Mọi học sinh đều biết rằng cạnh huyền luôn là hình vuông bằng tổng chân, mỗi chân đều vuông. Tuyên bố này được gọi là định lý Pythagore. Đây là một trong những định lý nổi tiếng nhất của lượng giác và toán học nói chung. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về nó.
Khái niệm tam giác vuông
Trước khi chuyển sang xem xét định lý Pythagore, trong đó bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông, chúng ta nên xem xét khái niệm và tính chất của tam giác vuông mà định lý này đúng.
Tam giác - hình phẳng có ba góc và ba cạnh. Một tam giác vuông, như tên gọi của nó, có một góc vuông, nghĩa là góc này bằng 90 o.
Từ tính chất chungđối với tất cả các tam giác, người ta biết tổng ba góc của hình này là 180 o, nghĩa là đối với một tam giác vuông thì tổng hai góc không vuông là 180 o - 90 o = 90 o. Sự thật cuối cùng có nghĩa là bất kỳ góc nào trong tam giác vuông, không trực tiếp, sẽ luôn nhỏ hơn 90 o.
Bên nằm chống lại góc vuông, thường được gọi là cạnh huyền. Hai cạnh còn lại là hai chân của tam giác, có thể bằng nhau hoặc khác nhau. Từ lượng giác, chúng ta biết rằng góc tạo bởi một cạnh của một tam giác càng lớn thì độ dài của cạnh đó càng lớn. Điều này có nghĩa là trong một tam giác vuông, cạnh huyền (nằm đối diện với góc 90 o) sẽ luôn lớn hơn bất kỳ cạnh huyền nào (nằm đối diện với các góc< 90 o).
Ký hiệu toán học của định lý Pythagore
Định lý này phát biểu rằng bình phương của cạnh huyền bằng tổng của các cạnh mà mỗi cạnh góc vuông trước đây đều bình phương. Để viết công thức này về mặt toán học, hãy xem xét một tam giác vuông trong đó các cạnh a, b và c lần lượt là hai cạnh huyền và cạnh huyền. Trong trường hợp này, định lý được xây dựng dưới dạng bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của các cạnh góc vuông, có thể được biểu diễn bằng công thức sau: c 2 = a 2 + b 2. Từ đây có thể thu được các công thức quan trọng khác cho thực hành: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) và c = √(a 2 + b 2).
Chú ý rằng trong trường hợp hình chữ nhật tam giác đều, tức là a = b, công thức: bình phương cạnh huyền bằng tổng các cạnh huyền, mỗi cạnh góc vuông là bình phương, được viết bằng toán học như sau: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, ngụ ý đẳng thức: c = a√2.
Bối cảnh lịch sử
Định lý Pythagore, trong đó phát biểu rằng bình phương của cạnh huyền bằng tổng của các chân, mỗi cạnh bằng bình phương, đã được biết đến từ rất lâu trước khi nhà triết học nổi tiếng người Hy Lạp chú ý đến nó. Nhiều giấy cói Ai Cập cổ đại, cũng như các tấm đất sét của người Babylon xác nhận rằng những dân tộc này đã sử dụng đặc tính nổi bật của các cạnh của một tam giác vuông. Ví dụ, một trong những điều đầu tiên kim tự tháp Ai Cập, Kim tự tháp Khafre, công trình xây dựng có từ thế kỷ 26 trước Công nguyên (2000 năm trước cuộc đời của Pythagoras), được xây dựng dựa trên kiến thức về tỷ lệ khung hình trong một tam giác vuông 3x4x5.
Vậy thì tại sao định lý này lại mang tên tiếng Hy Lạp? Câu trả lời rất đơn giản: Pythagoras là người đầu tiên chứng minh định lý này về mặt toán học. Ở người Babylon và Ai Cập còn sót lại nguồn văn bản Nó chỉ nói về công dụng của nó chứ không cung cấp bất kỳ bằng chứng toán học nào.
Người ta tin rằng Pythagoras đã chứng minh định lý đang được đề cập bằng cách sử dụng các tính chất tam giác đồng dạng, mà anh ta có được bằng cách vẽ đường cao trong một tam giác vuông từ góc 90 o đến cạnh huyền.
Một ví dụ về việc sử dụng định lý Pythagore
Hãy xem xét nhiệm vụ đơn giản: cần xác định chiều dài cầu thang nghiêng L, nếu biết cầu thang có chiều cao H = 3 mét, khoảng cách từ tường nơi tựa cầu thang đến chân cầu thang là P = 2,5 mét.
TRONG trong trường hợp này H và P là chân và L là cạnh huyền. Vì chiều dài cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân nên ta có: L 2 = H 2 + P 2, từ đó L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2 ) = 3,905 mét hay 3 m và 90,5 cm.
Một điều bạn có thể chắc chắn một trăm phần trăm là khi được hỏi tại sao bằng hình vuông cạnh huyền, bất kỳ người lớn nào cũng sẽ mạnh dạn trả lời: “Tổng bình phương của hai chân”. Định lý này đã ăn sâu vào tâm trí mỗi người. người có học thức, nhưng tất cả những gì bạn phải làm là nhờ ai đó chứng minh điều đó và khó khăn có thể nảy sinh. Vì vậy chúng ta hãy ghi nhớ và xem xét những cách khác nhau chứng minh định lý Pythagore.
Tóm tắt tiểu sử
Định lý Pythagore quen thuộc với hầu hết mọi người, nhưng không hiểu sao tiểu sử của người đưa nó ra đời không quá phổ biến. Điều này có thể được sửa chữa. Vì vậy, trước khi nghiên cứu các cách chứng minh định lý Pythagoras, bạn cần tìm hiểu sơ qua về tính cách của ông.
Pythagoras - triết gia, nhà toán học, nhà tư tưởng từ Ngày nay, rất khó để phân biệt tiểu sử của ông với những truyền thuyết đã hình thành để tưởng nhớ con người vĩ đại này. Nhưng theo tác phẩm của những người theo ông, Pythagoras xứ Samos được sinh ra trên đảo Samos. Cha anh là một thợ cắt đá bình thường, nhưng mẹ anh xuất thân từ một gia đình quý tộc.
