Nói một cách đơn giản, đây là những loại rau được nấu trong nước theo một công thức đặc biệt. Tôi sẽ xem xét hai thành phần ban đầu (salad rau và nước) và kết quả cuối cùng - borscht. Về mặt hình học, nó có thể được coi là một hình chữ nhật, với một mặt tượng trưng cho rau diếp và mặt còn lại tượng trưng cho nước. Tổng của hai bên này sẽ chỉ ra borscht. Đường chéo và diện tích của hình chữ nhật “borscht” như vậy hoàn toàn là những khái niệm toán học và không bao giờ được sử dụng trong công thức nấu borscht.
Làm thế nào để rau diếp và nước biến thành borscht theo quan điểm toán học? Làm thế nào tổng của hai đoạn thẳng có thể trở thành lượng giác? Để hiểu điều này, chúng ta cần các hàm góc tuyến tính.
Bạn sẽ không tìm thấy bất cứ điều gì về hàm góc tuyến tính trong sách giáo khoa toán. Nhưng không có chúng thì không thể có toán học. Các quy luật toán học, giống như các quy luật tự nhiên, hoạt động bất kể chúng ta có biết về sự tồn tại của chúng hay không.
Các hàm góc tuyến tính là các luật cộng. Xem cách đại số biến thành hình học và hình học biến thành lượng giác.
Có thể thực hiện mà không cần các hàm góc tuyến tính? Điều đó là có thể, bởi vì các nhà toán học vẫn có thể xoay sở mà không cần đến chúng. Bí quyết của các nhà toán học là họ luôn chỉ nói với chúng ta về những vấn đề mà bản thân họ biết cách giải và không bao giờ nói về những vấn đề mà họ không thể giải được. Nhìn. Nếu biết kết quả của phép cộng và một số hạng, chúng ta dùng phép trừ để tìm số hạng kia. Tất cả. Chúng tôi không biết những vấn đề khác và chúng tôi không biết cách giải quyết chúng. Chúng ta nên làm gì nếu chỉ biết kết quả của phép cộng và không biết cả hai số hạng? Trong trường hợp này, kết quả của phép cộng phải được phân tách thành hai số hạng bằng cách sử dụng các hàm góc tuyến tính. Tiếp theo, chúng ta tự chọn một thuật ngữ có thể là gì và các hàm góc tuyến tính cho biết thuật ngữ thứ hai phải là gì để kết quả của phép cộng chính xác là những gì chúng ta cần. Có thể có vô số cặp thuật ngữ như vậy. Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta hòa hợp với nhau mà không cần phân tích tổng; phép trừ là đủ đối với chúng ta. Nhưng trong nghiên cứu khoa học về các quy luật tự nhiên, việc phân tích một tổng thành các thành phần của nó có thể rất hữu ích.
Một định luật cộng khác mà các nhà toán học không muốn nói tới (một thủ thuật khác của họ) đòi hỏi các số hạng phải có cùng đơn vị đo. Đối với salad, nước và borscht, đây có thể là đơn vị trọng lượng, thể tích, giá trị hoặc đơn vị đo lường.
Hình vẽ cho thấy hai mức độ khác biệt về toán học. Cấp độ đầu tiên là sự khác biệt trong trường số, được biểu thị Một, b, c. Đây là những gì các nhà toán học làm. Cấp độ thứ hai là sự khác biệt trong lĩnh vực đơn vị đo, được thể hiện trong dấu ngoặc vuông và được biểu thị bằng chữ cái bạn. Đây là những gì các nhà vật lý làm. Chúng ta có thể hiểu cấp độ thứ ba - sự khác biệt về lĩnh vực của đối tượng được mô tả. Các vật thể khác nhau có thể có cùng số đơn vị đo giống nhau. Điều này quan trọng như thế nào, chúng ta có thể thấy trong ví dụ về lượng giác borscht. Nếu chúng ta thêm các chỉ số dưới vào cùng một ký hiệu đơn vị cho các đối tượng khác nhau, chúng ta có thể nói chính xác đại lượng toán học nào mô tả một đối tượng cụ thể và nó thay đổi như thế nào theo thời gian hoặc do hành động của chúng ta. Thư W Tôi sẽ chỉ định nước bằng một lá thư S Tôi sẽ chỉ định món salad bằng một lá thư B- borscht. Đây là các hàm góc tuyến tính cho borscht sẽ trông như thế nào.
Nếu chúng ta lấy một phần nước và một phần salad, chúng sẽ biến thành một phần borscht. Ở đây tôi khuyên bạn nên tạm dừng món borscht một chút và nhớ về tuổi thơ xa xôi của mình. Bạn có nhớ chúng ta được dạy cách xếp thỏ và vịt lại với nhau không? Cần phải tìm xem sẽ có bao nhiêu con vật. Lúc đó chúng tôi được dạy phải làm gì? Chúng tôi được dạy cách tách các đơn vị đo lường khỏi các con số và cộng các số. Có, bất kỳ số nào cũng có thể được thêm vào bất kỳ số nào khác. Đây là con đường trực tiếp dẫn đến sự tự kỷ của toán học hiện đại - chúng ta làm điều đó một cách không thể hiểu được là gì, không thể hiểu được tại sao và hiểu rất kém điều này liên quan đến thực tế như thế nào, vì ba cấp độ khác nhau, các nhà toán học chỉ hoạt động với một. Sẽ đúng hơn nếu học cách chuyển từ đơn vị đo này sang đơn vị đo khác.
Thỏ, vịt và các động vật nhỏ có thể được đếm thành từng mảnh. Một đơn vị đo lường chung cho các đối tượng khác nhau cho phép chúng ta cộng chúng lại với nhau. Đây là phiên bản của vấn đề dành cho trẻ em. Hãy xem xét một vấn đề tương tự đối với người lớn. Bạn nhận được gì khi thêm thỏ và tiền? Có hai giải pháp khả thi ở đây.
Lựa chọn đầu tiên. Chúng tôi xác định giá trị thị trường của những con thỏ và cộng nó vào số tiền hiện có. Chúng tôi có tổng giá trị tài sản của mình dưới dạng tiền tệ.
Sự lựa chọn thứ hai. Bạn có thể thêm số lượng thỏ vào số tiền giấy chúng tôi có. Chúng tôi sẽ nhận được số lượng tài sản di chuyển theo từng phần.
Như bạn có thể thấy, cùng một luật cộng cho phép bạn nhận được các kết quả khác nhau. Tất cả phụ thuộc vào chính xác những gì chúng ta muốn biết.
Nhưng hãy quay lại với món borscht của chúng ta. Bây giờ chúng ta có thể thấy điều gì sẽ xảy ra đối với các giá trị góc khác nhau của các hàm góc tuyến tính.
Góc bằng không. Chúng tôi có salad nhưng không có nước. Chúng tôi không thể nấu borscht. Lượng borscht cũng bằng không. Điều này hoàn toàn không có nghĩa là 0 borscht tương đương với 0 nước. Có thể không có món borscht với món salad bằng không (góc vuông).
