Giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh. phương trình bậc hai

", tức là các phương trình bậc một. Trong bài học này chúng ta sẽ xem xét cái được gọi là phương trình bậc hai và cách giải quyết nó.

Phương trình bậc hai là gì?

Quan trọng!

Bậc của một phương trình được xác định bởi bậc cao nhất mà ẩn số đó đạt tới.

Nếu lũy thừa cực đại mà ẩn số là “2”, thì bạn có một phương trình bậc hai.

Ví dụ về phương trình bậc hai

  • 5x 2 − 14x + 17 = 0
  • −x 2 + x +
    1
    3
    = 0
  • x 2 + 0,25x = 0
  • x 2 − 8 = 0

Quan trọng! Dạng tổng quát của phương trình bậc hai trông như sau:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” và “c” là các số đã cho.
  • “a” là hệ số đầu tiên hoặc cao nhất;
  • “b” là hệ số thứ hai;
  • “c” là thành viên miễn phí.

Để tìm “a”, “b” và “c”, bạn cần so sánh phương trình của mình với dạng tổng quát của phương trình bậc hai “ax 2 + bx + c = 0”.

Cùng luyện tập xác định các hệ số “a”, “b” và “c” trong phương trình bậc hai.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +
phương trình Tỷ lệ cược
  • một = 5
  • b = −14
  • c = 17
  • a = −7
  • b = −13
  • c = 8
1
3
= 0
  • a = −1
  • b = 1
  • c =
    1
    3
x 2 + 0,25x = 0
  • một = 1
  • b = 0,25
  • c = 0
x 2 − 8 = 0
  • một = 1
  • b = 0
  • c = −8

Cách giải phương trình bậc hai

Không giống như phương trình tuyến tính, một phương pháp đặc biệt được sử dụng để giải phương trình bậc hai. công thức tìm gốc rễ.

Nhớ!

Để giải phương trình bậc hai cần:

  • đưa phương trình bậc hai về dạng tổng quát “ax 2 + bx + c = 0”.
  • Nghĩa là, chỉ nên giữ lại số “0” ở bên phải;

áp dụng công thức tính rễ:

Chúng ta hãy xem một ví dụ về cách sử dụng công thức để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Hãy giải một phương trình bậc hai.


X 2 − 3x − 4 = 0 Phương trình “x 2 − 3x − 4 = 0” đã được rút gọn về dạng tổng quát “ax 2 + bx + c = 0” và không yêu cầu đơn giản hóa thêm. Để giải quyết, chúng ta chỉ cần áp dụng.

công thức tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai


Hãy xác định các hệ số “a”, “b” và “c” của phương trình này.
Hãy xác định các hệ số “a”, “b” và “c” của phương trình này.
Hãy xác định các hệ số “a”, “b” và “c” của phương trình này.
Hãy xác định các hệ số “a”, “b” và “c” của phương trình này.

x 1;2 =

Nó có thể được sử dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.
Trong công thức “x 1;2 = ” biểu thức căn thường được thay thế

“b 2 − 4ac” cho chữ “D” và được gọi là phân biệt đối xử. Khái niệm về phân biệt đối xử sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong bài học “Thế nào là phân biệt đối xử”.

Chúng ta hãy xem một ví dụ khác về phương trình bậc hai.

x 2 + 9 + x = 7x

Ở dạng này, khá khó để xác định các hệ số “a”, “b” và “c”. Trước tiên chúng ta hãy rút gọn phương trình về dạng tổng quát “ax 2 + bx + c = 0”.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Bây giờ bạn có thể sử dụng công thức tính gốc.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6
2

x = 3
Đáp án: x = 3

Có những lúc phương trình bậc hai không có nghiệm. Tình huống này xảy ra khi công thức chứa số âm ở gốc.

Trong xã hội hiện đại, khả năng thực hiện các phép tính với phương trình chứa biến bình phương có thể hữu ích trong nhiều lĩnh vực hoạt động và được sử dụng rộng rãi trong thực tế trong các phát triển khoa học kỹ thuật. Bằng chứng về điều này có thể được tìm thấy trong thiết kế của tàu biển và sông, máy bay và tên lửa. Sử dụng các phép tính như vậy, quỹ đạo chuyển động của nhiều loại vật thể, bao gồm cả các vật thể không gian, được xác định. Các ví dụ về giải phương trình bậc hai không chỉ được sử dụng trong dự báo kinh tế, trong thiết kế và xây dựng các tòa nhà mà còn trong các trường hợp thông thường nhất hàng ngày. Chúng có thể cần thiết trong các chuyến đi bộ đường dài, tại các sự kiện thể thao, trong cửa hàng khi mua hàng và trong các tình huống rất phổ biến khác.

Hãy chia biểu thức thành các yếu tố thành phần của nó

Bậc của một phương trình được xác định bởi giá trị lớn nhất của bậc của biến mà biểu thức chứa. Nếu nó bằng 2 thì phương trình đó được gọi là phương trình bậc hai.

Nếu chúng ta nói bằng ngôn ngữ của các công thức, thì các biểu thức được chỉ định, bất kể chúng trông như thế nào, luôn có thể được đưa về dạng khi vế trái của biểu thức bao gồm ba thuật ngữ. Trong số đó: ax 2 (nghĩa là một biến bình phương với hệ số của nó), bx (một ẩn số không có bình phương với hệ số của nó) và c (một thành phần tự do, nghĩa là một số thông thường). Tất cả những điều này ở vế phải đều bằng 0. Trong trường hợp đa thức như vậy thiếu một trong các số hạng cấu thành của nó, ngoại trừ ax 2, nó được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ. Các ví dụ về cách giải các bài toán như vậy, giá trị của các biến dễ tìm cần được xem xét trước tiên.

Nếu biểu thức trông giống như biểu thức ở vế phải có hai số hạng, chính xác hơn là ax 2 và bx, cách dễ nhất để tìm x là đặt biến ra khỏi ngoặc. Bây giờ phương trình của chúng ta sẽ như thế này: x(ax+b). Tiếp theo, rõ ràng là x=0 hoặc vấn đề nằm ở việc tìm một biến từ biểu thức sau: ax+b=0. Điều này được quyết định bởi một trong những tính chất của phép nhân. Quy tắc nêu rõ rằng tích của hai thừa số chỉ cho kết quả bằng 0 nếu một trong chúng bằng 0.

Ví dụ

x=0 hoặc 8x - 3 = 0

Kết quả là chúng ta nhận được hai nghiệm của phương trình: 0 và 0,375.

Các phương trình loại này có thể mô tả chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của trọng lực, bắt đầu chuyển động từ một điểm nhất định được lấy làm gốc tọa độ. Ở đây ký hiệu toán học có dạng sau: y = v 0 t + gt 2 /2. Bằng cách thay thế các giá trị cần thiết, đánh đồng vế phải bằng 0 và tìm những ẩn số có thể có, bạn có thể tìm ra thời gian trôi qua từ lúc vật nổi lên đến lúc rơi xuống, cũng như nhiều đại lượng khác. Nhưng chúng ta sẽ nói về điều này sau.

Phân tích một biểu thức

Quy tắc được mô tả ở trên giúp giải quyết những vấn đề này trong những trường hợp phức tạp hơn. Chúng ta hãy xem các ví dụ về giải phương trình bậc hai thuộc loại này.

X 2 - 33x + 200 = 0

Tam thức bậc hai này đã hoàn thành. Đầu tiên, hãy biến đổi biểu thức và phân tích nó. Có hai trong số chúng: (x-8) và (x-25) = 0. Kết quả là chúng ta có hai nghiệm 8 và 25.