Đánh giá theo truyền thuyết, sự ra đời của Pythagoras đã được tiên đoán bởi một người phụ nữ tên là Pythia, người được đặt tên để vinh danh cậu bé. Theo dự đoán của bà, cậu bé sinh ra sẽ mang lại nhiều lợi ích, tốt đẹp cho nhân loại. Đó chính xác là những gì anh ấy đã làm.
Sự ra đời của định lý
Thời trẻ, Pythagoras chuyển đến Ai Cập để gặp các nhà hiền triết Ai Cập nổi tiếng ở đó. Sau khi gặp họ, anh được phép đi học, nơi anh học được tất cả những thành tựu to lớn của triết học, toán học và y học Ai Cập.
Có lẽ ở Ai Cập, Pythagoras đã lấy cảm hứng từ sự hùng vĩ và vẻ đẹp của các kim tự tháp và đã tạo ra kim tự tháp của riêng mình. lý thuyết lớn. Điều này có thể gây sốc cho người đọc, nhưng nhà sử học hiện đại Họ tin rằng Pythagoras đã không chứng minh được lý thuyết của mình. Nhưng ông chỉ truyền lại kiến thức của mình cho những người theo ông, những người sau này đã hoàn thành tất cả các phép tính toán học cần thiết.
Dù vậy, ngày nay không có một phương pháp chứng minh định lý nào được biết đến mà là nhiều phương pháp cùng một lúc. Ngày nay chúng ta chỉ có thể đoán chính xác người Hy Lạp cổ đại đã thực hiện các phép tính của họ như thế nào, vì vậy ở đây chúng ta sẽ xem xét các cách khác nhau để chứng minh định lý Pythagore.
định lý Pythagore
Trước khi bắt đầu bất kỳ phép tính nào, bạn cần phải tìm ra lý thuyết nào bạn muốn chứng minh. Định lý Pythagore như sau: “Trong một tam giác có một góc bằng 90°, tổng bình phương của hai cạnh bằng bình phương cạnh huyền”.
Có tổng cộng 15 cách khác nhau để chứng minh định lý Pythagore. Đây là một con số khá lớn nên chúng ta hãy chú ý đến những con số phổ biến nhất trong số đó.
Phương pháp một
Đầu tiên, hãy xác định những gì chúng ta đã được trao. Những dữ liệu này cũng sẽ áp dụng cho các phương pháp chứng minh định lý Pythagore khác, vì vậy cần ghi nhớ ngay tất cả các ký hiệu có sẵn.
Giả sử chúng ta có một tam giác vuông có hai chân a, b và cạnh huyền bằng c. Phương pháp chứng minh đầu tiên dựa trên thực tế là bạn cần vẽ một hình vuông từ một tam giác vuông.
Để làm điều này, bạn cần thêm một đoạn bằng chân b vào chiều dài chân a và ngược lại. Điều này sẽ làm cho hai các cạnh bằng nhau quảng trường. Tất cả những gì còn lại là vẽ hai đường thẳng song song và hình vuông đã sẵn sàng.
Bên trong hình kết quả, bạn cần vẽ một hình vuông khác có cạnh bằng cạnh huyền tam giác ban đầu. Để làm điều này, từ các đỉnh ас và св bạn cần vẽ hai song song với đoạn bằng Như vậy, chúng ta có được ba cạnh của hình vuông, một trong số đó là cạnh huyền của tam giác vuông ban đầu. Tất cả những gì còn lại là vẽ đoạn thứ tư.
Dựa vào hình thu được, chúng ta có thể kết luận rằng diện tích của hình vuông bên ngoài là (a + b) 2. Nếu nhìn vào bên trong hình, bạn có thể thấy ngoài hình vuông bên trong còn có bốn hình tam giác vuông. Diện tích của mỗi cái là 0,5av.
Do đó, diện tích bằng: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Do đó (a + b) 2 = 2ab + c 2
Và do đó, c 2 = a 2 + b 2
Định lý đã được chứng minh.
Cách 2: tam giác đồng dạng
Công thức chứng minh định lý Pythagore này được rút ra dựa trên một phát biểu trong phần hình học về các tam giác đồng dạng. Nó phát biểu rằng cạnh huyền của một tam giác vuông tỷ lệ trung bình với cạnh huyền của nó và đoạn cạnh huyền phát ra từ đỉnh của góc 90°.
Dữ liệu ban đầu vẫn giữ nguyên nên chúng ta hãy bắt đầu ngay với việc chứng minh. Vẽ đoạn CD vuông góc với cạnh AB. Dựa vào khẳng định trên, các cạnh của tam giác bằng nhau:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
Để trả lời câu hỏi làm thế nào để chứng minh định lý Pythagore, việc chứng minh phải được hoàn thành bằng cách bình phương cả hai bất đẳng thức.
AC 2 = AB * AD và CB 2 = AB * DV
Bây giờ chúng ta cần cộng các bất đẳng thức thu được.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), trong đó AD + DV = AB
Hóa ra là:
AC2 + CB2 =AB*AB
Và do đó:
AC2 + CB2 = AB2
Việc chứng minh định lý Pythagore và các phương pháp khác nhau để giải nó đòi hỏi một cách tiếp cận linh hoạt cho vấn đề này. Tuy nhiên, tùy chọn này là một trong những đơn giản nhất.
Một phương pháp tính toán khác
Việc mô tả các cách khác nhau để chứng minh định lý Pythagore có thể không có ý nghĩa gì cho đến khi bạn bắt đầu tự mình thực hành. Nhiều kỹ thuật không chỉ liên quan đến các phép tính toán học mà còn liên quan đến việc xây dựng các hình mới từ tam giác ban đầu.
Trong trường hợp này, cần phải hoàn thành một tam giác vuông VSD khác từ cạnh BC. Vậy có hai tam giác có chung cạnh BC.
Biết rằng diện tích số liệu tương tự có tỷ số là các bình phương có kích thước tuyến tính tương tự nhau thì:
S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(từ 2 - đến 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
từ 2 - đến 2 =a 2
c 2 = a 2 + b 2
Vì trong số các phương pháp chứng minh định lý Pythagore lớp 8, phương án này khó có thể phù hợp nên bạn có thể sử dụng phương pháp sau.
