Một trong khoa học quan trọng nhất, ứng dụng của nó có thể thấy trong các ngành như hóa học, vật lý và thậm chí cả sinh học, đó là toán học. Nghiên cứu khoa học này cho phép bạn phát triển một số phẩm chất tinh thần và cải thiện khả năng tập trung. Một trong những chủ đề đáng được quan tâm đặc biệt trong môn Toán là phép cộng, trừ phân số. Nhiều học sinh gặp khó khăn trong học tập. Có lẽ bài viết của chúng tôi sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.
Cách trừ các phân số có cùng mẫu số
Phân số là những con số giống nhau mà bạn có thể thực hiện các phép tính khác nhau. Sự khác biệt của chúng với các số nguyên nằm ở chỗ có mẫu số. Đó là lý do tại sao khi thực hiện các phép tính với phân số, bạn cần nghiên cứu một số tính năng và quy tắc của chúng. Hầu hết trường hợp đơn giản là phép trừ phân số thông thường, có mẫu số được biểu diễn bằng cùng một số. Thực hiện hành động này sẽ không khó nếu bạn biết một quy tắc đơn giản:
- Để trừ một giây cho một phân số, cần phải trừ tử số của phân số bị trừ khỏi tử số của phân số bị rút gọn. Chúng ta viết số này vào tử số của hiệu và giữ nguyên mẫu số: k/m - b/m = (k-b)/m.
Ví dụ về phép trừ các phân số có mẫu số giống nhau
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Từ tử số của phân số “7” ta trừ tử số của phân số “3” cần trừ, ta được “4”. Chúng tôi viết số này vào tử số của câu trả lời và trong mẫu số, chúng tôi đặt cùng một số có trong mẫu số của phân số thứ nhất và thứ hai - “19”.
Hình ảnh dưới đây cho thấy một số ví dụ tương tự khác.
Hãy xem xét một ví dụ phức tạp hơn trong đó các phân số có cùng mẫu số được trừ:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Từ tử số của phân số “29” bị rút gọn bằng cách trừ lần lượt các tử số của tất cả các phân số tiếp theo - “3”, “8”, “2”, “7”. Kết quả là, chúng ta nhận được kết quả "9", chúng ta viết vào tử số của câu trả lời và ở mẫu số, chúng ta viết ra số có trong mẫu số của tất cả các phân số này - "47".
Cộng các phân số có cùng mẫu số
Việc cộng và trừ các phân số thông thường cũng tuân theo nguyên tắc tương tự.
- Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số. Số kết quả là tử số của tổng và mẫu số sẽ giữ nguyên: k/m + b/m = (k + b)/m.
Hãy xem điều này trông như thế nào bằng cách sử dụng một ví dụ:
1/4 + 2/4 = 3/4.
Vào tử số của số hạng đầu tiên của phân số - “1” - thêm tử số của số hạng thứ hai của phân số - “2”. Kết quả - “3” - được viết vào tử số của tổng và mẫu số được giữ nguyên như mẫu số có trong phân số - “4”.
Phân số có mẫu số khác nhau và phép trừ của chúng
Hành động với các phân số có cùng mẫu số, chúng tôi đã xem xét rồi. Như chúng ta thấy, biết quy tắc đơn giản, việc giải các ví dụ như vậy khá dễ dàng. Nhưng phải làm gì nếu bạn cần thực hiện một thao tác với các phân số có mẫu số khác nhau? Nhiều học sinh cấp hai bối rối trước những ví dụ như vậy. Nhưng ngay cả ở đây, nếu bạn biết nguyên lý của giải pháp, các ví dụ sẽ không còn làm khó bạn nữa. Ở đây cũng có một quy tắc, không có quy tắc nào thì giải pháp phân số tương tự Nó đơn giản là không thể.
- 2/3 - thiếu một ba và một hai ở mẫu số:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 hoặc 7/(3 x 3) - mẫu số thiếu hai:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 hoặc 5/(2 x 3) - mẫu số thiếu số ba:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - Số 18 được tạo thành từ 3 x 2 x 3.
- Số 15 được tạo thành từ 5 x 3.
- Bội chung sẽ là các thừa số sau: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 chia cho 15. Số kết quả “6” sẽ là số nhân của 15/3.
- 90 chia cho 18. Số kết quả “5” sẽ là số nhân của 4/18.
- Chuyển đổi tất cả các phân số có phần nguyên thành phần không đúng. Nói nói một cách đơn giản, loại bỏ toàn bộ phần. Để làm điều này, nhân số phần nguyên với mẫu số của phân số và cộng kết quả vào tử số. Số xuất hiện sau những hành động này là tử số phân số không chính xác. Mẫu số không thay đổi.
- Nếu các phân số có mẫu số khác nhau thì phải quy về cùng mẫu số.
- Thực hiện phép cộng hoặc phép trừ có cùng mẫu số.
- Khi nhận được một phần không chính xác, hãy chọn toàn bộ phần.
Để trừ các phân số mẫu số khác nhau, cần phải quy chúng về cùng mẫu số nhỏ nhất.
Chúng tôi sẽ nói chi tiết hơn về cách thực hiện việc này.
Thuộc tính của một phân số
Để đưa nhiều phân số về cùng một mẫu số, bạn cần sử dụng tính chất cơ bản của một phân số trong lời giải: sau khi chia hoặc nhân tử số và mẫu số cho cùng một số bạn nhận được một phân số bằng với phân số đã cho.
