Các phương trình lượng giác đơn giản nhất thường được giải bằng cách sử dụng các công thức. Hãy để tôi nhắc bạn rằng các phương trình lượng giác đơn giản nhất là:
sinx = một
cosx = một
tgx = một
ctgx = một
x là góc cần tìm
a là bất kỳ số nào
Và đây là những công thức mà bạn có thể viết ngay nghiệm của các phương trình đơn giản nhất này.
Đối với sin:
Đối với cosin:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Đối với tiếp tuyến:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Đối với cotang:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Thực ra đây là phần lý thuyết để giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất. Hơn nữa, tất cả mọi thứ!) Không có gì cả. Tuy nhiên, số lượng lỗi về chủ đề này chỉ đơn giản là nằm ngoài bảng xếp hạng. Đặc biệt nếu ví dụ hơi khác so với mẫu. Tại sao?
Đúng, bởi vì có rất nhiều người viết ra những bức thư này, mà không hiểu ý nghĩa của chúng chút nào! Anh ấy viết ra một cách thận trọng, kẻo có chuyện gì xảy ra...) Việc này cần phải được giải quyết. Rốt cuộc thì lượng giác dành cho con người, hay con người dành cho lượng giác mà!?)
Chúng ta hãy tìm ra nó?
Một góc sẽ bằng arccos a, thứ hai: -arccos a.
Và nó sẽ luôn diễn ra theo cách này.Đối với bất kỳ MỘT.
Nếu bạn không tin tôi, hãy di chuột qua ảnh hoặc chạm vào ảnh trên máy tính bảng của bạn.) Tôi đã thay đổi số MỘT đến điều gì đó tiêu cực. Dù sao thì chúng ta cũng có một góc arccos a, thứ hai: -arccos a.
Do đó, câu trả lời luôn có thể được viết dưới dạng hai chuỗi gốc:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Hãy kết hợp hai chuỗi này thành một:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Và đó là tất cả. Chúng ta đã thu được công thức tổng quát để giải phương trình lượng giác đơn giản nhất với cosin.
Nếu bạn hiểu rằng đây không phải là một loại trí tuệ siêu khoa học nào đó, mà là chỉ là phiên bản rút gọn của hai loạt câu trả lời, Bạn cũng sẽ có thể xử lý các nhiệm vụ “C”. Với những bất đẳng thức, với việc chọn các nghiệm từ một khoảng nhất định... Ở đó, câu trả lời bằng dấu cộng/trừ không có tác dụng. Nhưng nếu bạn xử lý câu trả lời theo cách chuyên nghiệp và chia nó thành hai câu trả lời riêng biệt thì mọi thứ sẽ được giải quyết.) Thực ra, đó là lý do tại sao chúng tôi đang xem xét vấn đề đó. Cái gì, như thế nào và ở đâu.
Trong phương trình lượng giác đơn giản nhất
sinx = một
chúng tôi cũng nhận được hai loạt rễ. Luôn luôn. Và hai chuỗi này cũng có thể được ghi lại trong một dòng. Chỉ có dòng này sẽ phức tạp hơn:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Nhưng bản chất vẫn như cũ. Các nhà toán học chỉ đơn giản là thiết kế một công thức để tạo ra một phần tử thay vì hai phần tử cho chuỗi nghiệm. Thế thôi!
Hãy kiểm tra các nhà toán học? Và bạn không bao giờ biết...)
Trong bài học trước, cách giải (không có công thức) của phương trình lượng giác với sin đã được thảo luận chi tiết:
Câu trả lời dẫn đến hai chuỗi gốc:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Nếu chúng ta giải phương trình tương tự bằng công thức, chúng ta sẽ nhận được câu trả lời:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Thực ra đây là câu trả lời chưa hoàn chỉnh.) Học sinh phải biết rằng arcsin 0,5 = π /6. Câu trả lời đầy đủ sẽ là:
x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z
Điều này đặt ra một câu hỏi thú vị. Trả lời qua x 1; x 2 (đây là câu trả lời đúng!) và thông qua sự cô đơn X (và đây là câu trả lời đúng!) - chúng có giống nhau hay không? Chúng ta sẽ tìm hiểu ngay bây giờ.)
