3. Cho tam giác đều ABCA 1 B 1 C 1 có các cạnh bằng 1, tìm góc giữa các đường thẳng AB và A 1 C. Giải: Góc mong muốn bằng góc B 1 A 1 C. Trong tam giác B 1 A 1 C ta vẽ chiều cao CD 1. Trong tam giác vuông A 1 CD 1 cạnh A 1 D 1 bằng 0,5; cạnh huyền A 1 C bằng nhau. Kể từ đây,
Lời giải 1. Gọi O 1 là tâm của lục giác đều A 1 ...F 1. Khi đó đường thẳng AO 1 song song với đường thẳng BC 1 và tạo góc mong muốn giữa đường thẳng AB 1 và BC 1 bằng góc B 1 AO 1. Trong tam giác cân B 1 AO 1 ta có : O 1 B 1 = 1; AB 1 =AO 1 =. Áp dụng định lý cosin, ta có.
Lời giải 2. Giới thiệu hệ tọa độ, coi điểm A là gốc tọa độ, điểm B có tọa độ (1, 0, 0), điểm A 1 có tọa độ (0, 0, 1). Khi đó điểm C 1 có tọa độ (1,5, 1). Một vectơ có tọa độ (1, 0, 1), một vectơ có tọa độ (0,5, 1). Hãy sử dụng công thức biểu thị cosin của góc giữa các vectơ thông qua tích vô hướng và chiều dài của chúng. Chúng tôi có. Do đó cosin của góc giữa hai đường thẳng AB 1 và BC 1 là 0,75.
Lời giải 2. Giới thiệu hệ tọa độ, coi điểm A là gốc tọa độ, điểm B có tọa độ (1, 0, 0), điểm A 1 có tọa độ (0, 0, 1). Khi đó điểm D 1 có tọa độ (1, 1). Một vectơ có tọa độ (1, 0, 1), một vectơ có tọa độ (0, 1). Hãy sử dụng công thức biểu thị cosin của góc giữa các vectơ thông qua tích vô hướng và chiều dài của chúng. Chúng tôi có. Do đó cosin của góc giữa hai đường thẳng AB 1 và BC 1 bằng nhau.
Lời giải 1. Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB 1 và BE 1 bằng 90 độ. Để làm điều này, chúng ta sử dụng định lý ba đường vuông góc. Cụ thể, nếu hình chiếu trực giao của một mặt phẳng nghiêng lên một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này thì bản thân mặt phẳng nghiêng đó cũng vuông góc với đường thẳng này. Hình chiếu trực giao của BE 1 lên mặt phẳng ABB 1 là đường thẳng A 1 B, vuông góc với AB 1. Do đó, đường thẳng BE 1 cũng sẽ vuông góc với đường thẳng AB 1, tức là góc mong muốn là 90°.
Lời giải 2. Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AB 1 và ký hiệu G 1 là giao điểm của nó với đường thẳng A 1 B 1. Góc mong muốn bằng góc E 1 BG 1. Cạnh BG 1 của tam giác E 1 BG 1 bằng nhau. Trong tam giác vuông BEE 1, hai chân BE và EE 1 lần lượt bằng 2 và 1 nên cạnh huyền của BE 1 bằng nhau. Trong tam giác vuông G 1 A 1 E 1, hai chân A 1 G 1 và A 1 E 1 lần lượt bằng 2. Do đó, cạnh huyền G 1 E 1 bằng nhau. Như vậy, trong tam giác BE 1 G 1 ta có: BG 1 =, BE 1 =, G 1 E 1 =. Theo định lý nghịch đảo của định lý Pythagore, ta thấy góc E 1 BG 1 bằng 90 độ.
Lời giải 3. Đưa ra hệ tọa độ, coi điểm A là gốc tọa độ, điểm B có tọa độ (1, 0, 0), điểm A 1 có tọa độ (0, 0, 1), điểm E có tọa độ tọa độ (0, 0). Khi đó điểm E 1 có tọa độ (0, 1), Vector có tọa độ (1, 0, 1), vectơ có tọa độ (-1, 1). Hãy sử dụng công thức biểu thị cosin của góc giữa các vectơ thông qua tích vô hướng và chiều dài của chúng. Do đó, ta có góc giữa hai đường thẳng AB 1 và BE 1 bằng 90 độ.
13. Cho tam giác đều ABCA 1 B 1 C 1 có các cạnh bằng 1, tìm góc giữa hai mặt phẳng ABC và A 1 B 1 C. Giải: Gọi O, O 1 là trung điểm của các cạnh AB và A 1 B 1. Góc tuyến tính mong muốn sẽ là góc OCO 1. Trong tam giác vuông OCO 1 chúng ta có OO 1 = 1; OC = Do đó
16. Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm góc giữa hai mặt phẳng CDF 1 và AFD 1. Trả lời: Giải: Cho O là tâm của lăng kính G, G 1 trung điểm của các cạnh CD và C 1 D 1. Góc cần tìm bằng góc GOG 1. Trong tam giác GOG 1 ta có: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Do đó = 60 o.
Khối 1 Trong khối A…D 1, tìm góc giữa hai đường thẳng AC và BD 1. Trả lời. 90 giờ.
Khối 2 Trong khối A…D 1, tìm góc giữa đường thẳng AB 1 và BD 1. Trả lời. 90 giờ.
Khối 3 Trong khối A…D 1, tìm góc giữa đường thẳng DA 1 và BD 1. Trả lời. 90 giờ.