Vì vậy, ví dụ, phân số 2/3 có thể có các mẫu số như “6”, “9”, “12”, v.v., nghĩa là nó có thể có dạng của bất kỳ số nào là bội số của “3”. Sau khi nhân tử số và mẫu số với “2”, chúng ta được phân số 4/6. Sau khi nhân tử số và mẫu số của phân số ban đầu với “3”, chúng ta nhận được 6/9 và nếu thực hiện thao tác tương tự với số “4”, chúng ta sẽ nhận được 8/12. Một đẳng thức có thể được viết như sau:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Cách chuyển nhiều phân số về cùng mẫu số
Chúng ta hãy xem cách quy đổi nhiều phân số về cùng mẫu số. Ví dụ: hãy lấy các phân số hiển thị trong hình bên dưới. Trước tiên, bạn cần xác định số nào có thể trở thành mẫu số của tất cả chúng. Để làm cho mọi việc dễ dàng hơn, hãy phân tích các mẫu số hiện có thành nhân tử.
Mẫu số của phân số 1/2 và phân số 2/3 không thể phân tích thành nhân tử. Mẫu số 7/9 có hai thừa số 7/9 = 7/(3 x 3), mẫu số của phân số 5/6 = 5/(2 x 3). Bây giờ chúng ta cần xác định thừa số nào sẽ nhỏ nhất đối với cả bốn phân số này. Vì phân số thứ nhất có số “2” ở mẫu số, điều đó có nghĩa là nó phải có mặt ở tất cả các mẫu số; trong phân số 7/9 có hai bộ ba, nghĩa là cả hai đều phải có mặt ở mẫu số. Xét như trên, ta xác định mẫu số gồm 3 thừa số: 3, 2, 3 và bằng 3 x 2 x 3 = 18.
Hãy xem xét phân số đầu tiên - 1/2. Có một chữ số “2” trong mẫu số của nó, nhưng không có một chữ số “3” nào mà phải có hai chữ số. Để làm điều này, chúng ta nhân mẫu số với hai bộ ba, nhưng theo tính chất của một phân số, chúng ta phải nhân tử số với hai bộ ba:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Chúng tôi thực hiện các hoạt động tương tự với các phân số còn lại.
Tất cả cùng nhau trông như thế này:
Cách trừ, cộng các phân số có mẫu số khác nhau
Như đã đề cập ở trên, để cộng hoặc trừ các phân số có mẫu số khác nhau, chúng phải được quy về cùng mẫu số, sau đó sử dụng các quy tắc trừ các phân số có cùng mẫu số đã được thảo luận.
Hãy xem đây là một ví dụ: 18/4 - 15/3.
Tìm bội số của số 18 và 15:
Sau khi tìm được mẫu số, cần tính hệ số sẽ khác nhau cho mỗi phân số, tức là số mà không chỉ mẫu số mà cả tử số cũng cần được nhân. Để làm điều này, hãy chia số mà chúng tôi tìm thấy (bội số chung) cho mẫu số của phân số cần xác định các thừa số bổ sung.
Giai đoạn tiếp theo trong giải pháp của chúng tôi là giảm từng phân số về mẫu số “90”.
Chúng tôi đã nói về cách thực hiện điều này. Hãy xem điều này được viết như thế nào trong một ví dụ:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Nếu phân số có số nhỏ thì bạn có thể mẫu số chung xác định như trong ví dụ trong hình dưới đây.
Điều này cũng đúng với những người có mẫu số khác nhau.
Phép trừ và có phần nguyên
Chúng ta đã thảo luận chi tiết về phép trừ các phân số và phép cộng của chúng. Nhưng làm thế nào để trừ nếu phân số có toàn bộ phần? Một lần nữa, hãy sử dụng một vài quy tắc:
Có một cách khác để bạn có thể cộng và trừ các phân số có phần nguyên. Để làm điều này, các hành động được thực hiện riêng biệt với toàn bộ các phần và các hành động với phân số riêng biệt và kết quả được ghi lại cùng nhau.
Ví dụ đã cho bao gồm các phân số có cùng mẫu số. Trong trường hợp các mẫu số khác nhau, chúng phải được đưa về cùng một giá trị, sau đó thực hiện các hành động như trong ví dụ.
Trừ các phân số từ số nguyên
Một loại hành động khác với phân số là trường hợp phân số phải được trừ khỏi At first look ví dụ tương tự có vẻ khó giải quyết. Tuy nhiên, mọi thứ ở đây khá đơn giản. Để giải nó, bạn cần chuyển số nguyên thành một phân số và có cùng mẫu số với phân số bị trừ. Tiếp theo, chúng ta thực hiện phép trừ tương tự như phép trừ có cùng mẫu số. Trong một ví dụ nó trông như thế này:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Phép trừ các phân số (lớp 6) trình bày trong bài viết này là cơ sở để giải các ví dụ phức tạp hơn ở các lớp tiếp theo. Kiến thức về chủ đề này sau đó được sử dụng để giải các hàm số, đạo hàm, v.v. Vì vậy, việc hiểu và hiểu các phép tính với phân số đã thảo luận ở trên là rất quan trọng.
Các hành động với phân số.
Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)
Vậy phân số là gì, các loại phân số, các phép biến đổi - chúng ta đã nhớ. Hãy đi vào vấn đề chính.
Bạn có thể làm gì với phân số? Vâng, mọi thứ với số thông thường. Cộng, trừ, nhân, chia.
Tất cả những hành động này với số thập phân làm việc với phân số không khác gì làm việc với số nguyên. Trên thực tế, đó là điều tốt về chúng, số thập phân. Điều duy nhất là bạn cần đặt dấu phẩy cho chính xác.
Hỗn số , như tôi đã nói, ít được sử dụng cho hầu hết các hành động. Chúng vẫn cần được chuyển đổi thành phân số thông thường.
Nhưng những hành động với phân số thông thường họ sẽ tinh ranh hơn. Và quan trọng hơn nhiều! Hãy để tôi nhắc nhở bạn: tất cả các hành động có biểu thức phân số với các chữ cái, sin, ẩn số, v.v., v.v. đều không khác với các hành động có phân số thông thường! Các phép tính với phân số thông thường là cơ sở cho mọi đại số. Vì lý do này mà chúng tôi sẽ phân tích tất cả số học này một cách chi tiết ở đây.
