Lời giới thiệu của giáo viên:
Một chút bối cảnh lịch sử: Nhiều nhà khoa học đã quan tâm đến việc cắt các bài toán từ xa xưa. Giải pháp cho nhiều vấn đề cắt đơn giản đã được người Hy Lạp và Trung Quốc cổ đại tìm ra, nhưng chuyên luận có hệ thống đầu tiên về chủ đề này lại được viết bởi Abul-Vef. Các nhà hình học bắt đầu giải quyết một cách nghiêm túc các bài toán cắt các hình thành số phần nhỏ nhất và sau đó xây dựng một hình khác vào đầu thế kỷ 20. Một trong những người sáng lập phần này là người sáng lập câu đố nổi tiếng Henry E. Dudeney.
Ngày nay, những người yêu thích giải đố rất thích giải những bài toán cắt ghép vì không có một phương pháp chung nào để giải những bài toán như vậy và tất cả những ai đảm nhận giải quyết chúng đều có thể thể hiện đầy đủ sự khéo léo, trực giác và khả năng tư duy sáng tạo của mình. (Trong bài học, chúng tôi sẽ chỉ chỉ ra một trong những ví dụ có thể có về việc cắt. Có thể giả định rằng học sinh có thể kết thúc với một số kết hợp đúng khác - không cần phải sợ hãi về điều này).
Bài học này được cho là được tiến hành dưới hình thức một bài học thực tế. Chia những người tham gia vòng tròn thành các nhóm 2-3 người. Cung cấp cho mỗi nhóm những số liệu do giáo viên chuẩn bị trước. Học sinh có thước kẻ (có vạch chia), bút chì và kéo. Chỉ được phép thực hiện các vết cắt thẳng bằng kéo. Sau khi cắt một hình thành nhiều mảnh, bạn cần tạo một hình khác từ những phần tương tự.
Nhiệm vụ cắt:
1). Hãy thử cắt hình trong hình thành 3 phần có hình dạng bằng nhau:
Gợi ý: Các hình nhỏ trông rất giống chữ T.
2). Bây giờ hãy cắt hình này thành 4 phần có hình dạng bằng nhau:
Gợi ý: Dễ dàng đoán được những hình nhỏ sẽ gồm 3 ô, nhưng số lượng hình có 3 ô không nhiều. Chỉ có hai loại: góc và hình chữ nhật.
3). Chia hình thành hai phần bằng nhau và sử dụng các phần thu được để tạo thành bàn cờ.
Gợi ý: Đề nghị bắt đầu nhiệm vụ từ phần thứ hai, giống như lấy một bàn cờ. Hãy nhớ hình dạng của bàn cờ (hình vuông). Đếm số ô có sẵn theo chiều dài và chiều rộng. (Hãy nhớ rằng phải có 8 ô).
4). Hãy thử cắt phô mai thành tám miếng bằng nhau bằng ba chuyển động của dao.
Mẹo: hãy thử cắt phô mai theo chiều dọc.
Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:
1). Cắt một tờ giấy hình vuông và làm như sau:
· cắt thành 4 mảnh có thể dùng để tạo thành hai hình vuông nhỏ hơn bằng nhau.
· cắt thành năm phần - bốn hình tam giác cân và một hình vuông - và gấp chúng lại để bạn có được ba hình vuông.
