Hướng dẫn. Nhập biểu thức F(x) , nhấn Next. Giải pháp thu được được lưu trong tệp Word. Một mẫu giải pháp cũng được tạo trong Excel. Dưới đây là một video hướng dẫn.
Quy tắc nhập hàm
Ví dụ≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Chúng ta hãy xem xét một cách nhanh hơn để tìm nghiệm trên khoảng, với giả định rằng f(a)f(b)<0.
f''(x)>0 f''(x)<0
f(b)f’’(b)>0 f(a)f’’(a)>0 
Hình.1a Hình. 1b
Hãy nhìn vào Hình 1a. Hãy vẽ dây cung đi qua các điểm A và B. Phương trình hợp âm 
.
Tại điểm x=x 1 , y=0, kết quả là chúng ta thu được xấp xỉ đầu tiên của nghiệm 
. (3.8)
Kiểm tra các điều kiện
(a) f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x 1)f(a)<0.
Nếu điều kiện (a) được thỏa mãn thì trong công thức (3.8) thay điểm a bằng x 1, ta được
.
Tiếp tục quá trình này, chúng ta thu được xấp xỉ thứ n 
. (3.9)
Ở đây đầu a có thể di chuyển được, đó là f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Hãy xem xét trường hợp khi kết thúc a cố định.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f’’(b)<0 f(a)f’’(a)<0
Hình.2a Hình.2b
Trong Hình 1b, 2b f(x i)f(a) được thực thi<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.
Tiếp tục quá trình, ta thu được công thức 
. (3.10)
Dừng quá trình
|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n
Cơm. 3
Trong Hình 3, f’’(x) đổi dấu nên cả hai đầu sẽ chuyển động được.
Trước khi chuyển sang câu hỏi về sự hội tụ của quá trình lặp của phương pháp dây cung, chúng tôi giới thiệu khái niệm hàm lồi.
Sự định nghĩa. Hàm số liên tục trên được gọi là hàm lồi (lõm) nếu với hai điểm bất kỳ x 1 ,x 2 thỏa mãn a
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - lõm
Đối với hàm lồi f''(x) ≥0.
Đối với hàm lõm f''(x)<0
Định lý 3. Nếu hàm f(x) lồi (lõm) trên đoạn , thì trên đoạn bất kỳ 
đồ thị của hàm số f(x) không nằm cao hơn (không thấp hơn) dây cung đi qua các điểm đồ thị có hoành độ x 1 và x 2.
Bằng chứng:
Hãy xem xét một hàm lồi. Phương trình dây nối đi qua x 1 và x 2 có dạng: 
.
Xét điểm c= αx 1 + (1-α)x 2 , trong đó aО
Mặt khác, theo định nghĩa của hàm lồi chúng ta có f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; do đó f(c) ≤ g(c) v.v. 
Đối với hàm lõm, cách chứng minh cũng tương tự.
Chúng ta sẽ xem xét việc chứng minh sự hội tụ của quá trình lặp cho trường hợp hàm lồi (lõm).
Định lý 4. Cho hàm số liên tục, khả vi hai lần f(x) và đặt f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Bằng chứng: Chúng ta hãy xem xét ví dụ trường hợp f(a)f''(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 vì (b-x n -1)>0 và f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a
. (3.11)
Chúng tôi có
(3.12)
(nghĩa là giá trị của hàm y(x) tại điểm x n trên dây trùng với f(ξ)).
Vì , thì từ (3.12) suy ra
hoặc
. (3.13)
Đối với hình. 1a, do đó
hoặc
có nghĩa là, v.v. (xem (3.11)).
Đối với hình 2a. Do đó, từ (3.12) ta thu được
Có nghĩa
bởi vì 
vân vân.
Chứng minh tương tự cho Hình 1b và Hình 2b. Như vậy ta đã chứng minh được dãy số hội tụ.
a
Sự hội tụ của phương pháp dây cung là tuyến tính với hệ số 
.
, (3.14)
trong đó m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
Điều này theo sau các công thức sau. Chúng ta hãy xem xét trường hợp đầu cố định b và f(b)>0.
Ta có từ (3.9) 
. Từ đây 
. Xét rằng , chúng ta có thể viết 
hoặc 
.
Thay (ξ-x n -1) ở mẫu số của vế phải bằng (b-x n -1) và xét đến (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим 
, đây là điều cần chứng minh (xem bất đẳng thức (3.14)).
Chứng minh hội tụ cho trường hợp Hình 3 (f''(x) đổi dấu; trong trường hợp tổng quát cả f' và f'' đều có thể đổi dấu) phức tạp hơn và không được đưa ra ở đây.
Trong các bài toán, hãy xác định số nghiệm thực của phương trình f(x) = 0, tách các nghiệm này ra và sử dụng phương pháp dây cung và tiếp tuyến để tìm các giá trị gần đúng của chúng với độ chính xác 0,001.
Hãy vào phân khúc hàm số liên tục, mang các dấu khác nhau ở hai đầu của đoạn và đạo hàm f"(x) lưu dấu hiệu. Tùy thuộc vào dấu của đạo hàm bậc hai, có thể xảy ra các trường hợp sắp xếp đường cong sau đây (Hình 1).
Cơm. 1.
