Giả sử Achilles chạy nhanh hơn rùa mười lần và chậm hơn nó một nghìn bước. Trong thời gian Achilles chạy được quãng đường này, con rùa sẽ bò cả trăm bước về cùng một hướng. Khi Achilles chạy được một trăm bước, con rùa bò thêm mười bước nữa, v.v. Quá trình này sẽ tiếp tục đến vô tận, Achilles sẽ không bao giờ đuổi kịp con rùa.
Lý do này đã trở thành một cú sốc hợp lý cho tất cả các thế hệ tiếp theo. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Họ đều coi lời ngụy biện của Zeno theo cách này hay cách khác. Cú sốc mạnh đến mức " ...các cuộc thảo luận vẫn tiếp tục cho đến ngày nay, để đạt được quan điểm chung về bản chất của nghịch lý cộng đồng khoa học cho đến nay điều đó vẫn chưa thể thực hiện được... họ đã tham gia vào việc nghiên cứu vấn đề này phân tích toán học, lý thuyết tập hợp, vật lý mới và cách tiếp cận triết học; không ai trong số họ trở thành giải pháp được chấp nhận rộng rãi cho vấn đề..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mọi người đều hiểu rằng họ đang bị lừa, nhưng không ai hiểu hành vi lừa dối đó bao gồm những gì.
Từ quan điểm toán học, Zeno trong aporia của mình đã chứng minh rõ ràng sự chuyển đổi từ số lượng sang . Quá trình chuyển đổi này ngụ ý ứng dụng thay vì vĩnh viễn. Theo như tôi hiểu, bộ máy toán học Việc sử dụng các đơn vị đo lường khác nhau vẫn chưa được phát triển hoặc chưa được áp dụng cho aporia của Zeno. Áp dụng logic thông thường sẽ dẫn chúng ta vào bẫy. Chúng ta, do quán tính của tư duy, áp dụng các đơn vị thời gian không đổi cho giá trị nghịch đảo. VỚI điểm vật lý Nhìn từ góc độ nào đó, thời gian như trôi chậm lại cho đến khi dừng hẳn vào thời điểm Achilles đuổi kịp con rùa. Nếu thời gian dừng lại, Achilles không thể chạy nhanh hơn rùa được nữa.
Nếu chúng ta xoay chuyển logic thông thường của mình, mọi thứ sẽ đâu vào đấy. Achilles chạy với tốc độ không đổi. Mỗi đoạn tiếp theo trên con đường của anh ta ngắn hơn đoạn trước mười lần. Theo đó, thời gian dành cho việc khắc phục nó ít hơn mười lần so với trước đây. Nếu chúng ta áp dụng khái niệm “vô cực” trong tình huống này thì sẽ đúng khi nói “Achilles sẽ đuổi kịp con rùa vô cùng nhanh chóng”.
Làm thế nào để tránh cái bẫy logic này? Ở trong đơn vị không đổi các phép đo thời gian và không đi đến các đại lượng nghịch đảo. Trong ngôn ngữ của Zeno nó trông như thế này:
Trong thời gian Achilles chạy được một nghìn bước, con rùa sẽ bò được một trăm bước về cùng một hướng. Đối với khoảng thời gian tiếp theo, bằng đầu tiên, Achilles sẽ chạy thêm một nghìn bước nữa và con rùa sẽ bò được một trăm bước. Bây giờ Achilles đã đi trước con rùa tám trăm bước.
Cách tiếp cận này mô tả đầy đủ thực tế mà không có bất kỳ nghịch lý logic nào. Nhưng nó không phải giải pháp hoàn chỉnh vấn đề. Tuyên bố của Einstein về tính không thể cưỡng lại được của tốc độ ánh sáng rất giống với câu nói “Achilles and the Tortoise” của Zeno. Chúng ta vẫn phải nghiên cứu, suy nghĩ lại và giải quyết vấn đề này. Và giải pháp phải được tìm kiếm không phải bằng những con số vô cùng lớn mà bằng những đơn vị đo lường.
Một câu kinh thú vị khác của Zeno kể về một mũi tên bay:
Một mũi tên bay là bất động, vì nó đứng yên tại mọi thời điểm, và vì nó đứng yên trong mọi thời điểm nên nó luôn ở trạng thái nghỉ.
Trong aporia này, nghịch lý logic được khắc phục rất đơn giản - chỉ cần làm rõ rằng tại mỗi thời điểm, một mũi tên bay đang đứng yên tại các điểm khác nhau trong không gian, trên thực tế, là chuyển động. Một điểm khác cần được lưu ý ở đây. Từ một bức ảnh chụp một chiếc ô tô trên đường, không thể xác định được thực tế chuyển động của nó cũng như khoảng cách đến nó. Để xác định xem một chiếc ô tô có chuyển động hay không, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ cùng một điểm những khoảnh khắc khác nhau thời gian nhưng không thể xác định được khoảng cách từ chúng. Để xác định khoảng cách tới ô tô, bạn cần hai bức ảnh chụp từ điểm khác nhau không gian tại một thời điểm, nhưng không thể xác định thực tế chuyển động từ chúng (đương nhiên, vẫn cần dữ liệu bổ sung để tính toán, lượng giác sẽ giúp bạn). Điều tôi muốn chỉ ra đặc biệt chú ý, đó là hai điểm trong thời gian và hai điểm trong không gian là những thứ khác nhau không nên nhầm lẫn vì chúng mang lại những cơ hội nghiên cứu khác nhau.
Thứ tư, ngày 4 tháng 7 năm 2018
Sự khác biệt giữa bộ và nhiều bộ được mô tả rất rõ trên Wikipedia. Hãy xem.
Như bạn có thể thấy, “không thể có hai phần tử giống hệt nhau trong một tập hợp”, nhưng nếu có các phần tử giống hệt nhau trong một tập hợp thì tập hợp đó được gọi là “multiset”. Những sinh vật có lý trí sẽ không bao giờ hiểu được logic phi lý như vậy. Đây là cấp độ vẹt biết nói và những con khỉ được huấn luyện, chúng không có trí thông minh từ từ “hoàn toàn”. Các nhà toán học hành động như những người huấn luyện bình thường, thuyết giảng cho chúng ta những ý tưởng ngớ ngẩn của họ.