Để thu hút sự chú ý của các gia sư toán và giáo viên của các môn tự chọn và câu lạc bộ khác nhau, một tuyển tập các bài toán cắt hình học mang tính giải trí và mang tính giáo dục được đưa ra. Mục tiêu của gia sư khi sử dụng những bài toán như vậy trong lớp học không chỉ là khiến học sinh hứng thú với sự kết hợp thú vị và hiệu quả giữa các ô và hình mà còn phát triển cảm giác của học sinh về đường nét, góc và hình dạng. Bộ đề chủ yếu hướng đến trẻ em lớp 4-6, mặc dù có thể sử dụng ngay cả với học sinh trung học. Các bài tập yêu cầu học sinh phải có sự tập trung chú ý cao và liên tục, đồng thời rất phù hợp để phát triển và rèn luyện trí nhớ thị giác. Được khuyên dùng cho các gia sư môn toán đang chuẩn bị cho học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh vào các trường và lớp toán có yêu cầu đặc biệt về mức độ tư duy độc lập và khả năng sáng tạo của trẻ. Mức độ nhiệm vụ tương ứng với cấp độ tham dự các kỳ thi tuyển sinh vào “trường thứ hai” lyceum (trường toán thứ hai), Khoa Cơ học và Toán học nhỏ của Đại học Tổng hợp Moscow, trường Kurchatov, v.v.
Gia sư môn Toán Lưu ý:
Trong một số giải pháp cho các vấn đề mà bạn có thể xem bằng cách nhấp vào con trỏ tương ứng, chỉ một trong các ví dụ cắt có thể có được chỉ ra. Tôi hoàn toàn thừa nhận rằng bạn có thể kết thúc với một số kết hợp chính xác khác - không cần phải lo lắng về điều đó. Hãy kiểm tra kỹ lời giải của con bạn và nếu nó đáp ứng được các điều kiện thì hãy thoải mái thực hiện nhiệm vụ tiếp theo.
1) Hãy thử cắt hình trong hình thành 3 phần bằng nhau:
: Hình dáng nhỏ rất giống chữ T
2) Bây giờ hãy cắt hình này thành 4 phần có hình dạng bằng nhau:
Lời khuyên của gia sư toán: Dễ dàng đoán được những hình nhỏ sẽ gồm 3 ô, nhưng số lượng 3 ô không nhiều. Chỉ có hai loại trong số chúng: một góc và một hình chữ nhật 1×3.
3) Cắt hình này thành 5 mảnh có hình dạng bằng nhau:
Tìm số ô tạo nên mỗi hình như vậy. Những con số này trông giống như chữ G.
4) Bây giờ bạn cần cắt hình mười ô thành 4 không cân bằng hình chữ nhật (hoặc hình vuông) với nhau.
Hướng dẫn gia sư môn toán: Chọn một hình chữ nhật, sau đó cố gắng ghép ba hình nữa vào các ô còn lại. Nếu nó không hoạt động, hãy thay đổi hình chữ nhật đầu tiên và thử lại.
5) Nhiệm vụ trở nên phức tạp hơn: bạn cần cắt hình thành 4 hình dạng khác nhau hình (không nhất thiết phải là hình chữ nhật).
Lời khuyên của gia sư toán: đầu tiên vẽ riêng tất cả các loại hình có hình dạng khác nhau (sẽ có nhiều hơn bốn hình) và lặp lại phương pháp liệt kê các phương án như ở nhiệm vụ trước.
:
6) Cắt hình này thành 5 hình từ bốn ô có hình dạng khác nhau sao cho mỗi ô chỉ sơn một ô màu xanh lá cây.
Lời khuyên của gia sư toán: Hãy thử bắt đầu cắt từ cạnh trên của hình này và bạn sẽ hiểu ngay cách tiến hành.
:
7) Dựa trên nhiệm vụ trước đó. Tìm xem có bao nhiêu hình có hình dạng khác nhau, gồm đúng 4 ô? Các hình có thể bị xoắn và xoay, nhưng bạn không thể nhấc cái bàn (khỏi bề mặt của nó) mà nó nằm trên đó. Nghĩa là, hai hình đã cho sẽ không được coi là bằng nhau, vì chúng không thể thu được từ nhau bằng phép quay.
Lời khuyên của gia sư toán: Nghiên cứu lời giải của bài toán trước và cố gắng tưởng tượng các vị trí khác nhau của các hình này khi rẽ. Không khó để đoán rằng đáp án cho bài toán của chúng ta sẽ là số 5 trở lên. (Trên thực tế, thậm chí còn hơn sáu). Có 7 loại số liệu được mô tả.