Chúng tôi thay thế câu trả lời bằng x 1 giá trị N =0; 1; 2; v.v., chúng tôi đếm, chúng tôi nhận được một loạt các gốc:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 và vân vân.
Với sự thay thế tương tự để đáp ứng với x 2 , chúng tôi nhận được:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 và vân vân.
Bây giờ hãy thay thế các giá trị N (0; 1; 2; 3; 4...) vào công thức chung cho đơn X . Nghĩa là, chúng ta tăng âm một lên lũy thừa 0, sau đó lên lũy thừa thứ nhất, thứ hai, v.v. Vâng, tất nhiên, chúng ta thay 0 vào số hạng thứ hai; 1; 2 3; 4, v.v. Và chúng tôi đếm. Chúng tôi nhận được chuỗi:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 và vân vân.
Đó là tất cả những gì bạn có thể thấy.) Công thức tổng quát cho ta kết quả hoàn toàn giống nhau cũng như hai câu trả lời riêng biệt. Chỉ cần mọi thứ cùng một lúc, theo thứ tự. Các nhà toán học đã không bị lừa.)
Các công thức giải phương trình lượng giác với tiếp tuyến và cotang cũng có thể được kiểm tra. Nhưng chúng tôi sẽ không làm vậy.) Chúng vốn đã đơn giản rồi.
Tôi đã viết ra tất cả sự thay thế này và kiểm tra cụ thể. Ở đây điều quan trọng là phải hiểu một điều đơn giản: có các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản, chỉ là một bản tóm tắt ngắn gọn của các câu trả lời.Để ngắn gọn hơn, chúng ta phải chèn cộng/trừ vào nghiệm cosine và (-1) n vào nghiệm sin.
Những phần chèn này không can thiệp vào bất kỳ cách nào trong các nhiệm vụ mà bạn chỉ cần viết ra câu trả lời cho một phương trình cơ bản. Nhưng nếu bạn cần giải một bất đẳng thức, hoặc sau đó bạn cần làm gì đó với câu trả lời: chọn nghiệm trên một khoảng, kiểm tra ODZ, v.v., thì những phép chèn này có thể dễ dàng khiến một người lo lắng.
Vậy tôi nên làm gì? Có, viết câu trả lời thành hai chuỗi hoặc giải phương trình/bất phương trình bằng cách sử dụng vòng tròn lượng giác. Sau đó, những phần chèn thêm này biến mất và cuộc sống trở nên dễ dàng hơn.)
Chúng ta có thể tóm tắt.
Để giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất, có sẵn các công thức trả lời. Bốn mảnh. Chúng rất hữu ích cho việc viết ngay nghiệm của một phương trình. Ví dụ: bạn cần giải các phương trình:
sinx = 0,3
Một cách dễ dàng: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Không có gì: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Một cách dễ dàng: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Một bên trái: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Nếu bạn, tỏa sáng với kiến thức, viết ngay câu trả lời:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
thì bạn đã tỏa sáng rồi, đây là... kia... từ một vũng nước.) Câu trả lời đúng: không có giải pháp nào Không hiểu tại sao? Đọc cung cosin là gì. Ngoài ra, nếu ở vế phải của phương trình ban đầu có các giá trị dạng bảng của sin, cos, tang, cotang, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 vân vân. - câu trả lời qua các vòm sẽ còn dang dở. Arches phải được chuyển đổi thành radian.
Và nếu bạn gặp phải sự bất bình đẳng, như
thì câu trả lời là:
x πn, n ∈ Z
hiếm khi có chuyện vô nghĩa, vâng...) Ở đây bạn cần giải bằng cách sử dụng vòng tròn lượng giác. Chúng ta sẽ làm gì trong chủ đề tương ứng.
Dành cho những ai đã dũng cảm đọc những dòng này. Tôi chỉ đơn giản là không thể không đánh giá cao những nỗ lực to lớn của bạn. Phần thưởng cho bạn.)