Thuật toán tính nghiệm gần đúng bằng phương pháp hợp âm.
Dữ liệu ban đầu: f(x)- chức năng ; e- độ chính xác yêu cầu; x 0 - xấp xỉ ban đầu.
Kết quả: xpr- nghiệm gần đúng của phương trình f(x)= 0.
Phương pháp giải:
Cơm. 2. f"(x) f ""(x)>0.
Hãy xét trường hợp khi f"(x) Và f ""(x) có cùng dấu hiệu (Hình 2).
Đồ thị hàm số đi qua các điểm MỘT 0 (a,f(a)) Và B 0 (b,f(b)). nghiệm cần thiết của phương trình (điểm x*) mà chúng ta không biết, thay vào đó nó sẽ có dấu chấm X 1 giao điểm hợp âm MỘT 0 TRONG 0 với trục hoành. Đây sẽ là giá trị gần đúng của gốc.
Trong hình học giải tích, người ta rút ra một công thức xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (x1; y1) Và (x2; y2): .
Khi đó phương trình hợp âm MỘT 0 TRONG 0 sẽ được viết dưới dạng: .
Hãy tìm giá trị x = x 1 , mà y = 0: . Bây giờ gốc nằm trên đoạn . Hãy áp dụng phương pháp hợp âm cho đoạn này. Hãy vẽ một dây nối các điểm MỘT 1 (x 1 ,f(x 1 )) Và B 0 (b,f(b)), và chúng ta sẽ tìm thấy X 2 - giao điểm của dây cung MỘT 1 TRONG 0 với trục Ồ: x 2 =x 1 .
Tiếp tục quá trình này, chúng tôi tìm thấy
x 3 =x 2 .
Chúng ta thu được một công thức hồi quy để tính các giá trị gần đúng cho căn bậc hai
x n+1 =x N .
Trong trường hợp này kết thúc bđoạn vẫn bất động và kết thúc Một di chuyển.
Như vậy ta thu được công thức tính cho phương pháp hợp âm:
x n+1 =x N ; x 0 = một. (4)
Việc tính toán các phép tính gần đúng liên tiếp cho nghiệm chính xác của phương trình tiếp tục cho đến khi chúng ta đạt được độ chính xác đã chỉ định, tức là. điều kiện sau đây phải được đáp ứng: |x n+1 -x N |< , độ chính xác được chỉ định ở đâu.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét trường hợp khi đạo hàm thứ nhất và thứ hai có dấu khác nhau, tức là f"(x) f ""(x)<0 . (Hình 3).
Cơm. 3. Giải thích hình học của phương pháp hợp âm cho trường hợp f"(x) f ""(x)<0 .
Hãy kết nối các dấu chấm MỘT 0 (a,f(a)) Và B 0 (b,f(b)) dây nhau MỘT 0 TRONG 0 . Giao điểm của dây cung với trục Ồ Chúng ta sẽ xem xét xấp xỉ đầu tiên của nghiệm. Trong trường hợp này, đầu cố định của đoạn sẽ là đầu cuối MỘT.
Phương trình hợp âm MỘT 0 TRONG 0 :. Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy x 1 , giả sử y = 0: x 1 =b. Bây giờ nghiệm của phương trình x. Áp dụng phương pháp hợp âm cho đoạn này, chúng ta thu được x 2 =x 1 . Tiếp tục v.v., ta được x n+1 =x N .
Công thức tính toán của phương pháp:
x n+1 =x N , x 0 =0 . (5)
Điều kiện để hoàn thành phép tính: |x n+1 -x N |< . Sau đó xpr = xn+1 với độ chính xác Vì vậy, nếu f"(x) f ""(x)>0 giá trị gần đúng của nghiệm được tìm thấy bằng công thức (4), nếu f"(x) f ""(x)<0 , thì theo công thức (5).
Việc lựa chọn thực tế một hoặc một công thức khác được thực hiện bằng cách sử dụng quy tắc sau: đầu cố định của đoạn là điểm mà dấu của hàm số trùng với dấu của đạo hàm thứ hai.
Ví dụ. Minh họa tác dụng của quy tắc này bằng phương trình
(x-1)ln(x)-1=0, nếu phân đoạn cách ly gốc .
Giải pháp. Đây f(x)=(x-1)ln(x)-1.
f "(x)=ln(x)+;
f ""(x)=.
Đạo hàm thứ hai trong ví dụ này là dương trên đoạn cách ly gốc : f ""(x)>0, f(3)> 0, tức là f(b) f""(x)>0. Như vậy, khi giải phương trình này bằng phương pháp dây cung, để làm rõ nghiệm ta chọn công thức (4).
var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:real;
bắt đầu e:=0,0001;
writeln("vvedi nachalo otrezka");
writeln("vvedi konec otrezka");
y:=((x-1)*ln(x))-1;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
yb:=y; c:=(a+b)/2; x:=c;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
f1:=ln(x) + (x-1)/x ;
f2:= 1/x + 1/(x*x);
nếu (ya*yb< 0) and (f1*f2 > 0)
sau đó bắt đầu x1:=a; trong khi abs(x2 - x) > e do
x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);
writeln("Koren uravneniya xn = ", x2)
end elsebegin x1:=b;
trong khi abs(x2 - x) > e do
bắt đầu x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; yn:=y;
x2:=x1 - (yn*(x1- a))/(yn - ya);
writeln("Koren uravneniya xn = ", x2);
Phương pháp lặp đơn giản
Xét phương trình f(x)=0(1) với gốc tách X. Để giải phương trình (1) bằng phương pháp lặp đơn giản, chúng ta rút gọn nó về dạng tương đương: x=ts(x). (2)
Điều này luôn có thể được thực hiện và bằng nhiều cách. Ví dụ:
x=g(x) f(x) + x ? c(x), Ở đâu g(x) - một hàm liên tục tùy ý không có nghiệm trên đoạn .