8) Cắt một hình vuông có 16 ô thành 4 mảnh có hình dạng bằng nhau sao cho mỗi mảnh chứa đúng một ô màu xanh lá cây.
Lời khuyên của gia sư toán: Hình dáng của các hình nhỏ không phải là hình vuông hay hình chữ nhật, thậm chí không phải là một góc của bốn ô. Vậy bạn nên cắt thành những hình dạng nào?
9) Cắt hình được mô tả thành hai phần sao cho các phần thu được có thể gấp lại thành hình vuông.
Gợi ý gia sư toán: Có tổng cộng 16 ô, nghĩa là hình vuông sẽ có kích thước 4x4. Và bằng cách nào đó bạn cần phải lấp đầy cửa sổ ở giữa. Làm thế nào để làm điều này? Có thể có một số loại thay đổi? Sau đó, vì chiều dài của hình chữ nhật bằng một số ô lẻ nên việc cắt không được thực hiện theo đường cắt dọc mà dọc theo một đường đứt quãng. Vì vậy, phần trên được cắt ở một bên của ô giữa và phần dưới ở bên kia.
10) Cắt một hình chữ nhật 4x9 thành hai mảnh để có thể gấp chúng thành hình vuông.
Lời khuyên của gia sư toán: Có tổng cộng 36 ô trong hình chữ nhật. Do đó, hình vuông sẽ có kích thước 6x6. Vì cạnh dài bao gồm chín ô nên ba trong số chúng cần được cắt bỏ. Việc cắt giảm này sẽ diễn ra như thế nào?
11) Cần phải cắt hình chữ thập của năm ô như trong hình (bạn có thể tự cắt các ô đó) thành các mảnh để có thể gấp lại thành hình vuông.
Lời khuyên của gia sư toán: Rõ ràng là dù chúng ta cắt dọc theo các đường của ô như thế nào thì chúng ta cũng sẽ không có được hình vuông, vì chỉ có 5 ô. Đây là nhiệm vụ duy nhất được phép cắt. không phải bởi tế bào. Tuy nhiên, vẫn tốt hơn nếu để họ làm hướng dẫn. ví dụ, điều đáng chú ý là bằng cách nào đó chúng ta cần phải loại bỏ những vết lõm mà chúng ta có - cụ thể là ở các góc bên trong của cây thánh giá của chúng ta. Làm thế nào để làm điều này? Ví dụ như cắt bỏ một số hình tam giác nhô ra ở các góc ngoài của cây thánh giá...
Nhiệm vụ 1: Một hình chữ nhật, các cạnh của nó được biểu thị dưới dạng số nguyên, có thể được cắt thành các hình có dạng (cạnh của ô trong hình bằng một). Chứng minh rằng có thể cắt nó thành hình chữ nhật 1 × 5.
(D.~Karpov)
Giải pháp: Diện tích của hình chữ nhật này được chia cho diện tích của hình được chỉ định, nghĩa là cho 5. Diện tích của hình chữ nhật bằng tích độ dài của các cạnh. Vì độ dài các cạnh là số nguyên và 5 là số nguyên tố nên độ dài một cạnh phải chia hết cho 5. Hãy chia cạnh này và cạnh đối diện thành các đoạn có độ dài 5, hai cạnh còn lại thành các đoạn có độ dài 1, sau đó chúng ta nối các điểm tương ứng ở hai cạnh đối diện bằng các đường thẳng. Nhiệm vụ 2: Giải hệ phương trình bằng số thực(A.~Khrabrov)
Giải pháp: Trả lời: hệ có nghiệm duy nhất a = b = c = d = 0. Cộng hai phương trình của hệ ta được phương trình 8a2 + 9b2 + 7c2 + 4d2 = 16ab + 8cd Từ bất đẳng thức 2ab ≤ a2 + b2 và 2cd ≤ c2 + d2 theo sau, vế phải của phương trình này không lớn hơn vế trái và chỉ có thể đạt được sự bằng nhau nếu b = 0, c = 0, a = b và c = d. Điều này có nghĩa là nghiệm khả thi duy nhất cho hệ này là a = b = c = d = 0.Tùy chọn thứ hai được giải quyết theo cách tương tự.
