Sinh viên toán cao cấp nên biết rằng tổng của một chuỗi lũy thừa nhất định thuộc khoảng hội tụ của chuỗi đã cho chúng ta hóa ra là một hàm vi phân liên tục và không giới hạn số lần. Câu hỏi đặt ra: có thể nói rằng một hàm tùy ý f(x) đã cho là tổng của một chuỗi lũy thừa nhất định không? Nghĩa là, trong những điều kiện nào hàm f(x) có thể được biểu diễn bằng chuỗi lũy thừa? Tầm quan trọng của câu hỏi này nằm ở chỗ có thể thay thế gần đúng hàm f(x) bằng tổng của một vài số hạng đầu tiên của chuỗi lũy thừa, tức là một đa thức. Việc thay thế hàm bằng một biểu thức khá đơn giản - đa thức - cũng thuận tiện khi giải một số bài toán nhất định, cụ thể là: khi giải tích phân, khi tính toán, v.v.
Người ta đã chứng minh rằng đối với một hàm f(x) nhất định, trong đó có thể tính đạo hàm lên đến bậc (n+1), kể cả bậc cuối cùng, trong lân cận của (α - R; x 0 + R ) một số điểm x = α thì công thức:
Công thức này được đặt theo tên của nhà khoa học nổi tiếng Brooke Taylor. Chuỗi thu được từ chuỗi trước được gọi là chuỗi Maclaurin:
Quy tắc cho phép thực hiện khai triển chuỗi Maclaurin:
- Xác định đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba....
- Tính đạo hàm tại x=0 bằng bao nhiêu.
- Viết chuỗi Maclaurin cho hàm số này rồi xác định khoảng hội tụ của nó.
- Xác định khoảng (-R;R), trong đó phần còn lại của công thức Maclaurin
R n (x) -> 0 tại n -> vô cùng. Nếu tồn tại thì hàm f(x) trong nó phải trùng với tổng của chuỗi Maclaurin.
Bây giờ chúng ta xét chuỗi Maclaurin cho từng hàm số.
1. Vậy số đầu tiên sẽ là f(x) = e x. Tất nhiên, theo đặc điểm của nó, một hàm như vậy có các đạo hàm có cấp rất khác nhau và f (k) (x) = e x , trong đó k bằng tất cả x = 0. Ta được f(k)(0) = e 0 =1, k = 1,2... Dựa vào tính chất trên, chuỗi e x sẽ có dạng như sau:
2. Chuỗi Maclaurin cho hàm số f(x) = sin x. Chúng ta hãy làm rõ ngay rằng hàm cho mọi ẩn số sẽ có đạo hàm, ngoài ra, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), trong đó k bằng bất kỳ số tự nhiên nào, tức là sau khi thực hiện các phép tính đơn giản, chúng ta có thể suy ra. kết luận rằng chuỗi f(x) = sin x sẽ như thế này:
3. Bây giờ hãy xét hàm f(x) = cos x. Đối với tất cả các ẩn số, nó có đạo hàm theo thứ tự tùy ý và |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Vì vậy, chúng tôi đã liệt kê các hàm quan trọng nhất có thể được mở rộng theo chuỗi Maclaurin, nhưng chúng được bổ sung bằng chuỗi Taylor đối với một số hàm. Bây giờ chúng tôi sẽ liệt kê chúng. Cũng cần lưu ý rằng chuỗi Taylor và Maclaurin là một phần quan trọng của công việc thực tiễn giải chuỗi trong toán học cao hơn. Vì vậy, chuỗi Taylor.
1. Đầu tiên sẽ là chuỗi của hàm f(x) = ln(1+x). Như trong các ví dụ trước, với f(x) = ln(1+x) đã cho, chúng ta có thể cộng chuỗi bằng cách sử dụng dạng tổng quát của chuỗi Maclaurin. tuy nhiên, đối với hàm này, chuỗi Maclaurin có thể thu được đơn giản hơn nhiều. Sau khi tích phân một chuỗi hình học nhất định, chúng ta thu được một chuỗi với f(x) = ln(1+x) của mẫu đó:
2. Và chuỗi thứ hai, cuối cùng trong bài viết của chúng ta, sẽ là chuỗi f(x) = arctan x. Đối với x thuộc khoảng [-1;1] khai triển là hợp lệ:
Thế thôi. Bài viết này xem xét chuỗi Taylor và Maclaurin được sử dụng nhiều nhất trong toán học cao hơn, đặc biệt là trong các trường đại học kinh tế và kỹ thuật.