Thưởng:
Khi viết ra các công thức trong tình huống chiến đấu đáng báo động, ngay cả những người dày dạn kinh nghiệm cũng thường bối rối không biết nên viết ở đâu. πn, và ở đâu 2π n. Đây là một thủ thuật đơn giản dành cho bạn. TRONG mọi người công thức có giá trị πn. Ngoại trừ công thức duy nhất có cung cosine. Nó đang đứng đó 2πn. Hai peen. Từ khóa - hai. Trong cùng công thức này có hai ký lúc đầu. Cộng và trừ. Và ở đó, và ở đó - hai.
Vì vậy nếu bạn viết hai dấu trước cung cosin, sẽ dễ nhớ hơn những gì sẽ xảy ra ở cuối hai peen. Và nó cũng xảy ra theo cách khác. Người đó sẽ bỏ lỡ dấu hiệu ± , đến cuối, viết đúng hai Pien, và anh ấy sẽ tỉnh táo lại. Có điều gì đó ở phía trước hai dấu hiệu! Người đó sẽ quay lại từ đầu và sửa lỗi! Như thế này.)
Nếu bạn thích trang web này...
Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)
Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.
Khi giải quyết nhiều vấn đề toán học, đặc biệt là những việc xảy ra trước lớp 10, thứ tự các hành động thực hiện để đạt được mục tiêu được xác định rõ ràng. Những vấn đề như vậy bao gồm, ví dụ, phương trình tuyến tính và bậc hai, bất đẳng thức tuyến tính và bậc hai, phương trình phân số và phương trình rút gọn thành phương trình bậc hai. Nguyên tắc giải quyết thành công từng vấn đề nêu trên như sau: bạn cần xác định loại vấn đề bạn đang giải quyết, ghi nhớ chuỗi hành động cần thiết sẽ dẫn đến kết quả mong muốn, tức là. trả lời và làm theo các bước sau.
Rõ ràng là thành công hay thất bại trong việc giải một bài toán cụ thể phụ thuộc chủ yếu vào mức độ xác định chính xác của loại phương trình đang được giải, trình tự của tất cả các giai đoạn của lời giải của nó được tái tạo chính xác như thế nào. Tất nhiên, trong trường hợp này cần phải có kỹ năng thực hiện các phép biến đổi và tính toán giống hệt nhau.
Tình hình lại khác với phương trình lượng giác. Hoàn toàn không khó để chứng minh rằng phương trình này là lượng giác. Khó khăn nảy sinh khi xác định chuỗi hành động sẽ dẫn đến câu trả lời đúng.
Đôi khi rất khó để xác định loại của nó dựa trên sự xuất hiện của một phương trình. Và nếu không biết loại phương trình thì gần như không thể chọn được phương trình đúng trong số hàng chục công thức lượng giác.
Để giải một phương trình lượng giác, bạn cần thử:
1. đưa tất cả các hàm số có trong phương trình về “các góc giống nhau”;
2. đưa phương trình về “các hàm giống nhau”;
3. phân tích vế trái của phương trình, v.v.
Hãy xem xét các phương pháp cơ bản để giải phương trình lượng giác.
I. Rút gọn về phương trình lượng giác đơn giản nhất
Sơ đồ giải pháp
Bước 1. Biểu diễn hàm lượng giác theo các thành phần đã biết.
Bước 2. Tìm đối số của hàm bằng các công thức:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n cungsin a + πn, n Є Z.
tân x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Bước 3. Tìm biến chưa biết.
Ví dụ.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Giải pháp.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Đáp án: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Thay thế biến
Sơ đồ giải pháp
Bước 1. Chuyển phương trình về dạng đại số đối với một trong các hàm lượng giác.
Bước 2. Biểu thị hàm kết quả bằng biến t (nếu cần, đưa ra các hạn chế đối với t).
Bước 3. Viết và giải phương trình đại số thu được.
Bước 4. Thực hiện thay thế ngược lại.
Bước 5. Giải phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Ví dụ.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Giải pháp.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Đặt sin (x/2) = t, trong đó |t| 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 hoặc e = -3/2, không thỏa mãn điều kiện |t| 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Đáp án: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Phương pháp giảm bậc phương trình
Sơ đồ giải pháp
Bước 1. Thay thế phương trình này bằng phương trình tuyến tính, sử dụng công thức giảm độ:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Bước 2. Giải phương trình thu được bằng phương pháp I và II.