Cách dễ nhất để chứng minh Định lý Pythagore. Đánh giá
Theo các nhà sử học, phương pháp này lần đầu tiên được sử dụng để chứng minh định lý vào năm Hy Lạp cổ đại. Đây là cách đơn giản nhất vì nó không yêu cầu bất kỳ phép tính nào. Nếu bạn vẽ hình đúng thì sẽ thấy rõ cách chứng minh khẳng định a 2 + b 2 = c 2.
Điều kiện cho phương pháp này sẽ hơi khác so với trước đó. Để chứng minh định lý, giả sử hình chữ nhật tam giác ABC- cân.
Ta lấy cạnh huyền AC làm cạnh hình vuông và vẽ ba cạnh của nó. Ngoài ra, cần vẽ hai đường chéo trong hình vuông thu được. Vì vậy, bên trong nó bạn có được bốn hình tam giác cân.
Bạn cũng cần vẽ một hình vuông cho hai chân AB và CB và vẽ một đường thẳng chéo ở mỗi chân. Chúng ta vẽ đường đầu tiên từ đỉnh A, đường thứ hai từ C.
Bây giờ bạn cần xem xét cẩn thận bản vẽ kết quả. Vì trên cạnh huyền AC có bốn hình tam giác bằng hình ban đầu và có hai hình trên các cạnh nên điều này cho thấy tính đúng đắn của định lý này.
Nhân tiện, nhờ phương pháp chứng minh định lý Pythagore này, cụm từ nổi tiếng: “Quần Pythagore đều bình đẳng ở mọi hướng.”
Chứng minh của J. Garfield
James Garfield là Tổng thống thứ 20 của Hợp chủng quốc Hoa Kỳ. Ngoài việc ghi dấu ấn trong lịch sử với tư cách là người cai trị Hoa Kỳ, ông còn là một người có năng khiếu tự học.
Khi bắt đầu sự nghiệp của mình, ông là một giáo viên bình thường ở trường công lập, nhưng nhanh chóng trở thành giám đốc của một trong những công ty cao nhất cơ sở giáo dục. Mong muốn phát triển bản thân đã cho phép anh cống hiến lý thuyết mới chứng minh định lý Pythagore. Định lý và một ví dụ về giải pháp của nó như sau.
Đầu tiên, bạn cần vẽ hai hình tam giác vuông trên một tờ giấy sao cho chân của một trong số chúng là phần tiếp theo của hình thứ hai. Các đỉnh của những hình tam giác này cần được kết nối để cuối cùng tạo thành một hình thang.
Như bạn đã biết, diện tích của hình thang bằng tích của một nửa tổng hai đáy và chiều cao của nó.
S=a+b/2 * (a+b)
Nếu chúng ta coi hình thang thu được là một hình gồm ba hình tam giác thì diện tích của nó có thể được tìm thấy như sau:
S=av/2 *2 + s 2 /2
Bây giờ chúng ta cần cân bằng hai biểu thức ban đầu
2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2
c 2 = a 2 + b 2
Có thể viết nhiều hơn một tập về định lý Pythagore và các phương pháp chứng minh nó. trợ giảng. Nhưng có điểm nào trong đó khi kiến thức này không thể áp dụng được vào thực tế?
Ứng dụng thực tế của định lý Pythagore
Thật không may, trong thời hiện đại chương trình họcĐịnh lý này chỉ được sử dụng trong bài toán hình học. Sinh viên tốt nghiệp sẽ sớm rời trường mà không biết làm thế nào để có thể áp dụng kiến thức và kỹ năng của mình vào thực tế.
Thực tế, hãy sử dụng định lý Pythagore trong cuộc sống hàng ngày mọi người đều có thể. Và không chỉ ở hoạt động nghề nghiệp, mà còn trong các công việc nhà thông thường. Chúng ta hãy xem xét một số trường hợp khi định lý Pythagore và các phương pháp chứng minh nó có thể cực kỳ cần thiết.
Mối quan hệ giữa định lý và thiên văn học
Có vẻ như các ngôi sao và hình tam giác trên giấy có thể được kết nối với nhau như thế nào. Trên thực tế, thiên văn học là lĩnh vực khoa học, sử dụng rộng rãi định lý Pythagore.
Ví dụ, hãy xem xét chuyển động chùm ánh sáng trong không gian. Biết rằng ánh sáng truyền theo cả hai hướng từ cùng tốc độ. Gọi quỹ đạo AB mà tia sáng chuyển động tôi. Và hãy gọi nửa thời gian ánh sáng đi từ điểm A đến điểm B t. Và tốc độ của chùm tia - c. Hóa ra là: c*t=l
Nếu bạn nhìn cùng tia này từ một mặt phẳng khác, chẳng hạn như từ một tàu vũ trụ chuyển động với tốc độ v, thì khi quan sát các vật thể theo cách này, tốc độ của chúng sẽ thay đổi. Trong trường hợp này, ngay cả các phần tử đứng yên cũng sẽ bắt đầu chuyển động với tốc độ v theo hướng ngược lại.
Giả sử tàu truyện tranh đang đi về bên phải. Khi đó các điểm A và B, giữa đó chùm tia lao tới, sẽ bắt đầu di chuyển sang trái. Hơn nữa, khi chùm tia di chuyển từ điểm A đến điểm B, điểm A có thời gian để di chuyển và theo đó, ánh sáng sẽ tới điểm mới C. Để tìm một nửa quãng đường mà điểm A đã di chuyển, bạn cần nhân tốc độ của ống lót với một nửa thời gian di chuyển của chùm tia (t”).
Và để biết một tia sáng có thể truyền đi bao xa trong thời gian này, bạn cần đánh dấu một nửa đường đi bằng một chữ cái mới s và nhận được biểu thức sau:
Nếu chúng ta tưởng tượng rằng các điểm sáng C và B cũng như đường thẳng không gian là các đỉnh tam giác cân, khi đó đoạn từ điểm A đến đường thẳng sẽ chia nó thành hai hình tam giác vuông. Do đó, nhờ định lý Pythagore, bạn có thể tìm ra khoảng cách mà một tia sáng có thể truyền đi.