Đối với cá nhân tôi, đây là bằng chứng toán học chính cho sự thật rằng . Số 0 không thay đổi số khi thêm vào. Điều này xảy ra vì phép cộng không thể thực hiện được nếu chỉ có một số hạng và thiếu số hạng thứ hai. Bạn có thể cảm nhận điều này tùy thích, nhưng hãy nhớ - tất cả các phép toán với số 0 đều do chính các nhà toán học phát minh ra, vì vậy hãy vứt bỏ logic của bạn và nhồi nhét một cách ngu ngốc các định nghĩa do các nhà toán học phát minh ra: “chia cho số 0 là không thể”, “bất kỳ số nào nhân với số không bằng không”, “vượt quá điểm 0” và những điều vô nghĩa khác. Chỉ cần nhớ rằng số 0 không phải là số là đủ và bạn sẽ không bao giờ còn thắc mắc số 0 có phải là số tự nhiên hay không nữa, bởi vì câu hỏi như vậy mất hết ý nghĩa: làm sao một thứ không phải là số lại có thể được coi là số ? Nó giống như hỏi màu sắc vô hình nên được phân loại là màu gì. Thêm số 0 vào một số cũng giống như vẽ bằng sơn không có ở đó. Chúng tôi vẫy chiếc cọ khô và nói với mọi người rằng “chúng tôi đã vẽ”. Nhưng tôi lạc đề một chút.
Góc lớn hơn 0 nhưng nhỏ hơn bốn mươi lăm độ. Chúng tôi có rất nhiều rau diếp nhưng không đủ nước. Kết quả là chúng ta sẽ có được món borscht dày.
Góc là bốn mươi lăm độ. Chúng tôi có lượng nước và salad bằng nhau. Đây là món borscht hoàn hảo (thứ lỗi cho tôi nhé các đầu bếp, đây chỉ là phép toán thôi).
Góc lớn hơn bốn mươi lăm độ, nhưng nhỏ hơn chín mươi độ. Chúng tôi có rất nhiều nước và ít salad. Bạn sẽ nhận được borscht lỏng.
Góc phải. Chúng tôi có nước. Tất cả những gì còn lại của món salad là những kỷ niệm, khi chúng ta tiếp tục đo góc từ đường từng đánh dấu món salad. Chúng tôi không thể nấu borscht. Số lượng borscht bằng không. Trong trường hợp này, hãy nhịn và uống nước khi bạn có nó)))
Đây. Một cái gì đó như thế này. Tôi có thể kể những câu chuyện khác ở đây sẽ phù hợp hơn ở đây.
Hai người bạn có cổ phần trong một doanh nghiệp chung. Sau khi giết một trong số họ, mọi thứ lại chuyển sang tay người kia.
Sự xuất hiện của toán học trên hành tinh của chúng ta.
Tất cả những câu chuyện này đều được kể bằng ngôn ngữ toán học sử dụng các hàm góc tuyến tính. Lúc khác tôi sẽ chỉ cho bạn vị trí thực sự của những hàm này trong cấu trúc toán học. Trong lúc chờ đợi, chúng ta hãy quay lại lượng giác borscht và xem xét các phép chiếu.
Thứ Bảy, ngày 26 tháng 10 năm 2019
Tôi đã xem một video thú vị về loạt phim bẩn thỉu Một trừ một cộng một trừ một - Numberphile. Các nhà toán học nói dối. Họ đã không thực hiện kiểm tra sự bình đẳng trong quá trình lập luận của mình.
Điều này lặp lại suy nghĩ của tôi về .
Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn những dấu hiệu cho thấy các nhà toán học đang lừa dối chúng ta. Khi bắt đầu cuộc tranh luận, các nhà toán học nói rằng tổng của một dãy PHỤ THUỘC vào việc nó có số phần tử chẵn hay không. Đây là SỰ THẬT ĐƯỢC THÀNH LẬP MỘT CÁCH KHÁCH HÀNG. Chuyện gì xảy ra tiếp theo?
Tiếp theo, các nhà toán học trừ chuỗi khỏi sự thống nhất. Điều này dẫn đến điều gì? Điều này dẫn đến sự thay đổi số lượng phần tử của dãy - số chẵn chuyển thành số lẻ, số lẻ chuyển thành số chẵn. Cuối cùng, chúng ta đã thêm một phần tử bằng một vào chuỗi. Bất chấp tất cả những điểm tương đồng bên ngoài, trình tự trước khi chuyển đổi không bằng trình tự sau khi chuyển đổi. Ngay cả khi chúng ta đang nói về một dãy vô hạn, chúng ta phải nhớ rằng một dãy vô hạn có số phần tử lẻ không bằng một dãy vô hạn có số phần tử chẵn.
Bằng cách đặt dấu bằng giữa hai dãy có số phần tử khác nhau, các nhà toán học cho rằng tổng của dãy KHÔNG PHỤ THUỘC vào số phần tử trong dãy, điều này mâu thuẫn với SỰ THẬT ĐƯỢC THIẾT LẬP MỤC TIÊU. Lý luận sâu hơn về tổng của một dãy vô hạn là sai, vì nó dựa trên một đẳng thức sai.
Nếu bạn thấy các nhà toán học trong quá trình chứng minh đặt dấu ngoặc, sắp xếp lại các phần tử của biểu thức toán học, thêm hoặc bớt thứ gì đó thì hãy hết sức cẩn thận, rất có thể họ đang cố đánh lừa bạn. Giống như những nhà ảo thuật bài, các nhà toán học sử dụng nhiều thao tác diễn đạt khác nhau để đánh lạc hướng sự chú ý của bạn nhằm cuối cùng đưa ra cho bạn một kết quả sai. Nếu bạn không thể lặp lại một trò lừa bài mà không biết bí mật của sự lừa dối, thì trong toán học, mọi thứ đơn giản hơn nhiều: bạn thậm chí không nghi ngờ gì về sự lừa dối, nhưng việc lặp lại tất cả các thao tác bằng một biểu thức toán học cho phép bạn thuyết phục người khác về tính đúng đắn của kết quả thu được giống như khi -họ đã thuyết phục được bạn.
Câu hỏi của khán giả: Vô cực (là số phần tử của dãy S) là chẵn hay lẻ? Làm thế nào bạn có thể thay đổi tính chẵn lẻ của một cái gì đó không có tính chẵn lẻ?
Vô cực dành cho các nhà toán học, giống như Vương quốc Thiên đường dành cho các linh mục - chưa có ai từng đến đó, nhưng mọi người đều biết chính xác mọi thứ diễn ra ở đó như thế nào))) Tôi đồng ý, sau khi chết, bạn sẽ hoàn toàn không quan tâm đến việc bạn sống số chẵn hay số lẻ của ngày, nhưng... Chỉ thêm một ngày vào sự khởi đầu của cuộc đời bạn, chúng ta sẽ có một con người hoàn toàn khác: họ, tên và họ của anh ấy giống hệt nhau, chỉ có ngày sinh là hoàn toàn khác - anh ấy là sinh trước bạn một ngày.
Bây giờ chúng ta hãy đi vào vấn đề))) Giả sử một dãy hữu hạn có tính chẵn lẻ sẽ mất tính chẵn lẻ này khi tiến đến vô cùng. Khi đó bất kỳ phân đoạn hữu hạn nào của một chuỗi vô hạn đều phải mất tính chẵn lẻ. Chúng tôi không thấy điều này. Việc chúng ta không thể nói chắc chắn một dãy vô hạn có số phần tử chẵn hay lẻ không có nghĩa là tính chẵn lẻ đã biến mất. Tính chẵn lẻ, nếu nó tồn tại, không thể biến mất không dấu vết vào vô tận, giống như trong ống tay áo nhọn. Có một sự tương tự rất tốt cho trường hợp này.