Cho phép x (0) - một xấp xỉ với gốc thu được theo một cách nào đó x(trong trường hợp đơn giản nhất x (0) =(a+b)/2). Phương pháp lặp đơn giản bao gồm việc tính toán tuần tự các số hạng của chuỗi lặp:
x (k+1) =ts(x (k) ), k=0, 1, 2, ... (3)
bắt đầu từ việc tiếp cận x (0) .
BÁO CÁO: 1 Nếu dãy (x (k) ) của phương pháp lặp đơn giản hội tụ và hàm q liên tục thì giới hạn của dãy là nghiệm của phương trình x = q (x)
SỰ KIỆN: Hãy để nó như vậy. (4)
Hãy tiến tới giới hạn trong sự bình đẳng x (k+1) =ts(x (k) ) Một mặt, ta thu được từ (4) và mặt khác, do tính liên tục của hàm số ts và (4) .
Kết quả là chúng tôi nhận được x * =ts(x * ). Kể từ đây, x * - nghiệm của phương trình (2), tức là X=x * .
Để sử dụng câu lệnh này, dãy phải hội tụ (x (k) }. Điều kiện đủ để hội tụ là:
ĐỊNH NGHĨA 1: (về sự hội tụ) Giả sử phương trình x=ts(x) có một gốc duy nhất trên đoạn và thỏa mãn điều kiện:
- 1) c(x) C 1 ;
- 2) c(x) "x;
- 3) tồn tại một hằng số q > 0: | q "(x) | ? q . Sau đó trình tự lặp (x (k) }, được cho bởi công thức x (k+1) = q(x (k) ), k=0, 1, ... hội tụ ở bất kỳ xấp xỉ ban đầu nào x (0) .
CHỨNG MINH: Xét hai số hạng liền kề của dãy (x (k) ):x (k) = q(x (k-1) ) Và x (k+1) = q(x (k) ) Vì theo điều kiện 2) x (k) Và x (k+1) nằm bên trong đoạn , thì sử dụng định lý giá trị trung bình Lagrange, chúng ta có:
x (k+1) -x (k) = q(x (k) ) - c(x (k-1) ) = c "(c k )(x (k) -x (k-1) ), trong đó c k (x (k-1) , x (k) ).
Từ đây chúng tôi nhận được:
| x (k+1) -x (k) | = | ts "(c k ) | · | x (k) -x (k-1) | ? q | x (k) -x (k-1) | ?
? q(q|x (k-1) -x (k-2) |) = q 2 | x (k-1) -x (k-2) | ? ...? q k | x (1) -x (0) |. (5)
Hãy xem xét chuỗi
S ? = x (0) + (x (1) -x (0) ) + ... + (x (k+1) -x (k) ) + ... . (6)
Nếu ta chứng minh chuỗi này hội tụ thì dãy tổng riêng của nó cũng hội tụ
S k = x (0) + (x (1) -x (0) ) + ... + (x (k) -x (k-1) ).
Nhưng không khó để tính toán điều đó
S k = x (k)) . (7)
Từ đó ta sẽ chứng minh được sự hội tụ của dãy lặp (x (k) }.
Để chứng minh sự hội tụ của chuỗi (6), ta so sánh từng số hạng (không có số hạng đầu tiên) x (0) ) với lân cận
q 0 | x (1) -x (0) | +q 1 |x (1) -x (0) | + ... + |x (1) -x (0) | + ..., (8)
hội tụ dưới dạng cấp số nhân giảm vô hạn (vì theo điều kiện q< 1 ). Do bất đẳng thức (5) nên các giá trị tuyệt đối của chuỗi (6) không vượt quá số hạng tương ứng của chuỗi hội tụ (8) (tức là chuỗi (8) chuyên hóa chuỗi (6). Do đó, chuỗi (6) ) cũng hội tụ nên dãy hội tụ. (x (0) }.
Chúng tôi thu được một công thức đưa ra phương pháp ước tính lỗi |X - x (k+1) |
phương pháp lặp đơn giản.
X-x (k+1) = X - S k+1 = S ? -S k+1 = (x (k+2) - (k+1) ) + (x (k+3) -x (k+2) ) + ... .
Kể từ đây
|X - x (k+1) | ? |x (k+2) - (k+1) | + |x (k+3) -x (k+2) | +...? q k+1 |x (1) -x (0) | +q k+2 |x (1) -x (0) | +... = q k+1 |x (1) -x (0) | /(1-q).
Kết quả là chúng ta thu được công thức
|X - x (k+1) | ? q k+1 |x (1) -x (0) | /(1-q).(9)
Lấy cho x (0) nghĩa x (k) , vì x (1) - nghĩa x (k+1)(vì sự lựa chọn như vậy có thể thực hiện được nếu các điều kiện của định lý được đáp ứng) và có tính đến điều đó đối với bất đẳng thức q k+1 ? q chúng tôi xuất ra:
|X - x (k+1) | ? q k+1 |x (k+1) -x (k) | / (1-q) ? q|x (k+1) -x (k) | /(1-q).
Vì vậy, cuối cùng chúng tôi nhận được:
|X - x (k+1) | ? q|x (k+1) -x (k) | /(1-q). (10)
Chúng tôi sử dụng công thức này để rút ra tiêu chí kết thúc chuỗi lặp. Hãy để phương trình x=ts(x)được giải bằng phép lặp đơn giản và câu trả lời phải được tìm ra một cách chính xác e,đó là
|X - x (k+1) | ? đ.
Tính đến (10), chúng tôi thấy rằng độ chính xác e sẽ đạt được nếu bất đẳng thức được thỏa mãn
|x (k+1) -x (k) | ? (1-q)/q.(11)
Vì vậy, để tìm nghiệm nguyên của phương trình x=ts(x) sử dụng phương pháp lặp đơn giản với độ chính xác cần tiếp tục lặp cho đến khi mô đun sai phân giữa các phép tính gần đúng lân cận cuối cùng lớn hơn số e(1-q)/q.
LƯU Ý 1: Là hằng số q, người ta thường lấy ước tính cao hơn cho đại lượng
Giải thích hình học
Chúng ta hãy nhìn vào đồ thị của hàm số. Điều này có nghĩa là nghiệm của phương trình và là giao điểm của đường thẳng:
Hình 1.
Và lần lặp tiếp theo là tọa độ x của giao điểm của đường thẳng ngang với đường thẳng.
Hình 2.
Hình vẽ thể hiện rõ yêu cầu hội tụ. Đạo hàm càng gần 0 thì thuật toán hội tụ càng nhanh. Tùy thuộc vào dấu của đạo hàm gần nghiệm, các phép tính gần đúng có thể được xây dựng theo nhiều cách khác nhau. Nếu, thì mỗi phép tính gần đúng tiếp theo được xây dựng ở phía bên kia của nghiệm:
Hình 3.
Phần kết luận
Vấn đề nâng cao chất lượng tính toán như sự khác biệt giữa mong muốn và thực tế đang tồn tại và sẽ tồn tại trong tương lai. Giải pháp của nó sẽ được hỗ trợ bởi sự phát triển của công nghệ thông tin, bao gồm cả các phương pháp cải tiến để tổ chức các quy trình thông tin và việc triển khai chúng bằng các công cụ - môi trường và ngôn ngữ lập trình cụ thể.
Kết quả của công việc có thể được coi là mô hình hàm được tạo ra để tìm nghiệm của phương trình bằng các phương pháp lặp đơn giản, Newton, dây cung và phép chia nửa. Mô hình này có thể áp dụng cho các vấn đề xác định, tức là sai số tính toán thực nghiệm có thể bỏ qua. Mô hình chức năng được tạo ra và việc triển khai phần mềm của nó có thể đóng vai trò là một phần hữu cơ trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp hơn.
Qua nghiên cứu đề tài của môn học “Phương pháp số. Giải phương trình phi tuyến”, tôi đã đạt được mục tiêu đề ra ở phần mở đầu. Các phương pháp tinh chế rễ đã được thảo luận chi tiết. Một số ví dụ đã được đưa ra cho mỗi định nghĩa và định lý. Tất cả các định lý đã được chứng minh.
Việc sử dụng nhiều nguồn khác nhau giúp bạn có thể khám phá đầy đủ chủ đề.
Phương pháp hợp âm (phương pháp còn được gọi là Phương pháp cát tuyến ) một trong những phương pháp giải phương trình phi tuyến và dựa trên việc thu hẹp tuần tự khoảng chứa nghiệm duy nhất của phương trình. Quá trình lặp đi lặp lại được thực hiện cho đến khi đạt được độ chính xác quy định.
Không giống như phương pháp chia một nửa, phương pháp hợp âm gợi ý rằng việc phân chia quãng đang được xem xét sẽ không được thực hiện ở giữa của nó mà tại điểm giao nhau của hợp âm với trục abscissa (trục X). Cần lưu ý rằng dây cung được hiểu là một đoạn được vẽ qua các điểm của hàm số đang xét ở cuối đoạn đang xét. Phương pháp đang được xem xét cung cấp kết quả tìm nghiệm nhanh hơn so với phương pháp một nửa, miễn là xác định được cùng một khoảng đang được xem xét.
Về mặt hình học, phương pháp dây cung tương đương với việc thay thế nó bằng một dây cung cong đi qua các điểm và (xem Hình 1.).
Hình.1. Xây dựng một đoạn (hợp âm) cho một chức năng.
Phương trình đường thẳng (dây) đi qua hai điểm A và B có dạng:
Phương trình này là một phương trình điển hình để mô tả một đường thẳng trong hệ tọa độ Descartes. Độ dốc của đường cong được xác định dọc theo tọa độ và trục hoành bằng cách sử dụng các giá trị ở mẫu số và , tương ứng.
