Thái độ phía đối diệnđến cạnh huyền được gọi là sin góc nhọn tam giác bên phải.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Cosin của một góc nhọn của tam giác vuông
Tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền được gọi là cosin của một góc nhọn tam giác bên phải.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Tiếp tuyến của góc nhọn của tam giác vuông
Tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề gọi là tiếp tuyến của một góc nhọn tam giác bên phải.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Cotang của một góc nhọn của tam giác vuông
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối diện được gọi là cotang của góc nhọn tam giác bên phải.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Sin của một góc tùy ý
Tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với góc \alpha được gọi là sin của một góc tùy ý phép quay \alpha .
\sin \alpha=y
Cosin của một góc tùy ý
điểm abscissa trên vòng tròn đơn vị, góc \alpha tương ứng được gọi là cosin của một góc tùy ý phép quay \alpha .
\cos \alpha=x
Tiếp tuyến của một góc tùy ý
Tỷ số giữa sin của một góc quay tùy ý \alpha với cosine của nó được gọi là tiếp tuyến của một góc tùy ý phép quay \alpha .
tan \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Cotang của một góc tùy ý
Tỷ số cosin của một góc quay tùy ý \alpha với sin của nó được gọi là cotang của một góc tùy ý phép quay \alpha .
ctg\alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Ví dụ về tìm góc tùy ý
Nếu \alpha là một góc AOM nào đó, trong đó M là một điểm trên đường tròn đơn vị thì
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Ví dụ, nếu \angle AOM = -\frac(\pi)(4), thì: tọa độ của điểm M bằng -\frac(\sqrt(2))(2), trục hoành bằng \frac(\sqrt(2))(2) và do đó
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.
Bảng giá trị sin của cosin tiếp tuyến của côtang
Giá trị của các góc thường xuyên xảy ra chính được đưa ra trong bảng:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right) | 45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right) | 60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right) | 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right) | 180^(\circ)\left(\pi\right) | 270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right) | 360^(\circ)\left(2\pi\right) | |
| \sin\alpha | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Các khái niệm sin(), cos(), tang(), cotangent() gắn bó chặt chẽ với khái niệm góc. Để hiểu rõ những điều này, thoạt nhìn, khái niệm phức tạp(điều này gây ra trạng thái kinh hoàng ở nhiều học sinh) và để đảm bảo rằng “ma quỷ không đáng sợ như trong tranh”, chúng ta hãy bắt đầu lại từ đầu và hiểu khái niệm về góc.
Khái niệm góc: radian, độ
Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh. Vectơ đã “quay” so với điểm một lượng nhất định. Vì vậy số đo của góc quay này so với vị trí ban đầu sẽ là góc.
Bạn cần biết thêm điều gì về khái niệm góc? Vâng, tất nhiên, đơn vị góc!
Góc, trong cả hình học và lượng giác, có thể được đo bằng độ và radian.
Một góc (một độ) được gọi là góc ở tâm trong một đường tròn, dựa trên một cung tròn bằng một phần của đường tròn. Do đó, toàn bộ đường tròn bao gồm các “mảnh” cung tròn hoặc góc được mô tả bởi đường tròn bằng nhau.
Tức là hình trên thể hiện một góc bằng, tức là góc này nằm trên một cung tròn có kích thước bằng chu vi.
Góc tính bằng radian là góc ở tâm của đường tròn chắn bởi một cung tròn có chiều dài bằng bán kính của đường tròn. Vâng, bạn đã tìm ra nó? Nếu không, hãy tìm ra nó từ bản vẽ.
Vì vậy, hình vẽ cho thấy một góc bằng radian, nghĩa là góc này nằm trên một cung tròn có chiều dài bằng bán kính của đường tròn (chiều dài bằng chiều dài hoặc bán kính bằng chiều dài cung). Do đó, độ dài cung được tính theo công thức:
Góc ở tâm tính bằng radian ở đâu.
Chà, biết điều này, bạn có thể trả lời có bao nhiêu radian trong góc được mô tả bởi hình tròn không? Có, để làm được điều này bạn cần nhớ công thức tính chu vi. Đây là:
Chà, bây giờ chúng ta hãy so sánh hai công thức này và thấy rằng góc được mô tả bởi đường tròn bằng nhau. Nghĩa là, bằng cách tương quan giá trị theo độ và radian, chúng ta sẽ có được điều đó. Tương ứng, . Như bạn có thể thấy, không giống như "độ", từ "radian" bị lược bỏ vì đơn vị đo thường rõ ràng trong ngữ cảnh.
Có bao nhiêu radian? Đúng vậy!