Các ví dụ về giải phương trình bậc hai lớp 9 cho phép phương pháp này tìm một biến trong các biểu thức không chỉ bậc hai mà thậm chí bậc ba và bậc bốn.

Ví dụ: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Khi phân tích vế phải thành nhân tử với một biến, có ba thừa số đó là (x+1), (x-3) và (x+ 3).

Kết quả là, rõ ràng phương trình này có ba nghiệm: -3; -1; 3.

căn bậc hai

Một trường hợp khác của phương trình bậc hai không đầy đủ là biểu thức được biểu diễn bằng ngôn ngữ chữ cái sao cho vế phải được xây dựng từ các thành phần ax 2 và c. Ở đây, để thu được giá trị của biến, số hạng tự do được chuyển sang vế phải và sau đó căn bậc hai được trích ra từ cả hai vế của đẳng thức. Cần lưu ý rằng trong trường hợp này thường có hai nghiệm của phương trình. Các ngoại lệ duy nhất có thể là các đẳng thức hoàn toàn không chứa một thuật ngữ nào, trong đó biến bằng 0, cũng như các biến thể của biểu thức khi vế phải trở thành âm. Trong trường hợp sau, không có giải pháp nào cả, vì các hành động trên không thể được thực hiện bằng root. Cần xem xét các ví dụ về giải phương trình bậc hai thuộc loại này.

Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình sẽ là các số -4 và 4.

Tính diện tích đất

Nhu cầu về loại tính toán này đã xuất hiện từ thời cổ đại, bởi vì sự phát triển của toán học trong thời kỳ xa xưa đó phần lớn được quyết định bởi nhu cầu xác định diện tích và chu vi của các thửa đất với độ chính xác cao nhất.

Chúng ta cũng nên xem xét các ví dụ về giải phương trình bậc hai dựa trên các bài toán thuộc loại này.

Vì vậy, giả sử có một mảnh đất hình chữ nhật, chiều dài lớn hơn chiều rộng 16 mét. Bạn nên tìm chiều dài, chiều rộng và chu vi của khu đất nếu bạn biết diện tích của nó là 612 m2.

Để bắt đầu, trước tiên hãy tạo phương trình cần thiết. Chúng ta biểu thị bằng x chiều rộng của khu vực, khi đó chiều dài của nó sẽ là (x+16). Từ những gì đã viết, diện tích được xác định bởi biểu thức x(x+16), theo các điều kiện của bài toán của chúng ta, là 612. Điều này có nghĩa là x(x+16) = 612.

Việc giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh và biểu thức này chính xác là như vậy, không thể thực hiện theo cách tương tự. Tại sao? Mặc dù vế trái vẫn chứa hai thừa số nhưng tích của chúng hoàn toàn không bằng 0, vì vậy các phương pháp khác nhau được sử dụng ở đây.

phân biệt đối xử

Trước hết, chúng ta sẽ thực hiện các phép biến đổi cần thiết, khi đó biểu thức này sẽ trông như sau: x 2 + 16x - 612 = 0. Điều này có nghĩa là chúng ta đã nhận được biểu thức ở dạng tương ứng với tiêu chuẩn đã chỉ định trước đó, trong đó a=1, b=16, c= -612.

Đây có thể là một ví dụ về giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng phân biệt đối xử. Ở đây các tính toán cần thiết được thực hiện theo sơ đồ: D = b 2 - 4ac. Đại lượng phụ này không chỉ giúp tìm được các đại lượng cần thiết trong phương trình bậc hai mà còn xác định số lượng các phương án có thể có. Nếu D>0 thì có hai trong số chúng; với D=0 có một nghiệm. Trong trường hợp D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Về rễ và công thức của chúng

Trong trường hợp của chúng tôi, phân biệt đối xử bằng: 256 - 4(-612) = 2704. Điều này cho thấy rằng bài toán của chúng tôi có đáp án. Nếu biết k thì phải tiếp tục giải phương trình bậc hai bằng công thức dưới đây. Nó cho phép bạn tính toán gốc.

Điều này có nghĩa là trong trường hợp được trình bày: x 1 =18, x 2 =-34. Phương án thứ hai trong tình huống khó xử này không thể là một giải pháp, vì kích thước của thửa đất không thể đo được bằng đại lượng âm, nghĩa là x (tức là chiều rộng của thửa đất) là 18 m. Từ đây chúng ta tính được chiều dài: 18. +16=34 và chu vi 2(34+ 18)=104(m2).

Ví dụ và nhiệm vụ

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu phương trình bậc hai. Ví dụ và giải pháp chi tiết của một số trong số chúng sẽ được đưa ra dưới đây.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Hãy di chuyển mọi thứ sang bên trái của đẳng thức, thực hiện một phép biến đổi, nghĩa là chúng ta sẽ có được loại phương trình thường được gọi là chuẩn và đánh đồng nó bằng 0.

15x2 + 20x + 5 - 12x2 - 27x - 1 = 0

Cộng những cái tương tự, chúng ta xác định được biệt thức: D = 49 - 48 = 1. Điều này có nghĩa là phương trình của chúng ta sẽ có hai nghiệm. Hãy tính chúng theo công thức trên, có nghĩa là số thứ nhất sẽ bằng 4/3 và số thứ hai sẽ bằng 1.

2) Bây giờ chúng ta hãy giải quyết những bí ẩn thuộc loại khác.

Cùng tìm xem ở đây có nghiệm nào x 2 - 4x + 5 = 1 không? Để có được câu trả lời toàn diện, hãy rút gọn đa thức về dạng thông thường tương ứng và tính phân biệt. Trong ví dụ trên, không cần thiết phải giải phương trình bậc hai, vì đây hoàn toàn không phải là bản chất của vấn đề. Trong trường hợp này, D = 16 - 20 = -4, có nghĩa là thực sự không có nghiệm nào.

Định lý Vieta

Sẽ rất thuận tiện khi giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng các công thức trên và phân biệt đối xử khi căn bậc hai được lấy từ giá trị của giá trị sau. Nhưng điều này không phải lúc nào cũng xảy ra. Tuy nhiên, có nhiều cách để lấy giá trị của biến trong trường hợp này. Ví dụ: giải phương trình bậc hai sử dụng định lý Vieta. Cô được đặt theo tên của người sống ở Pháp vào thế kỷ 16 và có một sự nghiệp rực rỡ nhờ tài năng toán học và các mối quan hệ tại triều đình. Chân dung của ông có thể được nhìn thấy trong bài viết.

Mô hình mà người Pháp nổi tiếng chú ý như sau. Ông đã chứng minh rằng các nghiệm của phương trình cộng lại bằng số -p=b/a, và tích của chúng tương ứng với q=c/a.

Bây giờ hãy xem xét các nhiệm vụ cụ thể.

3x2 + 21x - 54 = 0

Để đơn giản, hãy biến đổi biểu thức:

x 2 + 7x - 18 = 0

Hãy sử dụng định lý Vieta, điều này sẽ cho chúng ta kết quả sau: tổng của các nghiệm là -7 và tích của chúng là -18. Từ đây chúng ta hiểu rằng nghiệm của phương trình là các số -9 và 2. Sau khi kiểm tra, chúng ta sẽ đảm bảo rằng các giá trị biến này thực sự phù hợp với biểu thức.

Đồ thị và phương trình parabol

Các khái niệm về hàm bậc hai và phương trình bậc hai có liên quan chặt chẽ với nhau. Ví dụ về điều này đã được đưa ra trước đó. Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số câu đố toán học chi tiết hơn một chút. Bất kỳ phương trình nào thuộc loại được mô tả đều có thể được biểu diễn trực quan. Mối quan hệ như vậy, được vẽ dưới dạng đồ thị, được gọi là parabol. Các loại khác nhau của nó được trình bày trong hình dưới đây.