Cộng và trừ các phân số.
Mọi người đều có thể cộng (trừ) các phân số có cùng mẫu số (tôi thực sự hy vọng vậy!). Thôi để tôi nhắc lại cho những ai hay quên: khi cộng (trừ) mẫu số không thay đổi. Các tử số được cộng (trừ) để ra tử số của kết quả. Kiểu:
Tóm lại, ở cái nhìn tổng quát:
Nếu mẫu số khác nhau thì sao? Sau đó, bằng cách sử dụng tính chất cơ bản của một phân số (ở đây nó lại có ích!), chúng ta làm cho các mẫu số giống nhau! Ví dụ:
Ở đây chúng ta phải tạo phân số 4/10 từ phân số 2/5. Với mục đích duy nhất là làm cho mẫu số giống nhau. Để tôi lưu ý, để đề phòng, 2/5 và 4/10 là cùng một phân số! Chỉ có 2/5 là không thoải mái với chúng ta, còn 4/10 là thực sự ổn.
Nhân tiện, đây là bản chất của việc giải bất kỳ bài toán nào. Khi chúng tôi từ khó chịu chúng tôi thực hiện các biểu thức điều tương tự, nhưng thuận tiện hơn cho việc giải quyết.
Một ví dụ khác:
Tình hình cũng tương tự. Ở đây chúng tôi tạo ra 48 trên 16. Bằng phép nhân đơn giản bằng 3. Tất cả đều rõ ràng. Nhưng chúng tôi đã gặp một cái gì đó như:
Làm sao được?! Thật khó để đạt được chín trên bảy! Nhưng chúng tôi thông minh, chúng tôi biết luật lệ! Hãy biến đổi mọi phân số sao cho mẫu số bằng nhau. Điều này được gọi là "giảm về mẫu số chung":
Ồ! Làm sao tôi biết về 63? Rất đơn giản! 63 là số chia hết cho 7 và 9. Một số như vậy luôn có thể thu được bằng cách nhân các mẫu số. Ví dụ: nếu chúng ta nhân một số với 7 thì kết quả chắc chắn sẽ chia hết cho 7!
Nếu bạn cần cộng (trừ) một số phân số thì không cần thực hiện theo cặp, từng bước một. Bạn chỉ cần tìm mẫu số chung cho tất cả các phân số và rút gọn từng phân số về cùng mẫu số đó. Ví dụ:
Và mẫu số chung sẽ là gì? Tất nhiên, bạn có thể nhân 2, 4, 8 và 16. Chúng ta có 1024. Cơn ác mộng. Việc ước tính rằng số 16 chia hết cho 2, 4 và 8 sẽ dễ dàng hơn. Do đó, từ những số này dễ dàng nhận được 16. Số này sẽ là mẫu số chung. Hãy biến 1/2 thành 16/8, 3/4 thành 12/16, v.v.
Nhân tiện, nếu bạn lấy 1024 làm mẫu số chung thì mọi chuyện sẽ ổn thỏa, cuối cùng mọi chuyện sẽ giảm bớt. Nhưng không phải ai cũng đạt được mục đích này, vì những tính toán...
Hãy tự mình hoàn thành ví dụ. Không phải một loại logarit nào đó... Nó phải là 29/16.
Vì vậy, tôi hy vọng việc cộng (trừ) các phân số đã rõ ràng? Tất nhiên, việc làm việc ở dạng rút gọn sẽ dễ dàng hơn với các hệ số nhân bổ sung. Nhưng niềm vui này chỉ dành cho những ai đã làm việc trung thực trong lớp học cơ sở... Và tôi không quên bất cứ điều gì.
Và bây giờ chúng ta sẽ thực hiện các hành động tương tự, nhưng không phải với phân số mà bằng biểu thức phân số. Cái cào mới sẽ được phát hiện ở đây, vâng...
Vì vậy, chúng ta cần thêm hai biểu thức phân số:
Chúng ta cần làm cho các mẫu số giống nhau. Và chỉ với sự giúp đỡ phép nhân! Đây là những gì thuộc tính chính của một phân số quy định. Vì vậy, tôi không thể thêm một vào X ở phân số đầu tiên ở mẫu số. (điều đó sẽ tốt đẹp!). Nhưng nếu bạn nhân các mẫu số lên, bạn sẽ thấy, mọi thứ đều phát triển cùng nhau! Vì vậy chúng ta viết dòng phân số ở trên cùng khoảng trống Hãy để nguyên, cộng lại và viết tích của các mẫu số bên dưới để không quên:
Và tất nhiên, chúng tôi không nhân bất cứ thứ gì ở vế phải, chúng tôi không mở dấu ngoặc đơn! Và bây giờ, nhìn vào mẫu số chung ở vế phải, chúng ta nhận thấy: để lấy mẫu số x(x+1) của phân số thứ nhất, bạn cần nhân tử số và mẫu số của phân số này với (x+1) . Và trong phân số thứ hai - đến x. Đây là những gì bạn nhận được:
Hãy chú ý! Đây là dấu ngoặc đơn! Đây là chiếc cào được nhiều người dẫm lên. Tất nhiên không phải dấu ngoặc đơn mà là sự vắng mặt của chúng. Dấu ngoặc đơn xuất hiện vì chúng ta đang nhân tất cả tử số và tất cả mẫu số! Và không phải từng mảnh riêng lẻ của họ ...
Trong tử số bên phải ta viết tổng của các tử số, mọi thứ như trong phân số, sau đó mở dấu ngoặc ở tử số ở vế phải, tức là Chúng tôi nhân lên mọi thứ và đưa ra những cái tương tự. Không cần phải mở dấu ngoặc đơn ở mẫu số hoặc nhân bất cứ thứ gì! Nói chung, về mẫu số (bất kỳ), sản phẩm luôn dễ chịu hơn! Chúng tôi nhận được:
Vậy là chúng ta đã có câu trả lời. Quá trình này có vẻ dài và khó khăn, nhưng nó phụ thuộc vào thực hành. Khi bạn giải được các ví dụ, làm quen dần thì mọi việc sẽ trở nên đơn giản. Những người đã thành thạo phân số đúng hạn sẽ thực hiện tất cả các thao tác này bằng một tay trái một cách tự động!
Và một lưu ý nữa. Nhiều người xử lý phân số một cách thông minh nhưng lại mắc kẹt trong các ví dụ có trọn những con số. Giống như: 2 + 1/2 + 3/4= ? Buộc chặt hai mảnh ở đâu? Bạn không cần phải buộc chặt nó ở bất cứ đâu, bạn cần phải chia một phần hai. Nó không dễ dàng, nhưng rất đơn giản! 2=2/1. Như thế này. Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được viết dưới dạng phân số. Tử số là chính số đó, mẫu số là một. 7 là 7/1, 3 là 3/1, v.v. Điều đó cũng tương tự với các chữ cái. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, v.v. Và sau đó chúng tôi làm việc với các phân số này theo tất cả các quy tắc.
Vâng, kiến thức về cộng và trừ phân số đã được làm mới. Việc chuyển đổi phân số từ loại này sang loại khác được lặp lại. Bạn cũng có thể được kiểm tra. Chúng ta giải quyết một chút nhé?)
Tính toán:
Câu trả lời (hỗn loạn):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Nhân/chia phân số - trong bài học tiếp theo. Ngoài ra còn có nhiệm vụ cho tất cả các phép tính với phân số.
Nếu bạn thích trang web này...
Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)
Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.
Các hành động với phân số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các ví dụ, mọi thứ một cách chi tiết kèm theo lời giải thích. Chúng ta sẽ xem xét các phân số thông thường. Chúng ta sẽ xem xét số thập phân sau. Tôi khuyên bạn nên xem toàn bộ và nghiên cứu nó một cách tuần tự.
1. Tổng các phân số, hiệu của các phân số.
Quy tắc: khi cộng phân số với mẫu số bằng nhau, kết quả là chúng ta nhận được một phân số - mẫu số của nó giữ nguyên và tử số của nó sẽ là bằng tổng tử số của phân số.
Quy tắc: Khi tính hiệu giữa các phân số có cùng mẫu số, ta thu được một phân số - mẫu số giữ nguyên và tử số của phân số thứ hai trừ tử số của phân số thứ nhất.
Ký hiệu chính thức cho tổng và hiệu của các phân số có mẫu số bằng nhau:
Ví dụ (1):
Rõ ràng là khi đưa ra các phân số thông thường thì mọi thứ đều đơn giản, nhưng nếu chúng trộn lẫn với nhau thì sao? Không có gì phức tạp...
Tùy chọn 1– bạn có thể chuyển đổi chúng thành những cái bình thường và sau đó tính toán chúng.
Tùy chọn 2– bạn có thể “làm việc” riêng biệt với phần nguyên và phần phân số.
Ví dụ (2):
Hơn:
Và nếu sự khác biệt của hai được đưa ra phân số hỗn hợp và tử số của phân số thứ nhất sẽ nhỏ hơn tử số của phân số thứ hai? Bạn cũng có thể hành động theo hai cách.
Ví dụ (3):
*Chuyển đổi sang phân số thông thường, tính chênh lệch, chuyển đổi phân số thu được thành phân số hỗn hợp.
*Chúng tôi chia nó thành các phần nguyên và phần phân số, lấy 3, sau đó trình bày 3 là tổng của 2 và 1, với một được biểu thị là 11/11, sau đó tìm sự khác biệt giữa 11/11 và 7/11 và tính kết quả . Ý nghĩa của các phép biến đổi trên là lấy (chọn) một đơn vị và biểu diễn nó dưới dạng một phân số với mẫu số mà chúng ta cần, sau đó chúng ta có thể trừ một phân số khác từ phân số này.
Một ví dụ khác:
Kết luận: có một cách tiếp cận phổ quát - để tính tổng (chênh lệch) của các phân số hỗn hợp có mẫu số bằng nhau, chúng luôn có thể được chuyển đổi thành phân số không chính xác, sau đó thực hiện hành động cần thiết. Sau đó, nếu kết quả là một phân số không chính xác, chúng ta chuyển nó thành một phân số hỗn hợp.
Ở trên chúng ta đã xem xét các ví dụ về phân số có mẫu số bằng nhau. Nếu mẫu số khác nhau thì sao? Trong trường hợp này, các phân số được giảm về cùng mẫu số và hành động đã chỉ định được thực hiện. Để thay đổi (biến đổi) một phân số, tính chất cơ bản của phân số được sử dụng.
Hãy xem xét các ví dụ đơn giản:
Trong những ví dụ này, chúng ta thấy ngay cách biến đổi một trong các phân số để có mẫu số bằng nhau.
Nếu chúng ta chỉ định các cách giảm phân số về cùng mẫu số thì chúng ta sẽ gọi đây là cách PHƯƠNG PHÁP MỘT.
Nghĩa là, ngay khi “đánh giá” một phân số, bạn cần tìm hiểu xem cách tiếp cận này có hiệu quả hay không - chúng tôi kiểm tra xem mẫu số lớn hơn có chia hết cho mẫu số nhỏ hơn hay không. Và nếu nó chia hết thì chúng ta thực hiện một phép biến đổi - chúng ta nhân tử số và mẫu số sao cho mẫu số của cả hai phân số đều bằng nhau.
Bây giờ hãy xem những ví dụ sau:
Cách tiếp cận này không thể áp dụng cho họ. Cũng có nhiều cách để rút gọn phân số về mẫu số chung;
Phương pháp HAI.
Chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai, tử số và mẫu số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất:
*Trên thực tế, chúng ta rút gọn các phân số để tạo thành khi mẫu số bằng nhau. Tiếp theo, chúng ta áp dụng quy tắc cộng các phân số có cùng mẫu số.
Ví dụ:
*Phương pháp này có thể được gọi là phổ quát và nó luôn hoạt động. Nhược điểm duy nhất là sau khi tính toán, bạn có thể thu được một phân số cần phải giảm thêm.
Hãy xem một ví dụ:
Có thể thấy tử số và mẫu số đều chia hết cho 5:
Phương pháp BA.
Bạn cần tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của các mẫu số. Đây sẽ là mẫu số chung. Đây là loại số gì? Đây là ít nhất số tự nhiên, chia hết cho mỗi số.
Nhìn xem, đây là hai số: 3 và 4, có nhiều số chia hết cho chúng - đó là 12, 24, 36, ... Số nhỏ nhất trong số đó là 12. Hoặc 6 và 15, chúng chia hết cho 30, 60, 90.... Nhỏ nhất là 30. Câu hỏi đặt ra là - làm thế nào để xác định bội số chung nhỏ nhất này?
Có một thuật toán rõ ràng, nhưng thường việc này có thể được thực hiện ngay lập tức mà không cần tính toán. Ví dụ: theo các ví dụ trên (3 và 4, 6 và 15) không cần thuật toán, chúng tôi lấy số lớn (4 và 15), nhân đôi chúng và thấy rằng chúng chia hết cho số thứ hai, nhưng các cặp số có thể là những người khác, ví dụ 51 và 119.
Thuật toán. Để xác định bội số chung nhỏ nhất của một số số, bạn phải:
- Phân tích mỗi số thành yếu tố ĐƠN GIẢN
— viết ra sự phân hủy LỚN HƠN của chúng
- nhân nó với các hệ số MISSING của các số khác
Hãy xem xét các ví dụ:
50 và 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
đang trong quá trình phân hủy hơn thiếu một năm
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 và 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
trong việc mở rộng số lớn hơn hai và ba bị thiếu
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố tương đương với sản phẩm của họ
Câu hỏi! Tại sao việc tìm bội số chung nhỏ nhất lại hữu ích vì bạn có thể sử dụng phương pháp thứ hai và chỉ cần rút gọn phân số thu được? Có, có thể, nhưng không phải lúc nào cũng thuận tiện. Nhìn vào mẫu số của các số 48 và 72 nếu bạn chỉ nhân chúng với 48∙72 = 3456. Bạn sẽ đồng ý rằng sẽ dễ chịu hơn khi làm việc với các số nhỏ hơn.
Hãy xem xét các ví dụ:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
sự mở rộng của một số lớn hơn thiếu một bộ ba
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Bây giờ hãy sử dụng phương pháp đầu tiên:
* Hãy xem sự khác biệt trong các phép tính, trong trường hợp đầu tiên có ít nhất chúng, nhưng trong trường hợp thứ hai, bạn cần phải làm việc riêng trên một tờ giấy và thậm chí cả phần bạn nhận được cũng cần phải giảm đi. Việc tìm kiếm LOC giúp đơn giản hóa công việc một cách đáng kể.
Thêm ví dụ:
*Trong ví dụ thứ hai, rõ ràng là số nhỏ nhất chia hết cho 40 và 60 bằng 120.
KẾT QUẢ! Thuật toán tính toán tổng quát!
— chúng ta giảm phân số thành phân số thông thường nếu có phần nguyên.
- chúng ta đưa các phân số về một mẫu số chung (đầu tiên chúng ta xem liệu một mẫu số có chia hết cho một mẫu số khác hay không; nếu nó chia hết thì chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số kia; nếu nó không chia hết, chúng ta hành động bằng các phương pháp khác đã nêu ở trên).
- Nhận được các phân số có mẫu số bằng nhau, ta thực hiện các phép tính (cộng, trừ).
- nếu cần thiết, chúng tôi giảm kết quả.
- nếu cần thì chọn toàn bộ phần.
2. Tích của phân số.
Quy tắc rất đơn giản. Khi nhân các phân số, tử số và mẫu số của chúng được nhân với nhau:
Ví dụ:
Nhiệm vụ. 13 tấn rau được đưa về căn cứ. Khoai tây chiếm ¾ tổng số rau nhập khẩu. Có bao nhiêu kg khoai tây đã được mang về căn cứ?
Hãy kết thúc với phần này.
*Trước đây tôi đã hứa sẽ giải thích chính thức cho bạn về tính chất chính của phân số thông qua tích, vui lòng:
3. Chia phân số.
Chia phân số có nghĩa là nhân chúng. Điều quan trọng cần nhớ ở đây là phân số là số chia (phân số được chia cho) được lật lại và hành động chuyển thành phép nhân:
Hành động này có thể được viết dưới dạng cái gọi là phân số bốn tầng, bởi vì bản thân phép chia “:” cũng có thể được viết dưới dạng phân số:
Ví dụ:
Thế thôi! Chúc bạn may mắn!
Trân trọng, Alexander Krutitskikh.
Hướng dẫn
Rút gọn về mẫu số chung.
Cho các phân số a/b và c/d.
Tử số và mẫu số của phân số thứ nhất được nhân với LCM/b
Tử số và mẫu số của phân số thứ hai được nhân với LCM/d
Một ví dụ được hiển thị trong hình.
Để so sánh các phân số, bạn cần cộng chúng cùng mẫu số, sau đó so sánh các tử số. Ví dụ: 3/4< 4/5, см. .
Cộng và trừ các phân số.
Để tìm tổng của hai phân số thông thường, chúng cần đưa chúng về mẫu số chung, sau đó cộng các tử số, giữ nguyên mẫu số. Ví dụ về phép cộng các phân số 1/2 và 1/3 được thể hiện trong hình.
Cách tìm hiệu của các phân số cũng tương tự; sau khi tìm được mẫu số chung, tử số của các phân số được trừ đi, xem hình.
Khi nhân các phân số thông thường, tử số và mẫu số được nhân với nhau.
Để chia hai phân số, cần có một phân số của phân số thứ hai, tức là thay đổi tử số và mẫu số của nó, rồi nhân các phân số thu được.
Video về chủ đề
Nguồn:
- phân số lớp 5 qua ví dụ
- Các bài toán cơ bản về phân số
mô-đunđại diện cho giá trị tuyệt đối biểu thức. Dấu ngoặc thẳng được sử dụng để biểu thị một mô-đun. Các giá trị chứa trong chúng được coi là modulo. Giải pháp cho mô-đun là mở rộng dấu ngoặc đơn theo quy tắc nhất định và tìm tập hợp các giá trị biểu thức. Trong hầu hết các trường hợp, mô-đun được mở rộng theo cách mà biểu thức mô-đun con nhận được một loạt các giá trị tích cực và giá trị âm bao gồm giá trị bằng 0. Dựa trên các tính chất này của mô-đun, các phương trình và bất đẳng thức tiếp theo của biểu thức ban đầu được biên soạn và giải.
Hướng dẫn
Viết phương trình ban đầu với . Để thực hiện việc này, hãy mở mô-đun. Hãy xem xét từng biểu thức mô đun con. Xác định giá trị nào của các đại lượng chưa biết có trong nó thì biểu thức trong ngoặc mô-đun trở thành 0.
Để làm điều này, hãy đánh đồng biểu thức mô đun con bằng 0 và tìm phương trình thu được. Viết ra các giá trị bạn tìm thấy. Tương tự, xác định giá trị của biến chưa biết cho từng module trong phương trình đã cho.
Vẽ một trục số và vẽ các giá trị kết quả trên đó. Các giá trị của biến trong mô đun số 0 sẽ đóng vai trò là các ràng buộc khi giải phương trình mô đun.
Trong phương trình ban đầu, bạn cần mở rộng các mô đun, thay đổi dấu sao cho các giá trị của biến tương ứng với giá trị hiển thị trên trục số. Giải phương trình kết quả. Kiểm tra giá trị tìm thấy của biến theo ràng buộc do mô-đun chỉ định. Nếu lời giải thỏa mãn điều kiện thì nó đúng. Những rễ không đáp ứng được các hạn chế phải bị loại bỏ.
Theo cách tương tự, hãy mở rộng mô-đun của biểu thức ban đầu, có tính đến dấu và tính nghiệm của phương trình thu được. Viết ra tất cả các nghiệm thu được thỏa mãn các bất đẳng thức ràng buộc.
Số phân số có thể được biểu diễn dưới dạng dưới các hình thức khác nhau giá trị chính xác số lượng. Bạn có thể làm tương tự với phân số các phép toán, như với các số nguyên: phép trừ, phép cộng, phép nhân và phép chia. Để học cách quyết định phân số, chúng ta phải nhớ một số tính năng của chúng. Chúng phụ thuộc vào loại phân số, sự có mặt của phần nguyên, mẫu số chung. Một số các phép tính số học sau khi thực hiện, chúng yêu cầu giảm phần phân số của kết quả.
Bạn sẽ cần
- - máy tính
Hướng dẫn
Hãy nhìn kỹ vào những con số. Nếu trong số các phân số có số thập phân và số không đều, đôi khi sẽ thuận tiện hơn nếu trước tiên thực hiện các phép tính với số thập phân, sau đó chuyển chúng sang dạng bất quy tắc. Bạn có thể dịch không phân sốở dạng này ban đầu, viết giá trị sau dấu thập phân vào tử số và đặt 10 vào mẫu số. Nếu cần, hãy giảm phân số bằng cách chia các số trên và dưới cho một ước số. Các phân số trong đó một phần nguyên bị cô lập phải được chuyển sang dạng sai bằng cách nhân nó với mẫu số và cộng tử số vào kết quả. Giá trị này sẽ trở thành tử số mới phân số. Để chọn toàn bộ phần từ phần ban đầu không chính xác phân số, bạn cần chia tử số cho mẫu số. Viết toàn bộ kết quả từ phân số. Và phần dư của phép chia sẽ trở thành tử số, mẫu số mới phân số nó không thay đổi. Đối với các phân số có phần nguyên, có thể thực hiện các hành động riêng biệt, trước tiên là đối với số nguyên và sau đó là đối với các phần phân số. Ví dụ: có thể tính tổng của 1 2/3 và 2 ¾:
- Chuyển phân số về dạng sai:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Tổng các phần nguyên và phần phân số riêng biệt của các số hạng:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Đối với các giá trị ở dưới dòng hãy tìm mẫu số chung. Ví dụ: đối với 5/9 và 7/12, mẫu số chung sẽ là 36. Đối với điều này, tử số và mẫu số của số đầu tiên phân số bạn cần nhân với 4 (bạn nhận được 28/36) và số thứ hai - với 3 (bạn nhận được 15/36). Bây giờ bạn có thể thực hiện các phép tính.
Nếu bạn định tính tổng hoặc hiệu của các phân số, trước tiên hãy viết mẫu số chung tìm được dưới dòng. Thực hiện hành động cần thiết giữa các tử số và viết kết quả lên trên dòng mới phân số. Như vậy, tử số mới sẽ là hiệu hoặc tổng các tử số của các phân số ban đầu.
Để tính tích của các phân số, nhân tử số của các phân số và viết kết quả vào vị trí tử số của phân số cuối cùng phân số. Làm tương tự cho mẫu số. Khi chia một phân số viết một phân số lên phân số kia, rồi nhân tử số của nó với mẫu số của phân số thứ hai. Trong trường hợp này, mẫu số của số đầu tiên phân số nhân tương ứng với tử số thứ hai. Trong trường hợp này, một loại cuộc cách mạng xảy ra phân số(số chia). Phân số cuối cùng sẽ là kết quả của việc nhân tử số và mẫu số của cả hai phân số. Học không khó phân số, được viết trong điều kiện dưới dạng “bốn tầng” phân số. Nếu nó ngăn cách hai phân số, viết lại chúng bằng dấu phân cách “:” và tiếp tục phép chia đều đặn.
Để nhận kết quả cuối cùng Rút gọn phân số thu được bằng cách chia tử số và mẫu số cho một số nguyên, số lớn nhất có thể trong trong trường hợp này. Trong trường hợp này, phải có số nguyên ở trên và dưới dòng.
Xin lưu ý
Không thực hiện phép tính với các phân số có mẫu số khác nhau. Chọn một số sao cho khi nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với nó thì được kết quả là mẫu số của cả hai phân số đều bằng nhau.
Khi ghi âm số phân số Cổ tức được viết phía trên dòng. Đại lượng này được chỉ định là tử số của phân số. Ước số hoặc mẫu số của phân số được viết bên dưới dòng. Ví dụ: 1 kg rưỡi gạo sẽ được viết dưới dạng phân số như sau: 1 ½ kg gạo. Nếu mẫu số của một phân số là 10 thì phân số đó được gọi là số thập phân. Trong trường hợp này, tử số (cổ tức) được viết ở bên phải của toàn bộ phần, cách nhau bằng dấu phẩy: 1,5 kg gạo. Để dễ tính toán, một phân số như vậy luôn có thể được viết dưới dạng ở dạng sai: 1 2/10 kg khoai tây. Để đơn giản hóa, bạn có thể giảm giá trị tử số và mẫu số bằng cách chia chúng cho một số nguyên. TRONG trong ví dụ này có thể chia cho 2. Kết quả sẽ là 1 1/5 kg khoai tây. Đảm bảo rằng các số bạn sắp thực hiện phép tính được trình bày dưới cùng một dạng.
Hướng dẫn
Nhấp một lần vào mục menu “Chèn”, sau đó chọn “Biểu tượng”. Đây là một trong những những cách đơn giản chèn phân số vào văn bản. Nó bao gồm những điều sau đây. Bộ ký hiệu làm sẵn bao gồm phân số. Số lượng của chúng, theo quy luật, là nhỏ, nhưng nếu bạn cần viết ½ trong văn bản thay vì 1/2, thì tùy chọn này sẽ tối ưu nhất cho bạn. Ngoài ra, số lượng ký tự phân số có thể phụ thuộc vào phông chữ. Ví dụ: đối với phông chữ Times New Roman, có ít phân số hơn một chút so với cùng một phông chữ Arial. Thay đổi phông chữ để tìm ra lựa chọn tốt nhất khi nói đến biểu thức đơn giản.
Nhấp vào mục menu “Chèn” và chọn mục phụ “Đối tượng”. Một cửa sổ sẽ xuất hiện trước mặt bạn với danh sách các đối tượng có thể chèn. Hãy chọn trong số đó Microsoft Equation 3.0. Ứng dụng này sẽ giúp bạn gõ phân số. Và không chỉ phân số, nhưng cũng phức tạp biểu thức toán học, chứa nhiều loại hàm lượng giác và các yếu tố khác. Nhấp đúp vào đối tượng này bằng nút chuột trái. Một cửa sổ sẽ xuất hiện trước mặt bạn chứa nhiều biểu tượng.
Để in một phân số, hãy chọn ký hiệu biểu thị một phân số có tử số và mẫu số trống. Bấm vào nó một lần bằng nút chuột trái. Một menu bổ sung sẽ xuất hiện, làm rõ sơ đồ. phân số. Có thể có một số lựa chọn. Chọn cái phù hợp với bạn nhất và nhấp vào nó một lần bằng nút chuột trái.
Ví dụ về phân số là một trong những yếu tố cơ bản của toán học. Có rất nhiều các loại khác nhau các phương trình với phân số. Dưới đây là hướng dẫn chi tiếtđể giải các ví dụ thuộc loại này.
Cách giải ví dụ về phân số - quy tắc chung
Để giải các ví dụ với bất kỳ loại phân số nào, có thể là cộng, trừ, nhân hoặc chia, bạn cần biết các quy tắc cơ bản:
- Để cộng các biểu thức phân số có cùng mẫu số (mẫu số là số ở dưới cùng của phân số, tử số ở trên cùng) bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.
- Để trừ biểu thức phân số thứ hai (có cùng mẫu số) khỏi một phân số, bạn cần trừ các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.
- Để cộng hoặc trừ các phân số có mẫu số khác nhau, bạn cần tìm mẫu số chung nhỏ nhất.
- Để tìm tích phân số, bạn cần nhân tử số và mẫu số, và giảm nếu có thể.
- Để chia một phân số cho một phân số, bạn nhân phân số thứ nhất với phân số thứ hai đảo ngược.
Cách giải ví dụ với phân số - thực hành
Quy tắc 1, ví dụ 1:
Tính 3/4 +1/4.
Theo Quy tắc 1, nếu hai (hoặc nhiều) phân số có cùng mẫu số, bạn chỉ cần cộng tử số của chúng. Chúng ta có: 3/4 + 1/4 = 4/4. Nếu một phân số có cùng tử số và mẫu số thì phân số đó bằng 1.
Đáp án: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Quy tắc 2, ví dụ 1:
Tính: 3/4 – 1/4
Sử dụng quy tắc số 2, để giải phương trình này bạn cần trừ 1 từ 3 và giữ nguyên mẫu số. Chúng tôi nhận được 2/4. Vì hai số 2 và 4 có thể rút gọn nên ta giảm và được 1/2.
Đáp án: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
Quy tắc 3, Ví dụ 1
Tính: 3/4 + 1/6
Giải: Áp dụng quy tắc thứ 3, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất. Mẫu số chung nhỏ nhất là số chia hết cho mẫu số của tất cả biểu thức phân số ví dụ. Vì vậy, chúng ta cần tìm số tối thiểu chia hết cho cả 4 và 6. Số này là 12. Chúng ta viết 12 làm mẫu số. Chia 12 cho mẫu số của phân số thứ nhất, ta được 3, nhân 3, viết. 3 ở tử số *3 và dấu +. Chia 12 cho mẫu số của phân số thứ hai ta được 2, nhân 2 với 1, viết 2*1 vào tử số. Vì vậy, hóa ra phân số mới với mẫu số bằng 12 và tử số bằng 3*3+2*1=11. 12/11.
Đáp án: 12/11
Quy tắc 3, Ví dụ 2:
Tính 3/4 – 1/6. Ví dụ này rất giống với ví dụ trước. Chúng ta thực hiện tất cả các bước tương tự, nhưng ở tử số thay vì dấu +, chúng ta viết dấu trừ. Chúng ta nhận được: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Đáp án: 12/7
Quy tắc 4, Ví dụ 1:
Tính: 3/4 * 1/4
Sử dụng quy tắc thứ tư, chúng ta nhân mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai và tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai. 3*1/4*4 = 3/16.
Đáp án: 16/3
Quy tắc 4, Ví dụ 2:
Tính 2/5 * 10/4.
Phần này có thể được giảm bớt. Trong trường hợp tích, tử số của phân số thứ nhất và mẫu số của phân số thứ hai và tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất bị hủy bỏ.
2 lần hủy từ 4. 10 lần hủy từ 5. Chúng ta nhận được 1 * 2/2 = 1*1 = 1.
Đáp án: 2/5 * 10/4 = 1
Quy tắc 5, Ví dụ 1:
Tính: 3/4: 5/6
Sử dụng quy tắc thứ 5, chúng ta có: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Chúng ta giảm phân số theo nguyên tắc của ví dụ trước và nhận được 9/10.
Đáp án: 10/9.
Cách giải ví dụ về phân số - phương trình phân số
Phương trình phân số là ví dụ trong đó mẫu số chứa ẩn số. Để giải một phương trình như vậy, bạn cần sử dụng các quy tắc nhất định.
Hãy xem một ví dụ:
Giải phương trình 15/3x+5 = 3
Chúng ta hãy nhớ rằng bạn không thể chia cho số 0, tức là giá trị mẫu số không được bằng 0. Khi giải các ví dụ như vậy, điều này phải được chỉ ra. Với mục đích này, có OA (phạm vi giá trị cho phép).
Vậy 3x+5 ≠ 0.
Do đó: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
Tại x = 5/3 phương trình vô nghiệm.
Đã chỉ ra ODZ, theo cách tốt nhất có thể quyết định phương trình đã cho sẽ thoát khỏi phân số. Để làm điều này, trước tiên chúng tôi trình bày tất cả các giá trị không phải phân số dưới dạng phân số, trong trường hợp này là số 3. Chúng tôi nhận được: 15/(3x+5) = 3/1. Để loại bỏ các phân số, bạn cần nhân từng phân số với mẫu số chung nhỏ nhất. Trong trường hợp này nó sẽ là (3x+5)*1. Trình tự hành động:
- Nhân 15/(3x+5) với (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Mở ngoặc: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- Chúng ta làm tương tự với vế phải của phương trình: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- So sánh vế trái và vế phải: 45x + 75 = 9x +15
- Di chuyển dấu X sang trái, số sang phải: 36x = – 50
- Tìm x: x = -50/36.
- Chúng tôi giảm: -50/36 = -25/18
Đáp án: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Cách giải ví dụ về phân số - bất đẳng thức phân số
Các bất đẳng thức phân số loại (3x-5)/(2-x) ≥0 được giải bằng trục số. Hãy xem ví dụ này.
Trình tự hành động:
- Chúng ta đánh đồng tử số và mẫu số bằng 0: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Chúng tôi vẽ một trục số, viết các giá trị kết quả lên đó.
- Vẽ một vòng tròn dưới giá trị. Có hai loại vòng tròn - đầy và trống. Vòng tròn đầy có nghĩa là giá trị đã cho nằm trong phạm vi giải pháp. Vòng tròn trống cho biết giá trị này không được bao gồm trong vùng giải pháp.
- Vì mẫu số không thể là bằng 0, dưới số 2 sẽ có một vòng tròn trống.
- Để xác định dấu, chúng ta thay số bất kỳ lớn hơn 2 vào phương trình, ví dụ 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. giá trị là âm, có nghĩa là chúng ta viết dấu trừ phía trên diện tích sau hai số đó. Sau đó thay thế cho X bất kỳ giá trị nào của khoảng từ 5/3 đến 2, ví dụ 1. Giá trị lại âm. Chúng tôi viết một điểm trừ. Chúng ta lặp lại tương tự với diện tích nằm ở vị trí tới 5/3. Chúng ta thay thế bất kỳ số nào nhỏ hơn 5/3, ví dụ 1. Một lần nữa, trừ.
- Vì chúng ta quan tâm đến các giá trị của x mà tại đó biểu thức sẽ lớn hơn hoặc bằng 0 và không có giá trị nào như vậy (có điểm trừ ở mọi nơi), nên bất đẳng thức này không có nghiệm, nghĩa là x = Ø (một tập rỗng).
Đáp án: x = Ø