Hiểu rồi? Sau đó hãy tiếp tục và sửa nó:
Gặp khó khăn? Sau đó nhìn câu trả lời:
Tam giác vuông: sin, cos, tiếp tuyến, cotang của góc
Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra khái niệm về một góc. Nhưng sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì? Hãy tìm ra nó. Để làm được điều này, một hình tam giác vuông sẽ giúp chúng ta.
Các cạnh của một tam giác vuông được gọi là gì? Đúng vậy, cạnh huyền và chân: cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông(trong ví dụ của chúng tôi đây là bên); hai chân là hai cạnh còn lại và (những cạnh kề với góc vuông), nếu xét hai chân so với góc thì chân đó là chân liền kề, còn chân kia là chân đối diện. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: sin, cosin, tiếp tuyến và côtang của một góc là gì?
Sin của góc- đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.
Trong tam giác của chúng tôi.
Cosin của góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với cạnh huyền.
Trong tam giác của chúng tôi.
Tiếp tuyến của góc- đây là tỷ lệ của cạnh đối diện (xa) với cạnh kề (gần).
Trong tam giác của chúng tôi.
Cotang của góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với chân đối diện (xa).
Trong tam giác của chúng tôi.
Những định nghĩa này là cần thiết nhớ! Để dễ nhớ hơn nên chia chân nào thành chân nào, bạn cần hiểu rõ rằng trong đường tiếp tuyến Và cotang chỉ có hai chân ngồi và cạnh huyền chỉ xuất hiện ở xoang Và cô sin. Và sau đó bạn có thể nghĩ ra một chuỗi liên kết. Ví dụ: cái này:
Cosine→chạm→chạm→liền kề;
Cotang→chạm→chạm→liền kề.
Trước hết, bạn cần nhớ rằng sin, cos, tiếp tuyến và côtang là tỷ số của các cạnh của một tam giác không phụ thuộc vào độ dài của các cạnh này (ở cùng một góc). Không tin tôi? Sau đó hãy chắc chắn bằng cách nhìn vào hình ảnh:
Ví dụ, hãy xem xét cosin của một góc. Theo định nghĩa, từ một tam giác: , nhưng chúng ta có thể tính cosin của một góc từ một tam giác: . Bạn thấy đấy, độ dài của các cạnh là khác nhau, nhưng giá trị cosin của một góc là như nhau. Do đó, các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.
Nếu bạn hiểu các định nghĩa, hãy tiếp tục và củng cố chúng!
Đối với hình tam giác thể hiện trong hình dưới đây, chúng tôi tìm thấy.
Vâng, bạn đã nhận được nó? Sau đó hãy tự mình thử: tính toán tương tự cho góc.
Đường tròn đơn vị (lượng giác)
Hiểu các khái niệm về độ và radian, chúng ta đã xét một đường tròn có bán kính bằng. Vòng tròn như vậy được gọi là đơn. Nó sẽ rất hữu ích khi nghiên cứu lượng giác. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn một chút.
Như bạn có thể thấy, vòng tròn đã chođược xây dựng trong Hệ thống Descartes tọa độ Bán kính vòng tròn bằng một, trong khi tâm của đường tròn nằm ở gốc tọa độ, vị trí bắt đầu Vectơ bán kính được cố định dọc theo hướng dương của trục (trong ví dụ của chúng tôi, đây là bán kính).
Mỗi điểm trên đường tròn ứng với hai số: tọa độ trục và tọa độ trục. Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, chúng có liên quan gì đến chủ đề hiện tại? Để làm được điều này, chúng ta cần nhớ về tam giác vuông đang xét. Trong hình trên, bạn có thể thấy toàn bộ hai hình tam giác vuông. Hãy xem xét một hình tam giác. Nó có hình chữ nhật vì nó vuông góc với trục.
Tam giác bằng bao nhiêu? Đúng vậy. Ngoài ra chúng ta biết đó chính là bán kính của hình tròn đơn vị, nghĩa là . Hãy thay thế giá trị này vào công thức tính cosin của chúng ta. Đây là những gì xảy ra:
Tam giác bằng bao nhiêu? Tất nhiên rồi! Thay giá trị bán kính vào công thức này và nhận được:
Vì vậy, bạn có thể cho biết một điểm thuộc đường tròn có tọa độ như thế nào không? Vâng, không thể nào? Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nhận ra điều đó và chỉ là những con số? Nó tương ứng với tọa độ nào? Vâng, tất nhiên, tọa độ! Và nó tương ứng với tọa độ nào? Đúng vậy, tọa độ! Vì vậy, thời kỳ.
Vậy thì bằng và bằng bao nhiêu? Đúng vậy, hãy sử dụng các định nghĩa tương ứng của tiếp tuyến và côtang và hiểu được điều đó, a.
Nếu góc lớn hơn thì sao? Ví dụ như trong hình này:
Điều gì đã thay đổi trong trong ví dụ này? Hãy tìm ra nó. Để làm điều này, hãy quay lại với một hình tam giác vuông. Xét một tam giác vuông: góc (giác kề với một góc). Các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì? Đúng vậy, chúng ta tuân theo các định nghĩa tương ứng của hàm lượng giác:
Vâng, như bạn có thể thấy, giá trị sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ; giá trị cosin của góc - tọa độ; và các giá trị tiếp tuyến, cotang theo các tỉ số tương ứng. Vì vậy, những mối quan hệ này áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.
Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính nằm dọc theo hướng dương của trục. Cho đến nay chúng ta đã xoay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì bất thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có giá trị nhất định, nhưng chỉ có điều nó sẽ âm. Như vậy, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, ta được góc tích cực, và khi quay theo chiều kim đồng hồ - tiêu cực.
Vì vậy, chúng ta biết rằng toàn bộ một vòng quay của vectơ bán kính quanh một đường tròn là hoặc. Có thể xoay vectơ bán kính tới hoặc tới không? Tất nhiên là bạn có thể! Do đó, trong trường hợp đầu tiên, vectơ bán kính sẽ quay hết một vòng và dừng ở vị trí hoặc.
Trong trường hợp thứ hai, tức là vectơ bán kính sẽ quay đủ ba vòng và dừng ở vị trí hoặc.
Do đó, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau bằng hoặc (trong đó là số nguyên bất kỳ) tương ứng với cùng một vị trí của vectơ bán kính.
Hình dưới đây cho thấy một góc. Hình ảnh tương tự tương ứng với góc, v.v. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức tổng quát hoặc (bất kỳ số nguyên nào)
Bây giờ, khi đã biết định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản và sử dụng vòng tròn đơn vị, hãy thử trả lời các giá trị là gì:
Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:
Gặp khó khăn? Sau đó chúng ta hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:
Từ đây ta xác định được tọa độ các điểm tương ứng với số đo góc nhất định. Chà, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc tại tương ứng với một điểm có tọa độ, do đó:
Không tồn tại;
Hơn nữa, tuân theo logic tương tự, chúng ta phát hiện ra rằng các góc tương ứng với các điểm có tọa độ tương ứng. Biết được điều này, người ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm lượng giác trong điểm tương ứng. Hãy tự mình thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.
Câu trả lời:
Không tồn tại
Không tồn tại
Không tồn tại
Không tồn tại
Vì vậy, chúng ta có thể lập bảng sau:
Không cần phải nhớ tất cả các giá trị này. Chỉ cần nhớ sự tương ứng giữa tọa độ các điểm trên đường tròn đơn vị và giá trị của hàm lượng giác là đủ:
Nhưng các giá trị của hàm lượng giác của các góc trong và được cho trong bảng dưới đây, phải được ghi nhớ:
Đừng sợ, bây giờ chúng tôi sẽ cho bạn xem một ví dụ khá đơn giản để nhớ các giá trị tương ứng:
Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị sin của cả ba số đo góc (), cũng như giá trị của tang của góc. Biết các giá trị này, việc khôi phục toàn bộ bảng khá đơn giản - các giá trị cosin được truyền theo các mũi tên, nghĩa là:
Biết được điều này, bạn có thể khôi phục các giá trị cho. Tử số " " sẽ khớp và mẫu số " " sẽ khớp. Các giá trị cotang được chuyển theo các mũi tên chỉ trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và nhớ sơ đồ có các mũi tên thì chỉ cần nhớ tất cả các giá trị trong bảng là đủ.
Tọa độ của một điểm trên đường tròn
Có thể tìm thấy một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn, biết tọa độ tâm đường tròn, bán kính và góc quay?
Tất nhiên là bạn có thể! Hãy lấy nó ra công thức tổng quátđể tìm tọa độ của một điểm.
Ví dụ: đây là một vòng tròn trước mặt chúng ta:
Chúng ta được cho rằng điểm là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của một điểm thu được bằng cách xoay điểm theo độ.
Như có thể thấy từ hình, tọa độ của điểm tương ứng với độ dài của đoạn. Độ dài của đoạn tương ứng với tọa độ tâm của đường tròn, nghĩa là nó bằng nhau. Độ dài của một đoạn có thể được biểu diễn bằng định nghĩa cosin:
Sau đó chúng ta có tọa độ điểm đó.
Sử dụng logic tương tự, chúng ta tìm giá trị tọa độ y cho điểm. Như vậy,
Vì vậy, trong cái nhìn tổng quát tọa độ các điểm được xác định theo công thức:
Tọa độ tâm của đường tròn,
Bán kính vòng tròn,
Góc quay của bán kính vectơ.
Như bạn có thể thấy, đối với đường tròn đơn vị mà chúng ta đang xem xét, các công thức này được giảm đáng kể, vì tọa độ của tâm bằng 0 và bán kính bằng 1:
Nào, chúng ta hãy thử các công thức này bằng cách luyện tập tìm điểm trên đường tròn nhé?
1. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị thu được bằng cách xoay điểm đó.
2. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị thu được bằng cách xoay điểm đó.
3. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị thu được bằng cách xoay điểm đó.
4. Điểm là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm thu được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu theo.
5. Điểm là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm thu được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu theo.
Bạn gặp khó khăn khi tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn?
Hãy giải năm ví dụ này (hoặc giải tốt chúng) và bạn sẽ học cách tìm ra chúng!
1.
Bạn có thể nhận thấy điều đó. Nhưng chúng ta biết điều gì tương ứng với một cuộc cách mạng toàn diện về điểm xuất phát. Như vậy, điểm mong muốn sẽ ở vị trí tương tự như khi bật. Biết được điều này, chúng ta tìm được tọa độ cần thiết của điểm:
2. Đường tròn đơn vị có tâm tại một điểm, nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:
Bạn có thể nhận thấy điều đó. Chúng ta biết điều gì tương ứng với hai tốc độ tối đađiểm khởi đầu. Như vậy, điểm mong muốn sẽ ở đúng vị trí như khi quay sang. Biết được điều này, chúng ta tìm được tọa độ cần tìm của điểm:
Sin và cosine là các giá trị bảng. Chúng tôi nhớ lại ý nghĩa của chúng và nhận được:
Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.
3. Đường tròn đơn vị có tâm tại một điểm, nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:
Bạn có thể nhận thấy điều đó. Hãy mô tả ví dụ được đề cập trong hình:
Bán kính tạo thành các góc bằng và với trục. Biết rằng các giá trị trong bảng của cosin và sin bằng nhau và đã xác định được cosin ở đây chiếm giá trị âm và sin dương, ta có:
Thêm chi tiết ví dụ tương tựđược hiểu khi nghiên cứu các công thức rút gọn hàm số lượng giác trong đề tài.
Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.
4.
Góc quay của bán kính vectơ (theo điều kiện)
Để xác định các dấu tương ứng của sin và cosin, chúng ta dựng đường tròn và góc đơn vị:
Như bạn có thể thấy, giá trị nghĩa là dương và giá trị nghĩa là âm. Biết các giá trị dạng bảng của các hàm lượng giác tương ứng, ta thu được:
Hãy thay thế các giá trị thu được vào công thức của chúng tôi và tìm tọa độ:
Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.
5. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sử dụng các công thức ở dạng tổng quát, trong đó
Tọa độ của tâm đường tròn (trong ví dụ của chúng tôi,
Bán kính vòng tròn (theo điều kiện)
Góc quay của bán kính vectơ (theo điều kiện).
Hãy thay thế tất cả các giá trị vào công thức và nhận được:
và - giá trị bảng. Hãy ghi nhớ và thay thế chúng vào công thức:
Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.
CÔNG THỨC TÓM TẮT VÀ CƠ BẢN
Sin của một góc là tỷ lệ của cạnh đối diện (xa) với cạnh huyền.
Cosin của một góc là tỷ lệ của cạnh kề (gần) với cạnh huyền.
Tiếp tuyến của một góc là tỉ số giữa cạnh đối diện (xa) với cạnh kề (gần).
Cotang của một góc là tỉ số giữa cạnh kề (gần) và cạnh đối diện (xa).
Trong cuộc sống chúng ta sẽ thường xuyên phải đối mặt với bài toán: ở trường, ở trường đại học, và sau đó giúp con bạn hoàn thành bài tập về nhà. Những người trong một số ngành nghề nhất định sẽ gặp phải toán học hàng ngày. Vì vậy, thật hữu ích khi nhớ hoặc ghi nhớ quy tắc toán học. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét một trong số đó: tìm chân của một tam giác vuông.
Tam giác vuông là gì
Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ tam giác vuông là gì. Tam giác vuông- Cái này hình hình học gồm ba đoạn nối các điểm không nằm trên cùng một đường thẳng và một trong các góc của hình này là 90 độ. Các cạnh tạo thành một góc vuông được gọi là chân, và cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền.
Tìm chân của một tam giác vuông
Có một số cách để tìm ra chiều dài của chân. Tôi muốn xem xét chúng chi tiết hơn.
Định lý Pythagore để tìm cạnh của một tam giác vuông
Nếu chúng ta biết cạnh huyền và chân thì chúng ta có thể tìm được độ dài của cạnh chưa biết bằng định lý Pythagore. Nghe như thế này: “Bình phương cạnh huyền bằng tổng hình vuông của chân.” Công thức: c2=a2+b2, trong đó c là cạnh huyền, a và b là hai chân. Chúng ta biến đổi công thức và nhận được: a2=c2-b2.
Ví dụ. Cạnh huyền là 5 cm và cạnh huyền là 3 cm. Chúng ta biến đổi công thức: c2=a2+b2 → a2=c2-b2. Tiếp theo chúng ta giải: a2=52-32; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Các tỉ số lượng giác để tìm cạnh của tam giác vuông
Bạn cũng có thể tìm thấy một cạnh chưa biết nếu biết bất kỳ cạnh nào khác và bất kỳ góc nhọn nào của một tam giác vuông. Có bốn lựa chọn để tìm một chân bằng các hàm lượng giác: sin, cosin, tiếp tuyến, cotang. Bảng dưới đây sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề. Hãy xem xét các lựa chọn này.
Tìm chân của tam giác vuông bằng hàm sin
Sin của một góc (sin) là tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền. Công thức: sin=a/c, trong đó a là cạnh đối diện với góc đã cho và c là cạnh huyền. Tiếp theo, chúng ta biến đổi công thức và nhận được: a=sin*c.
Ví dụ. Cạnh huyền là 10 cm, góc A là 30 độ. Dựa vào bảng ta tính sin của góc A bằng 1/2. Sau đó, bằng cách sử dụng công thức được chuyển đổi, chúng ta giải: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Tìm chân của tam giác vuông bằng cosin
Cosin của một góc (cos) là tỉ số chân liền kềđến cạnh huyền. Công thức: cos=b/c, trong đó b là cạnh kề với góc này, và c là cạnh huyền. Hãy biến đổi công thức và nhận được: b=cos*c.
Ví dụ. Góc A bằng 60 độ, cạnh huyền bằng 10 cm, ta tính cosin của góc A bằng 1/2. Tiếp theo chúng ta giải: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Tìm chân của tam giác vuông bằng cách sử dụng tiếp tuyến
Tiếp tuyến của một góc (tg) là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề. Công thức: tg=a/b, trong đó a là cạnh đối diện với góc và b là cạnh liền kề. Hãy biến đổi công thức và nhận được: a=tg*b.
Ví dụ. Góc A bằng 45 độ, cạnh huyền bằng 10 cm, ta tính tiếp tuyến của góc A bằng Giải: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Tìm chân của tam giác vuông bằng cotang
Góc cotang (ctg) là tỉ số của cạnh kề với cạnh đối diện. Công thức: ctg=b/a, trong đó b là cạnh kề với góc và là cạnh đối diện. Nói cách khác, cotang là một “tiếp tuyến ngược”. Chúng tôi nhận được: b=ctg*a.
Ví dụ. Góc A là 30 độ, cạnh đối diện là 5 cm. Theo bảng thì tiếp tuyến của góc A là √3. Chúng tôi tính toán: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Vậy là bây giờ bạn đã biết cách tìm chân trong một tam giác vuông. Như bạn có thể thấy, nó không khó lắm, điều chính là phải nhớ các công thức.
Trong bài viết này chúng tôi sẽ hướng dẫn cách cung cấp Định nghĩa sin, cosin, tang, cotang của góc và số trong lượng giác. Ở đây chúng ta sẽ nói về các ký hiệu, đưa ra ví dụ về các mục và đưa ra hình ảnh minh họa. Để kết luận, chúng ta hãy so sánh các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang trong lượng giác và hình học.
Điều hướng trang.
Định nghĩa sin, cosin, tiếp tuyến và cotang
Chúng ta hãy xem ý tưởng về sin, cos, tiếp tuyến và cotang được hình thành như thế nào trong khóa học toán học. Trong các bài học hình học, đưa ra định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và côtang của góc nhọn trong tam giác vuông. Và lượng giác sau này được nghiên cứu, trong đó nói về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của góc quay và số. Hãy để chúng tôi trình bày tất cả các định nghĩa này, đưa ra ví dụ và đưa ra những nhận xét cần thiết.
Góc nhọn trong tam giác vuông
Từ môn học hình học, chúng ta biết các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong một tam giác vuông. Chúng được đưa ra dưới dạng tỷ lệ của các cạnh của một tam giác vuông. Hãy để chúng tôi đưa ra công thức của họ.
Sự định nghĩa.
Sin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số của cạnh đối diện với cạnh huyền.
Sự định nghĩa.
Cosin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của góc nhọn trong tam giác vuông- đây là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
Sự định nghĩa.
Cotang của góc nhọn trong tam giác vuông- đây là tỷ lệ của cạnh liền kề với cạnh đối diện.
Các ký hiệu cho sin, cos, tiếp tuyến và cotang cũng được giới thiệu ở đó - lần lượt là sin, cos, tg và ctg.
Ví dụ: nếu tam giác ABC vuông có góc vuông C thì sin của góc nhọn A bằng tỷ lệ cạnh đối diện BC với cạnh huyền AB, nghĩa là sin∠A=BC/AB.
Các định nghĩa này cho phép bạn tính các giá trị sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn từ độ dài đã biết của các cạnh của một tam giác vuông, cũng như từ giá trị đã biết tìm độ dài của các cạnh khác bằng cách sử dụng sin, cos, tiếp tuyến, côtang và độ dài của một trong các cạnh. Ví dụ: nếu chúng ta biết rằng trong một tam giác vuông, cạnh AC bằng 3 và cạnh huyền AB bằng 7, thì chúng ta có thể tính giá trị cosin của góc nhọn A theo định nghĩa: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Góc quay
Trong lượng giác, các em bắt đầu nhìn góc rộng hơn - các em đưa ra khái niệm góc quay. Độ lớn của góc quay, không giống như góc nhọn, không bị giới hạn từ 0 đến 90 độ; góc quay tính bằng độ (và tính bằng radian) có thể được biểu thị bằng bất kỳ số thực nào từ −∞ đến +∞.
Trong ánh sáng này, các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang được đưa ra không phải là một góc nhọn mà là một góc có kích thước tùy ý - góc quay. Chúng được cho thông qua tọa độ x và y của điểm A 1, mà cái gọi là điểm bắt đầu A(1, 0) đi sau khi nó quay một góc α quanh điểm O - điểm bắt đầu của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật và tâm của đường tròn đơn vị.
Sự định nghĩa.
Sin góc quayα là tọa độ của điểm A 1, nghĩa là sinα=y.
Sự định nghĩa.
Cosin của góc quayα được gọi là hoành độ của điểm A 1, nghĩa là cosα=x.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của góc quayα là tỷ số giữa tọa độ của điểm A 1 và hoành độ của nó, nghĩa là tanα=y/x.
Sự định nghĩa.
Cotang của góc quayα là tỉ số giữa hoành độ của điểm A 1 với tọa độ của nó, nghĩa là ctgα=x/y.
Sin và cosin được xác định cho bất kỳ góc α nào, vì chúng ta luôn có thể xác định hoành độ và tọa độ của điểm, điều này thu được bằng cách xoay điểm bắt đầu theo góc α. Nhưng tiếp tuyến và côtang không được xác định cho bất kỳ góc nào. Tiếp tuyến không được xác định cho các góc α mà tại đó điểm bắt đầu đi đến một điểm có trục hoành bằng 0 (0, 1) hoặc (0, −1), và điều này xảy ra ở các góc 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Thật vậy, ở những góc quay như vậy, biểu thức tgα=y/x không có ý nghĩa, vì nó chứa phép chia cho 0. Đối với cotang, nó không được xác định cho các góc α mà tại đó điểm bắt đầu đi đến điểm có tọa độ 0 (1, 0) hoặc (−1, 0), và điều này xảy ra đối với các góc 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Vì vậy, sin và cosin được xác định cho mọi góc quay, tiếp tuyến được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) và cotang được xác định cho tất cả các góc ngoại trừ 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Các định nghĩa bao gồm các ký hiệu mà chúng ta đã biết là sin, cos, tg và ctg, chúng cũng được sử dụng để chỉ sin, cos, tiếp tuyến và cotang của góc quay (đôi khi bạn có thể tìm thấy các ký hiệu tan và cot tương ứng với tiếp tuyến và cotang) . Vì vậy sin của một góc quay 30 độ có thể được viết là sin30°, các mục tg(−24°17′) và ctgα tương ứng với tang của góc quay −24 độ 17 phút và cotang của góc quay α . Hãy nhớ lại rằng khi viết số đo radian của một góc, ký hiệu “rad” thường bị bỏ qua. Ví dụ, cosin của góc quay bằng 3 pi rad thường được ký hiệu là cos3·π.
Để kết luận điểm này, điều cần lưu ý là khi nói về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của góc quay, cụm từ “góc quay” hoặc từ “xoay” thường bị lược bỏ. Nghĩa là, thay vì cụm từ “sin của góc quay alpha”, cụm từ “sin của góc alpha” hoặc thậm chí ngắn hơn, “sine alpha” thường được sử dụng. Điều tương tự cũng áp dụng cho cosine, tang và cotang.
Chúng ta cũng sẽ nói rằng các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong một tam giác vuông phù hợp với các định nghĩa vừa đưa ra cho sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc quay từ 0 đến 90 độ. Chúng tôi sẽ biện minh cho điều này.
số
Sự định nghĩa.
Sin, cosin, tang và cotang của một số t là số bằng sin, cosin, tang và cotang của góc quay tính bằng t radian tương ứng.
Ví dụ, cosin của số 8 π theo định nghĩa là số bằng cosin góc 8·π rad. Và cosin của một góc 8·π rad bằng 1 nên cosin của số 8·π bằng 1.
Có một cách tiếp cận khác để xác định sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một số. Nó bao gồm thực tế là mọi người số thực t được gán cho một điểm trên đường tròn đơn vị có tâm ở đầu hệ thống hình chữ nhật tọa độ và sin, cos, tiếp tuyến và côtang được xác định thông qua tọa độ của điểm này. Hãy xem xét điều này chi tiết hơn.
Hãy để chúng tôi chỉ ra cách thiết lập sự tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn:
- số 0 được gán cho điểm bắt đầu A(1, 0);
- số dương t được liên kết với điểm trên đường tròn đơn vị mà chúng ta sẽ đến nếu chúng ta di chuyển dọc theo đường tròn từ điểm bắt đầu theo hướng ngược chiều kim đồng hồ và chúng ta hãy đi trên con đường chiều dài t;
- số âm t được liên kết với điểm của đường tròn đơn vị mà chúng ta sẽ đạt được nếu chúng ta di chuyển dọc theo đường tròn từ điểm bắt đầu theo chiều kim đồng hồ và đi trên một đường có độ dài |t| .
Bây giờ chúng ta chuyển sang các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của số t. Giả sử số t tương ứng với một điểm trên đường tròn A 1 (x, y) (ví dụ: số &pi/2; tương ứng với điểm A 1 (0, 1)).
Sự định nghĩa.
Sin của số t là tọa độ của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, nghĩa là sint=y.
Sự định nghĩa.
Cosin của số t được gọi là hoành độ của điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, nghĩa là cost=x.
Sự định nghĩa.
Tiếp tuyến của số t là tỉ số giữa tọa độ và hoành độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là tgt=y/x. Trong một công thức tương đương khác, tang của một số t là tỷ số của sin của số này với cosin, tức là tgt=sint/cost.
Sự định nghĩa.
Cotang của số t là tỉ số của trục hoành với tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị tương ứng với số t, tức là ctgt=x/y. Một công thức khác là: tang của số t là tỉ số giữa cosin của số t và sin của số t: ctgt=cost/sint.
Ở đây chúng tôi lưu ý rằng các định nghĩa vừa đưa ra nhất quán với định nghĩa được đưa ra ở đầu đoạn này. Thật vậy, một điểm trên đường tròn đơn vị, tương ứng với số t , trùng với điểm thu được bằng cách quay điểm đầu một góc t radian.
Nó vẫn đáng để làm rõ điểm này. Giả sử chúng ta có mục sin3. Làm sao chúng ta có thể hiểu được chúng ta đang nói về sin của số 3 hay sin của góc quay 3 radian? Điều này thường rõ ràng từ bối cảnh, trong nếu không thìđiều này rất có thể không có tầm quan trọng cơ bản.
Hàm lượng giác của đối số góc và số
Theo số liệu ở đoạn trướcđịnh nghĩa, mỗi góc quay α tương ứng với một góc được xác định rõ giá trị tội lỗiα, giống như giá trị của cosα. Ngoài ra, tất cả các góc quay khác 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tương ứng với các giá trị tgα và các giá trị khác 180°k, k∈Z (πk rad ) – các giá trị của ctgα. Do đó sinα, cosα, tanα và ctgα là các hàm của góc α. Nói cách khác, đây là các hàm của đối số góc.
Tương tự, chúng ta có thể nói về các hàm sin, cos, tang và cotang đối số số. Thật vậy, với mọi số thực t đều có một số đầy đủ giá trị cụ thể sint, như chi phí. Ngoài ra, tất cả các số không phải π/2+π·k, k∈Z tương ứng với các giá trị tgt và các số π·k, k∈Z - giá trị ctgt.
Các hàm sin, cosin, tang và cotang được gọi là các hàm lượng giác cơ bản.
Thông thường, từ ngữ cảnh chúng ta sẽ thấy rõ liệu chúng ta đang xử lý các hàm lượng giác của một đối số góc hay một đối số số. Mặt khác, chúng ta có thể coi biến độc lập vừa là thước đo của góc (đối số góc) vừa là đối số số.
Tuy nhiên, ở trường họ chủ yếu học hàm số, nghĩa là các hàm có đối số, giống như các giá trị hàm tương ứng, là số. Vì vậy, nếu chúng ta đang nói về cụ thể về chức năng thì nên xem xét hàm lượng giác chức năng của đối số.
Mối quan hệ giữa các định nghĩa từ hình học và lượng giác
Nếu chúng ta xem xét góc quay α nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ, thì các định nghĩa về sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay trong bối cảnh lượng giác là hoàn toàn phù hợp với các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn trong tam giác vuông đã được đưa ra trong môn hình học. Hãy biện minh cho điều này.
Hãy vẽ đường tròn đơn vị trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật Oxy. Hãy đánh dấu điểm bắt đầu A(1, 0) . Xoay nó một góc α trong khoảng từ 0 đến 90 độ, ta được điểm A 1 (x, y). Chúng ta thả đường vuông góc A 1 H từ điểm A 1 xuống trục Ox.
Dễ dàng nhận thấy trong tam giác vuông góc A 1 OH bằng góc góc quay α thì độ dài chân OH kề góc này bằng hoành độ của điểm A 1, tức là |OH|=x, độ dài chân A 1 H đối diện với góc bằng tọa độ của điểm A 1, tức là |A 1 H|=y, và độ dài cạnh huyền OA 1 bằng 1, vì nó là bán kính của đường tròn đơn vị. Khi đó, theo định nghĩa từ hình học, sin của góc nhọn α trong tam giác vuông A 1 OH bằng tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền, nghĩa là sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Và theo định nghĩa từ lượng giác, sin của góc quay α bằng tọa độ của điểm A 1, nghĩa là sinα=y. Điều này cho thấy việc xác định sin của một góc nhọn trong tam giác vuông tương đương với việc xác định sin của góc quay α khi α nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ.
Tương tự, có thể chứng minh rằng các định nghĩa về cosin, tiếp tuyến và cotang của góc nhọn α nhất quán với các định nghĩa về cosin, tiếp tuyến và cotang của góc quay α.
Tài liệu tham khảo.
- Hình học. lớp 7-9: sách giáo khoa cho giáo dục phổ thông tổ chức / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, v.v.]. - tái bản lần thứ 20. M.: Giáo dục, 2010. - 384 tr.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Hình học: Sách giáo khoa. cho lớp 7-9. giáo dục phổ thông tổ chức / A. V. Pogorelov. - Tái bản lần thứ 2 - M.: Education, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Đại số và hàm cơ bản : Hướng dẫn dành cho học sinh lớp 9 trường trung học/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Biên tập bởi Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học O. N. Golovin - tái bản lần thứ 4. M.: Giáo dục, 1969.
- Đại số: Sách giáo khoa cho lớp 9. trung bình trường học/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Giáo dục, 1990. - 272 trang: bệnh - ISBN 5-09-002727-7
- đại số và phần đầu của phân tích: Proc. cho lớp 10-11. giáo dục phổ thông tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - tái bản lần thứ 14 - M.: Giáo dục, 2004. - 384 trang: bệnh - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A. G.Đại số và sự khởi đầu của phân tích. lớp 10. Lúc 2 giờ chiều Phần 1: hướng dẫn cơ sở giáo dục (cấp độ hồ sơ)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Tái bản lần thứ 4, bổ sung. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-00792-0.
- đại số và bắt đầu phân tích toán học. lớp 10: SGK. cho giáo dục phổ thông tổ chức: cơ bản và hồ sơ. cấp độ /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; được chỉnh sửa bởi A. B. Zhizhchenko. - tái bản lần thứ 3. - I.: Education, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmak M. I.Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Sách giáo khoa. cho lớp 10-11. trung bình trường học - tái bản lần thứ 3. - M.: Education, 1993. - 351 tr.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.