Ví dụ.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Giải pháp.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Đáp án: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. phương trình thuần nhất
Sơ đồ giải pháp
Bước 1. Rút gọn phương trình này về dạng
a) a sin x + b cos x = 0 (phương trình thuần nhất bậc một)
hoặc để xem
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (phương trình thuần nhất bậc hai).
Bước 2. Chia cả hai vế của phương trình cho
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
và nhận được phương trình tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Bước 3. Giải phương trình bằng các phương pháp đã biết.
Ví dụ.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Giải pháp.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Cho tg x = t thì
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 hoặc t = -4, nghĩa là
tg x = 1 hoặc tg x = -4.
Từ phương trình đầu tiên x = π/4 + πn, n Є Z; từ phương trình thứ hai x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Đáp án: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Phương pháp biến đổi phương trình bằng công thức lượng giác
Sơ đồ giải pháp
Bước 1. Sử dụng tất cả các công thức lượng giác có thể, rút gọn phương trình này thành phương trình giải được bằng các phương pháp I, II, III, IV.
Bước 2. Giải phương trình thu được bằng các phương pháp đã biết.
Ví dụ.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Giải pháp.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) tội lỗi 2x(2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 hoặc 2cos x + 1 = 0;
Từ phương trình đầu tiên 2x = π/2 + πn, n Є Z; từ phương trình thứ hai cos x = -1/2.
Ta có x = π/4 + πn/2, n Є Z; từ phương trình thứ hai x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Kết quả là x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Đáp án: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Khả năng và kỹ năng giải các phương trình lượng giác là rất 
quan trọng là sự phát triển của các em đòi hỏi nỗ lực đáng kể của cả học sinh và giáo viên.
Nhiều bài toán lập thể, vật lý, v.v. gắn liền với việc giải các phương trình lượng giác. Quá trình giải các bài toán đó bao gồm nhiều kiến thức và kỹ năng thu được khi nghiên cứu các phần tử lượng giác.
Các phương trình lượng giác chiếm một vị trí quan trọng trong quá trình học toán và phát triển nhân cách nói chung.
Vẫn còn thắc mắc? Bạn không biết cách giải phương trình lượng giác?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!
blog.site, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn gốc.
Bạn có thể yêu cầu một giải pháp chi tiết cho vấn đề của mình!!!
Một đẳng thức chứa ẩn số dưới dấu của hàm lượng giác (`sin x, cos x, tan x` hoặc `ctg x`) được gọi là phương trình lượng giác và chúng ta sẽ xem xét thêm các công thức của chúng.
Các phương trình đơn giản nhất là `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, trong đó `x` là góc cần tìm, `a` là số bất kỳ. Hãy để chúng tôi viết ra các công thức gốc cho mỗi người trong số họ.
1. Phương trình `sin x=a`.
Đối với `|a|>1` nó không có giải pháp.
Khi `|a| \leq 1` có vô số nghiệm.
Công thức gốc: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Phương trình `cos x=a`
Đối với `|a|>1` - như trong trường hợp sin, nó không có nghiệm giữa các số thực.
Khi `|a| \leq 1` có vô số nghiệm.
Công thức gốc: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Các trường hợp đặc biệt của sin và cosin trong đồ thị. 
3. Phương trình `tg x=a`
Có vô số nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của `a`.
Công thức gốc: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Phương trình `ctg x=a`
Cũng có vô số nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của `a`.
Công thức gốc: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Công thức nghiệm của phương trình lượng giác trong bảng
Đối với sin: 
Đối với cosin: 
Đối với tiếp tuyến và côtang: 
Công thức giải phương trình chứa hàm lượng giác nghịch đảo:
Các phương pháp giải phương trình lượng giác
Giải bất kỳ phương trình lượng giác nào bao gồm hai giai đoạn:
- với sự trợ giúp của việc chuyển đổi nó thành đơn giản nhất;
- giải phương trình đơn giản nhất thu được bằng cách sử dụng các công thức gốc và bảng viết ở trên.
Hãy xem xét các phương pháp giải pháp chính bằng cách sử dụng các ví dụ.