Nếu chức năng f(x) có một khoảng nào đó chứa điểm MỘT, đạo hàm của tất cả các bậc thì có thể áp dụng công thức Taylor cho nó:
Ở đâu r n– cái gọi là số hạng còn lại hoặc phần còn lại của chuỗi, nó có thể được ước tính bằng công thức Lagrange:
, trong đó số x nằm giữa X Và MỘT.
Nếu vì một giá trị nào đó x r n®0 tại N®¥ thì trong giới hạn công thức Taylor chuyển thành công thức hội tụ cho giá trị này loạt Taylor:
Vì vậy chức năng f(x) có thể được mở rộng thành chuỗi Taylor tại điểm đang xét X, Nếu như:
1) nó có các dẫn xuất của tất cả các lệnh;
2) chuỗi được xây dựng hội tụ tại điểm này.
Tại MỘT=0 chúng tôi nhận được một chuỗi tên là gần Maclaurin:
Ví dụ 1 f(x)= 2x.
Giải pháp. Hãy tìm các giá trị của hàm số và đạo hàm của nó tại X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f(n)(x) = 2x ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.
Thay các giá trị thu được của đạo hàm vào công thức chuỗi Taylor, ta thu được:
Bán kính hội tụ của chuỗi này bằng vô cùng, do đó việc khai triển này hợp lệ với -¥<x<+¥.
Ví dụ 2 X+4) cho chức năng f(x)= e x.
Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm e x và giá trị của chúng tại điểm X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;
f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Do đó, chuỗi Taylor yêu cầu của hàm số có dạng:
Bản mở rộng này cũng hợp lệ cho -¥<x<+¥.
Ví dụ 3 . Mở rộng một chức năng f(x)=ln x trong một chuỗi quyền hạn ( X- 1),
(tức là trong chuỗi Taylor ở lân cận điểm X=1).
Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm số này.
Thay thế các giá trị này vào công thức, chúng ta thu được chuỗi Taylor mong muốn:
Sử dụng phép thử d'Alembert, bạn có thể xác minh rằng chuỗi hội tụ khi
½ X- 1½<1. Действительно,
Chuỗi hội tụ nếu ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 chúng ta thu được một chuỗi xen kẽ thỏa mãn các điều kiện của tiêu chí Leibniz. Tại X Hàm = 0 không được xác định. Như vậy vùng hội tụ của chuỗi Taylor là khoảng nửa mở (0;2).
Chúng ta hãy trình bày các khai triển thu được theo cách này vào chuỗi Maclaurin (tức là ở lân cận điểm X=0) đối với một số hàm cơ bản:
(2) 
,
(3) 
,
( sự phân hủy cuối cùng được gọi là chuỗi nhị thức)
Ví dụ 4 . Mở rộng hàm thành chuỗi lũy thừa
Giải pháp. Trong khai triển (1) chúng ta thay thế X TRÊN - X 2, chúng tôi nhận được:
Ví dụ 5
. Khai triển hàm số trong chuỗi Maclaurin 
Giải pháp. chúng tôi có 
Sử dụng công thức (4), chúng ta có thể viết:
thay thế thay thế X vào công thức -X, chúng tôi nhận được:
Từ đây chúng ta tìm thấy:
Mở ngoặc, sắp xếp lại các số hạng của dãy và đưa các số hạng tương tự, ta được
Chuỗi này hội tụ trong khoảng
(-1;1), vì nó thu được từ hai chuỗi, mỗi chuỗi đều hội tụ trong khoảng này.
Bình luận .
Các công thức (1)-(5) cũng có thể được sử dụng để mở rộng các hàm tương ứng thành chuỗi Taylor, tức là để mở rộng các hàm theo lũy thừa số nguyên dương ( Hà). Để làm được điều này, cần phải thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau trên một hàm đã cho để thu được một trong các hàm (1)-(5), trong đó thay vào đó X chi phí k( Hà) m , trong đó k là số không đổi, m là số nguyên dương. Việc thay đổi biến thường rất thuận tiện t=Hà và mở rộng hàm kết quả theo t trong chuỗi Maclaurin.
Phương pháp này minh họa định lý về tính duy nhất của khai triển chuỗi lũy thừa của hàm. Bản chất của định lý này là trong vùng lân cận của cùng một điểm, không thể thu được hai chuỗi lũy thừa khác nhau hội tụ về cùng một hàm, bất kể việc khai triển nó được thực hiện như thế nào.
Ví dụ 6 . Khai triển hàm số thành chuỗi Taylor trong lân cận của một điểm X=3.
Giải pháp. Vấn đề này có thể được giải quyết, như trước đây, bằng cách sử dụng định nghĩa của chuỗi Taylor, mà chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm và các giá trị của chúng tại X=3. Tuy nhiên, sẽ dễ dàng hơn khi sử dụng bản mở rộng hiện có (5):
Chuỗi kết quả hội tụ tại 
hoặc –3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Ví dụ 7
. Viết chuỗi Taylor theo lũy thừa ( X-1) chức năng 
.
Giải pháp.
Chuỗi hội tụ tại 
, hoặc -2< x£5.
Trong lý thuyết về chuỗi hàm, vị trí trung tâm được chiếm bởi phần dành cho việc mở rộng hàm thành một chuỗi.
Do đó, nhiệm vụ được đặt ra: đối với một chức năng nhất định chúng ta cần tìm một chuỗi sức mạnh như vậy
hội tụ tại một khoảng nhất định và tổng của nó bằng 
,
những thứ kia.
=
..
Nhiệm vụ này được gọi là bài toán khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa.
Điều kiện cần để phân rã hàm số trong chuỗi lũy thừa khả vi của nó là vô số lần - điều này xuất phát từ các tính chất của chuỗi lũy thừa hội tụ. Điều kiện này được thỏa mãn, như một quy luật, đối với các hàm cơ bản trong miền định nghĩa của chúng.
Vì vậy hãy giả sử rằng hàm 
có đạo hàm của bất kỳ thứ tự nào. Có thể mở rộng nó thành một chuỗi lũy thừa không? Nếu vậy, làm thế nào chúng ta có thể tìm thấy chuỗi lũy thừa này? Phần thứ hai của vấn đề dễ giải quyết hơn, vì vậy hãy bắt đầu với nó.
Chúng ta hãy giả sử rằng hàm 
có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi lũy thừa hội tụ trong khoảng chứa điểm X 0 :
=
..
(*)
Ở đâu MỘT 0 ,MỘT 1 ,MỘT 2 ,...,MỘT N ,... – các hệ số (chưa) chưa biết.
Chúng ta đặt đẳng thức (*) giá trị x = x 0 , sau đó chúng tôi nhận được
.
Hãy phân biệt chuỗi lũy thừa (*) theo từng số hạng
=
..
và tin tưởng ở đây x = x 0 , chúng tôi nhận được
.
Với đạo hàm tiếp theo, chúng ta thu được chuỗi
=
..
tin tưởng x = x 0 ,
chúng tôi nhận được 
, Ở đâu 
.
Sau đó N-nhiều sự khác biệt chúng tôi nhận được
Giả sử ở đẳng thức cuối cùng x = x 0 ,
chúng tôi nhận được 
, Ở đâu
Vì vậy tìm được hệ số
,
,
,
…,
,….,
thay thế cái nào vào chuỗi (*), ta được
Chuỗi kết quả được gọi là bên cạnh Taylor
cho chức năng
.
Vì vậy, chúng tôi đã thiết lập rằng nếu hàm có thể được mở rộng thành chuỗi lũy thừa theo lũy thừa (x - x 0 ), thì khai triển này là duy nhất và chuỗi kết quả nhất thiết phải là chuỗi Taylor.
Lưu ý rằng có thể thu được chuỗi Taylor cho bất kỳ hàm số nào có đạo hàm cấp bất kỳ tại điểm x = x 0 . Nhưng điều này không có nghĩa là có thể đặt dấu bằng giữa hàm và chuỗi kết quả, tức là. rằng tổng của chuỗi bằng hàm ban đầu. Thứ nhất, đẳng thức như vậy chỉ có thể có ý nghĩa trong vùng hội tụ và chuỗi Taylor thu được cho hàm có thể phân kỳ và thứ hai, nếu chuỗi Taylor hội tụ thì tổng của nó có thể không trùng với hàm ban đầu.
3.2. Điều kiện đủ để phân tích hàm số trong chuỗi Taylor
Hãy để chúng tôi xây dựng một tuyên bố với sự trợ giúp của nhiệm vụ này sẽ được giải quyết.
Nếu chức năng
ở một lân cận nào đó của điểm x 0 có đạo hàm lên tới (N+
1) bao gồm thứ tự, thì trong lân cận này chúng ta cócông thức
Taylor
Ở đâuR N (X)-số hạng còn lại của công thức Taylor – có dạng (dạng Lagrange)
Ở đâu dấu chấmξ nằm giữa x và x 0 .
Lưu ý rằng có sự khác biệt giữa chuỗi Taylor và công thức Taylor: công thức Taylor là một tổng hữu hạn, tức là P - số cố định.
Hãy nhớ rằng tổng của chuỗi S(x) có thể được định nghĩa là giới hạn của chuỗi hàm của các tổng riêng phần S N (x) ở một khoảng thời gian nào đó X:
.
Theo đó, để mở rộng hàm số thành chuỗi Taylor có nghĩa là tìm một chuỗi sao cho với mọi XX
Chúng ta hãy viết công thức Taylor dưới dạng trong đó
Lưu ý rằng 
xác định lỗi chúng tôi nhận được, thay thế hàm f(x)
đa thức S N (x).
Nếu như 
, Cái đó 
,những thứ kia. hàm số được mở rộng thành chuỗi Taylor. Ngược lại, nếu 
, Cái đó 
.
Như vậy chúng ta đã chứng minh tiêu chí cho khả năng phân rã của hàm số trong chuỗi Taylor.
Để có chức năngf(x) khai triển thành chuỗi Taylor, điều cần và đủ là trên khoảng này
, Ở đâuR N (x) là số hạng còn lại của chuỗi Taylor.
Sử dụng tiêu chí đã được xây dựng, người ta có thể thu được hợp lýđiều kiện phân rã của hàm số trong chuỗi Taylor.
Nếu ởlân cận nào đó của điểm x 0 các giá trị tuyệt đối của mọi đạo hàm của hàm số đều được giới hạn ở cùng một số M≥ 0, tức là
, To trong vùng lân cận này hàm số mở rộng thành chuỗi Taylor.
Từ trên suy ra thuật toánmở rộng chức năng f(x) trong chuỗi Taylor trong vùng lân cận của một điểm X 0 :
1. Tìm đạo hàm của hàm số f(x):
f(x), f'(x), f”(x), f’”(x), f (N) (x),…
2. Tính giá trị của hàm số và các giá trị đạo hàm của nó tại điểm X 0
f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), f (N) (x 0 ),…
3. Chúng ta chính thức viết chuỗi Taylor và tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa thu được.
4. Chúng tôi kiểm tra việc đáp ứng đủ điều kiện, tức là. chúng tôi thiết lập cho điều đó X từ miền hội tụ, số hạng còn lại R N (x)
có xu hướng bằng 0 như 
hoặc
.
Việc khai triển hàm số thành chuỗi Taylor bằng thuật toán này được gọi là khai triển hàm số thành chuỗi Taylor theo định nghĩa hoặc phân hủy trực tiếp.
Trong số các chuỗi chức năng, vị trí quan trọng nhất là chuỗi quyền lực.
Chuỗi lũy thừa là chuỗi
có số hạng là các hàm lũy thừa được sắp xếp theo lũy thừa số nguyên không âm tăng dần x, MỘT c0 , c 1 , c 2 , c N - giá trị không đổi. số c1 , c 2 , c N - hệ số của các số hạng trong chuỗi, c0 - thành viên miễn phí. Các số hạng của chuỗi lũy thừa được xác định trên toàn bộ trục số.
Chúng ta hãy làm quen với khái niệm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa. Đây là tập hợp các giá trị thay đổi x, tại đó chuỗi hội tụ. Chuỗi lũy thừa có vùng hội tụ khá đơn giản. Đối với các giá trị biến thực x vùng hội tụ bao gồm một điểm hoặc là một khoảng nhất định (khoảng hội tụ) hoặc trùng với toàn bộ trục Con bò đực .
Khi thay các giá trị vào chuỗi lũy thừa x= 0 sẽ dẫn đến một chuỗi số
c0 +0+0+...+0+... ,
hội tụ.
Vì vậy, khi x= 0 bất kỳ chuỗi lũy thừa nào cũng hội tụ và do đó, diện tích hội tụ của nó không thể là tập rỗng. Cấu trúc vùng hội tụ của các chuỗi lũy thừa là như nhau. Nó có thể được thiết lập bằng cách sử dụng định lý sau.
Định lý 1 (định lý Abel). Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ ở một giá trị nào đó x = x 0 , khác 0 thì nó hội tụ và hơn nữa, tuyệt đối với mọi giá trị |x| < |x 0 | . Xin lưu ý: cả giá trị bắt đầu “X bằng 0” và bất kỳ giá trị nào của “X” được so sánh với giá trị bắt đầu đều được lấy theo modulo - không tính đến dấu.
Kết quả. Nếu như chuỗi năng lượng phân kỳ ở một giá trị nào đó x = x 1 , thì nó phân kỳ với mọi giá trị |x| > |x 1 | .
Như chúng ta đã phát hiện trước đó, bất kỳ chuỗi lũy thừa nào cũng hội tụ ở giá trị x= 0. Có những chuỗi lũy thừa chỉ hội tụ khi x= 0 và phân kỳ cho các giá trị khác X. Loại trừ trường hợp này khỏi xem xét, chúng ta giả sử rằng chuỗi lũy thừa hội tụ ở một giá trị nào đó x = x 0 , khác 0. Khi đó, theo định lý Abel, nó hội tụ tại mọi điểm của khoảng ]-| x0 |, |x 0 |[ (một khoảng có ranh giới bên trái và bên phải là các giá trị x mà tại đó chuỗi lũy thừa hội tụ, được lấy lần lượt bằng dấu trừ và dấu cộng), đối xứng với gốc tọa độ.
Nếu chuỗi lũy thừa phân kỳ ở một giá trị nhất định x = x 1 , khi đó, dựa trên hệ quả tất yếu của định lý Abel, nó phân kỳ tại mọi điểm bên ngoài đoạn [-| x1 |, |x 1 |] . Suy ra rằng đối với bất kỳ chuỗi lũy thừa nào cũng có một khoảng đối xứng với gốc tọa độ, được gọi là khoảng hội tụ , tại mỗi điểm mà chuỗi hội tụ, tại các biên nó có thể hội tụ hoặc có thể phân kỳ, và không nhất thiết phải cùng một lúc, và bên ngoài đoạn chuỗi thì chuỗi phân kỳ. Con số Rđược gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Trong trường hợp đặc biệt khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa có thể suy biến về một điểm (khi đó chuỗi chỉ hội tụ khi x= 0 và được coi là R= 0) hoặc biểu diễn toàn bộ trục số (khi đó chuỗi số hội tụ tại tất cả các điểm của trục số và giả sử rằng ).
Như vậy, việc xác định vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa bao gồm việc xác định nó bán kính hội tụ R và nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi tại các biên của khoảng hội tụ (at ).
Định lý 2. Nếu tất cả các hệ số của một chuỗi lũy thừa, bắt đầu từ một số nhất định, khác 0 thì bán kính hội tụ của nó bằng giới hạn trong tỉ số các giá trị tuyệt đối của các hệ số của các thành viên chung sau của chuỗi , tức là
Ví dụ 1. Tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa
Giải pháp. Đây
Sử dụng công thức (28), chúng ta tìm được bán kính hội tụ của chuỗi này:
Chúng ta hãy nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi tại điểm cuối của khoảng hội tụ. Ví dụ 13 chứng tỏ chuỗi này hội tụ tại x= 1 và phân kỳ tại x= -1. Do đó, vùng hội tụ là nửa khoảng.
Ví dụ 2. Tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa
Giải pháp. Các hệ số của chuỗi đều dương và
Chúng ta hãy tìm giới hạn của tỷ lệ này, tức là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa:
Chúng ta hãy nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi tại các điểm cuối của khoảng. Thay thế giá trị x= -1/5 và x= 1/5 ở hàng này cho:
Chuỗi đầu tiên hội tụ (xem Ví dụ 5). Nhưng khi đó, theo định lý ở phần “Hội tụ tuyệt đối”, chuỗi thứ hai cũng hội tụ và vùng hội tụ của nó là đoạn
Ví dụ 3. Tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa
Giải pháp. Đây
Sử dụng công thức (28) ta tìm được bán kính hội tụ của chuỗi:
Chúng ta hãy nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi với các giá trị của . Thay thế chúng trong loạt bài này, chúng tôi lần lượt có được
Cả hai chuỗi đều phân kỳ vì điều kiện cần thiết cho sự hội tụ không được thỏa mãn (các số hạng chung của chúng không có xu hướng bằng 0 tại ). Vì vậy, ở cả hai đầu của khoảng hội tụ, chuỗi này phân kỳ và vùng hội tụ của nó là khoảng.
Ví dụ 5. Tìm vùng hội tụ của chuỗi lũy thừa
Giải pháp. Chúng tôi tìm thấy mối quan hệ ở đâu , và 
:
Theo công thức (28), bán kính hội tụ của chuỗi này
,
nghĩa là chuỗi chỉ hội tụ khi x= 0 và phân kỳ cho các giá trị khác X.
Các ví dụ cho thấy rằng ở cuối khoảng hội tụ, chuỗi hoạt động khác nhau. Trong ví dụ 1, ở một đầu của khoảng hội tụ, chuỗi hội tụ và ở đầu kia, nó phân kỳ; trong ví dụ 2, nó hội tụ ở cả hai đầu;
Công thức bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa thu được với giả định rằng tất cả các hệ số của các số hạng của chuỗi, bắt đầu từ một điểm nhất định, đều khác 0. Vì vậy, việc sử dụng công thức (28) chỉ được phép trong những trường hợp này. Nếu điều kiện này bị vi phạm thì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa sẽ được tìm bằng cách sử dụng dấu hiệu d'Alembert, hoặc bằng cách thay thế biến, chuyển đổi chuỗi sang dạng thỏa mãn điều kiện đã chỉ định.
Ví dụ 6. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa
Giải pháp. Chuỗi này không chứa các thuật ngữ có bậc lẻ X. Do đó, chúng tôi chuyển đổi chuỗi, thiết lập . Sau đó chúng ta có được chuỗi
để tìm bán kính hội tụ mà chúng ta có thể áp dụng công thức (28). Vì , a , thì bán kính hội tụ của chuỗi này
Do đó, từ đẳng thức chúng ta thu được, chuỗi này hội tụ về khoảng .
Tổng chuỗi lũy thừa. Sự khác biệt và tích hợp của chuỗi sức mạnh
Hãy cho chuỗi sức mạnh
bán kính hội tụ R> 0, tức là chuỗi này hội tụ trên khoảng .
Khi đó mỗi giá trị X từ khoảng hội tụ tương ứng với một tổng nhất định của chuỗi. Do đó, tổng của chuỗi lũy thừa là hàm của X về khoảng hội tụ. Biểu thị nó bằng f(x), ta có thể viết đẳng thức
hiểu nó theo nghĩa là tổng của chuỗi tại mỗi điểm X từ khoảng hội tụ bằng giá trị của hàm f(x) tại thời điểm này. Theo nghĩa tương tự, chúng ta sẽ nói rằng chuỗi lũy thừa (29) hội tụ về hàm f(x) trên khoảng hội tụ.
Bên ngoài khoảng hội tụ, đẳng thức (30) không có ý nghĩa.
Ví dụ 7. Tìm tổng của chuỗi lũy thừa
Giải pháp. Đây là một chuỗi hình học mà Một= 1, một q= x. Do đó, tổng của nó là một hàm 
. Một chuỗi hội tụ nếu , và là khoảng hội tụ của nó. Vì thế bình đẳng
chỉ hợp lệ với các giá trị, mặc dù hàm 
được xác định cho tất cả các giá trị X, ngoại trừ X= 1.
Có thể chứng minh rằng tổng của chuỗi lũy thừa f(x) là liên tục và khả vi trên bất kỳ khoảng nào trong khoảng hội tụ, đặc biệt tại bất kỳ điểm nào trong khoảng hội tụ của chuỗi.
Hãy trình bày các định lý về vi phân và tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa.
Định lý 1. Chuỗi lũy thừa (30) trong khoảng hội tụ của nó có thể được vi phân theo số hạng không giới hạn số lần và chuỗi lũy thừa thu được có cùng bán kính hội tụ với chuỗi ban đầu và tổng của chúng tương ứng bằng .
Định lý 2. Chuỗi lũy thừa (30) có thể được tích phân từng số hạng không giới hạn số lần trong khoảng từ 0 đến X, if , và chuỗi lũy thừa thu được có cùng bán kính hội tụ với chuỗi ban đầu và tổng của chúng tương ứng bằng nhau
Mở rộng các chức năng thành chuỗi sức mạnh
Hãy để chức năng được đưa ra f(x), cần được mở rộng thành chuỗi lũy thừa, tức là biểu diễn dưới dạng (30):
Nhiệm vụ là xác định các hệ số 
hàng (30). Để làm điều này, phân biệt đẳng thức (30) theo thuật ngữ, chúng tôi luôn tìm thấy:
……………………………………………….. (31)
Giả sử trong đẳng thức (30) và (31) X= 0, ta tìm được
Thay thế các biểu thức tìm được vào đẳng thức (30), chúng ta thu được
(32)
Chúng ta hãy tìm khai triển chuỗi Maclaurin của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 8. Khai triển hàm số trong chuỗi Maclaurin
Giải pháp. Đạo hàm của hàm này trùng với chính hàm đó:
Vì vậy, khi X= 0 chúng ta có
Thay thế các giá trị này vào công thức (32), chúng ta thu được khai triển mong muốn:
(33)
Chuỗi này hội tụ trên toàn bộ trục số (bán kính hội tụ của nó).
Mở rộng chức năng thành chuỗi Taylor, Maclaurin và Laurent trên một địa điểm đào tạo các kỹ năng thực tế. Việc mở rộng chuỗi hàm này cho phép các nhà toán học ước tính giá trị gần đúng của hàm tại một điểm nào đó trong miền định nghĩa của nó. Việc tính giá trị hàm như vậy sẽ dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng bảng Bredis, bảng này không còn phù hợp trong thời đại công nghệ máy tính. Khai triển một hàm thành chuỗi Taylor có nghĩa là tính các hệ số của các hàm tuyến tính của chuỗi này và viết nó dưới dạng đúng. Học sinh nhầm lẫn giữa hai dãy này, không hiểu đâu là trường hợp tổng quát, đâu là trường hợp đặc biệt của dãy thứ hai. Hãy để chúng tôi nhắc bạn một lần và mãi mãi rằng chuỗi Maclaurin là trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor, nghĩa là đây là chuỗi Taylor, nhưng tại điểm x = 0. Tất cả các mục ngắn gọn cho việc khai triển các hàm nổi tiếng, chẳng hạn như e^x, Sin(x), Cos(x) và các chuỗi khác, đây là những khai triển của chuỗi Taylor, nhưng tại điểm 0 cho đối số. Đối với các hàm số phức, chuỗi Laurent là bài toán phổ biến nhất trong TFCT, vì nó biểu thị một chuỗi vô hạn hai phía. Đó là tổng của hai chuỗi. Chúng tôi khuyên bạn nên xem trực tiếp ví dụ về phân tách trên trang web; việc này rất dễ thực hiện bằng cách nhấp vào “Ví dụ” với bất kỳ số nào, sau đó nhấp vào nút “Giải pháp”. Chính việc mở rộng hàm này thành một chuỗi được liên kết với một chuỗi lớn hóa sẽ giới hạn hàm ban đầu trong một vùng nhất định dọc theo trục hoành nếu biến thuộc vùng hoành độ. Phân tích vectơ được so sánh với một môn học thú vị khác trong toán học. Vì mỗi thuật ngữ cần phải được kiểm tra nên quá trình này đòi hỏi khá nhiều thời gian. Bất kỳ chuỗi Taylor nào cũng có thể liên kết với chuỗi Maclaurin bằng cách thay x0 bằng 0, nhưng đối với chuỗi Maclaurin, đôi khi việc biểu diễn chuỗi Taylor ngược lại là không rõ ràng. Như thể điều này không bắt buộc phải được thực hiện ở dạng nguyên chất, điều này rất thú vị cho sự phát triển bản thân nói chung. Mỗi chuỗi Laurent tương ứng với một chuỗi lũy thừa vô hạn hai phía theo lũy thừa nguyên z-a, nói cách khác, là một chuỗi cùng loại Taylor, nhưng hơi khác nhau trong cách tính các hệ số. Chúng ta sẽ nói về vùng hội tụ của chuỗi Laurent sau một vài tính toán lý thuyết. Như trong thế kỷ trước, việc mở rộng từng bước một hàm thành một chuỗi khó có thể đạt được chỉ bằng cách đưa các số hạng về một mẫu số chung, vì các hàm trong mẫu số là phi tuyến tính. Việc tính toán gần đúng giá trị hàm là cần thiết khi xây dựng các bài toán. Hãy nghĩ về thực tế rằng khi đối số của chuỗi Taylor là một biến tuyến tính, thì việc khai triển xảy ra theo một số bước, nhưng bức tranh lại hoàn toàn khác khi đối số của hàm được khai triển là một hàm phức hoặc hàm phi tuyến, thì quá trình việc biểu diễn một hàm như vậy trong chuỗi lũy thừa là điều hiển nhiên, vì theo cách này, rất dễ tính toán, mặc dù là một giá trị gần đúng, tại bất kỳ điểm nào trong vùng định nghĩa, với sai số tối thiểu ít ảnh hưởng đến các phép tính tiếp theo. Điều này cũng áp dụng cho dãy Maclaurin. khi cần tính hàm số tại điểm 0. Tuy nhiên, bản thân chuỗi Laurent được thể hiện ở đây bằng sự mở rộng trên mặt phẳng với các đơn vị tưởng tượng. Ngoài ra, giải pháp chính xác cho vấn đề trong toàn bộ quá trình sẽ không thành công. Cách tiếp cận này không được biết đến trong toán học, nhưng nó tồn tại một cách khách quan. Kết quả là, bạn có thể đi đến kết luận về cái gọi là tập hợp con theo điểm và khi khai triển hàm trong chuỗi, bạn cần sử dụng các phương pháp đã biết cho quá trình này, chẳng hạn như ứng dụng lý thuyết đạo hàm. Một lần nữa, chúng tôi tin rằng giáo viên đã đúng khi đưa ra giả định về kết quả của các phép tính sau tính toán. Hãy lưu ý rằng chuỗi Taylor, thu được theo tất cả các quy tắc toán học, tồn tại và được xác định trên toàn bộ trục số, tuy nhiên, những người dùng thân yêu của dịch vụ trang web, đừng quên loại hàm ban đầu, vì nó có thể xuất hiện rằng ban đầu cần thiết lập miền định nghĩa của hàm, nghĩa là viết và loại trừ khỏi xem xét thêm những điểm mà tại đó hàm không được xác định trong miền số thực. Có thể nói, điều này sẽ cho thấy hiệu quả của bạn trong việc giải quyết vấn đề. Việc xây dựng chuỗi Maclaurin với giá trị đối số bằng 0 sẽ không phải là ngoại lệ đối với những gì đã nói. Quá trình tìm miền định nghĩa của một hàm vẫn chưa bị hủy bỏ và bạn phải tiếp cận phép toán này với tất cả sự nghiêm túc. Trong trường hợp chuỗi Laurent chứa phần chính, tham số “a” sẽ được gọi là điểm kỳ dị cô lập và chuỗi Laurent sẽ được khai triển thành một vành - đây là giao điểm của các vùng hội tụ của các phần của nó, do đó định lý tương ứng sẽ theo sau. Nhưng không phải mọi thứ đều phức tạp như thoạt nhìn đối với một sinh viên thiếu kinh nghiệm. Sau khi nghiên cứu về chuỗi Taylor, bạn có thể dễ dàng hiểu được chuỗi Laurent - một trường hợp tổng quát để mở rộng không gian các số. Bất kỳ sự mở rộng chuỗi nào của hàm chỉ có thể được thực hiện tại một điểm trong miền định nghĩa của hàm. Cần tính đến các thuộc tính của hàm số như tính tuần hoàn hoặc khả vi vô hạn. Chúng tôi cũng khuyên bạn nên sử dụng bảng mở rộng chuỗi Taylor làm sẵn của các hàm cơ bản, vì một hàm có thể được biểu diễn bằng hàng chục chuỗi lũy thừa khác nhau, như có thể thấy khi sử dụng máy tính trực tuyến của chúng tôi. Chuỗi Maclaurin trực tuyến dễ xác định, nếu bạn sử dụng dịch vụ trang web duy nhất, bạn chỉ cần nhập đúng chức năng viết và bạn sẽ nhận được câu trả lời được trình bày sau vài giây, nó được đảm bảo chính xác và đúng một dạng văn bản tiêu chuẩn. Bạn có thể sao chép kết quả trực tiếp thành một bản sao sạch để nộp cho giáo viên. Sẽ là đúng nếu trước tiên xác định tính phân tích của hàm đang xét trong các vành, sau đó phát biểu rõ ràng rằng nó có thể mở rộng theo dãy Laurent trong tất cả các vành như vậy. Điều quan trọng là không được bỏ qua các số hạng của dãy Laurent chứa đựng sức mạnh tiêu cực. Hãy tập trung vào điều này càng nhiều càng tốt. Vận dụng tốt định lý Laurent về khai triển hàm số lũy thừa nguyên.