Ngày xửa ngày xưa, những người kỹ sư xây dựng cây cầu đang ở trên một chiếc thuyền dưới cầu để thử nghiệm cây cầu. Nếu cây cầu sập, người kỹ sư tầm thường sẽ chết dưới đống đổ nát do mình tạo ra. Nếu cây cầu có thể chịu được tải trọng thì người kỹ sư tài năng đã xây dựng những cây cầu khác.
Cho dù các nhà toán học có ẩn nấp đằng sau cụm từ “chết tiệt, tôi đang ở trong nhà” hay đúng hơn là “nghiên cứu toán học”. khái niệm trừu tượng", có một sợi dây gắn bó chặt chẽ giữa họ với thực tế. Dây rốn này chính là tiền bạc. Hãy áp dụng. lý thuyết toán họcđặt ra cho chính các nhà toán học.
Chúng tôi học toán rất giỏi và bây giờ chúng tôi đang ngồi ở quầy tính tiền, phát lương. Vì vậy, một nhà toán học đến với chúng tôi vì tiền của anh ta. Chúng tôi đếm toàn bộ số tiền cho anh ta và đặt nó lên bàn thành nhiều chồng khác nhau, trong đó chúng tôi đặt những tờ tiền có cùng mệnh giá. Sau đó, chúng tôi lấy một tờ tiền từ mỗi chồng tiền và đưa cho nhà toán học" tập toán học tiền lương." Chúng tôi giải thích cho toán học rằng anh ta sẽ chỉ nhận được các hóa đơn còn lại khi anh ta chứng minh được rằng một tập hợp không có các phần tử giống hệt nhau thì không bằng một tập hợp có các phần tử giống hệt nhau. Đây là nơi cuộc vui bắt đầu.
Trước hết, logic của các cấp phó sẽ phát huy tác dụng: “Điều này có thể áp dụng cho người khác, nhưng với tôi thì không!” Sau đó, họ sẽ bắt đầu trấn an chúng ta rằng các tờ tiền cùng mệnh giá có số tờ tiền khác nhau, nghĩa là chúng không thể được coi là những thành phần giống nhau. Được rồi, hãy đếm tiền lương bằng tiền xu - không có con số nào trên đồng tiền cả. Ở đây nhà toán học sẽ bắt đầu nhớ lại vật lý một cách điên cuồng: trên các đồng tiền khác nhau có số lượng khác nhau bùn, cấu trúc tinh thể và cách sắp xếp các nguyên tử trong mỗi đồng xu là duy nhất...
Và bây giờ tôi có nhiều nhất câu hỏi thú vị: đâu là ranh giới mà các phần tử của một tập hợp biến thành các phần tử của một tập hợp và ngược lại? Đường lối như vậy không tồn tại - mọi thứ đều do các pháp sư quyết định, khoa học thậm chí còn chưa thể nằm ở đây.
Nhìn đây. Chúng tôi chọn những sân bóng có cùng diện tích sân. Diện tích của các trường giống nhau - có nghĩa là chúng ta có nhiều trường. Nhưng nếu nhìn vào tên của những sân vận động này, chúng ta sẽ thấy rất nhiều vì tên khác nhau. Như bạn có thể thấy, cùng một tập hợp các phần tử vừa là tập hợp vừa là tập hợp nhiều tập hợp. Cái nào đúng? Và ở đây, nhà toán học-pháp sư-người sắc bén rút ra một con át chủ bài từ tay áo của mình và bắt đầu cho chúng ta biết về một bộ hoặc một bộ nhiều. Trong mọi trường hợp, anh ấy sẽ thuyết phục chúng tôi rằng anh ấy đúng.
Để hiểu cách các pháp sư hiện đại vận hành lý thuyết tập hợp, gắn nó với thực tế, chỉ cần trả lời một câu hỏi: các phần tử của một tập hợp này khác với các phần tử của tập hợp khác như thế nào? Tôi sẽ chỉ cho bạn thấy, không có "có thể tưởng tượng được như không phải một tổng thể" hay "không thể tưởng tượng được như một tổng thể duy nhất".
Chủ nhật, ngày 18 tháng 3 năm 2018
Tổng các chữ số của một số là một điệu nhảy của các pháp sư với một chiếc tambourine, không liên quan gì đến toán học. Đúng, trong các bài học toán, chúng ta được dạy cách tìm tổng các chữ số của một số và sử dụng nó, nhưng đó là lý do tại sao họ là pháp sư, để dạy cho con cháu những kỹ năng và trí tuệ của họ, nếu không thì pháp sư sẽ chết.
Bạn có cần bằng chứng không? Mở Wikipedia và thử tìm trang "Tổng các chữ số của một số". Cô ấy không tồn tại. Không có công thức toán học nào có thể được sử dụng để tìm tổng các chữ số của bất kỳ số nào. Suy cho cùng, những con số là ký hiệu đồ họa, với sự trợ giúp của nó, chúng tôi viết các số và bằng ngôn ngữ toán học, nhiệm vụ sẽ như thế này: “Tìm tổng các ký hiệu đồ họa đại diện cho bất kỳ số nào”. Các nhà toán học không thể giải được bài toán này nhưng các pháp sư lại có thể làm được một cách dễ dàng.
Hãy cùng tìm hiểu xem chúng ta làm gì và làm như thế nào để tìm tổng các số số đã cho. Và vì vậy, chúng ta có số 12345. Để tìm tổng các chữ số của số này cần phải làm gì? Hãy xem xét tất cả các bước theo thứ tự.
1. Viết số đó lên một tờ giấy. Chúng ta đã làm gì? Chúng tôi đã chuyển đổi số thành ký hiệu số đồ họa. Đây không phải là một hoạt động toán học.
2. Chúng tôi cắt một hình ảnh thu được thành nhiều hình ảnh chứa các số riêng lẻ. Cắt một bức tranh không phải là một phép toán.
3. Chuyển đổi các ký hiệu đồ họa riêng lẻ thành số. Đây không phải là một hoạt động toán học.
4. Cộng các số có kết quả. Bây giờ đây là toán học.
Tổng các chữ số của số 12345 là 15. Đây là những “khóa học cắt may” do các pháp sư dạy mà các nhà toán học sử dụng. Nhưng đó không phải là tất cả.
Từ quan điểm toán học, việc chúng ta viết số theo hệ thống số nào không quan trọng. Vì vậy, trong hệ thống khác nhau Trong giải tích, tổng các chữ số của cùng một số sẽ khác nhau. Trong toán học, hệ thống số được biểu thị dưới dạng chỉ số dưới bên phải của số. VỚI một số lượng lớn 12345 Tôi không muốn đánh lừa mình, chúng ta hãy nhìn vào con số 26 trong bài viết về . Hãy viết số này trong hệ thống số nhị phân, bát phân, thập phân và thập lục phân. Chúng tôi sẽ không xem xét từng bước dưới kính hiển vi; chúng tôi đã làm điều đó rồi. Hãy nhìn vào kết quả.
Như bạn có thể thấy, trong các hệ thống số khác nhau, tổng các chữ số của cùng một số là khác nhau. Kết quả này không liên quan gì đến toán học. Tương tự như khi bạn xác định diện tích hình chữ nhật theo mét và cm, bạn sẽ nhận được kết quả hoàn toàn khác.
Số 0 trông giống nhau trong mọi hệ thống số và không có tổng các chữ số. Đây là một lập luận khác ủng hộ thực tế đó. Câu hỏi dành cho các nhà toán học: làm thế nào mà một thứ không phải là một con số được chỉ định trong toán học? Cái gì, đối với các nhà toán học thì không có gì tồn tại ngoại trừ những con số? Tôi có thể cho phép điều này xảy ra với các pháp sư, nhưng với các nhà khoa học thì không. Thực tế không chỉ có những con số.
Kết quả thu được phải được coi là bằng chứng cho thấy hệ thống số là đơn vị đo lường của số. Suy cho cùng, chúng ta không thể so sánh các con số với đơn vị khác nhau số đo. Nếu cùng một hành động với các đơn vị đo khác nhau của cùng một đại lượng dẫn đến kết quả khác nhau sau khi so sánh chúng, thì điều này không liên quan gì đến toán học.
Toán học thực sự là gì? Đây là lúc kết quả phép toán không phụ thuộc vào kích thước của con số, đơn vị đo được sử dụng và người thực hiện hành động.
Ồ! Đây không phải là nhà vệ sinh nữ sao?
- Cô gái trẻ! Đây là phòng thí nghiệm để nghiên cứu sự thánh thiện vô song của các linh hồn trong quá trình họ thăng thiên! Halo trên đầu và mũi tên lên. WC gì nữa?
Nữ... Quầng sáng trên và mũi tên xuống là nam.
Nếu một tác phẩm nghệ thuật thiết kế như vậy hiện lên trước mắt bạn nhiều lần trong ngày,
Vậy thì không có gì đáng ngạc nhiên khi bạn bất ngờ tìm thấy một biểu tượng lạ trên ô tô của mình:
Cá nhân tôi cố gắng nhìn ra âm bốn độ ở một người đang đi ị (một bức ảnh) (sự kết hợp của một số bức ảnh: dấu trừ, số bốn, ký hiệu độ). Và tôi không nghĩ cô gái này ngu ngốc, không có kiến thức về vật lý. Cô ấy chỉ có một khuôn mẫu về nhận thức hình ảnh đồ họa. Và các nhà toán học luôn dạy chúng ta điều này. Đây là một ví dụ.
1A không phải là “âm bốn độ” hay “một a”. Đây là "người đàn ông đi ị" hoặc số "hai mươi sáu" theo ký hiệu thập lục phân. Những người thường xuyên làm việc trong hệ thống số này sẽ tự động nhận biết một con số và một chữ cái dưới dạng một ký hiệu đồ họa.
Chúng ta biết rằng các giá trị cosin nằm trong khoảng [-1; 1], tức là -1 cos α 1. Do đó, nếu |a| > 1 thì phương trình cos x = a không có nghiệm. Ví dụ: phương trình cos x = -1,5 không có nghiệm.
Hãy xem xét một số vấn đề.
Giải phương trình cos x = 1/2.
Giải pháp.
Nhớ lại rằng cos x là hoành độ của một điểm trên đường tròn có bán kính bằng 1, thu được bằng cách quay điểm P (1; 0) một góc x quanh gốc tọa độ.
Trục hoành 1/2 nằm tại hai điểm của đường tròn M 1 và M 2. Vì 1/2 = cos π/3, nên chúng ta có thể thu được điểm M 1 từ điểm P (1; 0) bằng cách quay theo góc x 1 = π/3, cũng như theo các góc x = π/3 + 2πk, trong đó k = +/-1, +/-2, …
Điểm M 2 thu được từ điểm P (1; 0) bằng cách quay một góc x 2 = -π/3, cũng như các góc -π/3 + 2πk, trong đó k = +/-1, +/-2 , ...
Vì vậy tất cả các rễ phương trình cos x = 1/2 có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,
Hai công thức được trình bày có thể được kết hợp thành một:
x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.
Giải phương trình cos x = -1/2.
Giải pháp.
Hai điểm của đường tròn M 1 và M 2 có hoành độ bằng – 1/2. Vì -1/2 = cos 2π/3, nên góc x 1 = 2π/3, và do đó góc x 2 = -2π/3.
Do đó, tất cả các nghiệm của phương trình cos x = -1/2 có thể tìm được bằng công thức: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.
Như vậy, mỗi phương trình cos x = 1/2 và cos x = -1/2 có tập vô hạn rễ. Trên khoảng 0 ≤ x ≤ π, mỗi phương trình này chỉ có một nghiệm duy nhất: x 1 = π/3 là nghiệm của phương trình cos x = 1/2 và x 1 = 2π/3 là nghiệm của phương trình cos x = -1/2.
Số π/3 được gọi là arccosine của số 1/2 và được viết: arccos 1/2 = π/3, và số 2π/3 được gọi là arccosine của số (-1/2) và được viết : arccos (-1/2) = 2π/3 .
Nói chung, phương trình cos x = a, trong đó -1 a ≤ 1, chỉ có một nghiệm trên khoảng 0 x π. Nếu a ≥ 0 thì nghiệm nằm trong khoảng ; nếu một< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.
Như vậy, cung cosin của số a € [-1; 1 ] là một số a € có cosin bằng a:
arccos а = α, nếu cos α = а và 0 ≤ а ≤ π (1).
Ví dụ: arccos √3/2 = π/6, vì cos π/6 = √3/2 và 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, vì cos 5π/6 = -√3/2 và 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Theo cách tương tự như đã làm trong quá trình giải bài toán 1 và 2, có thể chứng minh rằng tất cả các nghiệm của phương trình cos x = a, trong đó |a| ≤ 1, được biểu thị bằng công thức
x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).
Giải phương trình cos x = -0,75.
Giải pháp.
Sử dụng công thức (2) chúng ta tìm được x = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.
Giá trị arcos (-0,75) có thể được tìm thấy gần đúng trong hình bằng cách đo góc bằng thước đo góc. Các giá trị gần đúng của cung cosin cũng có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các bảng đặc biệt (bảng Bradis) hoặc máy tính vi mô. Ví dụ: giá trị của arccos (-0,75) có thể được tính trên máy tính vi mô, cho giá trị gần đúng 2.4188583. Vì vậy, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Do đó, arccos (-0,75) ≈ 139°.
Trả lời: arccos (-0,75) ≈ 139°.
Giải phương trình (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.
Giải pháp.
1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.
2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.
Trả lời. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.
Có thể chứng minh rằng với bất kỳ một € [-1; 1] công thức arccos (-а) = π – arccos а (3) là hợp lệ.
Công thức này cho phép bạn biểu diễn các giá trị của cung cosin số âm thông qua các giá trị cung cosin số dương. Ví dụ:
arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;
arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4
từ công thức (2), suy ra rằng nghiệm của phương trình, cos x = a với a = 0, a = 1 và a = -1 có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức đơn giản hơn:
cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)
cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)
cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).
website, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết tới nguồn gốc.
Ví dụ:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0,416…\)
Lập luận và ý nghĩa
Cosin của một góc nhọn
Cosin của một góc nhọn có thể được xác định bằng cách sử dụng một tam giác vuông - nó bằng tỷ lệ của chân liền kề với cạnh huyền.
Ví dụ :
1) Cho một góc và chúng ta cần xác định cosin của góc này.
2) Hãy hoàn thành bất kỳ tam giác vuông nào ở góc này.
3) Sau khi đo các cạnh cần thiết, chúng ta có thể tính được cosin.
Cosin của một số
Vòng tròn số cho phép bạn xác định cosin của bất kỳ số nào, nhưng thông thường bạn sẽ tìm thấy cosin của các số bằng cách nào đó có liên quan đến: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
Ví dụ: đối với số \(\frac(π)(6)\) - cosin sẽ bằng \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Và đối với số \(-\)\(\frac(3π)(4)\) nó sẽ bằng \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (khoảng \ (-0 ,71\)).
Về cosin của các số khác thường gặp trong thực tế, xem.
Giá trị cosin luôn nằm trong khoảng từ \(-1\) đến \(1\). Trong trường hợp này, cosin có thể được tính cho bất kỳ góc và số nào.
Cosin của mọi góc
Nhờ có vòng tròn số bạn có thể định nghĩa cosin không chỉ góc nhọn, nhưng cũng cùn, âm và thậm chí lớn hơn \(360°\) ( lượt đầy đủ). Cách làm này nhìn một lần dễ hơn nghe \(100\) lần nên hãy nhìn vào hình.
Bây giờ là lời giải thích: giả sử chúng ta cần xác định cosin của góc KOA Với thước đo độ trong \(150°\). Kết hợp điểm VỀ với tâm đường tròn và cạnh ĐƯỢC RỒI– với trục \(x\). Sau đó, đặt \(150°\) ngược chiều kim đồng hồ sang một bên. Khi đó tọa độ của điểm MỘT sẽ cho chúng ta thấy cosin của góc này.
Nếu chúng ta quan tâm đến một góc có số đo độ, chẳng hạn như \(-60°\) (góc KOV), chúng tôi cũng làm như vậy nhưng chúng tôi đặt \(60°\) theo chiều kim đồng hồ.
Và cuối cùng, góc lớn hơn \(360°\) (góc CBS) - mọi thứ cũng tương tự như cái ngu, chỉ sau khi đi hết một vòng theo chiều kim đồng hồ, chúng ta mới đi đến vòng tròn thứ hai và “thiếu độ”. Cụ thể, trong trường hợp của chúng tôi, góc \(405°\) được vẽ là \(360° + 45°\).
Thật dễ dàng để đoán rằng để vẽ một góc, chẳng hạn như trong \(960°\), bạn cần thực hiện hai lượt (\(360°+360°+240°\)) và đối với một góc trong \(2640 °\) - cả bảy.
Như bạn có thể thay thế, cả cosin của một số và cosin của một góc tùy ý đều được xác định gần như giống hệt nhau. Chỉ có cách tìm thấy điểm trên vòng tròn là thay đổi.
Ký hiệu cosine theo quý
Sử dụng trục cosin (nghĩa là trục abscissa, được đánh dấu màu đỏ trong hình), người ta dễ dàng xác định dấu của các cosin dọc theo đường tròn số (lượng giác):
Trong đó các giá trị trên trục từ \(0\) đến \(1\), cosin sẽ có dấu cộng (phần tư I và IV - vùng màu xanh lá cây),
- trong đó các giá trị trên trục nằm từ \(0\) đến \(-1\), cosin sẽ có dấu trừ (phần tư II và III - vùng màu tím).
Mối liên hệ với các hàm lượng giác khác:
- cùng một góc (hoặc số): chính nhận dạng lượng giác\(\sin^2x+\cos^2x=1\)- cùng một góc (hoặc số): theo công thức \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- và sin của cùng một góc (hoặc số): công thức \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
Để biết các công thức được sử dụng phổ biến nhất khác, hãy xem.
Giải phương trình \(\cosx=a\)
Lời giải của phương trình \(\cosx=a\), trong đó \(a\) là một số không lớn hơn \(1\) và không nhỏ hơn \(-1\), tức là. \(a∈[-1;1]\):
\(\cos x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccosa+2πk, k∈Z\)
Nếu \(a>1\) hoặc \(a<-1\), то решений у уравнения нет.
Ví dụ . Giải phương trình lượng giác \(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\).Giải pháp:
Hãy giải phương trình bằng cách sử dụng vòng tròn số. Để làm điều này:
1) Hãy xây dựng các trục.
2) Hãy dựng một vòng tròn.
3) Trên trục cosine (trục \(y\)) đánh dấu điểm \(\frac(1)(2)\) .
4) Vẽ đường vuông góc với trục cosin đi qua điểm này.
5) Đánh dấu các giao điểm của đường vuông góc và đường tròn.
6) Hãy ký các giá trị của các điểm này: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Hãy viết ra tất cả các giá trị tương ứng với các điểm này bằng công thức \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);
Trả lời: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)
Hàm \(y=\cos(x)\)
Nếu chúng ta vẽ các góc theo radian dọc theo trục \(x\) và các giá trị cosin tương ứng với các góc này dọc theo trục \(y\), chúng ta sẽ có được biểu đồ sau:
Biểu đồ này được gọi và có các thuộc tính sau:
Miền định nghĩa là bất kỳ giá trị nào của x: \(D(\cos(x))=R\)
- phạm vi giá trị – bao gồm từ \(-1\) đến \(1\): \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- chẵn: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- tuần hoàn với chu kỳ \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- Giao điểm với các trục tọa độ:
trục abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), trong đó \(n ϵ Z\)
Trục Y: \((0;1)\)
- khoảng hằng số của dấu:
hàm số dương trên các khoảng: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), trong đó \(n ϵ Z\)
hàm số âm trên các khoảng: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), trong đó \(n ϵ Z\)
- Khoảng thời gian tăng giảm:
hàm tăng theo các khoảng: \((π+2πn;2π+2πn)\), trong đó \(n ϵ Z\)
hàm số giảm theo các khoảng: \((2πn;π+2πn)\), trong đó \(n ϵ Z\)
- cực đại và cực tiểu của hàm số:
hàm có giá trị lớn nhất \(y=1\) tại các điểm \(x=2πn\), trong đó \(n ϵ Z\)
hàm có giá trị tối thiểu \(y=-1\) tại các điểm \(x=π+2πn\), trong đó \(n ϵ Z\).
Ví dụ:
\(2\sin(x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2x+4\sinx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
Cách giải phương trình lượng giác:
Bất kỳ phương trình lượng giác nào cũng nên được rút gọn thành một trong các loại sau:
\(\sint=a\), \(\cost=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)
trong đó \(t\) là biểu thức có x, \(a\) là một số. Các phương trình lượng giác như vậy được gọi là đơn giản nhất. Chúng có thể được giải quyết dễ dàng bằng cách sử dụng () hoặc các công thức đặc biệt:
Ví dụ . Giải phương trình lượng giác \(\sinx=-\)\(\frac(1)(2)\).
Giải pháp:
Trả lời: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)
Ý nghĩa của mỗi ký hiệu trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác, hãy xem.
Chú ý! Các phương trình \(\sinx=a\) và \(\cosx=a\) không có nghiệm nếu \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Bởi vì sin và cosin với mọi x đều lớn hơn hoặc bằng \(-1\) và nhỏ hơn hoặc bằng \(1\):
\(-1<\sin x<1\) \(-1<\cosx<1\)
Ví dụ
. Giải phương trình \(\cosx=-1,1\).
Giải pháp:
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Trả lời
: không có giải pháp
Ví dụ . Giải phương trình lượng giác tg\(x=1\).
Giải pháp:
|
|
Hãy giải phương trình bằng cách sử dụng vòng tròn số. Để làm điều này: |
Ví dụ
. Giải phương trình lượng giác \(\cos(3x+\frac(π)(4))=0\).
Giải pháp:
|
|
Hãy sử dụng vòng tròn số một lần nữa. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Như thường lệ, chúng ta sẽ biểu thị \(x\) dưới dạng phương trình. \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) |
Rút gọn các phương trình lượng giác xuống mức đơn giản nhất là một nhiệm vụ sáng tạo; ở đây bạn cần sử dụng cả hai phương pháp đặc biệt để giải phương trình:
- Phương pháp (phổ biến nhất trong kỳ thi Thống nhất).
- Phương pháp.
- Phương pháp lập luận bổ trợ.
Hãy xem xét một ví dụ về giải phương trình lượng giác bậc hai
Ví dụ . Giải phương trình lượng giác \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\)Giải pháp:
|
\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
Hãy thay thế \(t=\cosx\). |
|
Phương trình của chúng ta đã trở nên điển hình. Bạn có thể giải quyết nó bằng cách sử dụng . |
|
|
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
|
|
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\) |
Chúng tôi thực hiện thay thế ngược lại. |
|
\(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cosx=2\) |
Chúng ta giải phương trình đầu tiên bằng cách sử dụng vòng tròn số. |
 |
Hãy viết ra tất cả các số nằm ở những điểm này. |
Một ví dụ giải phương trình lượng giác bằng nghiên cứu ODZ:
Ví dụ (SỬ DỤNG) . Giải phương trình lượng giác \(=0\)|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Có một phân số và có một cotang - điều đó có nghĩa là chúng ta cần viết nó ra. Hãy để tôi nhắc bạn rằng cotang thực sự là một phân số: ctg\(x=\)\(\frac(\cosx)(\sinx)\) Do đó, ODZ cho ctg\(x\): \(\sinx≠0\). |
|
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sinx≠0\)
\(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
Chúng ta hãy đánh dấu những “không có lời giải” trên vòng tròn số. |
|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Hãy loại bỏ mẫu số trong phương trình bằng cách nhân nó với ctg\(x\). Chúng ta có thể làm điều này vì chúng ta đã viết ở trên ctg\(x ≠0\). |
|
\(2\cos^2x-\sin(2x)=0\) |
Hãy áp dụng công thức góc kép cho sin: \(\sin(2x)=2\sinx\cosx\). |
|
\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
Nếu tay bạn đưa ra để chia cho cosin, hãy kéo chúng lại! Bạn có thể chia cho một biểu thức có một biến nếu nó chắc chắn không bằng 0 (ví dụ: \(x^2+1.5^x\)). Thay vào đó, hãy bỏ \(\cosx\) ra khỏi ngoặc. |
|
\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
Hãy "chia" phương trình thành hai. |
|
\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\sinx=0\) |
Hãy giải phương trình đầu tiên bằng cách sử dụng vòng tròn số. Chia phương trình thứ hai cho \(2\) và di chuyển \(\sinx\) sang vế phải. |
 |
|
|
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cosx=\sinx\) |
Các gốc kết quả không được bao gồm trong ODZ. Vì vậy, chúng tôi sẽ không viết chúng ra để phản hồi. |
|
Chúng tôi sử dụng một vòng tròn một lần nữa. |
|
|
|
Những gốc này không bị ODZ loại trừ nên bạn có thể viết chúng vào câu trả lời. |
Phương trình lượng giác không phải là một chủ đề dễ dàng. Chúng quá đa dạng.) Ví dụ:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Và những thứ như...
Nhưng những con quái vật lượng giác này (và tất cả những con quái vật lượng giác khác) có hai đặc điểm chung và bắt buộc. Thứ nhất - bạn sẽ không tin đâu - có các hàm lượng giác trong các phương trình.) Thứ hai: tất cả các biểu thức với x đều được tìm thấy trong cùng những chức năng này. Và chỉ ở đó! Nếu X xuất hiện ở đâu đó ngoài, Ví dụ, sin2x + 3x = 3,đây sẽ là một phương trình có kiểu hỗn hợp. Các phương trình như vậy đòi hỏi một cách tiếp cận riêng. Chúng tôi sẽ không xem xét chúng ở đây.
Chúng ta cũng sẽ không giải các phương trình xấu trong bài học này.) Ở đây chúng ta sẽ giải quyết các phương trình lượng giác đơn giản nhất. Tại sao? Có vì giải pháp bất kì phương trình lượng giác bao gồm hai giai đoạn. Ở giai đoạn đầu tiên, phương trình xấu xa được giảm xuống thành một phương trình đơn giản thông qua nhiều phép biến đổi. Ở lần thứ hai, phương trình đơn giản nhất này được giải. Nếu không, không có cách nào.
Vì vậy, nếu bạn gặp vấn đề ở giai đoạn thứ hai thì giai đoạn đầu tiên sẽ không có nhiều ý nghĩa.)
Các phương trình lượng giác cơ bản trông như thế nào?
sinx = một
cosx = một
tgx = một
ctgx = một
Đây MỘT là viết tắt của bất kỳ số nào. Bất kì.
Nhân tiện, bên trong một hàm có thể không có X thuần túy, mà có một loại biểu thức nào đó, như:
cos(3x+π /3) = 1/2
và những thứ tương tự. Điều này làm phức tạp cuộc sống, nhưng không ảnh hưởng đến phương pháp giải phương trình lượng giác.
Làm thế nào để giải phương trình lượng giác?
Các phương trình lượng giác có thể được giải bằng hai cách. Cách thứ nhất: sử dụng logic và vòng tròn lượng giác. Chúng ta sẽ xem xét con đường này ở đây. Cách thứ hai - sử dụng trí nhớ và công thức - sẽ được thảo luận trong bài học tiếp theo.
Cách đầu tiên rõ ràng, đáng tin cậy và khó quên.) Nó rất tốt để giải các phương trình lượng giác, bất đẳng thức và tất cả các loại ví dụ phức tạp phi tiêu chuẩn. Logic mạnh hơn trí nhớ!)
Giải phương trình bằng đường tròn lượng giác.
Chúng tôi bao gồm logic cơ bản và khả năng sử dụng vòng tròn lượng giác. Bạn không biết làm thế nào? Tuy nhiên... Bạn sẽ gặp khó khăn trong môn lượng giác...) Nhưng điều đó không thành vấn đề. Cùng xem bài học “Vòng tròn lượng giác...... Nó là gì?” và “Đo góc trên đường tròn lượng giác.” Mọi thứ đều đơn giản ở đó. Không giống như sách giáo khoa...)
Ồ, bạn biết đấy!? Và thậm chí còn thành thạo “Bài tập thực hành với vòng tròn lượng giác”!? Chúc mừng. Chủ đề này sẽ gần gũi và dễ hiểu với bạn.) Điều đặc biệt thú vị là vòng tròn lượng giác không quan tâm bạn giải phương trình nào. Sin, cosin, tang, cotang - mọi thứ đều giống nhau đối với anh ta. Nguyên tắc giải quyết chỉ có một.
Vì vậy, chúng tôi lấy bất kỳ phương trình lượng giác cơ bản nào. Ít nhất là thế này:
cosx = 0,5
Chúng ta cần tìm X. Nói bằng ngôn ngữ của con người, bạn cần tìm góc (x) có cosin bằng 0,5.
Trước đây chúng ta đã sử dụng vòng tròn như thế nào? Chúng tôi đã vẽ một góc trên đó. Tính bằng độ hoặc radian. Và ngay lập tức cái cưa các hàm lượng giác của góc này. Bây giờ chúng ta hãy làm ngược lại. Hãy vẽ một cosin trên đường tròn bằng 0,5 và ngay lập tức chúng ta sẽ thấy góc. Tất cả những gì còn lại là viết ra câu trả lời.) Vâng, vâng!
Vẽ một vòng tròn và đánh dấu cosin bằng 0,5. Tất nhiên là trên trục cosine. Như thế này:
Bây giờ hãy vẽ góc mà cosin này cho chúng ta. Di chuột qua ảnh (hoặc chạm vào ảnh trên máy tính bảng của bạn) và bạn sẽ thấy chính góc này X.
Cosin của góc nào bằng 0,5?
x = π /3
vì 60°= cos( π /3) = 0,5
Một số người sẽ cười khúc khích một cách hoài nghi, vâng... Giống như, có đáng để khoanh tròn khi mọi thứ đã rõ ràng không... Tất nhiên, bạn có thể cười khúc khích...) Nhưng thực tế đây là một câu trả lời sai lầm. Hay đúng hơn là không đủ. Những người sành về đường tròn hiểu rằng ở đây có rất nhiều góc khác cũng cho cosin bằng 0,5.
Nếu bạn xoay mặt chuyển động OA lượt đầy đủ, điểm A sẽ trở về vị trí ban đầu. Với cùng cosin bằng 0,5. Những thứ kia. góc sẽ thay đổi bằng 360° hoặc 2π radian, và cosin - không. Góc mới 60° + 360° = 420° cũng sẽ là nghiệm của phương trình của chúng ta, bởi vì
Có thể thực hiện vô số vòng quay hoàn chỉnh như vậy... Và tất cả những góc mới này sẽ là nghiệm của phương trình lượng giác của chúng ta. Và tất cả chúng cần phải được viết ra bằng cách nào đó để đáp lại. Tất cả. Nếu không thì quyết định đó không được tính, vâng...)
Toán học có thể làm được điều này một cách đơn giản và tinh tế. Viết ra một câu trả lời ngắn gọn tập vô hạn các quyết định. Phương trình của chúng ta trông như thế này:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Tôi sẽ giải mã nó. Vẫn viết có ý nghĩa Nó dễ chịu hơn là ngu ngốc vẽ ra những chữ cái bí ẩn, phải không?)
π /3 - đây cũng chính là góc mà chúng ta cái cưa trên đường tròn và xác định theo bảng cosin.
2π là một cuộc cách mạng hoàn chỉnh tính bằng radian.
N - đây là số lượng cái hoàn chỉnh, tức là trọn vòng/phút Rõ ràng là N có thể bằng 0, ±1, ±2, ±3.... Như được chỉ ra bởi mục ngắn:
n ∈ Z
N thuộc về ( ∈ ) tập hợp các số nguyên ( Z ). Nhân tiện, thay vì lá thư N chữ cái cũng có thể được sử dụng k, m, t vân vân.
Ký hiệu này có nghĩa là bạn có thể lấy bất kỳ số nguyên nào N . Ít nhất -3, ít nhất 0, ít nhất +55. Bất cứ điều gì bạn muốn. Nếu bạn thay số này vào đáp án, bạn sẽ nhận được một góc cụ thể, chắc chắn đây sẽ là nghiệm cho phương trình khắc nghiệt của chúng ta.)
Hay nói cách khác, x = π /3 là nghiệm duy nhất của một tập hợp vô hạn. Để có được tất cả các nghiệm khác, chỉ cần cộng số vòng quay đầy đủ bất kỳ vào π /3 ( N ) tính bằng radian. Những thứ kia. 2πn radian.
Tất cả? KHÔNG. Tôi cố tình kéo dài niềm vui. Để nhớ tốt hơn.) Chúng tôi chỉ nhận được một phần câu trả lời cho phương trình của mình. Tôi sẽ viết phần đầu tiên của giải pháp như thế này:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - không chỉ một gốc, mà là cả một chuỗi gốc, được viết dưới dạng ngắn gọn.
Nhưng cũng có những góc cũng cho cosin bằng 0,5!
Hãy quay lại bức tranh mà chúng ta đã viết ra câu trả lời. Đây là:
Di chuột lên hình ảnh và chúng tôi thấy một góc độ khác đó cũng cho cosin bằng 0,5. Bạn nghĩ nó bằng bao nhiêu? Các hình tam giác đều giống nhau... Đúng vậy! Nó bằng góc X , chỉ bị trễ theo chiều âm. Đây là góc -X. Nhưng chúng ta đã tính x rồi. π /3 hoặc 60°. Vì vậy, chúng ta có thể viết một cách an toàn:
x 2 = - π /3
Tất nhiên, chúng tôi cộng tất cả các góc có được thông qua các vòng quay đầy đủ:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Bây giờ chỉ vậy thôi.) Trên đường tròn lượng giác, chúng ta cái cưa(tất nhiên là ai hiểu được)) Tất cả các góc cho cosin bằng 0,5. Và chúng tôi đã viết ra những góc này dưới dạng toán học ngắn gọn. Câu trả lời dẫn đến hai chuỗi nghiệm vô hạn:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Đây là câu trả lời đúng.
Mong, nguyên tắc chung để giải phương trình lượng giác sử dụng một vòng tròn là rõ ràng. Chúng ta đánh dấu cosin (sin, tiếp tuyến, cotang) từ phương trình đã cho trên một đường tròn, vẽ các góc tương ứng với nó và viết ra câu trả lời. Tất nhiên, chúng ta cần phải tìm ra chúng ta đang ở góc nào cái cưa trên vòng tròn. Đôi khi nó không quá rõ ràng. À, tôi đã nói ở đây cần phải có logic mà.)
Ví dụ: chúng ta hãy xem một phương trình lượng giác khác:
Xin lưu ý rằng số 0,5 không phải là số duy nhất có thể có trong phương trình!) Đối với tôi, việc viết nó sẽ thuận tiện hơn so với căn bậc và phân số.
Chúng tôi làm việc theo nguyên tắc chung. Chúng ta vẽ một vòng tròn, đánh dấu (tất nhiên là trên trục sin!) 0,5. Chúng ta vẽ tất cả các góc tương ứng với sin này cùng một lúc. Chúng tôi nhận được hình ảnh này:
Trước tiên hãy giải quyết góc độ X trong quý đầu tiên. Chúng ta nhớ lại bảng sin và xác định giá trị của góc này. Đó là một vấn đề đơn giản:
x = π /6
Chúng tôi nhớ về những lượt đầy đủ và với lương tâm trong sáng, viết ra loạt câu trả lời đầu tiên:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Một nửa công việc đã hoàn thành. Nhưng bây giờ chúng ta cần xác định góc thứ hai...Đúng là nó phức tạp hơn việc sử dụng cosin... Nhưng logic sẽ cứu chúng ta! Cách xác định góc thứ hai qua x? Thật dễ dàng! Các hình tam giác trong hình giống nhau và góc màu đỏ X bằng góc X . Chỉ có nó được tính từ góc π theo hướng âm. Đó là lý do tại sao nó có màu đỏ.) Và để có câu trả lời, chúng ta cần một góc, được đo chính xác, tính từ bán trục dương OX, tức là. từ góc 0 độ.
Chúng tôi di con trỏ qua bản vẽ và xem mọi thứ. Tôi đã loại bỏ góc đầu tiên để không làm phức tạp hình ảnh. Góc mà chúng ta quan tâm (được vẽ bằng màu xanh lá cây) sẽ bằng:
π - x
X chúng tôi biết điều này π /6 . Do đó góc thứ hai sẽ là:
π - π /6 = 5π /6
Một lần nữa chúng ta nhớ về việc cộng các vòng quay đầy đủ và viết ra loạt câu trả lời thứ hai:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Thế thôi. Một câu trả lời hoàn chỉnh bao gồm hai chuỗi gốc:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Các phương trình tiếp tuyến và cotang có thể được giải dễ dàng bằng cách sử dụng cùng một nguyên tắc chung để giải các phương trình lượng giác. Tất nhiên, nếu bạn biết cách vẽ tiếp tuyến và côtang trên một đường tròn lượng giác.
Trong các ví dụ trên, tôi đã sử dụng giá trị bảng của sin và cosin: 0,5. Những thứ kia. một trong những ý nghĩa mà học sinh biết bắt buộc. Bây giờ hãy mở rộng khả năng của chúng tôi để tất cả các giá trị khác. Quyết định đi, quyết định đi!)
Vì vậy, giả sử chúng ta cần giải phương trình lượng giác này:
Không có giá trị cosin như vậy trong các bảng ngắn. Chúng tôi lạnh lùng bỏ qua sự thật khủng khiếp này. Vẽ một đường tròn, đánh dấu 2/3 trên trục cosin và vẽ các góc tương ứng. Chúng tôi nhận được hình ảnh này.
Đầu tiên chúng ta hãy nhìn vào góc độ trong quý đầu tiên. Giá như chúng ta biết x bằng bao nhiêu thì chúng ta sẽ viết ngay đáp án ra giấy! Chúng ta không biết... Thất bại!? Điềm tĩnh! Toán học không để người dân của mình gặp rắc rối! Cô ấy đã nghĩ ra các cung cos cho trường hợp này. Bạn không biết? Vô ích. Hãy tìm hiểu, nó dễ dàng hơn nhiều so với bạn nghĩ. Không có một câu thần chú phức tạp nào về “hàm lượng giác nghịch đảo” trên liên kết này... Điều này là không cần thiết trong chủ đề này.
Nếu bạn biết, bạn chỉ cần tự nhủ: “X là một góc có cosin bằng 2/3”. Và ngay lập tức, hoàn toàn theo định nghĩa của cung cosin, chúng ta có thể viết:
Chúng ta nhớ về các vòng quay bổ sung và bình tĩnh viết ra chuỗi nghiệm đầu tiên của phương trình lượng giác:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Chuỗi nghiệm thứ hai của góc thứ hai gần như được viết ra một cách tự động. Mọi thứ đều giống nhau, chỉ có X (arccos 2/3) là có điểm trừ:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Và thế là xong! Đây là câu trả lời đúng. Thậm chí dễ dàng hơn so với các giá trị bảng. Không cần phải nhớ bất cứ điều gì.) Nhân tiện, người chú ý nhất sẽ nhận thấy rằng hình ảnh này cho thấy lời giải thông qua cung cosin về bản chất, không khác gì hình ảnh cho phương trình cosx = 0,5.
Đúng vậy! Nguyên tắc chung là vậy thôi! Tôi cố tình vẽ hai bức tranh gần như giống hệt nhau. Hình tròn cho chúng ta biết góc X bởi cosin của nó. Mọi người có biết nó có phải là cosin dạng bảng hay không. Đây là loại góc nào, π /3, hay cung cosin là gì - điều đó tùy thuộc vào chúng ta quyết định.
Bài hát tương tự với sin. Ví dụ:
Vẽ lại một vòng tròn, đánh dấu sin bằng 1/3, vẽ các góc. Đây là hình ảnh chúng tôi nhận được:
Và một lần nữa bức tranh gần giống như đối với phương trình sinx = 0,5. Một lần nữa chúng tôi bắt đầu từ quả phạt góc trong hiệp một. X bằng bao nhiêu nếu sin của nó bằng 1/3? Không có câu hỏi!
Bây giờ gói rễ đầu tiên đã sẵn sàng:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Hãy giải quyết góc độ thứ hai. Trong ví dụ có giá trị bảng là 0,5, nó bằng:
π - x
Ở đây cũng sẽ giống hệt như vậy! Chỉ có x là khác, arcsin 1/3. Vậy thì sao!? Bạn có thể viết ra gói rễ thứ hai một cách an toàn:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Đây là một câu trả lời hoàn toàn chính xác. Mặc dù trông nó không quen lắm. Nhưng tôi hy vọng nó rõ ràng.)
Đây là cách giải các phương trình lượng giác bằng cách sử dụng đường tròn. Con đường này rõ ràng và dễ hiểu. Chính anh ta là người lưu các phương trình lượng giác với việc chọn các nghiệm trên một khoảng nhất định, trong các bất đẳng thức lượng giác - chúng thường được giải hầu như luôn theo đường tròn. Nói tóm lại, trong bất kỳ nhiệm vụ nào khó hơn một chút so với nhiệm vụ tiêu chuẩn.
Hãy áp dụng kiến thức vào thực tế?)
Giải các phương trình lượng giác:
Đầu tiên, đơn giản hơn, ngay từ bài học này.
Bây giờ nó phức tạp hơn.
Gợi ý: ở đây bạn sẽ phải nghĩ về hình tròn. Cá nhân.)
Và bây giờ bề ngoài chúng rất đơn giản... Chúng còn được gọi là những trường hợp đặc biệt.
tội lỗi = 0
tội lỗi = 1
cosx = 0
cosx = -1
Gợi ý: ở đây bạn cần tìm ra trong một vòng tròn nơi có hai chuỗi câu trả lời và nơi có một... Và cách viết một thay vì hai chuỗi câu trả lời. Có, để không một gốc nào từ vô số bị mất!)
Chà, rất đơn giản):
tội lỗi = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Gợi ý: ở đây bạn cần biết arcsine và arccosine là gì? Arctangent, arccotang là gì? Những định nghĩa đơn giản nhất Nhưng bạn không cần phải nhớ bất kỳ giá trị bảng nào!)
Tất nhiên, câu trả lời là một mớ hỗn độn):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2
Không phải mọi thứ đều diễn ra? Xảy ra. Đọc lại bài học. Chỉ một chu đáo(có một từ đã lỗi thời rồi...) Và theo các liên kết. Các liên kết chính là về vòng tròn. Không có nó, lượng giác giống như bị bịt mắt băng qua đường. Đôi khi nó hoạt động.)
Nếu bạn thích trang web này...
Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)
Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.