Tất nhiên, ví dụ này không phải là ví dụ thành công nhất vì chỉ một số ít may mắn được thử nghiệm nó trong thực tế. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét các ứng dụng thông thường hơn của định lý này.
Phạm vi truyền tín hiệu di động
Cuộc sống hiện đại không thể tưởng tượng được nếu không có sự tồn tại của điện thoại thông minh. Nhưng chúng sẽ có ích lợi gì nếu không thể kết nối thuê bao qua liên lạc di động?!
Chất lượng liên lạc di động trực tiếp phụ thuộc vào độ cao mà ăng-ten của nhà điều hành di động được đặt. Để tính toán khoảng cách từ tháp di động mà điện thoại có thể nhận được tín hiệu, bạn có thể áp dụng định lý Pythagore.
Giả sử bạn cần tìm chiều cao gần đúng của một tháp cố định để nó có thể phân phối tín hiệu trong bán kính 200 km.
AB (chiều cao tháp) = x;
BC (bán kính truyền tín hiệu) = 200 km;
Hệ điều hành (bán kính khối cầu) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Áp dụng định lý Pythagore, chúng ta thấy rằng chiều cao tối thiểu tòa tháp phải dài 2,3 km.
Định lý Pythagore trong đời sống hằng ngày
Thật kỳ lạ, định lý Pythagore có thể hữu ích ngay cả trong những vấn đề hàng ngày, chẳng hạn như xác định chiều cao của tủ quần áo chẳng hạn. Thoạt nhìn, không cần phải sử dụng như vậy tính toán phức tạp, vì bạn có thể thực hiện đo một cách đơn giản bằng thước dây. Nhưng nhiều người thắc mắc tại sao một số vấn đề nhất định lại phát sinh trong quá trình lắp ráp nếu tất cả các phép đo được thực hiện không chính xác.
Thực tế là tủ quần áo được lắp ráp ở vị trí nằm ngang và chỉ sau đó được nâng lên và lắp vào tường. Vì vậy, trong quá trình nâng kết cấu, thành tủ phải di chuyển tự do theo chiều cao và theo đường chéo của căn phòng.
Giả sử có một tủ quần áo có độ sâu 800 mm. Khoảng cách từ sàn đến trần - 2600 mm. Một nhà sản xuất đồ nội thất có kinh nghiệm sẽ nói rằng chiều cao của tủ phải nhỏ hơn chiều cao của căn phòng 126 mm. Nhưng tại sao chính xác là 126 mm? Hãy xem một ví dụ.
Với kích thước tủ lý tưởng, hãy kiểm tra hoạt động của định lý Pythagore:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC = √2474 2 +800 2 =2600 mm - mọi thứ đều phù hợp.
Giả sử chiều cao của tủ không phải là 2474 mm mà là 2505 mm. Sau đó:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Vì vậy, chiếc tủ này không thích hợp để lắp đặt trong căn phòng này. Bởi vì nâng nó lên vị trí thẳng đứng có thể gây tổn thương cho cơ thể của nó.
Có lẽ, sau khi xem xét các cách khác nhau để chứng minh định lý Pythagore của các nhà khoa học khác nhau, chúng ta có thể kết luận rằng điều đó còn hơn cả sự thật. Giờ đây, bạn có thể sử dụng thông tin nhận được trong cuộc sống hàng ngày của mình và hoàn toàn tin tưởng rằng mọi tính toán sẽ không chỉ hữu ích mà còn chính xác.
định lý Pythagore: Tổng diện tích các hình vuông nằm trên hai chân ( Một Và b), bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền ( c).
Công thức hình học:
Định lý ban đầu được xây dựng như sau:
Công thức đại số:
Nghĩa là, biểu thị độ dài cạnh huyền của tam giác bằng c, và chiều dài của chân qua Một Và b :
Một 2 + b 2 = c 2Cả hai công thức của định lý đều tương đương, nhưng công thức thứ hai cơ bản hơn; nó không yêu cầu khái niệm diện tích. Nghĩa là, phát biểu thứ hai có thể được xác minh mà không cần biết gì về diện tích và chỉ bằng cách đo độ dài các cạnh của một tam giác vuông.
Định lý Pythagore ngược:
Bằng chứng
TRÊN ngay bây giờ V. văn học khoa học 367 bằng chứng của định lý này đã được ghi lại. Có lẽ định lý Pythagore là định lý duy nhất có số lượng chứng minh ấn tượng như vậy. Sự đa dạng như vậy chỉ có thể được giải thích bằng ý nghĩa cơ bản của định lý đối với hình học.
Tất nhiên, về mặt khái niệm, tất cả chúng có thể được chia thành một số ít lớp. Nổi tiếng nhất trong số đó: chứng minh bằng phương pháp diện tích, chứng minh tiên đề và chứng minh ngoại lai (ví dụ: sử dụng phương trình vi phân).
Qua các tam giác đồng dạng
Chứng minh sau đây của công thức đại số là chứng minh đơn giản nhất, được xây dựng trực tiếp từ các tiên đề. Đặc biệt, nó không sử dụng khái niệm diện tích của hình.
Cho phép ABC có một tam giác vuông có một góc vuông C. Hãy vẽ chiều cao từ C và biểu thị cơ sở của nó bằng H. Tam giác ACH giống hình tam giác ABCở hai góc. Tương tự, tam giác CBH tương tự ABC. Bằng cách giới thiệu ký hiệu
chúng tôi nhận được
Tương đương là gì
Cộng nó lại, chúng ta có được
Chứng minh bằng phương pháp diện tích
Bằng chứng sau đây, mặc dù sự đơn giản rõ ràng, không hề đơn giản chút nào. Tất cả đều sử dụng tính chất diện tích, chứng minh điều đó bằng chứng khó khăn hơnđịnh lý Pythagore.
Chứng minh thông qua cân bằng
- Hãy sắp xếp bốn hình tam giác vuông bằng nhau như trong Hình 1.
- Tứ giác có cạnh c là hình vuông vì tổng hai góc nhọn là 90° và góc thẳng là 180°.
- Diện tích của toàn bộ hình bằng một mặt, bằng diện tích hình vuông có cạnh (a + b), mặt khác bằng tổng bốn hình vuông hình tam giác và hai hình vuông bên trong.
Q.E.D.