Đối với giao điểm của đường thẳng với trục hoành, phương trình viết trên sẽ được viết lại dưới dạng:
Là một khoảng mới để trải qua quá trình lặp lại, chúng ta chọn một trong hai hoặc , ở cuối của hàm này nhận các giá trị có dấu khác nhau. Dấu ngược lại của các giá trị hàm ở cuối một đoạn có thể được xác định bằng nhiều cách. Một trong nhiều phương pháp này là nhân các giá trị của hàm ở hai đầu đoạn và xác định dấu của tích bằng cách so sánh kết quả của phép nhân với 0:
hoặc 
.
Quá trình lặp lại của việc tinh chỉnh nghiệm kết thúc khi điều kiện gần nhau của hai phép tính gần đúng liên tiếp trở nên nhỏ hơn độ chính xác đã chỉ định, tức là.
Hình 2. Giải thích định nghĩa sai số tính toán.
Cần lưu ý rằng sự hội tụ của phương pháp dây cung là tuyến tính, nhưng nhanh hơn sự hội tụ của phương pháp chia đôi.
Thuật toán tìm nghiệm của phương trình phi tuyến bằng phương pháp dây cung
1. Tìm khoảng bất định ban đầu bằng cách sử dụng một trong các phương pháp tách nghiệm. ZCho sai số tính toán (số dương nhỏ) Và bước lặp ban đầu () .
2. Tìm giao điểm của dây cung với trục hoành:
3. Cần tìm giá trị của hàm số tại các điểm , và . Tiếp theo, bạn cần kiểm tra hai điều kiện:
Nếu điều kiện được đáp ứng 
, thì gốc mong muốn nằm bên trong đoạn bên trái, ;
Nếu điều kiện được đáp ứng 
, thì gốc mong muốn nằm bên trong đoạn bên phải chấp nhận , .
Kết quả là, một khoảng không chắc chắn mới được tìm thấy, trên đó có nghiệm mong muốn của phương trình:
4. Chúng tôi kiểm tra giá trị gần đúng của nghiệm phương trình để đảm bảo độ chính xác đã chỉ định, trong trường hợp:
Nếu chênh lệch giữa hai phép tính gần đúng liên tiếp trở nên nhỏ hơn độ chính xác đã chỉ định thì quá trình lặp sẽ kết thúc. Giá trị gần đúng của gốc được xác định theo công thức:
Nếu chênh lệch giữa hai phép tính gần đúng liên tiếp không đạt được độ chính xác yêu cầu thì cần tiếp tục quá trình lặp và chuyển sang bước 2 của thuật toán đang xem xét.
Ví dụ giải phương trình bằng phương pháp hợp âm
Ví dụ, hãy xem xét việc giải phương trình phi tuyến bằng phương pháp dây cung. Gốc phải được tìm thấy trong phạm vi đang được xem xét với độ chính xác là .
Tùy chọn giải phương trình phi tuyến trong gói phần mềmToánCAD.
Các kết quả tính toán, cụ thể là động lực của những thay đổi trong giá trị gần đúng của nghiệm, cũng như các sai số tính toán tùy thuộc vào bước lặp, được trình bày dưới dạng đồ họa (xem Hình 1).
Hình.1. Kết quả tính toán bằng phương pháp hợp âm
Để đảm bảo độ chính xác được chỉ định khi tìm kiếm một phương trình trong một phạm vi, cần thực hiện 6 lần lặp. Ở bước lặp cuối cùng, giá trị gần đúng của nghiệm của phương trình phi tuyến sẽ được xác định bởi giá trị: .
Ghi chú:
Một sửa đổi của phương pháp này là phương pháp định vị sai(Phương pháp vị trí sai), khác với phương pháp cát tuyến ở chỗ mỗi lần không lấy 2 điểm cuối cùng mà là những điểm nằm xung quanh gốc.
Cần lưu ý rằng nếu đạo hàm bậc hai có thể được lấy từ hàm phi tuyến thì thuật toán tìm kiếm có thể được đơn giản hóa. Giả sử đạo hàm bậc hai duy trì dấu không đổi và xét hai trường hợp:
Trường hợp số 1:
Từ điều kiện đầu tiên, hóa ra cạnh cố định của đoạn thẳng là cạnh Một.
Trường hợp số 2:
Phương pháp số 1
Giải phương trình phi tuyến 1
Tuyên bố vấn đề 1
Bản địa hóa gốc 2
Tinh lọc gốc 4
Phương pháp tinh chế rễ 4
Phương pháp chia nửa 4
Cách hợp âm 5
Phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến) 6
Tích phân số 7
Phát biểu vấn đề 7
Phương pháp hình chữ nhật 8
Phương pháp hình thang 9
Phương pháp parabol (công thức Simpson) 10
Phương pháp số
Trong thực tế, trong hầu hết các trường hợp, không thể tìm ra lời giải chính xác cho bài toán đã nảy sinh. Điều này xảy ra vì giải pháp tìm kiếm thường không được biểu diễn bằng các hàm cơ bản hoặc các hàm đã biết khác. Vì vậy, các phương pháp số có tầm quan trọng rất lớn.
Phương pháp số là phương pháp giải các bài toán được rút gọn thành số học và một số phép tính logic trên số. Tùy thuộc vào độ phức tạp của nhiệm vụ, độ chính xác được chỉ định và phương pháp được sử dụng, có thể cần một số lượng lớn các hành động và ở đây bạn không thể thực hiện được nếu không có máy tính tốc độ cao.
Lời giải thu được bằng phương pháp số thường là gần đúng, nghĩa là nó có một số lỗi. Các nguồn sai số trong lời giải gần đúng của bài toán là:
sai sót của phương pháp giải;
lỗi làm tròn trong các phép tính với số.
Lỗi phương pháp là do bởi vì phương pháp số thường giải được một bài toán khác, đơn giản hơn, gần đúng (đưa gần hơn) bài toán ban đầu. Trong một số trường hợp, phương pháp số quá trình vô tận, cái mà trong giới hạn dẫn đến giải pháp mong muốn. Quá trình này, bị gián đoạn ở một số bước, sẽ đưa ra một giải pháp gần đúng.
Lỗi làm tròn phụ thuộc vào số phép tính số học được thực hiện trong quá trình giải bài toán. Có thể sử dụng nhiều phương pháp số khác nhau để giải cùng một bài toán. Độ nhạy đối với sai số làm tròn phụ thuộc đáng kể vào phương pháp được chọn.
Giải phương trình phi tuyến Phát biểu bài toán
Giải phương trình phi tuyến với một ẩn số là một trong những vấn đề toán học quan trọng nảy sinh trong nhiều ngành vật lý, hóa học, sinh học và các lĩnh vực khoa học và công nghệ khác.
Nói chung, một phương trình phi tuyến với một ẩn số có thể được viết:
f(x) = 0 ,
Ở đâu f(x) – hàm liên tục nào đó của đối số x.
Bất kỳ số nào x 0 , tại đó f(x 0 ) ≡ 0, được gọi là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Các phương pháp giải phương trình phi tuyến được chia thành thẳng(phân tích, chính xác) và lặp đi lặp lại. Phương pháp trực tiếp cho phép bạn viết lời giải dưới dạng một mối quan hệ (công thức) nhất định. Trong trường hợp này, các giá trị của các nghiệm có thể được tính bằng công thức này trong một số hữu hạn các phép tính số học. Các phương pháp tương tự đã được phát triển để giải các phương trình lượng giác, logarit, hàm mũ và cả các phương trình đại số đơn giản.
Tuy nhiên, phần lớn các phương trình phi tuyến gặp trong thực tế không thể giải được bằng các phương pháp trực tiếp. Ngay cả đối với một phương trình đại số cao hơn bậc bốn, cũng không thể thu được nghiệm giải tích dưới dạng công thức với số hữu hạn các phép tính số học. Trong tất cả các trường hợp như vậy, cần phải chuyển sang các phương pháp số để có thể thu được các giá trị gần đúng của các nghiệm với bất kỳ độ chính xác nhất định nào.
Với cách tiếp cận số, bài toán giải phương trình phi tuyến được chia thành hai giai đoạn: nội địa hóa(tách) rễ, tức là tìm các đoạn như vậy trên trục x, trong đó có một gốc duy nhất, và làm rõ nguồn gốc, tức là tính toán các giá trị gần đúng của rễ với độ chính xác nhất định.
Định vị rễ
Để tách các nghiệm của phương trình f(x) = 0 cần phải có tiêu chí để có thể xác minh rằng, trước hết, trên đoạn đang xem xét [ Một,b] có một gốc, và thứ hai, gốc này là gốc duy nhất trên đoạn được chỉ định.
Nếu chức năng f(x) liên tục trên khoảng [ Một,b] và ở cuối đoạn, các giá trị của nó có các dấu khác nhau, tức là.
f(Một) f(b) < 0 ,
thì có ít nhất một gốc trên đoạn này.
Hình 1. Tách rễ. Chức năng f(x) không đơn điệu trên khoảng [ Một,b].
Điều kiện này, như có thể thấy trong Hình (1), không đảm bảo tính duy nhất của nghiệm. Một điều kiện bổ sung đủ đảm bảo tính duy nhất của nghiệm trên đoạn [ Một,b] là yêu cầu hàm số phải đơn điệu trên khoảng này. Để dấu hiệu tính đơn điệu của hàm số, chúng ta có thể sử dụng điều kiện không đổi của dấu của đạo hàm bậc nhất f′( x) .
Như vậy, nếu trên khoảng [ Một,b] hàm số liên tục và đơn điệu, các giá trị của nó ở cuối đoạn có dấu khác nhau thì có một và chỉ một nghiệm trên đoạn đang xét.
Sử dụng tiêu chí này, bạn có thể tách rễ phân tích cách tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
Việc tách gốc có thể được thực hiện bằng đồ họa, nếu có thể xây dựng được đồ thị của hàm số y=f(x) . Ví dụ, đồ thị của hàm số trong Hình (1) cho thấy hàm số này trên một khoảng có thể được chia thành ba khoảng đơn điệu và trên khoảng này nó có ba nghiệm.
Việc tách gốc cũng có thể được thực hiện dạng bảngđường. Giả sử rằng tất cả các nghiệm của phương trình (2.1) mà chúng ta quan tâm đều nằm trên khoảng [ A, B]. Ví dụ, việc lựa chọn phân đoạn này (khoảng tìm kiếm gốc) có thể được thực hiện dựa trên việc phân tích một vấn đề vật lý cụ thể hoặc vấn đề khác.
