Bảng giá trị của hàm lượng giác
Ghi chú. Bảng giá trị hàm lượng giác này sử dụng dấu √ để biểu thị căn bậc hai. Để biểu thị một phân số, hãy sử dụng ký hiệu "/".
Xem thêm tài liệu hữu ích:
Vì định nghĩa về giá trị hàm lượng giác , tìm nó tại giao điểm của đường biểu thị hàm số lượng giác. Ví dụ: sin 30 độ - chúng ta tìm cột có tiêu đề sin (sine) và tìm giao điểm của cột trong bảng này với hàng “30 độ”, tại giao điểm của chúng, chúng ta đọc kết quả - một nửa. Tương tự chúng ta tìm thấy cosin 60độ, sin 60độ (một lần nữa, tại giao điểm của cột sin và đường 60 độ, chúng ta tìm thấy giá trị sin 60 = √3/2), v.v. Các giá trị của sin, cosin và tiếp tuyến của các góc “phổ biến” khác cũng được tìm thấy theo cách tương tự.
Sin pi, cosin pi, tiếp tuyến pi và các góc khác tính bằng radian
Bảng cosin, sin và tang dưới đây cũng phù hợp để tìm giá trị của các hàm lượng giác có đối số là tính bằng radian. Để thực hiện việc này, hãy sử dụng cột thứ hai của giá trị góc. Nhờ đó, bạn có thể chuyển đổi giá trị của các góc phổ biến từ độ sang radian. Ví dụ: hãy tìm góc 60 độ ở dòng đầu tiên và đọc giá trị của nó theo đơn vị radian ở dòng đầu tiên. 60 độ bằng π/3 radian.
Số pi thể hiện rõ ràng sự phụ thuộc của chu vi vào thước đo độ góc. Do đó, pi radian bằng 180 độ.
Bất kỳ số nào được biểu thị dưới dạng pi (radian) đều có thể dễ dàng chuyển đổi sang độ bằng cách thay thế pi (π) bằng 180.
Ví dụ:
1. sin pi.
tội lỗi π = tội lỗi 180 = 0
do đó, sin của pi giống với sin 180 độ và nó bằng 0.
2. cosin pi.
cos π = cos 180 = -1
do đó, cosin của pi bằng với cosin 180 độ và nó bằng trừ một.
3. tiếp tuyến pi
tg π = tg 180 = 0
do đó, tiếp tuyến pi giống như tiếp tuyến 180 độ và nó bằng 0.
Bảng giá trị sin, cos, tang cho các góc 0 - 360 độ (giá trị chung)
|
giá trị góc α (độ) |
giá trị góc α (thông qua pi) |
tội lỗi (xoang) |
vì (cô sin) |
tg (đường tiếp tuyến) |
ctg (cotang) |
giây (secant) |
cosec (cosecant) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Nếu trong bảng giá trị của hàm lượng giác có dấu gạch ngang thay cho giá trị hàm (tiếp tuyến (tg) 90 độ, cotang (ctg) 180 độ), điều đó có nghĩa là khi giá trị đã cho Số đo độ của hàm góc không có giá trị cụ thể. Nếu không có dấu gạch ngang nghĩa là ô trống nghĩa là chúng ta chưa nhập giá trị mong muốn. Chúng tôi quan tâm đến những truy vấn mà người dùng tìm đến chúng tôi và bổ sung vào bảng các giá trị mới, mặc dù thực tế là dữ liệu hiện tại về các giá trị cosin, sin và tiếp tuyến của các giá trị góc phổ biến nhất là khá đủ để giải quyết hầu hết các vấn đề. vấn đề.