Chứng minh bằng sự tương đương
Bằng chứng tao nhã bằng cách sử dụng hoán vị
Một ví dụ về một bằng chứng như vậy được thể hiện trong hình vẽ bên phải, trong đó một hình vuông dựng trên cạnh huyền được sắp xếp lại thành hai hình vuông dựng trên hai chân.
Chứng minh của Euclid
Vẽ để chứng minh Euclid
Minh họa cho chứng minh của Euclid
Ý tưởng của chứng minh Euclide như sau: chúng ta hãy thử chứng minh rằng một nửa diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng các nửa diện tích các hình vuông dựng trên hai chân, rồi đến diện tích các hình vuông hai ô vuông lớn và hai ô vuông nhỏ bằng nhau.
Chúng ta hãy nhìn vào bản vẽ bên trái. Trên đó, chúng ta dựng các hình vuông trên các cạnh của một tam giác vuông và vẽ một tia s từ đỉnh của góc vuông C vuông góc với cạnh huyền AB, nó cắt hình vuông ABIK, dựng trên cạnh huyền, thành hai hình chữ nhật - BHJI và HAKJ, tương ứng. Hóa ra diện tích của các hình chữ nhật này hoàn toàn bằng diện tích của các hình vuông được xây dựng trên các chân tương ứng.
Chúng ta hãy thử chứng minh rằng diện tích hình vuông DECA bằng diện tích hình chữ nhật AHJK. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng một quan sát phụ trợ: Diện tích của một hình tam giác có cùng chiều cao và đáy. hình chữ nhật đã cho, bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật đã cho. Đây là hệ quả của việc xác định diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích của đáy và chiều cao. Từ quan sát này, ta suy ra rằng diện tích của tam giác ACK bằng diện tích của tam giác AHK (không thể hiện trên hình), tam giác này bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật AHJK.
Bây giờ chúng ta chứng minh diện tích tam giác ACK cũng bằng một nửa diện tích hình vuông DECA. Điều duy nhất cần phải làm là chứng minh sự đẳng thức của các tam giác ACK và BDA (vì diện tích tam giác BDA bằng một nửa diện tích hình vuông theo tính chất trên). Sự bình đẳng là hiển nhiên, các hình tam giác có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng. Cụ thể - AB=AK,AD=AC - sự bằng nhau của các góc CAK và BAD dễ dàng được chứng minh bằng phương pháp chuyển động: ta quay tam giác CAK 90° ngược chiều kim đồng hồ, thì hiển nhiên các cạnh tương ứng của hai tam giác trong câu hỏi sẽ trùng nhau (do góc ở đỉnh của hình vuông là 90°).
Lý giải về sự bằng nhau của diện tích hình vuông BCFG và hình chữ nhật BHJI là hoàn toàn giống nhau.
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được diện tích hình vuông xây trên cạnh huyền bao gồm diện tích các hình vuông xây trên các chân. Ý tưởng đằng sau bằng chứng này được minh họa rõ hơn bằng hình ảnh động ở trên.
Bằng chứng của Leonardo da Vinci
Bằng chứng của Leonardo da Vinci
Các yếu tố chính của bằng chứng là tính đối xứng và chuyển động.
Chúng ta hãy xem xét hình vẽ, như có thể thấy từ tính đối xứng, một đoạn CTÔI cắt hình vuông MỘTBHJ thành hai phần giống hệt nhau (vì hình tam giác MỘTBC Và JHTÔI bằng nhau trong xây dựng). Xoay 90 độ ngược chiều kim đồng hồ, ta thấy sự bằng nhau của các hình được tô bóng CMỘTJTÔI Và GDMỘTB . Bây giờ rõ ràng là diện tích của hình chúng ta đã tô bóng bằng tổng của một nửa diện tích các hình vuông dựng trên hai chân và diện tích của hình tam giác ban đầu. Mặt khác, nó bằng một nửa diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền, cộng với diện tích tam giác ban đầu. Bước cuối cùng trong việc chứng minh dành cho người đọc.
Chứng minh bằng phương pháp vi phân
Bằng chứng sau đây sử dụng phương trình vi phân thường được cho là của nhà toán học nổi tiếng người Anh Hardy, người sống ở nửa đầu thế kỷ 20.
Nhìn vào hình vẽ trên hình và quan sát sự thay đổi về mặt Một, chúng ta có thể viết mối quan hệ sau đây cho các gia số cực nhỏ Với Và Một(dùng tam giác đồng dạng):
Chứng minh bằng phương pháp vi phân
Bằng phương pháp tách biến, ta tìm được
Hơn biểu hiện chungđể thay đổi cạnh huyền trong trường hợp tăng cả hai chân
Tích hợp phương trình đã cho và sử dụng điều kiện ban đầu, chúng tôi nhận được
c 2 = Một 2 + b 2 + hằng số.Vì vậy, chúng tôi đi đến câu trả lời mong muốn
c 2 = Một 2 + b 2 .Thật dễ dàng để nhìn thấy sự phụ thuộc bậc hai xuất hiện trong công thức cuối cùng nhờ tỷ lệ tuyến tính giữa các cạnh của tam giác và các phần tăng dần, trong khi tổng được liên kết với sự đóng góp độc lập từ phần tăng của các nhánh khác nhau.
Có thể thu được một chứng minh đơn giản hơn nếu chúng ta giả sử rằng một trong hai chân không có sự tăng lên (trong trường hợp này là chân b). Sau đó, với hằng số tích phân, chúng ta thu được
Các biến thể và khái quát
- Nếu thay vì hình vuông, chúng ta xây dựng các hình tương tự khác ở các cạnh thì sự khái quát hóa sau đây của định lý Pythagore là đúng: Trong một tam giác vuông, tổng diện tích của các hình tương tự được xây dựng trên các cạnh bằng diện tích của hình được xây dựng trên cạnh huyền.Đặc biệt:
- Tổng diện tích các hình tam giác đều dựng trên các cạnh bằng diện tích tam giác đều, được xây dựng trên cạnh huyền.