Phương pháp đại số.
Phương pháp này liên quan đến việc thay thế một biến và thay thế nó thành một đẳng thức.
Ví dụ. Giải phương trình: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
thực hiện thay thế: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, sau đó `2y^2-3y+1=0`,
chúng ta tìm nghiệm: `y_1=1, y_2=1/2`, từ đó có hai trường hợp xảy ra:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Trả lời: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Nhân tố hóa.
Ví dụ. Giải phương trình: `sin x+cos x=1`.
Giải pháp. Hãy di chuyển tất cả các số hạng của đẳng thức sang trái: `sin x+cos x-1=0`. Sử dụng , chúng ta biến đổi và phân tích vế trái:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Trả lời: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Giảm thành một phương trình đồng nhất
Trước tiên, bạn cần rút gọn phương trình lượng giác này về một trong hai dạng:
`a sin x+b cos x=0` (phương trình thuần nhất bậc một) hoặc `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (phương trình thuần nhất bậc hai).
Sau đó chia cả hai phần cho `cos x \ne 0` - cho trường hợp đầu tiên và cho `cos^2 x \ne 0` - cho trường hợp thứ hai. Chúng ta thu được các phương trình cho `tg x`: `a tg x+b=0` và `a tg^2 x + b tg x +c =0`, cần được giải bằng các phương pháp đã biết.
Ví dụ. Giải phương trình: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Giải pháp. Hãy viết vế phải là `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Đây là một phương trình lượng giác đồng nhất bậc hai, ta chia vế trái và vế phải cho `cos^2 x \ne 0`, ta được:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hãy giới thiệu phép thay thế `tg x=t`, dẫn đến `t^2 + t - 2=0`. Các nghiệm của phương trình này là `t_1=-2` và `t_2=1`. Sau đó:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Trả lời. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Di chuyển đến nửa góc
Ví dụ. Giải phương trình: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Giải pháp. Hãy áp dụng các công thức về góc đôi, thu được: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Áp dụng phương pháp đại số mô tả ở trên, chúng ta thu được:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Trả lời. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Giới thiệu góc phụ
Trong phương trình lượng giác `a sin x + b cos x =c`, trong đó a,b,c là các hệ số và x là một biến, hãy chia cả hai vế cho `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Các hệ số ở vế trái có tính chất của sin và cos, cụ thể là tổng bình phương của chúng bằng 1 và mô đun của chúng không lớn hơn 1. Chúng ta ký hiệu chúng như sau: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, thì:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn ví dụ sau:
Ví dụ. Giải phương trình: `3 sin x+4 cos x=2`.
Giải pháp. Chia cả hai vế của đẳng thức cho `sqrt (3^2+4^2)`, ta được:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Hãy biểu thị `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Vì `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, nên chúng ta lấy `\varphi=arcsin 4/5` làm góc phụ. Sau đó, chúng tôi viết đẳng thức của chúng tôi dưới dạng:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Áp dụng công thức tính tổng các góc của sin, chúng ta viết đẳng thức của chúng ta dưới dạng sau:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Trả lời. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Phương trình lượng giác hữu tỉ phân số
Đây là các đẳng thức có phân số có tử số và mẫu số chứa hàm lượng giác.
Ví dụ. Giải phương trình. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Giải pháp. Nhân và chia vế phải của đẳng thức cho `(1+cos x)`. Kết quả là chúng tôi nhận được:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Xét rằng mẫu số không thể bằng 0 nên ta được `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Hãy đánh đồng tử số của phân số bằng 0: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Khi đó `sin x=0` hoặc `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Cho rằng ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, các nghiệm là `x=2\pi n, n \in Z` và `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Trả lời. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Lượng giác và phương trình lượng giác nói riêng được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực hình học, vật lý và kỹ thuật. Việc học bắt đầu từ lớp 10, luôn có bài tập cho Kỳ thi Thống nhất, vì vậy hãy cố gắng ghi nhớ tất cả các công thức của phương trình lượng giác - chúng chắc chắn sẽ hữu ích cho bạn!
Tuy nhiên, bạn thậm chí không cần phải ghi nhớ chúng, điều chính yếu là phải hiểu bản chất và có thể rút ra được nó. Nó không khó như nó có vẻ. Hãy tự mình khám phá bằng cách xem video.