Bảng giá trị các hàm lượng giác sin, cos, tg cho các góc phổ biến nhất
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 độ
(giá trị số “theo bảng Bradis”)
| Giá trị góc α (độ) | giá trị góc α tính bằng radian | tội lỗi (sin) | cos (cosin) | tg (tiếp tuyến) | ctg (cotang) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Bài viết này chứa bảng sin, cosin, tiếp tuyến và cotang. Đầu tiên chúng ta sẽ cung cấp một bảng các giá trị cơ bản của các hàm lượng giác, đó là bảng các hàm sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của các góc 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 độ ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra một bảng về sin và cosin, cũng như bảng tiếp tuyến và cotang của V. M. Bradis, đồng thời chỉ ra cách sử dụng các bảng này khi tìm giá trị của các hàm lượng giác.
Điều hướng trang.
Bảng sin, cosin, tiếp tuyến và cotang cho các góc 0, 30, 45, 60, 90, ... độ
Tài liệu tham khảo.
- Đại số: Sách giáo khoa cho lớp 9. trung bình trường học/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Giáo dục, 1990. - 272 trang: bệnh - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmak M. I.Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Sách giáo khoa. cho lớp 10-11. trung bình trường học - tái bản lần thứ 3. - M.: Education, 1993. - 351 tr.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- đại số và phần đầu của phân tích: Proc. cho lớp 10-11. giáo dục phổ thông tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - tái bản lần thứ 14 - M.: Giáo dục, 2004. - 384 trang: bệnh - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.
- Bradis V. M. Bốn chữ số bảng toán: Dành cho giáo dục phổ thông. sách giáo khoa các cơ sở. - tái bản lần thứ 2. - M.: Bustard, 1999.- 96 tr.: ốm. ISBN 5-7107-2667-2
nguyên tố hóa học D.I. Mendeleev. Bảng tuần hoàn. Mật độ dung môi hữu cơ (g/cm3) tùy thuộc vào nhiệt độ. 0-100°C. Tính chất của giải pháp. Hằng số phân ly, độ axit, độ bazơ. Độ hòa tan. Hỗn hợp. Hằng số nhiệt của các chất. Entanpi. Entropy. Năng lượng Gibbs... (liên kết đến sách tham khảo hóa học dự án) Kỹ thuật điện Bộ điều chỉnh Hệ thống cung cấp điện đảm bảo và liên tục.
Hệ thống điều phối và điều khiển Hệ thống cáp có cấu trúc Trung tâm dữ liệu Mỗi hàm lượng giác cho góc đã cho
tương ứng
giá trị cụ thể
chức năng này. Từ các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và cotang, rõ ràng giá trị sin của một góc là tọa độ của điểm mà điểm bắt đầu đi tới
- Tìm các giá trị của sin, cos, tang và cotang theo định nghĩa. Các đường sin, cos, tiếp tuyến và cotang. Giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của các góc 30, 45 và 60 độ. Giảm xuống một góc từ 0 đến 90 độ. Chỉ cần biết giá trị của một trong các hàm lượng giác là đủ. Tìm giá trị bằng công thức lượng giác. Phải làm gì trong những trường hợp khác?
Tìm các giá trị sin, cos, tang, cotang theo định nghĩa
Dựa vào định nghĩa của sin và cos, bạn có thể tìm được giá trị của sin và cosin của một góc cho trước. Để làm điều này, bạn cần lấy một đường tròn đơn vị, xoay điểm bắt đầu A(1, 0) một góc, sau đó nó sẽ đi đến điểm A1. Khi đó tọa độ của điểm A1 sẽ lần lượt cho ra cosin và sin của góc đã cho. Sau đó, bạn có thể tính tiếp tuyến và cotang của góc bằng cách tính các tỷ số tương ứng của tọa độ với hoành độ và hoành độ với tọa độ.
Theo định nghĩa, chúng ta có thể tính toán chính xác các giá trị sin, cos, tiếp tuyến và cotang của các góc 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ... độ (0, ±р/2, ±р, ±3р/2, ±2р, …radian). Hãy chia các góc này thành bốn nhóm: 360 z độ (2р z radian), 90+360 z độ (р/2+2р z radian), 180+360 z độ (р+2р z radian) và 270 +360·z độ (3р/2+2р·z radian), trong đó z là số nguyên bất kỳ. Chúng ta hãy mô tả trong các hình nơi sẽ đặt điểm A1, do việc xoay điểm bắt đầu A theo các góc này (nếu cần, hãy nghiên cứu góc quay trong bài viết).
Đối với mỗi nhóm góc này, chúng ta sẽ tìm thấy các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang bằng cách sử dụng các định nghĩa.
Còn với các góc khác ngoài 0, ±90, ±180, ±270, ±360,... độ thì theo định nghĩa chúng ta chỉ tìm được các giá trị gần đúng của sin, cos, tang và cotang. Ví dụ: hãy tìm sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của góc −52 độ.
Hãy bắt đầu xây dựng.
Theo hình vẽ, ta thấy trục hoành của điểm A1 xấp xỉ bằng 0,62 và tọa độ xấp xỉ bằng −0,78. Như vậy, 
Và 
. Vẫn còn để tính các giá trị của tiếp tuyến và cotang, chúng ta có 
Và 
.
Rõ ràng là các công trình được hoàn thành càng chính xác thì các giá trị gần đúng của sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc nhất định sẽ được tìm thấy càng chính xác. Cũng rõ ràng rằng việc tìm kiếm các giá trị của các hàm lượng giác, theo định nghĩa, là không thuận tiện trong thực tế, vì việc thực hiện các công trình được mô tả là bất tiện.
Đầu trang
Các đường sin, cosin, tiếp tuyến và cotang
Cần tập trung một cách ngắn gọn vào cái gọi là các đường sin, cosin, tiếp tuyến và cotang. Các đường sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là các đường được vẽ cùng với đường tròn đơn vị, có gốc và bằng 1 trong phần đã nhập hệ thống hình chữ nhật tọa độ, chúng đại diện rõ ràng cho tất cả giá trị có thể sin, cosin, tiếp tuyến và côtang. Hãy mô tả chúng trong bản vẽ dưới đây.
Đầu trang
Giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của các góc 30, 45 và 60 độ
Đối với các góc 30, 45 và 60 độ, các giá trị chính xác của sin, cos, tiếp tuyến và cotang đã được biết. Chúng có thể thu được từ các định nghĩa về sin, cos, tiếp tuyến và côtang trong một tam giác vuông bằng định lý Pythagore.
Để thu được các giá trị của hàm lượng giác cho các góc 30 và 60 độ, hãy xem xét một tam giác vuông với các góc này và lấy nó sao cho chiều dài của cạnh huyền bằng một. Được biết, chân nằm đối diện góc 30 độ có kích thước bằng nửa cạnh huyền nên chiều dài bằng 1/2. Chúng ta tìm chiều dài của chân kia bằng định lý Pythagore: 
.
Vì sin của một góc là tỉ số phía đối diệnđến cạnh huyền thì 
Và 
. Đổi lại, cosin là tỷ lệ chân liền kềđến cạnh huyền thì 
Và 
. Tiếp tuyến là tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh liền kề và cotang là tỷ lệ của cạnh liền kề với cạnh đối diện, do đó, 
Và 
, và cũng 
Và 
.
Vẫn còn phải thu được các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang cho góc 45 độ. Chúng ta hãy chuyển sang một tam giác vuông có góc 45 độ (nó sẽ là tam giác cân) và cạnh huyền, bằng một. Sau đó, sử dụng định lý Pythagore, dễ dàng chứng minh rằng chiều dài của các chân bằng nhau. Bây giờ chúng ta có thể tính các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang theo tỷ lệ độ dài của các cạnh tương ứng của hình đang xét tam giác vuông. Chúng tôi có và 
.
Các giá trị thu được của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của các góc 30, 45 và 60 độ sẽ rất thường được sử dụng khi giải các bài toán hình học và bài toán lượng giác, vì vậy chúng tôi khuyên bạn nên ghi nhớ chúng. Để thuận tiện, chúng ta sẽ nhập chúng vào bảng các giá trị cơ bản của sin, cos, tang và cotang.