Cơm. 2. Phương pháp định vị gốc theo dạng bảng.
Chúng ta sẽ tính toán các giá trị f(x) bắt đầu từ điểm x=MỘT, di chuyển sang bên phải với một số bước h(Hình 2). Ngay khi phát hiện một cặp giá trị liền kề f(x) có dấu khác nhau nên giá trị tương ứng của đối số x có thể được coi là ranh giới của đoạn chứa gốc.
Độ tin cậy của phương pháp lập bảng để tách nghiệm của phương trình phụ thuộc cả vào bản chất của hàm số f(x) và trên kích thước bước đã chọn h. Thật vậy, nếu với một giá trị đủ nhỏ h(h<<|B−MỘT|) trên ranh giới của phân khúc hiện tại [ x, x+h] chức năng f(x) nhận các giá trị cùng dấu thì điều tự nhiên là phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên đoạn này. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng đúng: nếu điều kiện đơn điệu của hàm không được đáp ứng f(x) trên đoạn [ x, x+h] có thể trở thành nghiệm của phương trình (Hình 3a).
Hình 3a Hình 3b
Ngoài ra còn có một số gốc trên đoạn [ x, x+h] cũng có thể xuất hiện nếu điều kiện được đáp ứng f(x) f(x+ h) < 0 (Hình 3b). Dự kiến những tình huống như vậy nên chọn những giá trị khá nhỏ h.
Bằng cách tách các gốc theo cách này, về cơ bản chúng ta thu được các giá trị gần đúng của chúng cho đến bước đã chọn. Vì vậy, ví dụ: nếu chúng ta lấy phần giữa của phân đoạn bản địa hóa làm giá trị gần đúng của gốc thì sai số tuyệt đối của giá trị này sẽ không vượt quá một nửa bước tìm kiếm ( h/2). Bằng cách giảm bước trong vùng lân cận của mỗi gốc, về nguyên tắc, có thể tăng độ chính xác của việc tách gốc đến bất kỳ giá trị nào được xác định trước. Tuy nhiên, phương pháp này đòi hỏi khối lượng tính toán lớn. Do đó, khi tiến hành các thí nghiệm số với các tham số của bài toán thay đổi, khi cần phải tìm kiếm nhiều lần các nghiệm, phương pháp như vậy không phù hợp để tinh chỉnh các nghiệm và chỉ được sử dụng để tách (định vị) các nghiệm, tức là. xác định các xấp xỉ ban đầu của chúng. Việc sàng lọc gốc được thực hiện bằng các phương pháp khác, tiết kiệm hơn.
Phương pháp lặp
Phương pháp lặp đơn giản cho phương trình f(x) = 0 như sau:
1) Phương trình ban đầu được chuyển về dạng thuận tiện cho việc lặp lại:
x = φ (X). (2.2)
2) Chọn xấp xỉ ban đầu X 0 và tính các giá trị gần đúng tiếp theo bằng công thức lặp
x k = φ
(x k -1), k =1,2, ... (2.3)
Nếu có giới hạn của dãy lặp thì đó là nghiệm của phương trình f(x) = 0, tức là f(ξ ) =0.
y = φ (X)
một x 0 x 1 x 2 ξ b
Cơm. 2. Quá trình lặp hội tụ
Trong hình. Hình 2 cho thấy quá trình thu được giá trị gần đúng tiếp theo bằng phương pháp lặp. Chuỗi xấp xỉ hội tụ về gốc ξ .
Cơ sở lý thuyết cho việc áp dụng phương pháp lặp được đưa ra bởi định lý sau.
Định lý 2.3. Hãy để các điều kiện được đáp ứng:
1) nghiệm của phương trình X= φ(x) thuộc đoạn [ MỘT, b];
2) tất cả các giá trị hàm φ (X) thuộc đoạn [ MỘT, b],T. đ. MỘT ≤ φ (X)≤b;
3) có một số dương như vậy q< 1, đạo hàm là gì φ "(x) tại mọi điểm của đoạn [ MỘT, b] thỏa mãn bất đẳng thức | φ "(x) | ≤ q.
1) trình tự lặp xn= φ (x p- 1)(n = 1, 2, 3, ...) hội tụ với mọi x 0 Î [ MỘT, b];
2) giới hạn của chuỗi lặp là nghiệm của phương trình
x = φ(x), tức là nếu x k= ξ, thì ξ= φ (ξ);
3) bất đẳng thức đặc trưng cho tốc độ hội tụ của dãy lặp là đúng
| ξ -xk | ≤ (b-a)×q k .(2.4)
Rõ ràng định lý này đặt ra những điều kiện khá nghiêm ngặt phải được kiểm tra trước khi áp dụng phương pháp lặp. Nếu đạo hàm của hàm φ (x) lớn hơn một ở giá trị tuyệt đối thì quá trình lặp sẽ phân kỳ (Hình 3).
y = φ
(x) y = x
 |
Cơm. 3. Quá trình lặp khác nhau
Là điều kiện hội tụ của các phương pháp lặp, bất đẳng thức
|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)
Phương pháp hợp âm là thay thế đường cong Tại = f(x) đoạn thẳng đi qua các điểm ( MỘT, f(Một)) Và ( b, f(b)) cơm. 4). Trục hoành của giao điểm của đường thẳng với trục Ồđược coi là cách tiếp cận tiếp theo.