Yêu cầu kiến thức về các công thức cơ bản của lượng giác - tổng bình phương của sin và cosin, biểu thức tiếp tuyến qua sin và cos, v.v. Đối với những người đã quên hoặc không biết, chúng tôi khuyên bạn nên đọc bài viết "".
Vậy là chúng ta đã biết các công thức lượng giác cơ bản, đã đến lúc vận dụng chúng vào thực tế. Giải phương trình lượng giác với cách tiếp cận phù hợp, đó là một hoạt động khá thú vị, chẳng hạn như giải khối Rubik.
Dựa vào tên gọi, rõ ràng phương trình lượng giác là một phương trình trong đó ẩn số nằm dưới dấu của hàm lượng giác.
Có cái gọi là phương trình lượng giác đơn giản nhất. Chúng trông như thế này: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hãy xem xét làm thế nào để giải các phương trình lượng giác như vậy, để rõ ràng, chúng ta sẽ sử dụng đường tròn lượng giác vốn đã quen thuộc.
sinx = một
cos x = a
tân x = a
cái nôi x = a
Bất kỳ phương trình lượng giác nào cũng được giải theo hai giai đoạn: chúng ta rút gọn phương trình về dạng đơn giản nhất và sau đó giải nó dưới dạng phương trình lượng giác đơn giản.
Có 7 phương pháp chính để giải phương trình lượng giác.
Phương pháp thay thế và thay thế biến
Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp nhân tử hóa
Giảm thành một phương trình đồng nhất
Giải phương trình khi chuyển sang nửa góc
Giới thiệu góc phụ
Giải phương trình 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Áp dụng công thức rút gọn ta có:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Thay cos(x + /6) bằng y để đơn giản hóa và thu được phương trình bậc hai thông thường:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Các nghiệm của nó là y 1 = 1, y 2 = 1/2
Bây giờ chúng ta hãy đi theo thứ tự ngược lại
Chúng ta thay thế các giá trị tìm được của y và nhận được hai phương án trả lời:
Làm thế nào để giải phương trình sin x + cos x = 1?
Hãy di chuyển mọi thứ sang trái để số 0 vẫn ở bên phải:
sin x + cos x – 1 = 0
Chúng ta hãy sử dụng các danh tính được thảo luận ở trên để đơn giản hóa phương trình:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Hãy nhân tử hóa:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Ta được hai phương trình
Một phương trình là đồng nhất đối với sin và cosin nếu tất cả các số hạng của nó đều liên quan đến sin và cos có cùng bậc và cùng một góc. Để giải một phương trình thuần nhất, hãy tiến hành như sau:
a) chuyển tất cả các thành viên của nó sang bên trái;
b) bỏ tất cả các thừa số chung ra khỏi ngoặc;
c) đánh đồng tất cả các hệ số và dấu ngoặc bằng 0;
d) trong ngoặc thu được phương trình đồng nhất ở bậc thấp hơn, phương trình này được chia thành sin hoặc cosin ở bậc cao hơn;
e) giải phương trình tìm được cho tg.
Giải phương trình 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Hãy sử dụng công thức sin 2 x + cos 2 x = 1 và loại bỏ hai số mở ở bên phải:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Chia cho cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Thay tan x bằng y và thu được phương trình bậc hai:
y 2 + 4y +3 = 0, có nghiệm là y 1 =1, y 2 = 3
Từ đây ta tìm được hai nghiệm của phương trình ban đầu:
x 2 = arctan 3 + k
Giải phương trình 3sin x – 5cos x = 7
Hãy chuyển sang x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Hãy di chuyển mọi thứ sang trái:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Chia cho cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Để xem xét, hãy lấy một phương trình có dạng: a sin x + b cos x = c,
trong đó a, b, c là một số hệ số tùy ý và x là ẩn số.