Khối 4 Trong khối lập phương đơn vị A...D 1, tìm cosin của góc giữa các đường thẳng AE và BE 1, trong đó E và E 1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B 1 C 1. Giải. Qua điểm A vẽ đường thẳng AF 1 song song với BE 1. Góc mong muốn bằng góc EAF 1. Trong tam giác AEF 1 AE = AF 1 = , EF 1 = . Sử dụng định lý cosine chúng ta tìm được câu trả lời.
Khối 5 Trong khối A...D 1, tìm góc giữa các đường thẳng AE và BF 1, trong đó E và F 1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và C 1 D 1. Từ điểm F 1 hạ đường vuông góc F 1 F xuống đường thẳng CD. Đường thẳng AE vuông góc với BF nên vuông góc với BF 1. Đáp án. 90 giờ.
Hình chóp 1 Cho tứ diện đều ABCD, tìm góc giữa các đường thẳng AD và BC. Trả lời: 90 o.
Hình chóp 1 Trong tứ diện đều ABCD, các điểm E, F, G là trung điểm của các cạnh AB, BD, CD. Tìm góc EFG. Giải pháp. Các đường thẳng EF và FG song song với các đường thẳng AD và BC vuông góc. Do đó, góc giữa chúng là 90 độ. Trả lời: 90 o.
Hình chóp 2 Cho hình chóp đều SABCD có tất cả các cạnh bằng 1, điểm E là trung điểm của cạnh SC. Tìm tiếp tuyến của góc giữa hai đường thẳng SA và BE. Giải pháp. Qua điểm E vẽ đường thẳng song song với SA. Nó sẽ cắt đáy tại điểm O. Góc cần tìm bằng góc OEB. Trong tam giác vuông OEB ta có: OB = Đáp án: , OE = . Kể từ đây,
Hình chóp 3 Cho hình chóp đều SABCD có các cạnh bằng 1, các điểm E, F là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AE và BF. Giải pháp. Gọi G là trung điểm của cạnh AD. Đường thẳng GF song song với AE. Góc cần tìm bằng góc BFG. Trong tam giác BFG ta có: BF = GF = , BG = . Sử dụng định lý cosin, chúng ta tìm được câu trả lời:
Hình chóp 4 Cho hình chóp đều SABCDEF có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 2, tìm góc giữa hai đường thẳng SA và BF. Trả lời: 90 o.
Hình chóp 5 Cho hình chóp đều SABCDEF có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 2, điểm G là trung điểm của cạnh SC. Tìm tiếp tuyến của góc giữa hai đường thẳng SA và BG. Giải pháp. Gọi H là trung điểm của đoạn AC. Đường thẳng GH song song với SA. Góc cần tìm bằng góc BGH. Trong tam giác BGH ta có: BH = 0, 5, GH = 1. Trả lời:
Lăng trụ 1 Trong lăng trụ tam giác đều ABCA 1 B 1 C 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AB 1 và BC 1. Giải: Dựng lăng trụ thành lăng trụ trụ 4 góc . Chúng ta vẽ AD 1 song song với BC 1. Góc mong muốn sẽ bằng góc B 1 AD 1. Trong tam giác AB 1 D 1 Sử dụng định lý cosin, ta tìm được
Lăng trụ 2 Trong lăng trụ tam giác đều ABCA 1 B 1 C 1 có các cạnh bằng 1, các điểm D, E là trung điểm của các cạnh A 1 B 1 và B 1 C 1. Tìm cosin của góc giữa các đường thẳng AD và BE. Giải pháp. Gọi F là trung điểm của đoạn AC. Đường thẳng EF song song với AD. Góc cần tìm bằng góc BEF. Trong tam giác BGH ta có: Áp dụng định lý cosin ta tìm được đáp án.
Lăng kính 3 Trong lăng kính thứ 6 đều A…F 1 có các cạnh bằng 1, tìm góc giữa hai đường thẳng AA 1 và BD 1. Giải: Góc cần tìm bằng góc B 1 BD 1. Trong một hình bên phải tam giác B 1BD 1 B 1 D 1 = ; B 1 B =1; BD 1=2. Do đó, góc mong muốn là 60°. Trả lời. 60 giờ.
Lăng kính 4 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm tiếp tuyến của góc giữa hai đường thẳng AA 1 và BE 1. Giải: Góc mong muốn bằng góc B 1 BE 1. Trong tam giác vuông B 1 BE 1 chân B 1 E 1 bằng 2; cạnh B 1 B bằng 1. Do đó, Đáp án. 2.
Lăng kính 5 Trong lăng kính thứ 6 đều A…F 1, có các cạnh bằng 1, tìm góc giữa hai đường thẳng AC 1 và BE. Trả lời. 90 giờ.
Lăng kính 6 Trong lăng kính thứ 6 đều A…F 1, có các cạnh bằng 1, tìm góc giữa hai đường thẳng AD 1 và BF. Trả lời. 90 giờ.
Lăng kính 7 Trong lăng kính thứ 6 đều A…F 1 có các cạnh bằng 1, tìm góc giữa hai đường thẳng AB 1 và BE 1. Trả lời. 90 giờ.
Lăng kính 8 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin góc giữa hai đường thẳng BA 1 và FC 1. Giải: Qua trung điểm O của đoạn FC 1, vẽ đường thẳng PP 1, song song với BA 1. Góc mong muốn bằng góc POC 1. Trong tam giác POC 1 ta có: PO = ; OC 1= PC 1= Vì vậy, Trả lời. .
Lăng kính 9 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AB 1 và BC 1. Giải: Gọi O 1 là tâm của đường thẳng thứ 6 đều lăng kính A 1...F 1. Khi đó AO 1 song song BC 1 và góc cần tìm bằng góc B 1 AO 1. Trong tam giác cân B 1 AO 1 O 1 B 1=1; AB 1=AO 1= Áp dụng định lý cosine, ta có
Lăng kính 10 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AB 1 và BD 1. Giải: Góc mong muốn bằng góc B 1 AE 1. Trong tam giác B 1 AE 1 AB 1= ; B 1 E 1 = AE 1 = 2. Do đó,
Lăng kính 11 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AB 1 và BF 1. Giải: Gọi O, O 1 là tâm của các đường thẳng AB 1 và BF 1. các đáy của lăng kính. Trên trục của lăng kính, vẽ O 1 O 2 = OO 1. Khi đó F 1 O 2 sẽ song song với AB 1 và góc mong muốn sẽ bằng góc BF 1 O 2. Trong tam giác BF 1 O 2 BO 2 = BF 1 = 2; F 1 O 2 = Theo định lý cosin, ta có
Lăng trụ 12 Trong lăng kính thứ 6 đều A…F 1, có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa đường thẳng AB 1 và CD 1. Giải: Góc mong muốn bằng góc CD 1 E. Trong tam giác CD 1 E CD 1= ED 1 = ; CE = Theo định lý cosin, ta có
Lăng kính 13 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AB 1 và CE 1. Giải: Lưu ý rằng CE 1 song song với BF 1. Do đó, góc mong muốn bằng góc giữa AB 1 và BF 1, đã tìm được trước đó. Cụ thể là,
Lăng kính 14 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AB 1 và CF 1. Giải: Gọi O, O 1 là tâm của các đường thẳng AB 1 và CF 1. các đáy của lăng kính. Trên trục của lăng kính vẽ O 1 O 2 = OO 1. Khi đó F 1 O 2 sẽ song song với AB 1 và góc mong muốn sẽ bằng góc CF 1 O 2. Trong tam giác CF 1 O 2 CO 2= CF 1 = F 1 O 2 = Khi đó
Lăng trụ 15 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AB 1 và CA 1. Giải: Tiếp tục BB 1, đặt sang một bên B 1 B 2 = BB 1. Khi đó A 1 B 2 sẽ song song với AB 1 và góc mong muốn sẽ bằng góc CA 1 B 2. Trong tam giác CA 1 B 2 CA 1= 2; CB 2 = A 1 B 2 = Khi đó
Lăng trụ 16 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AB 1 và DF 1. Giải: Lưu ý rằng DF 1 song song với CA 1. Do đó, góc mong muốn bằng góc giữa AB 1 và CA 1 đã tìm được trước đó. Cụ thể là,
Lăng kính 17 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm góc giữa hai đường thẳng AB 1 và DA 1. Giải: Tiếp tục BB 1 ta bỏ B 1 B 2 = BB 1. Khi đó A 1 B 2 sẽ song song AB 1 và góc cần tìm bằng góc DA 1 B 2. Trong tam giác DA 1 B 2 DA 1= DB 2 = A 1 B 2 = Do đó, góc yêu cầu là 90 o.
Lăng trụ 18 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AB 1 và DC 1. Giải: Gọi O là tâm đáy của lăng kính. Các đoạn OC 1 và OB 1 sẽ lần lượt bằng và song song với các đoạn AB 1 và DC 1. Góc mong muốn sẽ bằng góc B 1 OC 1. Trong tam giác B 1 OC 1 OB 1 = OC 1 = ; B 1 C 1 = 1. Khi đó, theo định lý cosin
Lăng kính 19 Trong lăng kính thứ 6 đều A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AC 1 và BD 1. Giải: Lưu ý rằng AE 1 song song với BD 1. Do đó , góc cần tìm bằng góc C 1 AE 1 . Trong tam giác C 1 AE 1 AC 1 = AE 1 = 2; C 1 E 1 = Theo định lý cosin, ta có
Lăng trụ 20 Trong lăng kính thường thứ 6 A...F 1 có các cạnh bằng 1, tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AC 1 và BE 1. Giải: Lưu ý đoạn thẳng GG 1 đi qua trung điểm của các cạnh AF và C 1 D 1 song song và bằng đoạn AC 1. Góc cần tìm bằng góc G 1 OE 1. Trong tam giác G 1 OE 1 OG 1 = 1; OE 1 = ; G 1 E 1 = Theo định lý cosin, ta có.
Kỳ thi Thống nhất Quốc gia 2010. TOÁN
Vấn đề C2
Sổ làm việc
Được chỉnh sửa bởi và
Nhà xuất bản MCNMO
2010
GIỚI THIỆU
Sách hướng dẫn này nhằm mục đích giúp bạn chuẩn bị hoàn thành nhiệm vụ C2 của Kỳ thi Thống nhất môn toán. Mục tiêu của nó là:
– chỉ ra các chủ đề gần đúng và mức độ khó của các bài toán hình học có trong nội dung Kỳ thi Thống nhất;
– kiểm tra chất lượng kiến thức và kỹ năng về hình học của học sinh, mức độ sẵn sàng tham gia Kỳ thi Thống nhất của Nhà nước;
– phát triển ý tưởng của học sinh về các hình hình học cơ bản và các tính chất của chúng, phát triển kỹ năng làm việc với các bản vẽ và khả năng thực hiện các công trình bổ sung;
– nâng cao văn hóa sử dụng máy tính của sinh viên.