- Tổng diện tích hình bán nguyệt xây dựng trên các chân (như trên đường kính) bằng diện tích hình bán nguyệt xây dựng trên cạnh huyền. Ví dụ này được sử dụng để chứng minh tính chất của các hình giới hạn bởi các cung của hai đường tròn và được gọi là lunulae Hippocrates.
Câu chuyện
Chu-pei 500–200 TCN. Bên trái có dòng chữ: tổng bình phương của chiều dài và đáy bằng bình phương chiều dài cạnh huyền.
Cuốn sách cổ Trung Quốc Chu-pei nói về tam giác Pythagore với các cạnh 3, 4 và 5: Trong cùng một cuốn sách, một bức vẽ được đề xuất trùng khớp với một trong những bức vẽ về hình học Bashara của Ấn Độ giáo.
Cantor (nhà sử học toán học vĩ đại nhất người Đức) tin rằng đẳng thức 32 + 42 = 52 đã được người Ai Cập biết đến vào khoảng năm 2300 trước Công nguyên. e., vào thời vua Amenemhat I (theo giấy cói 6619 của Bảo tàng Berlin). Theo Cantor, những chiếc đàn harpedonaptes hay còn gọi là “người kéo dây” đã tạo ra các góc vuông bằng cách sử dụng các hình tam giác vuông có cạnh 3, 4 và 5.
Rất dễ dàng để tái tạo phương pháp xây dựng của họ. Chúng ta lấy một sợi dây dài 12 m và buộc một dải màu vào đó ở khoảng cách 3 m. từ một đầu và cách đầu kia 4 mét. Góc vuông sẽ được bao bọc giữa các cạnh dài 3 và 4 mét. Những người theo chủ nghĩa Harpedonaptian có thể phản đối rằng phương pháp xây dựng của họ sẽ trở nên thừa thãi nếu người ta sử dụng, chẳng hạn như một hình vuông bằng gỗ, thứ được tất cả các thợ mộc sử dụng. Thật vậy, người ta biết rằng các bức vẽ của người Ai Cập có chứa một công cụ như vậy, chẳng hạn như các bức vẽ mô tả xưởng mộc.
Người Babylon đã biết nhiều hơn về định lý Pythagore. Trong một văn bản có niên đại từ thời Hammurabi, tức là vào năm 2000 trước Công nguyên. e., đưa ra một phép tính gần đúng về cạnh huyền của một tam giác vuông. Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng ở Mesopotamia, họ có thể thực hiện các phép tính với các hình tam giác vuông, ít nhất là trong một số trường hợp. Một mặt, dựa trên trình độ hiểu biết hiện tại về toán học Ai Cập và Babylon, mặt khác, dựa trên nghiên cứu phê phán các nguồn gốc Hy Lạp, Van der Waerden (nhà toán học người Hà Lan) đã đưa ra kết luận sau:
Văn học
bằng tiếng Nga
- Skopet Z. A. Hình thu nhỏ hình học. M., 1990
- Elensky Shch. Theo bước chân của Pythagoras. M., 1961
- Van der Waerden B. L. Khoa học thức tỉnh. Toán học của Ai Cập cổ đại, Babylon và Hy Lạp. M., 1959
- Glazer G.I. Lịch sử toán học ở trường. M., 1982
- W. Litzman, “Định lý Pythagore” M., 1960.
- Một trang web về định lý Pythagore với số lượng lớn các chứng minh, tài liệu lấy từ cuốn sách của V. Litzmann, số lượng lớn bản vẽ được trình bày dưới dạng các tập tin đồ họa riêng biệt.
- Định lý Pythagore và chương bộ ba Pythagore từ cuốn sách của D. V. Anosov “Một cái nhìn về toán học và điều gì đó từ nó”
- Về định lý Pythagore và phương pháp chứng minh nó G. Glaser, viện sĩ Viện Hàn lâm Giáo dục Nga, Moscow
bằng tiếng Anh
- Định lý Pythagore tại WolframMathWorld
- Cut-The-Knot, phần về định lý Pythagore, khoảng 70 cách chứng minh và thông tin bổ sung mở rộng (tiếng Anh)
Quỹ Wikimedia.
định lý Pythagore
Tương tự, tam giác CBH đồng dạng với ABC. Bằng cách giới thiệu ký hiệu 
1. Đặt bốn hình tam giác vuông bằng nhau như trong hình. 
Ý tưởng của chứng minh Euclide như sau: chúng ta hãy thử chứng minh rằng một nửa diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng các nửa diện tích các hình vuông dựng trên hai chân, rồi đến diện tích các hình vuông hai ô vuông lớn và hai ô vuông nhỏ bằng nhau. Chúng ta hãy nhìn vào bản vẽ bên trái. Trên đó, chúng ta dựng các hình vuông trên các cạnh của một tam giác vuông và vẽ một tia s từ đỉnh của góc vuông C vuông góc với cạnh huyền AB, nó cắt hình vuông ABIK, dựng trên cạnh huyền, thành hai hình chữ nhật - BHJI và HAKJ, tương ứng. Hóa ra diện tích của các hình chữ nhật này hoàn toàn bằng diện tích của các hình vuông được xây dựng trên các chân tương ứng. Chúng ta hãy thử chứng minh rằng diện tích hình vuông DECA bằng diện tích hình chữ nhật AHJK. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng một quan sát phụ trợ: Diện tích của một hình tam giác có cùng chiều cao và đáy. hình chữ nhật đã cho có diện tích bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật đã cho. Đây là hệ quả của việc xác định diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích của đáy và chiều cao. Từ quan sát này, ta suy ra rằng diện tích của tam giác ACK bằng diện tích của tam giác AHK (không thể hiện trên hình), tam giác này bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật AHJK. Bây giờ chúng ta chứng minh diện tích tam giác ACK cũng bằng một nửa diện tích hình vuông DECA. Điều duy nhất cần phải làm là chứng minh sự đẳng thức của các tam giác ACK và BDA (vì diện tích tam giác BDA bằng một nửa diện tích hình vuông theo tính chất trên). Sự bình đẳng là hiển nhiên, các hình tam giác có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng. Cụ thể - AB=AK,AD=AC - sự bằng nhau của các góc CAK và BAD dễ dàng được chứng minh bằng phương pháp chuyển động: ta quay tam giác CAK 90° ngược chiều kim đồng hồ, thì hiển nhiên các cạnh tương ứng của hai tam giác trong câu hỏi sẽ trùng nhau (do góc ở đỉnh của hình vuông là 90°). Lý giải về sự bằng nhau của diện tích hình vuông BCFG và hình chữ nhật BHJI là hoàn toàn giống nhau. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được diện tích hình vuông xây trên cạnh huyền bao gồm diện tích các hình vuông xây trên các chân. 