Bất kỳ parabol nào cũng có một đỉnh, nghĩa là một điểm mà từ đó các nhánh của nó xuất hiện. Nếu a>0 thì chúng tăng cao đến vô cùng và khi a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Biểu diễn trực quan của các hàm giúp giải bất kỳ phương trình nào, kể cả phương trình bậc hai. Phương pháp này được gọi là đồ họa. Và giá trị của biến x chính là tọa độ hoành độ tại các điểm mà đường đồ thị giao với 0x. Tọa độ của đỉnh có thể được tìm thấy bằng công thức vừa cho x 0 = -b/2a. Và bằng cách thay thế giá trị kết quả vào phương trình ban đầu của hàm, bạn có thể tìm ra y 0, tức là tọa độ thứ hai của đỉnh parabol, thuộc trục tọa độ.

Giao điểm các nhánh của parabol với trục hoành

Có rất nhiều ví dụ về cách giải phương trình bậc hai, nhưng cũng có những dạng chung. Hãy nhìn vào chúng. Rõ ràng là giao điểm của đồ thị với trục 0x cho a>0 chỉ có thể xảy ra nếu 0 nhận giá trị âm. Và đối với một<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ngược lại D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Từ đồ thị parabol bạn cũng có thể xác định được nghiệm. Điều ngược lại cũng đúng. Nghĩa là, nếu không dễ dàng có được biểu diễn trực quan của hàm bậc hai, bạn có thể đánh đồng vế phải của biểu thức bằng 0 và giải phương trình thu được. Và biết được các điểm giao nhau với trục 0x thì việc xây dựng đồ thị sẽ dễ dàng hơn.

Từ lịch sử

Sử dụng các phương trình chứa một biến bình phương, ngày xưa người ta không chỉ thực hiện các phép tính toán học và xác định diện tích của các hình hình học. Người xưa cần những phép tính như vậy cho những khám phá vĩ đại trong lĩnh vực vật lý và thiên văn học, cũng như để đưa ra những dự báo chiêm tinh.

Như các nhà khoa học hiện đại đề xuất, cư dân Babylon là một trong những người đầu tiên giải được phương trình bậc hai. Điều này đã xảy ra bốn thế kỷ trước thời đại của chúng ta. Tất nhiên, những tính toán của họ hoàn toàn khác với những tính toán hiện được chấp nhận và hóa ra còn thô sơ hơn nhiều. Ví dụ, các nhà toán học Lưỡng Hà không biết gì về sự tồn tại của số âm. Họ cũng không quen với những điều tinh tế khác mà bất kỳ học sinh hiện đại nào cũng biết.

Có lẽ còn sớm hơn cả các nhà khoa học ở Babylon, nhà hiền triết đến từ Ấn Độ Baudhayama đã bắt đầu giải phương trình bậc hai. Điều này xảy ra khoảng tám thế kỷ trước thời đại Chúa Kitô. Đúng là các phương trình bậc hai, các phương pháp giải mà ông đưa ra, là đơn giản nhất. Ngoài ông, các nhà toán học Trung Quốc ngày xưa cũng quan tâm đến những câu hỏi tương tự. Ở châu Âu, phương trình bậc hai chỉ bắt đầu được giải vào đầu thế kỷ 13, nhưng sau đó chúng đã được sử dụng trong các công trình của mình bởi các nhà khoa học vĩ đại như Newton, Descartes và nhiều người khác.

Với chương trình toán học này bạn có thể giải phương trình bậc hai.

Chương trình không chỉ đưa ra đáp án của bài toán mà còn hiển thị quá trình giải theo hai cách:
- sử dụng một sự phân biệt đối xử
- sử dụng định lý Vieta (nếu có thể).

Hơn nữa, câu trả lời được hiển thị chính xác chứ không phải gần đúng.
Ví dụ: đối với phương trình \(81x^2-16x-1=0\), câu trả lời được hiển thị ở dạng sau:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ và không như thế này: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0,05\)

Chương trình này có thể hữu ích cho học sinh trung học ở các trường phổ thông khi chuẩn bị cho các bài kiểm tra và kỳ thi, khi kiểm tra kiến ​​thức trước kỳ thi Thống nhất Nhà nước và giúp phụ huynh kiểm soát cách giải nhiều bài toán và đại số.

Hoặc có thể việc thuê gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới là quá đắt? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành bài tập toán hoặc đại số của mình càng nhanh càng tốt? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với các giải pháp chi tiết.

Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo và/hoặc đào tạo các em trai hoặc em gái của mình, đồng thời trình độ học vấn trong lĩnh vực giải quyết vấn đề tăng lên.

Nếu bạn không quen với các quy tắc nhập đa thức bậc hai, chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.

Quy tắc nhập đa thức bậc hai
Bất kỳ chữ cái Latinh nào cũng có thể hoạt động như một biến.

Ví dụ: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), v.v.
Các số có thể được nhập dưới dạng số nguyên hoặc phân số.

Hơn nữa, các số phân số có thể được nhập không chỉ ở dạng thập phân mà còn ở dạng phân số thông thường.
Quy tắc nhập phân số thập phân.
Trong phân số thập phân, phần phân số có thể được phân tách khỏi phần nguyên bằng dấu chấm hoặc dấu phẩy.

Ví dụ: bạn có thể nhập phân số thập phân như thế này: 2,5x - 3,5x^2
Quy tắc nhập phân số thông thường.

Chỉ một số nguyên mới có thể đóng vai trò là tử số, mẫu số và phần nguyên của một phân số.

Mẫu số không thể âm. /
Khi nhập một phân số, tử số được phân cách với mẫu số bằng dấu chia: &
Toàn bộ phần được phân tách khỏi phân số bằng dấu và:
Đầu vào: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Kết quả: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) Khi nhập một biểu thức bạn có thể sử dụng dấu ngoặc đơn
. Trong trường hợp này, khi giải phương trình bậc hai, biểu thức được đưa vào trước tiên được đơn giản hóa.


=0
Ví dụ: x^2+2x-1

Quyết định
Người ta phát hiện ra rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết vấn đề này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.

Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.
Để giải pháp xuất hiện, bạn cần bật JavaScript.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.

Bởi vì Có rất nhiều người sẵn sàng giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn đã được xếp hàng đợi.
Trong vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Vui lòng chờ giây...


Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, thì bạn có thể viết về điều này trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định cái gì nhập vào các trường.



Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:

Một chút lý thuyết.

Phương trình bậc hai và nghiệm của nó. Phương trình bậc hai không đầy đủ

Mỗi phương trình
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
trông giống như
\(ax^2+bx+c=0, \)
trong đó x là một biến, a, b và c là các số.
Trong phương trình đầu tiên a = -1, b = 6 và c = 1,4, trong phương trình thứ hai a = 8, b = -7 và c = 0, trong phương trình thứ ba a = 1, b = 0 và c = 4/9. Những phương trình như vậy được gọi là phương trình bậc hai.

Sự định nghĩa.
phương trình bậc haiđược gọi là phương trình có dạng ax 2 +bx+c=0, trong đó x là một biến, a, b và c là một số số và \(a \neq 0 \).

Các số a, b và c là các hệ số của phương trình bậc hai. Số a gọi là hệ số thứ nhất, số b là hệ số thứ hai, số c là số hạng tự do.

Trong mỗi phương trình có dạng ax 2 +bx+c=0, trong đó \(a\neq 0\), lũy thừa lớn nhất của biến x là một bình phương. Do đó có tên: phương trình bậc hai.

Lưu ý rằng phương trình bậc hai còn được gọi là phương trình bậc hai, vì vế trái của nó là đa thức bậc hai.