Sách có các bài toán tìm góc giữa các đường thẳng trong không gian, một đường thẳng và một mặt phẳng, hai mặt phẳng; tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, từ một điểm đến một mặt phẳng, giữa hai đường thẳng. Sự hiện diện của các hình vẽ giúp hiểu rõ hơn về điều kiện của các bài toán, tưởng tượng ra tình huống hình học tương ứng, vạch ra phương án giải và thực hiện các cách xây dựng và tính toán bổ sung.
Để giải các bài toán đặt ra, cần có kiến thức về định nghĩa hàm lượng giác, công thức tìm các phần tử của tam giác, định lý Pythagore, định lý cosin, khả năng thực hiện các phép dựng bổ sung, kiến thức về phương pháp tọa độ và vectơ của hình học. .
Mỗi nhiệm vụ được tính điểm dựa trên hai điểm. Một điểm được trao cho việc xây dựng hoặc mô tả chính xác góc hoặc khoảng cách cần thiết. Ngoài ra, một điểm được trao cho các phép tính được thực hiện chính xác và câu trả lời đúng.
Đầu tiên, công việc chẩn đoán được đề xuất để tìm các góc và khoảng cách cho các khối đa diện khác nhau. Đối với những người muốn kiểm tra tính đúng đắn của các giải pháp cho các vấn đề được đề xuất hoặc đảm bảo rằng câu trả lời nhận được là chính xác, các giải pháp cho các vấn đề sẽ được đưa ra, thường theo hai cách khác nhau và các câu trả lời sẽ được đưa ra. Sau đó, để củng cố các phương pháp giải quyết vấn đề đã xem xét, công việc đào tạo được đề xuất là tìm các góc và khoảng cách cho từng loại hình được xem xét trong công việc chẩn đoán.
Nếu các tác vụ này được giải quyết thành công, bạn có thể chuyển sang thực hiện công việc chẩn đoán cuối cùng bao gồm các loại tác vụ khác nhau.
Ở cuối sách hướng dẫn sẽ có câu trả lời cho tất cả các vấn đề.
Lưu ý rằng cách tốt nhất để chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất về hình học là học một cách có hệ thống trong sách giáo khoa hình học. Sách hướng dẫn này không thay thế sách giáo khoa. Nó có thể được sử dụng như bộ sưu tập bổ sung nhiệm vụ khi học hình học lớp 10-11 cũng như khi tổ chức các bài học hình học lặp lại tổng quát hoặc hình học độc lập.
Công việc chẩn đoán
1.1. Trong một khối đơn vị MỘT…D 1 tìm góc giữa các đường thẳng AB 1 và BC 1.
1.2.
Trong một khối đơn vị MỘT…D 1 tìm góc giữa các đường thẳng D.A. 1 và BD 1.
1.3 . ABCA 1B 1C QUẢNG CÁO 1 và C.E. 1, ở đâu D 1 và E 1 – tương ứng là phần giữa của xương sườn MỘT 1C 1 và B 1C 1.
2.1. MỘT…F A. F. và máy bay
2.2.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm góc giữa đường thẳng đó CC 1 và mặt phẳng
2.3
. SABCD LÀ và máy bay S.A.D., Ở đâu E- giữa sườn S.C..
3.1.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm góc giữa các mặt phẳng
AFF 1 và DEE 1.
3.2. Trong một khối đơn vị MỘT…D
THÊM VÀO 1 và BDC 1.
3.3.
Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C 1D 1 ACB 1 và B.A. 1C 1.
4.1. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F MỘTđến một đường thẳng D 1F 1.
4.2.
Trong một khối đơn vị MỘT…D MỘTđến một đường thẳng BD 1.
4.3. SABCDEF Fđến một đường thẳng B.G., Ở đâu G- giữa sườn S.C..
5.1. Trong một khối đơn vị MỘT…D 1 tìm khoảng cách từ điểm MỘT lên máy bay BDA 1.
5.2.
Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh của đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm khoảng cách từ điểm MỘT lên máy bay SBC.
5.3.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó MỘT lên máy bay B.F.E. 1.
6.1.
Trong một hình chóp tứ giác đều SABCD SA Và BC.
6.2. Trong một khối đơn vị MỘT…D AB 1 và BC 1.
6.3.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F A.A. 1 và CF 1.
Giải pháp khắc phục vấn đề 1.1 – 1.3 của công tác chẩn đoán
1.1.
Giải pháp đầu tiên. Thẳng QUẢNG CÁO 1 song song với đường thẳng BC 1 và do đó góc giữa các đường thẳng AB 1 và BC 1 bằng góc B 1QUẢNG CÁO 1. Tam giác B 1QUẢNG CÁO 1 cạnh đều và do đó là góc B 1QUẢNG CÁO 1 bằng 60o.
Giải pháp thứ hai MỘT, trục tọa độ – đường thẳng AB, QUẢNG CÁO, A.A. 1. Vectơ có tọa độ (1, 0, 1). Vectơ có tọa độ (0, 1, 1). Hãy sử dụng công thức tìm cosin của góc giữa các vectơ Và . Chúng ta nhận được và do đó, góc này là 60°. Do đó, góc mong muốn giữa các đường AB 1 và BC 1 bằng 60o.
Trả lời. 60o.