Xét hình vẽ, có thể thấy từ tính đối xứng, đoạn CI cắt hình vuông ABHJ thành hai phần giống hệt nhau (vì Trình độ trung cấp
Tam giác bên phải. Hướng dẫn minh họa đầy đủ (2019)
TAM GIÁC CHỮ NHẬT. CẤP ĐẦU VÀO.
Trong các bài toán, góc vuông hoàn toàn không cần thiết - góc dưới bên trái, vì vậy bạn cần học cách nhận biết tam giác vuông ở dạng này,
và trong này
và trong này 
Điều gì tốt về một tam giác vuông? À... trước hết, có những điều đặc biệt tên đẹp cho phe của mình.
Chú ý đến bản vẽ!
Hãy nhớ và đừng nhầm lẫn: có hai chân và chỉ có một cạnh huyền(một và duy nhất, duy nhất và dài nhất)!
Chà, chúng ta đã thảo luận về những cái tên, bây giờ là điều quan trọng nhất: Định lý Pythagore.
Định lý Pythagore.
Định lý này là chìa khóa để giải nhiều bài toán liên quan đến tam giác vuông. Pythagoras đã chứng minh điều đó một cách hoàn toàn thời xa xưa, và kể từ đó cô ấy đã mang lại rất nhiều lợi ích cho những người biết đến cô ấy. Và điều tốt nhất về nó là nó rất đơn giản.
Vì thế, Định lý Pythagore:
Bạn có nhớ câu nói đùa: “Quần Pythagore các bên đều bình đẳng!” không?
Hãy vẽ những chiếc quần Pythagore tương tự này và quan sát chúng. 
Trông nó không giống một loại quần short nào đó sao? Chà, ở bên nào và chúng bằng nhau ở đâu? Tại sao và trò đùa đến từ đâu? Và trò đùa này có liên quan chính xác đến định lý Pythagore, hay chính xác hơn là với cách chính Pythagoras xây dựng định lý của mình. Và anh ấy đã xây dựng nó như thế này:
"Tổng diện tích hình vuông, được xây dựng trên chân, bằng diện tích hình vuông, được xây dựng trên cạnh huyền."
Nó thực sự nghe có vẻ hơi khác một chút? Và vì vậy, khi Pythagoras vẽ ra phát biểu về định lý của mình, đây chính xác là bức tranh hiện ra.
Trong hình này, tổng diện tích của các hình vuông nhỏ bằng diện tích của hình vuông lớn. Và để trẻ có thể nhớ rõ hơn rằng tổng bình phương của hai chân bằng bình phương cạnh huyền, một người nào đó đã hóm hỉnh nghĩ ra trò đùa về chiếc quần Pythagore này.
Tại sao bây giờ chúng ta đang xây dựng định lý Pythagore?
Pythagoras có đau khổ và nói về hình vuông không?
Bạn thấy đấy, thời cổ đại không có... đại số! Không có dấu hiệu nào và vân vân. Không có chữ khắc. Bạn có tưởng tượng được việc những học sinh cổ đại tội nghiệp có thể nhớ được mọi thứ bằng lời sẽ khủng khiếp đến thế nào không??! Và chúng ta có thể vui mừng vì đã có được một công thức đơn giản của định lý Pythagore. Hãy lặp lại lần nữa để ghi nhớ tốt hơn:
Bây giờ nó sẽ dễ dàng:
| Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân. |
Vâng, định lý quan trọng nhất về tam giác vuông đã được thảo luận. Nếu bạn quan tâm đến cách nó được chứng minh, hãy đọc các cấp độ lý thuyết sau đây và bây giờ chúng ta hãy chuyển sang... rừng tối... lượng giác! Với những từ khủng khiếp sin, cosin, tiếp tuyến và cotang.
Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông.
Trên thực tế, mọi thứ không quá đáng sợ chút nào. Tất nhiên, định nghĩa “thực tế” của sin, cos, tiếp tuyến và cotang nên được xem xét trong bài viết. Nhưng tôi thực sự không muốn, phải không? Chúng ta có thể vui mừng: để giải các bài toán về tam giác vuông, bạn chỉ cần điền vào những điều đơn giản sau:
Tại sao mọi thứ chỉ ở góc? Góc ở đâu? Để hiểu điều này, bạn cần biết các câu 1 - 4 được viết bằng chữ như thế nào. Hãy nhìn, hiểu và ghi nhớ!
1.
Trên thực tế nó có vẻ như thế này:
Còn góc thì sao? Có một chân đối diện với góc, tức là một chân đối diện (đối với một góc) không? Tất nhiên là có! Đây là một cái chân!
Còn góc thì sao? Hãy nhìn cẩn thận. Chân nào tiếp giáp với góc? Tất nhiên là chân. Điều này có nghĩa là đối với góc thì chân liền kề và
Bây giờ, hãy chú ý! Hãy xem chúng ta có gì:
Hãy xem nó tuyệt vời thế nào:
Bây giờ chúng ta chuyển sang tiếp tuyến và cotang.
Làm sao tôi có thể viết điều này ra bằng lời bây giờ? Chân liên quan đến góc như thế nào? Tất nhiên là đối diện - nó “nằm” đối diện với góc. Còn chân thì sao? Liền kề góc. Vậy chúng ta có gì?
Hãy xem tử số và mẫu số đã đổi chỗ cho nhau như thế nào?
Và bây giờ các góc lại và thực hiện một cuộc trao đổi:
Bản tóm tắt
Hãy viết ngắn gọn tất cả những gì chúng ta đã học được.
 |
Định lý Pythagore: |
Định lý chính về tam giác vuông là định lý Pythagore.
