Phân số- một dạng biểu diễn số trong toán học. Thanh phân số biểu thị phép chia. tử số phân số được gọi là cổ tức và mẫu số- dải phân cách. Ví dụ: trong một phân số, tử số là 5 và mẫu số là 7.
Chính xác Một phân số được gọi là phân số có mô đun của tử số lớn hơn mô đun của mẫu số. Nếu một phân số đúng thì mô đun giá trị của nó luôn nhỏ hơn 1. Tất cả các phân số khác đều là sai.
Phân số đó được gọi là hỗn hợp, nếu nó được viết dưới dạng số nguyên và phân số. Điều này giống như tổng của số này và phân số:
Tính chất cơ bản của phân số
Nếu nhân tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số thì giá trị của phân số đó không thay đổi, ví dụ:
Quy đổi phân số về mẫu số chung
Để đưa hai phân số về mẫu số chung, ta cần:
- Nhân tử số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai
- Nhân tử số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất
- Thay thế mẫu số của cả hai phân số bằng tích của chúng
Các thao tác với phân số
Phép cộng. Muốn cộng hai phân số cần
- Thêm tử số mới của cả hai phân số và giữ nguyên mẫu số
Ví dụ:
Phép trừ.Để trừ một phân số cho một phân số khác, bạn cần
- Giảm phân số về mẫu số chung
- Lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số
Ví dụ:
Phép nhân.Để nhân một phân số với một phân số khác, nhân tử số và mẫu số của chúng:
Phân công.Để chia một phân số này cho một phân số khác, hãy nhân tử số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai và nhân mẫu số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai:
Định nghĩa phân số chung
Định nghĩa 1
Các phân số phổ biến được sử dụng để mô tả số phần. Hãy xem một ví dụ có thể được sử dụng để định nghĩa một phân số chung.
Quả táo được chia thành các cổ phiếu trị giá $8$. Trong trường hợp này, mỗi phần chia sẻ đại diện cho một phần tám của toàn bộ quả táo, tức là $\frac(1)(8)$. Hai cổ phiếu được ký hiệu là $\frac(2)(8)$, ba cổ phiếu là $\frac(3)(8)$, v.v., và $8$ cổ phiếu là $\frac(8)(8)$ . Mỗi mục được trình bày được gọi là phân số thông thường.
Hãy đưa ra định nghĩa chung về phân số thông thường.
Định nghĩa 2
Phân số chungđược gọi là ký hiệu có dạng $\frac(m)(n)$, trong đó $m$ và $n$ là các số tự nhiên bất kỳ.
Bạn thường có thể tìm thấy ký hiệu sau đây cho một phân số chung: $m/n$.
Ví dụ 1
Ví dụ về các phân số phổ biến:
\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]
Lưu ý 1
Các số $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ không phải là phân số thông thường, bởi vì không phù hợp với định nghĩa trên.
Tử số và mẫu số
Một phân số chung gồm có tử số và mẫu số.
Định nghĩa 3
tử số Phân số thông thường $\frac(m)(n)$ là một số tự nhiên $m$, biểu thị số phần bằng nhau được lấy từ một tổng thể.
Định nghĩa 4
mẫu số Một phân số thông thường $\frac(m)(n)$ là một số tự nhiên $n$, cho biết tổng thể được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.
Hình 1.
Tử số nằm phía trên đường phân số, mẫu số nằm phía dưới đường phân số. Ví dụ: tử số của phân số chung $\frac(5)(17)$ là số $5$ và mẫu số là số $17$. Mẫu số cho thấy món hàng này được chia thành $17$ cổ phiếu, và tử số cho thấy rằng $5$ cổ phiếu đó đã được lấy đi.
Số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số 1
Mẫu số của một phân số chung có thể là một. Trong trường hợp này, đối tượng được coi là không thể phân chia được, tức là đại diện cho một tổng thể duy nhất. Tử số của một phân số như vậy cho biết có bao nhiêu vật được lấy. Một phân số thông thường có dạng $\frac(m)(1)$ có nghĩa là một số tự nhiên $m$. Do đó, chúng ta thu được đẳng thức có cơ sở vững chắc $\frac(m)(1)=m$.
Nếu chúng ta viết lại đẳng thức dưới dạng $m=\frac(m)(1)$, thì nó sẽ có thể biểu diễn bất kỳ số tự nhiên $m$ nào dưới dạng phân số thông thường. Ví dụ: số $5$ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số $\frac(5)(1)$, số $123\456$ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số $\frac(123\456)(1)$.
Do đó, bất kỳ số tự nhiên $m$ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thông thường với mẫu số $1$, và bất kỳ phân số thông thường nào có dạng $\frac(m)(1)$ đều có thể được thay thế bằng số tự nhiên $m$.
Thanh phân số làm dấu chia
Biểu diễn một đối tượng dưới dạng $n$ phần là chia thành $n$ phần bằng nhau. Sau khi chia một món hàng thành $n$ cổ phần, nó có thể được chia đều cho $n$ người - mỗi người sẽ nhận được một phần.
Giả sử có $m$ đối tượng giống hệt nhau được chia thành $n$ phần. Những món đồ $m$ này có thể được chia đều cho $n$ người bằng cách chia cho mỗi người một phần của mỗi món đồ $m$. Trong trường hợp này, mỗi người sẽ nhận được $m$ cổ phần của $\frac(1)(n)$, mang lại phân số chung $\frac(m)(n)$. Chúng tôi thấy rằng phân số chung $\frac(m)(n)$ có thể được sử dụng để biểu thị sự phân chia $m$ mục giữa $n$ người.
Mối liên hệ giữa phân số thông thường và phép chia được thể hiện ở chỗ thanh phân số có thể được hiểu là dấu chia, tức là. $\frac(m)(n)=m:n$.
Một phân số thông thường có thể viết ra kết quả của phép chia hai số tự nhiên mà phép chia không được thực hiện.
Ví dụ 2
Ví dụ: kết quả của việc chia $7$ quả táo cho $9$ người có thể được viết là $\frac(7)(9)$, tức là. mọi người sẽ nhận được bảy phần chín quả táo: $7:9=\frac(7)(9)$.
Phân số bằng nhau và không bằng nhau, so sánh phân số
Kết quả của việc so sánh hai phân số thông thường có thể là chúng bằng nhau hoặc không bằng nhau. Khi các phân số thông thường bằng nhau thì chúng được gọi là bằng nhau; ngược lại, các phân số thông thường được gọi là không bằng nhau.
bình đẳng, nếu đẳng thức $a\cdot d=b\cdot c$ là đúng.
Các phân số thông thường $\frac(a)(b)$ và $\frac(c)(d)$ được gọi là không cân bằng, nếu đẳng thức $a\cdot d=b\cdot c$ không giữ.
Ví dụ 3
Tìm hiểu xem các phân số $\frac(1)(3)$ và $\frac(2)(6)$ có bằng nhau hay không.
Đẳng thức được thỏa mãn, có nghĩa là các phân số $\frac(1)(3)$ và $\frac(2)(6)$ bằng nhau: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6)$.
Ví dụ này có thể được xem xét bằng cách sử dụng những quả táo: một trong hai quả táo giống hệt nhau được chia thành ba phần bằng nhau, phần thứ hai được chia thành các phần trị giá $6$. Có thể thấy rằng 2/6 quả táo tạo thành phần $\frac(1)(3)$.
Ví dụ 4
Kiểm tra xem các phân số thông thường $\frac(3)(17)$ và $\frac(4)(13)$ có bằng nhau không.
Hãy kiểm tra xem đẳng thức $a\cdot d=b\cdot c$ có giữ đúng không:
\ \
Đẳng thức không giữ, có nghĩa là các phân số $\frac(3)(17)$ và $\frac(4)(13)$ không bằng nhau: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) $.
Bằng cách so sánh hai phân số chung và thấy rằng chúng không bằng nhau, bạn có thể tìm ra phân số nào lớn hơn và phân số nào nhỏ hơn phân số kia. Để làm điều này, hãy sử dụng quy tắc so sánh các phân số thông thường: bạn cần đưa các phân số về mẫu số chung và sau đó so sánh tử số của chúng. Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Phân số trên tia tọa độ
Tất cả các số phân số tương ứng với phân số thông thường có thể được hiển thị trên tia tọa độ.
Để đánh dấu một điểm trên tia tọa độ tương ứng với phân số $\frac(m)(n)$, cần vẽ các đoạn $m$ từ gốc tọa độ theo hướng dương, có độ dài là $\ frac(1)(n)$ một phần của phân đoạn đơn vị . Các phân đoạn như vậy có được bằng cách chia một phân đoạn đơn vị thành $n$ phần bằng nhau.
Để hiển thị số phân số trên tia tọa độ, bạn cần chia đoạn đơn vị thành nhiều phần.
Hình 2.
Các phân số bằng nhau được mô tả bằng cùng một số phân số, tức là các phân số bằng nhau biểu thị tọa độ của cùng một điểm trên tia tọa độ. Ví dụ: tọa độ $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ mô tả cùng một điểm trên tia tọa độ, vì mọi phân số được viết đều bằng nhau.
Nếu một điểm được mô tả bằng tọa độ có phân số lớn hơn thì điểm đó sẽ nằm ở bên phải trên tia tọa độ nằm ngang hướng về bên phải so với điểm có tọa độ là phân số nhỏ hơn. Ví dụ, bởi vì phân số $\frac(5)(6)$ lớn hơn phân số $\frac(2)(6)$ thì điểm có tọa độ $\frac(5)(6)$ nằm ở bên phải của phân số điểm có tọa độ $\frac(2) (6)$.
Tương tự, điểm có tọa độ nhỏ hơn sẽ nằm bên trái điểm có tọa độ lớn hơn.
Phân số của một đơn vị và được biểu diễn dưới dạng \frac(a)(b).
Tử số của phân số (a)- số nằm phía trên dòng phân số và hiển thị số cổ phần mà đơn vị được chia.
mẫu số phân số (b)- số nằm dưới dòng của phân số và cho biết đơn vị đó được chia thành bao nhiêu phần.
Ẩn hiển thị
Tính chất cơ bản của phân số
Nếu ad=bc thì hai phân số \frac(a)(b) Và \frac(c)(d)được coi là bình đẳng. Ví dụ: các phân số sẽ bằng nhau \frac35 Và \frac(9)(15), vì 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) Và \frac(24)(14), vì 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .
Từ định nghĩa về sự bằng nhau của các phân số, suy ra rằng các phân số đó sẽ bằng nhau \frac(a)(b) Và \frac(am)(bm), vì a(bm)=b(am) là một ví dụ rõ ràng về việc sử dụng các tính chất kết hợp và giao hoán của phép nhân các số tự nhiên trong thực tế.
Có nghĩa \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- nó trông như thế này đây tính chất cơ bản của phân số.
Nói cách khác, chúng ta có được một phân số bằng phân số đã cho bằng cách nhân hoặc chia tử số và mẫu số của phân số ban đầu cho cùng một số tự nhiên.
Giảm một phần là quá trình thay thế một phân số trong đó phân số mới bằng phân số ban đầu nhưng có tử số và mẫu số nhỏ hơn.
Người ta thường rút gọn phân số dựa trên tính chất cơ bản của phân số.
Ví dụ, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(tử số và mẫu số chia cho số 3); phân số thu được lại có thể được giảm đi bằng cách chia cho 5, tức là \frac(15)(20)=\frac 34.
Phân số tối giản là một phần của hình thức \frac 34, trong đó tử số và mẫu số là các số nguyên tố. Mục đích chính của việc rút gọn một phân số là làm cho phân số đó không thể rút gọn được.
Quy đổi phân số về mẫu số chung
Hãy lấy hai phân số làm ví dụ: \frac(2)(3) Và \frac(5)(8) có mẫu số khác nhau là 3 và 8. Để đưa các phân số này về mẫu số chung, trước tiên ta nhân tử số và mẫu số của phân số đó \frac(2)(3) vào lúc 8 giờ. Chúng tôi nhận được kết quả sau: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Sau đó ta nhân tử số và mẫu số của phân số \frac(5)(8) bằng 3. Kết quả là chúng tôi nhận được: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Vì vậy, các phân số ban đầu được rút gọn về mẫu số chung 24.
Các phép tính trên phân số thông thường
Cộng các phân số thông thường
a) Nếu mẫu số bằng nhau thì tử số của phân số thứ nhất cộng với tử số của phân số thứ hai, giữ nguyên mẫu số. Như bạn có thể thấy trong ví dụ:
\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);
b) Đối với các mẫu số khác nhau, trước tiên phân số được quy giản về mẫu số chung, sau đó cộng các tử số theo quy tắc a):
\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).
Trừ phân số
a) Nếu mẫu số giống nhau thì lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số của phân số thứ nhất, giữ nguyên mẫu số:
\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);
b) Nếu mẫu số của các phân số khác nhau thì trước tiên các phân số được quy về mẫu số chung, sau đó các thao tác được lặp lại như điểm a).
Nhân các phân số thông dụng
Nhân các phân số tuân theo quy tắc sau:
\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),
nghĩa là họ nhân tử số và mẫu số một cách riêng biệt.
Ví dụ:
\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).
Chia phân số
Các phân số được chia như sau:
\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),
tức là một phân số \frac(a)(b) nhân với một phân số \frac(d)(c).
Ví dụ: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).
số đối ứng
Nếu ab=1 thì số b là số nghịch đảo cho số a.
Ví dụ: số 9 có nghịch đảo là \frac(1)(9), bởi vì 9\cdot\frac(1)(9)=1, cho số 5 - \frac(1)(5), bởi vì 5\cdot\frac(1)(5)=1.
Số thập phân
Số thập phânđược gọi là một phân số đúng có mẫu số là 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.
Ví dụ: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.
Các số bất quy tắc có mẫu số là 10^n hoặc hỗn số đều được viết theo cách tương tự.
Ví dụ: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.
Bất kỳ phân số thông thường nào có mẫu số là ước số của lũy thừa 10 nhất định đều được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân.
Ví dụ: 5 là ước của 100 nên là phân số \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.
Các phép tính trên số thập phân
Thêm số thập phân
Để cộng hai phân số thập phân, bạn cần sắp xếp sao cho có các chữ số giống nhau ở dưới và có dấu phẩy ở dưới dấu phẩy, sau đó cộng các phân số như số thường.
Trừ số thập phân
Nó được thực hiện tương tự như phép cộng.
Nhân số thập phân
Khi nhân các số thập phân, chỉ cần nhân các số đã cho là đủ, không chú ý đến dấu phẩy (như số tự nhiên) và trong đáp án thu được, dấu phẩy bên phải sẽ ngăn cách nhiều chữ số như sau dấu thập phân ở cả hai thừa số tổng cộng.
Hãy nhân 2,7 với 1,3. Chúng ta có 27 \cdot 13=351 . Chúng ta phân tách hai chữ số ở bên phải bằng dấu phẩy (số thứ nhất và số thứ hai có một chữ số sau dấu thập phân; 1+1=2). Kết quả là chúng ta nhận được 2,7 \cdot 1,3=3,51.
Nếu kết quả thu được chứa ít chữ số hơn mức cần phân tách bằng dấu phẩy thì các số 0 bị thiếu sẽ được viết ở phía trước, ví dụ:
Để nhân với 10, 100, 1000, bạn cần chuyển dấu thập phân 1, 2, 3 chữ số sang phải (nếu cần, gán một số số 0 nhất định sang bên phải).
Ví dụ: 1,47\cdot 10\,000 = 14,700.
Phép chia thập phân
Chia một phân số thập phân cho một số tự nhiên được thực hiện tương tự như chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên. Dấu phẩy trong thương được đặt sau khi phép chia toàn bộ phần được hoàn thành.
Nếu phần nguyên của số bị chia nhỏ hơn số chia thì câu trả lời là số nguyên bằng 0, ví dụ:
.png)
Chúng ta hãy xem xét việc chia một số thập phân cho một số thập phân. Giả sử chúng ta cần chia 2,576 cho 1,12. Trước hết, hãy nhân số bị chia và số chia của phân số với 100, nghĩa là di chuyển dấu thập phân sang phải trong số bị chia và số chia với số chữ số thập phân bằng với số có trong số chia sau dấu thập phân (trong ví dụ này , hai). Sau đó, bạn cần chia phân số 257,6 cho số tự nhiên 112, nghĩa là bài toán được rút gọn về trường hợp đã xét:
.png)
Điều xảy ra là không phải lúc nào cũng thu được phân số thập phân cuối cùng khi chia số này cho số khác. Kết quả là một phân số thập phân vô hạn. Trong những trường hợp như vậy, chúng ta chuyển sang phân số thông thường.
2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).
Tử số và mẫu số của một phân số. Các loại phân số. Hãy tiếp tục xem xét phân số. Đầu tiên, một tuyên bố từ chối trách nhiệm nhỏ - trong khi chúng tôi đang xem xét các phân số và ví dụ tương ứng với chúng, hiện tại chúng tôi sẽ chỉ làm việc với biểu diễn số của nó. Ngoài ra còn có các biểu thức chữ cái phân số (có và không có số).Tuy nhiên, tất cả các “nguyên tắc” và quy tắc cũng áp dụng cho chúng, nhưng chúng ta sẽ nói riêng về những cách diễn đạt đó trong tương lai. Tôi khuyên bạn nên tham khảo và nghiên cứu (ghi nhớ) chủ đề phân số từng bước một.
Điều quan trọng nhất là phải hiểu, nhớ và nhận ra rằng PHẦN là SỐ!!!
Phân số chung là một số có dạng:
Số nằm ở trên cùng (trong trường hợp này là m) được gọi là tử số, số nằm bên dưới (số n) được gọi là mẫu số. Những người mới chạm vào chủ đề này thường nhầm lẫn về những gì họ gọi nó.
Đây là một mẹo để bạn có thể nhớ mãi đâu là tử số và đâu là mẫu số. Kỹ thuật này gắn liền với sự liên kết bằng lời nói và nghĩa bóng. Hãy tưởng tượng một bình nước đục. Được biết, khi nước lắng, nước sạch vẫn ở trên và độ đục (bụi bẩn) lắng xuống, hãy nhớ:
CHISS tan nước TRÊN (CHISS litel top)
Grya Nước Z33NN DƯỚI ĐÂY (bộ điều chỉnh ZNNNN ở bên dưới)
Vì vậy, ngay khi nảy sinh nhu cầu nhớ đâu là tử số và đâu là mẫu số, chúng ta ngay lập tức tưởng tượng ra một bình nước lắng, bên trên là nước SẠCH và nước TRỰC TIẾP ở phía dưới. Có những thủ thuật ghi nhớ khác, nếu chúng giúp ích cho bạn thì tốt.
Ví dụ về các phân số phổ biến:
Đường ngang giữa các số có ý nghĩa gì? Đây không gì khác hơn là một dấu hiệu phân chia. Hóa ra một phân số có thể được coi là một ví dụ về hành động chia. Hành động này được ghi lại đơn giản dưới dạng này. Nghĩa là, số trên cùng (tử số) được chia cho số dưới cùng (mẫu số):
Ngoài ra, còn có một dạng ký hiệu khác - một phân số có thể được viết như thế này (thông qua dấu gạch chéo):
1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64, v.v...
Chúng ta có thể viết các phân số trên như sau:
Kết quả của phép chia là làm thế nào con số này được biết đến.
Chúng tôi đã tìm ra - ĐÂY LÀ PHẦN!!!
Như bạn đã nhận thấy, trong một phân số chung, tử số có thể nhỏ hơn mẫu số, có thể lớn hơn mẫu số và có thể bằng tử số. Ở đây có nhiều điểm quan trọng có thể hiểu được bằng trực giác mà không cần cải tiến về mặt lý thuyết. Ví dụ:
1. Phân số 1 và 3 có thể viết là 0,5 và 0,01. Hãy tiếp tục một chút - đây là các phân số thập phân, chúng ta sẽ nói về chúng ở phần thấp hơn một chút.
2. Phân số 4 và 6 có kết quả là số nguyên 45:9=5, 11:1 = 11.
3. Phân số 5 có kết quả là 155:155 = 1.
Những kết luận nào tự gợi ra? Kế tiếp:
1. Tử số khi chia cho mẫu số có thể cho số hữu hạn. Nó có thể không hoạt động, chia cột 7 cho 13 hoặc 17 cho 11 - không thể nào! Bạn có thể chia vô tận, nhưng chúng ta cũng sẽ nói về điều này bên dưới.
2. Một phân số có thể tạo ra một số nguyên. Do đó, chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ số nguyên nào dưới dạng phân số, hay đúng hơn là một chuỗi vô hạn các phân số, nhìn xem, tất cả các phân số này đều bằng 2:
Hơn! Chúng ta luôn có thể viết bất kỳ số nguyên nào dưới dạng phân số - chính số đó nằm ở tử số, đơn vị nằm ở mẫu số:
3. Chúng ta luôn có thể biểu diễn một đơn vị dưới dạng phân số với bất kỳ mẫu số nào:
*Những điểm này cực kỳ quan trọng khi làm việc với phân số trong quá trình tính toán và biến đổi.
Các loại phân số.
Và bây giờ là về phép chia lý thuyết của các phân số thông thường. Chúng được chia thành đúng và sai.
Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số được gọi là phân số thực sự. Ví dụ:
Một phân số có tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số được gọi là phân số không chính xác. Ví dụ:
Phần hỗn hợp(hỗn hợp số).
Hỗn số là phân số được viết dưới dạng số nguyên và phân số thích hợp và được hiểu là tổng của số này và phần phân số của nó. Ví dụ:
Một phân số hỗn hợp luôn có thể được biểu diễn dưới dạng phân số không chính xác và ngược lại. Hãy tiếp tục nào!
Phân số thập phân.
Chúng tôi đã đề cập đến chúng ở trên, đây là các ví dụ (1) và (3), bây giờ chi tiết hơn. Dưới đây là ví dụ về phân số thập phân: 0,3 0,89 0,001 5,345.
Một phân số có mẫu số là lũy thừa của 10, chẳng hạn như 10, 100, 1000, v.v., được gọi là số thập phân. Không khó để viết ba phân số được chỉ định đầu tiên dưới dạng phân số thông thường:
Phần thứ tư là hỗn số (hỗn số):
Phân số thập phân có dạng sau - vớiphần nguyên bắt đầu, sau đó dấu phân cách giữa phần nguyên và phần phân số là dấu chấm hoặc dấu phẩy rồi đến phần phân số, số chữ số của phần phân số được xác định chặt chẽ bằng kích thước của phần phân số: nếu là phần mười thì phần phân số được viết bằng một chữ số; nếu phần nghìn - ba; mười phần nghìn - bốn, v.v.
Những phân số này có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
Ví dụ về phân số thập phân tận cùng: 0,234; 0,87; 34.00005; 5,765.
Các ví dụ là vô tận. Ví dụ: số Pi là một phân số thập phân vô hạn, cũng – 0,333333333333…. 0,16666666666…. và những người khác. Cũng là kết quả của việc trích ra căn nguyên của các số 3, 5, 7 v.v... sẽ là một phân số vô hạn.
Phần phân số có thể là tuần hoàn (nó chứa một chu trình), hai ví dụ trên giống hệt như thế này và các ví dụ khác:
0.123123123123…… chu kỳ 123
0,781781781718......chu kỳ 781
0,0250102501…. chu kỳ 02501
Chúng có thể được viết là 0,(123) 0,(781) 0,(02501).
Số Pi không phải là một phân số tuần hoàn, chẳng hạn như căn bậc ba.
Trong các ví dụ bên dưới, các từ như “lật” một phân số sẽ phát ra âm thanh - điều này có nghĩa là tử số và mẫu số được hoán đổi cho nhau. Trên thực tế, một phân số như vậy có tên - phân số nghịch đảo. Ví dụ về phân số nghịch đảo:
Một bản tóm tắt nhỏ! Phân số là:
Bình thường (đúng và sai).
Số thập phân (hữu hạn và vô hạn).
Hỗn hợp (hỗn hợp số).
Thế thôi!
Trân trọng, Alexander.
1 Phân số thông thường là gì? Các loại phân số.Một phân số luôn có nghĩa là một phần của tổng thể. Thực tế là số lượng không phải lúc nào cũng được biểu thị bằng số tự nhiên, nghĩa là được tính lại: 1,2,3, v.v. Ví dụ, làm thế nào để bạn chỉ định nửa quả dưa hấu hoặc một phần tư giờ? Đây là lý do tại sao phân số hoặc số xuất hiện.
Để bắt đầu, phải nói rằng nhìn chung có hai loại phân số: phân số thường và phân số thập phân. Phân số thông thường được viết như sau:
Phân số thập phân được viết khác nhau:
Phân số thông thường gồm hai phần: trên cùng là tử số, dưới cùng là mẫu số. Tử số và mẫu số được ngăn cách bằng một dòng phân số. Vì vậy hãy nhớ:
Bất kỳ phân số nào cũng là một phần của tổng thể. Thường được lấy tổng thể 1 (đơn vị). Mẫu số của một phân số cho biết số nguyên được chia thành bao nhiêu phần ( 1 ) và tử số là số phần đã được lấy. Nếu chúng ta cắt chiếc bánh thành 6 phần bằng nhau (trong toán học người ta nói cổ phiếu ), thì mỗi phần của chiếc bánh sẽ bằng 1/6. Nếu Vasya ăn 4 miếng nghĩa là anh ấy đã ăn 4/6.
Mặt khác, dấu gạch chéo không gì khác hơn là dấu chia. Do đó, một phân số là thương của hai số - tử số và mẫu số. Trong văn bản của các bài toán hoặc trong công thức nấu ăn, phân số thường được viết như sau: 2/3, 1/2, v.v. Một số phân số có tên riêng, ví dụ: 1/2 - “một nửa”, 1/3 - “thứ ba”, 1/4 - “quý”
Bây giờ hãy tìm hiểu xem có những loại phân số thông thường nào.
2 Các loại phân số thông thường
Có ba loại phân số phổ biến: đúng, không đúng và hỗn hợp:
Phân số thích hợp
Nếu tử số nhỏ hơn mẫu số thì phân số đó gọi là Chính xác, Ví dụ: 
Một phân số đúng luôn nhỏ hơn 1.
Phân số không chính xác
Nếu tử số lớn hơn mẫu số hoặc bằng mẫu số thì phân số đó gọi là sai, Ví dụ:
Một phân số không chính xác lớn hơn một (nếu tử số lớn hơn mẫu số) hoặc bằng một (nếu tử số bằng mẫu số)
Phần hỗn hợp
Nếu một phân số gồm một số nguyên (phần nguyên) và một phân số thực sự (phần phân số) thì phân số đó được gọi là hỗn hợp, Ví dụ: 
Một phân số hỗn hợp luôn lớn hơn một.
3 Chuyển đổi phân số
Trong toán học, phân số thường thường phải quy đổi, tức là phân số hỗn số phải được quy đổi thành phân số không chính xác và ngược lại. Điều này là cần thiết để thực hiện một số thao tác nhất định, chẳng hạn như nhân và chia.
Vì thế, bất kỳ phân số hỗn hợp nào cũng có thể được chuyển đổi thành một phân số không chính xác. Để làm điều này, toàn bộ phần được nhân với mẫu số và tử số của phần phân số được thêm vào. Số tiền thu được được lấy làm tử số và mẫu số được giữ nguyên, ví dụ:
Bất kỳ phân số không chính xác nào cũng có thể được chuyển đổi thành một phân số hỗn hợp. Để làm điều này, hãy chia tử số cho mẫu số (có phần dư). Số kết quả sẽ là phần nguyên và phần còn lại sẽ là tử số của phần phân số, ví dụ:
Đồng thời họ nói: “Chúng tôi đã tách toàn bộ phần ra khỏi phần không chính xác”.
Một quy tắc nữa cần nhớ: Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số có mẫu số là 1, Ví dụ:
Hãy nói về cách so sánh phân số.
4 So sánh các phân số
Khi so sánh các phân số, có thể có một số phương án: So sánh các phân số có cùng mẫu số thì dễ, nhưng sẽ khó hơn nhiều nếu các phân số khác mẫu số. Và còn có sự so sánh các phân số hỗn hợp. Nhưng đừng lo lắng, bây giờ chúng ta sẽ xem xét chi tiết từng lựa chọn và tìm hiểu cách so sánh phân số.
So sánh các phân số cùng mẫu số
Trong hai phân số có cùng mẫu số nhưng khác tử số thì phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn, ví dụ:
So sánh các phân số có cùng tử số
Trong hai phân số có cùng tử số nhưng khác mẫu số thì phân số nào có mẫu số bé hơn thì lớn hơn, ví dụ:
So sánh phân số hỗn hợp và phân số không chính xác với phân số thích hợp
Một phân số không chính xác hoặc phân số hỗn hợp luôn lớn hơn một phân số đúng, ví dụ:
So sánh hai phân số hỗn hợp
Khi so sánh hai phân số hỗn hợp, phân số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn, ví dụ:
Nếu phần nguyên của các phân số hỗn hợp bằng nhau thì phân số có phần phân số lớn hơn sẽ lớn hơn, ví dụ:
So sánh các phân số có tử số và mẫu số khác nhau
Bạn không thể so sánh các phân số có tử số và mẫu số khác nhau mà không chuyển đổi chúng. Đầu tiên, các phân số phải được quy về cùng mẫu số, sau đó so sánh tử số của chúng. Phân số có tử số lớn hơn là phân số lớn hơn. Nhưng chúng ta sẽ xem xét cách quy đổi phân số về cùng mẫu số trong hai phần tiếp theo của bài viết. Đầu tiên chúng ta sẽ xem xét tính chất cơ bản của phân số và rút gọn phân số, sau đó rút gọn trực tiếp phân số về cùng mẫu số.
5 Tính chất cơ bản của phân số. Giảm phân số. Khái niệm GCD.
Nhớ: Bạn chỉ có thể cộng, trừ và so sánh các phân số có cùng mẫu số. Nếu các mẫu số khác nhau thì trước tiên bạn cần đưa các phân số về cùng mẫu số, nghĩa là biến đổi một trong các phân số sao cho mẫu số của nó giống với mẫu số của phân số thứ hai.
Phân số có một tính chất quan trọng, còn được gọi là tính chất cơ bản của phân số:
Nếu nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số thì giá trị của phân số đó không thay đổi:
Nhờ tính chất này chúng ta có thể giảm phân số:
Rút gọn một phân số là chia cả tử số và mẫu số cho cùng một số.(xem ví dụ ngay trên). Khi rút gọn một phân số, chúng ta có thể viết các hành động của mình như thế này:
Thông thường, trong sổ ghi chép, phân số được viết tắt như sau:
Nhưng hãy nhớ: bạn chỉ có thể giảm các yếu tố. Nếu tử số hoặc mẫu số chứa tổng hoặc hiệu, bạn không thể giảm số hạng.
Ví dụ:
Trước tiên bạn phải chuyển đổi tổng thành số nhân: Đôi khi, khi làm việc với số lớn, để rút gọn một phân số, người ta dễ dàng tìm
ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số (GCD)Ước chung lớn nhất (GCD)
Nhiều số là số tự nhiên lớn nhất mà các số này chia hết không có số dư.
Để tìm gcd của hai số (ví dụ: tử số và mẫu số của một phân số), bạn cần phân tích cả hai số thành thừa số nguyên tố, đánh dấu các thừa số giống nhau trong cả hai phân số và nhân các thừa số này. Sản phẩm thu được sẽ là GCD. Ví dụ: chúng ta cần giảm một phần:
Hãy tìm gcd của số 96 và 36: 
GCD cho chúng ta thấy rằng cả tử số và mẫu số đều có hệ số 12 và chúng ta có thể dễ dàng rút gọn phân số.
6 Đôi khi, để đưa các phân số về cùng mẫu số, chỉ cần rút gọn một trong các phân số là đủ. Nhưng thường xuyên hơn, cần phải chọn các hệ số bổ sung cho cả hai phân số. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét cách thực hiện việc này. Vì thế:
Cách quy đổi các phân số về cùng mẫu số. Bội số chung nhỏ nhất (LCM).
Khi chúng ta quy các phân số về cùng mẫu số, chúng ta chọn một số cho mẫu số chia hết cho cả mẫu số thứ nhất và thứ hai (nghĩa là nó sẽ là bội số của cả hai mẫu số, theo thuật ngữ toán học). Và điều mong muốn là con số này càng nhỏ càng tốt để thuận tiện hơn cho việc đếm. Vì vậy, chúng ta phải tìm LCM của cả hai mẫu số. là số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho cả hai số đó và không có số dư. Đôi khi có thể tìm LCM bằng miệng, nhưng thường xuyên hơn, đặc biệt khi làm việc với số lượng lớn, bạn phải tìm LCM bằng văn bản, sử dụng thuật toán sau:
Để tìm LCM của một số số, bạn cần:
- Phân tích các số này thành thừa số nguyên tố
- Lấy khai triển lớn nhất và viết những số này dưới dạng tích
- Chọn các số trong bản mở rộng khác không xuất hiện trong bản mở rộng lớn nhất (hoặc xuất hiện ít lần hơn trong bản mở rộng đó) và thêm chúng vào tích.
- Nhân tất cả các số trong tích, đây sẽ là LCM.
Ví dụ: hãy tìm LCM của các số 28 và 21:
Tuy nhiên, hãy quay trở lại phân số của chúng tôi. Sau khi tìm hoặc viết được LCM của cả hai mẫu số, chúng ta phải nhân tử số của các phân số này với số nhân bổ sung. Bạn có thể tìm thấy chúng bằng cách chia LCM cho mẫu số của phân số tương ứng, ví dụ: 
Vì vậy, chúng tôi đã giảm các phân số của mình về cùng mẫu số - 15.
7 Cộng và trừ các phân số
Cộng và trừ các phân số cùng mẫu số
Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng nhưng giữ nguyên mẫu số, ví dụ:
Để trừ các phân số có cùng mẫu số, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai với tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số, ví dụ: 
Cộng và trừ các phân số có cùng mẫu số
Để cộng các phân số hỗn số, bạn cần cộng riêng các phần nguyên của chúng, sau đó cộng các phần phân số của chúng và viết kết quả dưới dạng hỗn số:
Nếu khi cộng các phần phân số, bạn nhận được một phân số không chính xác, hãy chọn toàn bộ phần đó và thêm nó vào toàn bộ phần, ví dụ:
Phép trừ được thực hiện theo cách tương tự: phần nguyên được trừ khỏi phần toàn bộ và phần phân số được trừ khỏi phần phân số: 
Nếu phần phân số của phần bị trừ lớn hơn phần phân số của phần bị trừ, chúng ta “mượn” một phần từ toàn bộ phần, biến phần bị trừ thành phân số không chính xác, rồi tiến hành như bình thường: 
Tương tự như vậy trừ một phân số từ một số nguyên:
Cách cộng số nguyên và phân số
Để cộng một số nguyên và một phân số, bạn chỉ cần cộng số đó vào trước phân số để tạo thành hỗn số, ví dụ:
Nếu chúng ta cộng một số nguyên và một hỗn số, chúng ta cộng số này vào toàn bộ phần của phân số, ví dụ:
Cộng và trừ các phân số có mẫu số khác nhau.
Để cộng hoặc trừ các phân số khác mẫu số, trước tiên bạn phải đưa chúng về cùng mẫu số, sau đó thực hiện như khi cộng các phân số cùng mẫu số (cộng các tử số):
Khi trừ ta thực hiện tương tự như sau:
Nếu chúng ta làm việc với các phân số hỗn hợp, chúng ta quy đổi các phần phân số của chúng về cùng mẫu số rồi trừ như bình thường: phần nguyên từ phần nguyên và phần phân số từ phần phân số:
8 Nhân và chia phân số.
Nhân và chia các phân số dễ dàng hơn nhiều so với phép cộng và trừ vì bạn không cần phải quy chúng về cùng mẫu số. Hãy nhớ các quy tắc đơn giản để nhân và chia phân số:
Trước khi nhân các số ở tử số và mẫu số, nên giảm phân số, nghĩa là loại bỏ các thừa số giống nhau ở tử số và mẫu số, như trong ví dụ của chúng ta.
Để chia một phân số cho một số tự nhiên, bạn cần nhân mẫu số với số này và giữ nguyên tử số:
Ví dụ:
Chia một phân số cho một phân số
Để chia một phân số cho một phân số khác, bạn cần nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia (phân số nghịch đảo này là loại phân số nghịch đảo nào?
Nếu ta lật phân số, tức là đổi chỗ tử số và mẫu số, ta sẽ được một phân số nghịch đảo. Tích của một phân số và nghịch đảo của nó cho kết quả bằng một. Trong toán học, những con số như vậy được gọi là nghịch đảo:
Ví dụ, số 
- nghịch đảo nhau, vì 
Vì vậy, chúng ta hãy quay lại chia một phân số cho một phân số:
Để chia một phân số cho một phân số khác, bạn cần nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia:
Ví dụ:
Khi chia các phân số hỗn hợp, cũng giống như khi nhân, trước tiên bạn phải chuyển chúng thành các phân số không chính xác:
Khi nhân và chia phân số cho số tự nhiên, bạn cũng có thể biểu diễn những số này dưới dạng phân số có mẫu số 1 .
Và khi nào chia một số nguyên cho một phân số biểu thị số này dưới dạng phân số có mẫu số 1 :
