Dành cho sinh viên toán cao hơn phải biết rằng số lượng nhất định loạt điện, thuộc khoảng hội tụ của chuỗi đã cho, hóa ra là một chuỗi liên tục và không giới hạn số lần hàm vi phân. Câu hỏi được đặt ra: liệu có thể nói rằng cái đã cho hàm tùy ý f(x) là tổng của một chuỗi lũy thừa nào đó? Nghĩa là, trong những điều kiện nào hàm f(x) có thể được biểu diễn? loạt điện? Tầm quan trọng của câu hỏi này nằm ở chỗ có thể thay thế gần đúng hàm f(x) bằng tổng của một vài số hạng đầu tiên của chuỗi lũy thừa, tức là một đa thức. Việc thay thế chức năng này khá biểu hiện đơn giản- đa thức - cũng thuận tiện khi giải một số bài toán nhất định, cụ thể là: khi giải tích phân, khi tính toán, v.v.
Người ta đã chứng minh rằng đối với một hàm f(x) nhất định, trong đó có thể tính đạo hàm lên đến bậc (n+1), kể cả bậc cuối cùng, trong lân cận của (α - R; x 0 + R ) một số điểm x = α thì công thức:
Công thức này được đặt theo tên của nhà khoa học nổi tiếng Brooke Taylor. Chuỗi thu được từ chuỗi trước được gọi là chuỗi Maclaurin:
Quy tắc cho phép thực hiện khai triển chuỗi Maclaurin:
- Xác định đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba....
- Tính đạo hàm tại x=0 bằng bao nhiêu.
- Viết chuỗi Maclaurin cho hàm số này rồi xác định khoảng hội tụ của nó.
- Xác định khoảng (-R;R), trong đó phần còn lại của công thức Maclaurin
R n (x) -> 0 tại n -> vô cùng. Nếu tồn tại thì hàm f(x) trong nó phải trùng với tổng của chuỗi Maclaurin.
Bây giờ chúng ta xét chuỗi Maclaurin cho từng hàm số.
1. Vậy số đầu tiên sẽ là f(x) = e x. Tất nhiên, theo đặc điểm của nó, một hàm như vậy có các đạo hàm có cấp rất khác nhau và f (k) (x) = e x , trong đó k bằng tất cả x = 0. Ta được f(k)(0) = e 0 =1, k = 1,2... Dựa vào tính chất trên, chuỗi e x sẽ có dạng như sau:
2. Chuỗi Maclaurin cho hàm f(x) = sin x. Chúng ta hãy làm rõ ngay rằng hàm cho mọi ẩn số sẽ có đạo hàm, ngoài ra, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), trong đó k bằng bất kỳ số tự nhiên. Nghĩa là, sau khi thực hiện các phép tính đơn giản, chúng ta có thể đi đến kết luận rằng chuỗi f(x) = sin x sẽ có dạng sau:
3. Bây giờ hãy xét hàm f(x) = cos x. Đối với tất cả các ẩn số, nó có đạo hàm theo thứ tự tùy ý và |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Vì vậy, chúng tôi đã liệt kê các hàm quan trọng nhất có thể được mở rộng theo chuỗi Maclaurin, nhưng chúng được bổ sung bằng chuỗi Taylor đối với một số hàm. Bây giờ chúng tôi sẽ liệt kê chúng. Cũng cần lưu ý rằng chuỗi Taylor và Maclaurin là một phần quan trọng của công việc thực tiễn giải chuỗi trong toán học cao hơn. Vì vậy, chuỗi Taylor.
1. Đầu tiên sẽ là chuỗi của hàm f(x) = ln(1+x). Như trong các ví dụ trước, với f(x) = ln(1+x) đã cho, chúng ta có thể cộng chuỗi bằng cách sử dụng dạng tổng quát của chuỗi Maclaurin. tuy nhiên, đối với hàm này, chuỗi Maclaurin có thể thu được đơn giản hơn nhiều. Sau khi tích phân một chuỗi hình học nhất định, chúng ta thu được một chuỗi với f(x) = ln(1+x) của mẫu đó:
2. Và chuỗi thứ hai, cuối cùng trong bài viết của chúng ta, sẽ là chuỗi f(x) = arctan x. Đối với x thuộc khoảng [-1;1] khai triển là hợp lệ:
Thế thôi. Bài viết này xem xét chuỗi Taylor và Maclaurin được sử dụng nhiều nhất trong toán học cao hơn, đặc biệt là trong các trường đại học kinh tế và kỹ thuật.
16.1. Khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Taylor và
Maclaurin
Hãy chứng minh rằng nếu một hàm tùy ý được xác định trên một tập hợp 
, ở lân cận điểm 
có nhiều đạo hàm và là tổng của chuỗi lũy thừa:
thì bạn có thể tìm thấy các hệ số của chuỗi này.
Hãy thay thế trong một chuỗi lũy thừa 
. Sau đó 
.
Hãy tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số 
:
Tại 
:
.
Đối với đạo hàm thứ hai, chúng tôi nhận được:
Tại 
:
.
Tiếp tục thủ tục này N một khi chúng tôi nhận được: 
.
Như vậy, ta thu được chuỗi lũy thừa có dạng:
,
được gọi là bên cạnh Taylor cho chức năng 
ở lân cận của điểm 
.
Trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor là Dòng Maclaurin Tại 
:
Phần còn lại của chuỗi Taylor (Maclaurin) thu được bằng cách loại bỏ chuỗi chính N thành viên đầu tiên và được ký hiệu là 
. Sau đó, chức năng 
có thể được viết dưới dạng tổng N thành viên đầu tiên của bộ truyện 
và phần còn lại 
:,
.
Phần còn lại thường là 
thể hiện dưới các công thức khác nhau.
Một trong số chúng ở dạng Lagrange:
, Ở đâu 
.
.
Lưu ý rằng trong thực tế dãy Maclaurin được sử dụng thường xuyên hơn. Vì vậy, để viết hàm 
dưới dạng tổng chuỗi lũy thừa cần có:
1) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin (Taylor);
2) tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa thu được;
3) chứng minh rằng chuỗi này hội tụ về hàm 
.
Định lý1
(điều kiện cần và đủ để chuỗi Maclaurin hội tụ). Gọi bán kính hội tụ của chuỗi 
. Để chuỗi này hội tụ trong khoảng 
hoạt động 
, cần và đủ để thỏa mãn điều kiện: 
trong khoảng thời gian quy định.
Định lý 2. Nếu đạo hàm của bất kỳ thứ tự nào của hàm số 
trong một khoảng thời gian nào đó 
giới hạn về giá trị tuyệt đối ở cùng một số M, đó là 
, thì trong khoảng này hàm 
có thể khai triển thành chuỗi Maclaurin.
Ví dụ1
.
Khai triển chuỗi Taylor quanh điểm 
chức năng.
Giải pháp.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Vùng hội tụ 
.
Ví dụ2
.
Mở rộng một chức năng 
trong chuỗi Taylor quanh một điểm 
.
Giải pháp:
Tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Hãy đặt các giá trị này thành một hàng. Chúng tôi nhận được:
hoặc 
.
Hãy tìm miền hội tụ của chuỗi này. Theo thử nghiệm của d'Alembert, một chuỗi hội tụ nếu
.
Vì vậy, đối với bất kỳ 
giới hạn này nhỏ hơn 1 và do đó phạm vi hội tụ của chuỗi sẽ là: 
.
Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về khai triển chuỗi Maclaurin của các hàm cơ bản cơ bản. Hãy nhớ lại dãy Maclaurin:
.
hội tụ trên khoảng 
hoạt động 
.
Lưu ý rằng để mở rộng một hàm thành một chuỗi thì cần phải:
a) tìm các hệ số của chuỗi Maclaurin cho hàm số này;
b) tính bán kính hội tụ của chuỗi kết quả;
c) chứng minh rằng chuỗi kết quả hội tụ về hàm 
.
Ví dụ 3. Hãy xem xét chức năng 
.
Giải pháp.
Hãy tính giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại 
.
Khi đó các hệ số của chuỗi có dạng:
cho bất cứ ai N. Hãy thay các hệ số tìm được vào chuỗi Maclaurin và nhận được: 
Hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi kết quả, cụ thể là:
.
Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng 
.
Chuỗi này hội tụ về hàm 
cho bất kỳ giá trị 
, bởi vì trên bất kỳ khoảng nào 
chức năng 
và đạo hàm của nó ở giá trị tuyệt đối bị giới hạn bởi số lượng 
.
Ví dụ4
.
Hãy xem xét chức năng 
.
Giải pháp.
:
Dễ dàng thấy rằng đạo hàm cấp chẵn 
, và đạo hàm có thứ tự lẻ. Chúng ta hãy thay thế các hệ số tìm được vào chuỗi Maclaurin và thu được khai triển:
Hãy tìm khoảng hội tụ của chuỗi này. Theo dấu d'Alembert:
cho bất cứ ai 
. Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng 
.
Chuỗi này hội tụ về hàm 
, bởi vì tất cả các đạo hàm của nó đều bị giới hạn ở sự thống nhất.
Ví dụ5
.
.
Giải pháp.
Hãy tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại 
:
Do đó, các hệ số của chuỗi này: 
Và 
, kể từ đây:
Tương tự như hàng trước, diện tích hội tụ 
. Chuỗi hội tụ về hàm 
, bởi vì tất cả các đạo hàm của nó đều bị giới hạn ở sự thống nhất.
Xin lưu ý rằng chức năng 
khai triển chuỗi lẻ và chuỗi theo lũy thừa lẻ, hàm số 
– chẵn và khai triển thành một chuỗi có lũy thừa chẵn.
Ví dụ6
.
Chuỗi nhị thức: 
.
Giải pháp.
Hãy tìm giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại 
:
Từ đó có thể thấy rằng:
Chúng ta hãy thay thế các giá trị hệ số này vào chuỗi Maclaurin và thu được phép khai triển hàm này thành chuỗi lũy thừa:
Hãy tìm bán kính hội tụ của chuỗi này:
Do đó, chuỗi hội tụ trên khoảng 
. Tại các điểm giới hạn ở 
Và 
một chuỗi có thể hội tụ hoặc không tùy thuộc vào số mũ 
.
Chuỗi nghiên cứu hội tụ trên khoảng 
hoạt động 
, tức là tổng của chuỗi 
Tại 
.
Ví dụ7
.
Chúng ta hãy mở rộng hàm số trong chuỗi Maclaurin 
.
Giải pháp.
Để mở rộng hàm này thành một chuỗi, chúng ta sử dụng chuỗi nhị thức tại 
. Chúng tôi nhận được: 
Dựa vào tính chất của chuỗi lũy thừa (chuỗi lũy thừa có thể tích phân trong vùng hội tụ của nó), ta tìm tích phân bên trái và bên phải của chuỗi này:
Hãy tìm diện tích hội tụ của chuỗi này: 
,
nghĩa là diện tích hội tụ của chuỗi này là khoảng 
. 
Hãy xác định sự hội tụ của chuỗi tại các điểm cuối của khoảng. Tại 
. Chuỗi này là một chuỗi hài hòa, nghĩa là nó phân kỳ. Tại 
.
chúng ta nhận được một chuỗi số với một số hạng chung 
.
Chuỗi hội tụ theo phép thử Leibniz. Do đó, vùng hội tụ của chuỗi này là khoảng
16.2. Ứng dụng chuỗi lũy thừa trong tính toán gần đúng N Trong các tính toán gần đúng, chuỗi lũy thừa đóng vai trò cực kỳ quan trọng. Với sự giúp đỡ của họ, các bảng hàm lượng giác, bảng logarit, bảng giá trị của các hàm khác đã được biên soạn, được sử dụng trong các lĩnh vực kiến thức khác nhau, chẳng hạn như trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Ngoài ra, việc mở rộng hàm số thành chuỗi lũy thừa rất hữu ích cho việc nghiên cứu lý thuyết của họ. Vấn đề chính khi sử dụng chuỗi lũy thừa trong tính toán gần đúng là vấn đề ước lượng sai số khi thay tổng của chuỗi bằng tổng của chuỗi đầu tiên.
các thành viên.
Hãy xem xét hai trường hợp:
chức năng được mở rộng thành chuỗi xen kẽ dấu hiệu;
hàm được mở rộng thành một chuỗi dấu không đổi.
Tính toán sử dụng chuỗi xen kẽ 
Hãy để chức năng 
mở rộng thành chuỗi điện xoay chiều. Sau đó, khi tính hàm này cho một giá trị cụ thể N chúng ta thu được một chuỗi số mà chúng ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Leibniz. Theo tiêu chí này, nếu tổng của một chuỗi được thay thế bằng tổng của chuỗi đầu tiên 
.
Ví dụ8
.
thì sai số tuyệt đối không vượt quá số hạng đầu tiên trong phần còn lại của chuỗi này, đó là: 
Tính toán
Giải pháp.
với độ chính xác 0,0001. 
Chúng ta sẽ sử dụng dãy Maclaurin cho
, thay thế giá trị góc tính bằng radian:
Nếu chúng ta so sánh số hạng thứ nhất và thứ hai của chuỗi với độ chính xác nhất định thì: .
Số hạng khai triển thứ ba: 
nhỏ hơn độ chính xác tính toán quy định. Vì vậy, để tính toán
.
chỉ cần để lại hai thuật ngữ của bộ truyện là đủ, đó là 
.
Ví dụ9
.
thì sai số tuyệt đối không vượt quá số hạng đầu tiên trong phần còn lại của chuỗi này, đó là: 
Như vậy
Giải pháp.
với độ chính xác 0,001. 
Chúng ta sẽ sử dụng công thức chuỗi nhị thức. Để làm điều này, hãy viết 
.
ở dạng: 
,
Trong biểu thức này 
Hãy so sánh từng số hạng của chuỗi với độ chính xác được chỉ định. Rõ ràng là 
. Vì vậy, để tính toán
hoặc 
.
chỉ cần để lại ba thuật ngữ của bộ truyện là đủ.
Ví dụ10
.
Tính toán sử dụng chuỗi dương 
Tính số
Giải pháp.
với độ chính xác 0,001. 
Trong một hàng cho một chức năng 
hãy thay thế
Chúng ta hãy ước tính sai số phát sinh khi thay tổng của chuỗi bằng tổng của chuỗi đầu tiên 
các thành viên. Hãy viết lại bất đẳng thức hiển nhiên:
đó là 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Theo đề bài cần tìm N sao cho có bất đẳng thức sau: 
hoặc 
.
Thật dễ dàng để kiểm tra rằng khi N= 6:
.
Kể từ đây, 
.
Ví dụ11
.
thì sai số tuyệt đối không vượt quá số hạng đầu tiên trong phần còn lại của chuỗi này, đó là: 
với độ chính xác 0,0001.
Giải pháp.
Lưu ý rằng để tính logarit, chúng ta có thể sử dụng chuỗi cho hàm 
, nhưng chuỗi này hội tụ rất chậm và để đạt được độ chính xác cho trước cần phải lấy 9999 số hạng! Do đó, để tính logarit, theo quy luật, một chuỗi cho hàm được sử dụng 
, hội tụ trên khoảng 
.
Hãy tính toán 
sử dụng loạt bài này. Cho phép 
, Sau đó 
.
Kể từ đây, 
,
Để tính toán 
với độ chính xác nhất định, lấy tổng của bốn số hạng đầu tiên: 
.
Phần còn lại của loạt bài 
hãy vứt bỏ nó đi. Hãy ước tính lỗi. Rõ ràng là 
hoặc 
.
Do đó, trong chuỗi được sử dụng để tính toán, chỉ cần lấy bốn số hạng đầu tiên thay vì 9999 trong chuỗi cho hàm 
.
Câu hỏi tự chẩn đoán
1. Chuỗi Taylor là gì?
2. Chuỗi Maclaurin có dạng gì?
3. Xây dựng định lý khai triển hàm số theo chuỗi Taylor.
4. Viết khai triển chuỗi Maclaurin của các hàm chính.
5. Hãy chỉ ra vùng hội tụ của chuỗi đang xét.
6. Làm thế nào để ước tính sai số trong phép tính gần đúng sử dụng chuỗi lũy thừa?
Trong lý thuyết về chuỗi hàm, vị trí trung tâm được chiếm bởi phần dành cho việc mở rộng hàm thành một chuỗi.
Do đó, nhiệm vụ được đặt ra: đối với một chức năng nhất định chúng ta cần tìm một chuỗi sức mạnh như vậy
hội tụ tại một khoảng nhất định và tổng của nó bằng 
,
những thứ kia.
=
..
Nhiệm vụ này được gọi là bài toán khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa.
Điều kiện cần để phân rã hàm số trong chuỗi lũy thừa khả vi của nó là vô số lần - điều này xuất phát từ các tính chất của chuỗi lũy thừa hội tụ. Điều kiện này được thỏa mãn, như một quy luật, đối với các hàm cơ bản trong miền định nghĩa của chúng.
Vì vậy, hãy giả sử rằng hàm 
có đạo hàm theo bất kỳ thứ tự nào. Có thể mở rộng nó thành một chuỗi lũy thừa không? Nếu vậy, làm thế nào chúng ta có thể tìm thấy chuỗi lũy thừa này? Phần thứ hai của vấn đề dễ giải quyết hơn, vì vậy hãy bắt đầu với nó.
Chúng ta hãy giả sử rằng hàm 
có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi lũy thừa hội tụ trong khoảng chứa điểm X 0 :
=
..
(*)
Ở đâu MỘT 0 ,MỘT 1 ,MỘT 2 ,...,MỘT N ,... – các hệ số (chưa) chưa biết.
Chúng ta đặt đẳng thức (*) giá trị x = x 0 , sau đó chúng tôi nhận được
.
Hãy phân biệt chuỗi lũy thừa (*) theo từng số hạng
=
..
và tin tưởng ở đây x = x 0 , chúng tôi nhận được
.
Với đạo hàm tiếp theo, chúng ta thu được chuỗi
=
..
tin tưởng x = x 0 ,
chúng tôi nhận được 
, Ở đâu 
.
Sau đó N-gấp đôi sự khác biệt chúng tôi nhận được
Giả sử ở đẳng thức cuối cùng x = x 0 ,
chúng tôi nhận được 
, Ở đâu
Vì vậy tìm được hệ số
,
,
,
…,
,….,
Thay thế cái nào vào chuỗi (*), ta được
Chuỗi kết quả được gọi là bên cạnh Taylor
cho chức năng
.
Vì vậy, chúng tôi đã thiết lập rằng nếu hàm có thể được mở rộng thành chuỗi lũy thừa theo lũy thừa (x - x 0 ), thì khai triển này là duy nhất và chuỗi kết quả nhất thiết phải là chuỗi Taylor.
Lưu ý rằng có thể thu được chuỗi Taylor cho bất kỳ hàm số nào có đạo hàm cấp bất kỳ tại điểm x = x 0 . Nhưng điều này không có nghĩa là có thể đặt dấu bằng giữa hàm và chuỗi kết quả, tức là. rằng tổng của chuỗi bằng hàm ban đầu. Thứ nhất, đẳng thức như vậy chỉ có thể có ý nghĩa trong vùng hội tụ và chuỗi Taylor thu được cho hàm có thể phân kỳ và thứ hai, nếu chuỗi Taylor hội tụ thì tổng của nó có thể không trùng với hàm ban đầu.
3.2. Điều kiện đủ để phân tích hàm số trong chuỗi Taylor
Hãy để chúng tôi xây dựng một tuyên bố với sự trợ giúp của nhiệm vụ này sẽ được giải quyết.
Nếu chức năng
trong một lân cận nào đó của điểm x 0 có đạo hàm lên tới (N+
1) bao gồm thứ tự, thì trong lân cận này chúng ta cócông thức
Taylor
Ở đâuR N (X)-số hạng còn lại của công thức Taylor – có dạng (dạng Lagrange)
Ở đâu dấu chấmξ nằm giữa x và x 0 .
Lưu ý rằng có sự khác biệt giữa chuỗi Taylor và công thức Taylor: công thức Taylor là một tổng hữu hạn, tức là P - số cố định.
Hãy nhớ rằng tổng của chuỗi S(x) có thể được định nghĩa là giới hạn của chuỗi hàm của các tổng riêng phần S N (x) ở một khoảng thời gian nào đó X:
.
Theo đó, để mở rộng hàm số thành chuỗi Taylor có nghĩa là tìm một chuỗi sao cho với mọi XX
Chúng ta hãy viết công thức Taylor ở dạng trong đó
Lưu ý rằng 
xác định lỗi chúng tôi nhận được, thay thế hàm f(x)
đa thức S N (x).
Nếu như 
, Cái đó 
,những thứ kia. hàm số được mở rộng thành chuỗi Taylor. Ngược lại, nếu 
, Cái đó 
.
Như vậy chúng ta đã chứng minh tiêu chí cho khả năng phân rã của hàm số trong chuỗi Taylor.
Để có chức năngf(x) khai triển thành chuỗi Taylor, điều cần và đủ là trên khoảng này
, Ở đâuR N (x) là số hạng còn lại của chuỗi Taylor.
Sử dụng tiêu chí đã được xây dựng, người ta có thể thu được hợp lýđiều kiện phân rã của hàm số trong chuỗi Taylor.
Nếu ởlân cận nào đó của điểm x 0 các giá trị tuyệt đối của mọi đạo hàm của hàm số đều được giới hạn ở cùng một số M≥ 0, tức là
, To trong vùng lân cận này hàm số mở rộng thành chuỗi Taylor.
Từ trên suy ra thuật toánmở rộng chức năng f(x) trong chuỗi Taylor trong vùng lân cận của một điểm X 0 :
1. Tìm đạo hàm của hàm số f(x):
f(x), f'(x), f”(x), f’”(x), f (N) (x),…
2. Tính giá trị của hàm số và các giá trị đạo hàm của nó tại điểm X 0
f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), f (N) (x 0 ),…
3. Chúng ta chính thức viết chuỗi Taylor và tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa thu được.
4. Chúng tôi kiểm tra việc đáp ứng đủ điều kiện, tức là. chúng tôi thiết lập cho điều đó X từ vùng hội tụ, số hạng còn lại R N (x)
có xu hướng bằng 0 như 
hoặc
.
Việc khai triển hàm số thành chuỗi Taylor bằng thuật toán này được gọi là khai triển hàm số thành chuỗi Taylor theo định nghĩa hoặc phân hủy trực tiếp.
"Tìm khai triển chuỗi Maclaurin của hàm f(x)"- đây chính xác là nhiệm vụ trong toán học cao hơn, mà một số học sinh có thể làm được, trong khi những học sinh khác không thể giải quyết được các ví dụ. Có một số cách để mở rộng chuỗi lũy thừa; ở đây chúng tôi sẽ đưa ra một kỹ thuật để mở rộng hàm thành chuỗi Maclaurin. Khi phát triển hàm số theo chuỗi, bạn cần phải giỏi tính đạo hàm.
Ví dụ 4.7 Khai triển hàm số lũy thừa của x
Tính toán: Ta thực hiện khai triển hàm số theo công thức Maclaurin. Đầu tiên, hãy mở rộng mẫu số của hàm thành một chuỗi 
Cuối cùng, nhân khai triển với tử số.
Số hạng đầu tiên là giá trị của hàm số tại 0 f(0) = 1/3.
Hãy tìm đạo hàm của hàm số cấp một trở lên f(x) và giá trị của các đạo hàm này tại điểm x=0 
Tiếp theo, dựa vào mô hình thay đổi giá trị đạo hàm tại 0, ta viết công thức đạo hàm bậc n 
Vì vậy, chúng ta biểu diễn mẫu số dưới dạng khai triển trong chuỗi Maclaurin 
Chúng ta nhân với tử số và thu được sự khai triển mong muốn của hàm theo chuỗi lũy thừa của x 
Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp ở đây.
Mọi điểm mấu chốt đều dựa trên khả năng tính đạo hàm và khái quát hóa nhanh giá trị đạo hàm bậc cao về 0. Các ví dụ sau đây sẽ giúp bạn tìm hiểu cách sắp xếp nhanh chóng một hàm trong một chuỗi.
Ví dụ 4.10 Tìm khai triển chuỗi Maclaurin của hàm số
Tính toán: Như bạn có thể đoán, chúng ta sẽ đặt cosin vào tử số thành một chuỗi. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng các công thức tính đại lượng vô cùng nhỏ hoặc rút ra khai triển cosin thông qua đạo hàm. Kết quả là chúng ta thu được chuỗi lũy thừa của x sau đây 
Như bạn có thể thấy, chúng ta có các phép tính tối thiểu và biểu diễn nhỏ gọn của việc mở rộng chuỗi.
Ví dụ 4.16 Khai triển hàm theo lũy thừa của x:
7/(12-x-x^2)
Tính toán: Trong loại ví dụ này, cần phải khai triển phân số thông qua tổng các phân số đơn giản.
Chúng tôi sẽ không chỉ ra cách thực hiện điều này ngay bây giờ, nhưng với sự trợ giúp của các hệ số không xác định, chúng tôi sẽ đạt được tổng các phân số.
Tiếp theo chúng ta viết mẫu số ở dạng hàm mũ 
Vẫn còn phải mở rộng các thuật ngữ bằng cách sử dụng công thức Maclaurin. Tổng hợp các số hạng có cùng lũy thừa của “x”, ta lập công thức số hạng tổng quát của khai triển hàm số trong chuỗi 
Phần cuối cùng của quá trình chuyển đổi sang chuỗi ở phần đầu rất khó thực hiện, vì rất khó để kết hợp các công thức cho chỉ số ghép đôi và không ghép đôi (độ), nhưng nếu thực hành, bạn sẽ tiến bộ hơn.
Ví dụ 4.18 Tìm khai triển chuỗi Maclaurin của hàm số
Tính toán: Hãy tìm đạo hàm của hàm số này: 
Hãy mở rộng hàm này thành một chuỗi bằng cách sử dụng một trong các công thức của McLaren: 
Chúng tôi tính tổng từng số hạng của chuỗi dựa trên thực tế là cả hai đều hoàn toàn giống nhau. Sau khi tích hợp toàn bộ chuỗi số hạng theo số hạng, chúng ta thu được việc khai triển hàm số thành một chuỗi lũy thừa của x 
Có một đoạn chuyển tiếp giữa hai dòng cuối cùng của bản mở rộng, điều này sẽ khiến bạn mất rất nhiều thời gian khi bắt đầu. Việc khái quát hóa một công thức chuỗi không phải là điều dễ dàng đối với tất cả mọi người, vì vậy đừng lo lắng về việc không thể có được một công thức gọn gàng, đẹp mắt.
Ví dụ 4.28 Tìm khai triển chuỗi Maclaurin của hàm số:
Hãy viết logarit như sau 
Sử dụng công thức Maclaurin, chúng ta mở rộng hàm logarit theo lũy thừa của x 
Phép tích chập cuối cùng thoạt nhìn rất phức tạp, nhưng khi xen kẽ các dấu hiệu, bạn sẽ luôn nhận được điều gì đó tương tự. Bài nhập liệu về chủ đề lập lịch hàm liên tiếp đã hoàn thành. Các sơ đồ phân hủy thú vị không kém khác sẽ được thảo luận chi tiết trong các tài liệu sau.
Nếu hàm f(x) có đạo hàm của tất cả các bậc trên một khoảng nhất định chứa điểm a thì có thể áp dụng công thức Taylor cho nó:
,
Ở đâu r n– cái gọi là số hạng còn lại hoặc phần còn lại của chuỗi, nó có thể được ước tính bằng công thức Lagrange:
, trong đó số x nằm giữa x và a.
Quy tắc nhập hàm:
Nếu vì một giá trị nào đó X r n→0 lúc N→∞, thì trong giới hạn, công thức Taylor trở nên hội tụ với giá trị này loạt Taylor:
,
Do đó, hàm f(x) có thể được mở rộng thành chuỗi Taylor tại điểm x đang xét nếu:
1) nó có các dẫn xuất của tất cả các lệnh;
2) chuỗi được xây dựng hội tụ tại điểm này.
Khi a = 0 chúng ta nhận được một chuỗi gọi là gần Maclaurin:
,
Mở rộng các hàm (cơ bản) đơn giản nhất trong chuỗi Maclaurin:
hàm số mũ
, R=∞
Hàm lượng giác 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Hàm Actgx không khai triển theo lũy thừa của x, bởi vì ctg0=∞
Hàm hyperbol
Hàm logarit
, -1
Chuỗi nhị thức
.
Ví dụ số 1. Mở rộng hàm thành chuỗi lũy thừa f(x)= 2x.
Giải pháp. Hãy tìm các giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại X=0
f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln N 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln N 2=ln N 2.
Thay các giá trị thu được của đạo hàm vào công thức chuỗi Taylor, ta thu được:
Bán kính hội tụ của chuỗi này bằng vô cùng, do đó khai triển này đúng với -∞<x<+∞.
Ví dụ số 2. Viết chuỗi Taylor theo lũy thừa ( X+4) cho chức năng f(x)= e x.
Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm e x và giá trị của chúng tại điểm X=-4.
f(x)= e x, f(-4)
= e -4
;
f"(x)= e x, f"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e x, f""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4)
= e -4
.
Do đó, chuỗi Taylor yêu cầu của hàm số có dạng:
Việc mở rộng này cũng hợp lệ cho -∞<x<+∞.
Ví dụ số 3. Mở rộng một chức năng f(x)=ln x trong một chuỗi quyền hạn ( X- 1),
(tức là trong chuỗi Taylor ở lân cận điểm X=1).
Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm số này.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Thay thế các giá trị này vào công thức, chúng ta thu được chuỗi Taylor mong muốn:
Sử dụng thử nghiệm của d'Alembert, bạn có thể xác minh rằng chuỗi hội tụ tại ½x-1½<1 . Действительно,
Chuỗi hội tụ nếu ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 chúng ta thu được một chuỗi xen kẽ thỏa mãn các điều kiện của tiêu chí Leibniz. Khi x=0 hàm không được xác định. Như vậy vùng hội tụ của chuỗi Taylor là khoảng nửa mở (0;2).
Ví dụ số 4. Mở rộng hàm số thành chuỗi lũy thừa. Ví dụ số 5. Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin. Bình luận
.
Phương pháp này dựa trên định lý về tính duy nhất của khai triển hàm số trong chuỗi lũy thừa. Bản chất của định lý này là trong vùng lân cận của cùng một điểm, không thể có được hai chuỗi lũy thừa khác nhau hội tụ về cùng một hàm, bất kể việc khai triển nó được thực hiện như thế nào. Ví dụ số 5a. Khai triển hàm số theo chuỗi Maclaurin và chỉ ra vùng hội tụ. Phân số 3/(1-3x) có thể được coi là tổng của cấp số nhân giảm vô hạn với mẫu số là 3x, nếu |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Ví dụ số 6. Khai triển hàm số thành chuỗi Taylor ở vùng lân cận điểm x = 3. Ví dụ số 7. Viết chuỗi Taylor theo lũy thừa (x -1) của hàm số ln(x+2) . Ví dụ số 8. Khai triển hàm f(x)=sin(πx/4) thành chuỗi Taylor trong vùng lân cận của điểm x =2. Ví dụ số 1. Tính ln(3) chính xác đến 0,01. Ví dụ số 2. Tính đến 0,0001 gần nhất. Ví dụ số 3. Tính tích phân ∫ 0 1 4 sin (x) x với độ chính xác 10 -5. Ví dụ số 4. Tính tích phân ∫ 0 1 4 e x 2 với độ chính xác 0,001.
Giải pháp. Trong khai triển (1), chúng ta thay x bằng -x 2, chúng ta nhận được:
, -∞
Giải pháp. Chúng tôi có
Sử dụng công thức (4), chúng ta có thể viết:
thay thế –x thay vì x trong công thức, chúng ta nhận được:
Từ đây chúng ta tìm thấy: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Mở ngoặc, sắp xếp lại các số hạng của dãy và đưa các số hạng tương tự, ta được
. Chuỗi này hội tụ trong khoảng (-1;1), vì nó được lấy từ hai chuỗi, mỗi chuỗi đều hội tụ trong khoảng này.
Các công thức (1)-(5) cũng có thể được sử dụng để mở rộng các hàm tương ứng thành chuỗi Taylor, tức là để mở rộng các hàm theo lũy thừa số nguyên dương ( Hà). Để làm được điều này, cần phải thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau trên một hàm đã cho để thu được một trong các hàm (1)-(5), trong đó thay vào đó X chi phí k( Hà) m , trong đó k là số không đổi, m là số nguyên dương. Việc thay đổi biến thường rất thuận tiện t=Hà và mở rộng hàm kết quả theo t trong chuỗi Maclaurin.
Giải pháp. Đầu tiên chúng ta tìm 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
đến tiểu học:
với vùng hội tụ |x|< 1/3.
Giải pháp. Vấn đề này có thể được giải quyết, như trước đây, bằng cách sử dụng định nghĩa của chuỗi Taylor, mà chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm và các giá trị của chúng tại X=3. Tuy nhiên, sẽ dễ dàng hơn khi sử dụng bản mở rộng hiện có (5):
=
Chuỗi kết quả hội tụ tại hoặc –3
Giải pháp.
Chuỗi hội tụ tại , hoặc -2< x < 5.
Giải pháp. Hãy thay thế t=x-2:
Sử dụng khai triển (3), trong đó chúng ta thay π / 4 t thay cho x, chúng ta thu được:
Chuỗi kết quả hội tụ về hàm đã cho tại -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Tính toán gần đúng sử dụng chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa được sử dụng rộng rãi trong tính toán gần đúng. Với sự giúp đỡ của họ, bạn có thể tính toán các giá trị của căn thức, hàm lượng giác, logarit của các số và tích phân xác định với độ chính xác nhất định. Chuỗi cũng được sử dụng khi tích phân các phương trình vi phân.
Xét việc khai triển hàm số trong chuỗi lũy thừa:
Để tính giá trị gần đúng của hàm số tại một điểm cho trước X, thuộc vùng hội tụ của chuỗi đã chỉ ra, chuỗi đầu tiên còn lại trong quá trình khai triển của nó N thành viên ( N– một số hữu hạn) và các số hạng còn lại bị loại bỏ:
Để ước lượng sai số của giá trị gần đúng thu được cần ước lượng phần dư bị loại bỏ rn(x). Để làm điều này, sử dụng các kỹ thuật sau:
Giải pháp. Hãy sử dụng khai triển trong đó x=1/2 (xem ví dụ 5 trong chủ đề trước):
Hãy kiểm tra xem liệu chúng ta có thể loại bỏ phần còn lại sau ba số hạng đầu tiên của phép khai triển hay không, để thực hiện điều này, chúng ta sẽ đánh giá nó bằng cách sử dụng tổng của một cấp số nhân giảm vô hạn:
Vì vậy, chúng ta có thể loại bỏ phần còn lại này và nhận được
Giải pháp. Hãy sử dụng chuỗi nhị thức. Vì 5 3 là lập phương của một số nguyên gần 130 nhất nên nên biểu diễn số 130 là 130 = 5 3 +5. 
vì số hạng thứ tư của chuỗi xen kẽ thu được thỏa mãn tiêu chí Leibniz nhỏ hơn độ chính xác yêu cầu:
, do đó nó và các số hạng theo sau nó có thể bị loại bỏ.
Nhiều tích phân xác định hoặc tích phân suy rộng thực tế cần thiết không thể tính được bằng công thức Newton-Leibniz, vì ứng dụng của nó gắn liền với việc tìm nguyên hàm, thường không có biểu thức trong các hàm cơ bản. Điều đó cũng xảy ra là có thể tìm được nguyên hàm, nhưng việc này tốn nhiều công sức một cách không cần thiết. Tuy nhiên, nếu hàm tích phân được mở rộng thành chuỗi lũy thừa và các giới hạn tích phân thuộc về khoảng hội tụ của chuỗi này thì có thể tính toán gần đúng tích phân với độ chính xác định trước.
Giải pháp. Tích phân bất định tương ứng không thể được biểu diễn bằng các hàm cơ bản, tức là đại diện cho một “tích phân không cố định”. Công thức Newton-Leibniz không thể áp dụng được ở đây. Hãy tính tích phân xấp xỉ.
Chia từng số hạng của chuỗi tội lỗi x TRÊN x, chúng tôi nhận được: 
Tích phân từng số hạng của chuỗi này theo từng số hạng (điều này có thể thực hiện được, vì giới hạn tích phân thuộc về khoảng hội tụ của chuỗi này), ta thu được:
Vì chuỗi kết quả thỏa mãn các điều kiện của Leibniz và chỉ cần lấy tổng của hai số hạng đầu tiên là đủ để thu được giá trị mong muốn với độ chính xác nhất định.
Vì vậy, chúng tôi tìm thấy 
.
Giải pháp.
. Hãy kiểm tra xem liệu chúng ta có thể loại bỏ phần còn lại sau số hạng thứ hai của chuỗi kết quả hay không.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.