Nhiệm vụ 3: Cho hình thoi ABCD, lấy các điểm E và F lần lượt trên cạnh AB và BC sao cho CF/BF = BE/AE = 1994. Hóa ra DE = DF. Tìm góc EDF.
Từ các điều kiện của bài toán (trong cả hai phiên bản), suy ra BE = CF. Vẽ trên cạnh AB một đoạn AK bằng BE. Tam giác ADK và CDF có cạnh và góc bằng nhau (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF). Điều này có nghĩa là DK = DF = DE, tức là tam giác DKE cân. Đặc biệt, các góc DKE và DEK ở đáy bằng nhau. Do đó, hai tam giác ADK và BDE bằng nhau (có hai cạnh và một góc: AK = BE, DK = DE, ∠ DKA = ∠ DEB). Do đó AD=BD tức là tam giác ABD đều. Do đó, ∠BAD = 60, ∠ABC = 120.
(A.~Khrabrov)
Giải pháp:Để đội A đánh bại đội B trong một trận đấu theo luật này (có thể giành chiến thắng sớm). Điều này có nghĩa là đối với bất kỳ kết quả nào có thể xảy ra của các quả phạt đền còn lại (chưa thực hiện), số điểm của Đội A sẽ cao hơn Đội B. Hãy tưởng tượng rằng các đội tiếp tục thực hiện các quả phạt đền sau khi kết thúc trận đấu và thực hiện tất cả các quả phạt đền còn lại mà Đội A không ghi được quả nào. ghi nhiều bàn thắng hơn và Đội B không bao giờ bỏ lỡ lần nữa. Trong trường hợp này, tổng số bàn thắng mà A ghi được vẫn sẽ lớn hơn số bàn thắng do B ghi được (đây chính là ý nghĩa của từ “chiến thắng sớm”). Có thể thêm bao nhiêu nữa? Chỉ bằng 1 hoặc 2. Quả thực, nếu cách biệt nhiều hơn hai, thì chiến thắng của đội A sẽ trở nên tất yếu thậm chí còn sớm hơn, trước cặp phạt đền cuối cùng.Hơn nữa, chúng tôi lưu ý rằng trong quá trình tiếp tục trận đấu mà chúng tôi đang xem xét, chính xác một nửa số cú sút đã trúng đích. Như vậy, trong tổng số 129 cặp cú sút, có đúng một nửa trúng đích, tức là đúng 129. 129 mục tiêu này được chia cho A và B để A có thêm 1 hoặc 2 mục tiêu nữa. Điều này quyết định rõ ràng số bàn thắng mà đội A ghi được - 65.
Nhiệm vụ 5: Giải phương trình bằng số tự nhiên:(D.~Karpov)
Giải pháp: Phương trình này có nghiệm duy nhất: x = 2, y = 1, z = 2 (ở cả hai phiên bản). Đó là một nghiệm tuân theo đẳng thức tổng quát a2 + (2a + 1) = (a + 1)2\, được áp dụng trong phiên bản đầu tiên cho a = 105 và trong phiên bản thứ hai cho a = 201.Không có nghiệm nào khác, vì nếu z > 2 thì vế phải của phương trình chia hết cho 8, còn vế trái thì không, vì 105 x chỉ có thể dư 1 khi chia cho 8, và 211 y - chỉ dư 1 và 3. Cần lưu ý rằng với z = 1 cũng không có nghiệm nào và với z = 2 thì các giá trị y = 1 và x = 2 được xác định duy nhất.