Hãy chia cả hai vế của phương trình cho:
Bây giờ các hệ số của phương trình, theo công thức lượng giác, có các tính chất sin và cos, cụ thể là: mô đun của chúng không lớn hơn 1 và tổng bình phương = 1. Chúng ta hãy ký hiệu chúng tương ứng là cos và sin, trong đó - đây là cái gọi là góc phụ. Khi đó phương trình sẽ có dạng:
cos * sin x + sin * cos x = C
hoặc sin(x + ) = C
Giải pháp cho phương trình lượng giác đơn giản nhất này là
x = (-1) k * arcsin C - + k, trong đó
Cần lưu ý rằng các ký hiệu cos và sin có thể hoán đổi cho nhau.
Giải phương trình sin 3x – cos 3x = 1
Các hệ số trong phương trình này là:
a = , b = -1 nên chia cả hai vế cho = 2
Bài học và thuyết trình về chủ đề: “Giải phương trình lượng giác đơn giản”
Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn! Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.
Sách hướng dẫn và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 10 từ 1C
Giải các bài toán về hình học. Nhiệm vụ tương tác để xây dựng trong không gian
Môi trường phần mềm "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Những gì chúng ta sẽ nghiên cứu:
1. Phương trình lượng giác là gì?
3. Hai phương pháp cơ bản để giải phương trình lượng giác.
4. Phương trình lượng giác thuần nhất.
5. Ví dụ.
Phương trình lượng giác là gì?
Các bạn ơi, chúng ta đã nghiên cứu về arcsine, arccosine, arctangent và arccotang. Bây giờ chúng ta hãy xem xét các phương trình lượng giác nói chung.
Phương trình lượng giác là phương trình trong đó một biến được chứa dưới dấu của hàm lượng giác.
Chúng ta hãy lặp lại hình thức giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất:
1)Nếu |a|< 1 thì phương trình cos(x) = a có nghiệm:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Nếu |a|< 1 thì phương trình sin(x) = a có nghiệm:
3) Nếu |a| > 1 thì phương trình sin(x) = a và cos(x) = a vô nghiệm 4) Phương trình tg(x)=a có nghiệm: x=arctg(a)+ πk
5) Phương trình ctg(x)=a có nghiệm: x=arcctg(a)+ πk
Với mọi công thức k là số nguyên
Các phương trình lượng giác đơn giản nhất có dạng: T(kx+m)=a, T là một hàm lượng giác nào đó.
Ví dụ.Giải các phương trình: a) sin(3x)= √3/2
Giải pháp:
A) Chúng ta ký hiệu 3x=t, sau đó chúng ta sẽ viết lại phương trình dưới dạng:
Nghiệm của phương trình này sẽ là: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Từ bảng giá trị chúng ta nhận được: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Hãy quay lại biến của chúng ta: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Khi đó x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Trả lời: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, trong đó n là số nguyên. (-1)^n – trừ một lũy thừa của n.
Thêm ví dụ về phương trình lượng giác.
Giải các phương trình: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Giải pháp:
A) Lần này chúng ta hãy chuyển ngay sang phần tính nghiệm của phương trình:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Khi đó x/5= πk => x=5πk
Trả lời: x=5πk, trong đó k là số nguyên.
B) Chúng ta viết nó dưới dạng: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Chúng ta biết rằng: arctan(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Trả lời: x=2π/9 + πk/3, trong đó k là số nguyên.
Giải các phương trình: cos(4x)= √2/2. Và tìm tất cả các gốc trên đoạn này.
Giải pháp:
Chúng ta hãy giải phương trình ở dạng tổng quát: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Bây giờ hãy xem gốc rễ của phân khúc của chúng ta là gì. Tại k Tại k=0, x= π/16, chúng ta đang ở trong đoạn đã cho.
Với k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, chúng ta lại gặp phải.
Với k=2, x= π/16+ π=17π/16, nhưng ở đây chúng ta không trúng, điều đó có nghĩa là với k lớn hiển nhiên chúng ta cũng sẽ không trúng.
Đáp án: x= π/16, x= 9π/16
Hai phương pháp giải chính.
Chúng ta đã xem xét các phương trình lượng giác đơn giản nhất nhưng cũng có những phương trình phức tạp hơn. Để giải chúng, người ta sử dụng phương pháp đưa biến mới và phương pháp phân tích nhân tử. Hãy xem xét các ví dụ.Hãy giải phương trình:
Giải pháp:
Để giải phương trình, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đưa vào một biến mới, ký hiệu là: t=tg(x).