Phương trình bậc hai trong đó hệ số của x 2 bằng 1 được gọi là phương trình bậc hai đã cho. Ví dụ, các phương trình bậc hai đã cho là các phương trình
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Nếu trong phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 có ít nhất một trong các hệ số b hoặc c bằng 0 thì phương trình đó được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ. Như vậy, các phương trình -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 là các phương trình bậc hai không đầy đủ. Trong số thứ nhất b=0, trong thứ hai c=0, trong thứ ba b=0 và c=0.

Có ba loại phương trình bậc hai không đầy đủ:
1) ax 2 +c=0, trong đó \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, trong đó \(b \neq 0 \);
3) rìu 2 = 0.

Chúng ta hãy xem xét việc giải phương trình của từng loại này.

Để giải phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 +c=0 với \(c \neq 0 \), hãy di chuyển số hạng tự do của nó sang vế phải và chia cả hai vế của phương trình cho a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Vì \(c \neq 0 \), nên \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Nếu \(-\frac(c)(a)>0\), thì phương trình có hai nghiệm.

Nếu \(-\frac(c)(a) Để giải một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 +bx=0 với \(b \neq 0 \) nhân tích vế trái của nó và thu được phương trình
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (mảng)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Điều này có nghĩa là một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 +bx=0 với \(b \neq 0 \) luôn có hai nghiệm.

Phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 = 0 tương đương với phương trình x 2 = 0 và do đó có một nghiệm duy nhất là 0.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bây giờ chúng ta hãy xem xét cách giải các phương trình bậc hai trong đó cả hệ số của ẩn số và số hạng tự do đều khác 0.

Chúng ta hãy giải phương trình bậc hai ở dạng tổng quát và kết quả là chúng ta thu được công thức nghiệm. Công thức này sau đó có thể được sử dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.

Hãy giải phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0

Chia cả hai vế cho a, ta thu được phương trình bậc hai rút gọn tương đương
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Hãy biến đổi phương trình này bằng cách chọn bình phương của nhị thức:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Biểu thức căn thức được gọi là biệt thức của phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (“phân biệt đối xử” trong tiếng Latin - phân biệt đối xử). Nó được ký hiệu bằng chữ D, tức là
\(D = b^2-4ac\)

Bây giờ, bằng cách sử dụng ký hiệu phân biệt, chúng ta viết lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), trong đó \(D= b^2-4ac \)

Rõ ràng là:
1) Nếu D>0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm.
2) Nếu D=0 thì phương trình bậc hai có một nghiệm \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Nếu D Do đó, tùy thuộc vào giá trị của phân biệt, một phương trình bậc hai có thể có hai nghiệm (đối với D > 0), một nghiệm (đối với D = 0) hoặc không có nghiệm (đối với D Khi giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng này công thức, nên làm theo cách sau:
1) tính toán phân biệt và so sánh nó với 0;
2) nếu biệt thức dương hoặc bằng 0 thì sử dụng công thức nghiệm; nếu biệt thức âm thì viết ra rằng không có nghiệm nào.

Định lý Vieta

Phương trình bậc hai đã cho ax 2 -7x+10=0 có các nghiệm 2 và 5. Tổng của các nghiệm là 7, và tích là 10. Ta thấy tổng của các nghiệm bằng hệ số thứ hai lấy với số ngược lại dấu, và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do. Bất kỳ phương trình bậc hai rút gọn nào có nghiệm đều có tính chất này.

Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai trên bằng hệ số thứ hai lấy dấu ngược lại và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do.

Những thứ kia. Định lý Vieta phát biểu rằng các nghiệm x 1 và x 2 của phương trình bậc hai rút gọn x 2 +px+q=0 có tính chất:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)


Chúng ta tiếp tục nghiên cứu chủ đề " giải phương trình" Chúng ta đã làm quen với các phương trình tuyến tính và đang chuyển sang làm quen với phương trình bậc hai.

Đầu tiên, chúng ta sẽ xem phương trình bậc hai là gì, nó được viết ở dạng tổng quát như thế nào và đưa ra các định nghĩa liên quan. Sau đó, chúng ta sẽ sử dụng các ví dụ để kiểm tra chi tiết cách giải các phương trình bậc hai không đầy đủ. Tiếp theo, chúng ta sẽ chuyển sang giải các phương trình hoàn chỉnh, tìm công thức nghiệm, làm quen với phân biệt của phương trình bậc hai và xem xét nghiệm của các ví dụ điển hình. Cuối cùng, hãy theo dõi mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số.

Điều hướng trang.

Phương trình bậc hai là gì? Loại của họ

Đầu tiên bạn cần hiểu rõ phương trình bậc hai là gì. Do đó, sẽ hợp lý khi bắt đầu cuộc trò chuyện về phương trình bậc hai với định nghĩa của phương trình bậc hai, cũng như các định nghĩa liên quan. Sau này, bạn có thể xem xét các loại phương trình bậc hai chính: rút gọn và không rút gọn, cũng như các phương trình đầy đủ và không đầy đủ.

Định nghĩa và ví dụ về phương trình bậc hai

Sự định nghĩa.

phương trình bậc hai là một phương trình có dạng a x 2 +b x+c=0, trong đó x là một biến, a, b và c là một số số và a khác 0.

Hãy nói ngay rằng phương trình bậc hai thường được gọi là phương trình bậc hai. Điều này là do phương trình bậc hai là phương trình đại số cấp độ thứ hai.

Định nghĩa đã nêu cho phép chúng ta đưa ra ví dụ về phương trình bậc hai. Vậy 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, v.v. Đây là những phương trình bậc hai.

Sự định nghĩa.

số a, b và c được gọi là các hệ số của phương trình bậc hai a·x 2 +b·x+c=0, hệ số a gọi là số hạng thứ nhất, cao nhất, hoặc hệ số của x 2, b là hệ số thứ hai, hoặc hệ số của x, và c là số hạng tự do .

Ví dụ: hãy lấy phương trình bậc hai có dạng 5 x 2 −2 x −3=0, ở đây hệ số cao nhất là 5, hệ số thứ hai bằng −2 và số hạng tự do bằng −3. Xin lưu ý rằng khi các hệ số b và/hoặc c âm, như trong ví dụ vừa đưa ra, dạng rút gọn của phương trình bậc hai là 5 x 2 −2 x−3=0 , thay vì 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Điều đáng chú ý là khi các hệ số a và/hoặc b bằng 1 hoặc −1 thì chúng thường không xuất hiện rõ ràng trong phương trình bậc hai, đó là do đặc thù của cách viết như vậy. Ví dụ, trong phương trình bậc hai y 2 −y+3=0 hệ số cao nhất là một và hệ số của y bằng −1.

Phương trình bậc hai rút gọn và không rút gọn

Tùy thuộc vào giá trị của hệ số dẫn đầu, người ta phân biệt phương trình bậc hai rút gọn và không rút gọn. Hãy đưa ra các định nghĩa tương ứng.

Sự định nghĩa.

Phương trình bậc hai có hệ số lớn nhất bằng 1 được gọi là phương trình bậc hai đã cho. Ngược lại phương trình bậc hai là nguyên vẹn.

Theo định nghĩa này, phương trình bậc hai x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, v.v. – đã cho, trong mỗi hệ số đầu tiên bằng một. A 5 x 2 −x−1=0, v.v. - phương trình bậc hai không rút gọn, hệ số cao nhất khác 1.

Từ bất kỳ phương trình bậc hai không rút gọn nào, bằng cách chia cả hai vế cho hệ số dẫn đầu, bạn có thể đi đến phương trình rút gọn. Hành động này là một phép biến đổi tương đương, nghĩa là phương trình bậc hai rút gọn thu được theo cách này có cùng nghiệm với phương trình bậc hai không rút gọn ban đầu, hoặc giống như nó, không có nghiệm.