Bạn đã bao giờ hỏi chú chim cúc cu ngồi trong đồng hồ rằng kim đồng hồ sẽ quay theo hướng nào chưa? Đối với cô ấy, mũi tên quay theo hướng ngược lại với hướng mà chúng ta gọi là “theo chiều kim đồng hồ”. Nghe có vẻ nghịch lý, hướng quay chỉ phụ thuộc vào việc chúng ta quan sát chuyển động quay từ phía nào. Và như vậy, chúng ta có một bánh xe quay. Chúng ta không thể nói hướng quay xảy ra theo hướng nào, vì chúng ta có thể quan sát nó từ một phía của mặt phẳng quay và từ phía kia. Chúng ta chỉ có thể chứng thực rằng có sự luân chuyển. Hoàn toàn tương tự với tính chẵn lẻ của một chuỗi vô hạn S.
Bây giờ chúng ta hãy thêm một bánh xe quay thứ hai, mặt phẳng quay của nó song song với mặt phẳng quay của bánh xe quay thứ nhất. Chúng ta vẫn không thể nói chắc chắn những bánh xe này quay theo hướng nào, nhưng chúng ta hoàn toàn có thể biết được cả hai bánh xe quay cùng hướng hay ngược chiều. So sánh hai dãy số vô hạn S Và 1-S, Tôi đã chứng minh bằng toán học rằng các chuỗi này có các số chẵn lẻ khác nhau và việc đặt dấu bằng giữa chúng là một sai lầm. Cá nhân tôi tin toán học, tôi không tin các nhà toán học))) Nhân tiện, để hiểu đầy đủ về hình học của các phép biến đổi của chuỗi vô hạn, cần phải đưa ra khái niệm "sự đồng thời". Điều này sẽ cần phải được rút ra.
Thứ tư, ngày 7 tháng 8 năm 2019
Kết thúc cuộc trò chuyện về, chúng ta cần xem xét một tập hợp vô hạn. Vấn đề là khái niệm “vô cực” ảnh hưởng đến các nhà toán học giống như con trăn tác động đến con thỏ. Nỗi kinh hoàng run rẩy của vô cực làm mất đi nhận thức thông thường của các nhà toán học. Đây là một ví dụ:
Nguồn ban đầu được đặt. Alpha là viết tắt của số thực. Dấu bằng trong các biểu thức trên cho biết nếu cộng một số hoặc vô cực vào vô cùng thì sẽ không có gì thay đổi, kết quả sẽ bằng vô cực. Nếu chúng ta lấy tập hợp vô hạn các số tự nhiên làm ví dụ thì các ví dụ đang xem xét có thể được biểu diễn dưới dạng sau:
Để chứng minh rõ ràng mình đúng, các nhà toán học đã nghĩ ra nhiều phương pháp khác nhau. Cá nhân tôi coi tất cả những phương pháp này giống như những pháp sư nhảy múa với tambourines. Về cơ bản, tất cả đều bắt nguồn từ thực tế là một số phòng không có người ở và có khách mới chuyển đến hoặc một số khách bị tống ra ngoài hành lang để nhường chỗ cho khách (rất nhân văn). Tôi trình bày quan điểm của mình về những quyết định như vậy dưới dạng một câu chuyện giả tưởng về Cô gái tóc vàng. Lý luận của tôi dựa trên điều gì? Việc di chuyển một số lượng vô hạn khách truy cập sẽ mất một lượng thời gian vô hạn. Sau khi chúng tôi dọn phòng đầu tiên cho khách, một trong những vị khách sẽ luôn đi dọc hành lang từ phòng của mình sang phòng tiếp theo cho đến hết thời gian. Tất nhiên, yếu tố thời gian có thể bị bỏ qua một cách ngu ngốc, nhưng điều này sẽ thuộc loại “không có luật nào được viết ra cho những kẻ ngu ngốc”. Tất cả phụ thuộc vào những gì chúng ta đang làm: điều chỉnh thực tế theo lý thuyết toán học hoặc ngược lại.
"khách sạn vô tận" là gì? Khách sạn vô hạn là khách sạn luôn có số lượng giường trống tùy ý, bất kể có bao nhiêu phòng trống. Nếu tất cả các phòng trong hành lang "khách" vô tận đều đã kín người thì sẽ có một hành lang vô tận khác với các phòng "khách". Sẽ có vô số hành lang như vậy. Hơn nữa, “khách sạn vô tận” có vô số tầng trong vô số tòa nhà trên vô số hành tinh trong vô số vũ trụ được tạo ra bởi vô số vị thần. Các nhà toán học không thể tách mình ra khỏi những vấn đề tầm thường hàng ngày: luôn chỉ có một vị Thần-Allah-Đức Phật, chỉ có một khách sạn, chỉ có một hành lang. Vì vậy, các nhà toán học đang cố gắng sắp xếp các số sê-ri của các phòng khách sạn, thuyết phục chúng ta rằng có thể “làm được điều không thể”.
Tôi sẽ chứng minh tính logic trong lập luận của tôi cho bạn bằng ví dụ về tập hợp vô hạn các số tự nhiên. Trước tiên, bạn cần trả lời một câu hỏi rất đơn giản: có bao nhiêu bộ số tự nhiên - một hay nhiều? Không có câu trả lời chính xác cho câu hỏi này, vì chúng ta đã tự mình phát minh ra các con số; các con số không tồn tại trong Tự nhiên. Đúng, Thiên nhiên rất giỏi đếm, nhưng để làm được điều này, cô ấy sử dụng các công cụ toán học khác mà chúng ta không quen thuộc. Tôi sẽ nói cho bạn biết Tự nhiên nghĩ gì vào lúc khác. Vì chúng ta phát minh ra các con số nên chính chúng ta sẽ quyết định có bao nhiêu bộ số tự nhiên. Hãy xem xét cả hai lựa chọn phù hợp với các nhà khoa học thực sự.
Tùy chọn một. “Hãy cho chúng tôi” một bộ số tự nhiên nằm yên bình trên kệ. Chúng tôi lấy bộ này từ kệ. Vậy là không còn số tự nhiên nào khác trên kệ và không có nơi nào để lấy chúng. Chúng tôi không thể thêm một cái vào bộ này vì chúng tôi đã có nó rồi. Nếu bạn thực sự muốn thì sao? Không có gì. Chúng ta có thể lấy một cái từ bộ chúng ta đã lấy và trả lại vào kệ. Sau đó, chúng ta có thể lấy một cái từ kệ và thêm nó vào những gì chúng ta còn lại. Kết quả là chúng ta lại thu được một tập vô hạn các số tự nhiên. Bạn có thể viết ra tất cả các thao tác của chúng tôi như thế này:
Tôi viết ra các hành động bằng ký hiệu đại số và ký hiệu lý thuyết tập hợp, kèm theo danh sách chi tiết các phần tử của tập hợp. Chỉ số dưới chỉ ra rằng chúng ta có một và chỉ một bộ số tự nhiên. Hóa ra, tập hợp các số tự nhiên sẽ không thay đổi chỉ khi trừ đi một đơn vị và cộng cùng đơn vị đó.