Để thu được công thức tính cho phương pháp dây cung, ta viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm ( Một, f(Một)) Và ( b, f(b)) và, đánh đồng Tại về 0, chúng ta sẽ tìm thấy X:
Þ 
Thuật toán phương pháp hợp âm :
1) hãy để k = 0;
2) tính số lần lặp tiếp theo: k = k + 1.
Hãy tìm cái tiếp theo k-e xấp xỉ bằng công thức:
x k= Một- f(Một)(b - Một)/(f(b) - f(Một)).
Hãy tính toán f(x k);
3) nếu f(x k)= 0 (đã tìm được nghiệm), sau đó chuyển sang bước 5.
Nếu như f(x k) × f(b)>0 thì b= x k, nếu không thì Một = x k;
4) nếu |x k – x k -1 | > ε , sau đó chuyển sang bước 2;
5) hiển thị giá trị của gốc x k ;
Bình luận. Các thao tác ở đoạn thứ ba tương tự như các thao tác trong phương pháp chia đôi. Tuy nhiên, trong phương pháp dây cung, ở mỗi bước, cùng một đầu của đoạn (phải hoặc trái) có thể bị dịch chuyển nếu đồ thị của hàm lân cận của nghiệm lồi lên trên (Hình 4, MỘT) hoặc lõm xuống (Hình 4, b).Do đó, hiệu giữa các phép tính gần đúng lân cận được sử dụng trong tiêu chí hội tụ.
Cơm. 4. Phương pháp hợp âm
4. phương pháp Newton(tiếp tuyến)
Hãy tìm giá trị gần đúng của nghiệm của phương trình f(x)= 0 và ký hiệu nó xn.Công thức tính toán phương pháp Newtonđể xác định cách tiếp cận tiếp theo xn+1 có thể đạt được bằng hai cách.
Phương pháp đầu tiên thể hiện ý nghĩa hình học phương pháp Newton và bao gồm thực tế là thay vì giao điểm của đồ thị hàm số Tại= f(x) với trục Ồ tìm giao điểm với trục Ồ tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ( xn,f(xn)), như thể hiện trong hình. 5. Phương trình tiếp tuyến có dạng y - f(xn)= f"(xn)(x- xn).
Cơm. 5. Phương pháp Newton (tiếp tuyến)
Tại giao điểm của tiếp tuyến với trục Ồ biến Tại= 0. Phương trình Tại về 0, chúng tôi thể hiện X và chúng ta có được công thức phương pháp tiếp tuyến :
(2.6)
Phương pháp thứ hai: mở rộng chức năng f(x) thành chuỗi Taylor trong lân cận một điểm x = xn:
Chúng ta hãy giới hạn mình ở các số hạng tuyến tính đối với ( X- xn), đặt về 0 f(x) và biểu thị ẩn số từ phương trình thu được X, biểu thị nó bằng xn+1 ta thu được công thức (2.6).
Chúng ta hãy trình bày các điều kiện đủ cho sự hội tụ của phương pháp Newton.
Định lý 2.4. Hãy trên đoạn [ MỘT, b]điều kiện được đáp ứng:
1) chức năng f(x) và các đạo hàm của nó f"(X)Và f ""(x) liên tục;
2) dẫn xuất f"(x) và f""(x) khác 0 và giữ lại một số dấu không đổi;
3) f(Một)×f(b) <
0 (chức năng f(x)đổi dấu trên đoạn đó).
Sau đó có một đoạn [ α
, β
], chứa nghiệm mong muốn của phương trình f(x) =
0, tại đó chuỗi lặp (2.6) hội tụ. Nếu như một xấp xỉ bằng 0 X 0 chọn điểm biên đó [ α
, β
], trong đó dấu của hàm số trùng với dấu của đạo hàm bậc hai,
những thứ kia. f(x 0)× f"(x 0)>0 thì dãy lặp hội tụ đơn điệu
Bình luận. Lưu ý rằng phương pháp hợp âm xuất phát từ hướng ngược lại và cả hai phương pháp này đều có thể bổ sung cho nhau. Sự kết hợp cũng có thể phương pháp tiếp tuyến hợp âm.
5. Phương pháp cát tuyến
Phương pháp cát tuyến có thể thu được từ phương pháp Newton bằng cách thay thế đạo hàm bằng một biểu thức gần đúng - công thức sai phân:
, 
,
. (2.7)
Công thức (2.7) sử dụng hai phép tính gần đúng trước đó xn Và x n - 1. Do đó, với một xấp xỉ ban đầu cho trước X 0 cần phải tính xấp xỉ tiếp theo x 1 , ví dụ, bằng phương pháp Newton với sự thay thế gần đúng đạo hàm theo công thức
, 
Thuật toán của phương pháp cát tuyến:
1) giá trị ban đầu được đặt X 0 và lỗi ε . Hãy tính toán
;
2) cho n = 1, 2, ... khi thỏa mãn điều kiện | xn – xn -1 | > ε , tính toán xn+ 1 theo công thức (2.7).