1.2. Giải pháp đầu tiên. Xét hình chiếu trực giao QUẢNG CÁO 1 thẳng BD 1 mỗi mặt phẳng THÊM VÀO 1. Thẳng QUẢNG CÁO 1 và D.A. 1 vuông góc. Từ định lý về ba đường vuông góc suy ra đường thẳng D.A. 1 và BD 1 cũng vuông góc, tức là góc mong muốn giữa các đường thẳng D.A. 1 và BD 1 bằng 90o.
Giải pháp thứ hai. Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ, coi điểm là gốc tọa độ MỘT, trục tọa độ – đường thẳng AB, QUẢNG CÁO, A.A. 1. Vectơ có tọa độ (0, -1, 1). Vectơ có tọa độ (-1, 1, 1). Tích vô hướng của các vectơ này bằng 0 và do đó, góc mong muốn giữa các đường thẳng D.A. 1 và BD 1 bằng 90o.
Trả lời. 90o.
1.3 . Giải pháp đầu tiên. Hãy biểu thị D Và F 1 lần lượt là giữa sườn A.C. Và MỘT 1B 1.
Trực tiếp DC 1 và DF 1 sẽ lần lượt song song với các đường thẳng QUẢNG CÁO 1 và C.E. 1. Do đó, góc giữa các đường thẳng QUẢNG CÁO 1 và C.E. 1 sẽ bằng góc C 1DF 1. Tam giác C 1DF 1 cân, DC 1 = DF 1 = , C 1F 1 = . Sử dụng định lý cosine, chúng ta có được 
.
Giải pháp thứ hai. Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ, coi điểm là gốc tọa độ MỘT như thể hiện trong hình ảnh. chấm C có tọa độ, điểm D 1 có tọa độ, điểm E 1 có tọa độ. Vectơ có tọa độ . Vectơ có tọa độ 
. Cosin của góc giữa các đường thẳng QUẢNG CÁO 1 và C.E. 1 bằng cosin của góc giữa các vectơ và . Hãy sử dụng công thức tìm cosin của góc giữa các vectơ. Chúng tôi sẽ có được nó.
Trả lời. 0,7.
Bài tập 1. Góc giữa các đường thẳng
1.
Trong một khối lập phương MỘT…D 1 tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng AB Và CA 1.
2. Trong một tứ diện đều ABCD dấu chấm E- giữa sườn đĩa CD. Tìm cosin của góc giữa hai đường thẳng BC Và A.E..
3. Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm cosin của góc giữa các đường thẳng AB Và CA 1.
4.
Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD E- giữa sườn SD S.B. Và A.E..
5.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm cosin của góc giữa các đường thẳng AB Và F.E. 1.
6. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm cosin của góc giữa các đường thẳng AB 1 và BC 1.
7. Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF S.B. Và A.E..
8. Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm cosin của góc giữa các đường thẳng S.B. Và QUẢNG CÁO.
Giải pháp khắc phục vấn đề 2.1 – 2.3 của công tác chẩn đoán
2.1. Giải pháp. Cho phép Ô- tâm của đáy lăng trụ. Thẳng B.O. song song A. F.. Kể từ khi máy bay ABC Và BCC 1 vuông góc thì góc cần tìm sẽ là góc OBC. Vì tam giác OBCđều thì góc này sẽ bằng 60°.
Trả lời. 60o.
2.2.
Giải pháp. Vì thẳng BB 1 và CC 1 song song thì góc mong muốn sẽ bằng góc giữa đường thẳng BB 1 và mặt phẳng BDE 1. Trực tiếp BD, qua đó máy bay đi qua BDE 1, vuông góc với mặt phẳng ABB 1 và do đó, một mặt phẳng BDE 1 vuông góc với mặt phẳng ABB 1. Do đó góc mong muốn sẽ bằng góc MỘT 1BB 1, tức là bằng 45o.
Trả lời. 45o.
2.3. Giải pháp. Qua đỉnh S vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng AB và vẽ một đoạn trên đó SF, bằng đoạn AB. Trong một tứ diện SBCF tất cả các cạnh đều bằng 1 và mặt phẳng BCF song song với mặt phẳng S.A.D.. vuông góc E.H., rơi khỏi điểm E lên máy bay BCF, bằng một nửa chiều cao của tứ diện, tức là bằng . Góc giữa đường thẳng LÀ và máy bay S.A.D. bằng góc EBH, sin của nó bằng .
Trả lời. .
Bài tập 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
1.
Trong một khối lập phương MỘT…D 1 tìm tang của góc giữa đường thẳng A.C. 1 và mặt phẳng
2.
Trong một khối lập phương MỘT…D AB và máy bay
C.B. 1D 1.
3.
Trong một tứ diện đều ABCD dấu chấm E- giữa sườn BD. Tìm sin của góc giữa đường thẳng A.E. và máy bay
4. Trong lăng trụ tam giác đều ABCA 1B 1C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm tang của góc giữa đường thẳng đó BB 1 và mặt phẳng
AB 1C 1.
5. Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm sin của góc giữa đường thẳng BD và máy bay
6.
Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF BC và máy bay
7. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm góc giữa đường thẳng đó A.A. 1 và mặt phẳng
8. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F BC 1 và mặt phẳng
Giải pháp khắc phục sự cố 3.1 – 3.3 Công tác chẩn đoán
3.1.
Giải pháp đầu tiên. Kể từ khi máy bay FCC 1 song song với mặt phẳng DEE AFF 1 và FCC 1. Kể từ khi máy bay AFF 1 và FCC 1 vuông góc với mặt phẳng ABC A.F.C., bằng 60o.
Giải pháp thứ hai. Kể từ khi máy bay AFF 1 song song với mặt phẳng CON ONG 1 thì góc mong muốn bằng góc giữa các mặt phẳng CON ONG 1 và DEE 1. Kể từ khi máy bay CON ONG 1 và DEE 1 vuông góc với mặt phẳng ABC, khi đó góc tuyến tính tương ứng sẽ là góc GIƯỜNG, bằng 60o.
Trả lời. 60o.
3.2.
Giải pháp. Kể từ khi máy bay THÊM VÀO 1 song song với mặt phẳng BCC 1 thì góc mong muốn bằng góc giữa các mặt phẳng BCC 1 và BDC 1. Hãy để E- giữa đoạn BC 1. Sau đó đi thẳng C.E. Và DE sẽ vuông góc với đường thẳng BC 1 và do đó góc CED sẽ là góc tuyến tính giữa các mặt phẳng BCC 1 và BDC 1. Tam giác CED hình chữ nhật, chân đĩa CD bằng 1, chân C.E. bằng . Kể từ đây, 
.
3.3. Cho phép DE- giao tuyến của các mặt phẳng này, F- giữa đoạn DE, G- giữa đoạn MỘT 1C 1. Góc GFB 1 là góc tuyến tính giữa các mặt phẳng này. Trong một hình tam giác GFB 1 ta có: FG =
FB 1 = , G.B. 1 = . Sử dụng định lý cosine chúng ta tìm thấy 
.
Trả lời. .
Bài tập 3. Góc giữa hai mặt phẳng
1.
Trong một khối lập phương MỘT…D 1 tìm tang của góc giữa các mặt phẳng
ABC Và C.B. 1D 1.
2.
Trong một khối lập phương MỘT…D B
MỘT 1C 1 và AB 1D 1.
3.
Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C
ABC Và CA 1B 1.
4. Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm cosin của góc giữa các mặt phẳng S
QUẢNG CÁO Và SBC.
5. Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm cosin của góc nhị diện tạo bởi các mặt
SBC Và SCD.
6.
Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF
SBC Và S.E.F..
7. Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh đáy bằng 1, các cạnh bên bằng 2, tìm cosin của góc giữa các mặt phẳng
SAF Và SBC.
8. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT… F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm tang của góc giữa các mặt phẳng
ABC Và D.B. 1F 1.
Giải pháp khắc phục vấn đề 4.1 – 4.3 của công tác chẩn đoán
4.1. Giải pháp. Vì nó thẳng D 1F 1 vuông góc với mặt phẳng AFF 1 thì phân đoạn A. F. 1 sẽ là đường vuông góc yêu cầu được thả từ điểm MỘT trực tiếp D 1F 1. Chiều dài của nó là .
4.2. Giải pháp đầu tiên A.H. tam giác vuông ABD 1, trong đó AB = 1, QUẢNG CÁO 1 = , BD 1 = . Đối với khu vực S . Chúng ta tìm thấy nó từ đâu? A.H. = .
Giải pháp thứ hai. Đường vuông góc cần thiết là chiều cao A.H. tam giác vuông ABD 1, trong đó AB = 1, QUẢNG CÁO 1 = , BD 1 = . Hình tam giác XẤU 1 và B.H.A. QUẢNG CÁO 1:BD 1 = A.H.:AB. Chúng ta tìm thấy nó từ đâu? A.H. = .
Giải pháp thứ ba. Đường vuông góc cần thiết là chiều cao A.H. tam giác vuông ABD 1, trong đó AB = 1, QUẢNG CÁO 1 = , BD 1 = . Ở đâu 
và do đó 
Trả lời. .
4.3. Khoảng cách cần thiết từ điểm Fđến một đường thẳng B.G. bằng chiều cao FH tam giác FBG, trong đó FB = FG = , B.G.= . Sử dụng định lý Pythagore chúng ta tìm thấy FH = .
Công tác đào tạo 4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
1.
Trong một khối đơn vị MỘT…D 1 tìm khoảng cách từ điểm Bđến một đường thẳng D.A. 1.
2.
Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó Bđến một đường thẳng A.C. 1.
3. Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh của đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm khoảng cách từ điểm Sđến một đường thẳng B. F..
4.
Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh của đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm khoảng cách từ điểm Bđến một đường thẳng SA.
5.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó Bđến một đường thẳng MỘT 1F 1.
6. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó Bđến một đường thẳng MỘT 1D 1.
7.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó Bđến một đường thẳng F.E. 1.
8. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó Bđến một đường thẳng QUẢNG CÁO 1.
Giải pháp khắc phục vấn đề 5.1 – 5.3 của công tác chẩn đoán
5.1.
Giải pháp đầu tiên. Cho phép Ô- giữa đoạn BD. Thẳng BD vuông góc với mặt phẳng AOA 1. Vì vậy, máy bay BDA 1 và AOA MỘT lên máy bay BDA 1, là chiều cao A.H. tam giác vuông AOA 1, trong đó A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . Đối với khu vực S của tam giác này các đẳng thức giữ nguyên . Chúng ta tìm thấy nó từ đâu? A.H. = .
Giải pháp thứ hai. Cho phép Ô- giữa đoạn BD. Thẳng BD vuông góc với mặt phẳng AOA 1. Vì vậy, máy bay BDA 1 và AOA 1 vuông góc. Đường vuông góc cần thiết rơi xuống từ điểm MỘT lên máy bay BDA 1, là chiều cao A.H. tam giác vuông AOA 1, trong đó A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . Hình tam giác AOA 1 và HOA giống nhau ở ba góc độ. Kể từ đây, A.A. 1:O.A. 1 = A.H.:A.O.. Chúng ta tìm thấy nó từ đâu? A.H. = .
Giải pháp thứ ba. Cho phép Ô- giữa đoạn BD. Thẳng BD vuông góc với mặt phẳng AOA 1. Vì vậy, máy bay BDA 1 và AOA 1 vuông góc. Đường vuông góc cần thiết rơi xuống từ điểm MỘT lên máy bay BDA 1, là chiều cao A.H. tam giác vuông AOA 1, trong đó A.A. 1 = 1, A.O. = , O.A. 1 = . Ở đâu 
và do đó 
Trả lời. .
5.2.
Giải pháp đầu tiên. Cho phép Ô A.O. song song với đường thẳng BC SBC Ô lên máy bay SBC. Cho phép G- giữa đoạn BC. Sau đó thẳng O.G. vuông góc BC Ô lên máy bay SBC, là chiều cao Ồ tam giác vuông SOG. Trong tam giác này O.G. = , SG = , VÌ THẾ= . Đối với khu vực S của tam giác này các đẳng thức giữ nguyên . Chúng ta tìm thấy nó từ đâu? Ồ = .
Giải pháp thứ hai. Cho phép Ô- tâm của đáy kim tự tháp. Thẳng A.O. song song với đường thẳng BC và do đó song song với mặt phẳng SBC. Do đó, khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách từ điểm Ô lên máy bay SBC. Cho phép G- giữa đoạn BC. Sau đó thẳng O.G. vuông góc BC và đường vuông góc mong muốn giảm xuống từ điểm Ô lên máy bay SBC, là chiều cao Ồ tam giác vuông SOG. Trong tam giác này O.G. = , SG = , VÌ THẾ= . Hình tam giác SOG Và OHG giống nhau ở ba góc độ. Kể từ đây, VÌ THẾ:SG = Ồ:O.G.. Chúng ta tìm thấy nó từ đâu? Ồ = .
Trả lời. .
5.3. Giải pháp đầu tiên. Cho phép Ô Và Ô 1 – tâm của các đáy lăng trụ. Thẳng A.O. 1 song song với mặt phẳng B.F.E. 1 và do đó khoảng cách từ điểm MỘT lên máy bay B.F.E. 1 bằng khoảng cách từ đường thẳng A.O. 1 đến máy bay B.F.E. 1. Máy bay AOO 1 vuông góc với mặt phẳng B.F.E. 1 và do đó khoảng cách từ đường thẳng A.O. 1 đến máy bay B.F.E. 1 bằng khoảng cách từ đường thẳng A.O. 1 đến đường giao nhau GG 1 máy bay AOO 1 và B.F.E. 1. Tam giác AOO 1 hình chữ nhật, A.O. =
O.O. 1 = 1, GG 1 – đường giữa của nó. Do đó khoảng cách giữa các đường A.O. 1 và GG 1 bằng nửa chiều cao Ồ tam giác AOO 1, tức là bằng .
Giải pháp thứ hai. Cho phép G- giao điểm của các đường QUẢNG CÁO Và B. F.. Góc giữa đường thẳng QUẢNG CÁO và máy bay B.F.E. 1 bằng góc giữa hai đường thẳng BC Và BC 1 và bằng 45o. vuông góc A.H., rơi khỏi điểm MỘT lên máy bay B.F.E. 1, bằng . Bởi vì A.G. = 0,5 thì A.H. = .
Trả lời. .
Công tác đào tạo 5. Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng
1.
Trong một khối đơn vị MỘT…D 1 tìm khoảng cách từ điểm MỘT lên máy bay C.B. 1D 1.
2.
Trong một khối đơn vị MỘT…D 1 tìm khoảng cách từ điểm MỘT lên máy bay BDC 1.
3.
Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó MỘT lên máy bay B.C.A. 1.
4.
Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó MỘT lên máy bay CA 1B 1.
5. Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó MỘT lên máy bay SCD.
6. Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh của đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm khoảng cách từ điểm MỘT lên máy bay SDE.
7. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó MỘT lên máy bay D.E.A. 1.
8. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó MỘT lên máy bay DEF 1.
Giải pháp khắc phục vấn đề 6.1 – 6.3 của công tác chẩn đoán
6.1. Giải pháp. Thẳng BC song song với mặt phẳng S.A.D., chứa đường thẳng SA. Do đó khoảng cách giữa các đường SA Và BC bằng khoảng cách từ đường thẳng BC lên máy bay S.A.D..
Cho phép E Và F tương ứng là giữa xương sườn QUẢNG CÁO Và BC. Khi đó đường vuông góc cần thiết sẽ là chiều cao FH tam giác S.E.F.. Trong một hình tam giác S.E.F. chúng tôi có: E. F. = 1, S.E. = SF= , chiều cao VÌ THẾ bằng . Đối với khu vực S tam giác S.E.F. sự bình đẳng giữ, từ đó chúng ta có được.
6.2.
Giải pháp. Máy bay AB 1D 1 và BDC 1, trong đó các đường này nằm, song song. Do đó, khoảng cách giữa các đường thẳng này bằng khoảng cách giữa các mặt phẳng tương ứng.
Đường chéo CA 1 hình lập phương vuông góc với các mặt phẳng này. Hãy biểu thị E Và F giao điểm chéo CA 1 tương ứng với mặt phẳng AB 1D 1 và BDC 1. Độ dài của đoạn E. F. sẽ bằng khoảng cách giữa các đường AB 1 và BC 1. Hãy để Ô Và Ô 1 tương ứng, tâm của các mặt ABCD Và MỘT 1B 1C 1D 1 khối lập phương. Trong một hình tam giác ACEđoạn CỦA song song A.E. và đi qua giữa A.C.. Kể từ đây, CỦA ACE và, do đó, E. F. = F.C.. Tương tự, người ta chứng minh rằng Ô 1E- đường trung bình của tam giác MỘT 1C 1F và, do đó, MỘT 1E = E. F.. Như vậy, E. F. là một phần ba đường chéo CA 1, tức là E. F. = .
Trả lời. .
6.3. Giải pháp. Khoảng cách giữa các dòng A.A. 1 và CF 1 bằng khoảng cách giữa các mặt phẳng song song ABB 1 và CFF 1 trong đó những dòng này nằm. Nó ngang bằng.
Bài tập 6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
1.
Trong một khối đơn vị MỘT…D 1 tìm khoảng cách giữa các dòng B.A. 1 và D.B. 1.
2.
Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng CC 1 và AB.
3.
Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng AB Và C.B. 1.
4.
Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng S.B. Và A.C..
5.
Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng SA Và đĩa CD.
6.
Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF S.B. Và A. F..
7.
Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh của đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng S.B. Và A.E..
8.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng BB 1 và E. F. 1.
Công việc chẩn đoán 1
1. Trong một khối lập phương MỘT…D 1 tìm góc giữa các đường thẳng B.A. 1 và B 1D 1.
2. Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm cosin của góc giữa các đường thẳng AB 1 và BC 1.
3.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm cosin của góc giữa các đường thẳng AB 1 và DC 1.
4. Trong một khối lập phương MỘT…D 1 tìm sin của góc giữa đường thẳng MỘT 1 D 1 và mặt phẳng
5. Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm sin của góc giữa đường thẳng AB và máy bay
6.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm sin của góc giữa đường thẳng đó A. F. 1 và mặt phẳng
7. Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm cosin của góc giữa các mặt phẳng
ABC Và SCD.
8.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F
AFF 1 và BCC 1.
9. Trong một khối lập phương MỘT…D 1 tìm cosin của góc giữa các mặt phẳng
AB 1D 1 và C.B. 1D 1.
10. Trong một khối đơn vị MỘT…D 1 tìm khoảng cách từ điểm Bđến một đường thẳng D.A. 1.
11. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó MỘTđến một đường thẳng E.B. 1.
12.
Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh của đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm khoảng cách từ điểm MỘTđến một đường thẳng SD.
13. Trong một khối đơn vị MỘT…D 1 tìm khoảng cách từ điểm B lên máy bay D.A. 1C 1.
14. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó MỘT lên máy bay B.F.A. 1.
15.
Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh của đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm khoảng cách từ điểm MỘT lên máy bay S.C.E..
16.
Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng A.A. 1 và BC.
17. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng BB 1 và đĩa CD 1.
18. Trong một khối đơn vị MỘT…D 1 tìm khoảng cách giữa các dòng AB 1 và BD 1.
Công việc chẩn đoán 2
1. Trong một khối lập phương MỘT…D 1 tìm góc giữa các đường thẳng AB 1 và BD 1.
2. Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD, tất cả các cạnh đều bằng 1, điểm E- giữa sườn S.B.. Tìm tang của góc giữa hai đường thẳng SA Và LÀ.
3. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm cosin của góc giữa các đường thẳng AB 1 và BD 1.
4. Trong một khối lập phương MỘT…D 1 tìm sin của góc giữa đường thẳng ĐĐ 1 và mặt phẳng
5. Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm sin của góc giữa đường thẳng A. F. và máy bay
6. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm sin của góc giữa đường thẳng đó BC 1 và mặt phẳng
7.
Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh đáy bằng 1, các cạnh bên bằng 2, tìm cosin của góc giữa các mặt phẳng
ABC Và S.E.F..
8.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1 tìm góc giữa các mặt phẳng
AFF 1 và BDD 1.
9. Trong một khối lập phương MỘT…D 1 tìm tang của góc giữa các mặt phẳng
ABC Và D.A. 1C 1.
10.
Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó MỘTđến một đường thẳng C.B. 1.
11.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT … F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó MỘTđến một đường thẳng LÀ 1.
12. Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh của đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm khoảng cách từ điểm MỘTđến một đường thẳng S.C..
13.
Trong một khối đơn vị MỘT…D 1 tìm khoảng cách từ điểm B lên máy bay AB 1D 1.
14.
Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách từ điểm đó MỘT lên máy bay CEF 1.
15.
Trong một kim tự tháp lục giác đều SABCDEF, các cạnh của đáy bằng 1 và các cạnh bên bằng 2, tìm khoảng cách từ điểm MỘT lên máy bay SBF.
16.
Trong lăng kính tam giác đều ABCA 1B 1C 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng A.A. 1 và BC 1.
17. Trong lăng trụ lục giác đều MỘT…F 1, tất cả các cạnh đều bằng 1, tìm khoảng cách giữa các đường thẳng BB 1 và F.E. 1.