Lựa chọn hai. Chúng tôi có nhiều bộ số tự nhiên vô hạn khác nhau trên kệ của mình. Tôi nhấn mạnh - KHÁC NHAU, mặc dù thực tế là chúng gần như không thể phân biệt được. Hãy lấy một trong những bộ này. Sau đó, chúng ta lấy một số từ một tập hợp số tự nhiên khác và cộng nó vào tập hợp chúng ta đã lấy. Chúng ta thậm chí có thể cộng hai bộ số tự nhiên. Đây là những gì chúng tôi nhận được:
Chỉ số "một" và "hai" chỉ ra rằng các phần tử này thuộc về các tập hợp khác nhau. Có, nếu bạn thêm một vào tập hợp vô hạn thì kết quả cũng sẽ là tập hợp vô hạn, nhưng nó sẽ không giống với tập hợp ban đầu. Nếu bạn thêm một tập hợp vô hạn khác vào một tập hợp vô hạn thì kết quả là một tập hợp vô hạn mới bao gồm các phần tử của hai tập hợp đầu tiên.
Tập hợp các số tự nhiên được dùng để đếm giống như cách dùng thước để đo. Bây giờ hãy tưởng tượng rằng bạn đã thêm một centimet vào thước kẻ. Đây sẽ là một dòng khác, không bằng dòng ban đầu.
Bạn có thể chấp nhận hoặc không chấp nhận lý do của tôi - đó là việc của riêng bạn. Nhưng nếu bạn từng gặp phải những vấn đề toán học, hãy nghĩ xem liệu bạn có đang đi theo con đường suy luận sai lầm mà nhiều thế hệ nhà toán học đã trải qua hay không. Xét cho cùng, việc học toán trước hết hình thành một khuôn mẫu tư duy ổn định trong chúng ta, và chỉ sau đó mới bổ sung vào khả năng trí tuệ của chúng ta (hoặc ngược lại, tước đi khả năng suy nghĩ tự do của chúng ta).
pozg.ru
Chủ nhật, ngày 4 tháng 8 năm 2019
Tôi đang hoàn thiện phần tái bút cho một bài viết và nhìn thấy dòng chữ tuyệt vời này trên Wikipedia:
Chúng tôi đọc: "... cơ sở lý thuyết phong phú của toán học Babylon không có tính chất tổng thể và bị thu gọn thành một tập hợp các kỹ thuật khác nhau, không có hệ thống chung và cơ sở bằng chứng."
Ồ! Chúng ta thông minh biết bao và chúng ta có thể nhìn thấy khuyết điểm của người khác tốt đến mức nào. Có khó khăn cho chúng ta khi nhìn toán học hiện đại trong bối cảnh tương tự? Diễn giải một chút đoạn văn trên, cá nhân tôi nhận được như sau:
Cơ sở lý thuyết phong phú của toán học hiện đại về bản chất không phải là tổng thể và bị quy giản thành một tập hợp các phần khác nhau, không có hệ thống chung và cơ sở bằng chứng.
Tôi sẽ không đi xa để xác nhận lời nói của mình - nó có ngôn ngữ và quy ước khác với ngôn ngữ và quy ước của nhiều ngành toán học khác. Những cái tên giống nhau trong các ngành toán học khác nhau có thể có những ý nghĩa khác nhau. Tôi muốn dành cả loạt ấn phẩm về những sai lầm rõ ràng nhất của toán học hiện đại. Hẹn sớm gặp lại.
Thứ Bảy, ngày 3 tháng 8 năm 2019
Làm thế nào để chia một tập hợp thành tập hợp con? Để thực hiện việc này, bạn cần nhập đơn vị đo lường mới có trong một số phần tử của tập hợp đã chọn. Hãy xem một ví dụ.
Cầu mong chúng ta có nhiều MỘT gồm có bốn người. Tập hợp này được hình thành trên cơ sở “con người”. Chúng ta hãy biểu thị các phần tử của tập hợp này bằng chữ cái MỘT, chỉ số dưới kèm theo số sẽ cho biết số thứ tự của từng người trong bộ này. Hãy giới thiệu một đơn vị đo lường mới "giới tính" và biểu thị nó bằng chữ cái b. Vì các đặc điểm giới tính vốn có ở tất cả mọi người nên chúng tôi nhân từng phần tử của tập hợp MỘT dựa trên giới tính b. Lưu ý rằng nhóm “người” của chúng ta giờ đã trở thành nhóm “những người có đặc điểm giới tính”. Sau này chúng ta có thể chia các đặc điểm tình dục thành nam bm và phụ nữ ôiđặc điểm tình dục. Bây giờ chúng ta có thể áp dụng bộ lọc toán học: chúng ta chọn một trong những đặc điểm giới tính này, bất kể đặc điểm nào - nam hay nữ. Nếu một người có nó thì chúng ta nhân với một, nếu không có dấu đó thì chúng ta nhân với 0. Và sau đó chúng tôi sử dụng toán học thông thường ở trường. Hãy nhìn xem chuyện gì đã xảy ra.
Sau khi nhân, rút gọn và sắp xếp lại, chúng tôi thu được hai tập hợp con: tập hợp con của nam giới bm và một nhóm nhỏ phụ nữ ôi. Các nhà toán học suy luận theo cách gần giống như vậy khi họ áp dụng lý thuyết tập hợp vào thực tế. Nhưng họ không cho chúng tôi biết chi tiết mà chỉ cung cấp cho chúng tôi kết quả cuối cùng - "rất nhiều người bao gồm một tập hợp con nam và một tập hợp con phụ nữ." Đương nhiên, bạn có thể đặt câu hỏi: toán học đã được áp dụng chính xác như thế nào trong các phép biến đổi nêu trên? Tôi dám đảm bảo với bạn rằng về cơ bản mọi thứ đều được thực hiện chính xác; chỉ cần biết cơ sở toán học của số học, đại số Boole và các nhánh toán học khác là đủ. Nó là gì? Lúc khác tôi sẽ kể cho bạn nghe chuyện này.
Đối với superset, bạn có thể kết hợp hai bộ thành một superset bằng cách chọn đơn vị đo có trong các phần tử của hai bộ này.
Như bạn có thể thấy, các đơn vị đo lường và toán học thông thường đã khiến lý thuyết tập hợp trở thành tàn tích của quá khứ. Một dấu hiệu cho thấy mọi chuyện không ổn với lý thuyết tập hợp là các nhà toán học đã nghĩ ra ngôn ngữ và ký hiệu riêng cho lý thuyết tập hợp. Các nhà toán học hành động như những pháp sư đã từng làm. Chỉ có pháp sư mới biết cách áp dụng “kiến thức” của mình một cách “chính xác”. Họ dạy chúng ta “kiến thức” này.
Để kết luận, tôi muốn cho bạn thấy các nhà toán học thao tác như thế nào
Giả sử Achilles chạy nhanh hơn rùa mười lần và chậm hơn nó một nghìn bước. Trong thời gian Achilles chạy được quãng đường này, con rùa sẽ bò cả trăm bước về cùng một hướng. Khi Achilles chạy được một trăm bước, con rùa bò thêm mười bước nữa, v.v. Quá trình này sẽ tiếp tục đến vô tận, Achilles sẽ không bao giờ đuổi kịp con rùa.
Lý do này đã trở thành một cú sốc hợp lý cho tất cả các thế hệ tiếp theo. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Họ đều coi lời ngụy biện của Zeno theo cách này hay cách khác. Cú sốc mạnh đến mức " ... các cuộc thảo luận vẫn tiếp tục cho đến ngày nay; cộng đồng khoa học vẫn chưa thể đi đến thống nhất về bản chất của nghịch lý ... phân tích toán học, lý thuyết tập hợp, các phương pháp vật lý và triết học mới đã tham gia vào nghiên cứu vấn đề này ; không ai trong số họ trở thành giải pháp được chấp nhận rộng rãi cho vấn đề..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mọi người đều hiểu rằng họ đang bị lừa, nhưng không ai hiểu hành vi lừa dối đó bao gồm những gì.
Từ quan điểm toán học, Zeno trong aporia của mình đã chứng minh rõ ràng sự chuyển đổi từ số lượng sang . Quá trình chuyển đổi này ngụ ý ứng dụng thay vì vĩnh viễn. Theo như tôi hiểu, bộ máy toán học sử dụng các đơn vị đo lường thay đổi vẫn chưa được phát triển hoặc chưa được áp dụng cho aporia của Zeno. Áp dụng logic thông thường sẽ dẫn chúng ta vào bẫy. Chúng ta, do quán tính của tư duy, áp dụng các đơn vị thời gian không đổi cho giá trị nghịch đảo. Từ quan điểm vật lý, điều này trông giống như thời gian chậm lại cho đến khi nó dừng lại hoàn toàn vào thời điểm Achilles đuổi kịp con rùa. Nếu thời gian dừng lại, Achilles không thể chạy nhanh hơn rùa được nữa.
Nếu chúng ta xoay chuyển logic thông thường của mình, mọi thứ sẽ đâu vào đấy. Achilles chạy với tốc độ không đổi. Mỗi đoạn tiếp theo trên con đường của anh ta ngắn hơn đoạn trước mười lần. Theo đó, thời gian dành cho việc khắc phục nó ít hơn mười lần so với trước đây. Nếu chúng ta áp dụng khái niệm “vô cực” trong tình huống này thì sẽ đúng khi nói “Achilles sẽ đuổi kịp con rùa vô cùng nhanh chóng”.
Làm thế nào để tránh cái bẫy logic này? Giữ nguyên đơn vị thời gian không đổi và không chuyển sang đơn vị nghịch đảo. Trong ngôn ngữ của Zeno nó trông như thế này:
Trong thời gian Achilles chạy được một nghìn bước, con rùa sẽ bò được một trăm bước về cùng một hướng. Trong khoảng thời gian tiếp theo bằng khoảng thời gian đầu tiên, Achilles sẽ chạy thêm một nghìn bước nữa và con rùa sẽ bò được một trăm bước. Bây giờ Achilles đã đi trước con rùa tám trăm bước.
Cách tiếp cận này mô tả đầy đủ thực tế mà không có bất kỳ nghịch lý logic nào. Nhưng đây không phải là một giải pháp hoàn chỉnh cho vấn đề. Tuyên bố của Einstein về tính không thể cưỡng lại được của tốc độ ánh sáng rất giống với câu nói “Achilles and the Tortoise” của Zeno. Chúng ta vẫn phải nghiên cứu, suy nghĩ lại và giải quyết vấn đề này. Và giải pháp phải được tìm kiếm không phải bằng những con số vô cùng lớn mà bằng những đơn vị đo lường.
Một câu kinh thú vị khác của Zeno kể về một mũi tên bay:
Một mũi tên bay là bất động, vì nó đứng yên tại mọi thời điểm, và vì nó đứng yên trong mọi thời điểm nên nó luôn ở trạng thái nghỉ.
Trong aporia này, nghịch lý logic được khắc phục rất đơn giản - chỉ cần làm rõ rằng tại mỗi thời điểm, một mũi tên bay đang đứng yên tại các điểm khác nhau trong không gian, trên thực tế, là chuyển động. Một điểm khác cần được lưu ý ở đây. Từ một bức ảnh chụp một chiếc ô tô trên đường, không thể xác định được thực tế chuyển động của nó cũng như khoảng cách đến nó. Để xác định xem một chiếc ô tô có đang chuyển động hay không, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ cùng một điểm ở những thời điểm khác nhau nhưng bạn không thể xác định được khoảng cách từ chúng. Để xác định khoảng cách đến một ô tô, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ các điểm khác nhau trong không gian tại một thời điểm, nhưng từ chúng, bạn không thể xác định được thực tế chuyển động (tất nhiên, bạn vẫn cần thêm dữ liệu để tính toán, lượng giác sẽ giúp bạn ). Điều tôi muốn đặc biệt chú ý là hai điểm trong thời gian và hai điểm trong không gian là những thứ khác nhau không nên nhầm lẫn vì chúng mang lại những cơ hội nghiên cứu khác nhau.
Tôi sẽ chỉ cho bạn quá trình này bằng một ví dụ. Chúng tôi chọn “chất rắn màu đỏ trong mụn” - đây là “toàn bộ” của chúng tôi. Đồng thời, chúng ta thấy những vật này có cung và có những vật không có cung. Sau đó, chúng tôi chọn một phần của “toàn bộ” và tạo thành một bộ “có nơ”. Đây là cách các pháp sư kiếm được thức ăn bằng cách gắn lý thuyết tập hợp của họ với thực tế.
Bây giờ chúng ta hãy làm một thủ thuật nhỏ. Hãy lấy “rắn có mụn có nơ” và kết hợp những “tổng thể” này theo màu sắc, chọn các yếu tố màu đỏ. Chúng tôi có rất nhiều "màu đỏ". Bây giờ câu hỏi cuối cùng: các bộ kết quả “có nơ” và “đỏ” là cùng một bộ hay hai bộ khác nhau? Chỉ có pháp sư mới biết câu trả lời. Chính xác hơn, bản thân họ cũng không biết gì cả, nhưng như họ nói thì mọi chuyện sẽ như vậy.
Ví dụ đơn giản này cho thấy lý thuyết tập hợp hoàn toàn vô dụng khi áp dụng vào thực tế. Bí mật là gì? Chúng tôi đã tạo thành một bộ "chất rắn màu đỏ có mụn và nơ". Sự hình thành diễn ra theo bốn đơn vị đo lường khác nhau: màu sắc (đỏ), độ bền (rắn chắc), độ nhám (mụn), trang trí (có nơ). Chỉ có một tập hợp các đơn vị đo lường mới cho phép chúng ta mô tả đầy đủ các vật thể thực bằng ngôn ngữ toán học. Đây là những gì nó trông giống như.
Chữ "a" với các chỉ số khác nhau biểu thị các đơn vị đo lường khác nhau. Các đơn vị đo lường mà “toàn bộ” được phân biệt ở giai đoạn sơ bộ được đánh dấu trong ngoặc. Đơn vị đo lường mà tập hợp được hình thành được lấy ra khỏi ngoặc. Dòng cuối cùng hiển thị kết quả cuối cùng - một phần tử của tập hợp. Như bạn có thể thấy, nếu chúng ta sử dụng các đơn vị đo lường để tạo thành một tập hợp thì kết quả không phụ thuộc vào thứ tự hành động của chúng ta. Và đây là toán học, chứ không phải điệu nhảy của các pháp sư với lục lạc. Các pháp sư có thể “trực giác” đi đến kết quả tương tự, cho rằng đó là “hiển nhiên”, bởi vì các đơn vị đo lường không phải là một phần trong kho vũ khí “khoa học” của họ.
Bằng cách sử dụng các đơn vị đo lường, rất dễ dàng để chia một bộ hoặc kết hợp nhiều bộ thành một bộ siêu. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về đại số của quá trình này.
Đường tròn lượng giác là một trong những phần tử cơ bản của hình học để giải các phương trình với sin, cos, tiếp tuyến và cotang.
Định nghĩa của thuật ngữ này là gì, cách xây dựng vòng tròn này, cách xác định một phần tư lượng giác, cách tìm ra các góc trong một vòng tròn lượng giác được xây dựng - chúng ta sẽ nói về điều này và nhiều hơn nữa.
vòng tròn lượng giác
Dạng lượng giác của đường tròn số trong toán học là một đường tròn có một bán kính với tâm là gốc của mặt phẳng tọa độ. Theo quy luật, nó được hình thành bởi một không gian chứa các công thức tính sin với cosin, tiếp tuyến và cotang trên một hệ tọa độ.
Mục đích của một hình cầu với không gian n chiều như vậy là nhờ nó mà các hàm lượng giác có thể được mô tả. Nó trông đơn giản: một hình tròn, bên trong có hệ tọa độ và nhiều hình tam giác vuông được hình thành từ hình tròn này bằng cách sử dụng các hàm lượng giác.
Sin, cos, tiếp tuyến, cotang trong một tam giác vuông là gì
Tam giác vuông là tam giác có một trong các góc bằng 90°. Nó được hình thành bởi chân và cạnh huyền với tất cả ý nghĩa của lượng giác. Chân là hai cạnh của tam giác vuông góc 90°, cạnh thứ ba là cạnh huyền, nó luôn dài hơn chân.
Sin là tỷ lệ của một trong hai chân với cạnh huyền, cosin là tỷ lệ của chân kia với nó và tiếp tuyến là tỷ lệ của hai chân. Mối quan hệ tượng trưng cho sự chia rẽ. Tiếp tuyến cũng là phép chia một góc nhọn cho sin và cos. Cotang là tỉ số nghịch của tiếp tuyến.
Công thức cho hai tỷ số cuối như sau: tg(a) = sin(a) / cos(a) và ctg(a) = cos(a) / sin(a).
Xây dựng một vòng tròn đơn vị
Việc xây dựng một vòng tròn đơn vị bắt nguồn từ việc vẽ nó với bán kính đơn vị ở tâm của hệ tọa độ. Sau đó, để dựng, bạn cần đếm các góc và di chuyển ngược chiều kim đồng hồ, đi vòng quanh toàn bộ đường tròn, đặt các đường tọa độ tương ứng với chúng.
Việc xây dựng bắt đầu sau khi vẽ một vòng tròn và đặt một điểm ở tâm của nó bằng cách đặt hệ tọa độ OX. Điểm O trên trục tọa độ là sin và X là cosin. Theo đó, chúng là abscissa và thứ tự. Sau đó, bạn cần thực hiện phép đo ∠. Chúng được thực hiện theo độ và radian.
Thật dễ dàng để dịch các chỉ số này - một vòng tròn đầy đủ bằng hai pi radian. Góc từ 0 ngược chiều kim đồng hồ có dấu + và ∠ từ 0 theo chiều kim đồng hồ có dấu -. Các giá trị dương và âm của sin và cosin được lặp lại sau mỗi vòng quay.
Các góc trên đường tròn lượng giác
Để nắm vững lý thuyết về đường tròn lượng giác, bạn cần hiểu cách tính ∠ trên đó và cách đo chúng. Chúng được tính toán rất đơn giản.
Vòng tròn được chia bởi hệ tọa độ thành bốn phần. Mỗi phần tạo thành ∠ 90°. Một nửa số góc này là 45 độ. Theo đó, hai phần của hình tròn bằng 180° và ba phần bằng 360°. Làm thế nào để sử dụng các thông tin này?
Nếu cần giải bài toán tìm ∠, họ sử dụng các định lý về tam giác và các định luật Pythagore cơ bản gắn liền với chúng.
Các góc được đo bằng radian:
- từ 0 đến 90° — giá trị góc từ 0 đến ∏/2;
- từ 90 đến 180° — các giá trị góc từ ∏/2 đến ∏;
- từ 180 đến 270° - từ ∏ đến 3*∏/2;
- quý trước từ 270 0 đến 360 0 - các giá trị từ 3*∏/2 đến 2*∏.
Để tìm ra một phép đo cụ thể, chuyển đổi radian sang độ hoặc ngược lại, bạn nên sử dụng cheat sheet.
Chuyển đổi góc từ độ sang radian
Các góc có thể được đo bằng độ hoặc radian. Cần phải nhận thức được mối liên hệ giữa cả hai ý nghĩa. Mối quan hệ này được thể hiện bằng lượng giác bằng một công thức đặc biệt. Bằng cách hiểu mối quan hệ, bạn có thể học cách kiểm soát nhanh các góc và chuyển từ độ sang radian trở lại.
Để tìm ra chính xác một radian bằng bao nhiêu, bạn có thể sử dụng công thức sau:
1 rad. = 180 / ∏ = 180 / 3,1416 = 57,2956
Cuối cùng, 1 radian bằng 57° và có 0,0175 radian trong 1 độ:
1 độ = (∏ /180) rad. = 3,1416/180 rad. = 0,0175 rad.
Cosin, sin, tiếp tuyến, cotang trên đường tròn lượng giác
Cosin với sin, tiếp tuyến và côtang trên một đường tròn lượng giác - hàm của các góc alpha từ 0 đến 360 độ. Mỗi hàm có giá trị dương hoặc âm tùy thuộc vào độ lớn của góc. Chúng tượng trưng cho mối quan hệ với các hình tam giác vuông được hình thành trong một vòng tròn.
Dấu của hàm lượng giác chỉ phụ thuộc vào góc tọa độ chứa đối số số. Lần trước chúng ta đã học cách chuyển đổi đối số từ đơn vị đo radian sang đơn vị đo độ (xem bài “Số đo radian và độ của một góc”), sau đó xác định cùng một phần tư tọa độ này. Bây giờ chúng ta hãy xác định dấu của sin, cosin và tang.
Sin của góc α là tọa độ (tọa độ y) của một điểm trên đường tròn lượng giác xảy ra khi bán kính quay một góc α.
Cosin của góc α là hoành độ (tọa độ x) của một điểm trên đường tròn lượng giác, xuất hiện khi bán kính quay một góc α.
Tiếp tuyến của góc α là tỉ số giữa sin và cosin. Hoặc, tương tự như vậy, tỷ lệ của tọa độ y và tọa độ x.
Ký hiệu: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .
Tất cả những định nghĩa này đều quen thuộc với bạn từ môn đại số ở trường trung học. Tuy nhiên, chúng ta không quan tâm đến bản thân các định nghĩa mà quan tâm đến các hệ quả phát sinh trên đường tròn lượng giác. Hãy xem:
Màu xanh biểu thị hướng dương của trục OY (trục hoành), màu đỏ biểu thị hướng dương của trục OX (trục abscissa). Trên "radar" này, dấu hiệu của các hàm lượng giác trở nên rõ ràng. Đặc biệt:
- sin α > 0 nếu góc α nằm trong góc phần tư tọa độ I hoặc II. Điều này là do, theo định nghĩa, sin là tọa độ (tọa độ y). Và tọa độ y sẽ dương chính xác trong các khu tọa độ I và II;
- cos α > 0, nếu góc α nằm trong góc phần tư tọa độ thứ 1 hoặc thứ 4. Bởi vì chỉ ở đó tọa độ x (hay còn gọi là abscissa) sẽ lớn hơn 0;
- tan α > 0 nếu góc α nằm trong góc phần tư tọa độ I hoặc III. Điều này suy ra từ định nghĩa: xét cho cùng, tan α = y : x, do đó nó chỉ dương khi dấu của x và y trùng nhau. Điều này xảy ra trong quý tọa độ đầu tiên (ở đây x > 0, y > 0) và quý tọa độ thứ ba (x< 0, y < 0).
Để rõ ràng, chúng ta hãy lưu ý các dấu hiệu của từng hàm lượng giác - sin, cos và tiếp tuyến - trên các radar riêng biệt. Chúng ta có được hình ảnh sau:
Xin lưu ý: trong các cuộc thảo luận của tôi, tôi chưa bao giờ nói về hàm lượng giác thứ tư - cotang. Thực tế là các dấu hiệu tiếp tuyến trùng với các dấu hiệu tiếp tuyến - không có quy tắc đặc biệt nào ở đó.
Bây giờ tôi đề xuất xem xét các ví dụ tương tự như bài toán B11 trong kỳ thi thử cấp Nhà nước Thống nhất môn toán diễn ra vào ngày 27 tháng 9 năm 2011. Suy cho cùng, cách tốt nhất để hiểu lý thuyết là thực hành. Đó là khuyến khích để có nhiều thực hành. Tất nhiên, các điều kiện của nhiệm vụ đã được thay đổi một chút.
Nhiệm vụ. Xác định dấu của các hàm và biểu thức lượng giác (không cần tính giá trị của các hàm):
- sin(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- tan(3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Kế hoạch hành động như sau: đầu tiên chúng ta chuyển đổi tất cả các góc từ số đo radian sang độ (π → 180°), sau đó xem số kết quả nằm ở phần tư tọa độ nào. Biết được các khu phố, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy các biển báo - theo các quy tắc vừa mô tả. Chúng ta có:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Vì 135° ∈ , đây là một góc tính từ góc phần tư tọa độ II. Nhưng sin ở quý thứ hai là dương nên sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Bởi vì 210° ∈ , đây là góc tính từ góc phần tư tọa độ thứ ba, trong đó tất cả các cosin đều âm. Do đó cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Vì 300° ∈ , chúng ta đang ở phần tư IV, nơi tiếp tuyến nhận giá trị âm. Do đó tan (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Hãy giải quyết sin: bởi vì 135° ∈ , đây là quý thứ hai trong đó các sin dương, tức là sin (3π/4) > 0. Bây giờ chúng ta làm việc với cosin: 150° ∈ - một lần nữa trong quý thứ hai, các cosin ở đó là âm. Do đó cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Chúng ta xét cosin: 120° ∈ là quý tọa độ II, do đó cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Một lần nữa chúng ta có tích trong đó các thừa số có dấu khác nhau. Vì “trừ cộng cho trừ”, nên chúng ta có: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Chúng ta làm việc với sin: vì 150° ∈ , chúng ta đang nói về phần tư tọa độ II, trong đó các sin dương. Do đó, sin (5π/6) > 0. Tương tự, 315° ∈ là phần tư tọa độ IV, các cosin ở đó đều dương. Do đó cos (7π/4) > 0. Ta thu được tích của hai số dương - biểu thức như vậy luôn dương. Ta kết luận: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Nhưng góc 135° ∈ là góc phần tư thứ hai, tức là tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Vì “trừ với cộng cho dấu trừ,” nên ta có: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Chúng ta xét đối số cotang: 240° ∈ là phần tư tọa độ III, do đó ctg (4π/3) > 0. Tương tự, đối với tiếp tuyến, chúng ta có: 30° ∈ là phần tư tọa độ I, tức là. góc đơn giản nhất. Do đó tan (π/6) > 0. Một lần nữa chúng ta có hai biểu thức dương - tích của chúng cũng sẽ dương. Do đó cot (4π/3) tg (π/6) > 0.
Cuối cùng, hãy xem xét một số vấn đề phức tạp hơn. Ngoài việc tìm dấu của hàm lượng giác, ở đây bạn sẽ phải làm một phép tính nhỏ - chính xác như được thực hiện trong các bài toán thực tế B11. Về nguyên tắc, đây gần như là những bài toán có thật xuất hiện trong kỳ thi Thống nhất môn toán.
Nhiệm vụ. Tìm sin α nếu sin 2 α = 0,64 và α ∈ [π/2; π].
Vì sin 2 α = 0,64 nên ta có: sin α = ±0,8. Tất cả những gì còn lại là quyết định: cộng hay trừ? Theo điều kiện, góc α ∈ [π/2; π] là quý tọa độ II, trong đó tất cả các sin đều dương. Do đó, sin α = 0,8 - độ không đảm bảo về dấu bị loại bỏ.
Nhiệm vụ. Tìm cos α nếu cos 2 α = 0,04 và α ∈ [π; 3π/2].
Chúng tôi hành động tương tự, tức là. lấy căn bậc hai: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Theo điều kiện, góc α ∈ [π; 3π/2], tức là Chúng ta đang nói về quý tọa độ thứ ba. Tất cả các cosin ở đó đều âm, vì vậy cos α = −0,2.
Nhiệm vụ. Tìm sin α nếu sin 2 α = 0,25 và α ∈ .
Ta có: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Chúng ta xét lại góc: α ∈ là phần tư tọa độ IV, trong đó, như chúng ta đã biết, sin sẽ âm. Vì vậy, chúng ta kết luận: sin α = −0,5.
Nhiệm vụ. Tìm tan α nếu tan 2 α = 9 và α ∈ .
Mọi thứ đều giống nhau, chỉ có tiếp tuyến. Trích xuất căn bậc hai: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Nhưng theo điều kiện thì góc α ∈ là tọa độ một phần tư I. Tất cả các hàm lượng giác, bao gồm. tiếp tuyến, có số dương nên tan α = 3. Vậy thôi!
Vòng tròn lượng giác. Vòng tròn đơn vị. Vòng tròn số. Nó là gì?
Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)
Các thuật ngữ rất thường xuyên vòng tròn lượng giác, vòng tròn đơn vị, vòng tròn số học sinh chưa hiểu rõ. Và hoàn toàn vô ích. Những khái niệm này là một trợ thủ đắc lực và phổ quát trong mọi lĩnh vực lượng giác. Trên thực tế, đây là một mánh gian lận hợp pháp! Mình vẽ một vòng tròn lượng giác và thấy ngay đáp án! Hấp dẫn? Vậy hãy cùng tìm hiểu nhé, sẽ thật tội lỗi nếu không sử dụng một thứ như vậy. Hơn nữa, nó không hề khó chút nào.
Để làm việc thành công với vòng tròn lượng giác, bạn chỉ cần biết ba điều.
Nếu bạn thích trang web này...
Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)
Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.
Loại bài học: hệ thống hóa kiến thức và kiểm soát trung gian.
Thiết bị: vòng tròn lượng giác, bài kiểm tra, thẻ nhiệm vụ.
Mục tiêu bài học: hệ thống hóa các tài liệu lý thuyết đã học theo định nghĩa sin, cosin, tang của một góc; kiểm tra mức độ tiếp thu kiến thức về chủ đề này và ứng dụng vào thực tế.
Nhiệm vụ:
- Khái quát và củng cố các khái niệm về sin, cosin và tiếp tuyến của một góc.
- Hình thành sự hiểu biết toàn diện về các hàm lượng giác.
- Thúc đẩy mong muốn và nhu cầu học tập môn lượng giác của học sinh; trau dồi văn hóa giao tiếp, khả năng làm việc theo nhóm và nhu cầu tự học.
“Ai làm và nghĩ cho mình ngay từ khi còn trẻ,
Sau đó, nó trở nên đáng tin cậy hơn, mạnh mẽ hơn, thông minh hơn.
(V. Shukshin)
TRONG LỚP HỌC
I. Thời điểm tổ chức
Lớp được đại diện bởi ba nhóm. Mỗi nhóm có một cố vấn.
Giáo viên nêu chủ đề, mục đích, mục tiêu của bài học.
II. Cập nhật kiến thức (làm việc trực tiếp với lớp)
1) Làm việc theo nhóm thực hiện nhiệm vụ:
1. Xây dựng định nghĩa góc sin.
– Sin α có dấu hiệu gì trong mỗi góc phần tư tọa độ?
– Biểu thức sin α có ý nghĩa ở những giá trị nào và nó có thể nhận những giá trị nào?
2. Nhóm thứ hai là những câu hỏi tương tự về cos α.
3. Nhóm thứ ba chuẩn bị câu trả lời cho các câu hỏi tương tự tg α và ctg α.
Lúc này, ba học sinh làm việc độc lập trên bảng sử dụng thẻ (đại diện các nhóm khác nhau).
Thẻ số 1.
Công việc thực tế.
Dùng vòng tròn đơn vị tính các giá trị sin α, cos α và tan α cho các góc 50, 210 và – 210.
Thẻ số 2.
Xác định dấu của biểu thức: tg 275; cos 370; tội lỗi 790; tg 4.1 và tội lỗi 2.
Thẻ số 3.
1) Tính toán:
2) So sánh: cos 60 và cos 2 30 – sin 2 30
2) Bằng miệng:
a) Đề xuất dãy số: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Trong số đó có những cái thừa. Những con số này có thể biểu thị tính chất nào của sin α hoặc cos α (Có thể sin α hoặc cos α nhận các giá trị này không).
b) Biểu thức có nghĩa không: cos (-); tội lỗi 2; tg 3: ctg (- 5); ; ctg0;
cotg(–π). Tại sao?
c) Có giá trị tối thiểu và tối đa của sin hoặc cos, tg, ctg.
d) Có đúng không?
1) α = 1000 là góc của phần tư thứ hai;
2) α = – 330 là góc của phần tư IV.
e) Các số tương ứng với cùng một điểm trên vòng tròn đơn vị.
3) Làm việc tại hội đồng quản trị
Số 567 (2; 4) – Tìm giá trị của biểu thức
Số 583 (1-3) Xác định dấu của biểu thức
Bài tập về nhà: bảng vào vở. Số 567(1, 3) Số 578
III. Trau dồi thêm kiến thức. Lượng giác trong lòng bàn tay của bạn
Giáo viên: Hóa ra các giá trị của sin và cosin của các góc đều “nằm” trong lòng bàn tay của bạn. Đưa tay ra (cả hai tay) và xòe các ngón tay ra xa nhất có thể (như trong áp phích). Một học sinh được mời. Chúng tôi đo các góc giữa các ngón tay của chúng tôi.
Lấy một hình tam giác có các góc 30, 45 và 60 90 và áp đỉnh của góc vào gò Mặt Trăng trong lòng bàn tay của bạn. Gò Mặt Trăng nằm ở giao điểm của phần duỗi của ngón út và ngón cái. Chúng tôi kết hợp một bên với ngón tay út và bên kia với một trong các ngón tay còn lại.
Hóa ra giữa ngón út và ngón cái có một góc 90, giữa ngón út và ngón đeo nhẫn là 30, giữa ngón út và ngón giữa là 45, giữa ngón út và ngón trỏ là 60. Và điều này đúng với tất cả mọi người. không có ngoại lệ.
ngón út số 0 – tương ứng với số 0,
số 1 không tên – tương ứng với 30,
trung bình số 2 – tương ứng với 45,
chỉ số số 3 – tương ứng với 60,
lớn số 4 – tương ứng với 90.
Như vậy, trên bàn tay chúng ta có 4 ngón và nhớ công thức:
Ngón tay không. |
Góc |
Nghĩa |
|
||
|
||
|
Đây chỉ là một quy tắc ghi nhớ. Nói chung, giá trị của sin α hoặc cos α phải thuộc lòng, nhưng đôi khi quy tắc này sẽ giúp ích trong những lúc khó khăn.
Đưa ra quy tắc tính cos (các góc không thay đổi mà được tính từ ngón tay cái). Sự tạm dừng vật lý liên quan đến các dấu hiệu sin α hoặc cos α.
IV. Kiểm tra kiến thức, kỹ năng của bạn
Làm việc độc lập có phản hồi
Mỗi học sinh nhận được một bài kiểm tra (4 lựa chọn) và phiếu trả lời của tất cả mọi người đều giống nhau.
Bài kiểm tra
lựa chọn 1
1) Ở góc quay nào thì bán kính sẽ có vị trí như khi quay một góc 50?
2) Tìm giá trị của biểu thức: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Số nào nhỏ hơn 0: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.
Lựa chọn 2
1) Ở góc quay nào thì bán kính sẽ có cùng vị trí như khi quay một góc 10.
2) Tìm giá trị của biểu thức: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Số nào lớn hơn 0: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).
Tùy chọn 3
1) Tìm giá trị của biểu thức: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Số nào nhỏ hơn 0: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Góc 1/4 là góc α, nếu sin α > 0 thì cos α< 0.
Tùy chọn 4
1) Tìm giá trị của biểu thức: tg 60 – 6ctg 90.
2) Số nào nhỏ hơn 0: sin(- 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Góc phần tư nào là góc α, nếu ctg α< 0, cos α> 0.
MỘT |
B |
TRONG |
G |
D |
E |
VÀ |
Z |
VÀ |
L |
M |
|
N |
VỀ |
P |
R |
VỚI |
T |
bạn |
F |
X |
Sh |
YU |
TÔI |
(từ khóa là lượng giác)
V. Thông tin từ lịch sử lượng giác
Giáo viên: Lượng giác là một nhánh toán học khá quan trọng đối với đời sống con người. Dạng lượng giác hiện đại được đưa ra bởi nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 18, Leonhard Euler, một người Thụy Sĩ gốc đã làm việc ở Nga trong nhiều năm và là thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg. Ông đã giới thiệu các định nghĩa nổi tiếng về hàm lượng giác, xây dựng và chứng minh các công thức nổi tiếng, chúng ta sẽ tìm hiểu chúng sau. Cuộc đời của Euler rất thú vị và tôi khuyên bạn nên làm quen với nó qua cuốn sách “Leonard Euler” của Ykovlev.
(Tin nhắn từ những người về chủ đề này)
VI. Tóm tắt bài học
Trò chơi "Tic Tac Toe"
Hai học sinh tích cực nhất đang tham gia. Họ được hỗ trợ bởi các nhóm. Các giải pháp cho các nhiệm vụ được viết ra trong một cuốn sổ.
Nhiệm vụ
1) Tìm lỗi
a) sin 225 = – 1,1 c) sin 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0
2) Biểu thị góc theo độ
3) Biểu thị góc 300 bằng radian
4) Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà biểu thức có thể có là gì: 1+ sin α;
5) Xác định dấu của biểu thức: sin 260, cos 300.
6) Điểm nằm ở phần tư nào của vòng tròn số?
7) Xác định dấu của biểu thức: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Tính toán:
9) So sánh: sin 2 và sin 350
VII. Suy ngẫm bài học
Giáo viên: Chúng ta có thể gặp lượng giác ở đâu?
Trong những bài học nào ở lớp 9 và cả bây giờ, các em có sử dụng các khái niệm sin α, cos α; tg α; ctg α và nhằm mục đích gì?