Để kết luận điểm này, chúng tôi đưa ra một minh họa về các giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của các góc 30, 45 và 60 bằng cách sử dụng đường tròn đơn vị và các đường sin, cos, tiếp tuyến và cotang.
Đầu trang
Giảm góc từ 0 đến 90 độ
Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng thật thuận tiện khi tìm các giá trị của hàm lượng giác khi góc nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ (từ 0 đến pi tính bằng nửa radian). Nếu đối số của hàm lượng giác, giá trị mà chúng ta cần tìm, vượt quá giới hạn từ 0 đến 90 độ, thì chúng ta luôn có thể sử dụng các công thức rút gọn để tiến hành tìm giá trị của hàm lượng giác, đối số của hàm đó sẽ nằm trong giới hạn quy định.
Ví dụ: hãy tìm giá trị sin của 210 độ. Bằng cách biểu diễn 210 dưới dạng 180+30 hoặc 270−60, các công thức rút gọn tương ứng sẽ giải bài toán của chúng ta từ việc tìm sin 210 độ thành tìm giá trị của sin 30 độ, hay cosin 60 độ.
Hãy đồng ý rằng trong tương lai khi tìm giá trị của các hàm lượng giác sẽ luôn sử dụng công thức rút gọn để di chuyển đến các góc trong khoảng từ 0 đến 90 độ, tất nhiên trừ khi góc đó đã nằm trong các giới hạn này.
Đầu trang
Chỉ cần biết giá trị của một trong các hàm lượng giác là đủ
Nền tảng nhận thức lượng giác thiết lập các mối liên hệ giữa sin, cos, tiếp tuyến và cotang cùng một góc. Do đó, với sự trợ giúp của chúng, chúng ta có thể sử dụng giá trị đã biết của một trong các hàm lượng giác để tìm giá trị của bất kỳ hàm nào khác có cùng góc.
Hãy xem giải pháp ví dụ.
Xác định cái gì bằng sin góc pi bằng 8, nếu 
.
Đầu tiên, hãy tìm cotang của góc này bằng bao nhiêu: 
Bây giờ sử dụng công thức 
, chúng ta có thể tính toán những gì bằng hình vuông sin của góc pi bằng 8, và do đó giá trị mong muốn của sin. Chúng tôi có 
Tất cả những gì còn lại là tìm giá trị của sin. Vì góc pi nhân với 8 là góc của một phần tư tọa độ thứ nhất nên sin của góc này là dương (nếu cần, hãy xem phần lý thuyết để biết các dấu hiệu của sin, cos, tiếp tuyến và cotang theo một phần tư). Như vậy, 
.
.
Đầu trang
Tìm Giá Trị Bằng Công Thức Lượng Giác
Trong hai đoạn trước, chúng ta đã bắt đầu đề cập đến vấn đề tìm các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang bằng cách sử dụng các công thức lượng giác. Ở đây chúng tôi chỉ muốn nói rằng đôi khi có thể tính giá trị cần tìm của hàm lượng giác bằng cách sử dụng công thức lượng giác Và giá trị đã biết sin, cosin, tiếp tuyến và cotang (ví dụ: đối với các góc 30, 45 và 60 độ).
Ví dụ: bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, hãy tính giá trị tiếp tuyến của góc pi với 8 mà chúng ta đã sử dụng trong đoạn trướcđể tìm giá trị của sin.
Tìm giá trị.
Sử dụng công thức tiếp tuyến nửa góc, chúng ta có thể viết đẳng thức sau 
. Chúng ta biết giá trị cosin của góc pi bằng 4, vì vậy chúng ta có thể tính ngay giá trị bình phương của tiếp tuyến mong muốn: 
.
Góc pi chia cho 8 là góc của góc phần tư tọa độ thứ nhất, do đó tiếp tuyến của góc này là dương. Kể từ đây, 
.
.