định lý Pythagore
Nhân tiện, bạn có nhớ rõ chân và cạnh huyền là gì không? Nếu chưa hay thì xem hình - ôn lại kiến thức
Rất có thể bạn đã sử dụng định lý Pythagore nhiều lần, nhưng bạn có bao giờ tự hỏi tại sao định lý đó lại đúng không? Làm thế nào tôi có thể chứng minh điều đó? Hãy làm như người Hy Lạp cổ đại. Hãy vẽ một hình vuông có một cạnh.
Hãy xem chúng tôi đã khéo léo chia các cạnh của nó thành các đoạn có độ dài như thế nào và!
Bây giờ hãy kết nối các dấu chấm được đánh dấu
Tuy nhiên, ở đây chúng tôi đã lưu ý một điều khác, nhưng chính bạn hãy nhìn vào bức vẽ và nghĩ tại sao lại như vậy.
Diện tích bằng bao nhiêu? hình vuông lớn hơn? Phải, . Diện tích nhỏ hơn thì sao? Chắc chắn, . Tổng diện tích của bốn góc vẫn còn. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta lấy hai cái cùng một lúc và tựa chúng vào nhau bằng cạnh huyền. Chuyện gì đã xảy ra thế? Hai hình chữ nhật. Điều này có nghĩa là diện tích của các “vết cắt” bằng nhau.
Bây giờ chúng ta hãy đặt tất cả lại với nhau.
Hãy chuyển đổi:
Vì vậy, chúng tôi đã đến thăm Pythagoras - chúng tôi đã chứng minh định lý của ông ấy theo cách cổ xưa.
Tam giác vuông và lượng giác
Đối với một tam giác vuông, các mối quan hệ sau giữ:
xoang góc nhọn bằng tỷ lệ phía đối diệnđến cạnh huyền
Cosin của một góc nhọn bằng tỉ số chân liền kềđến cạnh huyền.
Tiếp tuyến của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
Cotang của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện.
Và một lần nữa tất cả điều này ở dạng máy tính bảng:
Nó rất thuận tiện!
Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông
I. Ở hai bên
II. Bằng chân và cạnh huyền
III. Bằng cạnh huyền và góc nhọn
IV. Dọc theo chân và góc nhọn
Một) 
b) 
Chú ý! Điều rất quan trọng ở đây là đôi chân phải “phù hợp”. Ví dụ: nếu nó diễn ra như thế này:
THÌ TAM GIÁC KHÔNG BẰNG, mặc dù thực tế là chúng có một góc nhọn giống hệt nhau.
Điều cần thiết là trong cả hai hình tam giác, chân liền kề hoặc trong cả hai hình tam giác thì chân đối diện.
Bạn có nhận thấy dấu bằng của các tam giác vuông khác với dấu bằng của các tam giác vuông thông thường như thế nào không? Nhìn vào chủ đề “và chú ý đến thực tế là để các tam giác “bình thường” bằng nhau, ba phần tử của chúng phải bằng nhau: hai cạnh và góc giữa chúng, hai góc và cạnh giữa chúng, hoặc ba cạnh. Nhưng để tam giác vuông bằng nhau thì chỉ cần hai phần tử tương ứng là đủ. Tuyệt vời phải không?
Tình hình cũng gần tương tự với dấu tương tự của các tam giác vuông.
Dấu hiệu tương tự của tam giác vuông
I. Dọc theo góc nhọn
II. Ở hai bên
III. Bằng chân và cạnh huyền
Đường trung bình trong tam giác vuông
Tại sao lại như vậy?
Thay vì một hình tam giác vuông, hãy xem xét toàn bộ hình chữ nhật.
Hãy vẽ một đường chéo và xem xét một điểm - điểm giao nhau của các đường chéo. Bạn biết gì về các đường chéo của hình chữ nhật?
Và điều gì xảy ra sau đó?
Hóa ra là thế
- - trung vị:
Hãy nhớ sự thật này! Giúp ích rất nhiều!
Điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là điều ngược lại cũng đúng.
Có thể thu được điều gì tốt từ việc đường trung tuyến kéo vào cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền? Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh
Hãy nhìn cẩn thận. Chúng ta có: , tức là khoảng cách từ điểm đến cả ba đỉnh của tam giác hóa ra bằng nhau. Nhưng chỉ có một điểm trong tam giác, có khoảng cách từ đó đến cả ba đỉnh của tam giác đều bằng nhau và đây là TRUNG TÂM CỦA VÒNG TRÒN. Vậy chuyện gì đã xảy ra?
Vậy hãy bắt đầu với từ “ngoài ra…” này.
Chúng ta hãy nhìn vào và.
Nhưng các tam giác đồng dạng đều có các góc bằng nhau!
Điều tương tự cũng có thể nói về và
Bây giờ chúng ta hãy vẽ nó lại với nhau:
Lợi ích gì có thể được rút ra từ sự giống nhau “bộ ba” này?
Vâng, ví dụ - hai công thức tính chiều cao của tam giác vuông.
Chúng ta hãy viết ra mối quan hệ của các bên tương ứng:
Để tìm chiều cao, chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức đầu tiên "Chiều cao trong tam giác vuông":
Vì vậy, hãy áp dụng sự tương tự: .
Điều gì sẽ xảy ra bây giờ?
Một lần nữa chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức thứ hai:
Bạn cần phải nhớ thật kỹ cả hai công thức này và sử dụng công thức nào thuận tiện hơn. Hãy viết chúng lại lần nữa
Định lý Pythagore:
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông: .
Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông:
- ở hai phía:
- bằng chân và cạnh huyền: hoặc
- dọc theo chân và góc nhọn liền kề: hoặc
- dọc theo chân và góc nhọn đối diện: hoặc
- bởi cạnh huyền và góc nhọn: hoặc.
Dấu hiệu đồng dạng của tam giác vuông:
- một góc nhọn: hoặc
- từ tỷ lệ của hai chân:
- từ tỷ lệ của chân và cạnh huyền: hoặc.
Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông
- Sin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền:
- Cosin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền:
- Tiếp tuyến của góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh kề:
- Cotang của góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện: .
Chiều cao của một tam giác vuông: hoặc.
Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến vẽ từ đỉnh của góc vuông bằng một nửa cạnh huyền: .
Diện tích của một tam giác vuông:
- qua chân: