Ghi chú. Trọng tâm của hình đối xứng nằm trên trục đối xứng.
Trọng tâm của thanh nằm ở giữa độ cao. Các phương pháp sau đây được sử dụng để giải quyết vấn đề:
1. Phương pháp đối xứng: trọng tâm của các hình đối xứng nằm trên trục đối xứng;
2. Phương pháp tách: các phần phức tạp được chia thành nhiều phần đơn giản, vị trí trọng tâm của chúng dễ xác định;
3. Phương pháp diện tích âm: các hốc (lỗ) được coi là một phần của tiết diện có diện tích âm.
Ví dụ về giải quyết vấn đề
Ví dụ 1. Xác định vị trí trọng tâm của hình vẽ trên Hình 2. 8.4.
Giải pháp
Chúng tôi chia hình thành ba phần:
Được xác định tương tự Tại C = 4,5 cm.
Ví dụ 2. Tìm vị trí trọng tâm của giàn thanh đối xứng ADBE(Hình 116), kích thước của chúng như sau: AB = 6m, DE = 3 m và EF = 1m.
Giải pháp
Vì giàn có tính chất đối xứng nên trọng tâm của giàn nằm trên trục đối xứng D. F. Với hệ trục tọa độ đã chọn (Hình 116), trục hoành của trọng tâm giàn
Do đó, chỉ có thứ tự là không rõ tại C trọng tâm của trang trại. Để xác định nó, chúng tôi chia giàn thành các phần (thanh) riêng biệt. Độ dài của chúng được xác định từ các hình tam giác tương ứng.
Từ ∆AEF chúng ta có
Từ ∆ADF chúng ta có
Trọng tâm của mỗi thanh nằm ở giữa, tọa độ của các tâm này có thể dễ dàng xác định từ hình vẽ (Hình 116).
Chiều dài và tọa độ tìm được của trọng tâm của các bộ phận riêng lẻ của giàn được nhập vào bảng và theo công thức
xác định tọa độ năm rồi trọng tâm của một giàn phẳng nhất định.
Do đó, trọng tâm VỚI toàn bộ giàn nằm trên trục DF tính đối xứng của giàn ở khoảng cách 1,59 m tính từ điểm F.
Ví dụ 3. Xác định tọa độ trọng tâm của mặt cắt liên hợp. Phần này bao gồm một tấm và các biên dạng cuộn (Hình 8.5).
Ghi chú. Thông thường các khung được hàn từ các cấu hình khác nhau để tạo ra cấu trúc cần thiết. Do đó, mức tiêu thụ kim loại giảm và cấu trúc cường độ cao được hình thành.
Đối với các cấu hình cán tiêu chuẩn, các đặc điểm hình học riêng của chúng đã được biết đến. Chúng được đưa ra trong các tiêu chuẩn liên quan.
Giải pháp
1. Hãy chỉ định các số liệu bằng số và viết ra các dữ liệu cần thiết từ các bảng:
1 - kênh số 10 (GOST 8240-89); chiều cao h = 100 mm; chiều rộng kệ b= 46mm; diện tích mặt cắt ngang A 1= 10,9cm2;
2 - Dầm chữ I số 16 (GOST 8239-89); chiều cao 160 mm; chiều rộng kệ 81 mm; diện tích mặt cắt ngang A 2 - 20,2 cm 2;
3 - tờ 5x100; độ dày 5 mm; chiều rộng 100mm; diện tích mặt cắt ngang A 3 = 0,5 10 = 5 cm 2.
2. Tọa độ trọng tâm của mỗi hình có thể xác định được từ hình vẽ.
Tiết diện liên hợp có tính chất đối xứng nên trọng tâm nằm trên trục đối xứng và tọa độ X C = 0.
3. Xác định trọng tâm của mặt cắt liên hợp:
Ví dụ 4. Xác định tọa độ trọng tâm của mặt cắt như hình vẽ. số 8, MỘT. Mặt cắt gồm hai góc 56x4 và kênh số 18. Kiểm tra tính đúng đắn của việc xác định vị trí trọng tâm. Cho biết vị trí của nó trên phần.
Giải pháp
1. : hai góc 56 x 4 và kênh số 18. Ta ký hiệu chúng là 1, 2, 3 (xem Hình 8, MỘT).
2. Chúng tôi chỉ ra trọng tâm mỗi hồ sơ, sử dụng bảng 1 và 4 tính từ. Tôi, và biểu thị chúng C 1, C 2, C 3.
3. Chọn hệ trục tọa độ. Trục Tại tương ứng với trục đối xứng và trục X vẽ qua trọng tâm của các góc.
4. Xác định tọa độ trọng tâm của toàn bộ mặt cắt. Vì trục Tại trùng với trục đối xứng thì đi qua trọng tâm của tiết diện nên x s= 0. Tọa độ năm rồi chúng ta sẽ xác định theo công thức
Sử dụng các bảng trong phụ lục, chúng tôi xác định diện tích của từng mặt cắt và tọa độ của trọng tâm:
tọa độ lúc 1 Và lúc 2 giờđều bằng 0 vì trục Xđi qua trọng tâm của các góc. Hãy thay các giá trị thu được vào công thức để xác định năm rồi:
5. Chúng ta hãy chỉ ra trọng tâm của phần trong hình. 8, a và ký hiệu là chữ C. Hãy chỉ ra khoảng cách y C = 2,43 cm tính từ trục Xđến điểm C
Vì các góc nằm đối xứng và có cùng diện tích và tọa độ nên A 1 = A 2, y 1 = y 2. Vì vậy, công thức xác định tại C có thể được đơn giản hóa:
6. Hãy kiểm tra. Với mục đích này, trục X Hãy vẽ dọc theo mép dưới của kệ góc (Hình 8, b). Trục Tại Hãy để nó như trong giải pháp đầu tiên. Công thức xác định x C Và tại Cđừng thay đổi:
Diện tích của các mặt cắt sẽ giữ nguyên, nhưng tọa độ trọng tâm của các góc và kênh sẽ thay đổi. Hãy viết chúng ra:
Tìm tọa độ trọng tâm:
Theo tọa độ tìm được x s Và năm rồi vẽ điểm C trên hình vẽ, vị trí trọng tâm tìm được ở hai phương là cùng một điểm. Hãy cùng kiểm tra nào. Sự khác biệt giữa tọa độ ừ,ở nghiệm thứ nhất và nghiệm thứ hai là: 6,51 - 2,43 = 4,08 cm.
Giá trị này bằng khoảng cách giữa trục x trong nghiệm thứ nhất và nghiệm thứ hai: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.
Trả lời: s= 2,43 cm nếu trục x đi qua trọng tâm của các góc, hoặc y c = 6,51 cm nếu trục x chạy dọc theo mép dưới của mặt bích góc.
Ví dụ 5. Xác định tọa độ trọng tâm của mặt cắt như hình vẽ. 9, MỘT.Đoạn gồm có dầm chữ I số 24 và kênh số 24a. Hiển thị vị trí trọng tâm trên mặt cắt.
Giải pháp
1.Hãy chia phần thành các cấu hình cuộn: I-dầm và kênh. Hãy biểu thị chúng bằng số 1 và 2.
3. Chúng tôi chỉ ra trọng tâm của từng hồ sơ C 1 và C 2 sử dụng bảng ứng dụng.
4. Chọn hệ trục tọa độ. Trục x tương thích với trục đối xứng và trục y được vẽ qua trọng tâm của dầm chữ I.
5. Xác định tọa độ trọng tâm của mặt cắt. Tọa độ y c = 0, vì trục X trùng với trục đối xứng. Ta xác định tọa độ x theo công thức
Theo bảng 3 và 4 điều chỉnh. I và sơ đồ mặt cắt ta xác định
Hãy thay thế các giá trị số vào công thức và nhận được
5. Hãy vẽ điểm C (trọng tâm của mặt cắt) bằng cách sử dụng các giá trị tìm được của x c và y c (xem Hình 9, a).
Giải pháp phải được kiểm tra độc lập với các trục được định vị như trong Hình. 9, b. Kết quả của phép giải ta thu được x c = 11,86 cm, Hiệu giữa các giá trị của x c đối với nghiệm thứ nhất và nghiệm thứ hai là 11,86 - 6,11 = 5,75 cm, bằng khoảng cách giữa các trục y đối với cùng một phương trình. nghiệm b dv /2 = 5,75 cm.
Trả lời: x c = 6,11 cm nếu trục y đi qua trọng tâm dầm chữ I; x c = 11,86 cm nếu trục y đi qua điểm cực trị bên trái của dầm chữ I.
Ví dụ 6. Cần trục đường sắt nằm trên đường ray, khoảng cách giữa chúng là AB = 1,5 m (Hình 1.102). Lực hấp dẫn của xe cẩu là G r = 30 kN, trọng tâm của xe tại điểm C, nằm trên đường KL giao nhau của mặt phẳng đối xứng của xe cẩu với mặt phẳng hình vẽ. Lực hấp dẫn của tời cẩu Q l = 10 kN tác dụng vào điểm D. Lực hấp dẫn của đối trọng G”=20 kN tác dụng tại điểm E. Lực hấp dẫn của cần G c = 5 kN tác dụng tại điểm H. Khoảng cách của cần trục so với đường KL là 2 m. Xác định hệ số ổn định của cần trục ở trạng thái không tải và tải trọng bao nhiêu? F có thể được nâng lên bằng cần trục này với điều kiện hệ số ổn định ít nhất phải bằng hai.
Giải pháp
1. Khi dỡ hàng, cần cẩu có nguy cơ bị lật khi quay vòng ray MỘT. Vì vậy, so với điểm MỘT thời điểm ổn định
2. Momen lật đối với một điểm MỘTđược tạo ra bởi lực hấp dẫn của đối trọng, tức là
3. Do đó hệ số ổn định của cần trục ở trạng thái không tải
4. Khi xếp cần cẩu chở hàng F có nguy cơ cần cẩu bị lật khi rẽ gần ray B. Do đó, so với điểm TRONG thời điểm ổn định
5. Mô men lật so với ray TRONG
6. Tùy theo điều kiện của bài toán, cho phép vận hành cần trục với hệ số ổn định kB ≥ 2, tức là.
Câu hỏi và bài tập kiểm tra
1. Tại sao có thể coi lực hấp dẫn của Trái đất tác dụng lên các điểm của vật thể là hệ các lực song song?
2. Viết công thức xác định vị trí trọng tâm của các vật không đồng nhất, đồng nhất, công thức xác định vị trí trọng tâm của mặt cắt phẳng.
3. Lặp lại công thức xác định vị trí trọng tâm của các hình hình học đơn giản: hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang và nửa hình tròn.
4. 
Momen tĩnh của diện tích là gì?
5. Tính mômen tĩnh của hình này đối với trục Con bò đực. h= 30 cm; b= 120 cm; Với= 10 cm (Hình 8.6).
6. Xác định tọa độ trọng tâm của hình đã tô đậm (Hình 8.7). Kích thước được tính bằng mm.
7. Xác định tọa độ Tại hình 1 của mặt cắt liên hợp (Hình 8.8).
Khi quyết định, hãy sử dụng dữ liệu tham khảo từ bảng GOST “Thép cán nóng” (xem Phụ lục 1).
Ghi chú bài học vật lý lớp 7
Đề tài: Xác định trọng tâm
Giáo viên vật lý, trường THCS Argayash số 2
Khidiyatulina Z.A.
Công tác thí nghiệm:
"Xác định trọng tâm của tấm phẳng"
Mục tiêu : tìm trọng tâm của một tấm phẳng.
Phần lý thuyết:
Mọi vật thể đều có một trọng tâm. Trọng tâm của một vật là điểm mà tại đó tổng mômen hấp dẫn tác dụng lên vật bằng không. Ví dụ, nếu bạn treo một vật bằng trọng tâm của nó, nó sẽ đứng yên. Nghĩa là vị trí của nó trong không gian sẽ không thay đổi (nó sẽ không lộn ngược hoặc nằm nghiêng). Tại sao một số vật thể bị lật trong khi số khác thì không? Nếu bạn vẽ một đường thẳng vuông góc với sàn từ trọng tâm của cơ thể, thì nếu đường đó vượt ra ngoài ranh giới hỗ trợ của cơ thể thì cơ thể sẽ rơi xuống. Diện tích hỗ trợ càng lớn thì trọng tâm của cơ thể càng gần điểm trung tâm của vùng hỗ trợ và đường tâm của trọng tâm thì vị trí của cơ thể sẽ càng ổn định . Ví dụ, trọng tâm của Tháp nghiêng Pisa nổi tiếng nằm cách điểm giữa của nó chỉ hai mét. Và cú ngã sẽ chỉ xảy ra khi độ lệch này khoảng 14 mét. Trọng tâm của cơ thể con người nằm dưới rốn khoảng 20,23 cm. Một đường tưởng tượng vẽ thẳng đứng từ trọng tâm đi chính xác giữa hai bàn chân. Đối với búp bê lật đật, bí mật còn nằm ở trọng tâm của cơ thể. Tính ổn định của nó được giải thích là do trọng tâm của chiếc cốc nằm ở phía dưới cùng; nó thực sự đứng trên đó. Điều kiện để cơ thể giữ thăng bằng là trục thẳng đứng của trọng tâm chung của nó đi qua vùng hỗ trợ của cơ thể. Nếu trọng tâm thẳng đứng của cơ thể rời khỏi vùng hỗ trợ, cơ thể sẽ mất thăng bằng và ngã. Do đó, diện tích hỗ trợ càng lớn thì trọng tâm của cơ thể càng nằm gần điểm trung tâm của vùng hỗ trợ và đường trung tâm của trọng tâm thì vị trí của cơ thể càng ổn định. cơ thể sẽ được. Vùng hỗ trợ khi một người ở tư thế thẳng đứng bị giới hạn bởi khoảng trống dưới lòng bàn chân và giữa hai bàn chân. Điểm giữa của đường thẳng đứng trọng tâm ở bàn chân cách củ gót chân 5 cm. Kích thước dọc của vùng hỗ trợ luôn chiếm ưu thế so với vùng phía trước, do đó sự dịch chuyển của đường thẳng đứng của trọng tâm dễ xảy ra sang phải và trái hơn là lùi về phía sau và đặc biệt khó khăn về phía trước. Về vấn đề này, độ ổn định khi rẽ khi chạy nhanh kém hơn đáng kể so với hướng dọc (tiến hoặc lùi). Bàn chân đi giày, đặc biệt là khi có gót rộng và đế cứng, sẽ ổn định hơn so với khi không mang giày vì nó có diện tích hỗ trợ lớn hơn.
Phần thực hành:
Mục đích của công việc: Sử dụng thiết bị đã đề xuất, tiến hành thí nghiệm tìm vị trí trọng tâm của hai hình bằng bìa cứng và hình tam giác.
Thiết bị:Chân máy, bìa cứng dày, hình tam giác từ bộ đồ dùng học tập, thước kẻ, băng dính, chỉ, bút chì...
Bài 1: Xác định vị trí trọng tâm của hình phẳng có hình dạng tùy ý
Dùng kéo cắt một hình ngẫu nhiên từ bìa cứng. Gắn sợi chỉ vào điểm A bằng băng dính. Treo nhân vật bằng sợi chỉ vào chân ba chân. Dùng thước kẻ và bút chì đánh dấu đường thẳng đứng AB trên bìa cứng.
Di chuyển điểm gắn chỉ đến vị trí C. Lặp lại các bước trên.
Điểm O là giao điểm của AB vàđĩa CDđưa ra vị trí mong muốn của trọng tâm của hình.
Bài 2: Chỉ dùng thước kẻ và bút chì tìm vị trí trọng tâm của hình phẳng
Dùng bút chì và thước kẻ chia hình thành hai hình chữ nhật. Bằng cách xây dựng, hãy tìm vị trí O1 và O2 của trọng tâm của chúng. Dễ thấy trọng tâm của toàn hình nằm trên đường O1O2
Chia hình thành hai hình chữ nhật theo cách khác. Bằng cách xây dựng, hãy tìm vị trí trọng tâm O3 và O4 của mỗi chúng. Nối các điểm O3 và O4 bằng một đường thẳng. Giao điểm của đường thẳng O1O2 và O3O4 xác định vị trí trọng tâm của hình
Bài 2: Xác định vị trí trọng tâm của tam giác
Dùng băng dính cố định một đầu sợi chỉ ở đầu hình tam giác và treo nó vào chân ba chân. Dùng thước kẻ đánh dấu hướng AB của đường trọng lực (đánh dấu ở cạnh đối diện của tam giác)
Lặp lại quy trình tương tự, treo tam giác từ đỉnh C. Ở đỉnh C đối diện của tam giác, đánh dấuD.
Dùng băng keo dán các đoạn chỉ AB vàđĩa CD. Điểm O giao nhau của chúng xác định vị trí trọng tâm của tam giác. Trong trường hợp này, trọng tâm của hình nằm bên ngoài cơ thể.
III . Giải quyết vấn đề chất lượng
1. Người biểu diễn xiếc cầm cây cột nặng trên tay khi đi trên dây nhằm mục đích gì?
2. Tại sao người vác vật nặng trên lưng lại nghiêng về phía trước?
3. Tại sao bạn không thể đứng dậy khỏi ghế trừ khi bạn nghiêng người về phía trước?
4.Tại sao cần cẩu không nghiêng về phía tải được nâng? Tại sao khi không mang tải, cần trục không nghiêng về phía đối trọng?
5. Tại sao ô tô, xe đạp, v.v. Nên đặt phanh ở bánh sau thay vì bánh trước?
6. Tại sao xe tải chở cỏ khô lại dễ bị lật hơn xe tải chở đầy tuyết?
Hình chữ nhật.
Vì hình chữ nhật có hai trục đối xứng nên trọng tâm của nó nằm ở giao điểm của các trục đối xứng, tức là. tại giao điểm các đường chéo của hình chữ nhật. 
Tam giác.
Trọng tâm nằm ở giao điểm của các đường trung tuyến của nó. Từ hình học, người ta biết rằng các đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm và được chia theo tỷ lệ 1:2 tính từ đáy. 
Vòng tròn. Vì hình tròn có hai trục đối xứng nên trọng tâm của nó nằm ở giao điểm của hai trục đối xứng.
Hình bán nguyệt.
Hình bán nguyệt có một trục đối xứng thì trọng tâm nằm trên trục này. Một tọa độ khác của trọng tâm được tính theo công thức: . 
Nhiều phần tử kết cấu được làm từ các sản phẩm cán tiêu chuẩn - góc, dầm chữ I, kênh và các sản phẩm khác. Tất cả các kích thước, cũng như các đặc điểm hình học của hồ sơ cuộn, là dữ liệu dạng bảng có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo trong các bảng phân loại thông thường (GOST 8239-89, GOST 8240-89).
Ví dụ 1. Xác định vị trí trọng tâm của hình vẽ trên.
Giải pháp:
Chúng ta chọn các trục tọa độ sao cho trục Ox chạy dọc theo kích thước tổng thể dưới cùng và trục Oy chạy dọc theo kích thước tổng thể ngoài cùng bên trái.
Chúng ta chia một hình phức tạp thành một số lượng tối thiểu các hình đơn giản:
hình chữ nhật 20x10;
tam giác 15x10;
đường tròn R=3 cm.
Chúng tôi tính diện tích của mỗi hình đơn giản và tọa độ trọng tâm của nó. Kết quả tính toán được nhập vào bảng
|
Hình số |
Diện tích hình A, |
Tọa độ trọng tâm |
|
|
| |||
Trả lời: C(14,5; 4,5)
Ví dụ 2
.
Xác định tọa độ trọng tâm của mặt cắt liên hợp gồm tấm và phần cán. 
Giải pháp.
Ta chọn các trục tọa độ như hình vẽ.
Hãy chỉ định các số liệu bằng số và viết ra dữ liệu cần thiết từ bảng:
|
Hình số |
Diện tích hình A, |
Tọa độ trọng tâm |
|
|
|
|||
|
|
|||
Ta tính tọa độ trọng tâm của hình bằng các công thức:
Trả lời: C(0; 10)
Thí nghiệm số 1 “Xác định trọng tâm của các hình phẳng ghép”
Mục tiêu: Xác định trọng tâm của một hình phức phẳng đã cho bằng cách sử dụng các phương pháp thực nghiệm và phân tích rồi so sánh kết quả của chúng.
Trình tự công việc
Chia hình này thành số lượng tối thiểu các hình có trọng tâm mà chúng ta biết cách xác định.
Cho biết số diện tích và tọa độ trọng tâm của mỗi hình.
Tính tọa độ trọng tâm của mỗi hình.
Tính diện tích của mỗi hình.
Tính tọa độ trọng tâm của toàn bộ hình bằng các công thức (vị trí trọng tâm được vẽ trên hình vẽ):
Vẽ hình phẳng của bạn vào sổ tay theo kích thước, biểu thị các trục tọa độ.
Xác định trọng tâm bằng phương pháp phân tích.
Hệ thống lắp đặt thực nghiệm xác định tọa độ trọng tâm bằng phương pháp treo gồm một giá đỡ thẳng đứng 1
(xem hình) nơi gắn kim 2
. Hình phẳng 3
Được làm bằng bìa cứng, dễ đục lỗ. Hố MỘT
Và TRONG
đâm vào các điểm nằm ngẫu nhiên (tốt nhất là ở khoảng cách xa nhất với nhau). Một hình phẳng được treo trên một cây kim, lúc đầu ở một điểm MỘT
, và sau đó tại điểm TRONG
. Sử dụng dây dọi 4
, gắn vào cùng một chiếc kim, dùng bút chì vẽ một đường thẳng đứng trên hình tương ứng với sợi dây dọi. Trung tâm của lực hấp dẫn VỚI
hình sẽ nằm ở giao điểm của các đường thẳng đứng được vẽ khi treo hình tại các điểm MỘT
Và TRONG
.
6.1. Thông tin chung
Trung tâm lực lượng song song
Chúng ta hãy xem xét hai lực song song hướng theo một hướng và , tác dụng lên vật tại các điểm MỘT 1 và MỘT 2 (Hình.6.1). Hệ lực này có một hợp lực, đường tác dụng của nó đi qua một điểm nhất định VỚI. Vị trí điểm VỚI có thể được tìm thấy bằng định lý Varignon:
Nếu bạn xoay lực và gần các điểm MỘT 1 và MỘT 2 theo một hướng và cùng một góc, thì chúng ta có được một hệ thống mới gồm các sala song song có cùng mô-đun. Trong trường hợp này, kết quả của chúng cũng sẽ đi qua điểm VỚI. Điểm này được gọi là tâm của các lực song song.
Chúng ta hãy xem xét một hệ gồm các lực song song và có hướng giống hệt nhau tác dụng lên một vật rắn tại các điểm. Hệ thống này có một kết quả.
Nếu mỗi lực của hệ được quay gần các điểm ứng dụng của chúng theo cùng một hướng và cùng một góc, thì sẽ thu được các hệ mới gồm các lực song song có hướng giống hệt nhau với cùng mô-đun và điểm ứng dụng. Kết quả của các hệ thống như vậy sẽ có cùng mô đun R, nhưng mỗi lần một hướng khác nhau. Đã gấp sức mạnh của tôi F 1 và F 2 chúng tôi thấy rằng kết quả của họ R 1 luôn đi qua điểm VỚI 1, vị trí của nó được xác định bởi đẳng thức . Gấp thêm R 1 và F 3, chúng ta tìm được kết quả của chúng, sẽ luôn đi qua điểm VỚI 2 nằm trên một đường thẳng MỘT 3
VỚI 2. Sau khi hoàn thành quá trình cộng lực đến cùng, chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng hợp lực của mọi lực quả thực sẽ luôn đi qua cùng một điểm. VỚI, vị trí của nó so với các điểm sẽ không thay đổi.
chấm VỚI, qua đó đường tác dụng của hệ hợp lực song song đi qua bất kỳ chuyển động quay nào của các lực này gần các điểm tác dụng của chúng theo cùng một hướng và cùng một góc được gọi là tâm của các lực song song (Hình 6.2).
Hình.6.2
Hãy xác định tọa độ tâm của các lực song song. Vì vị trí của điểm VỚI so với vật không đổi thì tọa độ của nó không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ. Hãy quay tất cả các lực xung quanh ứng dụng của chúng sao cho chúng song song với trục OU và áp dụng định lý Varignon cho lực quay. Bởi vì R" là hợp lực của các lực này thì theo định lý Varignon ta có 
, bởi vì , , chúng tôi nhận được
Từ đây ta tìm được tọa độ tâm của các lực song song zc:
Để xác định tọa độ xc Hãy lập biểu thức mômen của lực đối với trục Oz.
Để xác định tọa độ y C hãy quay tất cả các lực sao cho chúng song song với trục Oz.
Vị trí của tâm các lực song song so với gốc tọa độ (Hình 6.2) có thể được xác định bằng vectơ bán kính của nó:
6.2. Trọng tâm của vật rắn
Trung tâm của lực hấp dẫn của một vật rắn là một điểm luôn gắn liền với vật đó VỚI, qua đó đường tác dụng của các hợp lực hấp dẫn của một vật thể nhất định đi qua, đối với bất kỳ vị trí nào của vật thể đó trong không gian.
Trọng tâm được sử dụng để nghiên cứu sự ổn định ở vị trí cân bằng của các vật thể và môi trường liên tục dưới tác dụng của trọng lực và trong một số trường hợp khác, đó là: trong độ bền của vật liệu và trong cơ học kết cấu - khi sử dụng quy tắc Vereshchagin.
Có hai cách để xác định trọng tâm của một vật: phân tích và thực nghiệm. Phương pháp phân tích để xác định trọng tâm trực tiếp xuất phát từ khái niệm tâm của các lực song song.
Tọa độ trọng tâm là tâm của các lực song song được xác định theo công thức:
Ở đâu R- trọng lượng toàn bộ cơ thể; pk- trọng lượng của các hạt cơ thể; xk, yk, zk- tọa độ của các hạt cơ thể.
Đối với một cơ thể đồng nhất, trọng lượng của toàn bộ cơ thể và bất kỳ bộ phận nào của nó đều tỷ lệ thuận với thể tích P=Vγ, pk =vk γ, Ở đâu γ
- Trọng lượng trên một đơn vị khối lượng, V.- khối lượng cơ thể. Biểu thức thay thế P, pk vào công thức xác định tọa độ trọng tâm và rút gọn theo hệ số chung γ
, chúng tôi nhận được:
chấm VỚI, có tọa độ được xác định bởi các công thức kết quả, được gọi là trọng tâm của khối lượng.
Nếu vật là một tấm mỏng đồng nhất thì trọng tâm được xác định theo công thức:
Ở đâu S- diện tích của toàn bộ tấm; sk- diện tích phần của nó; xk, ừ- tọa độ trọng tâm của các bộ phận tấm.
chấm VỚI trong trường hợp này nó được gọi là vùng trọng tâm.
Tử số của biểu thức xác định tọa độ trọng tâm của các hình phẳng được gọi với khoảnh khắc tĩnh của khu vực so với các trục Tại Và X:
Khi đó trọng tâm của diện tích có thể được xác định theo công thức:
Đối với các vật thể có chiều dài lớn hơn nhiều lần kích thước mặt cắt ngang, hãy xác định trọng tâm của đường thẳng. Tọa độ trọng tâm của đường thẳng được xác định theo công thức:
Ở đâu L- chiều dài dòng; lk- chiều dài các bộ phận của nó; xk, yk, zk- Tọa độ trọng tâm các phần của đường thẳng.
6.3. Phương pháp xác định tọa độ trọng tâm của vật thể
Dựa trên các công thức thu được, có thể đề xuất các phương pháp thực tế để xác định trọng tâm của các vật thể.
1. Đối diện. Nếu một vật có tâm đối xứng thì trọng tâm nằm ở tâm đối xứng.
Nếu vật có mặt phẳng đối xứng. Ví dụ mặt phẳng XOU thì trọng tâm nằm trong mặt phẳng này.
2. Tách. Đối với các vật thể bao gồm các vật thể có hình dạng đơn giản thì sử dụng phương pháp phân tách. Cơ thể được chia thành nhiều phần, trọng tâm được xác định bằng phương pháp đối xứng. Trọng tâm của toàn bộ cơ thể được xác định bằng công thức tính trọng tâm thể tích (diện tích).
Ví dụ. Xác định trọng tâm của tấm như hình vẽ bên dưới (Hình 6.3). Tấm có thể được chia thành các hình chữ nhật theo nhiều cách khác nhau và có thể xác định được tọa độ trọng tâm của mỗi hình chữ nhật và diện tích của chúng.
Hình.6.3
Trả lời: xc=17,0cm; yc=18,0cm.
3. Phép cộng. Phương pháp này là trường hợp đặc biệt của phương pháp phân vùng. Nó được sử dụng khi cơ thể có các vết cắt, lát cắt, v.v., nếu biết tọa độ trọng tâm của cơ thể không có vết cắt.
Ví dụ. Xác định trọng tâm của một tấm tròn có bán kính khoét r = 0,6 R(Hình 6.4).
Hình.6.4
Một tấm tròn có tâm đối xứng. Hãy đặt gốc tọa độ ở giữa tấm. Vùng tấm không có phần cắt, phần bị cắt. Đĩa vuông có lỗ khoét; .
Tấm có vết cắt có trục đối xứng О1 x, kể từ đây, y C=0.
4. Hội nhập. Nếu không thể chia cơ thể thành một số hữu hạn các bộ phận đã biết vị trí các trọng tâm thì cơ thể được chia thành các khối nhỏ tùy ý, công thức sử dụng phương pháp phân vùng có dạng: 
.
Sau đó, họ đi đến giới hạn, hướng các khối cơ bản về 0, tức là. khối lượng thu gọn thành điểm. Các tổng được thay thế bằng các tích phân mở rộng cho toàn bộ thể tích của vật thể, khi đó công thức xác định tọa độ trọng tâm của thể tích có dạng:
Công thức xác định tọa độ trọng tâm của một khu vực:
Tọa độ trọng tâm của khu vực phải được xác định khi nghiên cứu trạng thái cân bằng của các tấm, khi tính tích phân Mohr trong cơ học kết cấu.
Ví dụ. Xác định trọng tâm của cung tròn bán kính R với góc ở tâm AOB= 2α (Hình 6.5).
Cơm. 6,5
Cung của đường tròn đối xứng với trục Ồ, do đó trọng tâm của cung nằm trên trục Ồ, vâng = 0.
Theo công thức tính trọng tâm của đường thẳng:
6.Phương pháp thực nghiệm. Trọng tâm của các vật thể không đồng nhất có cấu hình phức tạp có thể được xác định bằng thực nghiệm: bằng phương pháp treo và cân. Phương pháp đầu tiên là treo cơ thể lên một sợi cáp ở nhiều điểm khác nhau. Hướng của sợi cáp mà cơ thể được treo trên đó sẽ cho biết hướng của trọng lực. Điểm giao nhau của các hướng này xác định trọng tâm của cơ thể.
Phương pháp cân trước tiên bao gồm việc xác định trọng lượng của một vật thể, chẳng hạn như một chiếc ô tô. Sau đó áp lực của trục sau của xe lên giá đỡ được xác định trên cân. Bằng cách lập phương trình cân bằng đối với một điểm, ví dụ như trục của bánh trước, bạn có thể tính khoảng cách từ trục này đến trọng tâm của ô tô (Hình 6.6).
Hình.6.6
Đôi khi, khi giải bài toán cần sử dụng đồng thời nhiều phương pháp khác nhau để xác định tọa độ trọng tâm.
6.4. Trọng tâm của một số hình hình học đơn giản
Để xác định trọng tâm của các vật thể có các hình thường gặp (tam giác, cung tròn, hình cung, đoạn thẳng) sử dụng số liệu tham khảo là thuận tiện (Bảng 6.1).
Bảng 6.1
Tọa độ trọng tâm của một số vật đồng nhất
|
№ |
Tên của hình |
Vẽ |
|
Cung của một vòng tròn: trọng tâm của cung tròn đều nằm trên trục đối xứng (tọa độ úc=0).
R- bán kính của đường tròn. |
|
|
|
Khu vực tròn đồng nhất úc=0).
trong đó α là một nửa góc ở tâm; R- bán kính của đường tròn. |
|
|
|
Bộ phận: trọng tâm nằm trên trục đối xứng (tọa độ úc=0). trong đó α là một nửa góc ở tâm; R- bán kính của đường tròn. |
|
|
|
Hình bán nguyệt:
|
|
|
|
Tam giác: Trọng tâm của một tam giác đồng nhất là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác đó. Ở đâu x1, y1, x2, y2, x3, y3- tọa độ các đỉnh của tam giác |
|
|
|
hình nón: Trọng tâm của một hình nón tròn đều nằm ở độ cao của nó và cách đáy hình nón một khoảng bằng 1/4 chiều cao.
|
Bài giảng 4. Trọng tâm.
Bài giảng này đề cập đến các vấn đề sau
1. Trọng tâm của vật rắn.
2. Tọa độ trọng tâm của các vật không đồng nhất.
3. Tọa độ trọng tâm của các vật thể đồng nhất.
4. Phương pháp xác định tọa độ trọng tâm.
5. Trọng tâm của một số vật đồng nhất.
Việc nghiên cứu những vấn đề này là cần thiết trong tương lai để nghiên cứu động lực học chuyển động của các vật có xét đến ma sát trượt và ma sát lăn, động lực học chuyển động của khối tâm của một hệ cơ học, mô men động học, để giải các bài toán trong môn học “Sức mạnh của vật liệu”.
Mang lại lực lượng song song.
Sau khi xét đến việc đưa một hệ phẳng và một hệ lực trong không gian tùy ý vào tâm, chúng ta lại quay lại xét trường hợp đặc biệt là hệ các lực song song.
Cho hai lực song song.
Trong quá trình xem xét một hệ lực như vậy, có thể xảy ra ba trường hợp quy giản sau đây.
1. Hệ hai lực thẳng hàng. Ta xét hệ gồm hai lực song song cùng hướng P Và Q, áp dụng tại các điểm MỘT Và TRONG. Chúng ta sẽ giả sử rằng các lực vuông góc với đoạn này (Hình 1, MỘT).
VỚI, thuộc đoạn AB và thỏa mãn điều kiện:
AC/ĐB = Q/P.(1)
Vectơ chính của hệ thống R C = P + Q có mô đun bằng tổng của các lực này: R C = P + Q.
VỚI tính đến (1) bằng 0:MC = P ∙ AC- Q∙ CB = 0.
Vì vậy, kết quả của việc casting chúng tôi đã nhận được: R C ≠ 0, MC= 0. Điều này có nghĩa là vectơ chính tương đương với kết quả đi qua tâm quy giản, nghĩa là:
Tổng hợp của các lực thẳng hàng có mô đun bằng tổng của chúng và đường tác dụng của nó chia đoạn nối các điểm tác dụng của chúng, tỷ lệ nghịch với mô đun của các lực này theo cách bên trong.
Chú ý rằng vị trí của điểm VỚI sẽ không thay đổi nếu các lực R Và Q rẽ một gócα. chấm VỚI, có tính chất này được gọi là tâm của các lực song song.
2. Hệ thống hai phản cộng tuyến và các lực có độ lớn không bằng nhau. Cầu mong sức mạnh P Và Q, áp dụng tại các điểm MỘT Và TRONG, song song, hướng ngược nhau và có độ lớn không bằng nhau (Hình 1, b).
Chúng ta hãy chọn một điểm làm trung tâm thu nhỏ VỚI, vẫn thỏa mãn hệ thức (1) và nằm trên cùng một đường thẳng nhưng nằm ngoài đoạn thẳng AB.
Vector chính của hệ thống này R C = P + Q mô đun bây giờ sẽ bằng hiệu giữa các mô đun của vectơ: R C = Q - P.
Điểm chính liên quan đến trung tâm VỚI vẫn bằng không:MC = P ∙ AC- Q∙ ĐB= 0, vậy
kết quả phản cộng tuyến và các lực không bằng nhau về độ lớn thì bằng độ chênh lệch của chúng, hướng về phía lực lớn hơn và đường tác dụng của nó chia đoạn nối các điểm tác dụng của chúng, tỷ lệ nghịch với mô đun bên ngoài của các lực này.
Hình 1
3. Hệ thống hai phản cộng tuyến và các lực có độ lớn bằng nhau. Hãy lấy trường hợp giảm trước đó làm trường hợp ban đầu. Hãy cố định lực lượng R, và sức mạnh Q chúng ta hãy hướng mô đun tới lực R.
Sau đó tại Q → R trong công thức (1) mối quan hệ AC/ĐB → 1. Điều này có nghĩa là AC → ĐB, tức là khoảng cách AC →∞ .
Trong trường hợp này, mô-đun của vectơ chính R C → 0 và mô đun của mô men chính không phụ thuộc vào vị trí tâm giảm và vẫn bằng giá trị ban đầu:
MC = P ∙ AC- Q∙ ĐB = P ∙ ( AC- ĐB) =P ∙ MỘTB.
Vì vậy, trong giới hạn, chúng ta đã thu được một hệ lực mà R C = 0, MC≠ 0 và tâm giảm được loại bỏ đến vô cùng, không thể thay thế bằng kết quả. Không khó để nhận ra một vài lực trong hệ này, vì vậy một cặp lực không có kết quả.
Tâm của hệ lực song song.
Hãy xem xét hệ thống N sức mạnh Số Pi, áp dụng tại các điểmA tôi (x tôi , ừ tôi , tôi) và song song với trụcov với orth tôi(Hình 2).
Nếu chúng ta loại trừ trước trường hợp một hệ tương đương với một cặp lực, thì dựa trên đoạn trước, sẽ không khó để chứng minh sự tồn tại hợp lực của nó.R.
Hãy xác định tọa độ tâmC(x c, y c, z c) các lực song song, nghĩa là tọa độ điểm đặt của hợp lực của hệ này.
Với mục đích này, chúng tôi sử dụng định lý Varignon, dựa trên đó:
M0 (R) = Σ M0(Số Pi).
Hình 2
Do đó, mômen vectơ của lực có thể được biểu diễn dưới dạng tích vectơ:
M 0 (R) = r c× R = Σ M0i(Số Pi) = Σ ( tôi× Số Pi ).
Xem xét rằng R = Rv ∙ tôi, MỘT Số Pi = P vi ∙ tôi và sử dụng các tính chất của tích vectơ, chúng ta có:
r c × Rv ∙ tôi = Σ ( tôi × P vi ∙ tôi),
r c ∙ R v× tôi = Σ ( tôi ∙ P vi × tôi) = Σ ( tôi ∙ P vi ) × tôi,
hoặc:
[ r c R v - Σ ( tôi P vi )] × tôi= 0.
Biểu thức cuối cùng chỉ hợp lệ nếu biểu thức trong ngoặc vuông bằng 0. Vì vậy, bỏ chỉ sốvvà có tính đến kết quả làR = Σ Số Pi , từ đây ta có:
r c = (Σ Số Pi tôi )/(Σ Số Pi ).
Chiếu đẳng thức vectơ cuối cùng lên trục tọa độ, ta thu được biểu thức cần tìm biểu thức tọa độ tâm của các lực song song:
x c = (Σ Số Pi x tôi)/(Σ Số Pi );
y C = (Σ Số Pi ừ tôi )/(Σ Số Pi );(2)
z c = (Σ Số Pi tôi )/(Σ Số Pi ).
Trọng tâm của vật thể.
Tọa độ trọng tâm của một vật thể đồng nhất.
Xét một vật rắn có trọng lượng P và khối lượng V. trong hệ tọa độ oxyz, các trục ở đâu x Và y nối với bề mặt trái đất và trục z nhắm tới đỉnh cao.
Nếu chúng ta chia cơ thể thành các phần cơ bản với khối lượng∆ V. Tôi , khi đó lực hấp dẫn sẽ tác dụng lên từng phần của nó∆ Số Pi, hướng vào tâm Trái Đất. Giả sử rằng kích thước của vật thể nhỏ hơn đáng kể so với kích thước của Trái đất, khi đó hệ lực tác dụng lên các bộ phận cơ bản của vật thể có thể được coi là không hội tụ mà song song (Hình 3), và tất cả các kết luận của chương trước có thể áp dụng được cho nó.
Hình 3
Sự định nghĩa . Trọng tâm của một vật rắn là trọng tâm của các lực hấp dẫn song song của các bộ phận cơ bản của vật rắn đó.
Hãy để chúng tôi nhắc nhở bạn rằng trọng lượng riêng của một bộ phận cơ bản của cơ thể được gọi là tỉ số trọng lượng của nó∆ Số Pi theo âm lượng ∆ V. Tôi : γ Tôi = ∆ Số Pi/ ∆ V. Tôi . Đối với một vật thể đồng nhất, giá trị này không đổi:γ Tôi = γ = P/ V..
Thay ∆ vào (2) Số Pi = γ Tôi ∙∆ V. Tôi thay vì Số Pi, xét đến nhận xét cuối cùng và giảm tử số và mẫu số đig, chúng tôi nhận được biểu thức tọa độ trọng tâm của một vật thể đồng nhất:
x c = (Σ ∆ V tôi∙ x tôi)/(Σ ∆ V tôi);
y C = (Σ ∆ V tôi∙ ừ tôi )/(Σ ∆ V tôi);(3)
z c = (Σ ∆ V tôi∙ tôi )/(Σ ∆ V tôi).
Một số định lý rất hữu ích trong việc xác định trọng tâm.
1) Nếu một vật đồng nhất có một mặt phẳng đối xứng thì trọng tâm của nó nằm trong mặt phẳng này.
Nếu các trục X Và Tại nằm trong mặt phẳng đối xứng này thì với mỗi điểm có tọa độ. Và tọa độ theo (3), sẽ bằng 0, vì Tổng cộng Tất cả các thành viên có dấu hiệu trái ngược nhau sẽ bị tiêu diệt theo cặp. Điều này có nghĩa là trọng tâm nằm trong mặt phẳng đối xứng.
2) Nếu một vật đồng nhất có một trục đối xứng thì trọng tâm của vật đó nằm trên trục này.
Thật vậy, trong trường hợp này, nếu trụczvẽ dọc theo trục đối xứng, cho mỗi điểm có tọa độbạn có thể tìm thấy một điểm có tọa độ và tọa độ và , được tính bằng công thức (3), sẽ bằng 0.
Định lý thứ ba được chứng minh theo cách tương tự.
3) Nếu một vật đồng nhất có tâm đối xứng thì trọng tâm của vật đó nằm ở điểm này.
Và một số ý kiến khác.
Đầu tiên. Nếu vật có thể được chia thành các phần đã biết khối lượng và vị trí của trọng tâm thì không cần xét đến từng điểm và trong công thức (3) Số Pi - được xác định bằng trọng lượng của phần tương ứng và- là tọa độ trọng tâm của nó.
Thứ hai. Nếu vật thể đồng nhất thì trọng lượng của từng bộ phận của nó, Ở đâu - trọng lượng riêng của vật liệu làm nên cơ thể, và V tôi - khối lượng của phần này của cơ thể. Và công thức (3) sẽ có dạng thuận tiện hơn. Ví dụ,
Và tương tự, ở đâu - khối lượng của toàn bộ cơ thể.
Lưu ý thứ ba. Để cơ thể có dạng tấm mỏng có diện tích F và độ dày t, nằm trên máy bay oxy. Thay thế vào (3)∆ V. Tôi =t ∙ ∆F Tôi , ta thu được tọa độ trọng tâm của một tấm đồng nhất:
x c = (Σ ∆ tôi∙ x tôi) / (Σ ∆ tôi);
y C = (Σ ∆ tôi∙ ừ tôi ) / (Σ ∆ tôi).
z c = (Σ ∆ tôi∙ z Tôi ) / (Σ ∆ tôi).
Ở đâu - tọa độ trọng tâm của từng tấm riêng lẻ;- Tổng diện tích cơ thể.
Lưu ý thứ tư. Đối với vật thể ở dạng thanh cong mỏng có chiều dài L với diện tích mặt cắt ngang Một khối lượng cơ bản∆ V. Tôi = Một ∙∆ L Tôi , Đó là lý do tại sao tọa độ trọng tâm của một thanh cong mỏng sẽ bằng nhau:
x c = (Σ ∆ tôi∙ x tôi)/(Σ ∆ tôi);
y C = (Σ ∆ tôi∙ ừ tôi )/(Σ ∆ tôi);(4)
z c = (Σ ∆ tôi∙ tôi )/(Σ ∆ tôi).
Ở đâu - tọa độ trọng tâmTôi-phần thứ; .
Lưu ý rằng, theo định nghĩa, trọng tâm là một điểm hình học; nó cũng có thể nằm ngoài ranh giới của một vật thể nhất định (ví dụ: đối với một chiếc nhẫn).
Ghi chú.
Trong phần này của khóa học, chúng ta không phân biệt giữa trọng lực, trọng lực và trọng lượng cơ thể. Trong thực tế, trọng lực là sự chênh lệch giữa lực hấp dẫn của Trái đất và lực ly tâm do chuyển động quay của nó gây ra.
Tọa độ trọng tâm của các vật không đồng nhất.
Tọa độ trọng tâm chất rắn không đồng nhất(Hình 4) trong hệ quy chiếu đã chọn được xác định như sau:
Hình 4
Ở đâu - trọng lượng trên một đơn vị thể tích của cơ thể (trọng lượng riêng)
- trọng lượng toàn cơ thể.
bề mặt không đồng nhất(Hình 5), khi đó tọa độ trọng tâm trong hệ quy chiếu đã chọn được xác định như sau:
Hình 5
Ở đâu - trọng lượng trên một đơn vị diện tích cơ thể,
- trọng lượng toàn cơ thể.
Nếu chất rắn là dòng không đồng nhất(Hình 6), khi đó tọa độ trọng tâm trong hệ quy chiếu đã chọn được xác định như sau:
Hình 6
Ở đâu - trọng lượng trên mỗi chiều dài cơ thể,
Trọng lượng toàn cơ thể.
Các phương pháp xác định tọa độ trọng tâm.
Dựa vào các công thức tổng quát thu được ở trên có thể chỉ ra các phương pháp cụ thể xác định tọa độ trọng tâm của các vật thể.
1. Đối diện. Nếu một vật thể đồng nhất có một mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng (Hình 7), thì trọng tâm của nó lần lượt nằm trong mặt phẳng đối xứng, trục đối xứng hoặc tâm đối xứng.
Hình 7
2. Chia tách. Cơ thể được chia thành một số phần hữu hạn (Hình 8), mỗi phần đều biết vị trí của trọng tâm và diện tích.
Hình 8
S =S 1 +S 2.
3.Phương pháp diện tích âm. Trường hợp đặc biệt của phương pháp phân vùng (Hình 9). Nó áp dụng cho các vật thể có vết cắt nếu biết trọng tâm của vật thể không có vết cắt và phần bị cắt. Phần thân ở dạng tấm có phần khoét được thể hiện bằng sự kết hợp của tấm liền khối (không có phần khoét) với diện tích S 1 và diện tích phần cắt S2.
Hình 9
S = S 1 - S 2.
4.Phương pháp phân nhóm. Nó là sự bổ sung tốt cho hai phương pháp cuối cùng. Sau khi chia hình thành các phần tử thành phần của nó, sẽ thuận tiện hơn khi kết hợp lại một số trong số chúng để đơn giản hóa lời giải bằng cách tính đến tính đối xứng của nhóm này.
Trọng tâm của một số vật thể đồng nhất.
1) Trọng tâm của một cung tròn. Hãy xem xét vòng cung AB bán kínhR với góc ở tâm. Do tính đối xứng nên trọng tâm của cung này nằm trên trụcCon bò đực(Hình 10).
Hình 10
Hãy tìm tọa độ theo công thức . Để thực hiện việc này, hãy chọn trên cung AB yếu tố MM ’ chiều dài, vị trí của nó được xác định bởi góc. Điều phối X yếu tố MM' sẽ. Thay thế các giá trị này X Và d tôi và lưu ý rằng tích phân phải được kéo dài trên toàn bộ chiều dài của cung, chúng ta thu được:
trong đó L là độ dài cung AB, bằng .
Từ đây cuối cùng chúng ta thấy rằng trọng tâm của một cung tròn nằm trên trục đối xứng của nó và cách tâm một khoảngồ bằng nhau
góc ở đâu đo bằng radian.
2) Trọng tâm của diện tích tam giác. Xét một tam giác nằm trong mặt phẳng oxy, tọa độ các đỉnh của nó đã biết: A tôi (x tôi,ừ tôi ), (Tôi= 1,2,3). Chia hình tam giác thành các dải hẹp song song với một cạnh MỘT 1 MỘT 2, ta đi đến kết luận trọng tâm của tam giác phải thuộc đường trung tuyến MỘT 3 M 3 (Hình 11).
Hình 11
Chia hình tam giác thành các dải song song với một cạnh MỘT 2 MỘT 3, chúng ta có thể xác minh rằng nó phải nằm trên đường trung tuyến MỘT 1 M 1 . Như vậy, trọng tâm của tam giác nằm tại giao điểm các đường trung tuyến của tam giác đó, như đã biết, tách phần thứ ba khỏi mỗi đường trung tuyến, tính từ phía tương ứng.
Đặc biệt, đối với trung vị MỘT 1 M 1 chúng ta thu được, có tính đến tọa độ của điểm M 1 - đây là giá trị trung bình số học của tọa độ các đỉnh MỘT 2 và MỘT 3 :
x c = x 1 + (2/3) ∙ (xM 1 - x 1 ) = x 1 + (2/3) ∙ [(x 2 + x 3 )/2 - x 1 ] = (x 1 + x 2 + x 3 )/3.
Do đó, tọa độ trọng tâm của tam giác là trung bình số học của tọa độ các đỉnh của nó:
x c =(1/3) Σ x tôi ; y c =(1/3) Σ ừ tôi .
3) Trọng tâm của diện tích hình tròn. Xét một cung của hình tròn có bán kính R với góc ở tâm 2α , nằm đối xứng quanh trục Con bò đực (Hình 12) .
Hiển nhiên là y c = 0, và khoảng cách từ tâm đường tròn mà phần này được cắt đến trọng tâm của nó có thể được xác định bằng công thức:
Hình 12
Cách dễ nhất để tính tích phân này là chia miền tích phân thành các phần cơ bản có một góc dφ . Chính xác đến mức vô cùng nhỏ của bậc một, một hình vuông như vậy có thể được thay thế bằng một hình tam giác có đáy bằng R × dφ và chiều cao R. Diện tích của một hình tam giác như vậy dF =(1/2)R 2 ∙ dφ , và trọng tâm của nó ở khoảng cách 2/3 R từ đỉnh, do đó trong (5) chúng ta đặt x = (2/3)R∙ cosφ. Thay thế vào (5) F= α R 2, chúng tôi nhận được:
Sử dụng công thức cuối cùng, chúng tôi tính toán, cụ thể là khoảng cách đến trọng tâm hình bán nguyệt.
Thay α = π /2 vào (2), ta thu được: x c = (4 R)/(3π) ≅ 0,4 R .
Ví dụ 1.Hãy xác định trọng tâm của vật thể đồng nhất như trên hình 2. 13.
Hình 13
Giải pháp.Cơ thể đồng nhất, bao gồm hai phần có hình dạng đối xứng. Tọa độ trọng tâm của chúng:
Khối lượng của họ:
Do đó, tọa độ trọng tâm của cơ thể
Ví dụ 2. Chúng ta hãy tìm trọng tâm của một tấm bị uốn cong một góc vuông. Kích thước có trong bản vẽ (Hình 14).
Hình 14
Giải pháp. Tọa độ các trọng tâm:
0.
Khu vực:
Đó là lý do tại sao:
Ví dụ 3.
Trên một tờ vuông
cắt lỗ vuông cm
cm (Hình 15). Hãy tìm trọng tâm của tấm. Ví dụ 4. Tìm vị trí trọng tâm của tấm như hình vẽ. 16. Kích thước được tính bằng cm.
Hình 16
Giải pháp. Hãy chia tấm thành các hình (Hình 17), trung tâm mức độ nghiêm trọng của nó đã được biết đến.
Diện tích của các hình này và tọa độ trọng tâm của chúng:
1) một hình chữ nhật có cạnh 30 và 40 cm,S 1 =30 ∙ 40=1200 cm 2 ; x 1=15 cm; Tại 1 = 20 cm.
2) một tam giác vuông có đáy là 50 cm và chiều cao là 40 cm;S 2 =0,5 ∙ 50 ∙ 40= 1000 cm 2 ; X 2 =30+50/3=46,7 cm; y 2 =40/3 =13,3 cm;
3) nửa đường tròn bán kính đường tròn r = 20 cm;S 3 =0,5 ∙π∙ 20 2 = 628 cm 2 ; X 3 =4 R /3 π =8,5 cm; Tại
Giải pháp. Hãy nhớ lại rằng trong vật lý mật độ của một vậtρ và trọng lượng riêng của nógcó liên hệ với nhau bởi quan hệ:γ = ρ g , Ở đâug - Gia tốc trọng lực. Để tìm khối lượng của một vật thể đồng nhất như vậy, bạn cần nhân mật độ với thể tích của nó.
Hình 19
Thuật ngữ mật độ “tuyến tính” hay “tuyến tính” có nghĩa là để xác định khối lượng của một thanh giàn, mật độ tuyến tính phải được nhân với chiều dài của thanh này.
Để giải quyết vấn đề, bạn có thể sử dụng phương pháp phân vùng. Biểu diễn một giàn nhất định dưới dạng tổng của 6 thanh riêng lẻ, chúng ta thu được:
Ở đâutôi chiều dàiTôi thanh giàn thứ, vàx tôi , ừ tôi - tọa độ trọng tâm của nó.
Giải pháp cho vấn đề này có thể được đơn giản hóa bằng cách nhóm 5 thanh cuối cùng của giàn. Dễ dàng nhận thấy chúng tạo thành một hình có tâm đối xứng nằm ở giữa thanh thứ tư, nơi đặt trọng tâm của nhóm thanh này.
Do đó, một giàn nhất định có thể được biểu diễn bằng sự kết hợp của chỉ hai nhóm thanh.
Nhóm đầu tiên bao gồm thanh đầu tiên, vì nóL 1 = 4m,x 1 = 0m,y 1 = 2 m. Nhóm thanh thứ hai gồm có năm thanh, vì nóL 2 = 20m,x 2 = 3m,y 2 = 2m.
Tọa độ trọng tâm của giàn được xác định theo công thức:
x c = (L 1 ∙ x 1 + L 2 ∙ x 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;
y c = (L 1 ∙ y 1 + L 2 ∙ y 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.
Lưu ý rằng trung tâm VỚI nằm trên đường thẳng nối VỚI 1 và VỚI 2 và chia đoạn VỚI 1 VỚI 2 về: VỚI 1 VỚI/SS 2 = (x c - x 1 )/(x 2 - x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.
Câu hỏi tự kiểm tra
- Thế nào gọi là tâm của các lực song song?
- Tọa độ tâm của các lực song song được xác định như thế nào?
- Làm thế nào để xác định tâm của các lực song song có hợp lực bằng 0?
- Tâm lực song song có những tính chất gì?
- Sử dụng công thức nào để tính tọa độ tâm của các lực song song?
- Trọng tâm của vật gọi là gì?
- Tại sao có thể coi lực hấp dẫn của Trái đất tác dụng lên một điểm trên vật thể là hệ các lực song song?
- Viết công thức xác định vị trí trọng tâm của các vật không đồng nhất và đồng nhất, công thức xác định vị trí trọng tâm của mặt cắt phẳng?
- Viết công thức xác định vị trí trọng tâm của các hình hình học đơn giản: hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang và nửa hình tròn?
- Thế nào gọi là mômen tĩnh của diện tích?
- Cho ví dụ về vật có trọng tâm nằm ngoài vật.
- Tính chất đối xứng được sử dụng như thế nào để xác định trọng tâm của các vật thể?
- Bản chất của phương pháp trọng số âm là gì?
- Trọng tâm của cung tròn nằm ở đâu?
- Có thể sử dụng đồ họa nào để tìm trọng tâm của tam giác?
- Viết công thức xác định trọng tâm của hình tròn.
- Sử dụng các công thức xác định trọng tâm của hình tam giác và hình tròn, rút ra công thức tương tự cho hình tròn.
- Sử dụng công thức nào để tính tọa độ trọng tâm của các vật đồng nhất, hình phẳng, đường thẳng?
- Cái gì gọi là mô men tĩnh của diện tích hình phẳng so với trục, nó được tính như thế nào và có kích thước như thế nào?
- Làm thế nào để xác định vị trí trọng tâm của một khu vực nếu biết vị trí trọng tâm của các bộ phận riêng lẻ của nó?
- Những định lý bổ trợ nào được sử dụng để xác định vị trí của trọng tâm?