. - I.: Education, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmak M. I.Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Sách giáo khoa. cho lớp 10-11. trung bình trường học - tái bản lần thứ 3. - M.: Education, 1993. - 351 tr.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.
Hướng dẫn
Video về chủ đề
Xin lưu ý
Khi tính các cạnh của một tam giác vuông, kiến thức về đặc điểm của nó có thể đóng một vai trò:
1) Nếu cạnh góc vuông đối diện với góc 30 độ thì bằng nửa cạnh huyền;
2) Cạnh huyền luôn dài hơn bất kỳ chân nào;
3) Nếu một đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông thì tâm của nó phải nằm ở giữa cạnh huyền.
Cạnh huyền là cạnh trong tam giác vuông đối diện với góc 90 độ. Để tính chiều dài của nó, chỉ cần biết chiều dài của một trong hai chân và kích thước của một trong các góc nhọn của tam giác là đủ.
Hướng dẫn
Hãy cho chúng tôi biết một trong các chân và góc liền kề với nó. Để cụ thể, hãy đặt những cái này ở bên |AB| và góc α. Khi đó chúng ta có thể sử dụng công thức tính tỉ số lượng giác cosin - cosine của cạnh kề với. Những thứ kia. trong ký hiệu của chúng tôi cos α = |AB| / |AC|. Từ đó ta tính được độ dài cạnh huyền |AC| = |AB| / cos α.
Nếu chúng ta biết bên |BC| và góc α thì ta sẽ sử dụng công thức tính sin của góc - sin của góc bằng tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền: sin α = |BC| / |AC|. Ta thấy độ dài cạnh huyền là |AC| = |BC| / cos α.
Để rõ ràng, chúng ta hãy xem một ví dụ. Cho độ dài của chân |AB|. = 15. Và góc α = 60°. Chúng tôi nhận được |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Hãy xem cách bạn có thể kiểm tra kết quả của mình bằng định lý Pythagore. Để làm được điều này, chúng ta cần tính độ dài của chặng thứ hai |BC|. Sử dụng công thức tính tiếp tuyến của góc tan α = |BC| / |AC|, ta được |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Tiếp theo, áp dụng định lý Pythagore, ta được 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Kiểm tra đã hoàn tất.
Lời khuyên hữu ích
Sau khi tính cạnh huyền, kiểm tra xem giá trị thu được có thỏa mãn định lý Pythagore hay không.
Nguồn:
- Bảng số nguyên tố từ 1 đến 10000
chân là hai cạnh ngắn của một tam giác vuông tạo thành đỉnh có kích thước 90°. Cạnh thứ ba trong một tam giác như vậy được gọi là cạnh huyền. Tất cả các cạnh và góc của tam giác này được kết nối với nhau bằng những mối quan hệ nhất định giúp có thể tính được chiều dài của chân nếu biết một số thông số khác.
Hướng dẫn
Sử dụng định lý Pythagore cho cạnh (A) nếu bạn biết chiều dài của hai cạnh còn lại (B và C) của tam giác vuông. Định lý này phát biểu rằng tổng bình phương chiều dài của các chân bằng bình phương của cạnh huyền. Từ đó suy ra chiều dài của mỗi cạnh bằng căn bậc hai của độ dài cạnh huyền và cạnh thứ hai: A=√(C²-B²).
Sử dụng định nghĩa hàm lượng giác trực tiếp “sin” cho góc nhọn nếu bạn biết độ lớn của góc (α) nằm đối diện với chân đang tính và độ dài của cạnh huyền (C). Điều này nói lên rằng sin của tỷ lệ đã biết này của chiều dài của chân mong muốn với chiều dài của cạnh huyền. Điều này có nghĩa là độ dài của cạnh mong muốn bằng tích của độ dài cạnh huyền và sin của góc đã biết: A=C∗sin(α). Với cùng một đại lượng đã biết, bạn cũng có thể sử dụng cosec và tính độ dài cần thiết bằng cách chia độ dài cạnh huyền cho cosec của góc đã biết A=C/cosec(α).
Sử dụng định nghĩa của hàm cosin lượng giác trực tiếp nếu, ngoài độ dài của cạnh huyền (C), độ lớn của góc nhọn (β) liền kề với góc mong muốn cũng đã biết. Cosin của góc này là tỷ lệ giữa độ dài của cạnh huyền và cạnh huyền, và từ đó chúng ta có thể kết luận rằng chiều dài của cạnh huyền bằng tích của chiều dài cạnh huyền và cosin của góc đã biết: A=C∗cos(β). Bạn có thể sử dụng định nghĩa của hàm cát tuyến và tính giá trị mong muốn bằng cách chia độ dài cạnh huyền cho cát tuyến của góc đã biết A=C/giây(β).
Suy ra công thức cần tìm từ định nghĩa tương tự cho đạo hàm tiếp tuyến của hàm lượng giác, nếu ngoài giá trị của góc nhọn (α) nằm đối diện với chân mong muốn (A), đã biết độ dài của cạnh thứ hai (B) . Tiếp tuyến của góc đối diện với chân mong muốn là tỷ lệ giữa chiều dài của chân này với chiều dài của chân thứ hai. Điều này có nghĩa là giá trị mong muốn sẽ bằng tích của độ dài của cạnh đã biết và tiếp tuyến của góc đã biết: A=B∗tg(α). Từ những đại lượng đã biết này, có thể rút ra một công thức khác nếu chúng ta sử dụng định nghĩa của hàm cotang. Trong trường hợp này, để tính chiều dài của cạnh, cần phải tìm tỷ lệ giữa chiều dài của cạnh đã biết với cotang của góc đã biết: A=B/ctg(α).
Video về chủ đề
Từ "kathet" có nguồn gốc từ tiếng Nga từ tiếng Hy Lạp. Trong bản dịch chính xác, nó có nghĩa là một đường thẳng đứng, nghĩa là vuông góc với bề mặt trái đất. Trong toán học, chân là các cạnh tạo thành một góc vuông của một tam giác vuông. Cạnh đối diện với góc này được gọi là cạnh huyền. Thuật ngữ “cathet” cũng được sử dụng trong kiến trúc và công nghệ hàn.
Sec của góc này có được bằng cách chia cạnh huyền cho cạnh kề, tức là secCAB = c/b. Kết quả là nghịch đảo của cosine, nghĩa là nó có thể được biểu thị bằng công thức secCAB=1/cosSAB.
Cosecant bằng thương của cạnh huyền chia cho cạnh đối diện và là nghịch đảo của sin. Nó có thể được tính bằng công thức cosecCAB=1/sinCAB
Cả hai chân được kết nối với nhau và bằng cotang. Trong trường hợp này, tiếp tuyến sẽ là tỉ số giữa cạnh a và cạnh b, tức là cạnh đối diện với cạnh kề. Mối quan hệ này có thể được biểu diễn bằng công thức tgCAB=a/b. Theo đó, tỉ số nghịch đảo sẽ là cotang: ctgCAB=b/a.
Mối quan hệ giữa kích thước của cạnh huyền và cả hai chân đã được xác định bởi Pythagoras của Hy Lạp cổ đại. Người ta vẫn sử dụng định lý và tên tuổi của ông. Nó nói rằng bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân, tức là c2 = a2 + b2. Theo đó, mỗi chân sẽ bằng căn bậc hai của hiệu giữa bình phương của cạnh huyền và chân kia. Công thức này có thể được viết là b=√(c2-a2).
Chiều dài của chân cũng có thể được thể hiện thông qua các mối quan hệ mà bạn đã biết. Theo các định lý về sin và cos, một cạnh bằng tích của cạnh huyền và một trong các hàm số này. Nó có thể được biểu diễn dưới dạng và hoặc cotang. Ví dụ, có thể tìm thấy chân a bằng cách sử dụng công thức a = b*tan CAB. Theo cách tương tự, tùy thuộc vào tiếp tuyến đã cho hoặc , chặng thứ hai được xác định.
Thuật ngữ "cathet" cũng được sử dụng trong kiến trúc. Nó được áp dụng cho thủ đô Ionic và xuyên qua giữa lưng của nó. Nghĩa là, trong trường hợp này, số hạng này vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Trong công nghệ hàn có “chân hàn phi lê”. Như trong các trường hợp khác, đây là khoảng cách ngắn nhất. Ở đây chúng ta đang nói về khoảng cách giữa một trong các bộ phận được hàn với đường viền của đường may nằm trên bề mặt của bộ phận kia.
Video về chủ đề
Nguồn:
- chân và cạnh huyền năm 2019 là gì
xoang góc nhọn α của tam giác vuông là tỉ số đối diện chân đến cạnh huyền.
Nó được ký hiệu như sau: sin α.
Cô sin Góc nhọn α của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền.
Nó được ký hiệu như sau: cos α.
Đường tiếp tuyến góc nhọn α là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
Nó được chỉ định như sau: tg α.
cotang góc nhọn α là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện.
Nó được chỉ định như sau: ctg α.
Sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc đó.
Quy tắc:
Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác vuông:
(α - góc nhọn đối diện với chân b và liền kề với chân Một . Bên Với - cạnh huyền. β - góc nhọn thứ hai).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
Một | 1 | |
b | 1 | |
Một | 1 1 | |
tội lỗi α |
Khi góc nhọn tăngtội lỗi α vàtan α tăng, vàcos α giảm.
Với mọi góc nhọn α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Ví dụ-giải thích:
Cho tam giác vuông ABC
AB = 6,
BC = 3,
góc A = 30°.
Hãy tìm sin của góc A và cosin của góc B.
Giải pháp .
1) Đầu tiên, chúng ta tìm giá trị của góc B. Ở đây mọi thứ rất đơn giản: vì trong một tam giác vuông tổng các góc nhọn là 90° nên góc B = 60°:
B = 90° – 30° = 60°.
2) Hãy tính sin A. Chúng ta biết rằng sin bằng tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh huyền. Góc A có cạnh đối diện là cạnh BC. Vì thế:
TCN 3 1
tội lỗi A = -- = - = -
AB 6 2
3) Bây giờ hãy tính cos B. Chúng ta biết rằng cosin bằng tỉ số của cạnh kề với cạnh huyền. Đối với góc B thì cạnh kề cùng cạnh BC. Điều này có nghĩa là chúng ta lại cần chia BC cho AB - nghĩa là thực hiện các thao tác tương tự như khi tính sin góc A:
TCN 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Kết quả là:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30° = cos 60° = 1/2.
Từ đó suy ra rằng trong một tam giác vuông, sin của một góc nhọn bằng cosin của một góc nhọn khác - và ngược lại. Đây chính xác là ý nghĩa của hai công thức của chúng tôi:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Hãy đảm bảo điều này một lần nữa:
1) Cho α = 60°. Thay giá trị của α vào công thức sin, ta được:
tội lỗi (90° – 60°) = cos 60°.
sin 30° = cos 60°.
2) Cho α = 30°. Thay giá trị của α vào công thức cosine, chúng ta nhận được:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Để biết thêm thông tin về lượng giác, xem phần Đại số)
Trình độ trung cấp
Tam giác bên phải. Hướng dẫn minh họa đầy đủ (2019)
TAM GIÁC CHỮ NHẬT. CẤP ĐẦU VÀO.
Trong các bài toán, góc vuông hoàn toàn không cần thiết - góc dưới bên trái, vì vậy bạn cần học cách nhận biết tam giác vuông ở dạng này,
và trong này
và trong này 
Điều gì tốt về một tam giác vuông? À..., trước hết, có những cái tên đẹp đặc biệt cho các mặt của nó.
Chú ý đến bản vẽ!
Hãy nhớ và đừng nhầm lẫn: có hai chân và chỉ có một cạnh huyền(duy nhất, duy nhất và lâu dài nhất)!
Chà, chúng ta đã thảo luận về những cái tên, bây giờ là điều quan trọng nhất: Định lý Pythagore.
Định lý Pythagore.
Định lý này là chìa khóa để giải nhiều bài toán liên quan đến tam giác vuông. Nó đã được Pythagoras chứng minh từ thời xa xưa và kể từ đó nó mang lại rất nhiều lợi ích cho những ai biết đến nó. Và điều tốt nhất về nó là nó rất đơn giản.
Vì thế, Định lý Pythagore:
Bạn có nhớ câu nói đùa: “Quần Pythagore các bên đều bình đẳng!” không?
Hãy vẽ những chiếc quần Pythagore tương tự này và quan sát chúng. 
Trông nó không giống một loại quần short nào đó sao? Chà, ở bên nào và chúng bằng nhau ở đâu? Tại sao và trò đùa đến từ đâu? Và trò đùa này có liên quan chính xác đến định lý Pythagore, hay chính xác hơn là với cách chính Pythagoras xây dựng định lý của mình. Và anh ấy đã xây dựng nó như thế này:
"Tổng diện tích hình vuông, được xây dựng trên chân, bằng diện tích hình vuông, được xây dựng trên cạnh huyền."
Nó thực sự nghe có vẻ hơi khác một chút? Và vì vậy, khi Pythagoras vẽ ra phát biểu về định lý của mình, đây chính xác là bức tranh hiện ra.
Trong hình này, tổng diện tích của các hình vuông nhỏ bằng diện tích của hình vuông lớn. Và để trẻ có thể nhớ rõ hơn rằng tổng bình phương của hai chân bằng bình phương cạnh huyền, một người nào đó đã hóm hỉnh nghĩ ra trò đùa về chiếc quần Pythagore này.
Tại sao bây giờ chúng ta đang xây dựng định lý Pythagore?
Pythagoras có đau khổ và nói về hình vuông không?
Bạn thấy đấy, thời cổ đại không có... đại số! Không có dấu hiệu nào và vân vân. Không có chữ khắc. Bạn có thể tưởng tượng được việc những học sinh cổ đại tội nghiệp có thể ghi nhớ mọi thứ bằng lời sẽ khủng khiếp đến thế nào không??! Và chúng ta có thể vui mừng vì đã có được một công thức đơn giản của định lý Pythagore. Hãy lặp lại lần nữa để ghi nhớ tốt hơn:
Bây giờ nó sẽ dễ dàng:
| Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân. |
Vâng, định lý quan trọng nhất về tam giác vuông đã được thảo luận. Nếu bạn quan tâm đến cách chứng minh nó, hãy đọc các cấp độ lý thuyết sau đây, và bây giờ chúng ta hãy đi xa hơn... vào khu rừng tối... lượng giác! Với những từ khủng khiếp sin, cosin, tiếp tuyến và cotang.
Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông.
Trên thực tế, mọi thứ không quá đáng sợ chút nào. Tất nhiên, định nghĩa “thực tế” của sin, cos, tiếp tuyến và cotang nên được xem xét trong bài viết. Nhưng tôi thực sự không muốn, phải không? Chúng ta có thể vui mừng: để giải các bài toán về tam giác vuông, bạn chỉ cần điền vào những điều đơn giản sau:
Tại sao mọi thứ chỉ ở góc? Góc ở đâu? Để hiểu điều này, bạn cần biết các câu 1 - 4 được viết bằng chữ như thế nào. Hãy nhìn, hiểu và ghi nhớ!
1.
Trên thực tế nó có vẻ như thế này:
Còn góc thì sao? Có một chân đối diện với góc, tức là một chân đối diện (đối với một góc)? Tất nhiên là có! Đây là một cái chân!
Còn góc thì sao? Hãy nhìn cẩn thận. Chân nào tiếp giáp với góc? Tất nhiên là chân. Điều này có nghĩa là đối với góc thì chân liền kề và
Bây giờ, hãy chú ý! Hãy xem chúng ta có gì:
Hãy xem nó tuyệt vời thế nào:
Bây giờ chúng ta chuyển sang tiếp tuyến và cotang.
Làm sao tôi có thể viết điều này ra bằng lời bây giờ? Chân liên quan đến góc như thế nào? Tất nhiên là đối diện - nó “nằm” đối diện với góc. Còn chân thì sao? Liền kề góc. Vậy chúng ta có gì?
Hãy xem tử số và mẫu số đã đổi chỗ cho nhau như thế nào?
Và bây giờ các góc lại và thực hiện một cuộc trao đổi:
Bản tóm tắt
Hãy viết ngắn gọn tất cả những gì chúng ta đã học được.
 |
Định lý Pythagore: |
Định lý chính về tam giác vuông là định lý Pythagore.
định lý Pythagore
Nhân tiện, bạn có nhớ rõ chân và cạnh huyền là gì không? Nếu chưa hay thì xem hình - ôn lại kiến thức
Rất có thể bạn đã sử dụng định lý Pythagore nhiều lần, nhưng bạn có bao giờ tự hỏi tại sao định lý đó lại đúng không? Làm thế nào tôi có thể chứng minh điều đó? Hãy làm như người Hy Lạp cổ đại. Hãy vẽ một hình vuông có một cạnh.
Hãy xem chúng tôi đã khéo léo chia các cạnh của nó thành các độ dài và!
Bây giờ hãy kết nối các dấu chấm được đánh dấu
Tuy nhiên, ở đây chúng tôi đã lưu ý một điều khác, nhưng chính bạn hãy nhìn vào bức vẽ và nghĩ tại sao lại như vậy.
Diện tích của hình vuông lớn hơn là gì? Phải, . Diện tích nhỏ hơn thì sao? Chắc chắn, . Tổng diện tích của bốn góc vẫn còn. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta lấy hai cái cùng một lúc và tựa chúng vào nhau bằng cạnh huyền. Chuyện gì đã xảy ra thế? Hai hình chữ nhật. Điều này có nghĩa là diện tích của các “vết cắt” bằng nhau.
Bây giờ chúng ta hãy đặt tất cả lại với nhau.
Hãy biến đổi:
Vì vậy, chúng tôi đã đến thăm Pythagoras - chúng tôi đã chứng minh định lý của ông ấy theo cách cổ xưa.
Tam giác vuông và lượng giác
Đối với một tam giác vuông, các mối quan hệ sau giữ:
Sin của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền
Cosin của một góc nhọn bằng tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền.
Tiếp tuyến của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
Cotang của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện.
Và một lần nữa tất cả điều này ở dạng máy tính bảng:
Nó rất thuận tiện!
Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông
I. Ở hai bên
II. Bằng chân và cạnh huyền
III. Bằng cạnh huyền và góc nhọn
IV. Dọc theo chân và góc nhọn
Một) 
b) 
Chú ý! Điều rất quan trọng ở đây là đôi chân phải “phù hợp”. Ví dụ: nếu nó diễn ra như thế này:
THÌ TAM GIÁC KHÔNG BẰNG, mặc dù thực tế là chúng có một góc nhọn giống hệt nhau.
Điều cần thiết là trong cả hai hình tam giác, chân liền kề hoặc trong cả hai hình tam giác thì chân đối diện.
Bạn có nhận thấy dấu bằng của các tam giác vuông khác với dấu bằng của các tam giác vuông thông thường như thế nào không? Nhìn vào chủ đề “và chú ý đến thực tế là để các tam giác “bình thường” bằng nhau, ba phần tử của chúng phải bằng nhau: hai cạnh và góc giữa chúng, hai góc và cạnh giữa chúng, hoặc ba cạnh. Nhưng để tam giác vuông bằng nhau thì chỉ cần hai phần tử tương ứng là đủ. Tuyệt vời phải không?
Tình hình cũng gần tương tự với dấu tương tự của các tam giác vuông.
Dấu hiệu tương tự của tam giác vuông
I. Dọc theo góc nhọn
II. Ở hai bên
III. Bằng chân và cạnh huyền
Đường trung bình trong tam giác vuông
Tại sao lại như vậy?
Thay vì một hình tam giác vuông, hãy xem xét toàn bộ hình chữ nhật.
Hãy vẽ một đường chéo và xem xét một điểm - điểm giao nhau của các đường chéo. Bạn biết gì về các đường chéo của hình chữ nhật?
Và điều gì xảy ra sau đó?
Hóa ra là thế
- - trung vị:
Hãy nhớ sự thật này! Giúp ích rất nhiều!
Điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là điều ngược lại cũng đúng.
Có thể thu được điều gì tốt từ việc đường trung tuyến kéo vào cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền? Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh
Hãy nhìn cẩn thận. Chúng ta có: , tức là khoảng cách từ điểm đến cả ba đỉnh của tam giác hóa ra bằng nhau. Nhưng chỉ có một điểm trong tam giác, có khoảng cách từ đó đến cả ba đỉnh của tam giác đều bằng nhau và đây là TRUNG TÂM CỦA VÒNG TRÒN. Vậy chuyện gì đã xảy ra?
Vậy hãy bắt đầu với từ “ngoài ra…” này.
Chúng ta hãy nhìn vào và.
Nhưng các tam giác đồng dạng đều có các góc bằng nhau!
Điều tương tự cũng có thể nói về và
Bây giờ chúng ta hãy vẽ nó lại với nhau:
Lợi ích gì có thể được rút ra từ sự giống nhau “bộ ba” này?
Vâng, ví dụ - hai công thức tính chiều cao của tam giác vuông.
Chúng ta hãy viết ra mối quan hệ của các bên tương ứng:
Để tìm chiều cao, chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức đầu tiên "Chiều cao trong tam giác vuông":
Vì vậy, hãy áp dụng sự tương tự: .
Điều gì sẽ xảy ra bây giờ?
Một lần nữa chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức thứ hai:
Bạn cần phải nhớ thật kỹ cả hai công thức này và sử dụng công thức nào thuận tiện hơn. Hãy viết chúng lại lần nữa
Định lý Pythagore:
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông: .
Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông:
- ở hai phía:
- bằng chân và cạnh huyền: hoặc
- dọc theo chân và góc nhọn liền kề: hoặc
- dọc theo chân và góc nhọn đối diện: hoặc
- bởi cạnh huyền và góc nhọn: hoặc.
Dấu hiệu đồng dạng của tam giác vuông:
- một góc nhọn: hoặc
- từ tỷ lệ của hai chân:
- từ tỷ lệ của chân và cạnh huyền: hoặc.
Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông
- Sin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền:
- Cosin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền:
- Tiếp tuyến của góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh kề:
- Cotang của góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện: .
Chiều cao của một tam giác vuông: hoặc.
Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến vẽ từ đỉnh của góc vuông bằng một nửa cạnh huyền: .
Diện tích của một tam giác vuông:
- qua chân: