Tôi sẽ không cố gắng thuyết phục bạn không viết cheat sheet. Viết! Bao gồm các tờ cheat về lượng giác. Sau này tôi dự định sẽ giải thích tại sao cần có các bảng ghi chú và tại sao các bảng ghi chú lại hữu ích. Và đây là thông tin về cách không học mà để nhớ một số công thức lượng giác. Vì vậy - lượng giác không có bảng ghi nhớ!
1. Công thức cộng:
Cosin luôn “đi theo cặp”: cosine-cosine, sin-sine.
Và một điều nữa: cosin là “không đủ”. “Mọi thứ đều không ổn” đối với họ nên họ đổi dấu: “-” thành “+” và ngược lại.
Xoang - "hỗn hợp": sin-cosine, cosine-sin.
2. Công thức tính tổng và hiệu:
cosin luôn “đi theo cặp”. Bằng cách thêm hai cosin - “koloboks”, chúng ta có được một cặp cosin - “koloboks”. Và bằng cách trừ đi, chúng ta chắc chắn sẽ không nhận được bất kỳ kolobok nào. Chúng tôi nhận được một vài sin. Ngoài ra với một điểm trừ phía trước.
Xoang - "hỗn hợp" :
3. Công thức quy đổi tích thành tổng và hiệu.
Khi nào chúng ta có được cặp cosin? Khi chúng ta thêm cosin. Đó là lý do tại sao
Khi nào chúng ta có một vài sin? Khi trừ cosin. Từ đây:
"Trộn" thu được cả khi cộng và trừ các sin. Điều gì thú vị hơn: cộng hay trừ? Đúng rồi, gấp lại. Và đối với công thức họ thực hiện phép cộng:
Trong công thức thứ nhất và thứ ba, tổng nằm trong ngoặc đơn. Sắp xếp lại vị trí của các số hạng không làm thay đổi tổng. Thứ tự chỉ quan trọng đối với công thức thứ hai. Tuy nhiên, để không bị nhầm lẫn, dễ nhớ, ở cả 3 công thức trong ngoặc đầu ta đều lấy sự khác biệt.
và thứ hai - số tiền
Tờ cheat trong túi giúp bạn yên tâm: nếu quên công thức, bạn có thể sao chép nó. Và chúng mang lại cho bạn sự tự tin: nếu bạn không sử dụng bảng ghi chú, bạn có thể dễ dàng ghi nhớ các công thức.
Chúng ta tiếp tục cuộc trò chuyện về các công thức được sử dụng nhiều nhất trong lượng giác. Điều quan trọng nhất trong số đó là các công thức bổ sung.
Định nghĩa 1
Công thức cộng cho phép bạn biểu diễn hàm hiệu hoặc tổng của hai góc bằng cách sử dụng hàm lượng giác những góc độ này.
Để bắt đầu, chúng tôi sẽ cung cấp danh sách đầy đủ các công thức cộng, sau đó chúng ta sẽ chứng minh và phân tích một số ví dụ minh họa.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Các công thức cộng cơ bản trong lượng giác
Có tám công thức cơ bản: sin của tổng và sin của hiệu hai góc, cosin của tổng và hiệu, tiếp tuyến và cotang của tổng và hiệu tương ứng. Dưới đây là các công thức và tính toán tiêu chuẩn của họ.
1. Có thể tính được sin của tổng hai góc như sau:
Chúng ta tính tích của sin của góc thứ nhất và cosin của góc thứ hai;
Nhân cosin của góc thứ nhất với sin của góc thứ nhất;
Cộng các giá trị kết quả.
Cách viết đồ họa của công thức trông như sau: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Sin của chênh lệch được tính theo cách gần như giống nhau, chỉ có điều các sản phẩm thu được không được cộng mà phải trừ đi nhau. Do đó, chúng ta tính tích của sin của góc thứ nhất và cosin của góc thứ hai và cosin của góc thứ nhất và sin của góc thứ hai và tìm ra sự khác biệt của chúng. Công thức viết như sau: sin(α - β) = sinα · cos β + sin α · sin β
3. Cosin của tổng. Đối với nó, chúng ta lần lượt tìm tích của cosin của góc thứ nhất với cosin của góc thứ hai và sin của góc thứ nhất với sin của góc thứ hai và tìm ra sự khác biệt của chúng: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Cosine của sự khác biệt: tính tích của sin và cosin của các góc này, như trước đây và cộng chúng lại. Công thức: cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tiếp tuyến của tổng. Công thức này được biểu thị dưới dạng phân số, tử số là tổng các tiếp tuyến của các góc cần thiết và mẫu số là đơn vị mà tích của các tiếp tuyến của các góc mong muốn được trừ đi. Mọi thứ đều rõ ràng từ ký hiệu đồ họa của nó: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tiếp tuyến của sự khác biệt. Chúng tôi tính toán các giá trị của hiệu và tích của các tiếp tuyến của các góc này và tiến hành chúng theo cách tương tự. Trong mẫu số, chúng ta thêm vào một chứ không phải ngược lại: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Cotang của tổng. Để tính toán bằng công thức này, chúng ta sẽ cần tích và tổng các cotang của các góc này, chúng ta tiến hành như sau: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Cotang của hiệu . Công thức tương tự như công thức trên nhưng tử số và mẫu số đều là âm chứ không phải cộng c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Bạn có thể nhận thấy rằng các công thức này giống nhau theo từng cặp. Sử dụng các dấu ± (cộng-trừ) và ∓ (trừ-cộng), chúng ta có thể nhóm chúng lại để dễ ghi lại:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Theo đó, chúng ta có một công thức ghi tổng và hiệu của từng giá trị, chỉ trong một trường hợp, chúng ta chú ý đến dấu trên, trong trường hợp khác – chú ý đến dấu dưới.
Định nghĩa 2
Chúng ta có thể lấy bất kỳ góc α và β nào, và các công thức cộng cosin và sin sẽ phù hợp với chúng. Nếu chúng ta có thể xác định chính xác giá trị của các tiếp tuyến và cotang của các góc này thì các công thức cộng tiếp tuyến và cotang cũng sẽ có giá trị đối với chúng.
Giống như hầu hết các khái niệm trong đại số, các công thức cộng có thể được chứng minh. Công thức đầu tiên chúng ta sẽ chứng minh là công thức sai phân cosine. Phần còn lại của bằng chứng sau đó có thể dễ dàng được suy ra từ nó.
Hãy làm rõ các khái niệm cơ bản. Chúng tôi sẽ cần vòng tròn đơn vị. Nó sẽ hoạt động nếu chúng ta lấy một điểm A nhất định và xoay các góc α và β quanh tâm (điểm O). Khi đó góc giữa các vectơ O A 1 → và O A → 2 sẽ bằng (α - β) + 2 π · z hoặc 2 π - (α - β) + 2 π · z (z là số nguyên bất kỳ). Các vectơ kết quả tạo thành một góc bằng α - β hoặc 2 π - (α - β) hoặc có thể khác với các giá trị này một số nguyên cuộc cách mạng đầy đủ. Hãy nhìn vào bức tranh:
Chúng tôi đã sử dụng công thức rút gọn và thu được kết quả như sau:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Kết quả: cosin góc giữa các vectơ O A 1 → và O A 2 → bằng cosin góc α - β, do đó cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa của sin và cosin: sin là hàm của góc, bằng tỷ lệ cạnh góc đối diện với cạnh huyền, cosin là sin của góc bù. Vì vậy, các điểm A 1 Và A 2 có tọa độ (cos α, sin α) và (cos β, sin β).
Chúng tôi nhận được những điều sau đây:
O A 1 → = (cos α, sin α) và O A 2 → = (cos β, sin β)
Nếu chưa rõ, hãy nhìn vào tọa độ các điểm nằm ở đầu và cuối của vectơ.
Độ dài của vectơ bằng 1, vì Chúng ta có một vòng tròn đơn vị.
Chúng ta hãy nhìn vào nó bây giờ sản phẩm chấm vectơ O A 1 → và O A 2 → . Trong tọa độ nó trông như thế này:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Từ đó ta có thể rút ra đẳng thức:
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Như vậy công thức cosin sai phân đã được chứng minh.
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh công thức sau– cosin của tổng. Điều này dễ dàng hơn vì chúng ta có thể sử dụng các tính toán trước đó. Hãy lấy biểu diễn α + β = α - (- β) . Chúng tôi có:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Đây là bằng chứng của công thức tổng cosin. Dòng cuối cùng sử dụng tính chất sin và cosin góc đối diện.
Công thức tính sin của một tổng có thể được rút ra từ công thức tính cosin của hiệu. Hãy lấy công thức rút gọn cho việc này:
loại tội lỗi(α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Vì thế
sin(α + β) = cos (π 2(α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Và đây là cách chứng minh công thức sin sai phân:
sin(α - β) = sin(α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Lưu ý việc sử dụng các tính chất sin và cosin của các góc đối diện trong phép tính cuối cùng.
Tiếp theo chúng ta cần chứng minh các công thức cộng tang và cotang. Chúng ta hãy nhớ các định nghĩa cơ bản (tiếp tuyến là tỷ lệ của sin với cosine và cotang là ngược lại) và sử dụng các công thức đã rút ra trước. Chúng tôi đã nhận được điều này:
t g(α + β) = sin(α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Chúng tôi đã làm nó phần phức tạp. Tiếp theo, chúng ta cần chia tử số và mẫu số của nó cho cos α · cos β, cho cos α ≠ 0 và cos β ≠ 0, ta được:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Bây giờ chúng ta giảm phân số và nhận được công thức loại sau: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Chúng ta có t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Đây là cách chứng minh công thức cộng tiếp tuyến.
Công thức tiếp theo mà chúng ta sẽ chứng minh là tang của công thức sai phân. Mọi thứ đều được thể hiện rõ ràng trong tính toán:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Công thức cotang được chứng minh tương tự:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Kế tiếp:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β