Kết quả của việc thay thế chúng ta nhận được: t 2 + 2t -1 = 0
Hãy tìm nghiệm của phương trình bậc hai: t=-1 và t=1/3
Khi đó tg(x)=-1 và tg(x)=1/3, ta được phương trình lượng giác đơn giản nhất, hãy tìm nghiệm của nó.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Đáp án: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Một ví dụ về giải phương trình
Giải phương trình: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Giải pháp:
Hãy sử dụng đẳng thức: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Phương trình của chúng ta sẽ có dạng: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0
Hãy để chúng tôi giới thiệu phép thay thế t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Nghiệm của phương trình bậc hai của chúng ta là các nghiệm: t=2 và t=-1/2
Khi đó cos(x)=2 và cos(x)=-1/2.
Bởi vì cosine không thể nhận các giá trị lớn hơn một, khi đó cos(x)=2 không có nghiệm.
Với cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Đáp án: x= ±2π/3 + 2πk
Phương trình lượng giác đồng nhất.
Định nghĩa: Các phương trình có dạng a sin(x)+b cos(x) được gọi là phương trình lượng giác thuần nhất bậc một.Phương trình dạng
các phương trình lượng giác đồng nhất bậc hai.
Để giải phương trình lượng giác đồng nhất bậc một, hãy chia nó cho cos(x): 
Bạn không thể chia cho cosin nếu nó bằng 0, hãy đảm bảo rằng trường hợp này không xảy ra:
Cho cos(x)=0 thì asin(x)+0=0 => sin(x)=0, nhưng sin và cosine không bằng 0 cùng một lúc nên ta gặp mâu thuẫn nên có thể chia an toàn bằng không.
Giải phương trình:
Ví dụ: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Giải pháp:
Hãy loại bỏ thừa số chung: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Khi đó ta cần giải hai phương trình:
Cos(x)=0 và cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 tại x= π/2 + πk;
Xét phương trình cos(x)+sin(x)=0 Chia phương trình của chúng ta cho cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Trả lời: x= π/2 + πk và x= -π/4+πk
Làm thế nào để giải phương trình lượng giác đồng nhất bậc hai?
Các bạn, hãy luôn tuân thủ những quy tắc này!
1. Xem hệ số a bằng bao nhiêu, nếu a=0 thì phương trình của chúng ta sẽ có dạng cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), một ví dụ về nghiệm của nó ở slide trước
2. Nếu a≠0, thì bạn cần chia cả hai vế của phương trình cho bình phương cosin, ta được:
Chúng ta thay đổi biến t=tg(x) và nhận được phương trình:
Giải ví dụ số:3
Giải phương trình:Giải pháp:
Hãy chia cả hai vế của phương trình cho bình phương cosin: 
Chúng ta thay đổi biến t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Hãy tìm nghiệm của phương trình bậc hai: t=-3 và t=1
Khi đó: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Trả lời: x=-arctg(3) + πk và x= π/4+ πk
Giải ví dụ số:4
Giải phương trình:Giải pháp:
Hãy biến đổi biểu thức của chúng tôi:
Chúng ta có thể giải các phương trình sau: x= - π/4 + 2πk và x=5π/4 + 2πk
Đáp án: x= - π/4 + 2πk và x=5π/4 + 2πk
Giải ví dụ số:5
Giải phương trình:Giải pháp:
Hãy biến đổi biểu thức của chúng tôi:
Hãy để chúng tôi giới thiệu phép thay thế tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Nghiệm của phương trình bậc hai của chúng ta sẽ là nghiệm: t=-2 và t=1/2
Khi đó chúng ta nhận được: tg(2x)=-2 và tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Trả lời: x=-arctg(2)/2 + πk/2 và x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Vấn đề cho giải pháp độc lập.
1) Giải phương trìnhA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7
2) Giải các phương trình: sin(3x)= √3/2. Và tìm tất cả các nghiệm trên đoạn [π/2; π].
3) Giải phương trình: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 = 0
4) Giải phương trình: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Giải phương trình: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Giải phương trình: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)