Chúng ta hãy xem một ví dụ về cách thực hiện quá trình chuyển đổi từ phương trình bậc hai không rút gọn sang phương trình rút gọn.

Ví dụ.

Từ phương trình 3 x 2 +12 x−7=0, đi đến phương trình bậc hai rút gọn tương ứng.

Giải pháp.

Ta chỉ cần chia cả hai vế của phương trình ban đầu cho hệ số đầu 3 khác 0 là ta có thể thực hiện được thao tác này. Chúng ta có (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, bằng nhau, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, và sau đó (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, từ đó . Đây là cách chúng ta thu được phương trình bậc hai rút gọn, tương đương với phương trình ban đầu.

Trả lời:

Phương trình bậc hai đầy đủ và không đầy đủ

Định nghĩa của phương trình bậc hai chứa điều kiện a≠0. Điều kiện này là cần thiết để phương trình a x 2 + b x + c = 0 là phương trình bậc hai, vì khi a = 0 nó thực sự trở thành phương trình tuyến tính có dạng b x + c = 0.

Đối với các hệ số b và c, chúng có thể bằng 0, cả riêng lẻ và cùng nhau. Trong những trường hợp này, phương trình bậc hai được gọi là không đầy đủ.

Sự định nghĩa.

Phương trình bậc hai a x 2 +b x+c=0 được gọi là không đầy đủ, nếu ít nhất một trong các hệ số b, c bằng 0.

Lần lượt

Sự định nghĩa.

Phương trình bậc hai hoàn chỉnh là một phương trình trong đó tất cả các hệ số đều khác 0.

Những cái tên như vậy không được đưa ra một cách tình cờ. Điều này sẽ trở nên rõ ràng từ các cuộc thảo luận sau đây.

Nếu hệ số b bằng 0 thì phương trình bậc hai có dạng a·x 2 +0·x+c=0, và nó tương đương với phương trình a·x 2 +c=0. Nếu c=0, tức là phương trình bậc hai có dạng a·x 2 +b·x+0=0, thì nó có thể được viết lại thành a·x 2 +b·x=0. Và với b=0 và c=0 chúng ta thu được phương trình bậc hai a·x 2 =0. Các phương trình thu được khác với phương trình bậc hai hoàn chỉnh ở chỗ vế trái của chúng không chứa số hạng biến x hoặc số hạng tự do hoặc cả hai. Do đó tên của chúng - phương trình bậc hai không đầy đủ.

Vì vậy các phương trình x 2 +x+1=0 và −2 x 2 −5 x+0.2=0 là ví dụ về phương trình bậc hai hoàn chỉnh và x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 là các phương trình bậc hai không đầy đủ.

Giải phương trình bậc hai không đầy đủ

Từ thông tin ở đoạn trước, có thể suy ra rằng có ba loại phương trình bậc hai không đầy đủ:

  • a·x 2 =0 thì các hệ số b=0 và c=0 tương ứng với nó;
  • a x 2 +c=0 khi b=0 ;
  • và a·x 2 +b·x=0 khi c=0.

Chúng ta hãy xem xét cách giải các phương trình bậc hai không đầy đủ của từng loại này.

a x 2 = 0

Hãy bắt đầu bằng việc giải các phương trình bậc hai không đầy đủ trong đó các hệ số b và c bằng 0, nghĩa là với các phương trình có dạng a x 2 = 0. Phương trình a·x 2 =0 tương đương với phương trình x 2 =0, thu được từ phương trình ban đầu bằng cách chia cả hai phần cho một số khác 0 a. Rõ ràng, nghiệm của phương trình x 2 =0 bằng 0, vì 0 2 =0. Phương trình này không có nghiệm nào khác, điều này được giải thích bởi thực tế là với mọi số p khác 0 thì bất đẳng thức p 2 >0 đúng, có nghĩa là với p≠0 đẳng thức p 2 = 0 không bao giờ đạt được.

Vì vậy, phương trình bậc hai không đầy đủ a·x 2 =0 có một nghiệm duy nhất x=0.

Để làm ví dụ, chúng tôi đưa ra nghiệm của phương trình bậc hai không đầy đủ −4 x 2 = 0. Nó tương đương với phương trình x 2 =0, nghiệm duy nhất của nó là x=0, do đó, phương trình ban đầu có một nghiệm duy nhất bằng 0.

Một giải pháp ngắn gọn trong trường hợp này có thể được viết như sau:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Bây giờ chúng ta hãy xem cách giải các phương trình bậc hai không đầy đủ trong đó hệ số b bằng 0 và c≠0, tức là các phương trình có dạng a x 2 +c=0. Chúng ta biết rằng việc di chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của phương trình có dấu ngược lại, cũng như chia cả hai vế của phương trình cho một số khác 0, sẽ cho một phương trình tương đương. Do đó, chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi tương đương sau đây của phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 +c=0:

  • di chuyển c sang bên phải để có phương trình a x 2 =−c,
  • và chia cả hai vế cho a, ta được .

Phương trình thu được cho phép chúng ta rút ra kết luận về gốc của nó. Tùy thuộc vào giá trị của a và c, giá trị của biểu thức có thể âm (ví dụ: nếu a=1 và c=2 thì ) hoặc dương (ví dụ: nếu a=−2 và c=6, thì ), nó không bằng 0 , vì theo điều kiện c≠0. Chúng ta hãy xem xét các trường hợp riêng biệt.

Nếu , thì phương trình không có nghiệm. Tuyên bố này xuất phát từ thực tế là bình phương của bất kỳ số nào đều là số không âm. Từ đó suy ra rằng khi , thì với mọi số p đẳng thức không thể đúng.

Nếu , thì tình huống với nghiệm của phương trình sẽ khác. Trong trường hợp này, nếu chúng ta nhớ về , thì nghiệm của phương trình ngay lập tức trở nên rõ ràng; đó là số, vì . Thật dễ dàng để đoán rằng con số này thực sự cũng là nghiệm của phương trình, . Phương trình này không có nghiệm nào khác, có thể được chứng minh bằng phản chứng chẳng hạn. Hãy làm điều này.

Chúng ta hãy ký hiệu nghiệm của phương trình vừa công bố là x 1 và −x 1 . Giả sử phương trình có thêm một nghiệm x 2, khác với các nghiệm x 1 và −x 1 đã chỉ ra. Người ta biết rằng việc thay thế các nghiệm của nó vào một phương trình thay vì x sẽ biến phương trình thành một đẳng thức số đúng. Với x 1 và −x 1 ta có , và với x 2 ta có . Các tính chất của các đẳng thức số cho phép chúng ta thực hiện phép trừ từng số hạng của các đẳng thức số chính xác, do đó phép trừ các phần tương ứng của các đẳng thức sẽ cho x 1 2 −x 2 2 =0. Các tính chất của phép tính với số cho phép chúng ta viết lại đẳng thức thu được là (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Chúng ta biết rằng tích của hai số bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một trong số chúng bằng 0. Do đó, từ đẳng thức thu được, ta suy ra x 1 −x 2 =0 và/hoặc x 1 +x 2 =0, bằng nhau, x 2 =x 1 và/hoặc x 2 =−x 1. Vì vậy, chúng ta đi đến mâu thuẫn, vì lúc đầu chúng ta đã nói rằng nghiệm của phương trình x 2 khác với x 1 và −x 1. Điều này chứng tỏ rằng phương trình không có nghiệm nào khác ngoài và .

Hãy để chúng tôi tóm tắt thông tin trong đoạn này. Phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 +c=0 tương đương với phương trình

  • không có gốc nếu ,
  • có hai nghiệm và , nếu .

Hãy xem xét các ví dụ về giải phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng a·x 2 +c=0.

Hãy bắt đầu với phương trình bậc hai 9 x 2 +7=0. Sau khi di chuyển số hạng tự do sang vế phải của phương trình, nó sẽ có dạng 9 x 2 =−7. Chia cả hai vế của phương trình thu được cho 9, chúng ta có . Vì vế phải có số âm nên phương trình này không có nghiệm, do đó phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu 9 x 2 +7 = 0 không có nghiệm.

Hãy giải một phương trình bậc hai không đầy đủ khác −x 2 +9=0. Chúng ta di chuyển số 9 sang vế phải: −x 2 =−9. Bây giờ chúng ta chia cả hai vế cho −1, chúng ta được x 2 = 9. Ở bên phải có một số dương, từ đó chúng ta kết luận rằng hoặc . Sau đó, chúng ta viết ra câu trả lời cuối cùng: phương trình bậc hai không đầy đủ −x 2 +9=0 có hai nghiệm x=3 hoặc x=−3.

a x 2 +b x=0

Vẫn còn phải giải quyết loại phương trình bậc hai không đầy đủ cuối cùng cho c=0. Phương trình bậc hai không đầy đủ dạng a x 2 + b x = 0 cho phép bạn giải phương pháp nhân tử hóa. Rõ ràng, chúng ta có thể, nằm ở vế trái của phương trình, chỉ cần lấy hệ số chung x ra khỏi ngoặc là đủ. Điều này cho phép chúng ta chuyển từ phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu sang một phương trình tương đương có dạng x·(a·x+b)=0. Và phương trình này tương đương với một tập hợp gồm hai phương trình x=0 và a·x+b=0, phương trình sau là tuyến tính và có nghiệm x=−b/a.

Vì vậy, phương trình bậc hai không đầy đủ a·x 2 +b·x=0 có hai nghiệm x=0 và x=−b/a.

Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích giải pháp cho một ví dụ cụ thể.

Ví dụ.

Giải phương trình.

Giải pháp.

Lấy x ra khỏi ngoặc sẽ có phương trình . Nó tương đương với hai phương trình x=0 và . Chúng ta giải phương trình tuyến tính thu được: , và bằng cách chia hỗn số cho một phân số thông thường, chúng ta tìm được . Do đó, nghiệm của phương trình ban đầu là x=0 và .

Sau khi đạt được những thực hành cần thiết, lời giải của các phương trình như vậy có thể được viết ngắn gọn:

Trả lời:

x=0 , .

Phân biệt, công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Để giải phương trình bậc hai, có một công thức gốc. Hãy viết nó ra công thức nghiệm của phương trình bậc hai: , Ở đâu D=b 2 −4 a c- cái gọi là biệt thức của phương trình bậc hai. Mục nhập về cơ bản có nghĩa là .

Sẽ rất hữu ích khi biết công thức nghiệm được rút ra như thế nào và nó được sử dụng như thế nào để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Hãy tìm hiểu điều này.

Dẫn xuất công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Chúng ta cần giải phương trình bậc hai a·x 2 +b·x+c=0. Hãy thực hiện một số phép biến đổi tương đương:

  • Chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình này cho một số a khác 0, dẫn đến phương trình bậc hai sau đây.
  • Hiện nay chọn một hình vuông hoàn chỉnhở phía bên trái của nó: . Sau này, phương trình sẽ có dạng .
  • Ở giai đoạn này, có thể chuyển hai số hạng cuối sang vế phải với dấu ngược lại, ta có .
  • Và chúng ta cũng hãy biến đổi biểu thức ở vế phải: .

Kết quả là chúng ta thu được một phương trình tương đương với phương trình bậc hai ban đầu a·x 2 +b·x+c=0.

Chúng tôi đã giải các phương trình có dạng tương tự trong các đoạn trước khi chúng tôi xem xét. Điều này cho phép chúng ta rút ra các kết luận sau đây về nghiệm của phương trình:

  • nếu , thì phương trình không có nghiệm thực;
  • nếu , thì phương trình có dạng , do đó, , từ đó có thể nhìn thấy nghiệm duy nhất của nó;
  • nếu , thì hoặc , giống như hoặc , nghĩa là phương trình có hai nghiệm.

Do đó, sự hiện diện hay vắng mặt của nghiệm của phương trình, và do đó, phương trình bậc hai ban đầu, phụ thuộc vào dấu của biểu thức ở vế phải. Đổi lại, dấu của biểu thức này được xác định bởi dấu của tử số, vì mẫu số 4 a 2 luôn dương, nghĩa là dấu của biểu thức b 2 −4 a c. Biểu thức b 2 −4 a c này được gọi là biệt thức của phương trình bậc hai và được chỉ định bằng chữ cái D. Từ đây, bản chất của phân biệt đã rõ ràng - dựa trên giá trị và dấu của nó, họ kết luận liệu phương trình bậc hai có nghiệm thực hay không, và nếu có thì số của chúng là bao nhiêu - một hoặc hai.

Hãy quay lại phương trình và viết lại nó bằng ký hiệu phân biệt: . Và chúng tôi rút ra kết luận:

  • nếu D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • nếu D=0 thì phương trình này có một nghiệm duy nhất;
  • cuối cùng, nếu D>0, thì phương trình có hai nghiệm hoặc, có thể viết lại dưới dạng hoặc, và sau khi khai triển và đưa các phân số về mẫu số chung, chúng ta thu được.

Vì vậy, chúng ta đã rút ra các công thức cho nghiệm của phương trình bậc hai, chúng trông giống như , trong đó biệt thức D được tính theo công thức D=b 2 −4·a·c.

Với sự giúp đỡ của họ, với phân biệt dương, bạn có thể tính cả hai nghiệm thực của phương trình bậc hai. Khi phân biệt bằng 0, cả hai công thức đều cho cùng một giá trị nghiệm, tương ứng với một nghiệm duy nhất của phương trình bậc hai. Và với phân biệt âm, khi cố gắng sử dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta phải đối mặt với việc trích căn bậc hai của một số âm, điều này đưa chúng ta vượt ra ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Với phân biệt âm, phương trình bậc hai không có nghiệm thực nhưng có một cặp liên hợp phức tạp các gốc, có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng các công thức gốc mà chúng ta đã thu được.

Thuật toán giải phương trình bậc hai bằng công thức gốc

Trong thực tế, khi giải phương trình bậc hai, bạn có thể sử dụng ngay công thức gốc để tính giá trị của chúng. Nhưng điều này liên quan nhiều hơn đến việc tìm kiếm các gốc phức tạp.

Tuy nhiên, trong khóa học đại số ở trường, chúng ta thường không nói về độ phức tạp mà về nghiệm thực của phương trình bậc hai. Trong trường hợp này, trước khi sử dụng các công thức nghiệm của phương trình bậc hai, trước tiên bạn phải tìm phân biệt, đảm bảo rằng nó không âm (nếu không, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình không có nghiệm thực), và chỉ sau đó tính toán các giá trị của rễ.

Lập luận trên cho phép chúng ta viết thuật toán giải phương trình bậc hai. Để giải phương trình bậc hai a x 2 +b x+c=0, bạn cần:

  • sử dụng công thức phân biệt D=b 2 −4·a·c, tính giá trị của nó;
  • kết luận rằng phương trình bậc hai không có nghiệm thực nếu phân biệt âm;
  • tính nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức nếu D=0;
  • tìm hai nghiệm thực của phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm nếu phân biệt dương.

Ở đây chúng tôi chỉ lưu ý rằng nếu giá trị phân biệt bằng 0, bạn cũng có thể sử dụng công thức; nó sẽ cho giá trị tương tự như .

Bạn có thể chuyển sang các ví dụ về cách sử dụng thuật toán để giải phương trình bậc hai.

Ví dụ về giải phương trình bậc hai

Chúng ta hãy xem xét nghiệm của ba phương trình bậc hai với phân biệt dương, âm và bằng 0. Sau khi xử lý nghiệm của chúng, bằng cách tương tự, sẽ có thể giải bất kỳ phương trình bậc hai nào khác. Hãy bắt đầu.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 +2·x−6=0.

Giải pháp.

Trong trường hợp này, chúng ta có các hệ số của phương trình bậc hai sau: a=1, b=2 và c=−6. Theo thuật toán, trước tiên bạn cần tính giá trị phân biệt; để làm điều này, chúng ta thay a, b và c được chỉ định vào công thức phân biệt, chúng ta có D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Vì 28>0, tức là phân biệt lớn hơn 0 nên phương trình bậc hai có hai nghiệm thực. Hãy tìm chúng bằng cách sử dụng công thức gốc, chúng tôi nhận được , ở đây bạn có thể đơn giản hóa các biểu thức thu được bằng cách thực hiện di chuyển số nhân ra ngoài dấu gốc tiếp theo là giảm phân số:

Trả lời:

Hãy chuyển sang ví dụ điển hình tiếp theo.

Ví dụ.

Giải phương trình bậc hai −4 x 2 +28 x−49=0 .

Giải pháp.

Chúng tôi bắt đầu bằng cách tìm ra sự phân biệt đối xử: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Do đó, phương trình bậc hai này có một nghiệm duy nhất, mà chúng ta tìm thấy là , nghĩa là,

Trả lời:

x=3,5.

Vẫn còn phải xem xét việc giải phương trình bậc hai với phân biệt âm.

Ví dụ.

Giải phương trình 5·y 2 +6·y+2=0.

Giải pháp.

Dưới đây là các hệ số của phương trình bậc hai: a=5, b=6 và c=2. Thay các giá trị này vào công thức phân biệt, ta có D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Phân biệt đối xử âm, do đó, phương trình bậc hai này không có nghiệm thực.

Nếu bạn cần chỉ ra các nghiệm phức, thì chúng ta áp dụng công thức nổi tiếng cho các nghiệm của phương trình bậc hai và thực hiện các phép toán với số phức:

Trả lời:

không có nghiệm thực, nghiệm phức là: .

Chúng ta hãy lưu ý một lần nữa rằng nếu phân biệt của phương trình bậc hai là âm, thì ở trường, họ thường viết ngay câu trả lời trong đó họ chỉ ra rằng không có nghiệm thực và không tìm thấy nghiệm phức.

Công thức gốc cho hệ số chẵn thứ hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai, trong đó D=b 2 −4·a·c cho phép bạn thu được công thức có dạng thu gọn hơn, cho phép bạn giải phương trình bậc hai với hệ số chẵn cho x (hoặc đơn giản với a hệ số có dạng 2·n chẳng hạn, hoặc 14· ln5=2·7·ln5 ). Hãy đưa cô ấy ra ngoài.

Giả sử chúng ta cần giải một phương trình bậc hai có dạng a x 2 +2 n x+c=0. Hãy tìm gốc rễ của nó bằng công thức mà chúng ta biết. Để làm điều này, chúng tôi tính toán phân biệt D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), sau đó chúng ta sử dụng công thức gốc:

Chúng ta hãy ký hiệu biểu thức n 2 −a c là D 1 (đôi khi nó được ký hiệu là D "). Khi đó, công thức nghiệm của phương trình bậc hai đang xét với hệ số thứ hai 2 n sẽ có dạng , trong đó D 1 =n 2 −a·c.

Dễ dàng thấy rằng D=4·D 1, hay D 1 =D/4. Nói cách khác, D 1 là phần thứ tư của phân biệt đối xử. Rõ ràng là dấu của D 1 chính là dấu của D . Nghĩa là, dấu D 1 cũng là dấu hiệu cho thấy sự có mặt hay vắng mặt của nghiệm của phương trình bậc hai.

Vì vậy, để giải phương trình bậc hai với hệ số thứ hai 2·n, bạn cần

  • Tính D 1 =n 2 −a·c ;
  • Nếu D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • Nếu D 1 =0 thì tính nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức;
  • Nếu D 1 >0 thì tìm hai nghiệm thực bằng công thức.

Hãy xem xét việc giải ví dụ bằng cách sử dụng công thức gốc thu được trong đoạn này.

Ví dụ.

Giải phương trình bậc hai 5 x 2 −6 x −32=0 .

Giải pháp.

Hệ số thứ hai của phương trình này có thể được biểu diễn dưới dạng 2·(−3) . Nghĩa là, bạn có thể viết lại phương trình bậc hai ban đầu ở dạng 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ở đây a=5, n=−3 và c=−32, rồi tính phần thứ tư của phân biệt đối xử: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Vì giá trị của nó là dương nên phương trình có hai nghiệm thực. Hãy tìm chúng bằng công thức gốc thích hợp:

Lưu ý rằng có thể sử dụng công thức thông thường cho nghiệm của phương trình bậc hai, nhưng trong trường hợp này sẽ phải thực hiện nhiều công việc tính toán hơn.

Trả lời:

Đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai

Đôi khi, trước khi bắt đầu tính nghiệm của phương trình bậc hai bằng cách sử dụng các công thức, sẽ không hại gì nếu bạn đặt câu hỏi: “Có thể đơn giản hóa dạng của phương trình này không?” Đồng ý rằng về mặt tính toán, việc giải phương trình bậc hai 11 x 2 −4 x−6=0 sẽ dễ dàng hơn 1100 x 2 −400 x−600=0.

Thông thường, việc đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai đạt được bằng cách nhân hoặc chia cả hai vế cho một số nhất định. Ví dụ, trong đoạn trước, có thể đơn giản hóa phương trình 1100 x 2 −400 x −600=0 bằng cách chia cả hai vế cho 100.

Một phép biến đổi tương tự được thực hiện với các phương trình bậc hai, các hệ số của chúng không phải là . Trong trường hợp này, cả hai vế của phương trình thường được chia cho các giá trị tuyệt đối của các hệ số của nó. Ví dụ: hãy lấy phương trình bậc hai 12 x 2 −42 x+48=0. giá trị tuyệt đối của các hệ số của nó: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Chia cả hai vế của phương trình bậc hai ban đầu cho 6, chúng ta thu được phương trình bậc hai tương đương 2 x 2 −7 x+8=0.

Và nhân cả hai vế của phương trình bậc hai thường được thực hiện để loại bỏ các hệ số phân số. Trong trường hợp này, phép nhân được thực hiện bởi mẫu số của các hệ số của nó. Ví dụ: nếu cả hai vế của phương trình bậc hai được nhân với LCM(6, 3, 1)=6, thì nó sẽ có dạng đơn giản hơn x 2 +4·x−18=0.

Để kết luận về điểm này, chúng tôi lưu ý rằng họ hầu như luôn loại bỏ điểm trừ ở hệ số cao nhất của phương trình bậc hai bằng cách thay đổi dấu của tất cả các số hạng, tương ứng với việc nhân (hoặc chia) cả hai vế cho −1. Ví dụ, thông thường người ta chuyển từ phương trình bậc hai −2 x 2 −3 x+7=0 sang nghiệm 2 x 2 +3 x−7=0 .

Mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai biểu thị nghiệm của phương trình thông qua các hệ số của nó. Dựa vào công thức nghiệm, bạn có thể thu được các mối quan hệ khác giữa nghiệm và hệ số.

Các công thức nổi tiếng và có thể áp dụng nhất của định lý Vieta là có dạng và . Cụ thể, đối với phương trình bậc hai đã cho, tổng các nghiệm bằng hệ số thứ hai trái dấu và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do. Ví dụ, bằng cách nhìn vào dạng của phương trình bậc hai 3 x 2 −7 x + 22 = 0, chúng ta có thể nói ngay rằng tổng các nghiệm của nó bằng 7/3 và tích của các nghiệm bằng 22 /3.

Sử dụng các công thức đã viết sẵn, bạn có thể thu được một số mối liên hệ khác giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai. Ví dụ: bạn có thể biểu thị tổng bình phương của các nghiệm của một phương trình bậc hai thông qua các hệ số của nó: .

Tài liệu tham khảo.

  • Đại số: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; được chỉnh sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G.Đại số. lớp 8. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 11, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.

Phương trình bậc hai được học ở lớp 8 nên ở đây không có gì phức tạp. Khả năng giải quyết chúng là hoàn toàn cần thiết.

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0, trong đó các hệ số a, b và c là các số tùy ý và a ≠ 0.

Trước khi nghiên cứu các phương pháp giải cụ thể, hãy lưu ý rằng tất cả các phương trình bậc hai có thể được chia thành ba loại:

  1. Không có rễ;
  2. Có chính xác một gốc;
  3. Họ có hai nguồn gốc khác nhau.

Đây là sự khác biệt quan trọng giữa phương trình bậc hai và phương trình tuyến tính, trong đó nghiệm luôn tồn tại và là duy nhất. Làm thế nào để xác định một phương trình có bao nhiêu nghiệm? Có một điều tuyệt vời cho việc này - phân biệt đối xử.

phân biệt đối xử

Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 khi đó phân biệt đơn giản là số D = b 2 − 4ac.

Bạn cần phải thuộc lòng công thức này. Bây giờ nó đến từ đâu không còn quan trọng nữa. Một điều quan trọng nữa: bằng dấu của biệt thức, bạn có thể xác định một phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm. Cụ thể là:

  1. Nếu D< 0, корней нет;
  2. Nếu D = 0 thì có đúng một nghiệm;
  3. Nếu D > 0 thì sẽ có hai nghiệm.

Xin lưu ý: ký hiệu phân biệt cho biết số lượng gốc chứ không phải dấu hiệu của chúng, vì lý do nào đó mà nhiều người tin tưởng. Hãy xem các ví dụ và bạn sẽ tự hiểu mọi thứ:

Nhiệm vụ. Phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm:

  1. x 2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Hãy viết các hệ số cho phương trình đầu tiên và tìm phân biệt:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Vì vậy, biệt thức là dương, nên phương trình có hai nghiệm khác nhau. Chúng tôi phân tích phương trình thứ hai theo cách tương tự:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Phân biệt đối xử là tiêu cực, không có gốc rễ. Phương trình cuối cùng còn lại là:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Phân biệt đối xử bằng 0 - gốc sẽ là một.

Xin lưu ý rằng các hệ số đã được viết ra cho mỗi phương trình. Vâng, nó dài, vâng, nó tẻ nhạt, nhưng bạn sẽ không nhầm lẫn các tỷ lệ và mắc những sai lầm ngu ngốc. Hãy chọn cho mình: tốc độ hoặc chất lượng.

Nhân tiện, nếu bạn hiểu rõ thì sau một thời gian bạn sẽ không cần phải viết ra tất cả các hệ số. Bạn sẽ thực hiện các thao tác như vậy trong đầu. Hầu hết mọi người bắt đầu làm điều này ở đâu đó sau khi giải được 50-70 phương trình - nói chung là không nhiều.

Căn nguyên của một phương trình bậc hai

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải pháp. Nếu biệt thức D > 0, nghiệm có thể được tìm bằng công thức:

Công thức cơ bản của nghiệm của phương trình bậc hai

Khi D = 0, bạn có thể sử dụng bất kỳ công thức nào trong số này - bạn sẽ nhận được cùng một số, đó sẽ là câu trả lời. Cuối cùng, nếu D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x 2 = 0;
  3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Phương trình đầu tiên:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm. Hãy tìm chúng:

Phương trình thứ hai:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ phương trình lại có hai nghiệm. Hãy tìm chúng

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(căn chỉnh)\]

Cuối cùng, phương trình thứ ba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ phương trình có một nghiệm. Bất kỳ công thức có thể được sử dụng. Ví dụ: cái đầu tiên:

Như bạn có thể thấy từ các ví dụ, mọi thứ đều rất đơn giản. Nếu bạn biết công thức và có thể đếm thì sẽ không có vấn đề gì. Thông thường, lỗi xảy ra khi thay thế các hệ số âm vào công thức. Ở đây một lần nữa, kỹ thuật được mô tả ở trên sẽ hữu ích: nhìn vào công thức theo nghĩa đen, viết ra từng bước - và bạn sẽ sớm thoát khỏi những sai lầm.

Phương trình bậc hai không đầy đủ

Điều đó xảy ra là một phương trình bậc hai hơi khác so với những gì được đưa ra trong định nghĩa. Ví dụ:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x 2 − 16 = 0.

Dễ dàng nhận thấy rằng các phương trình này thiếu một trong các số hạng. Các phương trình bậc hai như vậy thậm chí còn dễ giải hơn các phương trình tiêu chuẩn: chúng thậm chí không yêu cầu tính phân biệt. Vì vậy, hãy giới thiệu một khái niệm mới:

Phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ nếu b = 0 hoặc c = 0, tức là. hệ số của biến x hoặc phần tử tự do bằng 0.

Tất nhiên, một trường hợp rất khó có thể xảy ra khi cả hai hệ số này đều bằng 0: b = c = 0. Trong trường hợp này, phương trình có dạng ax 2 = 0. Rõ ràng, phương trình như vậy có một nghiệm duy nhất: x = 0.

Hãy xem xét các trường hợp còn lại. Cho b = 0 thì ta được một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 + c = 0. Hãy biến đổi nó một chút:

Vì căn bậc hai số học chỉ tồn tại của một số không âm nên đẳng thức cuối cùng chỉ có ý nghĩa với (−c /a) ≥ 0. Kết luận:

  1. Nếu trong phương trình bậc hai không đầy đủ dạng ax 2 + c = 0 mà bất đẳng thức (−c /a) ≥ 0 được thỏa mãn thì sẽ có hai nghiệm. Công thức được đưa ra ở trên;
  2. Nếu (-c /a)< 0, корней нет.

Như bạn có thể thấy, không cần phải có phân biệt—không có phép tính phức tạp nào trong các phương trình bậc hai không đầy đủ. Trên thực tế, thậm chí không cần thiết phải nhớ bất đẳng thức (−c /a) ≥ 0. Chỉ cần biểu thị giá trị x 2 và xem vế bên kia của dấu bằng là gì. Nếu có số dương thì sẽ có hai nghiệm. Nếu nó âm thì sẽ không có rễ nào cả.

Bây giờ chúng ta hãy xem các phương trình có dạng ax 2 + bx = 0, trong đó phần tử tự do bằng 0. Mọi thứ ở đây đều đơn giản: sẽ luôn có hai gốc. Chỉ cần phân tích đa thức là đủ:

Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc

Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Đây là nơi mà rễ đến từ. Để kết luận, chúng ta hãy xem xét một vài phương trình sau:

Nhiệm vụ. Giải phương trình bậc hai:

  1. x 2 − 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Không có rễ vì một hình vuông không thể bằng một số âm.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.